Jednadžba ravnine. Kako napisati jednadžbu za ravninu?
Međusobni dogovor avioni. Zadaci

Prostorna geometrija nije puno kompliciranija od "ravne" geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da biste razumjeli temu, morate je dobro razumjeti vektora, osim toga, poželjno je biti upoznat s geometrijom ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije puno bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednadžba ravne na ravnini. Ali sada je Batman napustio TV ravnog ekrana i lansirao se s kozmodroma Baikonur.

Počnimo s crtežima i simbolima. Shematski se ravnina može nacrtati kao paralelogram, što daje dojam prostora:

Avion je beskonačan, ali imamo priliku prikazati samo njegov djelić. U praksi se osim paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga zgodnije mi je prikazati avion na ovaj način i u ovom položaju. Pravi avioni, koje ćemo razmotriti u praktični primjeri, može se rasporediti kako želite - mentalno uzmite crtež u ruke i uvijte ga u prostoru, dajući avionu bilo koji nagib, bilo koji kut.

Notacija: uobičajeno je da se zrakoplovi označavaju malim grčkim slovima, očito kako ih ne bi zamijenili s ravno u avion ili sa ravno u prostoru. Navikla sam koristiti pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne rupa uopće. Iako, rupa avion, to je svakako jako smiješno.

U nekim je slučajevima zgodno koristiti isti grčka slova s indeksima, na primjer, .

Očito je da je ravnina jedinstveno određena s tri različite točke ne leže na istoj pravoj liniji. Stoga su troslovne oznake ravnina prilično popularne - prema točkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često su slova zatvorena u zagradama: , kako ne bi pobrkali ravninu s drugim geometrijskim likom.

Za iskusne čitatelje, dat ću izbornik prečaca:

• Kako napisati jednadžbu za ravninu koristeći točku i dva vektora?
• Kako napisati jednadžbu za ravninu koristeći točku i normalni vektor?

i nećemo čamiti u dugim čekanjima:

Opća jednadžba ravnine

Opća jednadžba ravnine ima oblik , gdje su koeficijenti istovremeno različiti od nule.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormalnu bazu i za afinu bazu prostora (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova). Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da se svi događaji događaju u ortonormalnoj bazi i kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sustavu.

A sada trenirajmo malo prostornu maštu. U redu je ako ga imaš loše, sad ćemo ga malo razviti. Čak i igranje na živce zahtijeva vježbu.

U najopćenitijem slučaju, kada brojevi nisu jednaki nuli, ravnina siječe sve tri koordinatne osi. Na primjer, ovako:

Ponavljam još jednom da se avion kreće u nedogled u svim smjerovima, a mi imamo priliku prikazati samo njegov dio.

Razmotrimo najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumjeti zadana jednadžba? Razmislite o tome: “Z” UVIJEK, za bilo koje vrijednosti “X” i “Y” jednako je nuli. Ovo je jednadžba "nativne" koordinatne ravnine. Doista, formalno se jednadžba može prepisati na sljedeći način: , odakle je jasno vidljivo da nas nije briga koje vrijednosti zauzimaju “x” i “y”, važno je da je “z” jednako nuli.

Slično:
je jednadžba koordinatne ravnine ;
je jednadžba koordinatne ravnine.

Zakomplicirajmo malo problem, razmotrimo ravninu (ovdje i dalje u odlomku pretpostavljamo da brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednadžbu u obliku: . Kako to razumjeti? "X" je UVIJEK, za bilo koju vrijednost "y" i "z" jednako je određenom broju. Ova je ravnina paralelna s koordinatnom ravninom. Na primjer, ravnina je paralelna s ravninom i prolazi kroz točku.

Slično:
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom ravninom;
- jednadžba ravnine koja je paralelna s koordinatnom ravninom.

Dodajte članove: . Jednadžba se može prepisati ovako: , to jest, "Z" može biti bilo što. Što to znači? "X" i "Y" povezani su omjerom koji povlači određenu ravnu liniju u ravnini (prepoznat ćete jednadžba ravne u ravnini?). Budući da Z može biti bilo što, ova linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom osi

Slično:
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom osi;
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom osi.

Ako su slobodni članovi jednaki nuli, tada će ravnine izravno proći kroz odgovarajuće osi. Na primjer, klasična "izravna proporcionalnost":. Nacrtajte ravnu liniju u ravnini i mentalno je pomnožite gore-dolje (budući da je "z" bilo koji). Zaključak: ravnina zadana jednadžbom prolazi kroz koordinatnu os.

Zaključujemo pregled: jednadžba ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očito da točka zadovoljava zadanu jednadžbu.

I, na kraju, slučaj koji je prikazan na crtežu: - ravnina se sprijatelji sa svim koordinatnim osi, a uvijek “odsiječe” trokut koji se može nalaziti u bilo kojem od osam oktanata.

Linearne nejednakosti u prostoru

Za razumijevanje informacija potrebno je dobro proučiti linearne nejednakosti u ravnini jer će mnoge stvari biti slične. Odlomak će biti kratak pregled s nekoliko primjera, budući da je materijal u praksi prilično rijedak.

Ako jednadžba definira ravninu, onda su nejednakosti
pitati poluprostori. Ako nejednadžba nije stroga (posljednje dvije na popisu), tada rješenje nejednadžbe, osim poluprostora, uključuje i samu ravninu.

Primjer 5

Pronađite vektor jedinične normale ravnine .

Odluka: Jedinični vektor je vektor čija je duljina jedan. Označimo ovaj vektor sa . Sasvim je jasno da su vektori kolinearni:

Prvo uklanjamo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki vektorska koordinata podijeljena duljinom vektora.

Prepišimo normalni vektor u obliku i pronađemo njegovu duljinu:

prema gore navedenom:

Odgovor:

Provjerite: , što je bilo potrebno za provjeru.

Čitatelji koji su pažljivo proučili zadnji odlomak lekcije, vjerojatno su to primijetili koordinate jediničnog vektora su točno smjer kosinus vektora:

Odmaknimo se od rastavljenog problema: kad ti je dana proizvoljna vektor različit od nule , a po uvjetu je potrebno pronaći kosinus smjera (vidi zadnje zadatke lekcije Točkasti proizvod vektora), tada ćete, zapravo, pronaći i jedinični vektor kolinearan zadanom. Zapravo, dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem vektora jedinične normale javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo ribolov normalnog vektora, sada ćemo odgovoriti na suprotno pitanje:

Kako napisati jednadžbu za ravninu koristeći točku i normalni vektor?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i točke dobro je poznata po meti za pikado. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljnu točku u prostoru, na primjer, malu mačku u kredencu. Očito, kroz ovu točku možete nacrtati jednu ravninu okomitu na vašu ruku.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na vektor izražava se formulom:

Ovaj članak daje ideju o tome kako napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na zadanu liniju. Analizirajmo gornji algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac

Neka je u njemu zadan trodimenzionalni prostor i pravokutni koordinatni sustav O x y z. Također su dana točka M 1 (x 1, y 1, z 1), pravac a i ravnina α koja prolazi točkom M 1 okomito na pravu a. Potrebno je zapisati jednadžbu ravnine α.

Prije nego nastavimo rješavati ovaj problem, prisjetimo se teorema geometrije iz programa za 10. - 11. razred, koji glasi:

Definicija 1

Jedna ravnina prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru i okomita je na zadanu liniju.

Sada razmislite kako pronaći jednadžbu ove pojedinačne ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita na zadani pravac.

Opću jednadžbu ravnine moguće je napisati ako su poznate koordinate točke koja pripada ovoj ravnini, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uvjetom zadatka zadane su nam koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina α. Ako odredimo koordinate vektora normale ravnine α, tada ćemo moći napisati željenu jednadžbu.

Normalni vektor ravnine α, budući da je različit od nule i leži na pravcu a, okomito na ravninu α, bit će bilo koji usmjeravajući vektor pravca a. Dakle, problem nalaženja koordinata vektora normale ravnine α pretvara se u problem određivanja koordinata usmjerivača vektora ravne a .

Određivanje koordinata usmjeravajućeg vektora ravne a može se provesti različite metode: ovisi o mogućnosti specificiranja ravne a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u uvjetu problema dan kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tada će usmjeravajući vektor ravne imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je pravac a predstavljen s dvije točke M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora smjera biti određene kao (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomitu na danu pravu:

Odredite koordinate usmjeravajućeg vektora ravne a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravnine α definiramo kao koordinate usmjeravajućeg vektora ravne a:

n → = (A, B, C) , gdje je A = a x , B = a y , C = a z;

Zapisujemo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalni vektor n→=(A, B, C) u obliku A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ovo će biti tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru i okomita je na zadani pravac.

Rezultirajuća opća jednadžba ravnine: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 omogućuje dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednadžbe ravnine.

Rješimo neke primjere koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadana je točka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravnina, a ta je ravnina okomita na koordinatni pravac O z.

Odluka

vektor smjera koordinatnog pravca O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Stoga vektor normale ravnine ima koordinate (0 , 0 , 1) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku M 1 (3, - 4, 5) čiji vektor normale ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odgovor: z - 5 = 0 .

Razmotrite drugi način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravninu koja je okomita na pravac O z dat ćemo nepotpunom općom jednadžbom ravnine oblika S z + D = 0 , C ≠ 0 . Definirajmo vrijednosti C i D: one za koje ravnina prolazi kroz danu točku. Zamijenimo koordinate ove točke u jednadžbu C z + D = 0 , dobivamo: C · 5 + D = 0 . Oni. brojevi, C i D su povezani sa - D C = 5 . Uzimajući C \u003d 1, dobivamo D \u003d - 5.

Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijete traženu jednadžbu za ravninu okomitu na pravac O z i koja prolazi kroz točku M 1 (3, - 4, 5) .

Izgledat će ovako: z - 5 = 0.

Odgovor: z - 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita na pravac x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Odluka

Na temelju uvjeta problema može se tvrditi da se vodeći vektor zadane ravne linije može uzeti kao normalni vektor n → dane ravnine. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom O (0, 0, 0) i ima normalni vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednadžbu za ravninu koja prolazi ishodištem okomito na zadani pravac.

Odgovor:- 3x - 7y + 2z = 0

Primjer 4

Zadan pravokutni koordinatni sustav O x y z u trodimenzionalnom prostoru, on sadrži dvije točke A (2 , - 1 , - 2) i B (3 , - 2 , 4) . Ravnina α prolazi točkom A okomito na pravac AB. Potrebno je sastaviti jednadžbu ravnine α u segmentima.

Odluka

Ravnina α okomita je na pravac A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravnine α. Koordinate ovog vektora određuju se kao razlika između odgovarajućih koordinata točaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednadžba ravnine bit će zapisana u sljedećem obliku:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavljamo željenu jednadžbu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje problemi čiji je zahtjev napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine. Općenito, rješenje ovog problema je napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku okomitu na danu pravu, budući da dvije ravnine koje se sijeku definiraju ravnu liniju.

Primjer 5

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z, u njemu je točka M 1 (2, 0, - 5) . Dane su i jednadžbe dviju ravnina 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0 koje se sijeku duž prave a . Potrebno je sastaviti jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Odluka

Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora ravne a . Okomit je i na vektor normale n 1 → (3, 2, 0) ravnine n → (1, 0, 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 ravnine x + 2 z - 1 = 0 .

Tada usmjeravajući vektor α → pravac a uzimamo vektorski umnožak vektora n 1 → i n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Tako će vektor n → = (4, - 6, - 2) biti vektor normale ravnine okomite na pravac a. Zapisujemo željenu jednadžbu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka je potrebno pronaći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Označavajući njihove vektore radijusa s, a trenutni radijus vektor s , lako možemo dobiti željenu jednadžbu u vektorskom obliku. Doista, vektori , moraju biti komplanarni (svi leže u željenoj ravnini). Stoga vektorsko-skalarni proizvod ovih vektora mora biti jednak nuli:

Ovo je jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke, u vektorskom obliku.

Okrećući se koordinatama, dobivamo jednadžbu u koordinatama:

Ako tri zadane točke leže na istoj pravoj liniji, vektori bi bili kolinearni. Stoga bi odgovarajući elementi posljednja dva reda determinante u jednadžbi (18) bili proporcionalni, a determinanta bi bila identično jednaka nuli. Stoga bi jednadžba (18) postala identitet za sve vrijednosti x, y i z. Geometrijski, to znači da kroz svaku točku prostora prolazi ravnina u kojoj također leže tri zadane točke.

Napomena 1. Isti se problem može riješiti bez upotrebe vektora.

Označavajući koordinate triju zadanih točaka, odnosno kroz, zapisujemo jednadžbu bilo koje ravnine koja prolazi kroz prvu točku:

Da bi se dobila jednadžba željene ravnine, potrebno je zahtijevati da jednadžbu (17) zadovoljavaju koordinate druge dvije točke:

Iz jednadžbi (19) potrebno je odrediti omjere dvaju koeficijenata prema trećem i pronađene vrijednosti unijeti u jednadžbu (17).

Primjer 1. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke.

Jednadžba za ravninu koja prolazi kroz prvu od ovih točaka bit će:

Uvjeti da ravnina (17) prođe kroz dvije druge točke i prvu točku su:

Dodavanjem druge jednadžbe prvoj dobivamo:

Zamjenom u drugu jednadžbu dobivamo:

Zamjenom u jednadžbu (17) umjesto A, B, C, redom, 1, 5, -4 (brojevi proporcionalni njima), dobivamo:

Primjer 2. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jednadžba bilo koje ravnine koja prolazi kroz točku (0, 0, 0) bit će]

Uvjeti za prolazak ove ravnine kroz točke (1, 1, 1) i (2, 2, 2) su:

Smanjenjem druge jednadžbe za 2, vidimo da za određivanje dvije nepoznanice relacija ima jednu jednadžbu s

Odavde dobivamo . Zamjenom sada u jednadžbu ravnine umjesto njene vrijednosti, nalazimo:

Ovo je jednadžba tražene ravnine; ovisi o proizvoljnom

veličine B, C (naime, iz omjera, tj. postoji beskonačan broj ravnina koje prolaze kroz tri zadane točke (tri zadane točke leže na jednoj pravoj liniji).

Napomena 2. Problem povlačenja ravnine kroz tri zadane točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji lako se rješava u opći pogled ako koristite odrednice. Doista, budući da u jednadžbama (17) i (19) koeficijenti A, B, C ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, tada, promatrajući ove jednadžbe kao homogeni sustav s tri nepoznanice A, B, C, zapisujemo nužan i dovoljan uvjet za postojanje rješenja ovog sustava, različitog od nule (1. dio, pogl. VI, § 6):

Proširujući ovu determinantu elementima prvog reda, dobivamo jednadžbu prvog stupnja s obzirom na trenutne koordinate , koju će zadovoljiti, posebice, koordinate tri zadane točke.

Ovo posljednje se također može izravno provjeriti ako zamijenimo koordinate bilo koje od ovih točaka umjesto u jednadžbu napisanu pomoću determinante. Na lijevoj strani dobiva se determinanta u kojoj su ili elementi prvog reda nula, ili postoje dva identična reda. Dakle, formulirana jednadžba predstavlja ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke.

13. Kut između ravnina, udaljenost od točke do ravnine.

Neka se ravnine α i β sijeku duž pravca c.
Kut između ravnina je kut između okomica na liniju njihovog presjeka, povučen u tim ravninama.

Drugim riječima, u ravnini α povlačimo pravac a okomit na c. U ravnini β - pravac b, također okomit na c. Kut između ravnina α i β jednak je kutu između pravih a i b.

Imajte na umu da kada se dvije ravnine sijeku, zapravo nastaju četiri kuta. Vidite ih na slici? Kao kut između ravnina koji uzimamo začinjeno injekcija.

Ako je kut između ravnina 90 stupnjeva, tada su ravnine okomito,

Ovo je definicija okomitosti ravnina. Prilikom rješavanja zadataka iz stereometrije također koristimo znak okomitosti ravnina:

Ako ravnina α prolazi okomicom na ravninu β, tada su ravnine α i β okomite.

udaljenost od točke do ravnine

Razmotrimo točku T zadanu svojim koordinatama:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Uzmite u obzir i ravninu α, dano jednadžbom:

Ax + By + Cz + D = 0

Tada se udaljenost L od točke T do ravnine α može izračunati po formuli:

Drugim riječima, zamjenjujemo koordinate točke u jednadžbu ravnine, a zatim ovu jednadžbu podijelimo s duljinom vektora normale n na ravninu:

Rezultirajući broj je udaljenost. Pogledajmo kako ovaj teorem funkcionira u praksi.

Već smo izveli parametarske jednadžbe ravne u ravnini, dobijemo parametarske jednadžbe ravne, koja je zadana u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru.

Neka je pravokutni koordinatni sustav fiksiran u trodimenzionalnom prostoru Oxyz. Definirajmo ravnu liniju a(pogledajte odjeljak o tome kako definirati ravnu crtu u prostoru) određujući usmjeravajući vektor ravne linije i koordinate neke točke na liniji . Od tih ćemo podataka poći pri sastavljanju parametarskih jednadžbi ravne u prostoru.

Neka je proizvoljna točka u trodimenzionalnom prostoru. Oduzmemo li od koordinata točke M odgovarajuće koordinate točke M 1, tada ćemo dobiti koordinate vektora (vidi članak pronalaženje koordinata vektora po koordinatama točaka njegovog kraja i početka), tj. .

Očito, skup točaka definira pravac a ako i samo ako su vektori i kolinearni.

Zapišimo potreban i dovoljan uvjet da vektori budu kolinearni i : , gdje je nešto pravi broj. Rezultirajuća jednadžba se zove vektorsko-parametrijska jednadžba ravne linije u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru. Vektorsko-parametarska jednadžba ravne u koordinatnom obliku ima oblik i predstavlja parametarske jednadžbe ravne linije a. Naziv "parametrijski" nije slučajan, budući da su koordinate svih točaka pravca specificirane pomoću parametra .

Navedimo primjer parametarskih jednadžbi ravne u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u svemiru: . Ovdje

15. Kut između ravne i ravnine. Točka presjeka pravca s ravninom.

Bilo koja jednadžba prvog stupnja s obzirom na koordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

definira ravninu, i obrnuto: svaka se ravnina može predstaviti jednadžbom (3.1), koja se naziva jednadžba ravnine.

Vektor n(A, B, C) ortogonalno na ravninu naziva se normalni vektor avioni. U jednadžbi (3.1) koeficijenti A, B, C nisu u isto vrijeme jednaki 0.

Posebni slučajevi jednadžbe (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ravnina prolazi ishodištem.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ravnina je paralelna s osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ravnina prolazi kroz os Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ravnina je paralelna s ravninom Oyza.

Jednadžbe u koordinatnoj ravnini: x = 0, y = 0, z = 0.

Prava linija u prostoru može se dati:

1) kao linija presjeka dviju ravnina, t.j. sustav jednadžbi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) njegove dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je ravna linija koja prolazi kroz njih dana jednadžbama:

3) točka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) koja joj pripada i vektor a(m, n, p), s kolinearno. Tada je pravac određena jednadžbama:

. (3.4)

Jednadžbe (3.4) nazivaju se kanonske jednadžbe pravca.

Vektor a pozvao vodeći vektor ravno.

Parametarske jednadžbe ravne linije dobivamo izjednačavanjem svake relacije (3.4) s parametrom t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Rješavanje sustava (3.2) kao sustava linearne jednadžbe relativno nepoznato x i y, dolazimo do jednadžbi ravne u projekcije Ili do reducirane pravocrtne jednadžbe:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Od jednadžbi (3.6) može se prijeći na kanonske jednadžbe, nalaz z iz svake jednadžbe i izjednačavanje rezultirajućih vrijednosti:

.

Može se prijeći s općih jednadžbi (3.2) na kanonske jednadžbe na drugi način, ako se pronađe bilo koja točka ove linije i njezin vektor smjera n= [n 1 , n 2], gdje n 1 (A 1, B 1, C 1) i n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - normalni vektori zadanih ravnina. Ako je jedan od nazivnika m,n ili R u jednadžbama (3.4) bit će nula, tada se brojnik odgovarajućeg razlomka mora postaviti jednakim nuli, tj. sustav

jednako je sustavu ; takav je pravac okomit na os x.

Sustav ekvivalentan je sustavu x = x 1 , y = y 1 ; ravna crta paralelna je s osi Oz.

Primjer 1.15. Napišite jednadžbu ravnine, znajući da točka A (1, -1,3) služi kao baza okomice povučene iz ishodišta na ovu ravninu.

Odluka. Po uvjetu problema, vektor OA(1,-1,3) je normalni vektor ravnine, tada se njegova jednadžba može zapisati kao
x-y+3z+D=0. Zamjenom koordinata točke A(1,-1,3) koja pripada ravnini, nalazimo D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Dakle, x-y+3z-11=0.

Primjer 1.16. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz os Oz i tvori kut od 60 stupnjeva s ravninom 2x+y-z-7=0.

Odluka. Ravnina koja prolazi kroz os Oz dana je jednadžbom Ax+By=0, gdje A i B ne nestaju u isto vrijeme. Neka B ne
je 0, A/Bx+y=0. Prema formuli za kosinus kuta između dvije ravnine

.

Odlučujući kvadratna jednadžba 3m 2 + 8m - 3 = 0, pronađite njegove korijene
m 1 = 1/3, m 2 = -3, iz čega dobivamo dvije ravnine 1/3x+y = 0 i -3x+y = 0.

Primjer 1.17. Napišite kanonske jednadžbe ravne linije:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Odluka. Kanonske jednadžbe ravne linije imaju oblik:

gdje m, n, str- koordinate usmjeravajućeg vektora ravne, x1, y1, z1- koordinate bilo koje točke koja pripada pravcu. Ravna crta se definira kao linija presjeka dviju ravnina. Da bi se pronašla točka koja pripada pravoj liniji, jedna od koordinata je fiksna (najlakši način je staviti, na primjer, x=0) i rezultirajući sustav rješava se kao sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Dakle, neka je x=0, tada je y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, odakle je y=-1, z=1. Pronašli smo koordinate točke M (x 1, y 1, z 1) koja pripada ovom pravcu: M (0,-1,1). Usmjeravajući vektor ravne linije lako je pronaći, poznavajući normalne vektore izvornih ravnina n 1 (5,1,1) i n 2(2,3,-2). Zatim

Kanonske jednadžbe pravca su: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Primjer 1.18. U snopu definiranoj ravninama 2x-y+5z-3=0 i x+y+2z+1=0 pronađite dvije okomite ravnine od kojih jedna prolazi točkom M(1,0,1).

Odluka. Jednadžba snopa definirane ovim ravninama je u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, pri čemu u i v ne nestaju u isto vrijeme. Prepisujemo jednadžbu grede na sljedeći način:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Kako bismo odabrali ravninu koja prolazi kroz točku M iz grede, zamijenimo koordinate točke M u jednadžbu grede. dobivamo:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ili v = - u.

Tada nalazimo jednadžbu ravnine koja sadrži M zamjenom v = - u u jednadžbu grede:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Jer u¹0 (inače v=0, a to je u suprotnosti s definicijom grede), tada imamo jednadžbu ravnine x-2y+3z-4=0. Druga ravnina koja pripada gredi mora biti okomita na nju. Zapisujemo uvjet za ortogonalnost ravnina:

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0, ili v = - 19/5u.

Dakle, jednadžba druge ravnine ima oblik:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ili 9x +24y + 13z + 34 = 0

U ovoj lekciji ćemo pogledati kako upotrijebiti odrednicu za sastavljanje jednadžba ravnine. Ako ne znate što je determinanta, prijeđite na prvi dio lekcije - " Matrice i determinante". Inače riskirate da ne razumijete ništa u današnjem materijalu.

Jednadžba ravnine za tri točke

Zašto nam je uopće potrebna jednadžba ravnine? Jednostavno je: znajući to, lako možemo izračunati kutove, udaljenosti i ostalo sranje u zadatku C2. Općenito, ova je jednadžba neophodna. Stoga formuliramo problem:

Zadatak. Postoje tri točke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ove tri točke. A jednadžba bi trebala izgledati ovako:

Ax + By + Cz + D = 0

gdje su brojevi A, B, C i D koeficijenti koje, zapravo, želite pronaći.

Pa, kako dobiti jednadžbu ravnine, ako su poznate samo koordinate točaka? Najlakši način je zamijeniti koordinate u jednadžbu Ax + By + Cz + D = 0. Dobiva se sustav od tri jednadžbe koji se lako rješava.

Mnogi studenti ovo rješenje smatraju iznimno zamornim i nepouzdanim. Prošlogodišnji ispit iz matematike pokazao je da je vjerojatnost računske pogreške doista velika.

Stoga su najnapredniji učitelji počeli tražiti jednostavnije i elegantna rješenja. I našli su ga! Istina, vjerojatnije je da će prijem dobiti viša matematika. Osobno sam morao preturati po cijeloj saveznoj listi udžbenika kako bih se uvjerio da imamo pravo koristiti ovu tehniku ​​bez ikakvog opravdanja i dokaza.

Jednadžba ravnine kroz determinantu

Dosta lajanja, prijeđimo na posao. Za početak, teorem o tome kako su determinanta matrice i jednadžba ravnine povezani.

Teorema. Neka su zadane koordinate triju točaka kroz koje se mora povući ravnina: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Tada se jednadžba ove ravnine može napisati u terminima determinante:

Na primjer, pokušajmo pronaći par ravnina koje se zapravo pojavljuju u C2 problemima. Pogledajte koliko se brzo sve broji:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Sastavljamo determinantu i izjednačavamo je s nulom:

Otvaranje determinante:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kao što vidite, pri izračunavanju broja d, malo sam "probrisao" jednadžbu tako da su varijable x , y i z ušle u ispravan slijed. To je sve! Jednadžba ravnine je spremna!

Zadatak. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Odmah zamijenite koordinate točaka u determinanti:

Ponovno proširivanje determinante:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Dakle, opet se dobiva jednadžba ravnine! Opet, na zadnjem koraku, morao sam promijeniti znakove u njemu kako bih dobio "ljepšu" formulu. U ovom rješenju to nije potrebno činiti, ali se ipak preporučuje – kako bi se pojednostavilo daljnje rješavanje problema.

Kao što vidite, sada je mnogo lakše napisati jednadžbu ravnine. Zamijenimo točke u matricu, izračunamo determinantu - i to je to, jednadžba je spremna.

Ovo bi mogao biti kraj lekcije. Međutim, mnogi studenti stalno zaboravljaju što se nalazi unutar determinante. Na primjer, koji redak sadrži x 2 ili x 3 , a koji redak samo x . Da bismo se konačno pozabavili ovim, pratimo odakle dolazi svaki broj.

Odakle dolazi formula s determinantom?

Dakle, shvatimo odakle dolazi tako oštra jednadžba s determinantom. To će vam pomoći da ga zapamtite i uspješno primijenite.

Sve ravnine koje se javljaju u zadatku C2 definirane su s tri točke. Te su točke uvijek označene na crtežu, ili čak naznačene izravno u tekstu problema. U svakom slučaju, da bismo sastavili jednadžbu, moramo ispisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Razmotrimo još jednu točku na našoj ravnini s proizvoljnim koordinatama:

T = (x, y, z)

Uzimamo bilo koju točku iz prve tri (na primjer, točku M ) i iz nje crtamo vektore do svake od tri preostale točke. Dobijamo tri vektora:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Sada napravimo kvadratnu matricu od ovih vektora i izjednačimo njenu determinantu s nulom. Koordinate vektora postat će redovi matrice - i dobit ćemo istu determinantu koja je naznačena u teoremu:

Ova formula znači da je volumen kutije izgrađene na vektorima MN , MK i MT jednak nuli. Dakle, sva tri vektora leže u istoj ravnini. Konkretno, proizvoljna točka T = (x, y, z) je upravo ono što smo tražili.

Zamjena točaka i redaka determinante

Odrednice imaju neka prekrasna svojstva koja to čine još lakšim rješenje problema C2. Na primjer, nije nam važno iz koje točke crtati vektore. Stoga sljedeće determinante daju istu jednadžbu ravnine kao i gornja:

Također možete zamijeniti redove determinante. Jednadžba će ostati nepromijenjena. Na primjer, mnogi ljudi vole napisati liniju s koordinatama točke T = (x; y; z) na samom vrhu. Molimo, ako vam odgovara:

Neke zbunjuje to što jedan od pravaca sadrži varijable x , y i z , koje ne nestaju prilikom zamjene točaka. Ali ne bi trebali nestati! Zamjenom brojeva u determinantu, trebali biste dobiti sljedeću konstrukciju:

Zatim se determinanta proširi prema shemi danoj na početku lekcije i dobije se standardna jednadžba ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Pogledajte primjer. On je posljednji u današnjoj lekciji. Namjerno ću zamijeniti linije kako bih bio siguran da će odgovor biti ista jednadžba ravnine.

Zadatak. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Dakle, razmatramo 4 točke:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Prvo, napravimo standardnu ​​determinantu i izjednačimo je s nulom:

Otvaranje determinante:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0 .

Sada preuredimo par redaka u odrednici i vidimo što će se dogoditi. Na primjer, napišimo red s varijablama x, y, z ne na dnu, već na vrhu:

Proširimo ponovno dobivenu determinantu:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo potpuno istu jednadžbu ravnine: x + y + z − 2 = 0. Dakle, stvarno ne ovisi o redoslijedu redaka. Ostaje zapisati odgovor.

Dakle, vidjeli smo da jednadžba ravnine ne ovisi o slijedu linija. Možemo provesti slične izračune i dokazati da jednadžba ravnine ne ovisi o točki čije koordinate oduzimamo od ostalih točaka.

U gore razmatranom problemu koristili smo točku B 1 = (1, 0, 1), ali je bilo sasvim moguće uzeti C = (1, 1, 0) ili D 1 = (0, 1, 1). Općenito, svaka točka s poznatim koordinatama koja leži na željenoj ravnini.