Stopień jest prostym ułamkiem. Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi: reguła, przykłady

Lekcja rozważy bardziej uogólnioną wersję mnożenia ułamków - to jest potęgowanie. Przede wszystkim porozmawiamy o naturalnym stopniu ułamka i przykładach demonstrujących podobne działania z ułamkami. Na początku lekcji powtórzymy również podnoszenie do naturalnej potęgi wyrażeń całkowitych i zobaczymy, jak jest to przydatne do rozwiązywania dalszych przykładów.

Temat: Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja: Budowa ułamek algebraiczny do pewnego stopnia

1. Zasady podnoszenia ułamków i wyrażeń całkowitych do potęg naturalnych z przykładami elementarnymi

Reguła podnoszenia ułamków zwykłych i algebraicznych do potęg naturalnych:

Możesz narysować analogię do stopnia wyrażenia całkowitego i zapamiętać, co oznacza podniesienie go do potęgi:

Przykład 1 .

Jak widać na przykładzie, podniesienie ułamka do potęgi to szczególny przypadek mnożenie ułamków, które było badane w poprzedniej lekcji.

Przykład 2. a), b) - minus znika, bo podnieśliśmy ekspresję do równej potęgi.

Dla wygody pracy ze stopniami przypominamy podstawowe zasady wznoszenia się do naturalnej mocy:

- iloczyn stopni;

- podział stopni;

Podnoszenie stopnia do potęgi;

Stopień pracy.

Przykład 3. - wiemy o tym od tematu "Podnoszenie do potęgi wyrażeń liczb całkowitych", z wyjątkiem jednego przypadku: nie istnieje.

2. Najprostsze przykłady podnoszenia ułamków algebraicznych do potęg naturalnych

Przykład 4. Podnieś ułamek do potęgi.

Decyzja. Po podniesieniu do równej potęgi minus znika:

Przykład 5. Podnieś ułamek do potęgi.

Decyzja. Teraz stosujemy zasady natychmiastowego podnoszenia stopnia do potęgi bez osobnego harmonogramu:

Rozważmy teraz połączone zadania, w których będziemy musieli podnieść ułamki do potęgi, pomnożyć je i podzielić.

Przykład 6: Wykonaj akcje.

Decyzja. . Następnie musisz dokonać redukcji. Opiszemy raz szczegółowo, jak to zrobimy, a następnie natychmiast wskażemy wynik przez analogię:. Podobnie (lub zgodnie z zasadą podziału stopni). Mamy: .

Przykład 7: Wykonaj akcje.

Decyzja. . Redukcję przeprowadza się analogicznie do omówionego wcześniej przykładu.

Przykład 8: Wykonaj akcje.

Decyzja. . W ten przykład ponownie opisaliśmy bardziej szczegółowo proces redukcji mocy ułamkowych w celu utrwalenia tej metody.

3. Bardziej złożone przykłady podnoszenia ułamków algebraicznych do potęg naturalnych (z uwzględnieniem znaków i wyrazów w nawiasach)

Przykład 9: Wykonaj akcje .

Decyzja. W tym przykładzie pominiemy już oddzielne mnożenie ułamków, a od razu zastosujemy regułę ich mnożenia i zapiszemy ją pod jednym mianownikiem. Jednocześnie podążamy za znakami - w tym przypadku ułamki są podnoszone do równych potęg, więc minusy znikają. Zróbmy redukcję na koniec.

Przykład 10: Wykonaj akcje .

Decyzja. W tym przykładzie jest dzielenie ułamków, pamiętaj, że w tym przypadku pierwszy ułamek jest mnożony przez drugi, ale odwrócony.

Potęgowanie to operacja ściśle związana z mnożeniem, ta operacja jest wynikiem wielokrotnego mnożenia samej liczby. Przedstawmy wzór: a1 * a2 * ... * an = an.

Na przykład a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Ogólnie rzecz biorąc, potęgowanie jest często używane w różnych wzorach w matematyce i fizyce. Ta funkcja ma bardziej naukowy cel niż cztery podstawowe: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie.

Podnoszenie liczby do potęgi

Podniesienie liczby do potęgi nie jest trudną operacją. Jest to związane z mnożeniem, podobnie jak relacja między mnożeniem a dodawaniem. Record an - krótki zapis n-tej liczby liczb „a” pomnożonych przez siebie.

Rozważ potęgowanie co najwyżej proste przykłady przechodząc do skomplikowanych.

Na przykład 42.42 = 4 * 4 = 16 . Cztery do kwadratu (do drugiej potęgi) równa się szesnaście. Jeśli nie rozumiesz mnożenia 4 * 4, przeczytaj nasz artykuł o mnożeniu.

Spójrzmy na inny przykład: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pięć sześcianów (do potęgi trzeciej) równa się sto dwadzieścia pięć.

Inny przykład: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Dziewięć do sześcianu równa się siedemset dwadzieścia dziewięć.

Wzory potęgowania

Aby poprawnie wznieść się do potęgi, musisz pamiętać i znać poniższe formuły. Nie ma w tym nic poza naturalnym, najważniejsze jest zrozumienie istoty, a wtedy nie tylko zostaną zapamiętane, ale także będą wydawały się łatwe.

Podnoszenie jednomianu do potęgi

Co to jest jednomian? Jest to iloczyn liczb i zmiennych w dowolnej ilości. Na przykład dwa to jednomian. A ten artykuł dotyczy podniesienia takich jednomianów do potęgi.

Używając wzorów potęgowania, nie będzie trudno obliczyć potęgę jednomianu do potęgi.

Na przykład, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Jeśli podniesiesz jednomian do potęgi, wtedy każdy składnik jednomianu zostanie podniesiony do potęgi.

Podnosząc do potęgi zmienną, która ma już stopień, stopnie są mnożone. Na przykład (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Wznoszenie do negatywnej mocy

Wykładnik ujemny jest odwrotnością liczby. Czym jest wzajemność? Dla dowolnej liczby X odwrotność wynosi 1/X. Czyli X-1=1/X. To jest istota stopnia negatywnego.

Rozważ przykład (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Dlaczego? Ponieważ stopień ma minus, po prostu przenosimy to wyrażenie do mianownika, a następnie podnosimy je do trzeciej potęgi. Dokładnie?

Podnoszenie do potęgi ułamkowej

Zacznijmy dyskusję na konkretny przykład. 43/2. Co oznacza moc 3/2? 3 - licznik, oznacza podniesienie liczby (w tym przypadku 4) do sześcianu. Liczba 2 jest mianownikiem, jest to wyodrębnienie drugiego pierwiastka liczby (w tym przypadku 4).

Następnie otrzymujemy pierwiastek kwadratowy z 43 = 2^3 = 8 . Odpowiedź: 8.

Czyli mianownikiem stopnia ułamkowego może być 3 lub 4, a do nieskończoności dowolną liczbę, a ta liczba określa stopień pierwiastek kwadratowy wypakowany z podany numer. Oczywiście mianownik nie może wynosić zero.

Podnoszenie korzenia do potęgi

Jeśli korzeń zostanie podniesiony do potęgi równej sile samego korzenia, wówczas odpowiedzią jest radykalne wyrażenie. Na przykład (√x)2 = x. I tak w każdym przypadku równość stopnia korzenia i stopnia podniesienia korzenia.

Jeśli (√x)^4. Wtedy (√x)^4=x^2. Aby sprawdzić rozwiązanie, tłumaczymy wyrażenie na wyrażenie o stopniu ułamkowym. Ponieważ pierwiastek jest kwadratowy, mianownik wynosi 2. A jeśli pierwiastek jest podniesiony do czwartej potęgi, to licznikiem jest 4. Otrzymujemy 4/2=2. Odpowiedź: x = 2.

Tak czy siak Najlepszym sposobem po prostu przekonwertuj wyrażenie na wyrażenie z potęgą ułamkową. Jeśli ułamek nie zostanie zmniejszony, to taka odpowiedź będzie, pod warunkiem, że nie zostanie przydzielony pierwiastek podanej liczby.

Potęgowanie liczby zespolonej

Co to jest liczba zespolona? Liczba zespolona to wyrażenie, które ma formułę a + b * i; a, b to liczby rzeczywiste. i jest liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje liczbę -1.

Rozważ przykład. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Zapisz się na kurs „Przyspiesz liczenie w pamięci, a NIE arytmetyka w myślach”, aby dowiedzieć się, jak szybko i poprawnie dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić, podnosić liczby do kwadratu, a nawet wypuszczać pierwiastki. W 30 dni nauczysz się korzystać z prostych sztuczek, aby uprościć operacje arytmetyczne. Każda lekcja zawiera nowe techniki, jasne przykłady i przydatne zadania.

Potęgowanie online

Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć potęgowanie liczby do potęgi:

Stopień potęgowania 7

Podnoszenie do władzy zaczyna przekazywać uczniom dopiero w siódmej klasie.

Potęgowanie to operacja ściśle związana z mnożeniem, ta operacja jest wynikiem wielokrotnego mnożenia samej liczby. Przedstawmy wzór: a1 * a2 * … * an=an .

Na przykład, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Przykłady rozwiązań:

Prezentacja potęgowania

Prezentacja na temat potęgowania, przeznaczona dla siódmoklasistów. Prezentacja może wyjaśnić pewne niezrozumiałe punkty, ale prawdopodobnie dzięki naszemu artykułowi takich punktów nie będzie.

Wynik

Wzięliśmy pod uwagę tylko wierzchołek góry lodowej, aby lepiej zrozumieć matematykę - zapisz się na nasz kurs: Przyspiesz arytmetykę mentalną - NIE arytmetykę mentalną.

Na kursie nauczysz się nie tylko dziesiątek trików uproszczonego i szybkiego mnożenia, dodawania, mnożenia, dzielenia, obliczania procentów, ale także wypracujesz je w zadaniach specjalnych i grach edukacyjnych! Liczenie umysłowe wymaga również dużej uwagi i koncentracji, które są aktywnie szkolone w rozwiązywaniu ciekawych problemów.

Instrukcja

Jeśli w źródle jest podany w formacie zwykłego ułamka, operację należy wykonać w dwóch krokach. Ich kolejność w żaden sposób nie wpłynie na wynik - zacznij np. od wydobycia z liczby pierwiastka stopnia wskazanego w mianowniku ułamka. Na przykład, aby podnieść do stopień⅔ liczba 64 na tym etapie musi zostać z niego wydobyta: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Podnieś wartość uzyskaną w pierwszym kroku do stopień równa liczbie w liczniku ułamka. Wynik tej operacji będzie wynikiem podniesienia liczby do ułamka stopień. Dla przykładu z poprzedniego kroku cały proces obliczeniowy można zapisać następująco: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Kieruj się prostotą obliczeń przy ustalaniu kolejności operacji opisanych powyżej, wydobywaniu korzenia i podnoszeniu do stopień. Na przykład, jeśli było to wymagane w tym samym stopień⅔ aby podnieść liczbę 8, to zaczynając od wzięcia pierwiastka sześciennego z ośmiu byłoby , ponieważ wynik byłby ułamkiem . W takim przypadku lepiej jest zacząć od 8 do kwadratu, a następnie wziąć trzeci pierwiastek z 64 i w ten sposób uniknąć ułamkowych wartości pośrednich: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Jeśli wykładnik w danych źródłowych jest podany w formacie dziesiętnym, zacznij od przeliczenia go na zwykły ułamek, a następnie postępuj zgodnie z algorytmem opisanym powyżej. Na przykład, aby podnieść liczbę do stopień 0,75 przekształć tę liczbę w zwykły ułamek ¾, a następnie wyodrębnij czwarty pierwiastek i podnieś wynik do sześcianu.

Użyj dowolnego, jeśli przebieg obliczeń nie ma znaczenia, ale ważny jest tylko wynik. Może to być również skrypt osadzony w Wyszukiwarka Google- z jego pomocą Pożądana wartość nawet łatwiej niż przy użyciu standardowego kalkulatora Windows. Na przykład, aby podnieść liczbę 15 do stopień⅗ idź do strona główna witrynę i wpisz 15^(3/5) w polu zapytania. Google wyświetli wynik obliczeń z dokładnością do 8 znaków nawet bez wciśnięcia przycisku wyślij żądanie: 15^ (3/5) = 5.07755639.

Źródła:

jak podnieść do potęgi ułamkowej

Stopień liczby uporządkowane w szkole na lekcjach algebry. W życiu taka operacja jest rzadko wykonywana. Na przykład przy obliczaniu powierzchni kwadratu lub objętości sześcianu stosuje się stopnie, ponieważ długość, szerokość, a dla sześcianu i wysokość są równymi wartościami. W przeciwnym razie potęgowanie ma najczęściej charakter przemysłowy.

Będziesz potrzebować

Papier, długopis, kalkulator inżynierski, tabele stopni, oprogramowanie (na przykład edytor arkuszy kalkulacyjnych Excel).

Instrukcja

Podczas pracy z liczbą ujemną musisz uważać na znaki. Należy pamiętać, że stopień parzysty (n) da znak plus, a nieparzysty znak.
na przykład
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Zero stopni (n = 0) od dowolnego liczby zawsze będzie równy jeden.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Jeśli n = 1, liczba nie musi być mnożona przez samą siebie.
Wola
7^1 = 7
329^1 = 329

Jeśli n = 2, to stopień jest kwadratem, jeśli n = 3, stopień nazywamy sześcianem. Obliczenie kwadratu i sześcianu z liczb pierwszej dziesiątki jest dość łatwe. Ale ze wzrostem liczby podniesiony do potęgi, a wraz ze wzrostem potęgi obliczenia stają się pracochłonne. Do takich obliczeń opracowano specjalne tabele. Istnieją również specjalne kalkulatory inżynieryjne i internetowe, oprogramowanie. Jako najprostsze oprogramowanie do obsługi, możesz użyć edytora arkuszy kalkulacyjnych Excel.

Źródła:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Przy rozwiązywaniu niektórych problemów technicznych może być konieczne obliczenie źródło trzeci stopień. Czasami ta liczba jest również nazywana pierwiastkiem sześciennym. źródło trzeci stopień z danej liczby wywoływana jest taka liczba, której sześcian (trzeci stopień) jest równy danej. To znaczy, jeśli y źródło trzeci stopień liczb x, to musi być spełniony warunek: y?=x (x jest równe sześcianowi y).

Będziesz potrzebować

kalkulator lub komputer

Instrukcja

Liczyć źródło stopień skorzystaj z kalkulatora. Pożądane jest, aby nie był to zwykły kalkulator, ale kalkulator używany do obliczeń inżynierskich. Jednak nawet na tym nie znajdziesz specjalnego przycisku do ekstrakcji korzenia. trzeci stopień. Więc użyj funkcji, aby podnieść liczbę do potęgi. Wydobywanie korzenia trzeci stopień odpowiada podniesieniu do potęgi 1/3 (jedna trzecia).

Aby zwiększyć liczbę do potęgi 1/3, wpisz samą liczbę na klawiaturze kalkulatora. Następnie naciśnij klawisz „potęgowanie”. Taki przycisk, w zależności od typu kalkulatora, może wyglądać jak xy (y - w formie indeksu górnego). Ponieważ większość kalkulatorów nie ma możliwości pracy ze zwykłymi (nie dziesiętnymi) liczbami, zamiast liczby 1/3 wpisz jej przybliżoną wartość: 0,33. Aby uzyskać większą dokładność obliczeń, konieczne jest zwiększenie liczby „trójek”, na przykład numer 0.333333333333333. Następnie naciśnij przycisk „=”.

Liczyć źródło trzeci stopień na , użyj standardowego kalkulatora Windows. Procedura jest całkowicie podobna do opisanej w poprzednim akapicie instrukcji. Jedyną rzeczą są przyciski potęgowania. Na kalkulatorze „komputerowym” wygląda to tak: x ^ y.

Jeśli źródło trzeci stopień Jeśli musisz robić to systematycznie, skorzystaj z MS Excel. Liczyć źródło trzeci stopień w Excelu wpisz znak „=” w dowolnej komórce, a następnie wybierz „fx” - wstaw funkcję. W wyświetlonym oknie na liście „Wybierz funkcję” wybierz wiersz „STOPIEŃ”. Kliknij przycisk OK. W nowo pojawiającym się oknie wpisz w wierszu „Numer” wartość numeru, z którego chcesz wyodrębnić źródło. W wierszu „Stopień” wpisz liczbę „1/3” i kliknij „OK”. W tabeli pojawi się żądana wartość pierwiastka sześciennego z oryginalnej liczby.

W obliczeniach technicznych i przy rozwiązywaniu wielu problemów czasami jest to wymagane źródło, czyli znajdź liczbę, której sześcian jest równy oryginalnej. Kalkulator inżynierski wystarczy, aby obliczyć wartość pierwiastka sześciennego. Jednak nawet na takim kalkulatorze nie ma specjalnego klucza do obliczania pierwiastka sześciennego. Ale używając kilku prostych sztuczek, możesz obejść się bez takiego przycisku.

Będziesz potrzebować

kalkulator inżynierski lub komputer

Instrukcja

Aby znaleźć pierwiastek sześcienny za pomocą kalkulatora, weź numer inżynierski i wpisz na nim oryginalną liczbę. Następnie kliknij przycisk potęgowania. Teraz wprowadź wartość wskaźnika. W tym przypadku powinien (teoretycznie) być równy 1/3. Ale ponieważ użycie zwykłych ułamków nawet na kalkulatorze inżynierskim jest trudne, wpisz zaokrągloną wartość liczby 1/3, czyli: 0,33. Następnie kliknij przycisk „=”. Żądana wartość pojawi się na wskaźniku kalkulatora. Aby uzyskać więcej Dokładna wartość, wybierz nie dwie trójki, ale na przykład 0.3333333333333.

Aby obliczyć pierwiastek sześcienny na komputerze, uruchom program kalkulatora. Jeśli odpowiedniej ikony nie ma na pulpicie, wykonaj następujące czynności:
- naciśnij przycisk „Start”;
- wybierz pozycję menu "Uruchom";
- w oknie, które się pojawi, wpisz wiersz „calc” Jeśli kalkulator, który pojawia się na pulpicie ma normalny wygląd (przypominający „kalkulator księgowy”), przełącz go w tryb obliczania. Aby to zrobić, wybierz wiersz „Widok” i wybierz pozycję „Inżynieria” Teraz wprowadź numer, z którego chcesz wyodrębnić korzeń kostki. Następnie naciśnij przycisk "x^y" na kalkulatorze. Następnie wybierz , na przykład 0.33. Aby uzyskać dokładniejszy wynik, możesz wpisać większą wartość wykładnika, na przykład 0,3333333333333. Aby uzyskać dokładny wynik, wprowadź wykładnik „1/3” w nawiasach. Oznacza to, że naciskaj kolejno klawisze „(1/3)”.

Obliczenia w Excelu. Uruchom sam program, naciśnij przycisk „=” i wybierz funkcję „STOPIEŃ”. Następnie wprowadź liczbę, z której chcesz wyodrębnić pierwiastek stopnia. Następnie w następnym oknie, które się pojawi, wpisz ułamek „1/3” i kliknij przycisk „OK”.

Powiązane wideo

Źródła:

jak obliczyć korzenie kostki

Przy rozwiązywaniu problemów arytmetycznych i algebraicznych czasami wymagane jest budowanie frakcja w kwadrat. Najłatwiej to zrobić, gdy frakcja dziesiętny - wystarczy zwykły kalkulator. Jeśli jednak frakcja zwykłą lub mieszaną, to przy podniesieniu takiej liczby do kwadrat mogą pojawić się pewne trudności.

Ustaliliśmy, jaki jest ogólny stopień liczby. Teraz musimy zrozumieć, jak poprawnie to obliczyć, tj. podnieść liczby do potęgi. W tym materiale przeanalizujemy podstawowe zasady obliczania stopnia w przypadku wykładnika całkowitego, naturalnego, ułamkowego, wymiernego i niewymiernego. Wszystkie definicje zostaną zilustrowane przykładami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojęcie potęgowania

Zacznijmy od sformułowania podstawowych definicji.

Definicja 1

Potęgowanie jest obliczeniem wartości potęgi pewnej liczby.

Oznacza to, że słowa „obliczanie wartości stopnia” i „potęgowanie” oznaczają to samo. Jeśli więc zadaniem jest „Podnieś liczbę 0 , 5 do potęgi piątej”, należy to rozumieć jako „oblicz wartość potęgi (0 , 5) 5 .

Teraz podajemy podstawowe zasady, których należy przestrzegać w takich obliczeniach.

Przypomnij sobie, jaka jest potęga liczby z wykładnikiem naturalnym. Dla potęgi o podstawie a i wykładniku n będzie to iloczyn n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy a. Można to napisać tak:

Aby obliczyć wartość stopnia, musisz wykonać operację mnożenia, czyli pomnożyć podstawy stopnia określoną liczbę razy. Samo pojęcie stopnia z naturalnym wskaźnikiem opiera się na umiejętności szybkiego mnożenia. Podajmy przykłady.

Przykład 1

Warunek: Podnieś - 2 do potęgi 4 .

Decyzja

Korzystając z powyższej definicji, piszemy: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Następnie wystarczy wykonać te kroki i uzyskać 16 .

Weźmy bardziej skomplikowany przykład.

Przykład 2

Oblicz wartość 3 2 7 2

Decyzja

Ten wpis można przepisać jako 3 2 7 · 3 2 7 . Wcześniej przyjrzeliśmy się, jak poprawnie pomnożyć liczby mieszane wymienione w warunku.

Wykonaj poniższe czynności i uzyskaj odpowiedź: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jeśli zadanie wskazuje na potrzebę podniesienia liczb niewymiernych do potęgi naturalnej, będziemy musieli najpierw zaokrąglić ich podstawy do cyfry, która pozwoli nam uzyskać odpowiedź o pożądanej dokładności. Weźmy przykład.

Przykład 3

Wykonaj podniesienie do kwadratu liczby π .

Decyzja

Zaokrąglijmy najpierw do setnych. Wtedy π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jeżeli π ≈ 3 . 14159, wtedy otrzymamy dokładniejszy wynik: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Należy zauważyć, że potrzeba obliczania potęg liczb niewymiernych w praktyce pojawia się stosunkowo rzadko. Możemy następnie zapisać odpowiedź jako samą potęgę (ln 6) 3 lub przekonwertować, jeśli to możliwe: 5 7 = 125 5 .

Osobno należy wskazać, jaka jest pierwsza potęga liczby. Tutaj możesz tylko pamiętać, że każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi pozostanie sama:

To jasno wynika z zapisów. .

Nie zależy to od stopnia.

Przykład 4

Zatem (− 9) 1 = − 9 , a 7 3 podniesione do pierwszej potęgi pozostaje równe 7 3 .

Dla wygody przeanalizujemy osobno trzy przypadki: czy wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą, czy jest równy zero i czy jest ujemną liczbą całkowitą.

W pierwszym przypadku jest to równoznaczne z podniesieniem do potęgi naturalnej: w końcu liczby całkowite dodatnie należą do zbioru liczb naturalnych. Opisaliśmy już jak pracować z takimi stopniami powyżej.

Zobaczmy teraz, jak prawidłowo podnieść do zerowej mocy. Przy podstawie, która jest niezerowa, to obliczenie zawsze daje wynik 1 . Wyjaśniliśmy wcześniej, że 0 potęgę a można zdefiniować dla dowolnego prawdziwy numer, nie równe 0 , a 0 = 1 .

Przykład 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - niezdefiniowane.

Pozostaje nam tylko przypadek stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym. Omówiliśmy już, że takie stopnie można zapisać jako ułamek 1 a z, gdzie a jest dowolną liczbą, a z jest ujemną liczbą całkowitą. Widzimy, że mianownik tego ułamka to nic innego jak zwykły stopień z dodatnią liczbą całkowitą i już nauczyliśmy się go obliczać. Podajmy przykłady zadań.

Przykład 6

Podnieś 3 do potęgi -2.

Decyzja

Korzystając z powyższej definicji piszemy: 2 - 3 = 1 2 3

Obliczamy mianownik tej frakcji i otrzymujemy 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Wtedy odpowiedź brzmi: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Przykład 7

Podnieś 1, 43 do potęgi -2.

Decyzja

Przeformułuj: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Obliczamy kwadrat w mianowniku: 1,43 1,43. Ułamki dziesiętne można mnożyć w ten sposób:

W rezultacie otrzymaliśmy (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Pozostaje nam napisać ten wynik w postaci zwykłego ułamka, dla którego konieczne jest pomnożenie go przez 10 tysięcy (patrz materiał dotyczący konwersji ułamków).

Odpowiedź: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Osobnym przypadkiem jest podnoszenie liczby do minus pierwszej potęgi. Wartość takiego stopnia jest równa liczbie przeciwnej do pierwotnej wartości podstawy: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Przykład 8

Przykład: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Jak podnieść liczbę do potęgi ułamkowej

Aby wykonać taką operację, musimy przypomnieć podstawową definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym: a m n \u003d a m n dla dowolnego dodatniego a, liczby całkowitej m i naturalnego n.

Definicja 2

Zatem obliczenie stopnia ułamkowego musi być wykonane w dwóch krokach: podniesienie do potęgi całkowitej i znalezienie pierwiastka n-tego stopnia.

Mamy równość a m n = a m n , która, biorąc pod uwagę właściwości pierwiastków, jest zwykle używana do rozwiązywania problemów w postaci a m n = a n m . Oznacza to, że jeśli podnosimy liczbę a do potęgi ułamkowej m/n, to najpierw wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z a, a następnie podnosimy wynik do potęgi o wykładniku całkowitym m.

Zilustrujmy przykładem.

Przykład 9

Oblicz 8 - 2 3 .

Decyzja

Metoda 1. Zgodnie z podstawową definicją możemy to przedstawić jako: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Teraz obliczmy stopień pod pierwiastkiem i wyodrębnijmy trzeci pierwiastek z wyniku: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Przekształćmy podstawową równość: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Następnie wyciągamy pierwiastek 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i podwajamy wynik: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Widzimy, że rozwiązania są identyczne. Możesz używać w dowolny sposób.

Zdarzają się przypadki, gdy stopień ma wskaźnik wyrażony jako liczba mieszana lub ułamek dziesiętny. Dla ułatwienia obliczeń lepiej jest zastąpić go zwykłym ułamkiem i policzyć, jak wskazano powyżej.

Przykład 10

Podbij 44,89 do potęgi 2,5.

Decyzja

Przeliczmy wartość wskaźnika na zwykły ułamek - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

A teraz wykonujemy wszystkie czynności wskazane powyżej w kolejności: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Odpowiedź: 13501, 25107.

Jeśli licznik i mianownik wykładnika ułamkowego to duże liczby, to obliczenie takich potęg za pomocą racjonalne wskaźniki- dość trudna praca. Zwykle wymaga technologii komputerowej.

Osobno zajmujemy się stopniem o podstawie zerowej i wykładniku ułamkowym. Wyrażeniu postaci 0 m n można nadać następujące znaczenie: jeśli m n > 0, to 0 m n = 0 m n = 0 ; jeśli m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Jak podnieść liczbę do irracjonalnej potęgi?

Konieczność obliczania wartości stopnia, we wskaźniku którego występuje liczba niewymierna, nie pojawia się tak często. W praktyce zadanie ogranicza się zwykle do obliczenia przybliżonej wartości (do określonej liczby miejsc po przecinku). Jest to zwykle obliczane na komputerze ze względu na złożoność takich obliczeń, więc nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, wskażemy tylko główne przepisy.

Jeśli musimy obliczyć wartość stopnia a z niewymiernym wykładnikiem a , to bierzemy dziesiętne przybliżenie wykładnika i od niego liczymy. Wynik będzie przybliżoną odpowiedzią. Im dokładniejsze przybliżenie dziesiętne, tym dokładniejsza odpowiedź. Pokażmy na przykładzie:

Przykład 11

Oblicz przybliżoną wartość 21 , 174367 ....

Decyzja

Ograniczamy się do przybliżenia dziesiętnego a n = 1 , 17 . Zróbmy obliczenia używając tej liczby: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jeśli weźmiemy na przykład przybliżenie a n = 1 , 1743 , to odpowiedź będzie nieco dokładniejsza: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Będziesz potrzebować

kalkulator, komputer, aplikacja Excel.

Instrukcja

Aby podnieść ułamek dziesiętny frakcja w kwadrat, weź inżynierski, wybierz, jak jest wbudowywany kwadrat frakcja i naciśnij klawisz potęgowania. W większości kalkulatorów ten przycisk jest oznaczony jako „x²”. Na standardowym kalkulatorze Windows podniesienie do kwadrat wygląda jak „x^2”. Na przykład, kwadrat ułamek dziesiętny 3,14 będzie równy: 3,14² = 9,8596.

Podnieść się do kwadrat dziesiętny frakcja na zwykłym kalkulatorze (księgowym) pomnóż tę liczbę przez samą. Nawiasem mówiąc, w niektórych modelach kalkulatorów możliwe jest podniesienie liczby do kwadrat nawet jeśli nie ma dedykowanego przycisku. Dlatego najpierw przeczytaj instrukcje dotyczące konkretnego kalkulatora. Czasami na tylnej okładce lub na kalkulatorze podawane są „podchwytliwe” wykładniki. Na przykład w wielu kalkulatorach do podnoszenia liczby do kwadrat wystarczy nacisnąć przyciski „x” i „=”.

Do erekcji w kwadrat zwykły ułamek (składający się z licznika i mianownika), podnieść do kwadrat oddzielnie licznik i mianownik tego ułamka. To znaczy, użyj następującej zasady: (h / z)² = h² / z², gdzie h jest licznikiem ułamka, z jest mianownikiem ułamka Przykład: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Jeśli wzniesiony w kwadrat frakcja- mieszany (składa się z części całkowitej i zwykłego ułamka), a następnie najpierw doprowadź do zwyczajny wygląd. Oznacza to, że zastosuj następujący wzór: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², gdzie ts jest całkowitą częścią ułamek mieszany Przykład: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Jeśli w kwadrat(nie) ułamki są stałe, użyj MS Excel. Aby to zrobić, wprowadź następującą formułę do jednej z tabel: \u003d STOPIEŃ (A2; 2) gdzie A2 to adres komórki, do której zostanie wprowadzona podnoszona wartość kwadrat frakcja.Aby powiedzieć programowi, że numer wejściowy powinien być traktowany jako frakcja yu (tzn. nie konwertuj na dziesiętny), wpisz przed frakcja cyfra „0” i znak „spacja”. To znaczy, aby wprowadzić na przykład ułamek 2/3, musisz wpisać: „0 2/3” (i nacisnąć Enter). W takim przypadku wiersz wprowadzania wyświetli dziesiętną reprezentację wprowadzonego ułamka. Wartość i reprezentacja ułamka bezpośrednio w zostaną zachowane w swojej pierwotnej formie. Ponadto, przy użyciu funkcje matematyczne, którego argumenty są zwykłymi ułamkami, wynik będzie również reprezentowany jako zwykły ułamek. Stąd kwadrat frakcja 2/3 będzie reprezentowana jako 4/9.