Redukcja ułamków algebraicznych: reguła, przykłady. Jak rozwiązywać ułamki algebraiczne? Teoria i praktyka

Ułamki i ich redukcja to kolejny temat, który zaczyna się w piątej klasie. Tu formuje się podstawa tego działania, a następnie te umiejętności wciągane są za nić do wyższej matematyki. Jeśli uczeń się nie nauczył, może mieć problemy z algebrą. Dlatego lepiej raz na zawsze zrozumieć kilka zasad. I pamiętaj o jednym zakazie i nigdy go nie łam.

Frakcja i jej redukcja

Co to jest, każdy uczeń wie. Dowolne dwie cyfry znajdujące się między poziomym paskiem są natychmiast postrzegane jako ułamek. Jednak nie każdy rozumie, że może nim stać się dowolna liczba. Jeśli jest to liczba całkowita, to zawsze można ją podzielić przez jeden, wtedy otrzymujemy ułamek niewłaściwy. Ale o tym później.

Początek jest zawsze prosty. Najpierw musisz dowiedzieć się, jak zredukować poprawny ułamek. To znaczy taki, którego licznik jest mniejszy niż mianownik. Aby to zrobić, musisz pamiętać główną właściwość ułamka. Stwierdza, że przy mnożeniu (a także dzieleniu) zarówno licznika, jak i mianownika przez tę samą liczbę, okazuje się, że pierwotny ułamek jest równoważny.

Czynności podziału, które są wykonywane na tej właściwości, powodują redukcję. To znaczy jego maksymalne uproszczenie. Ułamek można zmniejszyć, o ile istnieją wspólne czynniki powyżej i poniżej linii. Kiedy ich już nie ma, redukcja jest niemożliwa. I mówią, że ten ułamek jest nieredukowalny.

dwie drogi

1.Redukcja krok po kroku. Wykorzystuje metodę zgadywania, gdy obie liczby są dzielone przez minimalny wspólny czynnik, który zauważył uczeń. Jeśli po pierwszej redukcji okaże się, że to nie koniec, to podział trwa. Dopóki ułamek nie stanie się nieredukowalny.

2. Znalezienie największego wspólnego dzielnika licznika i mianownika. To najbardziej racjonalny sposób redukcji ułamków. Polega na rozłożeniu licznika i mianownika na czynniki pierwsze. Wśród nich musisz wybrać to samo. Ich produkt da największy wspólny czynnik, o który zmniejszy się frakcja.

Obie te metody są równoważne. Uczeń zapraszany jest do ich opanowania i korzystania z tego, który najbardziej mu się podobał.

A jeśli istnieją litery i operacje dodawania i odejmowania?

W pierwszej części pytania wszystko jest mniej więcej jasne. Litery mogą być skracane tak jak cyfry. Najważniejsze, że działają jako mnożniki. Ale z drugim, wielu ma problemy.

Ważne do zapamiętania! Możesz redukować tylko liczby, które są czynnikami. Jeśli są terminami, to niemożliwe.

Aby zrozumieć, jak redukować ułamki, które wyglądają jak wyrażenie algebraiczne, musisz nauczyć się reguły. Najpierw wyraż licznik i mianownik jako iloczyn. Następnie możesz zmniejszyć, jeśli istnieją wspólne czynniki. Do reprezentacji jako mnożników przydatne są następujące sztuczki:

grupowanie;
nawiasy;
zastosowanie skróconych tożsamości mnożenia.

Co więcej, ta ostatnia metoda umożliwia natychmiastowe uzyskanie warunków w postaci czynników. Dlatego należy go zawsze używać, jeśli widoczny jest znany wzór.

Ale to jeszcze nie jest przerażające, wtedy pojawiają się zadania ze stopniami i korzeniami. Wtedy musisz zebrać się na odwagę i nauczyć się kilku nowych zasad.

Ekspresja mocy

Frakcja. Iloczyn w liczniku i mianowniku. Są litery i cyfry. A także są podniesieni do potęgi, która również składa się z terminów lub czynników. Jest się czego bać.

Aby dowiedzieć się, jak redukować ułamki za pomocą potęg, musisz nauczyć się dwóch punktów:

jeśli w wykładniku jest suma, można ją rozłożyć na czynniki, których potęgami będą wyrazy pierwotne;
jeśli różnica, to do dywidendy i dzielnika, pierwsza w stopniu zostanie zmniejszona, druga - odjęta.

Po wykonaniu tych kroków wspólne mnożniki stają się widoczne. W takich przykładach nie jest konieczne obliczanie wszystkich mocy. Wystarczy po prostu zmniejszyć stopnie za pomocą tych samych wskaźników i podstaw.

Aby w końcu opanować, jak redukować ułamki za pomocą mocy, potrzebujesz dużo praktyki. Po kilku przykładach tego samego typu akcje zostaną wykonane automatycznie.

A jeśli wyrażenie zawiera korzeń?

Można go również skrócić. Ponownie postępuj zgodnie z zasadami. Co więcej, wszystkie opisane powyżej są prawdziwe. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli pytanie brzmi, jak zmniejszyć ułamek z korzeniami, musisz podzielić.

Można go również podzielić na wyrażenia irracjonalne. Oznacza to, że jeśli licznik i mianownik mają te same czynniki zawarte pod znakiem pierwiastka, można je bezpiecznie zmniejszyć. To uprości wyrażenie i wykona zadanie.

Jeśli po redukcji irracjonalność pozostaje pod linią ułamka, musisz się jej pozbyć. Innymi słowy, pomnóż przez niego licznik i mianownik. Jeśli po tej operacji pojawiły się wspólne czynniki, należy je ponownie zmniejszyć.

Być może chodzi o to, jak redukować ułamki. Niewiele zasad, ale jeden zakaz. Nigdy nie skracaj terminów!

W tym artykule skupimy się na redukcja ułamków algebraicznych. Najpierw zastanówmy się, co oznacza termin „redukcja ułamka algebraicznego” i dowiedzmy się, czy ułamek algebraiczny jest zawsze redukowalny. Następnie podajemy regułę, która pozwala nam przeprowadzić tę transformację. Na koniec rozważ rozwiązania typowych przykładów, które pozwolą zrozumieć wszystkie subtelności procesu.

Nawigacja po stronach.

Co to znaczy redukować ułamek algebraiczny?

Studiując, rozmawialiśmy o ich redukcji. dzielenie jego licznika i mianownika nazwaliśmy przez wspólny czynnik. Na przykład wspólny ułamek 30/54 można zmniejszyć o 6 (czyli podzielić przez 6 jego licznik i mianownik), co doprowadzi nas do ułamka 5/9.

Redukcja ułamka algebraicznego jest rozumiana jako podobne działanie. Zmniejsz ułamek algebraiczny jest podzielenie jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik. Ale jeśli wspólny dzielnik licznika i mianownika zwykłego ułamka może być tylko liczbą, to wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika ułamka algebraicznego może być wielomian, w szczególności jednomian lub liczba.

Na przykład ułamek algebraiczny można zmniejszyć o liczbę 3, co daje ułamek . Możliwa jest również redukcja na zmiennej x , co da w wyniku wyrażenie . Pierwotny ułamek algebraiczny można zmniejszyć o jednomian 3 x, a także o dowolny z wielomianów x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y lub 3 x 2 +6 x y .

Ostatecznym celem redukcji ułamka algebraicznego jest uzyskanie ułamka prostszej postaci, w najlepszym przypadku ułamka nieredukowalnego.

Czy redukcji podlega jakikolwiek ułamek algebraiczny?

Wiemy, że zwykłe ułamki dzielą się na . Ułamki nieredukowalne nie mają wspólnych czynników innych niż jedność w liczniku i mianowniku, dlatego nie można ich redukować.

Ułamki algebraiczne mogą, ale nie muszą mieć wspólnego licznika i mianownika. W obecności wspólnych czynników można zredukować ułamek algebraiczny. Jeśli nie ma wspólnych czynników, to uproszczenie ułamka algebraicznego przez jego redukcję jest niemożliwe.

W ogólnym przypadku, po pojawieniu się ułamka algebraicznego, dość trudno jest określić, czy można przeprowadzić jego redukcję. Niewątpliwie w niektórych przypadkach wspólne czynniki licznika i mianownika są oczywiste. Na przykład wyraźnie widać, że licznik i mianownik ułamka algebraicznego mają wspólny dzielnik równy 3. Łatwo też zauważyć, że ułamek algebraiczny można zmniejszyć o x, o y lub od razu o x·y. Ale znacznie częściej wspólny dzielnik licznika i mianownika ułamka algebraicznego nie jest od razu widoczny, a jeszcze częściej po prostu nie istnieje. Na przykład ułamek można zmniejszyć o x−1 , ale ten wspólny czynnik wyraźnie nie występuje w zapisie. I ułamek algebraiczny nie może być redukowany, ponieważ jego licznik i mianownik nie mają wspólnych dzielników.

Ogólnie rzecz biorąc, kwestia kurczliwości ułamka algebraicznego jest bardzo trudna. Czasami łatwiej jest rozwiązać problem, pracując z ułamkiem algebraicznym w jego oryginalnej postaci, niż dowiedzieć się, czy ten ułamek można wstępnie zmniejszyć. Jednak nadal istnieją przekształcenia, które w niektórych przypadkach pozwalają, przy stosunkowo niewielkim wysiłku, znaleźć wspólne czynniki licznika i mianownika, jeśli takie istnieją, lub stwierdzić, że pierwotny ułamek algebraiczny jest nieredukowalny. Informacje te zostaną ujawnione w następnym akapicie.

Algebraiczna reguła redukcji ułamków

Informacje zawarte w poprzednich akapitach pozwalają w naturalny sposób dostrzec następujące elementy algebraiczna reguła redukcji ułamków, który składa się z dwóch kroków:

po pierwsze, znajdują się wspólne czynniki licznika i mianownika pierwotnego ułamka;
jeśli w ogóle, to przeprowadza się redukcję o te czynniki.

Te kroki ogłoszonej zasady wymagają wyjaśnienia.

Najwygodniejszym sposobem znalezienia wspólnych jest rozłożenie na czynniki wielomianów znajdujących się w liczniku i mianowniku oryginalnego ułamka algebraicznego. W takim przypadku wspólne czynniki licznika i mianownika natychmiast stają się widoczne lub staje się jasne, że nie ma wspólnych czynników.

Jeśli nie ma wspólnych czynników, możemy stwierdzić, że ułamek algebraiczny jest nierozkładalny. Jeśli zostaną znalezione wspólne czynniki, to na drugim etapie są one zmniejszane. Rezultatem jest nowy ułamek prostszej formy.

Reguła redukcji ułamków algebraicznych opiera się na głównej własności ułamka algebraicznego, którą wyraża równość , gdzie a , b i c są pewnymi wielomianami, a b i c są niezerowe. W pierwszym kroku pierwotny ułamek algebraiczny jest redukowany do postaci , z której widoczny staje się dzielnik wspólny c, aw drugim kroku przeprowadzana jest redukcja - przejście do ułamka .

Przejdźmy do rozwiązywania przykładów za pomocą tej reguły. Na nich przeanalizujemy wszystkie możliwe niuanse, które powstają podczas rozkładania licznika i mianownika ułamka algebraicznego na czynniki i późniejszej redukcji.

Typowe przykłady

Najpierw trzeba powiedzieć o redukcji ułamków algebraicznych, których licznik i mianownik są takie same. Takie ułamki są identycznie równe jednemu na całym ODZ zawartych w nim zmiennych, np.
itp.

Teraz nie zaszkodzi przypomnieć sobie, jak odbywa się redukcja zwykłych ułamków - w końcu są to szczególny przypadek ułamków algebraicznych. Liczby naturalne w liczniku i mianowniku zwykłego ułamka, po których zmniejsza się wspólne czynniki (jeśli występują). Na przykład, . Iloczyn identycznych czynników pierwszych można zapisać jako potęgi, a po zmniejszeniu użyć . W takim przypadku rozwiązanie wyglądałoby tak: , tutaj podzieliliśmy licznik i mianownik przez wspólny czynnik 2 2 3 . Lub dla większej przejrzystości, w oparciu o właściwości mnożenia i dzielenia, rozwiązanie przedstawiane jest w formie.

Według absolutnie podobnych zasad przeprowadza się redukcję ułamków algebraicznych, w których liczniku i mianowniku znajdują się jednomiany o współczynnikach całkowitych.

Przykład.

Zmniejsz ułamek algebraiczny .

Rozwiązanie.

Licznik i mianownik pierwotnego ułamka algebraicznego można przedstawić jako iloczyn czynników prostych i zmiennych, a następnie przeprowadzić redukcję:

Ale bardziej racjonalne jest napisanie rozwiązania jako wyrażenia z potęgami:

Odpowiedź:

Jeśli chodzi o redukcję ułamków algebraicznych, które mają ułamkowe współczynniki liczbowe w liczniku i mianowniku, możesz zrobić dwie rzeczy: albo osobno podzielić te współczynniki ułamkowe, albo najpierw pozbyć się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez jakąś liczbę naturalną. Mówiliśmy o ostatniej transformacji w artykule przynosząc ułamek algebraiczny do nowego mianownika, można to przeprowadzić ze względu na główną właściwość ułamka algebraicznego. Zajmijmy się tym na przykładzie.

Przykład.

Wykonaj redukcję frakcji.

Rozwiązanie.

Możesz zmniejszyć ułamek w ten sposób: .

I można było najpierw pozbyć się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez mianowniki tych współczynników, czyli przez LCM(5, 10)=10 . W tym przypadku mamy .

Odpowiedź:

Możesz przejść do ułamków algebraicznych ogólnej postaci, w których licznik i mianownik mogą zawierać zarówno liczby i jednomiany, jak i wielomiany.

Przy zmniejszaniu takich ułamków głównym problemem jest to, że wspólny dzielnik licznika i mianownika nie zawsze jest widoczny. Co więcej, nie zawsze istnieje. Aby znaleźć wspólny dzielnik lub upewnić się, że nie istnieje, musisz dokonać faktoryzacji licznika i mianownika ułamka algebraicznego.

Przykład.

Zmniejsz ułamek wymierny .

Rozwiązanie.

Aby to zrobić, rozkładamy na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku. Zacznijmy od nawiasów: . Oczywiście wyrażenia w nawiasach można przekonwertować za pomocą

W oparciu o ich główną właściwość: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez ten sam niezerowy wielomian, otrzymamy ułamek równy temu.

Możesz tylko zmniejszyć mnożniki!

Nie można redukować składowych wielomianów!

Aby zredukować ułamek algebraiczny, wielomiany w liczniku i mianowniku muszą być najpierw rozłożone na czynniki.

Rozważ przykłady redukcji frakcji.

Licznik i mianownik ułamka są jednomianami. Oni reprezentują Praca(liczby, zmienne i ich stopnie), mnożniki możemy zredukować.

Liczby zmniejszamy o ich największy wspólny dzielnik, czyli o największą liczbę, przez którą każda z podanych liczb jest podzielna. Dla 24 i 36 jest to 12. Po zmniejszeniu z 24 pozostaje 2, z 36 - 3.

Stopnie zmniejszamy o stopień za pomocą najmniejszego wskaźnika. Zmniejszenie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez ten sam dzielnik i odjęcie wykładników.

a² i a⁷ zmniejszają się o a². Jednocześnie w liczniku z a² pozostaje jeden (piszemy 1 tylko wtedy, gdy po redukcji nie ma innych czynników. Z 24 pozostaje 2, więc nie zapisujemy 1 pozostałego z a²). Od ⁷ po redukcji pozostaje ⁵.

b i b są skrócone przez b, jednostki wynikowe nie są zapisywane.

c³º i c⁵ zmniejsza się o c⁵. Od c³º pozostaje c²⁵, od c⁵ - jednostka (nie piszemy jej). W ten sposób,

Licznikiem i mianownikiem tego ułamka algebraicznego są wielomiany. Nie da się zredukować wyrazów wielomianów! (nie można zmniejszyć np. 8x² i 2x!). Aby zmniejszyć tę frakcję, konieczne jest. Licznik ma wspólny dzielnik 4x. Wyjmijmy to z nawiasów:

Zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam współczynnik (2x-3). Zmniejszamy ułamek o ten czynnik. W liczniku mamy 4x, w mianowniku 1. Zgodnie z właściwością 1 ułamków algebraicznych, ułamek to 4x.

Możesz tylko zmniejszyć współczynniki (nie możesz zmniejszyć danego ułamka o 25x²!). Dlatego wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka muszą być rozłożone na czynniki.

Licznik to pełny kwadrat sumy, a mianownik to różnica kwadratów. Po rozwinięciu przez wzory skróconego mnożenia otrzymujemy:

Zmniejszamy ułamek o (5x + 1) (w tym celu skreślmy dwa w liczniku jako wykładnik, z (5x + 1) ² to pozostanie (5x + 1)):

Licznik ma wspólny dzielnik 2, wyjmijmy go z nawiasów. W mianowniku - wzór na różnicę kostek:

W wyniku rozwinięcia licznika i mianownika otrzymaliśmy ten sam współczynnik (9 + 3a + a²). Zmniejszamy na nim ułamek:

Wielomian w liczniku składa się z 4 wyrazów. pierwszy składnik z drugim, trzeci z czwartym, a z pierwszych nawiasów wyjmujemy dzielnik wspólny x². Rozkładamy mianownik według wzoru na sumę sześcianów:

W liczniku wyjmujemy dzielnik wspólny (x + 2) z nawiasów:

Zmniejszamy ułamek o (x + 2):

Ten artykuł kontynuuje temat transformacji ułamków algebraicznych: rozważ takie działanie jak redukcja ułamków algebraicznych. Zdefiniujmy samo pojęcie, sformułujmy zasadę skrótu i przeanalizujmy praktyczne przykłady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Znaczenie skrótu ułamka algebraicznego

W materiałach na frakcji zwykłej rozważyliśmy jej redukcję. Zdefiniowaliśmy redukcję wspólnego ułamka jako dzielenie jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik.

Podobną operacją jest zmniejszanie ułamka algebraicznego.

Definicja 1

Redukcja ułamków algebraicznych jest dzieleniem jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik. W tym przypadku, w przeciwieństwie do redukcji zwykłego ułamka (tylko liczba może być wspólnym mianownikiem), wielomian, w szczególności jednomian lub liczba, może służyć jako wspólny czynnik dla licznika i mianownika ułamka algebraicznego.

Na przykład ułamek algebraiczny 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 można pomniejszyć o liczbę 3, w wyniku otrzymamy: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Możemy zmniejszyć ten sam ułamek o zmienną x, a to da nam wyrażenie 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Możliwe jest również zredukowanie danego ułamka o jednomian 3x lub którykolwiek z wielomianów x + 2 lata, 3 x + 6 r , x 2 + 2 x r lub 3 x 2 + 6 x r.

Ostatecznym celem redukcji ułamka algebraicznego jest ułamek prostszej formy, w najlepszym razie ułamek nieredukowalny.

Czy wszystkie ułamki algebraiczne podlegają redukcji?

Ponownie, z materiałów o zwykłych frakcjach wiemy, że istnieją frakcje redukowalne i nieredukowalne. Nierozkładalny - są to ułamki, które nie mają wspólnych czynników licznika i mianownika, innych niż 1.

W przypadku ułamków algebraicznych wszystko jest takie samo: mogą, ale nie muszą, mieć wspólne czynniki licznika i mianownika. Obecność wspólnych czynników pozwala uprościć pierwotną frakcję poprzez redukcję. Gdy nie ma wspólnych czynników, nie można zoptymalizować danej frakcji metodą redukcji.

W ogólnych przypadkach dla danego typu frakcji dość trudno jest zrozumieć, czy podlega on redukcji. Oczywiście w niektórych przypadkach obecność wspólnego czynnika licznika i mianownika jest oczywista. Na przykład we ułamku algebraicznym 3 · x 2 3 · y jest całkiem jasne, że dzielnikiem wspólnym jest liczba 3 .

W ułamku - x · y 5 · x · y · z 3 od razu rozumiemy, że można go zmniejszyć o x lub y, lub o x · y. A jednak przykłady ułamków algebraicznych są znacznie częstsze, gdy wspólny dzielnik licznika i mianownika nie jest tak łatwo widoczny, a jeszcze częściej - po prostu go nie ma.

Na przykład możemy zmniejszyć ułamek x 3 - 1 x 2 - 1 o x - 1, podczas gdy określony wspólny dzielnik nie znajduje się w rekordzie. Ale ułamek x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 nie może być zmniejszony, ponieważ licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika.

Zatem kwestia znalezienia kurczliwości ułamka algebraicznego nie jest taka prosta i często łatwiej jest pracować z ułamkiem danej postaci niż próbować dowiedzieć się, czy jest on kurczliwy. W tym przypadku dochodzi do takich przekształceń, które w poszczególnych przypadkach pozwalają na wyznaczenie wspólnego współczynnika licznika i mianownika lub stwierdzenie, że ułamek jest nieredukowalny. Szczegółowo przeanalizujemy tę kwestię w następnym akapicie artykułu.

Algebraiczna reguła redukcji ułamków

Algebraiczna reguła redukcji ułamków składa się z dwóch następujących po sobie kroków:

znalezienie wspólnych czynników licznika i mianownika;
w przypadku znalezienia takich, realizacja bezpośredniej akcji redukcji ułamka.

Najwygodniejszą metodą znajdowania wspólnych mianowników jest faktoryzacja wielomianów występujących w liczniku i mianowniku danego ułamka algebraicznego. Pozwala to natychmiast wizualnie zobaczyć obecność lub brak wspólnych czynników.

Sama czynność redukcji ułamka algebraicznego opiera się na głównej właściwości ułamka algebraicznego, wyrażonej przez niezdefiniowaną równość , gdzie a , b , c są pewnymi wielomianami, a b i c są niezerowe. Pierwszym krokiem jest zredukowanie ułamka do postaci a c b c , w której od razu zauważamy dzielnik wspólny c . Drugim krokiem jest wykonanie redukcji, czyli przejście do ułamka postaci a b .

Typowe przykłady

Mimo pewnej oczywistości wyjaśnijmy szczególny przypadek, w którym licznik i mianownik ułamka algebraicznego są sobie równe. Podobne ułamki są identycznie równe 1 na całym ODZ zmiennych tego ułamka:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 lat 1 2 x - x 2 lat ;

Ponieważ zwykłe ułamki są szczególnym przypadkiem ułamków algebraicznych, przypomnijmy sobie, jak są one redukowane. Liczby naturalne zapisane w liczniku i mianowniku są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie czynniki wspólne są anulowane (jeśli występują).

Na przykład 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Iloczyn prostych identycznych czynników można zapisać w stopniach, a w procesie redukcji ułamka wykorzystać własność dzielenia stopni o tych samych podstawach. Wtedy powyższe rozwiązanie byłoby:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(licznik i mianownik podzielone przez wspólny czynnik 2 2 3). Lub dla jasności, na podstawie właściwości mnożenia i dzielenia, nadamy rozwiązaniu następującą postać:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogicznie przeprowadza się redukcję ułamków algebraicznych, w których licznik i mianownik mają jednomiany o współczynnikach całkowitych.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę ułamek algebraiczny - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Trzeba go zmniejszyć.

Rozwiązanie

Można zapisać licznik i mianownik danego ułamka jako iloczyn czynników pierwszych i zmiennych, a następnie skrócić:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b b c z 2 3 a a b b c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Jednak bardziej racjonalnym sposobem byłoby napisanie rozwiązania jako wyrażenia z potęgami:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 cc 7 zz = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 za 3 2 c 6 = - 9 za 3 2 c 6 .

Odpowiedź:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Gdy w liczniku i mianowniku ułamka algebraicznego występują ułamkowe współczynniki liczbowe, istnieją dwa możliwe sposoby dalszego działania: albo osobno podziel te współczynniki ułamkowe, albo najpierw pozbądź się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez jakąś liczbę naturalną . Ostatnia transformacja odbywa się ze względu na główną właściwość ułamka algebraicznego (możesz o tym przeczytać w artykule „Zmniejszanie ułamka algebraicznego do nowego mianownika”).

Przykład 2

Biorąc pod uwagę ułamek 2 5 x 0 , 3 x 3 . Trzeba go zmniejszyć.

Rozwiązanie

W ten sposób można zredukować ułamek:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Spróbujmy rozwiązać problem inaczej, pozbywając się wcześniej współczynników ułamkowych - mnożymy licznik i mianownik przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników, tj. na LCM (5, 10) = 10. Następnie otrzymujemy:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odpowiedź: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Gdy zmniejszymy ogólne ułamki algebraiczne, w których licznikami i mianownikami mogą być zarówno jednomiany, jak i wielomiany, pojawia się problem, gdy czynnik wspólny nie zawsze jest od razu widoczny. Co więcej, po prostu nie istnieje. Następnie, aby określić dzielnik wspólny lub ustalić fakt jego braku, następuje faktoryzacja licznika i mianownika ułamka algebraicznego.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę ułamek wymierny 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Musi zostać skrócony.

Rozwiązanie

Rozłóżmy na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku. Zróbmy nawiasy:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Widzimy, że wyrażenie w nawiasach można przekonwertować za pomocą skróconych formuł mnożenia:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Widać wyraźnie, że można zmniejszyć ułamek o wspólny czynnik b 2 (a + 7). Zróbmy redukcję:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Piszemy krótkie rozwiązanie bez wyjaśnienia jako łańcuch równości:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Odpowiedź: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Zdarza się, że wspólne czynniki są ukryte przez współczynniki liczbowe. Następnie, redukując ułamki, optymalne jest usunięcie współczynników liczbowych przy wyższych potęgach licznika i mianownika.

Przykład 4

Dany ułamek algebraiczny 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Powinna zostać zmniejszona, jeśli to możliwe.

Rozwiązanie

Na pierwszy rzut oka licznik i mianownik nie mają wspólnego mianownika. Spróbujmy jednak przeliczyć podany ułamek. Wyjmijmy czynnik x z licznika:

1 5 x - 2 7 x 3 r 5 x 2 r - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 r 5 x 2 r - 3 1 2

Teraz możesz zobaczyć pewne podobieństwo między wyrażeniem w nawiasach a wyrażeniem w mianowniku ze względu na x 2 y . Wyjmijmy współczynniki liczbowe przy wyższych potęgach tych wielomianów:

x 1 5 - 2 7 x 2 r 5 x 2 r - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 r 5 x 2 r - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 lata 5 x 2 lata - 7 10

Teraz wspólny mnożnik staje się widoczny, przeprowadzamy redukcję:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Odpowiedź: 1 5 x - 2 7 x 3 r 5 x 2 r - 3 1 2 = - 2 35 x .

Podkreślmy, że umiejętność redukcji ułamków wymiernych zależy od umiejętności faktoryzacji wielomianów.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Na pierwszy rzut oka ułamki algebraiczne wydają się bardzo skomplikowane, a nieprzygotowany uczeń może pomyśleć, że nie da się z nimi nic zrobić. Nagromadzenie zmiennych, liczb, a nawet mocy budzi strach. Jednak te same zasady są używane do zmniejszania ułamków (takich jak 15/25) i ułamków algebraicznych.

Kroki

Redukcja frakcji

Dowiedz się, jak pracować z prostymi ułamkami. Działania na ułamkach zwykłych i algebraicznych są podobne. Na przykład weź ułamek 15/35. Aby uprościć ten ułamek, znajdź wspólny dzielnik. Obie liczby są podzielne przez pięć, więc możemy wyodrębnić 5 w liczniku i mianowniku:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Teraz możesz zmniejszyć wspólne czynniki, czyli skreślić 5 w liczniku i mianowniku. W rezultacie otrzymujemy uproszczony ułamek 3/7 . W wyrażeniach algebraicznych wspólne czynniki są rozróżniane w taki sam sposób, jak w zwykłych. W poprzednim przykładzie byliśmy w stanie łatwo wyodrębnić 5 z 15 - ta sama zasada dotyczy bardziej złożonych wyrażeń, takich jak 15x - 5. Znajdźmy dzielnik wspólny. W tym przypadku będzie to 5, ponieważ oba wyrazy (15x i -5) są podzielne przez 5. Tak jak poprzednio, wybieramy wspólny dzielnik i przenosimy go w lewo.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Aby sprawdzić, czy wszystko się zgadza, wystarczy pomnożyć wyrażenie w nawiasach przez 5 - wynikiem będą te same liczby, które były na początku. Terminy złożone można rozróżniać tak samo, jak terminy proste. W przypadku ułamków algebraicznych obowiązują te same zasady, co w przypadku ułamków zwykłych. To najłatwiejszy sposób na zmniejszenie ułamka. Rozważ następujący ułamek:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Zauważ, że zarówno licznik (na górze), jak i mianownik (na dole) mają wyraz (x+2), więc można go zmniejszyć w taki sam sposób, jak wspólny dzielnik 5 w 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

W rezultacie otrzymujemy uproszczone wyrażenie: (x-3)/(x+10)

Redukcja ułamków algebraicznych

Znajdź wspólny dzielnik w liczniku, czyli na górze ułamka. Pierwszym krokiem przy redukcji ułamka algebraicznego jest uproszczenie obu jego części. Zacznij od licznika i spróbuj podzielić go na jak najwięcej czynników. Rozważ w tej sekcji następującą część:

9x-3 15x+6

Zacznijmy od licznika: 9x - 3. Dla 9x i -3 wspólnym dzielnikiem jest liczba 3. Weźmy 3 z nawiasów, tak jak robimy to ze zwykłymi liczbami: 3 * (3x-1). W wyniku tego przekształcenia otrzymamy następujący ułamek:

3(3x-1) 15x+6

Znajdź wspólny czynnik w liczniku. Kontynuujmy wykonanie powyższego przykładu i wypiszmy mianownik: 15x+6. Jak poprzednio, dowiadujemy się, przez jaką liczbę obie części są podzielne. A w tym przypadku dzielnik wspólny wynosi 3, więc możemy napisać: 3 * (5x +2). Przepiszmy ułamek w następującej formie:

3(3x-1) 3(5x+2)

Zredukuj identyczne warunki. W tym kroku możesz uprościć ułamek. Anuluj te same warunki w liczniku i mianowniku. W naszym przykładzie ta liczba to 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Ustal, że ułamek ma najprostszą formę. Ułamek jest całkowicie uproszczony, gdy w liczniku i mianowniku nie ma wspólnych dzielników. Zwróć uwagę, że nie możesz skracać terminów znajdujących się w nawiasach — w powyższym przykładzie nie ma możliwości wyodrębnienia x z 3x i 5x, ponieważ (3x -1) i (5x + 2) są pełnoprawnymi członkami. Tak więc ułamek nie podlega dalszym uproszczeniu, a ostateczna odpowiedź jest następująca:

(3x-1)(5x+2)

Ćwicz samodzielne zmniejszanie ułamków. Najlepszym sposobem na nauczenie się tej metody jest samodzielne rozwiązywanie problemów. Prawidłowe odpowiedzi podano poniżej przykładów.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Odpowiedź:(x=13)

2x 2x 5x

Odpowiedź:(2x-1)/5

Ruchy specjalne

Przenieś znak minus z ułamka. Załóżmy, że otrzymaliśmy następujący ułamek:

3(x-4) 5(4x)

Zauważ, że (x-4) i (4-x) są „prawie” identyczne, ale nie można ich całkowicie anulować, ponieważ są „odwrócone”. Jednak (x - 4) można zapisać jako -1 * (4 - x), tak jak (4 + 2x) można zapisać jako 2 * (2 + x). Nazywa się to „odwróceniem znaku”.

-1*3(4-x) 5(4x)

Teraz możesz zredukować te same warunki (4-x):

-1*3 (4-x) 5 (4x)

Oto ostateczna odpowiedź: -3/5 . Naucz się rozpoznawać różnicę kwadratów. Różnica kwadratów polega na odjęciu kwadratu jednej liczby od kwadratu innej liczby, tak jak w wyrażeniu (a 2 - b 2). Różnicę idealnych kwadratów można zawsze rozłożyć na dwie części - sumę i różnicę odpowiadających im pierwiastków kwadratowych. Wtedy wyrażenie przyjmie następującą postać:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ta sztuczka jest bardzo przydatna podczas wyszukiwania wspólnych terminów w ułamkach algebraicznych.

Sprawdź, czy poprawnie uwzględniłeś to lub inne wyrażenie. Aby to zrobić, pomnóż czynniki - wynik powinien być tym samym wyrażeniem.
Aby całkowicie uprościć ułamek, zawsze wybieraj największe czynniki.