Tabela konwersji funkcji trygonometrycznych. Podstawowe wzory trygonometrii

Trygonometria to jedna z gałęzi matematyki, która koncentruje się na kątach i relacjach między nimi. Podstawy nauki kładzione są w latach szkolnych, kiedy wprowadza się definicje funkcji kąta. W przyszłości uzyskana baza wykorzystywana jest w rozwoju astronomii, instrumentacji, architektury i innych dziedzin wiedzy. Jak każda nauka ścisła, trygonometria nie jest kompletna bez formuł. Praktyczne użycie znaleziono wyrażenia do definiowania podwójnego argumentu. Na przykład, odwołując się do odpowiedniego równania, można łatwo się dowiedzieć podwójny kąt Zatoka.

Wyrażenie trygonometryczne do obliczeń

Wyrażenie jest po prostu zapisywane i zapamiętywane: sinus podwójnego kąta jest obliczany jako podwójny iloczyn sinusa i cosinusa pojedynczego argumentu.

Ten wzór wywodzi się z wyrażenia sinusa sumy kątów ( Q 1 + Q 2 ) :

grzech( Q 1 + Q 2) = grzech Q 1 * cos Q 1+ grzech Q 2*cos Q 2 .

Przy założeniu, że podane kąty równe sobie, formuła jest napisana w zwykłej formie.

Możesz użyć wyrażenia dla dowolnej wartości argumentu funkcji. Obliczenie z niego podwójnego kąta sinusa jest dość proste, poniższe przykłady pomogą to zweryfikować.

Przykład użycia

Oto kilka ilustracji zastosowania otrzymanej formuły. Niech będzie wymagane obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej sinusa kąta równego 60 stopni. Odpowiadający pojedynczy kąt wynosiłby 30 stopni. Ponieważ sinus i cosinus kąta 30 stopni są znane, podwójny kąt sinusa będzie równy sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Formuła służy nie tylko do obliczania „ręcznie”, można również znaleźć wartości za jego pomocą za pomocą pakietów matematycznych lub tabel MS Excel.

Mimo prostoty tożsamości trygonometrycznej sprawia to trudności absolwentom szkół. Na to właśnie liczą twórcy zadań USE, oferując testy sprawdzające podstawowe formuły. Wniosek - wzór do obliczenia podwójnego kąta sinusa, musisz znać na pamięć!

Najczęściej zadawane pytania

Czy można wykonać pieczęć na dokumencie według dostarczonej próbki? Odpowiedź Tak, to możliwe. Wyślij zeskanowaną kopię lub zdjęcie na nasz adres e-mail dobra jakość a my wykonamy niezbędny duplikat.

Jakie rodzaje płatności akceptujecie? Odpowiedź Za dokument można zapłacić w momencie odbioru przez kuriera, po sprawdzeniu poprawności wypełnienia i jakości dyplomu. Można to również zrobić w biurach firm pocztowych oferujących usługi za pobraniem.
Wszystkie warunki dostawy i płatności dokumentów opisane są w sekcji „Płatność i dostawa”. Jesteśmy również gotowi wysłuchać Państwa sugestii dotyczących warunków dostawy i płatności za dokument.

Czy mogę mieć pewność, że po złożeniu zamówienia nie znikniecie z moimi pieniędzmi? Odpowiedź Posiadamy dość długie doświadczenie w zakresie produkcji dyplomów. Mamy kilka witryn, które są stale aktualizowane. Nasi specjaliści pracują w różnych częściach kraju, produkując ponad 10 dokumentów dziennie. Na przestrzeni lat nasze dokumenty pomogły wielu osobom rozwiązać problemy z zatrudnieniem lub przenieść się do kolejnych wysokopłatna Praca. Zdobyliśmy zaufanie i uznanie wśród klientów, więc nie ma absolutnie żadnego powodu, aby to robić. Co więcej, po prostu nie da się tego zrobić fizycznie: płacisz za zamówienie w momencie otrzymania go do rąk, nie ma przedpłaty.

Czy mogę zamówić dyplom z dowolnej uczelni? Odpowiedź Ogólnie tak. Pracujemy w tym obszarze od prawie 12 lat. W tym czasie powstała prawie kompletna baza dokumentów wydanych przez prawie wszystkie uczelnie w kraju i za granicą. różne lata wydanie. Wystarczy wybrać uczelnię, specjalność, dokument i wypełnić formularz zamówienia.

Co mam zrobić, jeśli znajdę literówki i błędy w dokumencie? Odpowiedź Odbierając dokument od naszej firmy kurierskiej lub pocztowej zalecamy dokładne sprawdzenie wszystkich szczegółów. W przypadku stwierdzenia literówki, błędu lub nieścisłości masz prawo nie odebrać dyplomu, a stwierdzone braki musisz zgłosić osobiście kurierowi lub w pismo wysyłając list do e-mail.
Jak najszybciej poprawimy dokument i ponownie wyślemy go na wskazany adres. Oczywiście przesyłka zostanie opłacona przez naszą firmę.
Aby uniknąć takich nieporozumień, przed wypełnieniem oryginalnego formularza przesyłamy klientowi pocztą układ przyszłego dokumentu do weryfikacji i akceptacji. wersja ostateczna. Przed wysłaniem dokumentu kurierem lub pocztą również robimy dodatkowe zdjęcie i wideo (w tym w świetle ultrafioletowym), aby mieć wizualne wyobrażenie o tym, co w końcu otrzymasz.

Co trzeba zrobić, aby zamówić dyplom w swojej firmie? Odpowiedź Aby zamówić dokument (certyfikat, dyplom, świadectwo akademickie, itp.) należy wypełnić formularz zamówienia online na naszej stronie internetowej lub podać swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać formularz ankiety, którą należy wypełnić i wysłać z powrotem do nas.
Jeśli nie wiesz, co wskazać w którymkolwiek polu formularza zamówienia/ankiety, pozostaw je puste. Dlatego wszystkie brakujące informacje wyjaśnimy telefonicznie.

Najnowsze recenzje

Cicha sympatia:

Uratowałeś naszego syna przed zwolnieniem! Faktem jest, że po porzuceniu szkoły syn poszedł do wojska. A kiedy wrócił, nie chciał wyzdrowieć. Pracował bez dyplomu. Ale ostatnio zaczęli zwalniać wszystkich, którzy nie mają „skorupy. Dlatego postanowiliśmy się z Tobą skontaktować i nie żałowaliśmy! Teraz spokojnie pracuje i niczego się nie boi! Dziękuję Ci!

Wzory podwójnego kąta służą do wyrażania sinusów, cosinusów, tangensów, cotangensów kąta o wartości 2 α przy użyciu funkcji trygonometrycznych kąta α . W tym artykule przedstawimy wszystkie formuły podwójnego kąta z dowodami. Rozważone zostaną przykłady zastosowania formuł. W końcowej części zostaną pokazane wzory na potrójne, poczwórne kąty.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lista formuł podwójnego kąta

Aby przekonwertować formuły podwójnego kąta, pamiętaj, że kąty w trygonometrii mają postać notacji n α, gdzie n jest Liczba naturalna, wartość wyrażenia jest zapisywana bez nawiasów. Zatem uważa się, że sin n α ma to samo znaczenie co sin (n α) . Przy zapisie sin n α mamy podobny zapis (sin α) n . Korzystanie z rekordu dotyczy wszystkich funkcje trygonometryczne o uprawnieniach n.

Poniżej znajdują się formuły podwójnego kąta:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Zauważ, że te formuły sin i cos mają zastosowanie dla dowolnej wartości kąta α. Wzór na tangens kąta podwójnego obowiązuje dla dowolnej wartości α, gdzie t g 2 α ma sens, to znaczy α ≠ π 4 + π 2 · z, z jest dowolną liczbą całkowitą. Cotangens podwójnego kąta istnieje dla dowolnego α , gdzie c t g 2 α jest zdefiniowane na α ≠ π 2 · z .

Cosinus podwójnego kąta ma potrójną notację podwójnego kąta. Wszystkie z nich mają zastosowanie.

Dowód formuł z podwójnym kątem

Dowód formuł pochodzi z formuł dodawania. Stosujemy wzory na sinus sumy:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β i cosinus sumy cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Załóżmy, że β = α , wtedy otrzymujemy, że

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α i cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

W ten sposób udowodniono wzory na sinus i cosinus podwójnego kąta sin 2 α \u003d 2 sin α cos α i cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Reszta bo formuły 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α i cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 prowadzą do postaci cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, zastępując 1 sumą kwadratów według tożsamości głównej sin 2 α + cos 2 α = 1 . Otrzymujemy, że sin 2 α + cos 2 α = 1. A więc 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α i 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Aby udowodnić wzory na podwójny kąt stycznej i costycznej, stosujemy równości t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α i c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. Po przekształceniu otrzymujemy, że t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α i c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Podziel wyrażenie przez cos 2 α, gdzie cos 2 α ≠ 0 o dowolnej wartości α, gdy t g α jest zdefiniowane. Inne wyrażenie dzielimy przez sin 2 α , gdzie sin 2 α ≠ 0 z dowolnymi wartościami α , gdy c t g 2 α ma sens. Aby udowodnić wzór podwójnego kąta dla stycznej i cotangensa, podstawiamy i otrzymujemy:

- na pewno będą zadania z trygonometrii. Trygonometria jest często nielubiana ze względu na konieczność wkuwania ogromnej ilości trudnych formuł, na których roi się od sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Strona już raz podawała porady, jak zapamiętać zapomnianą formułę, na przykładzie formuł Eulera i Peela.

A w tym artykule postaramy się pokazać, że wystarczy mocno znać tylko pięć najprostszych formuły trygonometryczne, a o pozostałych, aby mieć ogólny pomysł i wyświetlać je na bieżąco. To jak z DNA: kompletne rysunki gotowej żywej istoty nie są przechowywane w cząsteczce. Zawiera raczej instrukcje składania go z dostępnych aminokwasów. Więc to jest w trygonometrii, poznanie niektórych ogólne zasady, z małego zestawu tych, o których trzeba pamiętać, uzyskamy wszystkie niezbędne formuły.

Będziemy opierać się na następujących wzorach:

Ze wzorów na sinus i cosinus sum, wiedząc, że funkcja cosinus jest parzysta, a sinus jest nieparzysta, zastępując -b za b, otrzymujemy wzory na różnice:

1. Sinus różnicy: grzech(a-b) = grzechasałata(-b)+sałataagrzech(-b) = grzechasałatab-sałataagrzechb
2. różnica cosinusa: sałata(a-b) = sałataasałata(-b)-grzechagrzech(-b) = sałataasałatab+grzechagrzechb

Umieszczając a \u003d b w tych samych wzorach, otrzymujemy wzory na sinus i cosinus podwójnych kątów:

1. Sinus podwójnego kąta: grzech2a = grzech(a+a) = grzechasałataa+sałataagrzecha = 2grzechasałataa
2. Cosinus podwójnego kąta: sałata2a = sałata(a+a) = sałataasałataa-grzechagrzecha = sałata2a-grzech2a

Wzory dla innych kątów wielokrotnych otrzymuje się podobnie:

1. Sinus potrójnego kąta: grzech3a = grzech(2a+a) = grzech2asałataa+sałata2agrzecha = (2grzechasałataa)sałataa+(sałata2a-grzech2a)grzecha = 2grzechasałata2a+grzechasałata2a-grzech 3a = 3 grzechasałata2a-grzech 3a = 3 grzecha(1-grzech2a)-grzech 3a = 3 grzecha-4grzech 3a
2. Cosinus potrójnego kąta: sałata3a = sałata(2a+a) = sałata2asałataa-grzech2agrzecha = (sałata2a-grzech2a)sałataa-(2grzechasałataa)grzecha = sałata 3a- grzech2asałataa-2grzech2asałataa = sałata 3a-3 grzech2asałataa = sałata 3 a-3(1- sałata2a)sałataa = 4sałata 3a-3 sałataa

Zanim przejdziemy dalej, rozważmy jeden problem.
Biorąc pod uwagę: kąt jest ostry.
Znajdź jego cosinus, jeśli
Rozwiązanie podane przez jednego ucznia:
Ponieważ , następnie grzecha= 3,a sałataa = 4.
(Z humoru matematycznego)

Tak więc definicja tangensa łączy tę funkcję zarówno z sinusem, jak i cosinusem. Ale możesz otrzymać wzór, który daje połączenie tangensa tylko z cosinusem. Aby to wyprowadzić, bierzemy główny tożsamość trygonometryczna: grzech 2 a+sałata 2 a= 1 i podziel przez sałata 2 a. Otrzymujemy:

Rozwiązaniem tego problemu byłoby więc:

(Ponieważ kąt jest ostry, znak + jest przyjmowany podczas wyciągania korzenia)

Wzór na tangens sumy to kolejna trudna do zapamiętania formuła. Wypiszmy to tak:

natychmiast wyjście i

Ze wzoru cosinusa dla kąta podwójnego można uzyskać wzory sinusa i cosinusa dla kąta połówkowego. Aby to zrobić, po lewej stronie wzoru cosinusa podwójnego kąta:
sałata2 a = sałata 2 a-grzech 2 a
dodajemy jednostkę, a po prawej - jednostkę trygonometryczną, tj. suma kwadratów sinusa i cosinusa.
sałata2a+1 = sałata2a-grzech2a+sałata2a+grzech2a
2sałata 2 a = sałata2 a+1
wyrażający sałataa poprzez sałata2 a i dokonując zmiany zmiennych otrzymujemy:

Znak jest przyjmowany w zależności od kwadrantu.

Podobnie, odejmując jeden z lewej strony równości i sumę kwadratów sinusa i cosinusa z prawej strony, otrzymujemy:
sałata2a-1 = sałata2a-grzech2a-sałata2a-grzech2a
2grzech 2 a = 1-sałata2 a

I na koniec, aby przekonwertować sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn, stosujemy następującą sztuczkę. Załóżmy, że musimy przedstawić sumę sinusów jako iloczyn grzecha+grzechb. Wprowadźmy zmienne x i y takie, że a = x+y, b+x-y. Następnie
grzecha+grzechb = grzech(x+y)+ grzech(x-y) = grzech x sałata tak+ sałata x grzech tak+ grzech x sałata y- sałata x grzech y=2 grzech x sałata tak. Wyraźmy teraz x i y w postaci aib.

Ponieważ a = x+y, b = x-y, to . Więc

Możesz wypłacić natychmiast

1. Formuła partycji produkty sinusa i cosinusa w ilość: grzechasałatab = 0.5(grzech(a+b)+grzech(a-b))

Zalecamy przećwiczenie i wyprowadzenie wzorów do przeliczania iloczynu różnicy sinusów oraz sumy i różnicy cosinusów na iloczyn, a także dzielenia iloczynów sinusów i cosinusów na sumę. Po wykonaniu tych ćwiczeń dokładnie opanujesz umiejętność wyprowadzania wzorów trygonometrycznych i nie zgubisz się nawet w najtrudniejszej kontroli, olimpiadzie czy testach.