Wzór na znalezienie cosinusa między wektorami. Iloczyn skalarny wektorów

Instrukcja

Niech na płaszczyźnie dane będą dwa niezerowe wektory, wykreślone z jednego punktu: wektor A o współrzędnych (x1, y1) B o współrzędnych (x2, y2). Zastrzyk między nimi jest oznaczony jako θ. Aby znaleźć miarę stopnia kąta θ, musisz użyć definicji iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest liczbą równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi, czyli (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) . Teraz musisz wyrazić cosinus kąta z tego: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Iloczyn skalarny można również znaleźć za pomocą wzoru (A,B)=x1*x2+y1*y2, ponieważ iloczyn dwóch wektory niezerowe jest równa sumie iloczynów odpowiednich wektorów. Jeżeli iloczyn skalarny wektorów niezerowych jest równy zero, to wektory są prostopadłe (kąt między nimi wynosi 90 stopni) i dalsze obliczenia można pominąć. Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni, to kąt między nimi wektory ostry, a jeśli ujemny, to kąt jest rozwarty.

Teraz oblicz długości wektorów A i B ze wzorów: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Długość wektora oblicza się jako Pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Podstaw znalezione wartości iloczynu skalarnego i długości wektorów do wzoru na kąt otrzymany w kroku 2, czyli cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Teraz, znając wartość , znaleźć miarę kąta między wektory musisz użyć tabeli Bradis lub wziąć z tego: θ=arccos(cos(θ)).

Jeżeli wektory A i B są podane w przestrzeni trójwymiarowej i mają odpowiednio współrzędne (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2), to przy wyznaczaniu cosinusa kąta dodawana jest jeszcze jedna współrzędna. W tym przypadku cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Przydatna rada

Jeśli dwa wektory nie są wykreślone z jednego punktu, to aby znaleźć kąt między nimi przez translację równoległą, musisz połączyć początki tych wektorów.
Kąt między dwoma wektorami nie może być większy niż 180 stopni.

Źródła:

jak obliczyć kąt między wektorami
Kąt między linią a płaszczyzną

Aby rozwiązać wiele problemów, zarówno aplikacyjnych, jak i teoretycznych, w fizyce i algebrze liniowej, konieczne jest obliczenie kąta między wektorami. To pozornie proste zadanie może przysporzyć wielu trudności, jeśli nie zrozumiesz do końca istoty iloczynu skalarnego i jaka wartość pojawia się w wyniku tego iloczynu.

Instrukcja

Kąt między wektorami w liniowej przestrzeni wektorowej jest minimalnym kątem przy , przy którym osiągany jest współkierunek wektorów. Jeden z wektorów jest przenoszony wokół punktu początkowego. Z definicji wynika, że wartość kąta nie może przekraczać 180 stopni (patrz krok).

W tym przypadku całkiem słusznie przyjmuje się, że w przestrzeni liniowej, gdy wektory są przenoszone równolegle, kąt między nimi nie zmienia się. Dlatego dla analitycznego obliczenia kąta orientacja przestrzenna wektorów nie ma znaczenia.

Wynikiem iloczynu skalarnego jest liczba, inaczej skalar. Pamiętaj (to ważne, aby wiedzieć), aby uniknąć błędów w dalszych obliczeniach. Wzór na iloczyn skalarny, znajdujący się na płaszczyźnie lub w przestrzeni wektorów, ma postać (patrz rysunek dla kroku).

Jeśli wektory znajdują się w przestrzeni, wykonaj obliczenia w podobny sposób. Jedyną rzeczą będzie pojawienie się tego terminu w dywidendzie - tak określa się wnioskodawcę, czyli trzeci składnik wektora. W związku z tym przy obliczaniu modułu wektorów należy również wziąć pod uwagę składnik z, a następnie dla wektorów znajdujących się w przestrzeni, ostatnie wyrażenie jest przekształcane w następujący sposób (patrz rysunek 6 do kroku).

Wektor to odcinek linii o określonym kierunku. Kąt między wektorami ma fizyczne znaczenie, na przykład podczas znajdowania długości rzutu wektora na oś.

Instrukcja

Kąt między dwoma niezerowymi wektorami przy użyciu obliczenia iloczynu skalarnego. Z definicji iloczyn jest równy iloczynowi długości i kąta między nimi. Z drugiej strony obliczany jest iloczyn skalarny dwóch wektorów a o współrzędnych (x1; y1) i b o współrzędnych (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Z tych dwóch sposobów iloczyn skalarny można łatwo ustawić pod kątem między wektorami.

Znajdź długości lub moduły wektorów. Dla naszych wektorów a i b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów, mnożąc ich współrzędne w parach: ab = x1x2 + y1y2. Z definicji iloczynu skalarnego ab = |a|*|b|*cos α, gdzie α jest kątem między wektorami. Wtedy otrzymujemy, że x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Wtedy cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Znajdź kąt α, korzystając z tabel Bradysa.

Powiązane wideo

Notatka

Iloczyn skalarny jest skalarną charakterystyką długości wektorów i kąta między nimi.

Płaszczyzna to jedno z podstawowych pojęć w geometrii. Płaszczyzna to powierzchnia, dla której stwierdzenie jest prawdziwe — każda linia prosta łącząca dwa jej punkty należy w całości do tej powierzchni. Samoloty są wyznaczone litery greckieα, β, γ itd. Dwie płaszczyzny zawsze przecinają się w linii prostej należącej do obu płaszczyzn.

Instrukcja

Rozważmy półpłaszczyzny α i β utworzone na przecięciu . Kąt utworzony przez linię prostą a oraz dwie półpłaszczyzny α i β przez kąt dwuścienny. W tym przypadku półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny przez ściany, linia a, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, nazywana jest krawędzią kąt dwuścienny.

Kąt dwuścienny, jak kąt płaski, w stopniach. Aby uzyskać kąt dwuścienny, należy wybrać na jego powierzchni dowolny punkt O. W obu dwóch promieniach a są przeciągnięte przez punkt O. Wynikowy kąt AOB nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego a.

Niech więc dane będą wektor V = (a, b, c) i płaszczyzna A x + B y + C z = 0, gdzie A, B i C są współrzędnymi normalnej N. Następnie cosinus kąta α między wektorami V i N wynosi: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Aby obliczyć kąt w stopniach lub radianach, musisz obliczyć funkcję odwrotną do cosinusa z otrzymanego wyrażenia, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Przykład: znajdź zastrzyk pomiędzy wektor(5, -3, 8) i samolot, dane ogólnym równaniem 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rozwiązanie: zapisz współrzędne wektora normalnego płaszczyzny N = (2, -5, 3). Zastąp wszystko znane wartości w powyższym wzorze: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Powiązane wideo

Napisz równanie i wydziel z niego cosinus. Według jednego wzoru iloczyn skalarny wektorów jest równy ich długościom pomnożonym przez siebie i przez cosinus kąt, az drugiej - suma iloczynów współrzędnych wzdłuż każdej z osi. Zrównując obie formuły, możemy stwierdzić, że cosinus kąt musi być równy stosunkowi sumy iloczynów współrzędnych do iloczynu długości wektorów.

Zapisz otrzymane równanie. Aby to zrobić, musimy wyznaczyć oba wektory. Powiedzmy, że są one podane w układzie kartezjańskim 3D, a ich punkty początkowe znajdują się w siatce. Kierunek i wielkość pierwszego wektora będzie wyrażona przez punkt (X₁,Y₁,Z₁), drugiego - (X₂,Y₂,Z₂), a kąt oznaczymy literą γ. Wtedy długości każdego z wektorów mogą być na przykład zgodne z twierdzeniem Pitagorasa o utworzonym przez ich rzuty na każdą z osi współrzędnych: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) oraz √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Podstaw te wyrażenia we wzorze sformułowanym w poprzednim kroku, a otrzymasz równość: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²)).

Wykorzystaj fakt, że suma do kwadratu Zatoka i co Zatoka od kąt jedna wartość zawsze daje jedną. Stąd, podnosząc to, co uzyskano w poprzednim kroku dla co Zatoka do kwadratu i odjęte od jedności, a następnie

Podczas studiowania geometrii pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Student ma szczególne trudności, gdy konieczne jest znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe warunki

Przed rozważeniem kątów między wektorami konieczne jest zapoznanie się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor to odcinek, który ma kierunek, to znaczy odcinek, dla którego zdefiniowany jest jego początek i koniec.

Kąt między dwoma wektorami na płaszczyźnie, które mają wspólny początek, to mniejszy z kątów, o który trzeba przesunąć jeden z wektorów wokół wspólnego punktu, do pozycji, w której ich kierunki się pokrywają.

Formuła rozwiązania

Gdy zrozumiesz, czym jest wektor i jak określa się jego kąt, możesz obliczyć kąt między wektorami. Wzór na rozwiązanie tego jest dość prosty, a wynikiem jego zastosowania będzie wartość cosinusa kąta. Z definicji jest równy ilorazowi iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu ich długości.

Iloczyn skalarny wektorów jest uważany za sumę odpowiednich współrzędnych wektorów mnożnikowych pomnożonych przez siebie. Długość wektora lub jego moduł oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Po otrzymaniu wartości cosinusa kąta możesz obliczyć wartość samego kąta za pomocą kalkulatora lub używając tabela trygonometryczna.

Przykład

Po ustaleniu, jak obliczyć kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu staje się proste i jednoznaczne. Jako przykład rozważ prosty problem ze znalezieniem wielkości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego niezbędnego do rozwiązania. Korzystając z powyższego opisu otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru, obliczamy wartość cosinusa pożądanego kąta:

Ta liczba nie jest jedną z pięciu wspólnych wartości cosinusów, więc aby uzyskać wartość kąta, będziesz musiał użyć kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej Bradisa. Ale zanim uzyskasz kąt między wektorami, wzór można uprościć, aby pozbyć się dodatkowego znaku ujemnego:

Ostateczną odpowiedź można pozostawić w tej formie, aby zachować dokładność, lub obliczyć wartość kąta w stopniach. Według tabeli Bradisa jego wartość wyniesie około 116 stopni i 70 minut, a kalkulator wskaże 116,57 stopnia.

Obliczanie kątów w przestrzeni n-wymiarowej

Rozważając dwa wektory w przestrzeni trójwymiarowej, znacznie trudniej jest zrozumieć, o jakim kącie mówimy, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Aby uprościć percepcję, możesz narysować dwa przecinające się segmenty, które tworzą między nimi najmniejszy kąt i będzie to pożądany. Pomimo obecności trzeciej współrzędnej w wektorze, proces obliczania kątów między wektorami nie ulegnie zmianie. Oblicz iloczyn skalarny i moduły wektorów, arcus cosinus ich ilorazu i będzie odpowiedzią na ten problem.

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które mają więcej niż trzy wymiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda podobnie.

Różnica między 0 a 180 stopni

Jednym z najczęstszych błędów przy pisaniu odpowiedzi na zadanie mające na celu obliczenie kąta między wektorami jest decyzja o napisaniu, że wektory są równoległe, czyli pożądany kąt okazał się równy 0 lub 180 stopni. Ta odpowiedź jest błędna.

Po otrzymaniu w wyniku rozwiązania wartości kąta równej 0 stopni poprawną odpowiedzią byłoby wyznaczenie wektorów jako współkierunkowych, czyli wektory będą miały ten sam kierunek. W przypadku uzyskania 180 stopni wektory będą miały charakter przeciwnych kierunków.

Określone wektory

Znajdując kąty między wektorami, można znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz opisanych powyżej współkierowanych i przeciwnie skierowanych.

Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się koplanarnymi.
Wektory o tej samej długości i kierunku nazywane są równymi.
Wektory leżące na tej samej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, to nazywa się to zerem, a jeśli jest jeden, to nazywa się je jeden.

Kąt między dwoma wektorami , :

Jeśli kąt między dwoma wektorami jest ostry, to ich iloczyn skalarny jest dodatni; jeśli kąt między wektorami jest rozwarty, to iloczyn skalarny tych wektorów jest ujemny. Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy te wektory są ortogonalne.

Zadanie. Znajdź kąt między wektorami i

Rozwiązanie. Cosinus żądanego kąta

16. Obliczanie kąta między liniami prostymi, linią prostą i płaszczyzną

Kąt między linią a płaszczyzną przecięcie tej linii, a nie prostopadłe do niej, jest kątem między linią a jej rzutem na tę płaszczyznę.

Wyznaczenie kąta pomiędzy linią a płaszczyzną pozwala stwierdzić, że kąt pomiędzy linią a płaszczyzną to kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami: samą linią i jej rzutem na płaszczyznę. Dlatego kąt między linią a płaszczyzną jest kątem ostrym.

Kąt między linią prostopadłą a płaszczyzną jest uważany za równy, a kąt między linią równoległą a płaszczyzną albo nie jest w ogóle określony, albo jest uważany za równy .

§ 69. Obliczanie kąta między liniami prostymi.

Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni jest rozwiązywany w taki sam sposób, jak w płaszczyźnie (§ 32). Oznacz przez φ kąt między liniami ja 1 i ja 2 , a przez ψ - kąt między wektorami kierunku ale I b te proste linie.

A następnie, jeśli

ψ 90° (rys. 206.6), następnie φ = 180° - ψ. Jest oczywiste, że w obu przypadkach równość cos φ = |cos ψ| jest prawdziwa. Według wzoru (1) § 20 mamy

W konsekwencji,

Niech linie będą podane przez ich równania kanoniczne

Następnie kąt φ między prostymi wyznacza się ze wzoru

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest określona równaniami niekanonicznymi, to do obliczenia kąta należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie użyć wzoru (1).

17. Proste równoległe, Twierdzenia o prostych równoległych

Definicja. Nazywa się dwie linie w samolocie równoległy jeśli nie mają wspólnych punktów.

Nazywa się dwie linie w trzech wymiarach równoległy jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.

Kąt między dwoma wektorami.

Z definicji iloczynu skalarnego:

Warunek ortogonalności dwóch wektorów:

Warunek kolinearności dla dwóch wektorów:

Wynika z definicji 5 - . Rzeczywiście, z definicji iloczynu wektora przez liczbę wynika. Dlatego w oparciu o zasadę równości wektorów piszemy , , , co implikuje . Ale wektor powstały w wyniku pomnożenia wektora przez liczbę jest współliniowy z wektorem .

Projekcja wektor-wektor:

Przykład 4. Podane punkty , , , .

Znajdź iloczyn skalarny.

Rozwiązanie. znajdujemy na podstawie wzoru iloczynu skalarnego wektorów podanego przez ich współrzędne. O ile

, ,

Przykład 5 Podane punkty , , , .

Znajdź projekcję.

Rozwiązanie. O ile

, ,

Na podstawie wzoru projekcyjnego mamy

Przykład 6 Podane punkty , , , .

Znajdź kąt między wektorami i .

Rozwiązanie. Zauważ, że wektory

, ,

nie są współliniowe, ponieważ ich współrzędne nie są proporcjonalne:

Te wektory również nie są prostopadłe, ponieważ ich iloczyn skalarny to .

Znajdźmy,

Zastrzyk znajdź z formuły:

Przykład 7 Określ, dla których wektorów i współliniowy.

Rozwiązanie. W przypadku kolinearności odpowiednie współrzędne wektorów i musi być proporcjonalny, czyli:

Stąd i .

Przykład 8. Określ, przy jakiej wartości wektora I są prostopadłe.

Rozwiązanie. Wektor i są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Z tego warunku otrzymujemy: . To znaczy, .

Przykład 9. Znaleźć , Jeśli , , .

Rozwiązanie. Ze względu na właściwości produktu skalarnego posiadamy:

Przykład 10. Znajdź kąt między wektorami i , gdzie i - wektory jednostkowe oraz kąt między wektorami i wynosi 120o.

Rozwiązanie. Mamy: , ,

Wreszcie mamy: .

5 B. produkt wektorowy.

Definicja 21.grafika wektorowa wektor na wektor jest nazywany wektorem lub , zdefiniowanym przez następujące trzy warunki:

1) Moduł wektora to , gdzie jest kątem między wektorami i , tj. .

Wynika z tego, że moduł iloczynu wektorowego jest liczbowo równa powierzchni równoległobok zbudowany na wektorach i jak na bokach.

2) Wektor jest prostopadły do każdego z wektorów i ( ; ), tj. prostopadłe do płaszczyzny równoległoboku zbudowanego na wektorach i .

3) Wektor jest skierowany tak, że patrząc od jego końca, to najkrótszy skręt od wektora do wektora byłby przeciwny do ruchu wskazówek zegara (wektory , , tworzą prawą trójkę).

Jak obliczyć kąty między wektorami?

Podczas studiowania geometrii pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Student ma szczególne trudności, gdy konieczne jest znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe warunki

Przed rozważeniem kątów między wektorami konieczne jest zapoznanie się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor to odcinek, który ma kierunek, to znaczy odcinek, dla którego zdefiniowany jest jego początek i koniec.

Formuła rozwiązania

Po otrzymaniu wartości cosinusa kąta można obliczyć wartość samego kąta za pomocą kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej.

Przykład

Po ustaleniu, jak obliczyć kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu staje się proste i jednoznaczne. Jako przykład rozważ prosty problem ze znalezieniem wielkości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego niezbędnego do rozwiązania. Korzystając z powyższego opisu otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru, obliczamy wartość cosinusa pożądanego kąta:

Obliczanie kątów w przestrzeni n-wymiarowej

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które mają więcej niż trzy wymiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda podobnie.

Różnica między 0 a 180 stopni

Określone wektory

Znajdując kąty między wektorami, można znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz opisanych powyżej współkierowanych i przeciwnie skierowanych.

Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się koplanarnymi.
Wektory o tej samej długości i kierunku nazywane są równymi.
Wektory leżące na tej samej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, to nazywa się to zerem, a jeśli jest jeden, to nazywa się je jeden.

Jak znaleźć kąt między wektorami?

Pomóż mi proszę! Znam wzór, ale nie potrafię go rozgryźć
wektor a (8; 10; 4) wektor b (5; -20; -10)

Aleksander Titow

Kąt między wektorami podany przez ich współrzędne znajduje się zgodnie ze standardowym algorytmem. Najpierw musisz znaleźć iloczyn skalarny wektorów aib: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Zastępujemy tutaj współrzędne tych wektorów i rozważamy:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Następnie określamy długości każdego z wektorów. Długość lub moduł wektora to pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych:
|a| = pierwiastek z (x1^2 + y1^2 + z1^2) = pierwiastek z (8^2 + 10^2 + 4^2) = pierwiastek z (64 + 100 + 16) = pierwiastek z 180 = 6 pierwiastków z pięć
|b| = pierwiastek kwadratowy z (x2^2 + y2^2 + z2^2) = pierwiastek kwadratowy z (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = pierwiastek kwadratowy z (25 + 400 + 100 ) = pierwiastek kwadratowy z 525 = 5 pierwiastków z 21.
Mnożymy te długości. Otrzymujemy 30 korzeni ze 105.
I na koniec dzielimy iloczyn skalarny wektorów przez iloczyn długości tych wektorów. Otrzymujemy -200 / (30 korzeni z 105) lub
- (4 pierwiastki z 105) / 63. Jest to cosinus kąta między wektorami. A sam kąt jest równy cosinusowi łuku tej liczby
f \u003d arccos (-4 korzenie 105) / 63.
Jeśli dobrze policzyłem.

Jak obliczyć sinus kąta między wektorami ze współrzędnych wektorów

Michaił Tkaczew

Mnożymy te wektory. Ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości tych wektorów i cosinusowi kąta między nimi.
Kąt nie jest nam znany, ale współrzędne są znane.
Zapiszmy to matematycznie w ten sposób.
Niech, dane wektory a(x1;y1) i b(x2;y2)
Następnie

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Kłócimy się.
a*b-iloczyn skalarny wektorów, jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych współrzędnych tych wektorów, czyli równy x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-iloczyn długości wektora jest równy √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Więc cosinus kąta między wektorami to:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Znając cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus. Porozmawiajmy, jak to zrobić:

Jeśli cosinus kąta jest dodatni, to ten kąt leży w 1 lub 4 ćwiartkach, więc jego sinus jest dodatni lub ujemny. Ale ponieważ kąt między wektorami jest mniejszy lub równy 180 stopni, to jego sinus jest dodatni. Podobnie argumentujemy, jeśli cosinus jest ujemny.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To wszystko)))) powodzenia w rozwiązaniu tego)))

Dmitrij Lewiszczow

To, że nie da się bezpośrednio sine, nie jest prawdą.
Oprócz formuły:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Jest też ten:
||=|a|*|b|*sin A
Oznacza to, że zamiast iloczynu skalarnego możesz wziąć moduł iloczynu wektorowego.

"Wektorowy iloczyn skalarny" - Iloczyn skalarny wektorów. W trójkącie równobocznym ABC o boku 1 narysowana jest wysokość BD. Z definicji scharakteryzować kąt? między wektorami i jeśli: a) b) c) d). Przy jakiej wartości t jest wektor prostopadły do wektora, jeśli (2, -1), (4, 3). Oznaczono iloczyn skalarny wektorów i .

"Geometry 9 class "Vectors"" - Odległość między dwoma punktami. Najprostsze problemy we współrzędnych. Sprawdź się! Współrzędne wektorowe. W 1903 O. Henrichi zaproponował, aby iloczyn skalarny był oznaczany symbolem (a, c). Wektor jest segmentem skierowanym. Rozkład wektora na wektory współrzędnych. Pojęcie wektora. Rozkład wektora na płaszczyźnie na dwa wektory niewspółliniowe.

"Wektor rozwiązywania problemów" - Ekspresowe wektory AM, DA, CA, MB, CD jako wektor a i wektor b. № 2 Wyraź wektory DP, DM, AC przez wektory a i b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Wyraź wektory CK, RK przez wektory a i b. BE:EC = 3: 1. K to środek DC. VK: KС = 3: 4. Wyraź wektory AK, DK przez wektory a i b. Zastosowanie wektorów do rozwiązywania problemów (część 1).

"Problemy na wektorach" - Twierdzenie. Znajdź współrzędne. Podano trzy punkty. Wierzchołki trójkąta. Znajdź współrzędne wektorów. Znajdź współrzędne punktu. Znajdź współrzędne i długość wektora. Wyraź długość wektora. Współrzędne wektorowe. Współrzędne wektorowe. Znajdź współrzędne wektora. Podano wektory. Nazwij współrzędne wektorów. Wektor ma współrzędne.

"Metoda współrzędnych na płaszczyźnie" - Narysowany zostanie okrąg. Prostopadłe. Oś współrzędnych. Wartość sinusa. Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie. Znajdź współrzędne wierzchołków. Rozważ przykład. Rozwiązanie tego problemu. Punkty są podawane na samolocie. Wierzchołki równoległoboku. Rozwiń wektory. Oblicz. Wiele punktów. Rozwiąż graficznie układ równań.

„Dodawanie i odejmowanie wektorów” - 1. Cele lekcji. 2. Główna część. Twój bardzo, najbardziej najlepszy przyjaciel Lunatyk! Dowiedz się, jak odejmować wektory. 2. Określ wektor sumy wektorów a i b. Mój przyjaciel!! Zobaczmy, co tu mamy. Nasze cele: Wnioski. 3. Przegląd głowy. 4. Lista referencji. Podróżowanie z Lunatic. Od punktu A odkładamy oba wektory.

Łącznie w temacie jest 29 prezentacji