Różnica logarytmów o tej samej podstawie. Własności logarytmów i przykłady ich rozwiązań

Jak wiadomo, mnożąc wyrażenia przez potęgi, ich wykładniki zawsze się sumują (a b * a c = a b + c). To matematyczne prawo zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tabelę wskaźników całkowitych. To oni służyli do dalszego odkrywania logarytmów. Przykłady użycia tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie wymagane jest uproszczenie kłopotliwego mnożenia do prostego dodawania. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prosty i przystępny język.

Definicja w matematyce

Logarytm ma postać: log ab=c, czyli logarytm dowolnej liczby nieujemnej (tj. dowolnej liczby dodatniej) „b” o podstawie „a” jest uważany za potęgę liczby „c” , do którego podstawa „a” musi zostać podniesiona, aby w końcu uzyskać wartość „b”. Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że jest wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, musisz znaleźć taki stopień, aby od 2 do wymaganego stopnia uzyskać 8. Po wykonaniu pewnych obliczeń w głowie otrzymujemy liczbę 3! I słusznie, ponieważ 2 do potęgi 3 daje w odpowiedzi liczbę 8.

Odmiany logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są tak przerażające, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Istnieją trzy różne rodzaje wyrażeń logarytmicznych:

1. Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
2. Dziesiętne a, gdzie podstawa to 10.
3. Logarytm dowolnej liczby b do podstawy a>1.

Każdy z nich jest rozwiązywany w standardowy sposób, łącznie z uproszczeniem, redukcją i późniejszą redukcją do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Aby uzyskać prawidłowe wartości logarytmów, w podejmowanych decyzjach należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdziwe. Na przykład niemożliwe jest dzielenie liczb przez zero, a także niemożliwe jest wyodrębnienie pierwiastka parzystego stopnia z liczb ujemnych. Logarytmy też mają swoje własne zasady, dzięki którym łatwo nauczysz się pracować nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

• podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a jednocześnie nie być równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci swoje znaczenie, ponieważ „1” i „0” w dowolnym stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
• jeśli a > 0, to a b > 0, okazuje się, że „c” musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład zadaniem było znalezienie odpowiedzi na równanie 10 x \u003d 100. To bardzo łatwe, musisz wybrać taką moc, podnosząc liczbę dziesięć, do której otrzymujemy 100. To oczywiście jest 10 2 \u003d 100.

Teraz przedstawmy to wyrażenie jako logarytmiczne. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie czynności praktycznie zbiegają się do znalezienia stopnia, w jakim należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczne nastawienie i znajomość tabliczki mnożenia. Jednak większe wartości będą wymagały tabeli mocy. Może być używany nawet przez tych, którzy nic nie rozumieją w skomplikowanych zagadnieniach matematycznych. Lewa kolumna zawiera liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu w komórkach określane są wartości liczb, które są odpowiedzią (a c = b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że nawet najprawdziwszy humanista zrozumie!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równanie logarytmiczne. Na przykład 3 4 =81 można zapisać jako logarytm z 81 do podstawy 3, czyli cztery (log 3 81 = 4). Dla potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom równań nieco niżej, zaraz po zbadaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Podano wyrażenie w postaci: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, gdyż nieznana wartość "x" znajduje się pod znakiem logarytmu. A także w wyrażeniu porównuje się dwie wielkości: logarytm pożądanej liczby o podstawie dwa jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównościami polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm 2 x = √9) implikują w odpowiedzi jedną lub więcej określonych wartości liczbowych, natomiast przy rozwiązywaniu nierówności oba zakresy dopuszczalne wartości i punkty łamiące tę funkcję. W konsekwencji odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w odpowiedzi równania, ale ciągłym ciągiem lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Rozwiązując prymitywne zadania dotyczące znajdowania wartości logarytmu, jego właściwości mogą nie być znane. Jeśli jednak chodzi o równania lub nierówności logarytmiczne, to przede wszystkim konieczne jest jasne zrozumienie i zastosowanie w praktyce wszystkich podstawowych własności logarytmów. Później zapoznamy się z przykładami równań, najpierw przeanalizujmy każdą właściwość bardziej szczegółowo.

1. Podstawowa tożsamość wygląda tak: a logaB =B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe od 0, nie równe jedności, a B jest większe od zera.
2. Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz podać dowód tego wzoru na logarytmy, z przykładami i rozwiązaniem. Niech logujemy jako 1 = f 1 i logujemy jako 2 = f 2 , potem a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (właściwości stopnia ), a dalej z definicji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log jako 2, co miało być udowodnione.
3. Logarytm ilorazu wygląda tak: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Twierdzenie w postaci wzoru ma postać: log a q b n = n/q log a b.

Formuła ta nazywana jest „właściwością stopnia logarytmu”. Przypomina to właściwości zwykłych stopni i nie jest to zaskakujące, ponieważ cała matematyka opiera się na regularnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Niech zaloguj się a b \u003d t, okazuje się, że a t \u003d b. Jeśli podniesiesz obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n , stąd log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstsze typy problemów logarytmicznych to przykłady równań i nierówności. Znajdują się one w prawie wszystkich podręcznikach problemowych, a także wchodzą w skład obowiązkowej części egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać testy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązywać takie zadania.

Niestety nie ma jednego planu czy schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, jednak do każdej nierówności matematycznej czy równania logarytmicznego można zastosować pewne reguły. Przede wszystkim powinieneś dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć, czy sprowadzić do ogólnej formy. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli poprawnie użyjesz ich właściwości. Poznajmy ich wkrótce.

Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych konieczne jest ustalenie, jaki logarytm mamy przed sobą: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że musisz określić stopień, w jakim podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. Do rozwiązań logarytmów naturalnych należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich własności. Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązywania problemów logarytmicznych różnych typów.

Jak używać formuł logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Spójrzmy więc na przykłady użycia głównych twierdzeń na logarytmach.

1. Własność logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź to 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, stosując czwartą własność stopnia logarytmu, udało nam się na pierwszy rzut oka rozwiązać złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Wystarczy rozłożyć podstawę na czynniki, a następnie wyjąć wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z egzaminu

Logarytmy są często spotykane w egzaminach wstępnych, zwłaszcza wiele problemów logarytmicznych w Unified State Exam (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza część testowa egzaminu), ale także w części C (najtrudniejsze i obszerniejsze zadania). Egzamin implikuje dokładną i doskonałą znajomość tematu „Logarytmy naturalne”.

Przykłady i rozwiązywanie problemów zaczerpnięto z oficjalnych wersji egzaminu. Zobaczmy, jak rozwiązywane są takie zadania.

Dany log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, upraszczając je trochę log 2 (2x-1) = 2 2 , z definicji logarytmu otrzymujemy, że 2x-1 = 2 4 , a więc 2x = 17; x = 8,5.

• Wszystkie logarytmy najlepiej sprowadzić do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
• Wszystkie wyrażenia pod logarytmem są oznaczone jako dodatnie, dlatego przy odjęciu wykładnika wykładnika wyrażenia, który jest pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.

Dziś porozmawiamy formuły logarytmiczne i dać demonstrację przykłady rozwiązań.

Same w sobie implikują wzorce rozwiązań zgodnie z podstawowymi właściwościami logarytmów. Przed zastosowaniem formuł logarytmicznych do rozwiązania, przypominamy dla Ciebie najpierw wszystkie właściwości:

Teraz na podstawie tych wzorów (właściwości) pokazujemy przykłady rozwiązywania logarytmów.

Przykłady rozwiązywania logarytmów na podstawie wzorów.

Logarytm liczba dodatnia b o podstawie a (oznaczona jako log a b) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b, gdzie b > 0, a > 0 i 1.

Zgodnie z definicją log a b = x, co jest równoważne a x = b, więc log a a x = x.

Logarytmy, przykłady:

log 2 8 = 3, ponieważ 2 3 = 8

log 7 49 = 2, ponieważ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ponieważ 5 -1 = 1/5

Logarytm dziesiętny jest logarytmem zwykłym, którego podstawą jest 10. Oznaczony jako lg.

log 10 100 = 2, ponieważ 10 2 = 100

naturalny logarytm- także zwykły logarytm logarytmiczny, ale z podstawą e (e \u003d 2,71828 ... - liczba niewymierna). Określany jako ln.

Warto zapamiętać wzory lub własności logarytmów, ponieważ przydadzą nam się później przy rozwiązywaniu logarytmów, równań logarytmicznych i nierówności. Przeanalizujmy ponownie każdą formułę z przykładami.

• Podstawowa tożsamość logarytmiczna
  log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Własności stopnia liczby logarytmalnej i podstawy logarytmu

  Wykładnik liczby logarytmicznej log a b m = mlog a b

  Wykładnik podstawy logarytmu log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n* log a b,

  jeśli m = n, otrzymujemy log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Przejście do nowej fundacji
  log a b = log c b / log c a,

  jeśli c = b, otrzymujemy log b b = 1

  następnie log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Jak widać, formuły logarytmiczne nie są tak skomplikowane, jak się wydaje. Teraz, po rozważeniu przykładów rozwiązywania logarytmów, możemy przejść do równań logarytmicznych. Bardziej szczegółowo omówimy przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych w artykule: „”. Nie przegap!

Jeśli nadal masz pytania dotyczące rozwiązania, napisz je w komentarzach do artykułu.

Uwaga: zdecydowałem się na edukację innej klasy studiować za granicą jako opcja.

Logarytm liczby n z powodu ale nazywa się wykładnikiem x , do którego trzeba się podnieść ale zdobyć numer n

Pod warunkiem że
,
,

Z definicji logarytmu wynika, że:
, tj.
- ta równość jest podstawową tożsamością logarytmiczną.

Logarytmy o podstawie 10 nazywane są logarytmami dziesiętnymi. Zamiast
pisać
.

logarytmy podstawowe mi nazywane są naturalnymi i oznaczone
.

Podstawowe własności logarytmów.

Logarytm jedności dla dowolnej podstawy wynosi zero

Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.

3) Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów

Czynnik
nazywa się modułem przejścia z logarytmów u podstawy a do logarytmów u podstawy b .

Korzystając z właściwości 2-5, często można zredukować logarytm złożonego wyrażenia do wyniku prostych operacji arytmetycznych na logarytmach.

Na przykład,

Takie przekształcenia logarytmu nazywamy logarytmami. Przekształcenia odwrotne do logarytmów nazywane są wzmacnianiem.

Rozdział 2. Elementy matematyki wyższej.

1. Ograniczenia

ograniczenie funkcji
jest liczbą skończoną A jeśli, dążąc xx 0 dla każdego z góry ustalonego
, jest liczba
że tak szybko, jak
, następnie
.

Funkcja, która ma granicę, różni się od niej o nieskończenie małą wartość:
, gdzie - b.m.w., tj.
.

Przykład. Rozważ funkcję
.

Kiedy starasz się
, funkcja tak idzie do zera:

1.1. Podstawowe twierdzenia o granicach.

Granica stałej wartości jest równa tej stałej wartości

.

Granica sumy (różnicy) skończonej liczby funkcji jest równa sumie (różnicy) granic tych funkcji.

Granica iloczynu skończonej liczby funkcji jest równa iloczynowi granic tych funkcji.

Granica ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi granic tych funkcji, jeśli granica mianownika nie jest równa zeru.

Niezwykłe limity

,
, gdzie

1.2. Przykłady obliczeń limitów

Jednak nie wszystkie limity są obliczane tak łatwo. Częściej obliczenie limitu sprowadza się do ujawnienia niepewności typu: lub .

.

2. Pochodna funkcji

Niech mamy funkcję
, ciągła na odcinku
.

Argument dostałem trochę doładowania
. Wtedy funkcja zostanie zwiększona
.

Wartość argumentu odpowiada wartości funkcji
.

Wartość argumentu
odpowiada wartości funkcji .

W konsekwencji, .

Znajdźmy granicę tej relacji na
. Jeżeli ta granica istnieje, to nazywamy ją pochodną danej funkcji.

Definicja 3pochodnej danej funkcji
przez argument nazywamy granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu arbitralnie dąży do zera.

Pochodna funkcji
można oznaczyć w następujący sposób:

; ; ; .

Definicja 4Operacja znajdowania pochodnej funkcji nazywa się różnicowanie.

2.1. Mechaniczne znaczenie pochodnej.

Rozważ prostoliniowy ruch jakiegoś sztywnego ciała lub punktu materialnego.

Niech w pewnym momencie ruchomy punkt
był w oddali od pozycji wyjściowej
.

Po pewnym czasie
przeszła na odległość
. Postawa =- średnia prędkość punktu materialnego
. Znajdźmy granicę tego stosunku, biorąc pod uwagę, że
.

W konsekwencji wyznaczenie prędkości chwilowej punktu materialnego sprowadza się do znalezienia pochodnej drogi po czasie.

2.2. Wartość geometryczna pochodnej

Załóżmy, że mamy graficznie zdefiniowaną jakąś funkcję
.

Ryż. 1. Geometryczne znaczenie pochodnej

Jeśli
, to punkt
, będzie poruszać się po łuku, zbliżając się do punktu
.

w konsekwencji
, tj. wartość pochodnej podana wartość argumentu liczbowo równa się stycznej kąta utworzonego przez styczną w danym punkcie z dodatnim kierunkiem osi
.

2.3. Tabela podstawowych wzorów różniczkowania.

Funkcja zasilania

Funkcja wykładnicza

funkcja logarytmiczna

funkcja trygonometryczna

Odwrotna funkcja trygonometryczna

2.4. Zasady różnicowania.

Pochodna

Pochodna sumy (różnicy) funkcji

Pochodna iloczynu dwóch funkcji

Pochodna ilorazu dwóch funkcji

2.5. Pochodna funkcji zespolonej.

Niech funkcja
tak, że można go przedstawić jako

I
, gdzie zmienna jest argumentem pośrednim, więc

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej danej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem x.

Przykład 1.

Przykład2.

3. Różnica funkcji.

Niech będzie
, różniczkowalny na pewnym przedziale
Odpuść sobie w ta funkcja ma pochodną

,

wtedy możesz pisać

(1),

gdzie - nieskończenie mała ilość,

ponieważ w

Mnożenie wszystkich warunków równości (1) przez
mamy:

Gdzie
- b.m.w. wyższego rzędu.

Wartość
nazywana jest różniczką funkcji
i oznaczone

.

3.1. Wartość geometryczna różniczki.

Niech funkcja
.

Rys.2. Geometryczne znaczenie różniczki.

.

Oczywiście, różniczka funkcji
jest równy przyrostowi rzędnej stycznej w danym punkcie.

3.2. Pochodne i różniczki różnych rzędów.

Jeśli jest
, następnie
nazywana jest pierwszą pochodną.

Pochodna pierwszej pochodnej nazywana jest pochodną drugiego rzędu i jest zapisywana
.

Pochodna n-tego rzędu funkcji
nazywana jest pochodną rzędu (n-1) i jest zapisana:

.

Różniczka różniczki funkcji nazywana jest różniczką drugiego rzędu lub różniczką drugiego rzędu.

.

.

3.3 Rozwiązywanie problemów biologicznych z wykorzystaniem różnicowania.

Zadanie 1. Badania wykazały, że rozwój kolonii mikroorganizmów jest zgodny z prawem
, gdzie n – liczba drobnoustrojów (w tysiącach), T – czas (dni).

b) Czy w tym okresie populacja kolonii wzrośnie czy zmniejszy się?

Odpowiedź. Kolonia powiększy się.

Zadanie 2. Woda w jeziorze jest okresowo badana pod kątem zawartości bakterii chorobotwórczych. W poprzek T dni po badaniu stężenie bakterii jest określane przez stosunek

.

Kiedy w jeziorze pojawi się minimalne stężenie bakterii i będzie można w nim pływać?

Rozwiązanie Funkcja osiąga wartość max lub min, gdy jej pochodna wynosi zero.

,

Ustalmy, że max lub min będzie za 6 dni. Aby to zrobić, bierzemy drugą pochodną.

Odpowiedź: Po 6 dniach będzie minimalne stężenie bakterii.

Zacznijmy własności logarytmu jedności. Jego sformułowanie jest następujące: logarytm jedności jest równy zero, czyli zaloguj 1=0 dla dowolnego a>0 , a≠1 . Dowód jest prosty: ponieważ a 0 =1 dla dowolnego a spełniającego powyższe warunki a>0 i a≠1 , to udowodniony log a 1=0 wynika bezpośrednio z definicji logarytmu.

Podajmy przykłady zastosowania rozważanej własności: log 3 1=0 , lg1=0 i .

Przejdźmy do następnej nieruchomości: logarytm liczby o podstawie jest równy jeden, tj, log a = 1 dla a>0 , a≠1 . Rzeczywiście, skoro a 1 =a dla dowolnego a , to zgodnie z definicją logarytmu log a a=1 .

Przykładami użycia tej właściwości logarytmów są log 5 5=1 , log 5,6 5,6 i lne=1 .

Na przykład log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i .

Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich x i y są równe iloczynowi logarytmów tych liczb: log a (x y) = log a x + log a y, a>0 , a≠1 . Wykażmy własność logarytmu iloczynu. Ze względu na właściwości stopnia log a x+log a y = log a x log a y, a ponieważ według głównej tożsamości logarytmicznej log a x =x i log a y =y , to log a x a log a y =x y . Zatem log a x+log a y =x y , skąd wymagana równość wynika z definicji logarytmu.

Pokażmy przykłady wykorzystania własności logarytmu iloczynu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i .

Własność logarytmu iloczynu można uogólnić na iloczyn skończonej liczby n liczb dodatnich x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ta równość jest łatwa do udowodnienia.

Na przykład logarytm naturalny iloczynu można zastąpić sumą trzech logarytmów naturalnych liczb 4 , e i .

Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich x i y są równe różnicy między logarytmami tych liczb. Własność logarytmu ilorazowego odpowiada wzorowi postaci , gdzie a>0 , a≠1 , x i y są liczbami dodatnimi. Ważność tego wzoru jest udowodniona jak wzór na logarytm iloczynu: ponieważ , a następnie przez definicję logarytmu .

Oto przykład użycia tej właściwości logarytmu: .

Przejdźmy do własność logarytmu stopnia. Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu modułu podstawy tego stopnia. Tę właściwość logarytmu stopnia zapisujemy w postaci wzoru: log a b p = p log a |b|, gdzie a>0 , a≠1 , b i p są liczbami takimi, że stopień bp ma sens i bp >0 .

Najpierw udowodnimy tę własność dla pozytywnego b . Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam reprezentować liczbę b jako log a b , następnie bp =(a log a b) p , a wynikowe wyrażenie, ze względu na właściwość potęgi, jest równe a p log a b . Dochodzimy więc do równości bp =a p log a b , z której, z definicji logarytmu, wnioskujemy, że log a bp = p log a b .

Pozostaje udowodnić tę właściwość dla ujemnego b . Tutaj zauważamy, że wyrażenie log a bp dla ujemnego b ma sens tylko dla parzystych wykładników p (ponieważ wartość stopnia bp musi być większa od zera, w przeciwnym razie logarytm nie będzie miał sensu), a w tym przypadku bp =|b| P . Następnie b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, skąd log a b p = p log a |b| .

Na przykład, oraz ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Wynika to z poprzedniej własności właściwość logarytmu z rdzenia: logarytm pierwiastka n-tego stopnia jest równy iloczynowi ułamka 1/n i logarytmu pierwiastka wyrażenia, czyli , gdzie a>0 , a≠1 , n jest liczbą naturalną większą od jeden, b>0 .

Dowód opiera się na równości (patrz ), która jest ważna dla dowolnego dodatniego b , oraz własności logarytmu stopnia: .

Oto przykład użycia tej właściwości: .

Teraz udowodnijmy formuła konwersji do nowej podstawy logarytmu uprzejmy . Aby to zrobić, wystarczy udowodnić poprawność logu równości c b=log a b log c a . Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam reprezentować liczbę b jako log a b , a następnie log c b=log c a log a b . Pozostaje wykorzystać własność logarytmu stopnia: log c a log a b = log a b log c a. W ten sposób udowodniono logarytm równości c b=log a b log c a, co oznacza, że ​​udowodniono również wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu.

Pokażmy kilka przykładów zastosowania tej własności logarytmów: i .

Formuła przejścia do nowej podstawy pozwala przejść do pracy z logarytmami, które mają „wygodną” podstawę. Na przykład można go użyć do przełączenia na logarytm naturalny lub dziesiętny, dzięki czemu można obliczyć wartość logarytmu z tabeli logarytmów. Wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu pozwala również w niektórych przypadkach znaleźć wartość danego logarytmu, gdy znane są wartości niektórych logarytmów o innych podstawach.

Często używany jest szczególny przypadek wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu dla c=b postaci . To pokazuje, że log a b i log b a – . Na przykład, .

Często używana jest również formuła , co jest przydatne do znajdowania wartości logarytmów. Aby potwierdzić nasze słowa, pokażemy, w jaki sposób oblicza się z niego wartość logarytmu formularza. Mamy . Aby udowodnić formułę wystarczy zastosować wzór przejścia do nowej podstawy logarytmu a: .

Pozostaje udowodnić porównawcze własności logarytmów.

Udowodnijmy, że dla dowolnych liczb dodatnich b 1 i b 2 , b 1 log a b 2 , a dla a>1, nierówność log a b 1

Na koniec pozostaje udowodnienie ostatniej z wymienionych własności logarytmów. Ograniczamy się do udowodnienia jego pierwszej części, czyli dowodzimy, że jeśli a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 1 to prawda log a 1 b> log a 2 b . Pozostałe stwierdzenia tej własności logarytmów dowodzi podobna zasada.

Użyjmy odwrotnej metody. Załóżmy, że dla 1 >1 , 2 >1 i 1 1 log a 1 b≤log a 2 b jest prawdą. Dzięki własnościom logarytmów nierówności te można przepisać jako I i z nich wynika, że ​​odpowiednio log b a 1 ≤ log b a 2 i log b a 1 ≥ log b a 2. Następnie, z własności potęg o tych samych podstawach, muszą być spełnione równości b log b a 1 ≥ b log b a 2 oraz b log b a 1 ≥ b log b a 2, czyli a 1 ≥ a 2 . W ten sposób doszliśmy do sprzeczności z warunkiem a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

W związku z

zadanie znalezienia dowolnej z trzech liczb z dwóch pozostałych, podanych, może być ustawione. Biorąc pod uwagę a, a następnie N znajduje się przez potęgowanie. Jeśli podane jest N, a następnie znajduje się a, wydobywając pierwiastek potęgi x (lub potęgowania). Rozważmy teraz przypadek, w którym przy danych a i N wymagane jest znalezienie x.

Niech liczba N będzie dodatnia: liczba a jest dodatnia i nie równa się jedności: .

Definicja. Logarytm liczby N do podstawy a jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać liczbę N; logarytm jest oznaczony przez

Zatem w równości (26.1) wykładnik znajduje się jako logarytm z N do podstawy a. Wpisy

mają to samo znaczenie. Równość (26.1) nazywana jest czasem podstawową tożsamością teorii logarytmów; w rzeczywistości wyraża definicję pojęcia logarytmu. Zgodnie z tą definicją podstawa logarytmu a jest zawsze dodatnia i różna od jedności; liczba logarytmiczna N jest dodatnia. Liczby ujemne i zero nie mają logarytmów. Można wykazać, że dowolna liczba o danej podstawie ma dobrze zdefiniowany logarytm. Dlatego równość pociąga za sobą . Zauważ, że warunek jest tutaj istotny, w przeciwnym razie wniosek nie byłby uzasadniony, ponieważ równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości x i y.

Przykład 1. Znajdź

Rozwiązanie. Aby uzyskać liczbę, musisz podnieść podstawę 2 do potęgi Dlatego.

Możesz nagrać podczas rozwiązywania takich przykładów w następującej formie:

Przykład 2. Znajdź .

Rozwiązanie. Mamy

W przykładach 1 i 2 łatwo znaleźliśmy żądany logarytm, przedstawiając liczbę logarytmiczną jako stopień podstawy z wykładnikiem wymiernym. W ogólnym przypadku, na przykład dla itp., nie można tego zrobić, ponieważ logarytm ma wartość irracjonalną. Zwróćmy uwagę na jedno pytanie związane z tym stwierdzeniem. W § 12 podaliśmy koncepcję możliwości wyznaczenia dowolnej potęgi rzeczywistej danej liczby dodatniej. Było to konieczne do wprowadzenia logarytmów, które na ogół mogą być liczbami niewymiernymi.

Rozważ niektóre właściwości logarytmów.

Własność 1. Jeśli liczba i podstawa są równe, to logarytm jest równy jeden i odwrotnie, jeśli logarytm jest równy jeden, to liczba i podstawa są równe.

Dowód. Niech Zgodnie z definicją logarytmu mamy i skąd

I odwrotnie, niech wtedy z definicji

Własność 2. Logarytm jedności do dowolnej podstawy jest równy zero.

Dowód. Zgodnie z definicją logarytmu (moc zerowa dowolnej dodatniej podstawy jest równa jeden, patrz (10.1)). Stąd

co było do okazania

Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: jeśli , to N = 1. Rzeczywiście, mamy .

Przed stwierdzeniem następującej własności logarytmów zgadzamy się powiedzieć, że dwie liczby a i b leżą po tej samej stronie trzeciej liczby c, jeśli obie są większe od c lub mniejsze od c. Jeśli jedna z tych liczb jest większa niż c, a druga mniejsza niż c, wtedy mówimy, że leżą po przeciwnych stronach c.

Własność 3. Jeśli liczba i podstawa leżą po tej samej stronie jedności, wtedy logarytm jest dodatni; jeśli liczba i podstawa leżą po przeciwnych stronach jedności, to logarytm jest ujemny.

Dowód własności 3 opiera się na fakcie, że stopień a jest większy niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest dodatni, lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest ujemny. Stopień jest mniejszy niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest ujemny, lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest dodatni.

Należy wziąć pod uwagę cztery przypadki:

Ograniczamy się do analizy pierwszego z nich, resztę czytelnik rozważy sam.

Niech więc wykładnik równości nie będzie ani ujemny, ani równy zeru, a zatem jest dodatni, tj. co trzeba było udowodnić.

Przykład 3. Dowiedz się, które z poniższych logarytmów są dodatnie, a które ujemne:

Rozwiązanie a) ponieważ liczba 15 i podstawa 12 znajdują się po tej samej stronie jednostki;

b), ponieważ 1000 i 2 znajdują się po tej samej stronie jednostki; jednocześnie nie jest konieczne, aby podstawa była większa od liczby logarytmicznej;

c), ponieważ 3,1 i 0,8 leżą po przeciwnych stronach jedności;

G) ; Dlaczego?

e) ; Dlaczego?

Następujące własności 4-6 nazywane są często regułami logarytmu: pozwalają, znając logarytmy niektórych liczb, znaleźć logarytmy ich iloczynu, ilorazu, stopnia każdej z nich.

Własność 4 (reguła logarytmu iloczynu). Logarytm iloczynu kilku liczb dodatnich w danej podstawie jest równy sumie logarytmów tych liczb w tej samej podstawie.

Dowód. Niech zostaną podane liczby dodatnie.

Dla logarytmu ich iloczynu zapisujemy równość (26.1) określającą logarytm:

Stąd znajdujemy

Porównując wykładniki pierwszego i ostatniego wyrażenia, otrzymujemy wymaganą równość:

Zauważ, że warunek jest niezbędny; logarytm iloczynu dwóch liczb ujemnych ma sens, ale w tym przypadku otrzymujemy

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli iloczyn kilku czynników jest dodatni, to jego logarytm jest równy sumie logarytmów modułów tych czynników.

Własność 5 (reguła logarytmiczna ilorazu). Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika, przyjętymi w tej samej podstawie. Dowód. Konsekwentnie znajduj

co było do okazania

Własność 6 (zasada logarytmu stopnia). Logarytm potęgi dowolnej liczby dodatniej jest równy logarytmowi tej liczby razy wykładnik.

Dowód. Piszemy ponownie główną tożsamość (26.1) dla liczby :

co było do okazania

Konsekwencja. Logarytm pierwiastka liczby dodatniej jest równy logarytmowi pierwiastka podzielonemu przez wykładnik pierwiastka:

Możemy udowodnić słuszność tego wniosku, przedstawiając sposób i wykorzystując właściwość 6.

Przykład 4. Logarytm do podstawy a:

a) (przyjmuje się, że wszystkie wartości b, c, d, e są dodatnie);

b) (przyjmuje się, że ).

Rozwiązanie a) Wygodnie jest przekazać w tym wyrażeniu do potęg ułamkowych:

Na podstawie równości (26,5)-(26,7) możemy teraz napisać:

Zauważamy, że prostsze operacje wykonuje się na logarytmach liczb niż na samych liczbach: przy mnożeniu liczb ich logarytmy są dodawane, przy dzieleniu odejmowane itd.

Dlatego w praktyce obliczeniowej stosowano logarytmy (patrz rozdz. 29).

Czynność odwrotną do logarytmu nazywamy potencjonowaniem, a mianowicie: potencjonowanie to czynność, dzięki której sama ta liczba zostaje znaleziona przez dany logarytm liczby. W istocie wzmocnienie nie jest żadnym szczególnym działaniem: sprowadza się do podniesienia podstawy do potęgi (równej logarytmowi liczby). Termin „wzmocnienie” można uznać za synonim terminu „potęgowanie”.

Przy wzmacnianiu konieczne jest stosowanie reguł odwrotnych do reguł logarytmów: zamień sumę logarytmów na logarytm iloczynu, różnicę logarytmów na logarytm ilorazu itp. W szczególności, jeśli występuje dowolny czynnik przed znakiem logarytmu, to podczas wzmacniania należy go przenieść na stopnie wskaźnikowe pod znakiem logarytmu.

Przykład 5. Znajdź N, jeśli wiadomo, że

Rozwiązanie. W związku ze wspomnianą właśnie regułą potęgowania, czynniki 2/3 i 1/3, które znajdują się przed znakami logarytmów po prawej stronie tej równości, zostaną przeniesione na wykładniki pod znakami tych logarytmów; dostajemy

Teraz zastępujemy różnicę logarytmów logarytmem ilorazu:

aby otrzymać ostatni ułamek w tym łańcuchu równości, uwolniliśmy poprzedni ułamek od irracjonalności w mianowniku (sekcja 25).

Własność 7. Jeśli podstawa jest większa niż jeden, to większa liczba ma większy logarytm (a mniejsza ma mniejszy), jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, to większa liczba ma mniejszy logarytm (a mniejsza jeden ma większy).

Ta własność jest również sformułowana jako reguła dla logarytmu nierówności, których obie części są dodatnie:

Przy logarytmowaniu nierówności o podstawie większej niż jeden znak nierówności zostaje zachowany, a przy logarytmie o podstawie mniejszej niż jeden znak nierówności jest odwracany (patrz też punkt 80).

Dowód opiera się na własnościach 5 i 3. Rozważmy przypadek, w którym Jeżeli , wtedy i logarytmując, otrzymujemy

(a i N/M leżą po tej samej stronie jedności). Stąd

Przypadek następujący, czytelnik sam to zrozumie.

Polecamy również

• Zasilacz impulsowy: naprawa i udoskonalenie
• Zdalne sterowanie światłem
• Lekcje pływania dla dzieci w wieku przedszkolnym
• Uwagi dla mistrza - domowe alarmy domowe
• Śmigło zegarowe w Atmega8
• Przykłady zastosowania urządzenia i przekaźnika, jak prawidłowo dobrać i podłączyć przekaźnik Mikrokontroler i proste obwody przełączające przekaźnika