Dom > Inżynieria mechaniczna

Własności funkcji y x n. Funkcja wykładnicza - właściwości, wykresy, wzory

Funkcja gdzie X – zmienny, A – podany numer, jest nazywany funkcja zasilania .

Jeśli to jest funkcją liniową, jej wykres jest linią prostą (patrz Rozdział 4.3, Rysunek 4.7).

Jeśli następnie- funkcja kwadratowa, jego wykres jest parabolą (patrz paragraf 4.3, ryc. 4.8).

Jeśli wtedy jego wykres jest parabolą sześcienną (patrz rozdział 4.3, rysunek 4.9).

Funkcja zasilania

To jest funkcja odwrotna dla

1. Domena:

2. Wiele wartości:

3. Parzyste i nieparzyste: nieparzysta funkcja.

4. Okresowość funkcji: nieokresowe.

5. Funkcja null: X= 0 to jedyne zero.

6. Funkcja nie ma wartości maksymalnej ani minimalnej.

7.

8. Wykres funkcji Symetryczny do wykresu paraboli sześciennej względem linii prostej Y=X i pokazano na ryc. 5.1.

Funkcja zasilania

1. Domena:

2. Wiele wartości:

3. Parzyste i nieparzyste: funkcja jest parzysta.

4. Okresowość funkcji: nieokresowe.

5. Funkcja null: pojedyncze zero X = 0.

6. Największe i najmniejsze wartości funkcji: przyjmuje najmniejszą wartość dla X= 0, jest równe 0.

7. Interwały rosnąco i malejąco: funkcja maleje na przedziale i rośnie na przedziale

8. Wykres funkcji(dla wszystkich N Î N) „wygląda” jak wykres parabola kwadratowa(wykresy funkcji pokazano na rys. 5.2).

Funkcja zasilania

1. Domena:

2. Wiele wartości:

3. Parzyste i nieparzyste: nieparzysta funkcja.

4. Okresowość funkcji: nieokresowe.

5. Funkcja null: X= 0 to jedyne zero.

6. Wartości maksymalne i minimalne:

7. Interwały rosnąco i malejąco: funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji.

8. Wykres funkcji(dla każdego ) „wygląda” jak wykres sześciennej paraboli (wykresy funkcji pokazano na rys. 5.3).

Funkcja zasilania

1. Domena:

2. Wiele wartości:

3. Parzyste i nieparzyste: nieparzysta funkcja.

4. Okresowość funkcji: nieokresowe.

5. Funkcja null: nie ma zer.

6. Największe i najmniejsze wartości funkcji: funkcja nie ma największych i najmniejszych wartości dla żadnego

7. Interwały rosnąco i malejąco: funkcja maleje w dziedzinie definicji.

8. Asymptoty:(oś OU) jest asymptotą pionową;

(oś Oh) to asymptota pozioma.

9. Wykres funkcji(dla kazdego N) „wygląda” jak wykres hiperboli (wykresy funkcji pokazano na rys. 5.4).

Funkcja zasilania

1. Domena:

2. Wiele wartości:

3. Parzyste i nieparzyste: funkcja jest parzysta.

4. Okresowość funkcji: nieokresowe.

5. Największe i najmniejsze wartości funkcji: funkcja nie ma największych i najmniejszych wartości dla żadnego

6. Interwały rosnąco i malejąco: funkcja rośnie i maleje

7. Asymptoty: X= 0 (oś OU) jest asymptotą pionową;

Y= 0 (oś Oh) to asymptota pozioma.

8. Wykresy funkcji Czy hiperbole kwadratowe (ryc. 5.5).

Funkcja zasilania

1. Domena:

2. Wiele wartości:

3. Parzyste i nieparzyste: funkcja nie ma własności parzystych i nieparzystych.

4. Okresowość funkcji: nieokresowe.

5. Funkcja null: X= 0 to jedyne zero.

6. Największe i najmniejsze wartości funkcji: najmniejszą wartość równą 0, funkcja przyjmuje w punkcie X= 0; największa wartość nie ma.

7. Interwały rosnąco i malejąco: funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji.

8. Każda taka funkcja z określonym wskaźnikiem jest odwrotna do funkcji, pod warunkiem:

9. Wykres funkcji"wygląda" jak wykres funkcji dla dowolnego N i pokazano na ryc. 5.6.

Funkcja zasilania

1. Domena:

2. Wiele wartości:

3. Parzyste i nieparzyste: nieparzysta funkcja.

4. Okresowość funkcji: nieokresowe.

5. Funkcja null: X= 0 to jedyne zero.

6. Największe i najmniejsze wartości funkcji: funkcja nie ma największych i najmniejszych wartości dla żadnego

7. Interwały rosnąco i malejąco: funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji.

8. Wykres funkcji Pokazano na ryc. 5.7.

Przypomnij sobie właściwości i wykresy funkcji potęgowych z ujemnym wykładnikiem całkowitym.

Dla parzystego n, :

Przykład funkcji:

Wszystkie wykresy takich funkcji przechodzą przez dwa stałe punkty: (1;1), (-1;1). Cechą funkcji tego typu jest ich parzystość, wykresy są symetryczne względem osi op-y.

Ryż. 1. Wykres funkcji

Dla nieparzystego n, :

Przykład funkcji:

Wszystkie wykresy takich funkcji przechodzą przez dwa stałe punkty: (1;1), (-1;-1). Cechą tego typu funkcji jest ich nieparzystość, wykresy są symetryczne względem początku.

Ryż. 2. Wykres funkcji

Przypomnijmy główną definicję.

Stopień liczby nieujemnej a z wymiernym dodatnim wykładnikiem nazywa się liczbą.

Stopień liczby dodatniej a z wymiernym ujemnym wykładnikiem nazywa się liczbą.

Dla następującej równości obowiązuje:

Na przykład: ; - wyrażenie nie istnieje z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem racjonalnym; istnieje, ponieważ wykładnik jest liczbą całkowitą,

Przejdźmy do rozważenia funkcji potęgowych z wymiernym wykładnikiem ujemnym.

Na przykład:

Aby wykreślić tę funkcję, możesz zrobić tabelę. Postąpimy inaczej: najpierw zbudujemy i przestudiujemy wykres mianownika - znamy go (rysunek 3).

Ryż. 3. Wykres funkcji

Wykres funkcji mianownika przechodzi przez stały punkt (1;1). Podczas konstruowania wykresu pierwotnej funkcji ten punkt pozostaje, gdy pierwiastek również dąży do zera, funkcja dąży do nieskończoności. I odwrotnie, ponieważ x dąży do nieskończoności, funkcja dąży do zera (rysunek 4).

Ryż. 4. Wykres funkcji

Rozważ jeszcze jedną funkcję z badanej rodziny funkcji.

Ważne jest, aby z definicji

Rozważmy wykres funkcji w mianowniku: , znamy wykres tej funkcji, wzrasta ona w swojej dziedzinie definicji i przechodzi przez punkt (1; 1) (rysunek 5).

Ryż. 5. Wykres funkcji

Podczas konstruowania wykresu funkcji pierwotnej punkt (1; 1) pozostaje, gdy pierwiastek również dąży do zera, funkcja dąży do nieskończoności. I odwrotnie, ponieważ x dąży do nieskończoności, funkcja dąży do zera (rysunek 6).

Ryż. 6. Wykres funkcji

Rozważane przykłady pomagają zrozumieć, jak przebiega wykres i jakie są właściwości badanej funkcji - funkcji z ujemnym wykładnikiem wymiernym.

Wykresy funkcji tej rodziny przechodzą przez punkt (1;1), funkcja maleje na całej domenie definicji.

Zakres funkcji:

Funkcja nie jest ograniczona od góry, ale ograniczona od dołu. Funkcja nie ma ani maksimum ani najmniejsza wartość.

Funkcja jest ciągła, przyjmuje wszystkie wartości dodatnie od zera do plus nieskończoności.

Funkcja wypukła w dół (rysunek 15.7)

Punkty A i B są brane na krzywej, przebiega przez nie odcinek, cała krzywa znajduje się poniżej odcinka, warunek ten jest spełniony dla dowolnych dwóch punktów na krzywej, dlatego funkcja jest wypukła w dół. Ryż. 7.

Ryż. 7. Wypukłość funkcji

Ważne jest, aby zrozumieć, że funkcje tej rodziny są ograniczone od dołu przez zero, ale nie mają najmniejszej wartości.

Przykład 1 - znajdź maksimum i minimum funkcji na przedziale \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Wykres (ryc. 2).

Rysunek 2. Wykres funkcji $f\left(x\right)=x^(2n)$

Własności funkcji potęgowej z naturalnym nieparzystym wykładnikiem

    Domeną definicji są wszystkie liczby rzeczywiste.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ jest funkcją nieparzystą.

    $f(x)$ jest ciągła w całej dziedzinie definicji.

    Zakres składa się wyłącznie z liczb rzeczywistych.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1)\ge 0$

    Funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji.

    $f\left(x\right)0$, dla $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Funkcja jest wklęsła dla $x\in (-\infty ,0)$ i wypukła dla $x\in (0,+\infty)$.

    Wykres (ryc. 3).

Rysunek 3. Wykres funkcji $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcja potęgowa z wykładnikiem całkowitym

Na początek wprowadzimy pojęcie stopnia z wykładnikiem całkowitym.

Definicja 3

Stopień liczby rzeczywistej $a$ z wykładnikiem całkowitym $n$ określa wzór:

Rysunek 4

Rozważmy teraz funkcję potęgową z wykładnikiem całkowitym, jej właściwości i wykres.

Definicja 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ nazywana jest funkcją potęgową z wykładnikiem całkowitym.

Jeśli stopień jest większy od zera, to dochodzimy do przypadku funkcji potęgowej z wykładnikiem naturalnym. Rozważaliśmy to już powyżej. Dla $n=0$ otrzymujemy funkcję liniową $y=1$. Rozważenie pozostawiamy czytelnikowi. Pozostaje rozważyć właściwości funkcji potęgowej z ujemnym wykładnikiem całkowitym

Własności funkcji potęgowej z ujemnym wykładnikiem całkowitym

    Zakres to $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Jeśli wykładnik jest parzysty, funkcja jest parzysta, jeśli nieparzysta, funkcja jest nieparzysta.

    $f(x)$ jest ciągła w całej dziedzinie definicji.

    Zakres wartości:

    Jeśli wykładnik jest parzysty, to $(0,+\infty)$, jeśli nieparzysty, to $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Jeśli wykładnik jest nieparzysty, funkcja zmniejsza się o $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Dla parzystego wykładnika funkcja zmniejsza się o $x\in (0,+\infty)$. i rośnie jako $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ w całej domenie

Podano dane referencyjne funkcji wykładniczej - podstawowe właściwości, wykresy i wzory. Rozważane są następujące zagadnienia: dziedzina definicji, zbiór wartości, monotoniczność, funkcja odwrotna, pochodna, całka, rozwinięcie szeregów potęgowych i reprezentacja za pomocą liczb zespolonych.

Definicja

Funkcja wykładnicza jest uogólnieniem iloczynu n liczb równych a :
tak (n) = a n = a a a a,
do zbioru liczb rzeczywistych x :
tak (x) = x.
Tutaj a jest naprawione prawdziwy numer, który jest nazywany podstawa funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza o podstawie a jest również nazywana wykładnicza do podstawy a.

Generalizację przeprowadza się w następujący sposób.
Dla naturalnego x = 1, 2, 3,... , funkcja wykładnicza jest iloczynem x czynników:
.
Ponadto posiada właściwości (1,5-8) (), które wynikają z zasad mnożenia liczb. Na zero i wartości ujemne liczb całkowitych , funkcja wykładnicza jest określona wzorami (1,9-10). Dla wartości ułamkowych x = m/n liczby wymierne, , określa go wzór (1.11). Dla real , funkcja wykładnicza jest zdefiniowana jako limit sekwencji:
,
gdzie jest arbitralną sekwencją liczb wymiernych zbiegających się do x : .
Dzięki tej definicji funkcja wykładnicza jest zdefiniowana dla wszystkich i spełnia właściwości (1,5-8), a także dla naturalnego x .

Ścisłe matematyczne sformułowanie definicji funkcji wykładniczej i dowód jej właściwości podano na stronie „Definicja i dowód właściwości funkcji wykładniczej”.

Własności funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza y = a x ma następujące właściwości na zbiorze liczb rzeczywistych () :
(1.1) jest określony i ciągły, dla , dla wszystkich ;
(1.2) kiedy 1 ma wiele znaczeń;
(1.3) ściśle wzrasta w , ściśle maleje w ,
jest stała w ;
(1.4) w ;
w ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Inne przydatne formuły
.
Wzór na zamianę na funkcję wykładniczą o innej podstawie potęgowej:

Dla b = e otrzymujemy wyrażenie funkcji wykładniczej w postaci wykładnika:

Wartości prywatne

, , , , .

Rysunek przedstawia wykresy funkcji wykładniczej
tak (x) = x
dla czterech wartości podstawy stopni:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 i = 1/8 . Widać, że dla > 1 funkcja wykładnicza jest monotonicznie wzrastająca. Im większa podstawa stopnia a, tym silniejszy wzrost. Na 0 < a < 1 funkcja wykładnicza jest monotonicznie malejąca. Jak mniej wskaźnika stopień a , tym silniejszy spadek.

rosnąco, malejąco

Funkcja wykładnicza w jest ściśle monotoniczna, więc nie ma ekstremów. Jego główne właściwości przedstawiono w tabeli.

y = a x , a > 1 y = x, 0 < a < 1
Domena - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Zakres wartości 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monotonia wzrasta monotonicznie maleje monotonicznie
Zera, y= 0 Nie Nie
Punkty przecięcia z osią y, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Funkcja odwrotna

Odwrotność funkcji wykładniczej o podstawie stopnia a jest logarytmem o podstawie a.

Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.

Różniczkowanie funkcji wykładniczej

Aby zróżnicować funkcję wykładniczą, jej podstawę należy sprowadzić do liczby e, zastosować tablicę pochodnych i regułę różniczkowania funkcji zespolonej.

Aby to zrobić, musisz użyć właściwości logarytmów
oraz wzór z tabeli instrumentów pochodnych:
.

Niech zostanie podana funkcja wykładnicza:
.
Wprowadzamy to do bazy e:

Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej. W tym celu wprowadzamy zmienną

Następnie

Z tabeli pochodnych mamy (zamień zmienną x na z):
.
Ponieważ jest stałą, pochodna z względem x to
.
Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej:
.

Pochodna funkcji wykładniczej

.
Pochodna n-tego rzędu:
.
Wyprowadzanie wzorów > > >

Przykład różniczkowania funkcji wykładniczej

Znajdź pochodną funkcji
y= 35x

Decyzja

Podstawę funkcji wykładniczej wyrażamy liczbą e.
3 = e log 3
Następnie
.
Wprowadzamy zmienną
.
Następnie

Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.
O ile 5ln 3 jest stałą, to pochodna z względem x wynosi:
.
Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej mamy:
.

Odpowiedź

Całka

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Rozważmy funkcję liczby zespolonej z:
f (z) = az
gdzie z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Wyrażamy stałą zespoloną a w postaci modułu r oraz argumentu φ :
a = r e ja φ
Następnie


.
Argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany. W ogólny widok
φ = φ 0 + 2 zł,
gdzie n jest liczbą całkowitą. Dlatego funkcja f (z) jest również niejednoznaczny. Często uważany za jego główne znaczenie
.

Rozbudowa w serii


.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.

Polecamy również

Ładowanie...Ładowanie...