Dodawanie ujemnych korzeni. Co to są pierwiastki kwadratowe i jak się sumują?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są silni „nie bardzo. »
I dla tych, którzy „bardzo wyrównani. "")

W poprzedniej lekcji dowiedzieliśmy się, czym jest pierwiastek kwadratowy. Czas dowiedzieć się, jakie są formuły na korzenie, czym są właściwości korzenia i co można z tym wszystkim zrobić.

Formuły korzeni, właściwości korzeni i reguły działań z korzeniami są zasadniczo tym samym. Istnieje zaskakująco mało wzorów na pierwiastki kwadratowe. Co oczywiście się podoba! Raczej można napisać wiele różnych formuł, ale tylko trzy wystarczą do praktycznej i pewnej pracy z pierwiastkami. Wszystko inne wypływa z tych trzech. Chociaż wielu błądzi w trzech formułach korzeni, tak.

Zacznijmy od najprostszego. Tutaj jest:

Przypominam (z poprzedniej lekcji): a i b są liczbami nieujemnymi! W przeciwnym razie formuła nie ma sensu.

To jest własność korzeni , jak widać, proste, krótkie i nieszkodliwe. Ale dzięki tej formule korzeniowej możesz zrobić wiele przydatnych rzeczy! Przyjrzyjmy się przykłady wszystkie te przydatne rzeczy.

Przydatna rzecz pierwszy. Ta formuła pozwala nam pomnóż korzenie.

Jak rozmnażać korzenie?

Tak, bardzo proste. Prosto do formuły. Na przykład:

Wydawałoby się, że się pomnożyły, więc co z tego? Czy jest dużo radości? Zgadzam się trochę. Ale jak ci się to podoba? przykład?

Korzenie nie są dokładnie wyodrębniane z czynników. A wynik jest świetny! Już lepiej, prawda? Na wszelki wypadek poinformuję Cię, że mnożników może być tyle, ile chcesz. Formuła mnożenia pierwiastków nadal działa. Na przykład:

Tak więc przy mnożeniu wszystko jest jasne, dlaczego jest to potrzebne własność korzeni- jest również zrozumiałe.

Przydatna rzecz druga. Wprowadzanie liczby pod znakiem korzenia.

Jak wpisać liczbę pod korzeniem?

Powiedzmy, że mamy to wyrażenie:

Czy da się ukryć dwójkę w korzeniu? Łatwo! Jeśli zrobisz korzeń z dwóch, zadziała wzór na pomnożenie korzeni. A jak zrobić korzeń z dwójki? Tak, to też nie jest pytanie! Podwójna jest pierwiastek kwadratowy z czterech!

Nawiasem mówiąc, korzeń można utworzyć z dowolnej liczby nieujemnej! Będzie to pierwiastek kwadratowy z kwadratu tej liczby. 3 jest pierwiastkiem z 9. 8 jest pierwiastkiem z 64. 11 jest pierwiastkiem z 121. Cóż, i tak dalej.

Oczywiście nie ma potrzeby malowania w takich szczegółach. Z wyjątkiem na początek. Wystarczy zdać sobie sprawę, że pod pierwiastek można umieścić dowolną liczbę nieujemną pomnożoną przez pierwiastek. Ale nie zapomnij! - pod korzeniem ta liczba stanie się kwadrat samego siebie. Tę czynność - wpisanie liczby pod korzeń - można również nazwać mnożeniem liczby przez pierwiastek. Ogólnie można napisać:

Jak widać, proces jest prosty. Dlaczego jest potrzebna?

Jak każda transformacja, ta procedura rozszerza nasze możliwości. Szanse na zmianę okrutnego i niewygodnego wyrazu w miękki i puszysty). Oto prosty dla Ciebie przykład:

Jak widzisz właściwość główna, co umożliwia wprowadzenie czynnika pod znakiem korzenia, jest całkiem odpowiednie dla uproszczenia.

Dodatkowo dodanie mnożnika pod pierwiastek ułatwia i ułatwia porównywanie wartości różnych pierwiastków. Bez kalkulacji i kalkulatora! Trzecia przydatna rzecz.

Jak porównać korzenie?

Ta umiejętność jest bardzo ważna w solidnych misjach, przy odblokowywaniu modułów i innych fajnych rzeczach.

Porównaj te wyrażenia. Który jest więcej? Bez kalkulatora! Każdy z kalkulatorem. uh-uh. Krótko mówiąc, każdy może to zrobić!)

Nie mówisz tego od razu. A jeśli wpiszesz liczby pod znakiem korzenia?

Pamiętaj (nagle nie wiedziałeś?): jeśli liczba pod znakiem korzenia jest większa, to sam korzeń jest większy! Stąd od razu poprawna odpowiedź, bez skomplikowanych obliczeń i obliczeń:

To świetnie, prawda? Ale to nie wszystko! Przypomnij sobie, że wszystkie formuły działają zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. Do tej pory używaliśmy wzoru na mnożenie korzeni od lewej do prawej. Uruchommy tę właściwość root od tyłu, od prawej do lewej. Lubię to:

A jaka jest różnica? Czy to ci coś daje!? Na pewno! Teraz sam się przekonasz.

Załóżmy, że musimy wydobyć (bez kalkulatora!) pierwiastek kwadratowy z liczby 6561. Niektórzy ludzie na tym etapie będą mieli nierówną walkę z zadaniem. Ale jesteśmy uparci, nie poddajemy się! Przydatna rzecz czwarta.

Jak wydobyć korzenie z dużych ilości?

Przypominamy formułę wyciągania korzeni z produktu. Ten, który zamieściłem powyżej. Ale gdzie jest nasza praca? Mamy ogromną liczbę 6561 i tyle. Tak, nie ma sztuki. Ale jeśli tego potrzebujemy, my Zróbmy! Rozłóżmy tę liczbę na czynniki. Mamy prawo.

Najpierw zastanówmy się, przez co dokładnie ta liczba jest podzielna? Co, nie wiesz!? Zapomniałeś o znakach podzielności!? Na próżno. Iść do Sekcja specjalna 555, temat to „Ułamki”, oto one. Ta liczba jest podzielna przez 3 i 9. Ponieważ suma cyfr (6+5+6+1=18) jest podzielna przez te liczby. To jeden ze znaków podzielności. Nie musimy dzielić przez trzy (teraz zrozumiesz dlaczego), ale podzielimy przez 9. Przynajmniej w kącie. Otrzymujemy 729. Więc znaleźliśmy dwa czynniki! Pierwsza to dziewiątka (sami ją wybraliśmy), a druga to 729 (tak się okazało). Możesz już napisać:

Masz pomysł? Zróbmy to samo z liczbą 729. Jest również podzielna przez 3 i 9. Znowu nie dzielimy przez 3, dzielimy przez 9. Otrzymujemy 81. I znamy tę liczbę! Zapisujemy:

Wszystko okazało się proste i eleganckie! Korzeń trzeba było usuwać kawałek po kawałku, no dobrze. Można to zrobić dowolnym duże liczby. Pomnóż je i idź!

A tak przy okazji, dlaczego nie musiałeś dzielić przez 3, zgadłeś? Tak, ponieważ pierwiastek z trzech nie jest dokładnie wyodrębniony! Rozłożenie na takie czynniki ma sens, aby przynajmniej jeden korzeń można było dobrze wydobyć. To 4, 9, 16 i tak dalej. Widzisz, podziel swoją ogromną liczbę przez te liczby po kolei, i masz szczęście!

Ale niekoniecznie. Może nie miał szczęścia. Załóżmy, że liczba 432, po rozłożeniu na czynniki i przy użyciu wzoru pierwiastka dla produktu, da następujący wynik:

No dobrze. I tak uprościliśmy wyrażenie. W matematyce zwyczajowo zostawia się najwięcej mały numer z możliwych. W procesie rozwiązywania wszystko zależy od przykładu (może wszystko jest redukowane bez uproszczenia), ale w odpowiedzi konieczne jest podanie wyniku, którego nie można dalej uprościć.

Przy okazji, czy wiesz, co zrobiliśmy teraz z korzeniem 432?

My wyjęte czynniki spod znaku korzenia ! Tak nazywa się ta operacja. A potem zadanie upadnie - ” usuń czynnik spod znaku korzenia„Ale mężczyźni nawet nie wiedzą.) Oto inne zastosowanie dla ciebie właściwości korzenia. Przydatna rzecz piąta.

Jak wyjąć mnożnik spod korzenia?

Łatwo. Podziel wyrażenie na czynniki pierwsze i wyodrębnij wyodrębnione korzenie. Patrzymy:

Nic nadprzyrodzonego. Ważne jest, aby wybrać odpowiednie mnożniki. Tutaj zdekomponowaliśmy 72 jako 36 2. I wszystko potoczyło się dobrze. Albo mogliby to rozłożyć inaczej: 72 = 6 12. Więc co!? Ani z 6, ani z 12 nie wydobywa się korzenia. Co robić?!

W porządku. Lub poszukaj innych opcji rozkładu lub kontynuuj układanie wszystkiego do końca! Lubię to:

Jak widać, wszystko się udało. Swoją drogą nie jest to najszybszy, ale najbardziej niezawodny sposób. Rozłóż liczbę na najmniejsze czynniki, a następnie zbierz te same w stosy. Metodę z powodzeniem stosuje się również przy rozmnażaniu niewygodnych korzeni. Na przykład musisz obliczyć:

Pomnóż wszystko - otrzymasz szaloną liczbę! A potem jak wydobyć z niego korzeń?! Znowu pomnożyć? Nie, nie potrzebujemy dodatkowej pracy. Natychmiast rozkładamy na czynniki i zbieramy to samo w stosy:

To wszystko. Oczywiście nie trzeba układać się do końca. Wszystko zależy od twoich osobistych zdolności. Doprowadził przykład do stanu, w którym wszystko jest dla ciebie jasne więc możesz już liczyć. Najważniejsze, żeby nie popełniać błędów. Nie człowiek dla matematyki, ale matematyka dla człowieka!)

Zastosujmy wiedzę do praktyki? Zacznijmy od prostego:

Zasada dodawania pierwiastków kwadratowych

Własności pierwiastków kwadratowych

Do tej pory wykonaliśmy pięć operacji arytmetycznych na liczbach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie oraz różne właściwości tych operacji były aktywnie wykorzystywane w obliczeniach, na przykład a + b = b + a, i n -b n = (ab) n itp.

Ten rozdział wprowadza nową operację - wyciąganie pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej. Aby z powodzeniem z niego korzystać, musisz zapoznać się z właściwościami tej operacji, co zrobimy w tej sekcji.

Dowód. Wprowadźmy następującą notację:
Musimy udowodnić, że dla liczb nieujemnych x, y, z równość x = yz jest prawdziwa.

Więc x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Następnie x 2 \u003d y 2 z 2, tj. x 2 \u003d (yz) 2.

Jeśli kwadraty dwie nieujemne liczby są równe, to same liczby są równe, co oznacza, że z równości x 2 \u003d (yz) 2 wynika, że x \u003d yz i trzeba to udowodnić.

Podajemy krótki zapis dowodu twierdzenia:

Uwaga 1. Twierdzenie pozostaje ważne w przypadku, gdy radykalne wyrażenie jest iloczynem więcej niż dwóch nieujemnych czynników.

Uwaga 2. Twierdzenie 1 można napisać za pomocą „jeśli. , wtedy” (jak to jest zwykle w przypadku twierdzeń matematycznych). Podajemy odpowiednie sformułowanie: jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, to równość .

W ten sposób formułujemy następujące twierdzenie.

(Krótka formuła wygodniejsza w praktyce: korzeń frakcji) równy ułamkowi od pierwiastków lub korzeń ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.)

Tym razem podamy tylko krótki zapis dowodu i można spróbować poczynić odpowiednie komentarze podobne do tych, które stanowiły istotę dowodu Twierdzenia 1.

Przykład 1. Oblicz .
Decyzja. Korzystanie z pierwszej właściwości pierwiastki kwadratowe(Twierdzenie 1), otrzymujemy

Uwaga 3. Oczywiście ten przykład można rozwiązać w inny sposób, zwłaszcza jeśli masz pod ręką kalkulator: pomnóż liczby 36, 64, 9, a następnie wyciągnij pierwiastek kwadratowy z otrzymanego iloczynu. Zgodzisz się jednak, że proponowane powyżej rozwiązanie wygląda bardziej kulturowo.

Uwaga 4. W pierwszej metodzie przeprowadziliśmy obliczenia czołowe. Drugi sposób jest bardziej elegancki:
zastosowaliśmy formuła a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) i wykorzystał właściwość pierwiastków kwadratowych.

Uwaga 5. Niektórzy „pasjonaci” czasami oferują następujące „rozwiązanie” przykładu 3:

To oczywiście nieprawda: widzisz - wynik nie jest taki sam jak w naszym przykładzie 3. Faktem jest, że nie ma właściwości jak nie i właściwości Istnieją tylko własności dotyczące mnożenia i dzielenia pierwiastków kwadratowych. Bądź ostrożny i ostrożny, nie bierz pobożnych życzeń.

Przykład 4. Oblicz: a)
Decyzja. Każda formuła w algebrze jest używana nie tylko „od prawej do lewej”, ale także „od lewej do prawej”. Tak więc pierwsza własność pierwiastków oznacza, że w razie potrzeby można ją przedstawić jako , i odwrotnie, co można zastąpić wyrażeniem. To samo dotyczy drugiej własności pierwiastków. Mając to na uwadze, rozwiążmy proponowany przykład.

Na zakończenie tego rozdziału zwracamy uwagę na jeszcze jeden, dość prosty i jednocześnie ważna własność:
jeśli a > 0 i n - Liczba naturalna , następnie

Przykład 5 Oblicz , bez korzystania z tabeli liczb i kalkulatora.

Decyzja. Rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze:

Uwaga 6. Ten przykład można rozwiązać w taki sam sposób, jak podobny przykład w § 15. Łatwo zgadnąć, że odpowiedź będzie brzmiała „80 z ogonem”, ponieważ 80 2 2 . Znajdźmy „ogon”, czyli ostatnią cyfrę żądanej liczby. Do tej pory wiemy, że jeśli wydobyty zostanie korzeń, to odpowiedzią może być 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 lub 89. Należy sprawdzić tylko dwie liczby: 84 i 86, ponieważ tylko one, po podniesieniu do kwadratu daje wynik czterocyfrowy liczba kończąca się na 6, czyli ta sama cyfra, która kończy się liczbą 7056. Mamy 84 2 \u003d 7056 - tego potrzebujemy. Znaczy,

Mordkovich A.G., Algebra. Klasa 8: Proc. dla kształcenia ogólnego instytucje - wyd. 3, sfinalizowany. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: ch.

Książki, podręczniki do matematyki do pobrania, abstrakty, aby pomóc nauczycielowi i uczniom w nauce online

Jeśli masz poprawki lub sugestie dotyczące tej lekcji, napisz do nas.

Jeśli chcesz zobaczyć inne poprawki i sugestie lekcji, zajrzyj tutaj - Forum Edukacyjne.

Jak dodać pierwiastki kwadratowe

Pierwiastek kwadratowy z liczby X zadzwonił pod numer A, który w procesie samorzutnego rozmnażania się ( A*A) może podać liczbę X.
Tych. A * A = A 2 = X, oraz √X = A.

Ponad pierwiastkami kwadratowymi ( x), podobnie jak w przypadku innych liczb, można wykonywać operacje arytmetyczne, takie jak odejmowanie i dodawanie. Aby odjąć i dodać pierwiastki, należy je połączyć za pomocą znaków odpowiadających tym czynnościom (na przykład x - y ).
A potem przynieś im korzenie najprostsza forma- jeśli są między nimi podobne, konieczne jest wykonanie odlewu. Polega ona na tym, że brane są współczynniki wyrazów podobnych ze znakami wyrazów odpowiadających, następnie są one ujęte w nawiasy, a pierwiastek wspólny jest wyświetlany poza nawiasami mnożnikowymi. Otrzymany przez nas współczynnik jest uproszczony zgodnie ze zwykłymi zasadami.

Krok 1. Wyodrębnianie pierwiastków kwadratowych

Po pierwsze, aby dodać pierwiastki kwadratowe, najpierw musisz je wyodrębnić. Można to zrobić, jeśli liczby pod znakiem pierwiastka są idealnymi kwadratami. Na przykład weź podane wyrażenie √4 + √9 . Pierwsza liczba 4 jest kwadratem liczby 2 . Druga liczba 9 jest kwadratem liczby 3 . W ten sposób można uzyskać następującą równość: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Wszystko, przykład jest rozwiązany. Ale nie zawsze tak się dzieje.

Krok 2. Wyjmowanie mnożnika liczby spod korzenia

Jeśli pod pierwiastkiem nie ma pełnych kwadratów, możesz spróbować wyjąć mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Weźmy na przykład wyrażenie √24 + √54 .

Rozłóżmy liczby na czynniki:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Na liście 24 mamy mnożnik 4 , można go wyjąć spod znaku pierwiastka kwadratowego. Na liście 54 mamy mnożnik 9 .

Otrzymujemy równość:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Rozważając ten przykład, otrzymujemy usunięcie czynnika spod znaku pierwiastka, tym samym upraszczając dane wyrażenie.

Krok 3. Zmniejszenie mianownika

Rozważmy następującą sytuację: suma dwóch pierwiastków kwadratowych jest mianownikiem ułamka, na przykład A / (√a + √b).
Teraz stoimy przed zadaniem „pozbywania się irracjonalności w mianowniku”.
Użyjmy następującej metody: pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie a - √b.

Otrzymujemy teraz skróconą formułę mnożenia w mianowniku:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobnie, jeśli mianownik zawiera różnicę pierwiastków: a - √b, licznik i mianownik ułamka mnoży się przez wyrażenie a + √b.

Weźmy jako przykład ułamek:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Przykład złożonej redukcji mianownika

Teraz zastanówmy się wystarczająco złożony przykład pozbycie się irracjonalności w mianowniku.

Weźmy jako przykład ułamek: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Musisz wziąć jego licznik i mianownik i pomnożyć przez wyrażenie √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Krok 4. Oblicz przybliżoną wartość na kalkulatorze

Jeśli potrzebujesz tylko przybliżonej wartości, możesz to zrobić na kalkulatorze, obliczając wartość pierwiastków kwadratowych. Oddzielnie dla każdej liczby wartość jest obliczana i rejestrowana z wymaganą dokładnością, którą określa liczba miejsc po przecinku. Ponadto wszystkie wymagane operacje są wykonywane, podobnie jak w przypadku zwykłych liczb.

Szacunkowy przykład obliczeń

Należy obliczyć przybliżoną wartość tego wyrażenia √7 + √5 .

W rezultacie otrzymujemy:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Uwaga: w żadnym wypadku pierwiastki kwadratowe nie powinny być dodawane jako liczby pierwsze, jest to całkowicie niedopuszczalne. To znaczy, jeśli dodasz pierwiastek kwadratowy z pięciu i trzech, nie możemy uzyskać pierwiastka kwadratowego z ośmiu.

Przydatna rada: jeśli zdecydujesz się na faktoryzację liczby, aby wyprowadzić kwadrat spod znaku pierwiastka, musisz wykonać odwrotną kontrolę, czyli pomnożyć wszystkie czynniki, które wynikają z obliczeń, i końcowy wynik tego obliczenia matematyczne powinny być liczbą, którą otrzymaliśmy pierwotnie.

Działanie z pierwiastkami: dodawanie i odejmowanie

Wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby nie jest jedyną operacją, którą można wykonać za pomocą tego matematycznego zjawiska. Tak jak zwykłe liczby pierwiastki kwadratowe dodawać i odejmować.

Zasady dodawania i odejmowania pierwiastków kwadratowych

Akcje takie jak dodawanie i odejmowanie pierwiastka kwadratowego są możliwe tylko wtedy, gdy wyrażenie pierwiastka jest takie samo.

Możesz dodawać lub odejmować wyrażenia 2 3 i 6 3, ale nie 5 6 oraz 9 4 . Jeśli można uprościć wyrażenie i sprowadzić je do pierwiastków o tym samym numerze pierwiastkowym, uprość, a następnie dodaj lub odejmij.

Akcje rootowania: podstawy

6 50 — 2 8 + 5 12

Uprość wyrażenie root. Aby to zrobić, konieczne jest rozłożenie wyrażenia pierwiastka na 2 czynniki, z których jeden jest liczbą kwadratową (liczba, z której wyodrębniony jest cały pierwiastek kwadratowy, na przykład 25 lub 9).
Następnie musisz wydobyć korzeń z liczba kwadratowa i zapisz wynikową wartość przed znakiem głównym. Zwróć uwagę, że drugi czynnik jest wpisany pod znakiem pierwiastka.
Po uproszczeniu konieczne jest podkreślenie korzeni tymi samymi radykalnymi wyrażeniami - tylko one mogą być dodawane i odejmowane.
W przypadku pierwiastków o tych samych radykalnych wyrażeniach konieczne jest dodanie lub odjęcie czynników poprzedzających znak pierwiastka. Wyrażenie root pozostaje niezmienione. Nie dodawaj ani nie odejmuj liczb głównych!

Jeśli masz przykład z duża ilość identycznych wyrażeń pierwiastkowych, a następnie podkreśl takie wyrażenia pojedynczymi, podwójnymi i potrójnymi liniami, aby ułatwić proces obliczania.

Wypróbujmy ten przykład:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Najpierw musisz rozłożyć 50 na 2 czynniki 25 i 2, następnie wyjmij korzeń z 25, czyli 5, i wyjmij 5 spod pierwiastka. Następnie musisz pomnożyć 5 przez 6 (mnożnik u podstawy) i uzyskać 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Najpierw musisz rozłożyć 8 na 2 czynniki: 4 i 2. Następnie z 4 wyodrębnij korzeń, który jest równy 2, i wyjmij 2 spod korzenia. Następnie musisz pomnożyć 2 przez 2 (współczynnik u podstawy) i uzyskać 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Najpierw musisz rozłożyć 12 na 2 czynniki: 4 i 3. Następnie wydobyć korzeń z 4, czyli 2, i wyjąć go spod korzenia. Następnie musisz pomnożyć 2 przez 5 (współczynnik u podstawy) i uzyskać 10 3 .

Wynik uproszczenia: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

W rezultacie zobaczyliśmy, ile identycznych wyrażeń radykalnych jest zawartych w ten przykład. Teraz poćwiczmy z innymi przykładami.

Uprość (45) . Faktoryzujemy 45: (45) = (9 × 5) ;
Wyciągamy 3 spod korzenia (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Dodajemy czynniki u pierwiastków: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Uproszczenie 6 40 . Faktoryzujemy 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Wyciągamy 2 spod korzenia (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Mnożymy czynniki, które są przed pierwiastkiem: 12 10;
Wyrażenie zapisujemy w uproszczonej formie: 12 10 - 3 10 + 5;
Ponieważ pierwsze dwa wyrazy mają te same liczby pierwiastkowe, możemy je odjąć: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Jak widać, nie można uprościć liczb rodnikowych, więc szukamy prętów o tych samych liczbach rodnikowych w przykładzie, wykonujemy operacje matematyczne (dodawanie, odejmowanie itp.) i zapisujemy wynik:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Porada:

Przed dodaniem lub odjęciem konieczne jest uproszczenie (jeśli to możliwe) radykalnych wyrażeń.
Dodawanie i odejmowanie korzeni z różnymi wyrażeniami korzeni jest surowo zabronione.
Nie dodawaj ani nie odejmuj liczby całkowitej ani pierwiastka kwadratowego: 3 + (2 x) 1 / 2 .
Wykonując akcje z ułamkami, musisz znaleźć liczbę, która jest całkowicie podzielna przez każdy mianownik, a następnie sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a następnie dodać liczniki i pozostawić mianowniki bez zmian.

Własności arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Potęga arytmetycznego pierwiastka kwadratowego

Konwersja arytmetycznych pierwiastków kwadratowych. Konwersja arytmetycznych pierwiastków kwadratowych

Wydobywać pierwiastek kwadratowy z wielomianu, konieczne jest obliczenie wielomianu i wyodrębnienie pierwiastka z otrzymanej liczby.

Uwaga! Nie można wyodrębnić pierwiastka z każdego wyrazu (zmniejszonego i odjętego) osobno.

Szczob wygra pierwiastek kwadratowy z wielomianu, wymagane jest obliczenie wyrazu bogatego i wyciągnięcie pierwiastka z odjętej liczby.

Szacunek! Nie da się wydobyć korzenia z suplementu skóry (zmienionego i widocznego) OKremo.

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z produktu (iloraz), możesz obliczyć pierwiastek kwadratowy z każdego czynnika (dywidendy i dzielnika) i wziąć otrzymane wartości przez iloczyn (iloraz).

Wygrać pierwiastek kwadratowy z dobutki (części), możesz obliczyć pierwiastek kwadratowy z mnożnika skóry (dzielone i dilnik) i usunąć wartość, biorąc dodatkowy (częsty).

Aby wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z ułamka, należy wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z licznika i mianownika osobno i pozostawić otrzymane wartości jako ułamek lub obliczyć jako iloraz (jeśli to możliwe według warunku).

Aby wygrać pierwiastek kwadratowy z ułamka, wymagane jest wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z księgi liczb i sztandaru okremo i pozbawienie wartości ułamka z ułamkiem lub policzenie go jako części (jak jest to możliwe dla umysłu).

Faktor można wyjąć spod znaku pierwiastka i wprowadzić faktor pod znakiem pierwiastka. Kiedy czynnik jest usuwany, wyciąga się z niego korzeń, a po wprowadzeniu podnosi się go do odpowiedniej potęgi.

Trzeci znak pierwiastka można pomnożyć, a znak pierwiastka można pomnożyć. Z winy mnożnika korzenie są skręcone, a wraz z wprowadzeniem korzenie są budowane na wyższych stopach.

Przykłady. Stosować

Aby przeliczyć sumę (różnicę) pierwiastków kwadratowych, należy sprowadzić wyrażenia pierwiastkowe do jednej podstawy stopnia, jeśli to możliwe, wyodrębnić pierwiastki z stopni i zapisać je przed znakami pierwiastków, a pozostałe pierwiastki kwadratowe z można dodać te same wyrażenia pierwiastkowe, dla których współczynniki są dodawane przed pierwiastkiem znaku i dodają ten sam pierwiastek kwadratowy.

Aby przeliczyć sumę (koszt) pierwiastków kwadratowych, konieczne jest sprowadzenie pierwiastków do jednej z podstaw kroku, jak to możliwe, wyciągnięcie pierwiastka kroków i zapisanie ich przed znakami pierwiastki i rozwiązanie pierwiastków kwadratowych z tymi samymi słowami pierwiastkowymi, które mogę złożyć razem, aby uzyskać to, co mogę dodać i dodać ten sam pierwiastek kwadratowy.

Sprowadzamy wszystkie radykalne wyrażenia do podstawy 2.

Z stopnia parzystego korzeń jest całkowicie wyrywany, z stopnia nieparzystego korzeń podstawy w stopniu 1 pozostaje pod znakiem korzenia.

Podajemy podobne liczby całkowite i dodajemy współczynniki o tych samych pierwiastkach. Piszemy dwumian jako iloczyn liczby i dwumianu sumy.

Przenieś wszystkie pod-korzenie virazi do bazy 2.

Z etapu sparowanego korzenie są rysowane w rzędzie, z etapu niesparowanego korzenie podstawy w etapie 1 są wypełniane pod znakiem korzenia.

Sugeruje się, aby podobne liczby i współczynniki były dodawane do tych samych pierwiastków. Piszemy dwumian jako uzupełnienie liczby i dwumianu sumi.

Sprowadzamy radykalne wyrażenia do najmniejszej podstawy lub iloczynu mocy o najmniejszych podstawach. Wyciągamy korzeń z parzystych stopni wyrażeń radykalnych, resztę pozostawiamy w postaci podstawy stopnia ze wskaźnikiem 1 lub iloczynu takich zasad pod znakiem korzenia. Podajemy podobne terminy (dodajemy współczynniki tych samych pierwiastków).

Prowadzimy korzeń virazi do najmniejszej podstawy lub dodajemy kroki o najmniejszych podstawach. Z bliźniaczych stopni pod korzeniami viraz pobiera się korzeń, nadmiar u podstawy stopnia ze wskaźnikiem 1 lub dodawanie takich zasad jest wypełniane pod znakiem korzenia. Proponujemy podobne terminy (sumujemy współczynniki tych samych pierwiastków).

Zamieńmy dzielenie ułamków na mnożenie (z zastąpieniem drugiego ułamka przez odwrotność). Pomnóż oddzielnie liczniki i mianowniki. Pod każdym znakiem korzenia podkreślamy stopnie. Usuńmy te same czynniki w liczniku i mianowniku. Wyciągamy korzenie z równych mocy.

Zastępujemy dzielenie ułamków przez mnożenie (z zastąpieniem innego ułamka przez zwrot). Pomnóż liczby okremo i banery frakcji. Kroki są widoczne pod skórnym znakiem korzenia. Przyspieszymy te same mnożniki w książce liczbowej i banerze. Obwiniaj korzeń bliźniaczych kroków.

Aby porównać dwa pierwiastki kwadratowe, ich wyrażenia radykalne muszą być zredukowane do stopni o tej samej podstawie, a im więcej stopni wyrażeń radykalnych, tym większa jest wartość pierwiastka kwadratowego.

W tym przykładzie radykalne wyrażenia nie mogą być zredukowane do jednej zasady, ponieważ podstawa to 3 w pierwszym, a 3 i 7 w drugim.

Drugim sposobem porównania jest wprowadzenie współczynnika pierwiastka w wyrażeniu radykalnym i porównanie wartości liczbowych wyrażeń radykalnych. W przypadku pierwiastka kwadratowego im większe wyrażenie pierwiastka, tym większa wartość pierwiastka.

Aby dopasować dwa pierwiastki kwadratowe, ich pierwiastki podrzędne muszą zostać doprowadzone do poziomu o tej samej podstawie, przy czym im wyższy wskaźnik stopnia podkorzenienia wirusa, tym większa wartość pierwiastka kwadratowego.

W tym przypadku nie jest możliwe doprowadzenie do jednej podstawy korzeni korzeni virazi, ponieważ w pierwszej podstawa wynosi 3, a w drugiej - 3 i 7.

Innym sposobem na wyrównanie jest dodanie współczynnika root do root virasy i wyrównanie wartości liczbowych root virasy. Pierwiastek kwadratowy ma więcej viraz podrzędnego, tym większą wartość ma pierwiastek.

Korzystając z rozdzielczego prawa mnożenia i zasady mnożenia pierwiastków o tych samych wykładnikach (w naszym przypadku pierwiastki kwadratowe), otrzymaliśmy sumę dwóch pierwiastków kwadratowych z iloczynem pod pierwiastkiem. Rozkładamy 91 na czynniki pierwsze i wyjmujemy pierwiastek z nawiasów ze wspólnymi czynnikami pierwiastkowymi (13 * 5).

Otrzymaliśmy iloczyn pierwiastka i dwumianu, w którym jeden z jednomianów jest liczbą całkowitą (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny prawo mnożenia i zasada mnożenia pierwiastków z tymi samymi wskaźnikami (w naszym przypadku - pierwiastki kwadratowe), przyjęły sumę dwóch pierwiastków kwadratowych z dodatkowym pierwiastkiem pod znakiem pierwiastka. Możemy rozłożyć 91 mnożników w prosty sposób i wziąć pierwiastek dla łuków z mnożników pierwiastków (13 * 5).

Wzięliśmy dodanie pierwiastka i binarnej, która ma jeden z jednomianów w liczbie całkowitej (1).

Przykład 9:

W wyrażeniach pierwiastkowych wybieramy przez czynniki liczby, z których możemy wydobyć cały pierwiastek kwadratowy. Wyciągamy pierwiastki kwadratowe z potęg i umieszczamy liczby przez współczynniki pierwiastków kwadratowych.

Terminy tego wielomianu mają wspólny czynnik √3, który można wyjąć z nawiasów. Przedstawmy podobne terminy.

W wirusach podrzędnych jest postrzegany jako mnożniki liczby, z których można wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. Obwiniamy pierwiastki kwadratowe kroków i umieszczamy liczby przez współczynniki pierwiastków kwadratowych.

Terminy tego wielomianu mają wspólny mnożnik √3, który można obwiniać za ramiona. Proponujemy podobne dodatki.

Iloczyn sumy i różnicy dwójki te same bazy(3 i √5) stosując skrócony wzór mnożenia można zapisać jako różnicę kwadratów zasad.

Pierwiastek kwadratowy do kwadratu jest zawsze równy wyrażeniu pierwiastkowemu, więc pozbędziemy się pierwiastka (pierwiastka) w wyrażeniu.

Sumę Dobutoka i różnicę dwóch identycznych zasad (3 і √5) z formuły szybkiego mnożenia można zapisać jako różnicę podstaw kwadratowych.

Pierwiastek kwadratowy z kwadratu zavzhd jest równy virasie podrzędnej, więc nazwiemy rodnik (znak główny) virasy.

Powrót do szkoły. Dodatek korzeni

W naszych czasach, nowoczesne komputery elektroniczne, obliczanie pierwiastka liczby nie jest reprezentowane wymagające zadanie. Na przykład, √2704=52, każdy kalkulator obliczy to za Ciebie. Na szczęście kalkulator znajduje się nie tylko w Windowsie, ale także w zwykłym, nawet najprostszym telefonie. To prawda, jeśli nagle (z małym prawdopodobieństwem, którego obliczenia, nawiasem mówiąc, obejmują dodanie pierwiastków), znajdziesz się bez dostępne fundusze, wtedy, niestety, będziesz musiał polegać tylko na swoim mózgu.

Trening umysłu nigdy nie zawodzi. Szczególnie dla tych, którzy nie pracują tak często z liczbami, a tym bardziej z pierwiastkami. Dodawanie i odejmowanie korzeni to dobry trening dla znudzonego umysłu. Pokażę ci krok po kroku dodawanie korzeni. Przykłady wyrażeń mogą być następujące.

Równanie do uproszczenia to:

To jest irracjonalne wyrażenie. Aby to uprościć, musisz zredukować wszystkie radykalne wyrażenia do: ogólny widok. Robimy to etapami:

Pierwszej liczby nie można już uprościć. Przejdźmy do drugiego semestru.

3√48 rozkładamy na czynniki 48: 48=2×24 lub 48=3×16. Pierwiastek kwadratowy z 24 nie jest liczbą całkowitą, tj. ma resztę ułamkową. Ponieważ potrzebujemy Dokładna wartość, to przybliżone korzenie nam nie odpowiadają. Pierwiastek kwadratowy z 16 to 4, wyjmij go spod znaku pierwiastka. Otrzymujemy: 3×4×√3=12×√3

Nasze następne wyrażenie jest negatywne, tj. napisane ze znakiem minus -4×√(27.) Faktoring 27. Otrzymujemy 27=3×9. Nie używamy współczynników ułamkowych, ponieważ trudniej jest obliczyć pierwiastek kwadratowy z ułamków. Wyciągamy 9 spod znaku, czyli obliczyć pierwiastek kwadratowy. Otrzymujemy następujące wyrażenie: -4×3×√3 = -12×√3

Następny wyraz √128 oblicza część, którą można wyjąć spod korzenia. 128=64×2 gdzie √64=8. Jeśli ci to ułatwi, możesz przedstawić to wyrażenie w następujący sposób: √128=√(8^2×2)

Przepisujemy wyrażenie za pomocą uproszczonych terminów:

Teraz dodajemy liczby o tym samym radykalnym wyrażeniu. Nie można dodawać ani odejmować wyrażeń z różnymi wyrażeniami radykalnymi. Dodanie korzeni wymaga przestrzegania tej zasady.

Otrzymujemy następującą odpowiedź:

√2=1×√2 - Mam nadzieję, że w algebrze zwyczajowo pomijanie takich elementów nie będzie dla ciebie nowością.

Wyrażenia mogą być reprezentowane nie tylko przez pierwiastki kwadratowe, ale także przez pierwiastki sześcienne lub n-te.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków o różnych wykładnikach, ale o równoważnym wyrażeniu pierwiastka, zachodzi w następujący sposób:

Jeśli mamy wyrażenie takie jak √a+∛b+∜b, to możemy je uprościć w ten sposób:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Zredukowaliśmy dwa podobne terminy do wspólnego wykładnika pierwiastka. Wykorzystano tutaj właściwość pierwiastków, która mówi: jeśli liczba stopnia wyrażenia radykalnego i liczba wykładnika pierwiastka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, to jego obliczenia pozostaną niezmienione.

Uwaga: wykładniki są dodawane tylko po pomnożeniu.

Rozważ przykład, w którym w wyrażeniu występują ułamki.

Rozwiążmy to krok po kroku:

5√8=5*2√2 - wyjmujemy wyekstrahowaną część spod korzenia.

Jeśli ciało pierwiastka jest reprezentowane przez ułamek, to często ten ułamek nie zmieni się, jeśli weźmie się pierwiastek kwadratowy z dzielnej i dzielnika. W rezultacie uzyskaliśmy opisaną powyżej równość.

Oto odpowiedź.

Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że pierwiastek z parzystym wykładnikiem nie jest wyodrębniany z liczb ujemnych. Jeśli radykalne wyrażenie parzystego stopnia jest ujemne, to wyrażenie jest nierozwiązywalne.

Dodanie pierwiastków jest możliwe tylko wtedy, gdy radykalne wyrażenia pokrywają się, ponieważ są to podobne terminy. To samo dotyczy różnicy.

Dodawanie pierwiastków o różnych wykładnikach liczbowych odbywa się poprzez zredukowanie obu terminów do wspólnego stopnia. To prawo działa w taki sam sposób, jak redukcja do wspólnego mianownika podczas dodawania lub odejmowania ułamków.

Jeśli radykalne wyrażenie zawiera liczbę podniesioną do potęgi, to wyrażenie to można uprościć pod warunkiem, że istnieje wspólny mianownik między pierwiastkiem a wykładnikiem.

Pierwiastek kwadratowy z produktu i ułamka

Pierwiastek kwadratowy z a to liczba, której kwadrat to a. Na przykład liczby -5 i 5 są pierwiastkami kwadratowymi liczby 25. To znaczy, że pierwiastki równania x^2=25 są pierwiastkami kwadratowymi liczby 25. Teraz musisz nauczyć się pracować z działanie pierwiastka kwadratowego: zbadaj jego podstawowe właściwości.

Pierwiastek kwadratowy produktu

√(a*b)=√a*√b

Pierwiastek kwadratowy z iloczynu dwóch liczb nieujemnych jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych tych liczb. Na przykład √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Ważne jest, aby zrozumieć, że ta właściwość dotyczy również przypadku, gdy radykalne wyrażenie jest iloczynem trzech, czterech itd. nieujemne mnożniki.

Czasami istnieje inne sformułowanie tej właściwości. Jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, to zachodzi następująca równość: √(a*b) =√a*√b. Nie ma między nimi absolutnie żadnej różnicy, możesz użyć jednego lub drugiego sformułowania (które jest wygodniejsze do zapamiętania).

Pierwiastek kwadratowy z ułamka

Jeśli a>=0 i b>0, to prawdziwa jest następująca równość:

√(a/b)=√a/√b.

Na przykład √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Ta właściwość ma również inne sformułowanie, moim zdaniem wygodniejsze do zapamiętania.
Pierwiastek kwadratowy z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Warto zauważyć, że te formuły działają zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. Oznacza to, że w razie potrzeby możemy przedstawić iloczyn korzeni jako korzeń produktu. To samo dotyczy drugiej właściwości.

Jak widać, te właściwości są bardzo wygodne i chciałbym mieć te same właściwości dodawania i odejmowania:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Ale niestety takie właściwości są kwadratowe nie mają korzeni, a więc nie można wykonać w obliczeniach..

13. Przejazd przez skrzyżowania 2018 z komentarzami online 13.1. Skręcając w prawo lub w lewo, kierowca musi ustąpić pierwszeństwa przejściu dla pieszych i rowerzystów jezdnia drogę, w którą się zmienia. Niniejsza instrukcja dotyczy wszystkich […]
Spotkanie rodziców "Prawa, obowiązki i odpowiedzialność rodziców" Prezentacja do lekcji Pobierz prezentację (536.6 kB) Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać wszystkich […]
Regionalna stolica macierzyństwa w regionie Orel Regionalna stolica macierzyństwa (MC) w Orel i regionie Oryol została założona w 2011 roku. Teraz to dodatkowy środek pomoc socjalna rodziny wielodzietne w formie jednorazowej gotówki [...]
Wysokość zryczałtowanego zasiłku przy rejestracji w wczesne daty w 2018 r. Żądana strona nie została znaleziona. Być może wprowadziłeś zły adres lub strona została usunięta. Posługiwać się […]
Prawnik do spraw gospodarczych sfera gospodarcza to dość szerokie pojęcie. Działania te obejmują oszustwa, nielegalny biznes, legalizacja Pieniądze uzyskane nielegalnie, nielegalnej bankowości […]
Serwis prasowy Banku Centralnego Federacja Rosyjska(Bank Rosji) Serwis prasowy 107016, Moskwa, ul. Neglinnaya, 12www.cbr.ru W sprawie powołania tymczasowej administracji Departament Stosunków Zewnętrznych i Publicznych Banku Rosji informuje, że zgodnie z paragrafem 2 […]
ogólna charakterystyka oraz krótka recenzja drogi wodne Klasyfikacja zbiorników wodnych Klasyfikacja zbiorników wodnych do żeglugi statków wycieczkowych (małych), nadzorowanych przez GIMS Rosji, przeprowadzana jest w zależności od […]
Kucherena = prawnik Wiktora Tsoia A to jest wyłączność: dzisiejszy list od Anatolija Kuchereny. W kontynuacji tematu. Nikt jeszcze nie opublikował tego listu. I myślę, że powinno. Część 1 na razie. Wkrótce opublikuję drugą część, podpisaną przez słynnego prawnika. Dlaczego to jest ważne? […]

Witam kotki! Ostatnim razem szczegółowo przeanalizowaliśmy, czym są korzenie (jeśli nie pamiętasz, polecam lekturę). Główny wniosek z tej lekcji: istnieje tylko jedna uniwersalna definicja korzeni, którą musisz znać. Reszta to bzdury i strata czasu.

Dziś idziemy dalej. Nauczymy się mnożyć pierwiastki, przestudiujemy pewne problemy związane z mnożeniem (jeśli te problemy nie zostaną rozwiązane, to mogą stać się fatalne na egzaminie) i odpowiednio poćwiczymy. Więc zaopatrz się w popcorn, rozgość się - i zaczynamy :)

Jeszcze nie paliłeś, prawda?

Lekcja okazała się dość obszerna, więc podzieliłem ją na dwie części:

Najpierw przyjrzymy się zasadom mnożenia. Czapka wydaje się sugerować: wtedy są dwa pierwiastki, między nimi jest znak „pomnóż” - i chcemy coś z tym zrobić.
Następnie przeanalizujemy sytuację odwrotną: jest jeden duży korzeń i nie mogliśmy się doczekać przedstawienia go jako iloczynu dwóch pierwiastków w prostszy sposób. Z jakim strachem jest to konieczne, to osobne pytanie. Przeanalizujemy tylko algorytm.

Dla tych, którzy nie mogą się doczekać, aby przejść od razu do części 2, serdecznie zapraszamy. Zacznijmy od reszty w porządku.

Podstawowa zasada mnożenia

Zacznijmy od najprostszego - klasycznego pierwiastka kwadratowego. Te, które są oznaczone przez $\sqrt(a)$ i $\sqrt(b)$. Dla nich wszystko jest na ogół jasne:

reguła mnożenia. Aby pomnożyć jeden pierwiastek kwadratowy przez drugi, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia pierwiastkowe i zapisać wynik pod wspólnym pierwiastkiem:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nie nakłada się żadnych dodatkowych ograniczeń na liczby po prawej lub lewej stronie: jeśli istnieją pierwiastki mnożnikowe, to i produkt istnieje.

Przykłady. Rozważ cztery przykłady z liczbami naraz:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Jak widać, głównym znaczeniem tej zasady jest uproszczenie irracjonalnych wyrażeń. A jeśli w pierwszym przykładzie wydobylibyśmy pierwiastki z 25 i 4 bez żadnych nowych reguł, to cyna zaczyna się: $\sqrt(32)$ i $\sqrt(2)$ nie liczą się same, ale ich iloczyn okazuje się być dokładnym kwadratem, więc jego pierwiastek jest równy liczbie wymiernej.

Osobno chciałbym zwrócić uwagę na ostatnią linijkę. Tam oba radykalne wyrażenia są ułamkami. Dzięki produktowi wiele czynników znika, a cała ekspresja zamienia się w odpowiednią liczbę.

Oczywiście nie zawsze będzie tak pięknie. Czasami pod korzeniami będzie kompletny syf - nie wiadomo, co z tym zrobić i jak po rozmnożeniu przekształcić. Nieco później, kiedy zaczniesz się uczyć irracjonalne równania i nierówności, będą generalnie wszelkiego rodzaju zmienne i funkcje. I bardzo często kompilatorzy problemów liczą tylko na to, że znajdziesz jakieś warunki umowne lub czynniki, po których zadanie zostanie znacznie uproszczone.

Ponadto nie jest konieczne mnożenie dokładnie dwóch pierwiastków. Możesz pomnożyć trzy na raz, cztery - tak, nawet dziesięć! Nie zmieni to zasady. Spójrz:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \koniec(wyrównaj)\]

I znowu mała uwaga do drugiego przykładu. Jak widać, w trzecim mnożniku pod pierwiastkiem znajduje się ułamek dziesiętny - w procesie obliczeń zastępujemy go zwykłym, po czym wszystko można łatwo zredukować. Tak więc: zdecydowanie zalecam pozbycie się ułamków dziesiętnych w dowolnych wyrażeniach nieracjonalnych (czyli zawierających co najmniej jedną ikonę radykalną). Zaoszczędzi to wiele czasu i nerwów w przyszłości.

Ale to była liryczna dygresja. Rozważmy teraz bardziej ogólny przypadek - gdy wykładnik pierwiastka zawiera dowolną liczbę $n$, a nie tylko „klasyczną” liczbę.

Przypadek arbitralnego wskaźnika

Więc wymyśliliśmy pierwiastki kwadratowe. A co zrobić z kostkami? Lub ogólnie z pierwiastkami dowolnego stopnia $n$? Tak, wszystko jest takie samo. Zasada pozostaje taka sama:

Aby pomnożyć dwa pierwiastki stopnia $n$, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia pierwiastkowe, po czym wynik zostanie zapisany pod jednym pierwiastkiem.

Ogólnie nic skomplikowanego. Chyba że objętość obliczeń może być większa. Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykłady. Oblicz produkty:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \koniec(wyrównaj)\]

I znowu uwaga na drugie wyrażenie. Mnożymy pierwiastki sześcienne, pozbywamy się ułamka dziesiętnego, w wyniku czego otrzymujemy iloczyn liczb 625 i 25 w mianowniku. duża liczba- Osobiście nie zastanawiam się od razu, z czym to się równa.

Dlatego po prostu wybraliśmy dokładny sześcian w liczniku i mianowniku, a następnie użyliśmy jednej z kluczowych właściwości (lub, jeśli chcesz, definicji) pierwiastka $n$tego stopnia:

\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\prawo|. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Takie „oszustwa” mogą zaoszczędzić sporo czasu na egzaminie lub praca kontrolna więc pamiętaj:

Nie spiesz się, aby pomnożyć liczby w radykalnym wyrażeniu. Najpierw sprawdź: co, jeśli dokładny stopień dowolnego wyrażenia jest tam „zaszyfrowany”?

Przy całej oczywistości tej uwagi muszę przyznać, że większość nieprzygotowanych studentów wprost nie widzi dokładnych stopni. Zamiast tego mnożą wszystko przed sobą, a potem zastanawiają się: dlaczego dostali tak brutalne liczby?:)

Jednak wszystko to jest dziecinnie proste w porównaniu z tym, co będziemy teraz studiować.

Mnożenie pierwiastków z różnymi wykładnikami

Cóż, teraz możemy pomnożyć pierwiastki o tych samych wykładnikach. A jeśli wyniki są różne? Powiedzmy, jak pomnożyć zwykłe $\sqrt(2)$ przez jakieś bzdury, takie jak $\sqrt(23)$? Czy to w ogóle możliwe?

Tak oczywiście możesz. Wszystko odbywa się według tej formuły:

Zasada mnożenia pierwiastków. Aby pomnożyć $\sqrt[n](a)$ przez $\sqrt[p](b)$, wykonaj następujące przekształcenie:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Jednak ta formuła działa tylko wtedy, gdy radykalne wyrażenia są nieujemne. To bardzo ważna uwaga, do której wrócimy nieco później.

Na razie spójrzmy na kilka przykładów:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Jak widać, nic skomplikowanego. Teraz zastanówmy się, skąd wziął się wymóg nienegatywności i co się stanie, jeśli go naruszymy :)

Łatwo jest rozmnażać korzenie.

Dlaczego radykalne wyrażenia muszą być nieujemne?

Oczywiście możesz być jak nauczyciele szkolni i sprytnie zacytuj podręcznik:

Wymóg nieujemności wiąże się z różnymi definicjami pierwiastków stopnia parzystego i nieparzystego (odpowiednio różnią się także ich dziedziny definicji).

Cóż, stało się jaśniej? Osobiście, kiedy przeczytałem te bzdury w 8 klasie, zrozumiałem dla siebie coś takiego: „Wymaganie nienegatywności wiąże się z *#&^@(*#@^#)~%” - w skrócie ja nie rozumiałem wtedy gówna :)

Więc teraz wyjaśnię wszystko w normalny sposób.

Najpierw dowiedzmy się, skąd pochodzi powyższa formuła mnożenia. Aby to zrobić, przypomnę o jednej ważnej właściwości korzenia:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Innymi słowy, możemy bezpiecznie podnieść pierwiastek wyrażenia do dowolnej potęgi naturalnej $k$ - w tym przypadku indeks pierwiastka będzie musiał zostać pomnożony przez tę samą potęgę. Dlatego możemy łatwo zredukować dowolne korzenie do wspólnego wskaźnika, po czym mnożymy. Stąd pochodzi wzór mnożenia:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ale jest jeden problem, który poważnie ogranicza zastosowanie wszystkich tych formuł. Rozważ ten numer:

Zgodnie z podanym właśnie wzorem możemy dodać dowolny stopień. Spróbujmy dodać $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Usunęliśmy minus właśnie dlatego, że kwadrat wypala minus (jak każdy inny parzysty stopień). A teraz wykonajmy transformację odwrotną: „zredukuj” dwa w wykładniku i stopniu. W końcu każdą równość można odczytać zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Ale wtedy dzieje się coś szalonego:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Nie może tak być, ponieważ $\sqrt(-5) \lt 0$ i $\sqrt(5) \gt 0$. Oznacza to, że dla parzystych potęg i liczb ujemnych nasz wzór już nie działa. Po czym mamy dwie opcje:

Walczyć z murem, by stwierdzić, że matematyka to głupia nauka, gdzie „są pewne zasady, ale to jest nieścisłe”;
Wprowadź dodatkowe ograniczenia, w ramach których formuła stanie się w 100% skuteczna.

W pierwszej opcji będziemy musieli stale łapać „niedziałające” przypadki - jest to trudne, długie i ogólnie fu. Dlatego matematycy woleli drugą opcję :)

Ale nie martw się! W praktyce to ograniczenie w żaden sposób nie wpływa na obliczenia, ponieważ wszystkie opisane problemy dotyczą tylko pierwiastków nieparzystego stopnia, a minusy można z nich wyciągnąć.

Dlatego formułujemy inną zasadę, która ma zastosowanie ogólnie do wszystkich akcji z pierwiastkami:

Przed pomnożeniem korzeni upewnij się, że radykalne wyrażenia nie są negatywne.

Przykład. W liczbie $\sqrt(-5)$ możesz wyjąć minus spod znaku korzenia - wtedy wszystko będzie dobrze:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Poczuj różnicę? Jeśli zostawisz minus pod korzeniem, to gdy radykalne wyrażenie zostanie podniesione do kwadratu, zniknie i zacznie się bzdura. A jeśli najpierw usuniesz minus, możesz nawet podnieść / usunąć kwadrat, aż będziesz niebieski na twarzy - liczba pozostanie ujemna :)

Zatem najbardziej poprawny i najbardziej niezawodny sposób na pomnożenie korzeni jest następujący:

Usuń wszystkie minusy spod radykałów. Minusy znajdują się tylko w korzeniach o nieparzystej mnogości - można je umieścić przed korzeniem i, jeśli to konieczne, zmniejszyć (na przykład, jeśli są dwa z tych minusów).
Wykonaj mnożenie zgodnie z zasadami omówionymi powyżej w dzisiejszej lekcji. Jeśli indeksy pierwiastków są takie same, po prostu pomnóż wyrażenia pierwiastków. A jeśli są różne, używamy złej formuły \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. Cieszy nas wynik i dobre oceny :)

Dobrze? Mamy ćwiczyć?

Przykład 1. Uprość wyrażenie:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \koniec(wyrównaj)\]

To najprostsza opcja: wskaźniki pierwiastków są takie same i dziwne, problem dotyczy tylko minusa drugiego mnożnika. Znosimy ten minus nafig, po którym wszystko jest łatwe do rozważenia.

Przykład 2. Uprość wyrażenie:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt((((2)^(23))) \\ \end( wyrównywać)\]

Tutaj wielu byłoby zdezorientowanych tym, co wyszło Liczba niewymierna. Tak, zdarza się: nie mogliśmy całkowicie pozbyć się korzenia, ale przynajmniej znacznie uprościliśmy wyrażenie.

Przykład 3. Uprość wyrażenie:

\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Na to chciałbym zwrócić waszą uwagę. Są tu dwa punkty:

Pod pierwiastkiem nie znajduje się konkretna liczba ani stopień, ale zmienna $a$. Na pierwszy rzut oka jest to trochę nietypowe, ale w rzeczywistości przy rozwiązywaniu problemów matematycznych najczęściej będziesz miał do czynienia ze zmiennymi.
W końcu udało nam się „zredukować” główny wykładnik i stopień radykalnego wyrażenia. Zdarza się to dość często. A to oznacza, że można było znacznie uprościć obliczenia, jeśli nie użyjesz głównej formuły.

Na przykład możesz to zrobić:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \koniec(wyrównaj)\]

W rzeczywistości wszystkie przemiany dokonywane były tylko z drugim rodnikiem. A jeśli nie pomalujesz szczegółowo wszystkich kroków pośrednich, w końcu ilość obliczeń znacznie się zmniejszy.

W rzeczywistości napotkaliśmy już podobne zadanie powyżej podczas rozwiązywania przykładu $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Teraz można o wiele prościej napisać:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \koniec(wyrównaj)\]

Cóż, wymyśliliśmy mnożenie korzeni. Rozważmy teraz operację odwrotną: co zrobić, gdy pod korzeniem znajduje się praca?

W matematyce pierwiastki mogą być kwadratowe, sześcienne lub mieć dowolny inny wykładnik (potęgę), który jest zapisany po lewej stronie nad znakiem pierwiastka. Wyrażenie pod znakiem root nazywa się wyrażeniem root. Dodawanie korzenia jest podobne do dodawania terminów. wyrażenie algebraiczne, to znaczy wymaga definicji podobnych korzeni.

Kroki

Część 1 z 2: Znajdowanie korzeni

Oznaczenie korzenia. Wyrażenie pod znakiem pierwiastka () oznacza, że konieczne jest wyodrębnienie z tego wyrażenia pierwiastka pewnego stopnia.

Korzeń jest oznaczony znakiem.
Indeks (stopień) pierwiastka jest napisany po lewej stronie nad znakiem pierwiastka. Na przykład pierwiastek sześcienny liczby 27 jest zapisany jako: (27)
Jeśli wykładnik (stopień) pierwiastka jest nieobecny, wówczas wykładnik jest uważany za równy 2, czyli jest pierwiastkiem kwadratowym (lub pierwiastkiem drugiego stopnia).
Liczba zapisana przed znakiem pierwiastka nazywana jest mnożnikiem (czyli ta liczba jest mnożona przez pierwiastek), na przykład 5 (2)
Jeśli nie ma czynnika przed pierwiastkiem, to jest on równy 1 (przypomnij sobie, że dowolna liczba pomnożona przez 1 jest równa samej sobie).
Jeśli po raz pierwszy pracujesz z pierwiastkami, zanotuj odpowiednio mnożnik i wykładnik pierwiastka, aby nie pomylić się i lepiej zrozumieć ich cel.

Pamiętaj, które korzenie można złożyć, a które nie. Tak jak nie możesz dodać różnych terminów wyrażenia, takich jak 2a + 2b 4ab, nie możesz dodać różnych pierwiastków.

Nie możesz dodawać korzeni z różnymi wyrażeniami korzeni, na przykład (2) + (3) (5). Ale możesz dodać liczby pod tym samym pierwiastkiem, na przykład (2 + 3) = (5) (pierwiastek z 2 to w przybliżeniu 1,414, pierwiastek z 3 to w przybliżeniu 1,732, a pierwiastek z 5 to w przybliżeniu 2,236 ).

Nie można dodawać pierwiastków z tymi samymi wyrażeniami pierwiastków, ale z różnymi wykładnikami, na przykład (64) + (64) (ta suma nie jest równa (64), ponieważ pierwiastek kwadratowy 64 wynosi 8, pierwiastek sześcienny 64 jest 4, 8 + 4 = 12, co jest znacznie większe niż piąty pierwiastek 64, czyli około 2,297).

Część 2 z 2: Upraszczanie i dodawanie korzeni

Zidentyfikuj i pogrupuj podobne korzenie. Podobne pierwiastki to pierwiastki, które mają te same wykładniki i te same wyrażenia pierwiastków. Rozważmy na przykład wyrażenie:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Najpierw przepisz wyrażenie, aby pierwiastki z tym samym wykładnikiem były w szeregu.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Następnie przepisz wyrażenie, aby pierwiastki z tym samym wykładnikiem i tym samym wyrażeniem głównym były w szeregu.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Uprość swoje korzenie. Aby to zrobić, rozłóż (jeśli to możliwe) radykalne wyrażenia na dwa czynniki, z których jeden jest wyjęty spod korzenia. W takim przypadku wyrenderowana liczba i czynnik główny są mnożone.

W powyższym przykładzie podziel liczbę 50 na 2*25, a liczbę 32 na 2*16. Z liczby 25 i 16 można wyodrębnić pierwiastki kwadratowe (odpowiednio 5 i 4) i wyciągnąć 5 i 4 spod pierwiastka, mnożąc je odpowiednio przez współczynniki 2 i 1. W ten sposób otrzymujemy uproszczone wyrażenie: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Liczbę 81 można podzielić na 3 * 27, a pierwiastek sześcienny z 3 można pobrać z liczby 27. Ta liczba 3 może zostać wyjęta spod pierwiastka. W ten sposób otrzymujesz jeszcze bardziej uproszczone wyrażenie: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Dodaj czynniki o podobnych korzeniach. W naszym przykładzie są podobne pierwiastki kwadratowe z 2 (można je dodać) i podobne pierwiastki kwadratowe z 3 (mogą być również dodawane). Na pierwiastek sześcienny na 3 nie ma takich korzeni.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Ostateczne wyrażenie uproszczone: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Nie ma ogólnie przyjętych zasad kolejności, w jakiej pierwiastki są zapisywane w wyrażeniu. Dlatego możesz pisać pierwiastki w porządku rosnącym ich wykładników oraz w porządku rosnącym wyrażeń radykalnych.

Uwaga, tylko DZIŚ!

Wszystkie interesujące

Liczba znajdująca się pod znakiem pierwiastka często przeszkadza w rozwiązaniu równania, praca z nią jest niewygodna. Nawet jeśli jest podniesiona do potęgi, ułamkowa lub nie może być do pewnego stopnia reprezentowana jako liczba całkowita, można spróbować wyprowadzić ją z…

Pierwiastek liczby x to liczba, która po podniesieniu do potęgi pierwiastka będzie równa x. Mnożnik to mnożona liczba. Oznacza to, że w wyrażeniu takim jak x*ª-&radic-y musisz dodać x pod korzeniem. Instrukcja 1 Określ stopień ...

Jeżeli wyrażenie pierwiastkowe zawiera zbiór operacji matematycznych ze zmiennymi, to czasami w wyniku jego uproszczenia można uzyskać stosunkowo prostą wartość, której część można wydobyć spod pierwiastka. To uproszczenie jest przydatne...

Operacje arytmetyczne z pierwiastkami o różnych stopniach mogą znacznie uprościć obliczenia w fizyce i technologii oraz zwiększyć ich dokładność. Podczas mnożenia i dzielenia wygodniej jest nie wyodrębniać pierwiastka z każdego czynnika lub dywidendy i dzielnika, ale najpierw ...

Pierwiastek kwadratowy z liczby x to liczba a, która po pomnożeniu przez samą siebie daje liczbę x: a * a = a^2 = x, x = a. Jak w przypadku każdej liczby, możesz wykonywać operacje arytmetyczne dodawania i odejmowania na pierwiastkach kwadratowych. Instrukcja...

Korzeń w matematyce może mieć dwa znaczenia: jest operacją arytmetyczną i każdym z rozwiązań równania, algebraicznego, parametrycznego, różniczkowego lub dowolnego innego. Instrukcja 1Pierwiastek n-tego stopnia liczby a jest liczbą, która ...

Podczas wykonywania różnych działania arytmetyczne mając korzenie, często konieczna jest umiejętność przekształcania radykalnych wyrażeń. Aby uprościć obliczenia, może być konieczne usunięcie czynnika ze znaku rodnika lub umieszczenie go pod nim. Ta akcja może...

Korzeń to ikona, która reprezentuje działanie matematyczne znalezienie takiej liczby, której podniesienie do potęgi wskazanej przed znakiem korzenia powinno dać liczbę wskazaną pod tym samym znakiem. Często, aby rozwiązać problemy, w których występują ...

Nazywa się znak korzenia w naukach matematycznych symbol dla korzeni. Liczba pod znakiem korzenia nazywana jest radykalnym wyrażeniem. W przypadku braku wykładnika pierwiastek jest kwadratem, w przeciwnym razie liczba wskazuje ...

Arytmetyka korzeń nth stopnie od prawdziwy numer a jest taką nieujemną liczbą x, n-ty stopień która jest równa liczbie a. Tych. (n) a = x, x^n = a. Istnieć różne drogi wzbogacenie pierwiastek arytmetyczny i liczba wymierna...

N-ty pierwiastek liczby rzeczywistej a jest liczbą b, dla której równość b^n = a jest prawdziwa. Pierwiastki nieparzyste istnieją dla liczb ujemnych i dodatnich, a pierwiastki parzyste istnieją tylko dla liczb dodatnich.…

Pierwiastek kwadratowy z liczby x to liczba a, która po pomnożeniu przez samą siebie daje liczbę x: a * a = a^2 = x, √x = a. Jak w przypadku każdej liczby, możesz wykonywać operacje arytmetyczne dodawania i odejmowania na pierwiastkach kwadratowych.

Instrukcja

Po pierwsze, dodając pierwiastki kwadratowe, spróbuj je wyodrębnić. Będzie to możliwe, jeśli liczby pod pierwiastkiem będą idealnymi kwadratami. Na przykład niech zostanie podane wyrażenie √4 + √9. Pierwsza liczba 4 to kwadrat liczby 2. Druga liczba 9 to kwadrat liczby 3. Okazuje się więc, że: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Jeśli pod pierwiastkiem nie ma pełnych kwadratów, spróbuj wyjąć mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Na przykład powiedzmy, że podano √24 + √54. Rozłóż liczby na czynniki: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Liczba 24 ma współczynnik 4, który można usunąć ze znaku pierwiastka kwadratowego. Liczba 54 ma współczynnik 9. Okazuje się więc, że: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . W tym przykładzie w wyniku wyjęcia mnożnika ze znaku pierwiastka okazało się, że dane wyrażenie zostało uproszczone.
Niech suma dwóch pierwiastków kwadratowych będzie mianownikiem ułamka, na przykład A / (√a + √b). I niech twoim zadaniem będzie „pozbyć się irracjonalności w mianowniku”. Następnie możesz użyć następującej metody. Pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie √a - √b. Zatem w mianowniku otrzymamy wzór na skrócone mnożenie: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Analogicznie, jeśli różnica pierwiastków jest podana w mianowniku: √a - √b, to licznik i mianownik ułamka należy pomnożyć przez wyrażenie √a + √b. Na przykład, biorąc pod uwagę ułamek 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Rozważ bardziej złożony przykład pozbycia się irracjonalności w mianowniku. Niech zostanie podany ułamek 12 / (√2 + √3 + √5). Konieczne jest pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez wyrażenie √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
I na koniec, jeśli potrzebujesz tylko przybliżonej wartości, możesz obliczyć pierwiastki kwadratowe na kalkulatorze. Oblicz wartości osobno dla każdej liczby i zapisz z wymaganą dokładnością (na przykład dwa miejsca po przecinku). A następnie wykonaj wymagane operacje arytmetyczne, tak jak w przypadku zwykłych liczb. Załóżmy na przykład, że chcesz poznać przybliżoną wartość wyrażenia √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o tym wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Polecamy również

Ładowanie...

Dom > Testy