Teorijska mehanika predavanja 2 kolegij. Osnovna mehanika za lutke

Kao dio svakog nastavnog plana i programa, studij fizike počinje s mehanikom. Ne iz teorijske, ne iz primijenjene i ne računske, već iz dobre stare klasične mehanike. Ova mehanika se također naziva Newtonovom mehanikom. Prema legendi, znanstvenik je šetao vrtom, vidio kako jabuka pada, a upravo ga je taj fenomen potaknuo da otkrije zakon gravitacija. Naravno, zakon je oduvijek postojao, a Newton mu je samo dao oblik razumljiv ljudima, ali njegova je zasluga neprocjenjiva. U ovom članku nećemo što detaljnije opisivati zakone Newtonove mehanike, već ćemo iznijeti osnove, osnovna znanja, definicije i formule koje vam uvijek mogu igrati na ruku.

Mehanika je grana fizike, znanost koja proučava kretanje materijalnih tijela i međudjelovanja među njima.

Sama riječ ima grčkog porijekla a prevodi se kao "umjetnost građenja strojeva". Ali prije izgradnje strojeva, još nam je dug put, pa krenimo stopama naših predaka, pa ćemo proučavati kretanje kamenja bačenog pod kutom prema horizontu i jabuka koje padaju na glave s visine h.

Zašto studij fizike počinje s mehanikom? Jer potpuno je prirodno, a ne krenuti iz termodinamičke ravnoteže?!

Mehanika je jedna od najstarijih znanosti, a povijesno je proučavanje fizike počelo upravo s temeljima mehanike. Smješteni u okvire vremena i prostora, ljudi, zapravo, nisu mogli krenuti od nečega drugog, koliko god željeli. Pokretna tijela su prva stvar na koju obraćamo pažnju.

Što je kretanje?

Mehaničko gibanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tijekom vremena.

Nakon ove definicije sasvim prirodno dolazimo do koncepta referentnog okvira. Promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo. Ključne riječi ovdje: jedni prema drugima . Uostalom, putnik u automobilu se kreće u odnosu na osobu koja stoji uz cestu određenom brzinom, i odmara se u odnosu na svog susjeda na obližnjem sjedištu i kreće se nekom drugom brzinom u odnosu na putnika u automobilu koji prestiže ih.

Zato nam je potrebno, kako bismo normalno mjerili parametre pokretnih objekata i ne bismo se zbunili referentni sustav - kruto međusobno povezano referentno tijelo, koordinatni sustav i sat. Na primjer, Zemlja se kreće oko Sunca u heliocentričnom referentnom okviru. U svakodnevnom životu gotovo sva naša mjerenja provodimo u geocentričnom referentnom sustavu povezanom sa Zemljom. Zemlja je referentno tijelo u odnosu na koje se kreću automobili, avioni, ljudi, životinje.

Mehanika, kao znanost, ima svoju zadaću. Zadaća mehanike je u svakom trenutku znati položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika gradi matematički opis gibanja i pronalazi veze između njih fizičke veličine karakterizirajući ga.

Da bismo krenuli dalje, potreban nam je pojam “ materijalna točka ". Kažu da je fizika egzaktna znanost, ali fizičari znaju koliko je aproksimacija i pretpostavki potrebno napraviti da bi se složili upravo oko ove točnosti. Nitko nikada nije vidio materijalnu točku ili nanjušio idealan plin, ali oni postoje! S njima je jednostavno puno lakše živjeti.

Materijalna točka je tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u kontekstu ovog problema.

Odjeljci klasične mehanike

Mehanika se sastoji od nekoliko dijelova

Kinematika
Dinamika
Statika

Kinematika s fizičke točke gledišta, proučava točno kako se tijelo kreće. Drugim riječima, ovaj dio se bavi kvantitativnim karakteristikama kretanja. Pronađi brzinu, put - tipični zadaci kinematike

Dinamika rješava pitanje zašto se kreće na način na koji se kreće. To jest, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

Statika proučava ravnotežu tijela pod djelovanjem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

Granice primjenjivosti klasične mehanike.

Klasična mehanika više ne tvrdi da je znanost koja sve objašnjava (početkom prošlog stoljeća sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan opseg primjenjivosti. Općenito, zakoni klasične mehanike vrijede za svijet koji nam je poznat po veličini (makrosvijet). Prestaju djelovati u slučaju svijeta čestica, kada se klasični zamijeni kvantna mehanika. Također, klasična mehanika je neprimjenjiva u slučajevima kada se kretanje tijela događa brzinom bliskom brzini svjetlosti. U takvim slučajevima dolazi do izražaja relativistički učinak. Grubo govoreći, u okviru kvantne i relativističke mehanike – klasične mehanike, ovaj poseban slučaj kada su dimenzije tijela velike, a brzina mala. Više o tome možete saznati iz našeg članka.

Općenito govoreći, kvantni i relativistički efekti nikada ne nestaju, oni se također odvijaju tijekom uobičajenog gibanja makroskopskih tijela brzinom znatno manjom od brzine svjetlosti. Druga je stvar što je djelovanje ovih učinaka toliko malo da ne ide dalje od najviše točna mjerenja. Klasična mehanika tako nikada neće izgubiti svoju temeljnu važnost.

Nastavit ćemo proučavati fizičke temelje mehanike u budućim člancima. Za bolje razumijevanje mehanike, uvijek se možete obratiti, koja pojedinačno rasvjetljava tamna mrlja najteži zadatak.

1 slajd

Tečaj predavanja iz teorijske mehanike Dinamika (I dio) Bondarenko A.N. Moskva - 2007. Elektronički tečaj napisan je na temelju predavanja autora za studente koji studiraju na specijalnostima SZhD, PGS i SDM na NIIZhT i MIIT (1974.-2006.). Edukativni materijal odgovara kalendarskim planovima u obimu od tri semestra. Da biste u potpunosti implementirali efekte animacije tijekom prezentacije, morate koristiti preglednik Power Point koji nije niži od ugrađenog Microsoft Officea operacijski sustav Windows-XP Professional. Komentari i sugestije možete poslati na e-mail: [e-mail zaštićen]. Moskva Državno sveučilišteŽeljeznice (MIIT) Zavod za teorijsku mehaniku Znanstveno-tehnički centar prometnih tehnologija

2 slajd

Sadržaj Predavanje 1. Uvod u dinamiku. Zakoni i aksiomi dinamike materijalne točke. Osnovna jednadžba dinamike. Diferencijalne i prirodne jednadžbe gibanja. Dva glavna zadatka dinamike. Primjeri rješavanja izravnog problema dinamike Predavanje 2. Rješavanje inverznog problema dinamike. Opće upute za rješavanje inverznog problema dinamike. Primjeri rješavanja inverznog problema dinamike. Gibanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu, bez uzimanja u obzir otpora zraka. Predavanje 3. Pravocrtne oscilacije materijalne točke. Uvjet za nastanak oscilacija. Klasifikacija vibracija. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora. prigušene vibracije. Dekrement oscilacije. Predavanje 4. Prisilne oscilacije materijalne točke. Rezonancija. Utjecaj otpora gibanju tijekom prisilnih vibracija. Predavanje 5. Relativno gibanje materijalne točke. Sile inercije. Posebni slučajevi kretanja za različite vrste prijenosnih pokreta. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i kretanje tijela. Predavanje 6. Dinamika mehaničkog sustava. mehanički sustav. Vanjski i unutarnje sile. Središte mase sustava. Teorem o gibanju središta mase. Zakoni o očuvanju. Primjer rješavanja problema korištenja teorema o kretanju središta mase. Predavanje 7. Impuls sile. Količina kretanja. Teorem o promjeni količine gibanja. Zakoni o očuvanju. Eulerov teorem. Primjer rješavanja zadatka o korištenju teorema o promjeni količine gibanja. moment zamaha. Teorem o promjeni kutnog momenta Predavanje 8. Zakoni održanja. Elementi teorije momenata tromosti. Kinetički moment krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela. Primjer rješavanja problema korištenja teorema o promjeni kutne količine gibanja sustava. Osnovna teorija žiroskopa. Preporučena literatura 1. Yablonsky A.A. Kolegij teorijske mehanike. 2. dio. M.: postdiplomske studije. 1977. 368 str. 2. Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M.: Znanost. 1986. 416 str. 3. Zbirka zadataka za seminarski radovi/ Ed. A.A. Yablonski. M.: Viša škola. 1985. 366 str. 4. Bondarenko A.N. “ Teorijska mehanika u primjerima i zadacima. Dynamics” (elektronički priručnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 slajd

Predavanje 1 Dinamika je dio teorijske mehanike koji proučava mehaničko gibanje s najopćenitijeg stajališta. Kretanje se razmatra u vezi sa silama koje djeluju na predmet. Dio se sastoji od tri dijela: Dinamika materijalne točke Dinamika mehaničkog sustava Analitička mehanika ■ Dinamika točke – proučava kretanje materijalne točke, uzimajući u obzir sile koje uzrokuju to kretanje. Glavni objekt je materijalna točka - materijalno tijelo s masom čije se dimenzije mogu zanemariti. Osnovne pretpostavke: - postoji apsolutni prostor (ima čisto geometrijska svojstva koja ne ovise o materiji i njenom kretanju. - postoji apsolutno vrijeme (ne ovisi o materiji i njenom kretanju). Iz ovoga slijedi: - postoji apsolutno nepomičan referentni okvir. - vrijeme ne ovisi o kretanju referentnog okvira - mase pokretnih točaka ne ovise o kretanju referentnog okvira. Ove se pretpostavke koriste u klasičnoj mehanici koju su stvorili Galileo i Newton Još uvijek ima prilično širok opseg, budući da mehanički sustavi koji se razmatraju u primijenjenim znanostima nemaju tako velike mase i brzine kretanja, za što je potrebno uzeti u obzir njihov utjecaj na geometriju prostora, vremena, gibanja, kao npr. se radi u relativističkoj mehanici (teorija relativnosti) ■ Osnovni zakoni dinamike - prvi otkrio Galileo i formulirao Newton čine osnovu svih metoda za opisivanje i analizu kretanja mehaničkih sustava i njihove dinamičke interakcije djelovanje pod utjecajem raznih sila. ■ Zakon inercije (Galileo-Newtonov zakon) - Izolirana materijalna točka tijela zadržava stanje mirovanja ili jednoliko pravocrtno gibanje sve dok ga primijenjene sile ne prisile da promijeni ovo stanje. To podrazumijeva ekvivalentnost stanja mirovanja i gibanja po inerciji (Galilejev zakon relativnosti). Referentni okvir, u odnosu na koji je zakon inercije ispunjen, naziva se inercijskim. Svojstvo materijalne točke da nastoji zadržati brzinu svog kretanja (njegovo kinematičko stanje) nepromijenjenom naziva se inercija. ■ Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja (Osnovna jednadžba dinamike - Newtonov II zakon) - Ubrzanje koje se materijalnoj točki daje silom izravno je proporcionalno sili i obrnuto proporcionalno masi ove točke: ili Ovdje je m masa točke (mjera tromosti), mjerena u kg, brojčano jednaka težini podijeljenoj s ubrzanjem slobodan pad: F je djelujuća sila, mjerena u N (1 N daje točku mase 1 kg ubrzanje od 1 m / s2, 1 N = 1 / 9,81 kg-s). ■ Dinamika mehaničkog sustava - proučava kretanje skupa materijalnih točaka i čvrstih tijela, ujedinjenih općim zakonima interakcije, uzimajući u obzir sile koje uzrokuju to kretanje. ■ Analitička mehanika – proučava gibanje neslobodnih mehaničkih sustava korištenjem općih analitičkih metoda. jedan

4 slajd

Predavanje 1 (nastavak - 1.2) Diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke: - diferencijalna jednadžba gibanja točke u vektorskom obliku. - diferencijalne jednadžbe gibanja točke u koordinatni oblik. Taj se rezultat može dobiti formalnom projekcijom vektorske diferencijalne jednadžbe (1). Nakon grupiranja, vektorska relacija se razlaže u tri skalarne jednadžbe: U koordinatnom obliku: Koristimo odnos radijus-vektora s koordinatama i vektora sile s projekcijama: diferencijalna jednadžba gibanja na prirodnim (pokretnim) koordinatnim osi: ili: - prirodne jednadžbe gibanja točke. ■ Osnovna jednadžba dinamike: - odgovara vektorskom načinu zadavanja kretanja točke. ■ Zakon neovisnosti djelovanja sila - Ubrzanje materijalne točke pod djelovanjem više sila jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja točke od djelovanja svake od sila posebno: ili Zakon vrijedi za bilo koje kinematičko stanje tijela. Sile interakcije koje se primjenjuju na različite točke (tijela) nisu uravnotežene. ■ Zakon jednakosti djelovanja i reakcije (Newtonov III zakon) - Svaka radnja odgovara jednakoj i suprotno usmjerenoj reakciji: 2

5 slajd

Dva glavna problema dinamike: 1. Izravni problem: Zadano je gibanje (jednadžbe gibanja, putanja). Potrebno je odrediti sile pod čijim djelovanjem dolazi do određenog kretanja. 2. Inverzni zadatak: Zadane su sile pod čijim djelovanjem dolazi do gibanja. Potrebno je pronaći parametre gibanja (jednadžbe gibanja, putanju kretanja). Oba problema rješavaju se osnovnom jednadžbom dinamike i njezinom projekcijom na koordinatne osi. Ako se razmatra gibanje neslobodne točke, tada se, kao u statici, koristi princip oslobađanja od veza. Kao rezultat reakcije, veze su uključene u sastav sila koje djeluju na materijalnu točku. Rješenje prvog problema povezano je s operacijama diferencijacije. Rješenje inverznog problema zahtijeva integraciju odgovarajućih diferencijalnih jednadžbi, a to je mnogo teže od diferencijacije. Inverzni problem je teži od izravnog problema. Rješenje izravnog problema dinamike - pogledajmo primjere: Primjer 1. Kabina s težinom G dizala podiže se sajlom s ubrzanjem a . Odredite napetost kabela. 1. Odaberite objekt (kabina dizala se kreće naprijed i može se smatrati materijalnom točkom). 2. Odbacimo spoj (kabel) i zamijenimo ga reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: Odredimo reakciju sajle: Odredimo napetost kabela: Uz jednoliko kretanje kabine ay = 0 i napetost kabela jednaka je težini: T = G. Kada se sajla lomi T = 0 i ubrzanje kabine je jednako ubrzanju slobodnog pada: ay = -g. 3 4. Projiciramo osnovnu jednadžbu dinamike na y-os: y Primjer 2. Točka mase m giba se duž horizontalne površine (ravnina Oxy) prema jednadžbama: x = a coskt, y = b coskt. Odrediti silu koja djeluje na točku. 1. Odaberite objekt (materijalnu točku). 2. Odbacimo vezu (ravninu) i zamijenimo je reakcijom N. 3. Sustavu sila dodamo nepoznatu silu F. 4. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Projiciramo osnovnu jednadžbu dinamike na osi x,y: Odredite projekcije sila: Modul sile: Kosinus smjera: Dakle, veličina sile je proporcionalna udaljenosti točke do središta koordinata i usmjerena je prema središtu duž linije koja povezuje točku sa središtem. Putanja točke je elipsa sa središtem u ishodištu: O r Predavanje 1 (nastavak - 1.3)

6 slajd

Predavanje 1 (nastavak 1.4) Primjer 3: Teret težine G ovješen je na sajlu duljine l i giba se po kružnoj stazi u vodoravnoj ravnini određenom brzinom. Kut odstupanja kabela od vertikale jednak je. Odredite napetost sajle i brzinu opterećenja. 1. Odaberite objekt (tovar). 2. Odbacite spoj (uže) i zamijenite ga reakcijom R. 3. Sastavite glavnu jednadžbu dinamike: Iz treće jednadžbe odredite reakciju kabela: Odredite napetost kabela: Zamijenite vrijednost reakcije užeta, normalno ubrzanje u drugu jednadžbu i odredite brzinu tereta: 4. Projektirajte dinamiku osovine glavne jednadžbe,n,b: Primjer 4: Automobil težine G kreće se po konveksnom mostu (radijus zakrivljenosti je R ) brzinom V. Odredi pritisak automobila na most. 1. Odabiremo objekt (automobil, zanemarujemo dimenzije i smatramo ga točkom). 2. Odbacimo vezu (hrapavu površinu) i zamijenimo je reakcijama N i silom trenja Ffr. 3. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 4. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na os n: Odavde određujemo normalnu reakciju: Određujemo pritisak automobila na most: Odavde možemo odrediti brzinu odgovara nultom pritisku na mostu (Q = 0): 4

7 slajd

Predavanje 2 Nakon zamjene pronađenih vrijednosti konstanti dobivamo: Dakle, pod djelovanjem istog sustava sila materijalna točka može izvršiti čitavu klasu kretanja određenih početnim uvjetima. Početne koordinate uzimaju u obzir početni položaj točke. Početna brzina, dana projekcijama, uzima u obzir utjecaj na njezino kretanje duž razmatranog odsjeka putanje sila koje su djelovale na točku prije dolaska u ovu dionicu, t.j. početno kinematičko stanje. Rješenje inverznog problema dinamike - U općem slučaju kretanja točke, sile koje djeluju na točku su varijable koje ovise o vremenu, koordinatama i brzini. Gibanje točke opisuje se sustavom od tri diferencijalne jednadžbe drugog reda: Nakon integracije svake od njih, postojat će šest konstanti C1, C2,…., C6: Vrijednosti konstanti C1, C2,… ., C6 nalaze se iz šest početnih uvjeta pri t = 0: Primjer 1 rješenja inverznog problema: Slobodna materijalna točka mase m giba se pod djelovanjem sile F koja je konstantna po veličini i veličini. . U početnom trenutku brzina točke bila je v0 i podudarala se u smjeru sa silom. Odrediti jednadžbu gibanja točke. 1. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Snižavamo red derivacije: 2. Biramo kartezijanski referentni sustav, usmjeravajući os x duž smjera sile i projiciramo glavnu jednadžbu dinamike na ovu os: ili x y z 4. Odvojite varijable: 5. Izračunajte integrale iz oba dijela jednadžbe : 6. Predstavite projekciju brzine kao vremensku derivaciju koordinate: 8. Izračunajte integrale oba dijela jednadžbe: 7. Odvojite varijable: 9. Za određivanje vrijednosti konstanti C1 i C2 koristimo početne uvjete t = 0, vx = v0 , x = x0: Kao rezultat, dobivamo jednadžbu jednoliko kretanje(x-os): 5

8 slajd

Opće upute za rješavanje izravnih i inverznih zadataka. Postupak rješavanja: 1. Sastavljanje diferencijalne jednadžbe gibanja: 1.1. Odaberite koordinatni sustav - pravokutni (fiksni) s nepoznatom putanjom kretanja, prirodni (pokretni) s poznatom putanjom, na primjer, kružnica ili ravna linija. U potonjem slučaju može se koristiti jedna pravocrtna koordinata. Referentnu točku treba kombinirati s početnim položajem točke (pri t = 0) ili s ravnotežnim položajem točke, ako postoji, na primjer, kada točka fluktuira. 6 1.2. Nacrtajte točku na poziciji koja odgovara proizvoljnom trenutku u vremenu (za t > 0) tako da koordinate budu pozitivne (s > 0, x > 0). Također pretpostavljamo da je projekcija brzine u ovom položaju također pozitivna. U slučaju oscilacija, projekcija brzine mijenja predznak, na primjer, kada se vraća u ravnotežni položaj. Ovdje treba pretpostaviti da se u razmatranom trenutku točka odmiče od ravnotežnog položaja. Primjena ove preporuke bitna je u budućnosti pri radu sa silama otpora koje ovise o brzini. 1.3. Oslobodite materijalnu točku od veza, zamijenite njihovo djelovanje reakcijama, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom obliku, projicirajte na odabrane osi, izrazite zadane ili reaktivne sile u terminima vremena, koordinata ili varijabli brzine, ako ovise o njima. 2. Rješenje diferencijalnih jednadžbi: 2.1. Smanjite derivaciju ako se jednadžba ne svede na kanonski (standardni) oblik. na primjer: ili 2.2. Odvojene varijable, na primjer: ili 2.4. Izračunajte neodređene integrale na lijevoj i desnoj strani jednadžbe, na primjer: 2.3. Ako u jednadžbi postoje tri varijable, promijenite varijable, na primjer: i zatim odvojite varijable. Komentar. Umjesto vrednovanja neodređenih integrala, moguće je vrednovati određene integrale s promjenjivom gornjom granicom. Donje granice predstavljaju početne vrijednosti varijabli (početne uvjete). Tada nema potrebe zasebno pronaći konstantu, koja se automatski uključuje u rješenje, na primjer: Koristeći početne uvjete, na primjer, t = 0 , vx = vx0, odrediti konstantu integracije: 2.5. Izrazite brzinu u smislu vremenske derivacije koordinate, na primjer, i ponovite korake 2.2 -2.4 Napomena. Ako se jednadžba svede na kanonski oblik, koji ima standardno rješenje, to je rješenje ključ u ruke i koristi se. Konstante integracije se još uvijek nalaze iz početnih uvjeta. Vidi npr. oscilacije (predavanje 4, str. 8). Predavanje 2 (nastavak 2.2)

9 slajd

Predavanje 2 (nastavak 2.3) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila ovisi o vremenu. Teret težine P počinje se kretati duž glatke horizontalne površine pod djelovanjem sile F čija je veličina proporcionalna vremenu (F = kt). Odrediti put koji je prešao teret u vremenu t. 3. Sastavite osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Smanjite redoslijed derivacije: 4. Projektirajte osnovnu jednadžbu dinamike na os x: ili 7 6. Odvojite varijable: 7. Izračunajte integrale oba dijela jednadžba: 9. Predstavite projekciju brzine kao derivaciju koordinate s obzirom na vrijeme: 10. Izračunajte integrale oba dijela jednadžbe: 9. Odvojite varijable: 8. Odredite vrijednost konstante C1 iz početni uvjet t = 0, vx = v0=0: Kao rezultat dobivamo jednadžbu gibanja (duž osi x), koja daje vrijednost prijeđene udaljenosti za vrijeme t: 1. Biramo referentni sustav (kartezijanski koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet gibanja uzimamo kao materijalnu točku (tijelo se kreće naprijed), oslobađamo ga od veze (referentne ravnine) i zamjenjujemo reakcijom (normalna reakcija glatka površina) : 11. Odrediti vrijednost konstante C2 iz početnog uvjeta t = 0, x = x0=0: Primjer 3 rješavanja inverznog zadatka: Sila ovisi o koordinati. Materijalna točka mase m izbačena je prema gore sa Zemljine površine brzinom v0. Sila gravitacije Zemlje obrnuto je proporcionalna kvadratu udaljenosti od točke do težišta (centra Zemlje). Odrediti ovisnost brzine o udaljenosti y do središta Zemlje. 1. Odabiremo referentni sustav (kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na os y: ili Koeficijent proporcionalnosti može može se pronaći pomoću težine točke na površini Zemlje: R Stoga diferencijal jednadžba izgleda ovako: ili 4. Smanji redoslijed derivacije: 5. Promijeni varijablu: 6. Odvoji varijable: 7. Izračunaj integrali obje strane jednadžbe: 8. Zamijenite granice: Kao rezultat, dobivamo izraz za brzinu kao funkciju koordinate y: Maksimalna visina leta može se naći izjednačavanjem brzine s nulom: Maksimalna visina leta kada se nazivnik okrene na nulu: Odavde, pri postavljanju polumjera Zemlje i ubrzanja slobodnog pada, dobiva se II kozmička brzina:

10 slajd

Predavanje 2 (nastavak 2.4) Primjer 2 rješavanja inverznog zadatka: Sila ovisi o brzini. Brod mase m imao je brzinu v0. Otpor vode kretanju broda proporcionalan je brzini. Odredite vrijeme koje je potrebno da se brzina broda prepolovi nakon gašenja motora, kao i udaljenost koju je brod prešao do potpunog zaustavljanja. 8 1. Odabiremo referentni sustav (kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Uzimamo objekt gibanja kao materijalnu točku (brod se kreće naprijed), oslobađamo ga od veza (vode) i zamjenjujemo s reakcijom (sila uzgona - Arhimedova sila), a također i sila otpora kretanju. 3. Dodajte aktivnu silu (gravitaciju). 4. Sastavljamo glavnu jednadžbu dinamike: 5. Glavnu jednadžbu dinamike projiciramo na os x: ili 6. Spuštamo red derivacije: 7. Odvajamo varijable: 8. Računamo integrale iz oba dijelove jednadžbe: 9. Zamjenjujemo granice: Dobiva se izraz koji povezuje brzinu i vrijeme t, iz kojeg se može odrediti vrijeme kretanja: Vrijeme kretanja, tijekom kojeg će brzina pasti za polovicu: To je zanimljivo je primijetiti da kada se brzina približi nuli, vrijeme kretanja teži beskonačnosti, t.j. konačna brzina ne može biti nula. Zašto ne "perpetual motion"? Međutim, u ovom slučaju, prijeđena udaljenost do zaustavljanja je konačna vrijednost. Da bismo odredili prijeđenu udaljenost, okrenemo se izrazu dobivenom nakon snižavanja reda derivacije i izvršimo promjenu varijable: Nakon integracije i zamjene granica, dobivamo: Prijeđenu udaljenost do zaustavljanja: ■ Gibanje točke bačene na kut prema horizontu u jednoličnom gravitacijskom polju bez uzimanja u obzir otpora zraka Eliminirajući vrijeme iz jednadžbi gibanja, dobivamo jednadžbu putanje: Vrijeme leta određuje se izjednačavanjem koordinate y s nulom: Domet leta određuje se zamjenom vrijeme za let:

11 slajd

Predavanje 3 Pravocrtne oscilacije materijalne točke - Oscilatorno kretanje materijalne točke događa se pod uvjetom da postoji sila vraćanja koja teži vratiti točku u ravnotežni položaj za svako odstupanje od tog položaja. 9 Postoji povratna sila, ravnotežni položaj je stabilan. Nema povratne sile, ravnotežni položaj je nestabilan. Nema povratne sile, ravnotežni položaj je indiferentan Uvijek je usmjerena prema ravnotežnom položaju, vrijednost je izravno proporcionalna linearnom istezanju (skraćenju) opruge, jednaka odstupanju tijela od ravnotežnog položaja: c je koeficijent krutosti opruge, brojčano jednake po snazi, pod čijim djelovanjem opruga mijenja svoju duljinu za jedan, mjeri se u N / m u SI sustavu. x y O Vrste vibracija materijalne točke: 1. Slobodne vibracije (bez uzimanja u obzir otpora medija). 2. Slobodne oscilacije uzimajući u obzir otpor medija (prigušene oscilacije). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilne oscilacije uzimajući u obzir otpor medija. ■ Slobodne oscilacije – nastaju pod djelovanjem samo povratne sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Odaberemo koordinatni sustav sa središtem u ravnotežnom položaju (točka O) i projiciramo jednadžbu na x-os: Dovedemo rezultirajuću jednadžbu u standardni (kanonski) oblik: Ova jednadžba je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, čiji je oblik rješenja određen korijenima karakteristične jednadžbe dobivene univerzalnom zamjenom: Korijeni karakteristične jednadžbe su imaginarni i jednaki: Zajednička odluka diferencijalna jednadžba ima oblik: Brzina točke: Početni uvjeti: Definirajmo konstante: Dakle, jednadžba slobodnih vibracija ima oblik: Jednadžba se može predstaviti jednočlanim izrazom: gdje je a amplituda, početna faza. Nove konstante a i - povezane su s konstantama C1 i C2 relacijama: Definirajmo a i: Razlog nastanka slobodnih oscilacija je početni pomak x0 i/ili početna brzina v0.

12 slajd

10 Predavanje 3 (nastavak 3.2) Prigušene oscilacije materijalne točke - Oscilatorno kretanje materijalne točke događa se uz prisutnost povratne sile i sile otpora kretanju. Ovisnost sile otpora kretanju o pomaku ili brzini određena je fizičkom prirodom medija ili veze koja ometa kretanje. Najjednostavnija ovisnost je linearna ovisnost o brzini (viskozni otpor): - koeficijent viskoznosti x y O Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: standardni pogled: gdje karakteristična jednadžba ima korijene: Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima drugačiji oblik ovisno o vrijednostima korijena: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - slučaj velike viskozne otpornosti: - pravi korijeni, različiti. ili - ove funkcije su aperiodične: 3. n = k: - korijeni su realni, višestruki. ove funkcije su također aperiodične:

13 slajd

Predavanje 3 (nastavak 3.3) Klasifikacija rješenja slobodnih oscilacija. Opružne veze. ekvivalentna tvrdoća. y y 11 Dif. Jednadžbeni lik. Korijeni jednadžbe char. jednadžbe Rješenje diferencijalne jednadžbe Graf nk n=k

14 slajd

Predavanje 4 Prisilne vibracije materijalne točke - Uz povratnu silu djeluje i sila koja se povremeno mijenja, koja se naziva sila smetnji. Uznemirujuća sila može imati drugačiju prirodu. Na primjer, u određenom slučaju, inercijski učinak neuravnotežene mase m1 rotacionog rotora uzrokuje harmonično promjenjive projekcije sile: Glavna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: Dovedite jednadžbu na standard oblik: 12 Rješenje ove nehomogene diferencijalne jednadžbe sastoji se od dva dijela x = x1 + x2: x1 je opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, a x2 je posebno rješenje nehomogene jednadžbe: Odabiremo posebno rješenje u obliku desna strana: Rezultirajuća jednakost mora biti zadovoljena za bilo koji t . Tada: ili Dakle, uz istodobno djelovanje sila koje obnavljaju i uznemiruju, materijalna točka izvodi složenu oscilirajuće gibanje, što je rezultat zbrajanja (superpozicije) slobodnih (x1) i prisilnih (x2) vibracija. Ako str< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием kompletno rješenje(!): Dakle, određeno rješenje: Ako je p > k (prisilne oscilacije visoke frekvencije), tada je faza titranja suprotna fazi uznemirujuće sile:

15 slajd

Predavanje 4 (nastavak 4.2) 13 Dinamički koeficijent - omjer amplitude prisilnih oscilacija i statičkog odstupanja točke pod djelovanjem konstantne sile H = const: Amplituda prisilnih oscilacija: Statičko odstupanje se može naći iz jednadžba ravnoteže: Ovdje: Dakle: Dakle, na str< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvencija prisilnih titranja) dinamički koeficijent: Rezonancija – nastaje kada se frekvencija prisilnih titranja poklopi s frekvencijom vlastitih oscilacija (p = k). To se najčešće događa pri pokretanju i zaustavljanju rotacije loše uravnoteženih rotora postavljenih na elastične ovjese. Diferencijalna jednadžba oscilacija jednakih frekvencija: Ne može se uzeti određeno rješenje u obliku desne strane, jer dobit će se linearno ovisno rješenje (vidi opće rješenje). Opće rješenje: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Uzmimo određeno rješenje u obliku i izračunajmo derivacije: Tako se dobiva rješenje: ili Prisilne oscilacije u rezonanciji imaju amplitudu koja se neograničeno povećava proporcionalno vremenu. Utjecaj otpora gibanju tijekom prisilnih vibracija. Diferencijalna jednadžba u prisutnosti viskoznog otpora ima oblik: Opće rješenje se bira iz tablice (predavanje 3, str. 11) ovisno o omjeru n i k (vidi). Uzimamo određeno rješenje u obliku i izračunavamo derivacije: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Izjednačavanje koeficijenata na istom trigonometrijske funkcije dobivamo sustav jednadžbi: Dizanjem obje jednadžbe na stepen i njihovim zbrajanjem dobivamo amplitudu prisilnih oscilacija: Dijeljenjem druge jednadžbe s prvom dobivamo fazni pomak prisilnih oscilacija: Dakle, jednadžba gibanja za prisilne oscilacije, uzimajući u obzir otpor kretanju, na primjer, na n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slajd

Predavanje 5 Relativno gibanje materijalne točke - Pretpostavimo da se pokretni (neinercijski) koordinatni sustav Oxyz giba po nekom zakonu u odnosu na fiksni (inercijski) koordinatni sustav O1x1y1z1. Gibanje materijalne točke M (x, y, z) u odnosu na pokretni sustav Oxyz je relativno, u odnosu na nepomični sustav O1x1y1z1 je apsolutno. Gibanje mobilnog sustava Oxyz u odnosu na fiksni sustav O1x1y1z1 je prijenosno gibanje. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Osnovna jednadžba dinamike: Apsolutna akceleracija točke: Zamijeni apsolutna akceleracija točke u glavnu jednadžbu dinamike: Prenesimo članove s translacijskim i Coriolisovim ubrzanjem na desnu stranu: preneseni pojmovi imaju dimenziju sila i smatraju se odgovarajućim inercijskim silama, jednakim: Tada se relativno gibanje točke može smatrati apsolutnim, ako se djelujućim silama dodaju translacijske i Coriolisove sile inercije: U projekcijama na osi pokretnog koordinatnog sustava, imamo: različite vrste translacijsko gibanje: 1. Rotacija oko fiksne osi: Ako je rotacija ujednačena, tada je εe = 0: 2. Translacijsko krivuljasto gibanje: Ako je gibanje pravocrtno, tada = : Ako je gibanje pravocrtno i jednoliko, tada je sustav koji se kreće inercijalno i relativno gibanje se može smatrati apsolutnim: nikakvi mehanički fenomeni ne mogu otkriti pravocrtno jednoliko kretanje(načelo relativnosti klasične mehanike). Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela – Pretpostavimo da je tijelo u ravnoteži na površini Zemlje na proizvoljnoj geografskoj širini φ (paralele). Zemlja rotira oko svoje osi od zapada prema istoku kutnom brzinom: polumjer Zemlje je oko 6370 km. S R je ukupna reakcija neglatke površine. G - sila privlačenja Zemlje prema centru. F - centrifugalna sila inercije. Uvjet relativne ravnoteže: Rezultanta sila privlačenja i inercije je sila gravitacije (težina): Veličina sile gravitacije (težine) na površini Zemlje je P = mg. Centrifugalna sila inercije je mali djelić sile gravitacije: Odstupanje sile gravitacije od smjera sile privlačenja je također malo: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela izuzetno je mali. i ne uzima se u obzir u praktičnim proračunima. Maksimalna vrijednost sila inercije (pri φ = 0 - na ekvatoru) iznosi samo 0,00343 veličine gravitacije

17 slajd

Predavanje 5 (nastavak 5.2) 15 Utjecaj Zemljine rotacije na kretanje tijela u Zemljinom gravitacijskom polju - Pretpostavimo da tijelo padne na Zemlju s određene visine H iznad Zemljine površine na geografskoj širini φ . Odaberimo pokretni referentni okvir, kruto povezan sa Zemljom, usmjeravajući osi x, y tangencijalno na paralelu i na meridijan: Relativna jednadžba gibanja: Ovdje je malenost centrifugalne sile inercije u usporedbi sa silom gravitacije jednaka uzeti u obzir. Dakle, sila gravitacije se poistovjećuje sa silom gravitacije. Osim toga, pretpostavljamo da je gravitacija usmjerena okomito na Zemljinu površinu zbog malog otklona, kao što je gore objašnjeno. Coriolisovo ubrzanje je jednako i usmjereno je paralelno s y-osi prema zapadu. Coriolisova sila inercije usmjerena je u suprotnom smjeru. Projiciramo jednadžbu relativnog gibanja na os: Rješenje prve jednadžbe daje: Početni uvjeti: Rješenje treće jednadžbe daje: Početni uvjeti: Treća jednadžba ima oblik: Početni uvjeti: Njeno rješenje daje: Rezultirajuće rješenje pokazuje da tijelo prilikom pada skreće prema istoku. Izračunajmo vrijednost ovog odstupanja, na primjer, pri padu s visine od 100 m. Vrijeme pada nalazimo iz rješenja druge jednadžbe: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na kretanje tijela izuzetno je mali. za praktične visine i brzine i ne uzima se u obzir u tehničkim proračunima. Rješenje druge jednadžbe također podrazumijeva postojanje brzine duž y-osi, koja bi također trebala uzrokovati i uzrokovati odgovarajuće ubrzanje i Coriolisovu inercijsku silu. Utjecaj ove brzine i s njom povezane sile tromosti na promjenu gibanja bit će čak i manji od razmatrane Coriolisove sile tromosti povezane s okomitom brzinom.

18 slajd

Predavanje 6 Dinamika mehaničkog sustava. Sustav materijalnih točaka ili mehanički sustav - Skup materijalnih točaka ili onih materijalnih točaka ujedinjenih općim zakonima interakcije (položaj ili kretanje svake od točaka ili tijela ovisi o položaju i kretanju svih ostalih) sustav slobodnih točaka - čije kretanje nije ograničeno nikakvim vezama (na primjer, planetarni sustav, u kojem se planeti smatraju kao materijalne točke). Sustav neslobodnih točaka ili neslobodni mehanički sustav – kretanje materijalnih točaka ili tijela ograničeno je ograničenjima koja su nametnuta sustavu (na primjer, mehanizam, stroj itd.). 16 Sile koje djeluju na sustav. Uz dosadašnju klasifikaciju sila (aktivne i reaktivne sile), uvodi se nova klasifikacija sila: 1. Vanjske sile (e) - djeluju na točke i tijela sustava iz točaka ili tijela koja nisu dio ovog sustav. 2. Unutarnje sile (i) - sile interakcije između materijalnih točaka ili tijela uključenih u ovaj sustav. Ista sila može biti i vanjska i unutarnja sila. Sve ovisi o tome koji se mehanički sustav razmatra. Na primjer: U sustavu Sunca, Zemlje i Mjeseca sve su gravitacijske sile između njih unutarnje. Kada se razmatra sustav Zemlje i Mjeseca, gravitacijske sile koje se primjenjuju sa strane Sunca su vanjske: C Z L Na temelju zakona djelovanja i reakcije, svaka unutarnja sila Fk odgovara drugoj unutarnjoj sili Fk', jednakoj po apsolutnoj vrijednosti i suprotnoj u smjer. Iz ovoga proizlaze dva izvanredna svojstva unutarnjih sila: Glavni vektor svih unutarnjih sila sustava nula: Glavni moment svih unutarnjih sila sustava u odnosu na bilo koje središte jednak je nuli: Ili u projekcijama na koordinatne osi: Napomena. Iako su ove jednadžbe slične jednadžbama ravnoteže, nisu, budući da se unutarnje sile primjenjuju na različite točke ili tijela sustava i mogu uzrokovati pomicanje tih točaka (tijela) jedna u odnosu na drugu. Iz ovih jednadžbi proizlazi da unutarnje sile ne utječu na gibanje sustava koji se promatra kao cjelina. Središte mase sustava materijalnih točaka. Kako bismo opisali kretanje sustava u cjelini, uvodimo geometrijska točka, koji se naziva središte mase, čiji je polumjerni vektor određen izrazom, gdje je M masa cijelog sustava: Ili u projekcijama na koordinatne osi: Formule za središte mase slične su onima za središte gravitacije. Međutim, pojam centra mase je općenitiji, budući da nije povezan sa silama gravitacije ili silama gravitacije.

19 slajd

Predavanje 6 (nastavak 6.2) 17 Teorem o gibanju središta mase sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Zbrojimo ove jednadžbe po svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe uvest ćemo mase pod znakom derivacije i zamijeniti zbroj derivacija derivacijom od zbroja: Iz definicije središta mase: Zamijenite u rezultirajuću jednadžbu: dobivamo ili: Umnožak mase sustava i akceleracije njegove središnje mase jednak je glavnom vektoru vanjskih sila. U projekcijama na koordinatne osi: Središte mase sustava giba se kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog sustava na koju se primjenjuju sve vanjske sile koje djeluju na sustav. Posljedice iz teorema o gibanju središta mase sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava nula, Re = 0, tada je brzina centra mase je konstantna, vC = const (središte mase giba se jednoliko pravolinijsko - zakon održanja gibanja središta mase). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x jednaka nuli, Rxe = 0, tada je brzina središta mase duž x osi konstantna, vCx = const (središte mase giba se jednoliko duž osi). Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. Primjer: Dvije osobe mase m1 i m2 nalaze se u čamcu mase m3. U početnom trenutku čamac s ljudima mirovao je. Odredi pomak čamca ako se osoba mase m2 pomaknula do pramca čamca na udaljenosti a. 3. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava jednak nuli, Re = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase je nula, vC = 0, tada je vektor radijusa od središte mase ostaje konstantno, rC = const (središte mase miruje je zakon održanja položaja središta mase). 4. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x jednaka nuli, Rxe = 0, a u početnom trenutku brzina središta mase duž ove osi je nula , vCx = 0, tada koordinata središta mase duž osi x ostaje konstantna, xC = const (središte mase se ne pomiče duž ove osi). Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. 1. Predmet gibanja (čamac s ljudima): 2. Odbacujemo veze (voda): 3. vezu zamjenjujemo reakcijom: 4. Zbrajamo aktivne sile: 5. Zapiši teorem o središtu mase: Projicirajte na os x: O Odredite koliko daleko trebate prijeći do osobe mase m1, tako da čamac ostane na mjestu: Čamac će se pomaknuti za udaljenost l u suprotnom smjeru.

20 slajd

7. predavanje Impuls sile je mjera mehaničke interakcije koja karakterizira prijenos mehaničko kretanje od sila koje djeluju na točku u određenom vremenskom razdoblju: 18 U projekcijama na koordinatne osi: U slučaju stalne sile: U projekcijama na koordinatne osi: Zamah rezultante jednak je geometrijskom zbroju impulsi sila koje se primjenjuju na točku za isto vremensko razdoblje: dt: Integrirajmo na zadanom vremenskom intervalu: Zamah točke je mjera mehaničkog gibanja, određena vektorom jednakim umnošku mase točke i njegov vektor brzine: Teorem o promjeni količine gibanja sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Za svaku točku zapisujemo osnovnu jednadžbu dinamike: ili Količina gibanja sustava materijalnih točaka - geometrijski zbroj količine gibanja materijalnih točaka: Po definiciji središta mase: Vektor količine gibanja sustava jednak je umnošku mase cijelog sustava s vektorom brzine središta mase sustava. Zatim: U projekcijama na koordinatne osi: Vremenska derivacija vektora zamaha sustava jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila sustava. Zbrojimo ove jednadžbe po svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe uvodimo mase pod znakom derivacije i zamjenjujemo zbroj derivacija derivacijom zbroja: Iz definicije količine gibanja sustava: U projekcijama na koordinatne osi:

21 slajd

Eulerov teorem - Primjena teorema o promjeni količine gibanja sustava na kretanje kontinuiranog medija (vode). 1. Kao objekt kretanja odabiremo volumen vode koji se nalazi u krivuljastom kanalu turbine: 2. Odbacujemo spojeve i zamjenjujemo njihovo djelovanje reakcijama (Rpov - rezultanta površinskih sila) 3. Dodajemo aktivne sile (Rb - rezultanta tjelesnih sila): 4. Zapišite teorem o promjeni količine gibanja sustava: Količina gibanja vode u trenucima t0 i t1 predstavit će se kao zbroji: Promjena količine gibanja vode u vremenskom intervalu : Promjena količine gibanja vode u beskonačno malom vremenskom intervalu dt: , gdje je F1 F2 Uzimajući umnožak gustoće, površine poprečnog presjeka i brzine po sekundi mase, dobivamo: Zamjena diferencijala količine gibanja sustava u teorem promjene , dobivamo: Posljedice iz teorema o promjeni količine gibanja sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava jednak nuli, Re = 0, tada kvantitet vektorskog gibanja je konstantan, Q = const je zakon održanja količine gibanja sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x jednaka nuli, Rxe = 0, tada je projekcija količine gibanja sustava na os x konstantna, Qx = konst. Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. Predavanje 7 (nastavak 7.2) Primjer: Granata mase M, koja je letjela brzinom v, eksplodirala je na dva dijela. Brzina jednog od ulomaka mase m1 porasla je u smjeru gibanja na vrijednost v1. Odredite brzinu drugog fragmenta. 1. Predmet kretanja (granata): 2. Objekt je slobodan sustav, nema veza i njihovih reakcija. 3. Dodajte aktivne sile: 4. Zapišite teorem o promjeni količine gibanja: Projektirajte na os: β Podijelite varijable i integrirajte: Desni integral je gotovo nula, jer vrijeme eksplozije t

22 slajd

Predavanje 7 (nastavak 7.3) 20 Kutni moment točke ili kinetički moment gibanja u odnosu na određeno središte je mjera mehaničkog gibanja, određena vektorom jednakim vektorskom umnošku vektora radijusa materijalne točke i vektor njegovog zamaha: Kinetički moment sustava materijalnih točaka u odnosu na određeno središte je geometrijski zbroj momenata broja gibanja svih materijalnih točaka u odnosu na isto središte: U projekcijama na os: U projekcijama na os: Teorem o promjeni momenta zamaha sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Zbrojimo ove jednadžbe za sve točke: Zamijenimo zbroj derivacija derivacijom zbroja: Izraz u zagradi je moment količine gibanja sustava. Odavde: Svaku od jednakosti vektorski množimo s radijus-vektorom na lijevoj strani: Pogledajmo je li moguće uzeti predznak derivacije izvan vektorskog umnoška: Dakle, dobili smo: centar. U projekcijama na koordinatne osi: Derivat momenta gibanja sustava u odnosu na neku os u vremenu jednak je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na istu os.

23 slajd

Predavanje 8 21 ■ Posljedice iz teorema o promjeni kutne količine gibanja sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu vektor glavnog momenta vanjskih sila sustava u odnosu na određeno središte jednak. na nulu, MOe = 0, tada je vektor kutne količine gibanja sustava u odnosu na isto središte konstantan, KO = const je zakon održanja količine gibanja sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu glavni moment vanjskih sila sustava u odnosu na os x jednak nuli, Mxe = 0, tada je kutni moment sustava u odnosu na os x konstantan, Kx = const. Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. 2. Moment tromosti krutog tijela oko osi: Moment tromosti materijalne točke oko osi jednak je umnošku mase točke i kvadrata udaljenosti točke od osi. Trenutak tromosti krutog tijela oko osi jednak je zbroju proizvoda mase svake točke i kvadrata udaljenosti te točke od osi. ■ Elementi teorije momenata tromosti - Kod rotacijskog gibanja krutog tijela mjera tromosti (otpora promjeni gibanja) je moment tromosti oko osi rotacije. Razmotrite osnovne koncepte definicije i metode za izračunavanje momenata tromosti. 1. Moment tromosti materijalne točke oko osi: U prijelazu iz diskretne male mase u beskonačno malu masu točke, granica takvog zbroja određena je integralom: aksijalni moment tromosti krutog tijela. . Osim aksijalnog momenta tromosti krutog tijela, postoje i druge vrste momenata tromosti: centrifugalni moment tromosti krutog tijela. polarni moment tromosti krutog tijela. 3. Teorem o momentima tromosti krutog tijela oko paralelnih osi – formula za prijelaz na paralelne osi: Moment tromosti oko referentne osi Statički momenti tromosti oko referentnih osi Momenti mase tijela su nula:

24 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.2) 22 Moment tromosti jednolične šipke konstantnog presjeka oko osi: x z L Odabrati elementarni volumen dV = Adx na udaljenosti x: x dx Elementarna masa: Izračunati moment tromosti oko središnje osi (prolazeći kroz težište), dovoljno je promijeniti položaj osi i postaviti granice integracije (-L/2, L/2). Ovdje demonstriramo formulu za prijelaz na paralelne osi: zS 5. Moment tromosti homogenog čvrstog cilindra oko osi simetrije: H dr r Izdvojimo elementarni volumen dV = 2πrdrH (tanki cilindar polumjera r) : Elementarna masa: Ovdje koristimo formulu volumena cilindra V=πR2H. Za izračunavanje momenta tromosti šupljeg (debelog) cilindra dovoljno je postaviti granice integracije od R1 do R2 (R2> R1): 6. Moment inercije tankog cilindra oko osi simetrije (t

25 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.3) 23 ■ Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela oko osi: Napišimo teorem o promjeni kutnog momenta krutog tijela koje rotira oko fiksne osi: Moment rotacije krutog tijela je: Moment vanjskih sila oko osi rotacije jednaka je momentu (reakcije i sila ne stvaraju gravitacijske momente): Zamjenjujemo kinetički moment i moment u teorem Primjer: Dvije osobe iste težine G1 = G2 vise na bačenom užetu nad čvrstim blokom težine G3 = G1/4. U nekom trenutku, jedan od njih se počeo penjati po užetu relativnom brzinom u. Odredite brzinu podizanja svake osobe. 1. Odaberite objekt kretanja (blok s ljudima): 2. Odbacite spojeve (noseći uređaj bloka): 3. Zamijenite vezu s reakcijama (ležaj): 4. Dodajte aktivne sile (gravitaciju): 5. Zapišite teorem o promjeni kinetičkog momenta sustava s obzirom na os rotacije bloka: R Budući da je moment vanjskih sila jednak nuli, kinetički moment mora ostati konstantan: U početnom trenutku vremena t = 0, postoji bila ravnotežna i Kz0 = 0. Nakon početka kretanja jedne osobe u odnosu na uže, cijeli se sustav počeo kretati, ali kinetički moment sustava mora ostati jednak nuli: Kz = 0. Kutni moment sustav je zbroj momenta gibanja ljudi i bloka: Ovdje je v2 brzina druge osobe, jednaka brzini sajle, Primjer: Odredite period malih slobodnih oscilacija homogenog štapa mase M i duljine l, obješen jednim krajem na fiksnu os rotacije. Ili: U slučaju malih oscilacija sinφ φ: Period titranja: Moment inercije štapa:

26 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.4 - dodatni materijal) 24 ■ Elementarna teorija žiroskopa: Žiroskop je kruto tijelo koje rotira oko osi simetrije materijala, čija je jedna od točaka nepokretna. Slobodni žiroskop je fiksiran na način da mu središte mase ostaje nepomično, a os rotacije prolazi kroz središte mase i može zauzeti bilo koji položaj u prostoru, t.j. os rotacije mijenja svoj položaj kao i os vlastite rotacije tijela tijekom sfernog gibanja. Glavna pretpostavka aproksimativne (elementarne) teorije žiroskopa je da se vektor zamaha (kinetički moment) rotora smatra usmjerenim duž vlastite osi rotacije. Dakle, unatoč činjenici da u općem slučaju rotor sudjeluje u tri rotacije, u obzir se uzima samo kutna brzina vlastite rotacije ω = dφ/dt. Osnova za to je da u Moderna tehnologija rotor žiroskopa rotira se kutnom brzinom reda 5000-8000 rad/s (oko 50000-80000 rpm), dok su druge dvije kutne brzine povezane s precesijom i nutacijom vlastite osi rotacije desetke tisuća puta manja od ove brzine. Glavno svojstvo slobodnog žiroskopa je da os rotora zadržava isti smjer u prostoru u odnosu na inercijski (zvjezdani) referentni sustav (demonstriran Foucaultovim njihalom, koji drži ravninu ljuljanja nepromijenjenom u odnosu na zvijezde, 1852.). To proizlazi iz zakona održanja kinetičkog momenta u odnosu na središte mase rotora, pod uvjetom da se zanemari trenje u ležajevima osi ovjesa rotora, vanjskog i unutarnjeg okvira: Djelovanje sile na os slobodnog žiroskop. U slučaju primjene sile na os rotora, moment vanjskih sila u odnosu na središte mase nije jednak nuli: ω ω S sila, a prema vektoru momenta te sile, t.j. neće se rotirati oko x-osi (unutarnji ovjes), već oko y-osi (vanjski ovjes). Kada sila prestane, os rotora će ostati u istom položaju, što odgovara posljednji trenutak trajanje sile, jer od ovog trenutka, moment vanjskih sila ponovno postaje jednak nuli. U slučaju kratkotrajnog djelovanja sile (udara), os žiroskopa praktički ne mijenja svoj položaj. Dakle, brza rotacija rotora daje žiroskopu mogućnost suprotstavljanja slučajnim utjecajima koji teže promjeni položaja osi rotacije rotora, a kada trajno djelovanje sila održava položaj ravnine okomite na djelujuću silu, u kojoj leži os rotora. Ova svojstva se koriste u inercijski sustavi navigacija.

Uvod

Teorijska mehanika jedna je od najvažnijih temeljnih općeznanstvenih disciplina. Ima bitnu ulogu u obuci inženjera svih specijalnosti. Općeinženjerske discipline temelje se na rezultatima teorijske mehanike: čvrstoća materijala, dijelovi strojeva, teorija mehanizama i strojeva i dr.

Glavni zadatak teorijske mehanike je proučavanje gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem sila. Važan poseban problem je proučavanje ravnoteže tijela pod djelovanjem sila.

Tečaj predavanja. Teorijska mehanika

Struktura teorijske mehanike. Osnove statike

Uvjeti za ravnotežu proizvoljnog sustava sila.

Jednadžbe ravnoteže krutog tijela.

Ravni sustav sila.

Pojedini slučajevi ravnoteže krutog tijela.

Problem ravnoteže grede.

Određivanje unutarnjih sila u šipkastim konstrukcijama.

Osnove kinematike točke.

prirodne koordinate.

Eulerova formula.

Raspodjela ubrzanja točaka krutog tijela.

Translacijski i rotacijski pokreti.

Ravnoparalelno gibanje.

Komplicirano kretanje točke.

Osnove dinamike točke.

Diferencijalne jednadžbe gibanja točke.

Posebne vrste polja sila.

Osnove dinamike sustava bodova.

Opći teoremi dinamike sustava točaka.

Dinamika rotacijskog kretanja tijela.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kolegij teorijske mehanike. M., Viša škola, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kolegij teorijske mehanike, 1. i 2. dio. M., Viša škola, 1971.

Petkevich V.V. Teorijska mehanika. M., Nauka, 1981.

Zbirka zadataka za seminarske radove iz teorijske mehanike. Ed. A.A. Yablonski. M., Viša škola, 1985.

Predavanje 1 Struktura teorijske mehanike. Osnove statike

U teorijskoj mehanici proučava se kretanje tijela u odnosu na druga tijela, koja su fizički referentni sustavi.

Mehanika omogućuje ne samo opisivanje, već i predviđanje kretanja tijela, uspostavljajući uzročne veze u određenom, vrlo širokom rasponu pojava.

Osnovni apstraktni modeli stvarnih tijela:

materijalna točka - ima masu, ali nema dimenzije;

apsolutno čvrsta - volumen konačnih dimenzija, potpuno ispunjen materijom, a udaljenosti između bilo koje dvije točke medija koje ispunjavaju volumen ne mijenjaju se tijekom kretanja;

kontinuirani deformabilni medij - ispunjava konačan volumen ili neograničen prostor; udaljenosti između točaka takvog medija mogu varirati.

Od toga, sustavi:

Sustav besplatnih materijalnih bodova;

Sustavi s vezama;

Apsolutno čvrsto tijelo s šupljinom ispunjenom tekućinom itd.

"Degenerirati" modeli:

Beskonačno tanke šipke;

Beskonačno tanke ploče;

Beztežinske šipke i niti koji povezuju materijalne točke itd.

Iz iskustva: mehanički fenomeni se različito odvijaju u razna mjesta fizički referentni sustav. Ovo svojstvo je nehomogenost prostora, određena fizičkim referentnim sustavom. Heterogenost se ovdje shvaća kao ovisnost prirode pojave neke pojave o mjestu na kojem tu pojavu promatramo.

Drugo svojstvo je anizotropija (neizotropija), gibanje tijela u odnosu na fizički referentni sustav može biti različito ovisno o smjeru. Primjeri: tok rijeke uz meridijan (od sjevera prema jugu - Volga); let projektila, Foucaultovo njihalo.

Svojstva referentnog sustava (heterogenost i anizotropija) otežavaju promatranje gibanja tijela.

Praktički slobodan od ovoga geocentrično sustav: središte sustava je u središtu Zemlje i sustav se ne rotira u odnosu na "fiksne" zvijezde). Geocentrični sustav je prikladan za izračunavanje kretanja na Zemlji.

Za nebeska mehanika(za tijela Sunčevog sustava): heliocentrični referentni okvir koji se kreće sa središtem mase Sunčev sustav i ne rotira u odnosu na "fiksne" zvijezde. Za ovaj sustav još nije pronađeno heterogenost i anizotropija prostora

u odnosu na fenomene mehanike.

Dakle, uvodimo sažetak inercijski referentni okvir za koji je prostor homogen i izotropan u odnosu na fenomene mehanike.

inercijski referentni okvir- onaj čiji se vlastiti pokret ne može otkriti nikakvim mehaničkim iskustvom. Misaoni eksperiment: "točka koja je sama u cijelom svijetu" (izolirana) ili miruje ili se kreće pravocrtno i jednoliko.

Svi referentni okviri koji se kreću u odnosu na izvornik pravocrtno će biti jednoliko inercijski. To vam omogućuje uvođenje jednog kartezijanskog koordinatnog sustava. Takav prostor se zove Euklidski.

Uvjetni dogovor - uzmite pravi koordinatni sustav (slika 1).

NA vrijeme– u klasičnoj (nerelativističkoj) mehanici apsolutno, što je isto za sve referentne sustave, odnosno početni moment je proizvoljan. Za razliku od relativističke mehanike, gdje se primjenjuje princip relativnosti.

Stanje gibanja sustava u trenutku t određeno je koordinatama i brzinama točaka u tom trenutku.

Stvarna tijela međusobno djeluju i nastaju sile koje mijenjaju stanje gibanja sustava. To je bit teorijske mehanike.

Kako se proučava teorijska mehanika?

Doktrina o ravnoteži skupa tijela određenog referentnog okvira – presjeka statika.

Poglavlje kinematika: dio mehanike koji proučava odnose između veličina koje karakteriziraju stanje gibanja sustava, ali ne razmatra uzroke koji uzrokuju promjenu stanja gibanja.

Nakon toga razmotrite utjecaj sila [GLAVNI DIO].

Poglavlje dinamika: dio mehanike, koji razmatra utjecaj sila na stanje gibanja sustava materijalnih objekata.

Načela izgradnje glavnog tečaja - dinamika:

1) na temelju sustava aksioma (na temelju iskustva, zapažanja);

Konstantno - nemilosrdna kontrola prakse. Znak egzaktne znanosti - prisutnost unutarnje logike (bez nje - skup nepovezanih recepata)!

statički naziva se onaj dio mehanike gdje se proučavaju uvjeti koje moraju zadovoljiti sile koje djeluju na sustav materijalnih točaka da bi sustav bio u ravnoteži te uvjeti ekvivalentnosti sustava sila.

Problemi ravnoteže u elementarnoj statici razmatrat će se isključivo geometrijskim metodama temeljenim na svojstvima vektora. Ovaj pristup se primjenjuje u geometrijska statika(za razliku od analitičke statike, koja se ovdje ne razmatra).

Položaji raznih materijalnih tijela bit će upućeni u koordinatni sustav, koji ćemo uzeti kao fiksni.

Idealni modeli materijalnih tijela:

1) materijalna točka - geometrijska točka s masom.

2) apsolutno kruto tijelo - skup materijalnih točaka, udaljenosti između kojih se ne mogu mijenjati nikakvim radnjama.

Od strane snaga nazvat ćemo objektivni razlozi, koji su rezultat interakcije materijalnih objekata, sposobnih uzrokovati kretanje tijela iz stanja mirovanja ili promijeniti postojeće kretanje potonjeg.

Budući da je sila određena gibanjem koje uzrokuje, ona ima i relativni karakter, ovisno o izboru referentnog okvira.

Razmatra se pitanje prirode sila u fizici.

Sustav materijalnih točaka je u ravnoteži ako, dok miruje, ne primi nikakav pokret od sila koje na njega djeluju.

Iz svakodnevnog iskustva: sile su vektorske prirode, odnosno veličine, smjera, pravca djelovanja, točke primjene. Uvjet za ravnotežu sila koje djeluju na kruto tijelo svodi se na svojstva sustava vektora.

Rezimirajući iskustva proučavanja fizikalnih zakona prirode, Galileo i Newton formulirali su osnovne zakone mehanike, koji se mogu smatrati aksiomima mehanike, budući da su na temelju eksperimentalnih činjenica.

Aksiom 1. Djelovanje više sila na točku krutog tijela jednako je djelovanju jedne rezultantna sila, konstruiran prema pravilu zbrajanja vektora (slika 2).

Posljedica. Sile koje djeluju na točku krutog tijela zbrajaju se prema pravilu paralelograma.

Aksiom 2. Dvije sile koje djeluju na kruto tijelo međusobno uravnoteženi ako i samo ako su jednake po veličini, usmjerene u suprotnim smjerovima i leže na istoj pravoj liniji.

Aksiom 3. Djelovanje sustava sila na kruto tijelo neće se promijeniti ako dodati u ovaj sustav ili ispustiti iz njega dvije sile jednake veličine, usmjerene u suprotnim smjerovima i leže na istoj pravoj liniji.

Posljedica. Sila koja djeluje na točku krutog tijela može se prenijeti duž linije djelovanja sile bez promjene ravnoteže (tj. sila je klizni vektor, slika 3)

1) Aktivni - stvaraju ili su sposobni stvoriti kretanje krutog tijela. Na primjer, sila težine.

2) Pasivna - ne stvara kretanje, već ograničava kretanje krutog tijela, sprječava kretanje. Na primjer, sila napetosti nerastezljive niti (slika 4).

Aksiom 4. Djelovanje jednog tijela na drugo jednako je i suprotno djelovanju ovog drugog tijela na prvo ( akcija je jednaka reakciji).

Pozvat će se geometrijski uvjeti koji ograničavaju kretanje točaka veze.

Uvjeti komunikacije: npr.

- štap neizravne duljine l.

- savitljiva nerastezljiva nit duljine l.

Zovu se sile koje nastaju zbog veza i sprječavanja kretanja reakcijske snage.

Aksiom 5. Veze nametnute sustavu materijalnih točaka mogu se zamijeniti reakcijskim silama čije je djelovanje ekvivalentno djelovanju veza.

Kada pasivne sile ne mogu uravnotežiti djelovanje aktivnih sila, počinje kretanje.

Dva posebna problema statike

1. Sustav konvergirajućih sila koje djeluju na kruto tijelo

Sustav konvergirajućih sila naziva se takav sustav sila čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki, koja se uvijek može uzeti za ishodište (slika 5.).

Projekcije rezultanta:

;

Ako , tada sila uzrokuje gibanje krutog tijela.

Uvjet ravnoteže za konvergentni sustav sila:

2. Ravnoteža triju sila

Ako na kruto tijelo djeluju tri sile, a pravci djelovanja dviju sila sijeku se u nekoj točki A, ravnoteža je moguća ako i samo ako linija djelovanja treće sile također prolazi točkom A, a sama sila je jednaka po veličini i suprotno usmjereni prema zbroju (slika 6).

primjeri:

Moment sile u odnosu na točku O definirati kao vektor, u veličini jednako dvostrukoj površini trokuta, čija je baza vektor sile s vrhom u danoj točki O; smjer- ortogonalno na ravninu razmatranog trokuta u smjeru odakle je vidljiva rotacija koju stvara sila oko točke O suprotno od kazaljke na satu. je moment kliznog vektora i je slobodni vektor(slika 9).

Tako: ili

gdje ;;.

Gdje je F modul sile, h je rame (udaljenost od točke do smjera sile).

Moment sile oko osi naziva se algebarska vrijednost projekcije na ovu os vektora momenta sile u odnosu na proizvoljnu točku O, uzetu na os (slika 10).

Ovo je skalar neovisan o izboru točke. Doista, širimo :|| i u avionu.

O trenucima: neka je O 1 točka presjeka s ravninom. Zatim:

a) od - trenutka => projekcija = 0.

b) od - trenutka zajedno => je projekcija.

Tako, moment oko osi je moment komponente sile u ravnini okomitoj na os oko točke presjeka ravnine i osi.

Varignonov teorem za sustav konvergirajućih sila:

Moment rezultantne sile za sustav konvergirajućih sila u odnosu na proizvoljnu točku A jednak je zbroju momenata svih komponenti sila u odnosu na istu točku A (slika 11).

Dokaz u teoriji konvergentnih vektora.

Obrazloženje: zbrajanje sila prema pravilu paralelograma => rezultirajuća sila daje ukupni moment.

Test pitanja:

1. Navedite glavne modele stvarnih tijela u teorijskoj mehanici.

2. Formulirajte aksiome statike.

3. Što se naziva momentom sile oko točke?

Predavanje 2 Uvjeti ravnoteže za proizvoljni sustav sila

Iz osnovnih aksioma statike slijede elementarne operacije nad silama:

1) sila se može prenositi duž linije djelovanja;

2) sile čije se pravce djelovanja sijeku mogu se zbrajati prema pravilu paralelograma (prema pravilu zbrajanja vektora);

3) sustavu sila koje djeluju na kruto tijelo uvijek se mogu dodati dvije sile jednake po veličini, koje leže na istoj ravnoj crti i usmjerene u suprotnim smjerovima.

Elementarne operacije ne mijenjaju mehaničko stanje sustava.

Navedimo dva sustava sila ekvivalent ako se jedno od drugog može dobiti pomoću elementarnih operacija (kao u teoriji kliznih vektora).

Zove se sustav dviju paralelnih sila, jednakih po veličini i usmjerenih u suprotnim smjerovima par sila(slika 12).

Moment para sila- vektor jednake veličine površini paralelograma izgrađenog na vektorima para, a usmjeren je ortogonalno na ravninu para u smjeru iz kojeg se može vidjeti da dolazi do rotacije koju opisuju vektori para suprotno od kazaljke na satu.

, odnosno moment sile oko točke B.

Par sila u potpunosti je karakteriziran svojim momentom.

Par sila može se elementarnim operacijama prenijeti na bilo koju ravninu paralelnu ravnini para; promijeniti veličinu sila para obrnuto proporcionalno ramenima para.

Parovi sila se mogu zbrajati, dok se momenti parova sila zbrajaju po pravilu zbrajanja (slobodnih) vektora.

Dovođenje sustava sila koje djeluju na kruto tijelo u proizvoljnu točku (redukciono središte)- znači zamjenu postojećeg sustava jednostavnijim: sustavom od tri sile od kojih jedna prolazi unaprijed zadanu točku, a druga dva predstavljaju par.

Dokazuje se uz pomoć elementarnih operacija (sl.13).

Sustav konvergirajućih sila i sustav parova sila.

- rezultirajuća sila.

Rezultirajući par

Što je trebalo pokazati.

Dva sustava sila htjeti su ekvivalentni ako i samo ako su oba sustava svedena na jednu rezultantnu silu i jedan rezultantni par, odnosno pod sljedećim uvjetima:

Opći slučaj ravnoteže sustava sila koje djeluju na kruto tijelo

Sustav sila dovodimo na (slika 14):

Rezultirajuća sila kroz ishodište;

Rezultirajući par, osim toga, kroz točku O.

To jest, doveli su do i - dvije sile, od kojih jedna prolazi kroz danu točku O.

Ravnoteža, ako je druga ravna linija jednaka, usmjerena suprotno (aksiom 2).

Zatim prolazi točkom O, tj.

Tako, općih uvjeta ravnoteža krutog tijela:

Ovi uvjeti vrijede za proizvoljnu točku u prostoru.

Test pitanja:

1. Navedite elementarne operacije nad silama.

2. Koji se sustavi sila nazivaju ekvivalentnim?

3. Napišite opće uvjete za ravnotežu krutog tijela.

Predavanje 3 Jednadžbe ravnoteže krutog tijela

Neka je O ishodište koordinata; je rezultirajuća sila; je moment rezultirajućeg para. Neka je točka O1 novo središte redukcije (slika 15).

Novi sustav sila:

Kada se točka bacanja promijeni, => se mijenja samo (u jednom smjeru s jednim znakom, u drugom s drugim). To je poanta: uskladiti linije

analitički: (kolinearnost vektora)

; koordinate točke O1.

Ovo je jednadžba ravne linije, za sve točke čije se smjer rezultirajućeg vektora poklapa sa smjerom momenta rezultirajućeg para - pravac se naziva dinamo.

Ako je na osi dinama => , tada je sustav ekvivalentan jednoj rezultantnoj sili, koja se naziva rezultantna sila sustava. U ovom slučaju, uvijek, tj.

Četiri slučaja dovođenja snaga:

1.) ;- dinamo.

2.) ; - rezultanta.

3.) ;- par.

4.) ;- ravnoteža.

Dvije vektorske jednadžbe ravnoteže: glavni vektor i glavni moment jednaki su nuli,.

Ili šest skalarnih jednadžbi u projekcijama na kartezijanske koordinatne osi:

Ovdje:

Složenost vrste jednadžbi ovisi o izboru točke redukcije => vještina kalkulatora.

Pronalaženje uvjeta ravnoteže za sustav krutih tijela u interakciji<=>problem ravnoteže svakog tijela posebno, a na tijelo utječu vanjske sile i unutarnje sile (međudjelovanje tijela u dodirnim točkama s jednakim i suprotno usmjerenim silama - aksiom IV, sl. 17).

Biramo za sva tijela sustava jedan referalni centar. Zatim za svako tijelo s brojem uvjeta ravnoteže:

, , (= 1, 2, …, k)

gdje je , - rezultirajuća sila i moment rezultirajućeg para svih sila, osim unutarnjih reakcija.

Rezultirajuća sila i moment rezultirajućeg para sila unutarnjih reakcija.

Formalno sažimajući i uzimajući u obzir IV aksiom

dobivamo potrebni uvjeti za ravnotežu krutog tijela:

Primjer.

Ravnoteža: = ?

Test pitanja:

1. Navedite sve slučajeve dovođenja sustava sila u jednu točku.

2. Što je dinamo?

3. Formulirajte potrebne uvjete za ravnotežu sustava krutih tijela.

Predavanje 4 Ravni sustav sila

Poseban slučaj isporuke općeg zadatka.

Neka sve djelujuće sile leže u istoj ravnini - na primjer, list. Odaberimo točku O kao središte redukcije - u istoj ravnini. Dobivamo rezultirajuću silu i rezultirajući par u istoj ravnini, tj. (slika 19)