Problemy z równania kwadratowego są również badane w program nauczania i na uniwersytetach. Są rozumiane jako równania postaci a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdzie x- zmienna, a,b,c – stałe; a<>0 . Problem polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Geometryczne znaczenie równania kwadratowego

Wykres funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe to parabola. Rozwiązania (pierwiastki) równania kwadratowego to punkty przecięcia paraboli z osią x. Wynika z tego, że możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią x. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z rozgałęzieniami do góry lub dolnej z rozgałęzieniami w dół. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki złożone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Wół. Taki punkt nazywa się wierzchołkiem paraboli, a zawarte w nim równanie kwadratowe uzyskuje swoją minimalną lub maksymalną wartość. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest ciekawszy w praktyce - istnieją dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Na podstawie analizy współczynników przy potęgach zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski dotyczące rozmieszczenia paraboli.

1) Jeśli współczynnik a jest większy od zera, to parabola jest skierowana w górę, jeśli jest ujemna, gałęzie paraboli skierowane są w dół.

2) Jeśli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeśli przyjmuje wartość ujemną, to w prawej.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby uzyskać pełny kwadrat po lewej stronie, dodaj b ^ 2 w obu częściach i wykonaj przekształcenie

Stąd znajdujemy

Wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego

Dyskryminator jest wartością wyrażenia pierwiastkowego.Jeśli jest dodatni, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone ze wzoru Gdy dyskryminator wynosi zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa pokrywające się pierwiastki), które łatwo wyprowadzić z powyższego wzoru dla D = 0. Gdy dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jednak, aby zbadać rozwiązania równania kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się według wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważ dwa pierwiastki równania kwadratowego i skonstruuj na ich podstawie równanie kwadratowe.Samo twierdzenie Vieta łatwo wynika z notacji: jeśli mamy równanie kwadratowe o postaci wtedy suma jego pierwiastków jest równa współczynnikowi p, wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi wolnemu q. Wzór na powyższe będzie wyglądał tak: Jeśli stała a w równaniu klasycznym jest niezerowa, to musisz przez nią podzielić całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Vieta.

Harmonogram równania kwadratowego na czynniki

Niech postawimy sobie zadanie: rozłożyć równanie kwadratowe na czynniki. Aby to wykonać, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdujemy pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego.Ten problem zostanie rozwiązany.

Zadania dla równania kwadratowego

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i zastąp je we wzorze na dyskryminację

korzeń podana wartość równy 14, łatwo go znaleźć za pomocą kalkulatora, lub zapamiętać przy częstym używaniu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często można znaleźć w takich zadaniach .
Znaleziona wartość jest podstawiona do wzoru na pierwiastek

i dostajemy

Zadanie 2. Rozwiązać równanie

2x2+x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, wypisz współczynniki i znajdź wyróżnik


Za pomocą znane wzory znajdź pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiązać równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Określ dyskryminator

Mamy przypadek, gdy korzenie się pokrywają. Obliczamy wartości pierwiastków według wzoru

Zadanie 4. Rozwiązać równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, w których występują małe współczynniki dla x, wskazane jest zastosowanie twierdzenia Vieta. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku otrzymujemy, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z korzeni jest ujemny. Mamy następującą możliwą parę rozwiązań(-3;2), (3;-2) . Biorąc pod uwagę pierwszy warunek, odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania to

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a powierzchnia 77 cm2.

Rozwiązanie: połowa obwodu prostokąta jest równa sumie sąsiednich boków. Oznaczmy x - duża strona, wtedy 18-x jest jego mniejszą stroną. Powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi tych długości:
x(18x)=77;
lub
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Znajdź wyróżnik równania

Obliczamy pierwiastki równania

Jeśli x=11, następnie 18x=7 , odwrotnie jest również prawdziwe (jeśli x=7, to 21-x=9).

Zadanie 6. Rozkład na czynniki kwadratowe równanie 10x 2 -11x+3=0.

Rozwiązanie: Oblicz pierwiastki równania, w tym celu znajdujemy wyróżnik

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastków i obliczamy

Stosujemy wzór na rozwinięcie równania kwadratowego o pierwiastki

Rozwijając nawiasy otrzymujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Dla jakich wartości parametru a , czy równanie (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Poprzez bezpośrednie podstawienie wartości a=3 widzimy, że nie ma rozwiązania. Ponadto wykorzystamy fakt, że przy zerowym dyskryminatorze równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Wypiszmy wyróżnik

uprościć i przyrównać do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na parametr a, którego rozwiązanie jest łatwe do uzyskania przy pomocy twierdzenia Vieta. Suma pierwiastków to 7, a ich iloczyn to 12. Poprzez proste wyliczenie ustalamy, że liczby 3.4 będą pierwiastkami równania. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a=3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a = 4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Dla jakich wartości parametru a , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden korzeń?

Rozwiązanie: Rozważmy najpierw punkty osobliwe, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0, równanie zostanie uproszczone do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0 .
Oblicz dyskryminator

i znajdź wartości, dla których jest to pozytywne

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. Po drugie, znajdujemy wyróżnik i pierwiastki równania


Zdefiniujmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Tak więc poza przedziałem (-3; 1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o kropce a=0 co należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma w sobie jeden pierwiastek.
W efekcie otrzymujemy dwa przedziały spełniające warunek problemu

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, postaraj się samemu poradzić sobie z zadaniami i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Przestudiuj dobrze wzory do rozwiązywania równań kwadratowych, są one dość często potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.

W nowoczesne społeczeństwo umiejętność wykonywania operacji na równaniach zawierających zmienną kwadratową może być przydatna w wielu obszarach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w naukach i rozwój techniczny. Świadczyć o tym może konstrukcja statków morskich i rzecznych, samolotów i pocisków. Za pomocą takich obliczeń określa się trajektorie ruchu różnych ciał, w tym obiektów kosmicznych. Przykłady z rozwiązywaniem równań kwadratowych znajdują zastosowanie nie tylko w prognozowaniu ekonomicznym, projektowaniu i budowie budynków, ale także w najzwyklejszych okolicznościach życia codziennego. Mogą być potrzebne w wycieczki piesze, w sporcie, w sklepach podczas zakupów i w innych bardzo powszechnych sytuacjach.

Podzielmy wyrażenie na czynniki składowe

Stopień równania jest określony przez maksymalną wartość stopnia zmiennej, którą zawiera dane wyrażenie. Jeśli jest równe 2, to takie równanie nazywa się równaniem kwadratowym.

Jeśli mówimy językiem formuł, to wyrażenia te, bez względu na to, jak wyglądają, zawsze można sprowadzić do formy, w której lewa strona wyrażenia składa się z trzech wyrazów. Wśród nich: ax 2 (czyli zmienna do kwadratu ze swoim współczynnikiem), bx (niewiadoma bez kwadratu ze swoim współczynnikiem) i c (składowa dowolna, czyli liczba zwykła). Wszystko to po prawej stronie jest równe 0. W przypadku, gdy taki wielomian nie ma jednego ze swoich członów składowych, z wyjątkiem osi 2, nazywamy go niepełnym równaniem kwadratowym. W pierwszej kolejności należy rozważyć przykłady rozwiązania takich problemów, w których wartość zmiennych nie jest trudna do znalezienia.

Jeśli wyrażenie wygląda tak, że po prawej stronie znajdują się dwa wyrazy, a dokładniej ax 2 i bx, najłatwiej jest znaleźć x, umieszczając zmienną w nawias. Teraz nasze równanie będzie wyglądać tak: x(ax+b). Dalej staje się oczywiste, że albo x=0, albo problem sprowadza się do znalezienia zmiennej z wyrażenia: ax+b=0. Jest to podyktowane jedną z właściwości mnożenia. Zasada mówi, że iloczyn dwóch czynników daje 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich zero.

Przykład

x=0 lub 8x - 3 = 0

W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki równania: 0 i 0,375.

Tego rodzaju równania mogą opisywać ruch ciał pod wpływem grawitacji, które zaczęły się poruszać od pewnego punktu, przyjętego jako początek. Tutaj notacja matematyczna przyjmuje postać: y = v 0 t + gt 2 /2. Podstawiając niezbędne wartości, zrównując prawą stronę do 0 i znajdując możliwe niewiadome, możesz poznać czas, jaki upłynął od momentu wzniesienia się ciała do momentu upadku, a także wiele innych wielkości. Ale o tym porozmawiamy później.

Faktoring wyrażenia

Opisana powyżej zasada umożliwia rozwiązanie tych problemów i nie tylko trudne przypadki. Rozważ przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych tego typu.

X2 - 33x + 200 = 0

Ten trójmian kwadratowy jest pełny. Najpierw przekształcamy wyrażenie i rozkładamy je na czynniki. Są dwa z nich: (x-8) i (x-25) = 0. W rezultacie mamy dwa pierwiastki 8 i 25.

Przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych w klasie 9 pozwalają tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugiego, ale nawet trzeciego i czwartego rzędu.

Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Rozkładając prawą stronę na czynniki ze zmienną, są trzy z nich, czyli (x + 1), (x-3) i (x + 3).

W rezultacie staje się oczywiste, że podane równanie ma trzy korzenie: -3; -jeden; 3.

Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego

Innym przypadkiem niepełnego równania drugiego rzędu jest wyrażenie napisane w języku liter w taki sposób, że prawa strona jest zbudowana ze składowych ax 2 i c. Tutaj, aby uzyskać wartość zmiennej, wolny termin jest przenoszony do prawa strona, a następnie z obu części równości, Pierwiastek kwadratowy. Należy zauważyć, że w tym przypadku zwykle występują dwa pierwiastki równania. Jedynymi wyjątkami są równości, które w ogóle nie zawierają wyrazu c, gdzie zmienna jest równa zero, oraz warianty wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się ujemna. W tym drugim przypadku nie ma w ogóle rozwiązań, ponieważ powyższych czynności nie można wykonać z korzeniami. Należy rozważyć przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.

W tym przypadku pierwiastkami równania będą liczby -4 i 4.

Obliczanie powierzchni ziemi

Potrzeba tego rodzaju obliczeń pojawiła się już w starożytności, ponieważ w nich w dużej mierze następuje rozwój matematyki odległe czasy wynikało z konieczności jak najdokładniejszego określenia powierzchni i obwodów działek.

Powinniśmy również rozważyć przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych, opracowane na podstawie tego rodzaju problemów.

Powiedzmy, że jest prostokątny obszar grunt, którego długość jest o 16 metrów większa niż szerokość. Powinieneś znaleźć długość, szerokość i obwód terenu, jeśli wiadomo, że jego powierzchnia wynosi 612 m2.

Przechodząc do biznesu, najpierw zrobimy niezbędne równanie. Oznaczmy szerokość przekroju jako x, wtedy jego długość będzie wynosić (x + 16). Z tego, co napisano, wynika, że ​​obszar jest określony przez wyrażenie x (x + 16), które zgodnie ze stanem naszego problemu wynosi 612. Oznacza to, że x (x + 16) \u003d 612.

Rozwiązanie kompletnych równań kwadratowych, a to wyrażenie jest właśnie takie, nie może być wykonane w ten sam sposób. Czemu? Chociaż jego lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, ich iloczyn wcale nie jest równy 0, więc stosuje się tutaj inne metody.

Dyskryminujący

Przede wszystkim dokonujemy niezbędnych przekształceń, potem wygląd zewnętrzny wyrażenie to będzie wyglądało tak: x 2 + 16x - 612 = 0. Oznacza to, że otrzymaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej wcześniej określonemu standardowi, gdzie a=1, b=16, c=-612.

Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przez dyskryminator. Tutaj niezbędne obliczenia produkowane według schematu: D = b 2 - 4ac. Ta wartość pomocnicza nie tylko umożliwia znalezienie pożądanych wartości w równaniu drugiego rzędu, ale określa liczbę opcje. W przypadku D>0, są dwa z nich; dla D=0 jest jeden pierwiastek. W przypadku D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korzeniach i ich formule

W naszym przypadku wyróżnikiem jest: 256 - 4(-612) = 2704. Oznacza to, że nasz problem ma rozwiązanie. Jeśli wiesz, to, rozwiązywanie równań kwadratowych musi być kontynuowane przy użyciu poniższego wzoru. Pozwala obliczyć korzenie.

Oznacza to, że w prezentowanym przypadku: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wielkości działki nie można mierzyć w wartościach ujemnych, co oznacza, że ​​x (czyli szerokość działki) wynosi 18 m. Stąd obliczamy długość: 18+16=34, a obwód 2(34+18) = 104 (m2).

Przykłady i zadania

Kontynuujemy badanie równań kwadratowych. Przykłady i szczegółowe rozwiązanie kilku z nich zostaną podane poniżej.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Przenieśmy wszystko na lewą stronę równości, dokonajmy transformacji, czyli otrzymamy postać równania, które zwykle nazywamy standardowym i przyrównamy do zera.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Po dodaniu podobnych określamy dyskryminator: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Więc nasze równanie będzie miało dwa pierwiastki. Obliczamy je według powyższego wzoru, co oznacza, że ​​pierwszy z nich będzie równy 4/3, a drugi 1.

2) Teraz ujawnimy zagadki innego rodzaju.

Dowiedzmy się, czy w ogóle są tu pierwiastki x 2 - 4x + 5 = 1? Aby uzyskać wyczerpującą odpowiedź, doprowadzamy wielomian do odpowiedniej znanej postaci i obliczamy wyróżnik. W tym przykładzie nie jest konieczne rozwiązywanie równania kwadratowego, ponieważ istota problemu wcale nie jest w tym. W tym przypadku D \u003d 16-20 \u003d -4, co oznacza, że ​​tak naprawdę nie ma korzeni.

Twierdzenie Viety

Wygodnie jest rozwiązywać równania kwadratowe za pomocą powyższych wzorów i dyskryminatora, gdy pierwiastek kwadratowy jest wyciągany z wartości tego ostatniego. Ale nie zawsze tak się dzieje. Istnieje jednak wiele sposobów na uzyskanie wartości zmiennych w tym przypadku. Przykład: rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Viety. Został nazwany na cześć człowieka, który mieszkał w XVI-wiecznej Francji i dzięki swemu matematycznemu talentowi i znajomościom na dworze miał błyskotliwą karierę. Jego portret można zobaczyć w artykule.

Wzór, który zauważył słynny Francuz, wyglądał następująco. Udowodnił, że suma pierwiastków równania jest równa -p=b/a, a ich iloczyn odpowiada q=c/a.

Przyjrzyjmy się teraz konkretnym zadaniom.

3x2 + 21x - 54 = 0

Dla uproszczenia przekształćmy wyrażenie:

x 2 + 7x - 18 = 0

Korzystając z twierdzenia Vieta, otrzymamy to, co następuje: suma pierwiastków to -7, a ich iloczyn to -18. Stąd wynika, że ​​pierwiastkami równania są liczby -9 i 2. Po sprawdzeniu upewnimy się, że te wartości zmiennych rzeczywiście pasują do wyrażenia.

Wykres i równanie paraboli

Pojęcia funkcji kwadratowej i równania kwadratoweściśle powiązane. Przykłady tego zostały już podane wcześniej. Przyjrzyjmy się teraz nieco bardziej szczegółowo niektórym zagadkom matematycznym. Każde równanie opisanego typu można przedstawić wizualnie. Taka zależność, narysowana w formie wykresu, nazywana jest parabolą. Poszczególne jej rodzaje pokazano na poniższym rysunku.

Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wychodzą jej gałęzie. Jeśli a>0, idą w górę do nieskończoności, a kiedy a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Wizualne reprezentacje funkcji pomagają rozwiązywać dowolne równania, w tym równania kwadratowe. Ta metoda nazywa się grafiką. A wartość zmiennej x to współrzędna odciętej w punktach, w których linia wykresu przecina 0x. Współrzędne wierzchołka można znaleźć za pomocą właśnie podanego wzoru x 0 = -b / 2a. I zastępując otrzymaną wartość do pierwotnego równania funkcji, możesz znaleźć y 0, czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli należącego do osi y.

Przecięcie gałęzi paraboli z osią odciętych

Istnieje wiele przykładów rozwiązywania równań kwadratowych, ale są też ogólne wzorce. Rozważmy je. Jasne jest, że przecięcie wykresu z osią 0x dla a>0 jest możliwe tylko wtedy, gdy y 0 przyjmuje wartości ujemne. I dla<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. W przeciwnym razie D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z wykresu paraboli możesz również określić pierwiastki. Odwrotna sytuacja też jest prawdziwa. Oznacza to, że jeśli nie jest łatwo uzyskać wizualną reprezentację funkcji kwadratowej, możesz zrównać prawą stronę wyrażenia z 0 i rozwiązać otrzymane równanie. A znając punkty przecięcia z osią 0x, łatwiej wykreślić.

Z historii

Za pomocą równań zawierających zmienną kwadratową w dawnych czasach nie tylko wykonywano obliczenia matematyczne i określano obszar kształtów geometrycznych. Starożytni potrzebowali takich obliczeń do wielkich odkryć w dziedzinie fizyki i astronomii, a także do sporządzania prognoz astrologicznych.

Jak sugerują współcześni naukowcy, mieszkańcy Babilonu byli jednymi z pierwszych, którzy rozwiązali równania kwadratowe. Stało się to cztery wieki przed nadejściem naszej ery. Oczywiście ich obliczenia zasadniczo różniły się od obecnie akceptowanych i okazały się znacznie bardziej prymitywne. Na przykład matematycy mezopotamscy nie mieli pojęcia o istnieniu liczb ujemnych. Nie znali również innych subtelności znanych każdemu uczniowi naszych czasów.

Być może nawet wcześniej niż naukowcy z Babilonu, indyjski mędrzec Baudhayama zajął się rozwiązywaniem równań kwadratowych. Stało się to około ośmiu wieków przed nadejściem ery Chrystusa. Prawdą jest, że równania drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które podał, były najprostsze. Oprócz niego w dawnych czasach podobnymi zagadnieniami interesowali się również chińscy matematycy. W Europie równania kwadratowe zaczęto rozwiązywać dopiero na początku XIII wieku, ale później wykorzystali je w swojej pracy tak wielcy naukowcy jak Newton, Kartezjusz i wielu innych.

Równania kwadratowe są badane w klasie 8, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Niezbędna jest umiejętność ich rozwiązania.

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a , b i c są liczbami arbitralnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązania zauważamy, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

1. Nie mają korzeni;
2. Mają dokładnie jeden korzeń;
3. Mają dwa różne korzenie.

Jest to ważna różnica między równaniami kwadratowymi i liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak określić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym cudowna rzecz - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech dane będzie równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem jest po prostu liczba D = b 2 − 4ac .

Ta formuła musi być znana na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz ważne. Kolejna rzecz jest ważna: za pomocą znaku wyróżnika możesz określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

1. Jeśli D< 0, корней нет;
2. Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
3. Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: wyróżnik wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu myśli wiele osób. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Piszemy współczynniki dla pierwszego równania i znajdujemy wyróżnik:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Czyli dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w ten sam sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Dyskryminator jest negatywny, nie ma korzeni. Pozostaje ostatnie równanie:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Dyskryminator jest równy zero - pierwiastek będzie jeden.

Zauważ, że współczynniki zostały wypisane dla każdego równania. Tak, to jest długie, tak, to nudne - ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli „wypełnisz rękę”, po pewnym czasie nie będziesz już musiał wypisywać wszystkich współczynników. Takie operacje wykonasz w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - generalnie nie tak bardzo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć za pomocą wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnej z tych formuł - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie znów ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można użyć dowolnej formuły. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz formuły i umiesz liczyć, nie będzie problemów. Najczęściej błędy pojawiają się, gdy do wzoru wstawia się ujemne współczynniki. Tutaj ponownie pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, pomaluj każdy krok - i szybko pozbądź się błędów.

Niepełne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w tych równaniach brakuje jednego z terminów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie trzeba nawet obliczać dyskryminatora. Przedstawmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub wolnego elementu jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zeru: b \u003d c \u003d 0. W tym przypadku równanie ma postać ax 2 \u003d 0. Oczywiście takie równanie ma jedno korzeń: x \u003d 0.

Rozważmy inne przypadki. Niech b \u003d 0, a następnie otrzymamy niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c \u003d 0. Przekształćmy to nieco:

Ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko wtedy, gdy (−c / a ) ≥ 0. Wniosek:

1. Jeżeli niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c = 0 spełnia nierówność (−c / a ) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
2. Jeśli (−c / a )< 0, корней нет.

Jak widać dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych nie ma w ogóle skomplikowanych obliczeń. W rzeczywistości nie trzeba nawet pamiętać o nierówności (−c / a ) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli jest ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Zajmijmy się teraz równaniami postaci ax 2 + bx = 0, w których wolny element jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, przeanalizujemy kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiąż równania kwadratowe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 – 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nie ma korzeni, ponieważ kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu koniecznie musi być x do kwadratu. Oprócz tego w równaniu może być (lub nie być!) Tylko x (do pierwszego stopnia) i tylko liczba (Wolny Członek). I nie powinno być iksów w stopniu większym niż dwa.

W kategoriach matematycznych równanie kwadratowe jest równaniem postaci:

Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie każdy, ale a- wszystko oprócz zera. Na przykład:

Tutaj a =1; b = 3; c = -4

Tutaj a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tutaj a =-3; b = 6; c = -18

Cóż, masz pomysł...

W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest komplet członków. x do kwadratu ze współczynnikiem a, x do pierwszej potęgi o współczynniku b oraz wolny członek

Takie równania kwadratowe nazywają się kompletny.

I jeśli b= 0, co otrzymamy? Mamy X zniknie w pierwszym stopniu. Dzieje się tak poprzez pomnożenie przez zero.) Okazuje się na przykład:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Itp. A jeśli oba współczynniki b oraz c są równe zero, to jest jeszcze prostsze:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywa się niepełne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Zauważ, że x do kwadratu występuje we wszystkich równaniach.

Przy okazji, dlaczego a nie może być zero? A ty zastępujesz zamiast tego a zero.) X w kwadracie zniknie! Równanie stanie się liniowe. A robi się to inaczej...

To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletny i niekompletny.

Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych.

Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Według formuł i jasne proste zasady. Na pierwszym etapie potrzebujesz podane równanie prowadzić do forma standardowa, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, a, b oraz c.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda tak:

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć x, używamy tylko a, b i c. Tych. współczynniki z równania kwadratowego. Wystarczy ostrożnie zastąpić wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąpić z twoimi znakami! Na przykład w równaniu:

a =1; b = 3; c= -4. Tutaj piszemy:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Wszystko jest bardzo proste. A jak myślisz, nie możesz się pomylić? No tak, jak...

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami wartości a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie tu się pomylić?), ale z podmianą wartości ujemne we wzorze na obliczanie korzeni. Tutaj zapisuje szczegółowy zapis formuły z określonymi liczbami. Jeśli są problemy z obliczeniami, więc zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; c = -1

Powiedzmy, że wiesz, że za pierwszym razem rzadko otrzymujesz odpowiedzi.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie 30 sekund.I liczba błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, z wszystkimi nawiasami i znakami:

Tak staranne malowanie wydaje się niezwykle trudne. Ale tylko się wydaje. Spróbuj. No lub wybierz. Co jest lepsze, szybkie czy właściwe? Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie trzeba wszystkiego tak dokładnie malować. Po prostu okaże się słuszne. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki, które opisano poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów zostanie rozwiązany łatwo i bez błędów!

Ale często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Czy wiedziałeś?) Tak! To jest niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie ustalić, co jest tutaj równe a, b i c.

Realizowany? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; a c? W ogóle nie istnieje! No tak, zgadza się. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zastąp zero we wzorze zamiast c, i wszystko się u nas ułoży. Podobnie z drugim przykładem. Tylko zero, którego tutaj nie mamy z, a b !

Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie łatwiej. Bez żadnych formuł. Rozważ pierwszy niekompletne równanie. Co można zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyrzućmy to.

A co z tego? Oraz fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz? Więc wymyśl dwie niezerowe liczby, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? Coś...
Dlatego śmiało możemy napisać: x 1 = 0, x 2 = 4.

Wszystko. To będą korzenie naszego równania. Oba pasują. Podstawiając dowolny z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać, rozwiązanie jest znacznie prostsze niż ogólny wzór. Zaznaczam przy okazji, który X będzie pierwszy, a który drugi – jest to absolutnie obojętne. Łatwe pisanie w porządku x 1- w zależności od tego, co jest mniejsze x 2- to, co jest więcej.

Drugie równanie również można łatwo rozwiązać. Przechodzimy 9 na prawą stronę. Otrzymujemy:

Pozostaje wydobyć korzeń z 9 i to wszystko. Otrzymać:

również dwa korzenie . x 1 = -3, x 2 = 3.

W ten sposób rozwiązywane są wszystkie niekompletne równania kwadratowe. Albo przez wyjęcie x z nawiasów, albo prosty transfer liczby po prawej stronie, a następnie ekstrakcja korzenia.
Niezwykle trudno jest pomylić te metody. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku trzeba będzie wydobyć korzeń z X, co jest jakoś niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma co wyciągać z nawiasów…

Dyskryminujący. Formuła dyskryminacyjna.

magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadki licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „zdecydować poprzez dyskryminację” jest uspokajające i uspokajające. Bo nie trzeba czekać na sztuczki dyskryminatora! Jest prosty i bezproblemowy w obsłudze.) Przypominam najbardziej ogólna formuła dla rozwiązań każdy równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się wyróżnikiem. Wyróżnik jest zwykle oznaczany literą D. Formuła dyskryminacyjna:

D = b 2 - 4ac

A co jest takiego szczególnego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasługuje na specjalną nazwę? Co znaczenie dyskryminatora? W sumie -b, lub 2a w tej formule nie nazywają konkretnie… Liter i liter.

Chodzi o to. Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą tego wzoru, jest to możliwe tylko trzy przypadki.

1. Wyróżnik jest pozytywny. Oznacza to, że możesz wydobyć z niego korzeń. Inną kwestią jest to, czy korzeń jest dobrze czy źle wydobyty. Ważne jest, co jest w zasadzie wyodrębnione. Wtedy twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.

2. Dyskryminator to zero. Wtedy masz jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odjęcie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to pojedynczy korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwyczajowo mówi się o jedno rozwiązanie.

3. Wyróżnik jest negatywny. Liczba ujemna nie bierze pierwiastka kwadratowego. No dobrze. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze mówiąc, w proste rozwiązanie równania kwadratowe, pojęcie wyróżnika nie jest szczególnie wymagane. Podstawiamy wartości współczynników we wzorze i rozważamy. Tam wszystko okazuje się samo i dwa korzenie i jeden, a nie jeden. Jednak przy rozwiązywaniu więcej trudne zadania, bez wiedzy znaczenie i formuła dyskryminacyjna niewystarczająco. Szczególnie - w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla GIA i Unified State Examination!)

Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez wyróżnik, który zapamiętałeś. Albo wyuczony, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie zidentyfikować a, b i c. Czy wiesz jak uważnie zastąp je formułą korzeni i uważnie policz wynik. Czy zrozumiałeś, że kluczowym słowem tutaj jest - uważnie?

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które są spowodowane nieuwagą... Dla których jest to wtedy bolesne i obraźliwe...

Pierwsze przyjęcie . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego, aby doprowadzić je do standardowej postaci. Co to znaczy?
Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

I znowu nie spiesz się! Minus przed x do kwadratu może cię bardzo zdenerwować. Zapomnienie o tym jest łatwe... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład. Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie martw się, wszystko wyjaśnię! Kontrola Ostatnia rzecz równanie. Tych. ten, za pomocą którego zapisaliśmy formułę korzeni. Jeżeli (jak w tym przykładzie) współczynnik a = 1, łatwo sprawdź korzenie. Wystarczy je pomnożyć. Powinieneś dostać darmowy termin, tj. w naszym przypadku -2. Zwróć uwagę, nie 2, ale -2! Wolny Członek z twoim znakiem . Jeśli to nie wyszło, oznacza to, że już gdzieś nawalili. Poszukaj błędu.

Jeśli się udało, musisz złożyć korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Powinien być stosunek b z naprzeciwko znak. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik b, który jest przed x, jest równy -1. Więc wszystko jest w porządku!
Szkoda, że ​​jest to takie proste tylko dla przykładów, w których x do kwadratu jest czyste, ze współczynnikiem a = 1. Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Wszystko mniej błędów Wola.

Odbiór trzeci . Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Transformacje tożsamości”. Podczas pracy z ułamkami, błędami z jakiegoś powodu wspinaj się ...

Przy okazji obiecałem zły przykład z kilkoma minusami dla uproszczenia. Zapraszamy! Tam jest.

Aby nie pomylić się z minusami, równanie mnożymy przez -1. Otrzymujemy:

To wszystko! Podejmowanie decyzji jest fajne!

Podsumujmy więc temat.

Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc całe równanie przez -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik przy tym równy jeden rozwiązanie można łatwo zweryfikować za pomocą twierdzenia Viety. Zrób to!

Teraz możesz zdecydować.)

Rozwiąż równania:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odpowiedzi (w nieładzie):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - dowolna liczba

x 1 = -3
x 2 = 3

brak rozwiązań

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Czy wszystko pasuje? W porządku! Równania kwadratowe nie są twoje bół głowy. Pierwsze trzy okazały się, ale reszta nie? Wtedy problem nie leży w równaniach kwadratowych. Problem tkwi w identycznych przekształceniach równań. Spójrz na link, jest pomocny.

Nie całkiem działa? Czy to w ogóle nie działa? Wtedy pomoże ci sekcja 555. Tam wszystkie te przykłady są posortowane według kości. Seans Główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście mówi też o zastosowaniu identyczne przekształcenia w rozwiązywaniu różnych równań. Bardzo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

”, czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji będziemy badać co to jest równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe

Ważny!

Stopień równania jest określony przez najwyższy stopień, w jakim stoi niewiadoma.

Jeśli maksymalny stopień, w jakim niewiadoma stoi, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda tak:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” i „c” - podane liczby.

• „a” - pierwszy lub starszy współczynnik;
• „b” - drugi współczynnik;
• „c” jest wolnym członkiem.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c” Musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Przećwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a=5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

w odróżnieniu równania liniowe rozwiązywać równania kwadratowe, specjalny formuła wyszukiwania korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

• sprowadź równanie kwadratowe do ogólny widok„topór 2 + bx + c = 0”. Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
• użyj wzoru na korzenie:

Użyjmy przykładu, aby dowiedzieć się, jak zastosować wzór do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 – 3x – 4 = 0” zostało już zredukowane do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór do znajdowania pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =

Z jego pomocą rozwiązuje się dowolne równanie kwadratowe.

W formule „x 1; 2 \u003d” wyrażenie root jest często zastępowane
„b 2 − 4ac” na literę „D” i nazywamy dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało szerzej omówione w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci raczej trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć formuły dla korzeni.

X 1;2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x=

6

2

x=3
Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy w równaniach kwadratowych nie ma pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy w formule pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna.