Rozwiązywanie przykładów równań trygonometrycznych. Równania trygonometryczne

Metody rozwiązania równania trygonometryczne

Wprowadzenie 2

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych 5

Algebraiczny 5

Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem warunku równości funkcji trygonometrycznych o tej samej nazwie 7

Faktoring 8

Redukcja do równania jednorodnego 10

Wprowadzenie kąta pomocniczego 11

Przelicz produkt na sumę 14

Uniwersalna substytucja 14

Wniosek 17

Wstęp

Do klasy dziesiątej kolejność działań wielu ćwiczeń prowadzących do celu jest z reguły jednoznacznie określona. Na przykład równania i nierówności liniowe i kwadratowe, równania ułamkowe i równania sprowadzalne do kwadratów itp. Bez szczegółowej analizy zasady rozwiązywania każdego z wymienionych przykładów, zwracamy uwagę na ogólną rzecz, która jest niezbędna do ich pomyślnego rozwiązania.

W większości przypadków musisz określić, jaki jest rodzaj zadania, zapamiętać sekwencję działań prowadzących do celu i wykonać te czynności. Oczywistym jest, że sukces lub porażka ucznia w opanowaniu metod rozwiązywania równań zależy głównie od tego, na ile będzie on w stanie poprawnie określić rodzaj równania i zapamiętać kolejność wszystkich etapów jego rozwiązywania. Oczywiście zakłada to, że uczeń posiada umiejętności do wykonywania identyczne przekształcenia i informatyka.

Zupełnie inna sytuacja ma miejsce, gdy uczeń napotyka równania trygonometryczne. Jednocześnie nie jest trudno ustalić, że równanie jest trygonometryczne. Trudności pojawiają się przy znalezieniu sposobu działania, który prowadziłby do: wynik pozytywny. I tu uczeń napotyka dwa problemy. Przez wygląd równania są trudne do określenia typu. A bez znajomości rodzaju prawie niemożliwe jest wybranie pożądanej formuły spośród kilkudziesięciu dostępnych.

Aby pomóc uczniom odnaleźć się w skomplikowanym labiryncie równań trygonometrycznych, najpierw wprowadza się ich do równań, które po wprowadzeniu nowej zmiennej redukowane są do kwadratów. Następnie rozwiąż równania jednorodne i sprowadź do nich. Wszystko kończy się z reguły równaniami, do rozwiązania których konieczne jest rozłożenie na czynniki lewej strony, a następnie zrównanie każdego z czynników do zera.

Rozumiejąc, że półtora tuzina równań przeanalizowanych na lekcjach wyraźnie nie wystarcza, aby uczeń mógł samodzielnie pływać po trygonometrycznym „morzu”, nauczyciel dodaje jeszcze kilka zaleceń od siebie.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musimy spróbować:

Doprowadź wszystkie funkcje zawarte w równaniu do „tego samego kąta”;

Sprowadź równanie do „tych samych funkcji”;

Rozkład na czynniki lewą stronę równania itd.

Ale pomimo znajomości głównych typów równań trygonometrycznych i kilku zasad znajdowania ich rozwiązania, wielu uczniów wciąż znajduje się w impasie przed każdym równaniem, które różni się nieco od tych, które rozwiązano wcześniej. Nie jest jasne, do czego należy dążyć, mając takie lub inne równanie, dlaczego w jednym przypadku konieczne jest zastosowanie formuł podwójny kąt, w drugim - połowa, aw trzecim - formuły dodawania itp.

Definicja 1. Równanie trygonometryczne to równanie, w którym niewiadoma zawarta jest pod znakiem funkcji trygonometrycznych.

Definicja 2. Mówi się, że równanie trygonometryczne ma te same kąty, jeśli wszystkie zawarte w nim funkcje trygonometryczne mają równe argumenty. Mówi się, że równanie trygonometryczne ma te same funkcje, jeśli zawiera tylko jedną z funkcji trygonometrycznych.

Definicja 3. Stopień jednomianu zawierającego funkcje trygonometryczne jest sumą wykładników potęg zawartych w nim funkcji trygonometrycznych.

Definicja 4. Równanie nazywamy jednorodnym, jeśli wszystkie jednomiany w nim mają ten sam stopień. Ten stopień nazywa się porządkiem równania.

Definicja 5. Równanie trygonometryczne zawierające tylko funkcje grzech I sałata, nazywa się jednorodną, jeśli wszystkie jednomiany względem funkcji trygonometrycznych mają ten sam stopień, a same funkcje trygonometryczne mają równe kąty, a liczba jednomianów jest o 1 większa niż rząd równania.

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Rozwiązanie równań trygonometrycznych składa się z dwóch etapów: przekształcenia równania do jego najprostszej postaci oraz rozwiązania wynikowego najprostszego równania trygonometrycznego. Istnieje siedem podstawowych metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

i. metoda algebraiczna. Ta metoda jest dobrze znana z algebry. (Metoda zastępowania zmiennych i podstawienia).

Rozwiązuj równania.

Wprowadźmy notację x=2 grzech3 T, dostajemy

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:
lub

tych. można napisać

Pisząc rozwiązanie uzyskane ze względu na obecność znaków stopień
nie ma sensu pisać.

Odpowiedź:

Oznaczać

dostajemy równanie kwadratowe
. Jego korzenie to liczby
I
. Dlatego równanie to sprowadza się do najprostszych równań trygonometrycznych
I
. Rozwiązując je, stwierdzamy, że
lub
.

Odpowiedź:
;
.

Oznaczać

nie spełnia warunku

Oznacza

Odpowiedź:

Przekształćmy lewą stronę równania:

Zatem to początkowe równanie można zapisać jako:

, tj.

Oznaczanie
, dostajemy
Rozwiązując to równanie kwadratowe, mamy:

nie spełnia warunku

Zapisujemy rozwiązanie pierwotnego równania:

Odpowiedź:

Podstawienie
redukuje to równanie do równania kwadratowego
. Jego korzenie to liczby
I
. Dlatego
, następnie podane równanie nie ma korzeni.

Odpowiedź: bez korzeni.

II. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem warunku równości funkcji trygonometrycznych o tej samej nazwie.

ale)
, Jeśli

b)
, Jeśli

w)
, Jeśli

Korzystając z tych warunków, rozważ rozwiązanie następujących równań:

Korzystając z tego, co zostało powiedziane w punkcie a), stwierdzamy, że równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
.

Rozwiązując to równanie, znajdujemy
.

Mamy dwie grupy rozwiązań:

.

7) Rozwiąż równanie:
.

Korzystając z warunku z części b) dedukujemy, że
.

Rozwiązując te równania kwadratowe, otrzymujemy:

8) Rozwiąż równanie
.

Z tego równania wyprowadzamy, że . Rozwiązując to równanie kwadratowe, stwierdzamy, że

.

III. Faktoryzacja.

Rozważamy tę metodę na przykładach.

9) Rozwiąż równanie
.

Rozwiązanie. Przesuńmy wszystkie wyrazy równania w lewo: .

Przekształcamy i faktoryzujemy wyrażenie po lewej stronie równania:
.

1)
2)

Dlatego
I
nie przyjmuj wartości null

w tym samym czasie rozdzielamy obie części

równania dla
,

Odpowiedź:

10) Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie.

lub

Odpowiedź:

11) Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

1)
2)
3)

Odpowiedź:

IV. Redukcja do równania jednorodnego.

Aby rozwiązać równanie jednorodne, potrzebujesz:

Przenieś wszystkich jego członków na lewą stronę;

Usuń wszystkie wspólne czynniki z nawiasów;

Zrównaj wszystkie czynniki i nawiasy do zera;

Nawiasy równe zeru dają jednorodne równanie mniejszego stopnia, które należy podzielić przez
(lub
) w stopniu starszym;

Rozwiąż otrzymane równanie algebraiczne stosunkowo
.

Rozważ przykłady:

12) Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie.

Podziel obie strony równania przez
,

Przedstawiamy notację
, imię

korzeniami tego równania są:

stąd 1)
2)

Odpowiedź:

13) Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie. Używając wzorów z podwójnym kątem i podstawowej tożsamości trygonometrycznej, sprowadzamy to równanie do połowy argumentu:

Po skróceniu podobnych terminów mamy:

Dzielenie jednorodnego ostatniego równania przez
, dostajemy

wyznaczę
, otrzymujemy równanie kwadratowe
, którego pierwiastkami są liczby

W ten sposób

Wyrażenie
znika o
, tj. w
,
.

Nasze rozwiązanie równania nie zawiera tych liczb.

Odpowiedź:
, .

V. Wprowadzenie kąta pomocniczego.

Rozważ równanie postaci

Gdzie a, b, c- współczynniki, x- nieznany.

Podziel obie strony tego równania przez

Teraz współczynniki równania mają właściwości sinusa i cosinusa, a mianowicie: moduł każdego z nich nie przekracza jedności, a suma ich kwadratów jest równa 1.

Następnie możemy je odpowiednio oznaczyć
(tutaj - kąt pomocniczy) i nasze równanie przyjmuje postać: .

Następnie

I jego decyzja

Zauważ, że wprowadzona notacja jest wymienna.

14) Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie. Tutaj
, więc dzielimy obie strony równania przez

Odpowiedź:

15) Rozwiąż równanie

Rozwiązanie. Dlatego
, to równanie to jest równoważne równaniu

Dlatego
, to jest taki kąt, że
,
(tych.
).

Mamy

Dlatego
, w końcu otrzymujemy:

Zauważ, że równanie postaci ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

16) Rozwiąż równanie:

Aby rozwiązać to równanie, grupujemy funkcje trygonometryczne o tych samych argumentach

Podziel obie strony równania przez dwa

Sumę funkcji trygonometrycznych przekształcamy w iloczyn:

Odpowiedź:

VI. Przelicz iloczyn na sumę.

Stosowane są tutaj odpowiednie formuły.

17) Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie. Zamieńmy lewą stronę na sumę:

VII.Uniwersalna substytucja.

te formuły są prawdziwe dla wszystkich

Podstawienie
zwany uniwersalnym.

18) Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: Wymień i
do ich ekspresji poprzez
i oznacza
.

Otrzymujemy wymierne równanie
, który jest zamieniany na kwadrat
.

Pierwiastkami tego równania są liczby
.

Dlatego problem sprowadzał się do rozwiązania dwóch równań
.

Znaleźliśmy to
.

Zobacz wartość
nie spełnia pierwotnego równania, co jest weryfikowane przez sprawdzenie - podstawienie podana wartość T do pierwotnego równania.

Odpowiedź:
.

Komentarz. Równanie 18 można rozwiązać w inny sposób.

Podziel obie strony tego równania przez 5 (tj. przez
):
.

Dlatego
, to jest liczba
, Co
I
. Zatem równanie staje się:
lub
. Stąd dowiadujemy się, że
gdzie
.

19) Rozwiąż równanie
.

Rozwiązanie. Ponieważ funkcje
I
mieć najwyższa wartość równe 1, to ich suma jest równa 2, jeżeli
I
jednocześnie, czyli
.

Odpowiedź:
.

Przy rozwiązywaniu tego równania wykorzystano ograniczoność funkcji i.

Wniosek.

Pracując nad tematem „Rozwiązania równań trygonometrycznych”, każdy nauczyciel powinien przestrzegać następujących zaleceń:

Usystematyzować metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Wybierz dla siebie kroki, aby przeprowadzić analizę równania i oznaki celowości zastosowania tej lub innej metody rozwiązania.

Zastanowić się nad sposobami samokontroli działania przy wdrażaniu metody.

Naucz się tworzyć „swoje” równania dla każdej z badanych metod.

Wniosek nr 1

Rozwiąż równania jednorodne lub redukowalne.

1.	Reprezentant.
	Reprezentant.

	Reprezentant.
5.	Reprezentant.
	Reprezentant.
7.	Reprezentant.
	Reprezentant.

Kurs wideo „Zdobądź 5” zawiera wszystkie tematy, których potrzebujesz udana dostawa USE w matematyce na 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 egzamin profilowy matematyka. Nadaje się również do zaliczenia podstawowego USE w matematyce. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na Zjednoczonym Egzaminu Państwowym i ani stupunktowy student, ani humanista nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Przeanalizowano wszystkie istotne zadania części 1 z zadań Banku FIPI. Kurs w pełni zgodny z wymaganiami USE-2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań egzaminacyjnych. Problemy tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Podstępne sztuczki rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw - do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania wymagające zadania 2 części egzaminu.

Pojęcie rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, przekształć je w jedno lub więcej podstawowych równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego ostatecznie sprowadza się do rozwiązania czterech podstawowych równań trygonometrycznych.

Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych.

Istnieją 4 rodzaje podstawowych równań trygonometrycznych:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych wymaga przyjrzenia się różnym pozycjom x na okręgu jednostkowym, a także użycia tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora).
Przykład 1. sin x = 0,866. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora), otrzymujesz odpowiedź: x = π/3. Koło jednostkowe daje inną odpowiedź: 2π/3. Pamiętaj: wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, to znaczy ich wartości się powtarzają. Na przykład okresowość sin x i cos x wynosi 2πn, a okresowość tg x i ctg x wynosi πn. Więc odpowiedź jest napisana tak:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Przykład 2 cos x = -1/2. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora), otrzymujesz odpowiedź: x = 2π/3. Koło jednostkowe daje inną odpowiedź: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Przykład 3. tg (x - π/4) = 0.
Odpowiedź: x \u003d π / 4 + πn.
Przykład 4. ctg 2x = 1,732.
Odpowiedź: x \u003d π / 12 + πn.

Transformacje stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

Do przekształcenia równań trygonometrycznych stosuje się przekształcenia algebraiczne (faktoryzacja, redukcja jednorodni członkowie itp.) i tożsamości trygonometryczne.
Przykład 5. Używając tożsamości trygonometrycznych, równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 jest przekształcane w równanie 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Zatem następujące podstawowe równania trygonometryczne trzeba rozwiązać: cos x = 0; grzech(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Znajdowanie kątów według znane wartości Funkcje.
- Zanim nauczysz się rozwiązywać równania trygonometryczne, musisz nauczyć się znajdować kąty ze znanych wartości funkcji. Można to zrobić za pomocą tabeli przeliczeniowej lub kalkulatora.
- Przykład: cos x = 0,732. Kalkulator poda odpowiedź x = 42,95 stopnia. Okrąg jednostkowy da dodatkowe kąty, których cosinus jest również równy 0,732.
Odłóż na bok rozwiązanie na okręgu jednostek.
- Możesz umieścić rozwiązania równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym. Rozwiązaniem równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym są wierzchołki wielokąta foremnego.
- Przykład: Rozwiązania x = π/3 + πn/2 na okręgu jednostkowym są wierzchołkami kwadratu.
- Przykład: Rozwiązania x = π/4 + πn/3 na okręgu jednostkowym są wierzchołkami sześciokąta foremnego.
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
- Jeśli dane równanie trygonometryczne zawiera tylko jedno funkcja trygonometryczna, rozwiąż to równanie jako podstawowe równanie trygonometryczne. Jeżeli to równanie zawiera dwie lub więcej funkcji trygonometrycznych, to istnieją 2 metody rozwiązania takiego równania (w zależności od możliwości jego przekształcenia).
  - Metoda 1
- Przekształć to równanie w równanie postaci: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdzie f(x), g(x), h(x) to podstawowe równania trygonometryczne.
- Przykład 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie. Używając formuły podwójnego kąta sin 2x = 2*sin x*cos x, zastąp sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
- Przykład 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie: Używając tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie w równanie o postaci: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
- Przykład 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie: Używając tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie w równanie postaci: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
  - Metoda 2
- Przekształć dane równanie trygonometryczne na równanie zawierające tylko jedną funkcję trygonometryczną. Następnie zastąp tę funkcję trygonometryczną jakąś nieznaną, na przykład t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, itd.).
- Przykład 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Rozwiązanie. W podane równanie zamień (cos^2 x) na (1 - sin^2 x) (zgodnie z tożsamością). Przekształcone równanie wygląda tak:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamień sin x na t. Teraz równanie wygląda tak: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Jest to równanie kwadratowe z dwoma pierwiastkami: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi pierwiastek t2 nie spełnia zakresu funkcji (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Przykład 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Rozwiązanie. Zamień tg x na t. Przepisz oryginalne równanie w następujący sposób: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz znajdź t, a następnie znajdź x dla t = tg x.

Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych.

Rozwiązanie równań trygonometrycznych o dowolnym poziomie złożoności ostatecznie sprowadza się do rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych. I w tym okrąg trygonometryczny ponownie okazuje się najlepszym pomocnikiem.

Przypomnij sobie definicje cosinusa i sinusa.

Cosinus kąta to odcięta (czyli współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.

Sinus kąta jest rzędną (czyli współrzędną wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.

Za dodatni kierunek ruchu po okręgu trygonometrycznym uważa się ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Obrót 0 stopni (lub 0 radianów) odpowiada punktowi o współrzędnych (1; 0)

Używamy tych definicji do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych.

1. Rozwiąż równanie

Równanie to spełniają wszystkie takie wartości kąta obrotu , które odpowiadają punktom okręgu, którego rzędna jest równa .

Oznaczmy punkt rzędną na osi y:

Wydajmy linia pozioma równolegle do osi x, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na okręgu i mające rzędną. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom:

Jeśli opuściwszy punkt odpowiadający kątowi obrotu na radian, okrążymy pełne koło, to dojdziemy do punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian i posiadającego tę samą rzędną. Oznacza to, że ten kąt obrotu również spełnia nasze równanie. Możemy wykonać tyle „bezczynnych” zakrętów, ile chcemy, wracając do tego samego punktu, a wszystkie te wartości kątów spełnią nasze równanie. Liczba „bezczynnych” obrotów jest oznaczona literą (lub). Ponieważ możemy wykonywać te obroty zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, (lub ) może przyjmować dowolne wartości całkowite.

Oznacza to, że pierwsza seria rozwiązań pierwotnego równania ma postać:

, , - zbiór liczb całkowitych (1)

Podobnie druga seria rozwiązań ma postać:

, gdzie , . (2)

Jak się domyślasz, ta seria rozwiązań opiera się na punkcie koła odpowiadającym kątowi obrotu przez .

Te dwie serie rozwiązań można połączyć w jeden wpis:

Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nawet), to otrzymamy pierwszą serię rozwiązań.

Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nieparzysty), to otrzymamy drugą serię rozwiązań.

2. Teraz rozwiążmy równanie

Ponieważ jest odciętą punktu okręgu jednostkowego uzyskaną przez obrót o kąt , zaznaczamy na osi punkt z odciętą :

Narysuj pionową linię równoległą do osi, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na kole i mające odciętą. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom. Przypomnijmy, że poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy ujemny kąt obrotu:

Wypisujemy dwie serie rozwiązań:

(Wpadamy w żądany punkt, wychodząc z głównego pełnego koła, czyli .

Połączmy te dwie serie w jeden post:

3. Rozwiąż równanie

Linia stycznych przechodzi przez punkt o współrzędnych (1,0) okręgu jednostkowego równoległego do osi OY

Zaznacz na nim punkt o rzędnej równej 1 (szukamy stycznej, której kąty wynoszą 1):

Połącz ten punkt z początkiem linii prostej i zaznacz punkty przecięcia linii z okręgiem jednostkowym. Punkty przecięcia prostej i okręgu odpowiadają kątom obrotu na i :

Ponieważ punkty odpowiadające kątom obrotu, które spełniają nasze równanie, leżą w promieniach od siebie, możemy zapisać rozwiązanie w następujący sposób:

4. Rozwiąż równanie

Linia cotangensów przechodzi przez punkt, którego współrzędne okręgu jednostkowego są równoległe do osi.

Zaznaczamy punkt odciętą -1 na linii cotangensów:

Połącz ten punkt z początkiem prostej i kontynuuj, aż przetnie się z okręgiem. Linia ta przetnie okrąg w punktach odpowiadających kątom obrotu i radianom:

Ponieważ punkty te są oddzielone od siebie odległością równą , to wspólna decyzja Równanie to możemy zapisać w następujący sposób:

W podanych przykładach, ilustrujących rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych, zastosowano tabelaryczne wartości funkcji trygonometrycznych.

Jeśli jednak po prawej stronie równania znajduje się wartość nietabeli, to podstawiamy ją w ogólnym rozwiązaniu równania: