Formula za zbroj geometrijskih progresija. Geometrijska progresija

Svrha sata: upoznati učenike s novom vrstom niza - beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom.
Zadaci:
formulacija početne ideje granice brojčanog niza;
upoznavanje s drugim načinom pretvaranja beskonačnih periodičnih razlomaka u obične pomoću formule za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije;
razvoj intelektualnih kvaliteta osobnosti učenika, kao što su logičko mišljenje, sposobnost evaluacijskih radnji, generalizacija;
odgoj aktivnosti, uzajamne pomoći, kolektivizma, interesa za predmet.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Povezana lekcija "Beskonačno opadajuća geometrijska progresija" (algebra, 10. razred)

Svrha lekcije: upoznavanje učenika s novom vrstom niza – beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom.

Zadaci:

formulacija početne ideje granice brojčanog niza; upoznavanje s drugim načinom pretvaranja beskonačnih periodičnih razlomaka u obične pomoću formule za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije;

razvoj intelektualnih kvaliteta osobnosti učenika, kao što su logičko mišljenje, sposobnost evaluacijskih radnji, generalizacija;

odgoj aktivnosti, uzajamne pomoći, kolektivizma, interesa za predmet.

Oprema: kompjuterska klasa, projektor, platno.

Vrsta lekcije: Lekcija – svladavanje nove teme.

Tijekom nastave

I. Org. trenutak. Poruka o temi i svrsi lekcije.

II. Ažuriranje znanja učenika.

U 9. razredu učili ste aritmetičku i geometrijsku progresiju.

Pitanja

1. Definicija aritmetičke progresije.

(Aritmetička progresija je niz u kojem svaki član,

Počevši od drugog, jednak je prethodnom članu, zbrojen istim brojem).

2. Formula n -ti član aritmetičke progresije

3. Formula za zbroj prvog n članovi aritmetičke progresije.

( ili )

4. Definicija geometrijske progresije.

(Geometrijska progresija je niz brojeva koji nisu nula,

Svaki član od kojeg je, počevši od drugog, jednak prethodnom članu, pomnoženom s

isti broj).

5. Formula n th član geometrijske progresije

6. Formula za zbroj prvog n članovi geometrijske progresije.

7. Koje formule još znaš?

(, gdje ; ;

; , )

Zadaci

1. Aritmetička progresija dana je formulom a n = 7 - 4n. Pronađite 10. (-33)

2. Aritmetička progresija a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 4. (4)

3. Aritmetička progresija a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 17. (-35)

4. Aritmetička progresija a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite S 17 . (-187)

5. Za geometrijsku progresijupronađite peti pojam.

6. Za geometrijsku progresiju nađi n-ti član.

7. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronađite b 4 . (4)

8. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronađite b 1 i q .

9. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronađite S 5 . (62)

III. Istraživanje nove teme(demonstracijska prezentacija).

Razmotrimo kvadrat sa stranicom jednakom 1. Nacrtajmo još jedan kvadrat čija je stranica polovica prvog kvadrata, zatim još jedan, čija je stranica polovica drugog, zatim sljedeći, i tako dalje. Svaki put je stranica novog kvadrata upola manja od prethodne.

Kao rezultat, dobili smo niz stranica kvadratatvoreći geometrijsku progresiju s nazivnikom.

I, što je vrlo važno, što više gradimo takvih kvadrata, to će biti manja stranica kvadrata. Na primjer ,

Oni. kako se broj n povećava, uvjeti progresije se približavaju nuli.

Uz pomoć ove slike može se razmotriti još jedan niz.

Na primjer, slijed površina kvadrata:

I, opet, ako n raste neograničeno, tada se područje proizvoljno približava nuli.

Razmotrimo još jedan primjer. Jednakostranični trokut sa stranicom od 1 cm. Konstruirajmo sljedeći trokut s vrhovima u središtima stranica 1. trokuta, prema teoremu o sredini trokuta - stranica 2. jednaka je polovici stranice prvog, stranica 3. je polovica stranice 2. itd. Opet dobivamo niz duljina stranica trokuta.

Na .

Ako uzmemo u obzir geometrijsku progresiju s negativnim nazivnikom.

Zatim, opet, sa sve većim brojem n uvjeti progresije približavaju se nuli.

Obratimo pažnju na nazivnike ovih nizova. Svugdje su nazivnici bili manji od 1 modula.

Možemo zaključiti: geometrijska progresija će biti beskonačno opadajuća ako je modul njezinog nazivnika manji od 1.

Prednji rad.

Definicija:

Za geometrijsku progresiju se kaže da je beskonačno opadajuća ako je modul njezinog nazivnika manji od jedan..

Uz pomoć definicije moguće je riješiti pitanje je li geometrijska progresija beskonačno opadajuća ili ne.

Zadatak

Je li niz beskonačno opadajuća geometrijska progresija ako je dan formulom:

Odluka:

Nađimo q.

; ; ; .

ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća.

b) ovaj niz nije beskonačno opadajuća geometrijska progresija.

Razmislite o kvadratu sa stranom jednakom 1. Podijelite ga na pola, jednu od polovica ponovno na pola, i tako dalje. površine svih rezultirajućih pravokutnika čine beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju:

Zbroj površina svih pravokutnika dobivenih na ovaj način bit će jednak površini 1. kvadrata i jednak 1.

Ali na lijevoj strani ove jednakosti nalazi se zbroj beskonačnog broja članova.

Razmotrimo zbroj prvih n članova.

Prema formuli za zbroj prvih n članova geometrijske progresije, jednak je.

Ako je n onda se povećava na neodređeno vrijeme

ili . Stoga, t.j. .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresijepostoji granica slijeda S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Na primjer, za napredovanje,

imamo

Kao

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresijemože se pronaći pomoću formule.

III. Refleksija i konsolidacija(izvršavanje zadataka).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Rezimirajući.

Koju ste sekvencu danas upoznali?

Definirajte beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju.

Kako dokazati da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća?

Navedite formulu za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

V. Domaća zadaća.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija stvorite Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Svatko bi trebao biti sposoban dosljedno razmišljati, suditi i pobijati pogrešne zaključke: fizičar i pjesnik, traktorist i kemičar. E.Kolman U matematici se ne treba sjećati formula, već procesa mišljenja. VP Ermakov Lakše je pronaći kvadrat kruga nego nadmudriti matematičara. Augustus de Morgan Koja bi znanost mogla biti plemenitija, vrijednija divljenja, korisnija čovječanstvu od matematike? Franklin

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija 10. razred

ja Aritmetičke i geometrijske progresije. Pitanja 1. Definicija aritmetičke progresije. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju. 2. Formula n-tog člana aritmetičke progresije. 3. Formula za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. 4. Definicija geometrijske progresije. Geometrijska progresija je niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s istim brojem 5. Formula n-tog člana geometrijske progresije. 6. Formula za zbroj prvih n članova geometrijske progresije.

II. Aritmetička progresija. Zadaci Aritmetička progresija dana je formulom a n = 7 – 4 n Nađi a 10 . (-33) 2. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 4. (4) 3. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 17. (-35) 4. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite S 17 . (-187)

II. Geometrijska progresija. Zadaci 5. Za geometrijsku progresiju pronađite peti član 6. Za geometrijsku progresiju pronađite n-ti član. 7. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2. Pronađite b 4 . (4) 8. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronađite b 1 i q . 9. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2. Pronađite S 5 . (62)

definicija: Za geometrijsku progresiju se kaže da je beskonačno opadajuća ako je modul njezinog nazivnika manji od jedan.

Zadatak №1 Je li niz beskonačno opadajuća geometrijska progresija, ako je zadan formulom: Rješenje: a) ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća. b) ovaj niz nije beskonačno opadajuća geometrijska progresija.

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije granica je niza S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Na primjer, za progresiju imamo Budući da se zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije može naći po formuli

Završetak zadataka Nađi zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije s prvim članom 3, drugim 0,3. 2. broj 13; broj 14; udžbenik, str. 138 3. broj 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. broj 19; broj 20.

Koju ste sekvencu danas upoznali? Definirajte beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako dokazati da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća? Navedite formulu za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Pitanja

Poznati poljski matematičar Hugo Steinghaus u šali tvrdi da postoji zakon koji je formuliran na sljedeći način: matematičar će to učiniti bolje. Naime, ako dvoje ljudi, od kojih je jedan matematičar, povjerite da rade bilo koji posao koji ne znaju, onda će rezultat uvijek biti sljedeći: matematičar će to učiniti bolje. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije, odnosno svaki se član razlikuje od prethodnog za q puta. (Pretpostavit ćemo da je q ≠ 1, inače je sve previše trivijalno). Lako je vidjeti da je opća formula n-tog člana geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; članovi s brojevima b n i b m razlikuju se za q n – m puta.

Već u starom Egiptu poznavali su ne samo aritmetičku, već i geometrijsku progresiju. Evo, na primjer, zadatka iz papirusa Rhind: “Sedam lica ima sedam mačaka; svaka mačka pojede sedam miševa, svaki miš jede sedam klasova, svaki klas može uzgojiti sedam mjera ječma. Koliki su brojevi u ovom nizu i njihov zbroj?

Riža. 1. Staregipatski problem geometrijske progresije

Taj se zadatak ponavljao mnogo puta s različitim varijacijama među drugim narodima u drugim vremenima. Na primjer, napisano u XIII stoljeću. "Knjiga abakusa" Leonarda iz Pize (Fibonacci) ima problem u kojem se na putu za Rim pojavljuje 7 starica (očito hodočasnica), od kojih svaka ima 7 mazgi, od kojih svaka ima 7 torbi, od kojih svaka sadrži 7 kruhova, od kojih svaki ima 7 noževa, od kojih je svaki u 7 korica. Problem postavlja pitanje koliko predmeta ima.

Zbroj prvih n članova geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Ova se formula može dokazati, na primjer, na sljedeći način: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Dodajmo broj b 1 q n na S n i dobijemo:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Stoga je S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), i dobivamo potrebnu formulu.

Već na jednoj od glinenih ploča starog Babilona, koja datira iz VI stoljeća. PRIJE KRISTA e., sadrži zbroj 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Istina, kao iu nizu drugih slučajeva, ne znamo gdje je ta činjenica bila poznata Babiloncima .

Brzi rast geometrijske progresije u brojnim kulturama, posebice u Indiji, više puta se koristi kao vizualni simbol neizmjernosti svemira. U poznatoj legendi o pojavi šaha, vladar daje njihovom izumitelju mogućnost da sam odabere nagradu, a on traži toliki broj zrna pšenice koji će se dobiti ako se jedno stavi na prvu ćeliju šahovske ploče. , dva na drugom, četiri na trećem, osam na četvrtom, itd., svaki put kada se broj udvostruči. Vladika je mislio da je to, najviše, nekoliko vreća, ali se pogriješio. Lako je vidjeti da je za sva 64 polja šahovske ploče izumitelj trebao dobiti (2 64 - 1) zrno, koje je izraženo kao 20-znamenkasti broj; čak i da je cijela površina Zemlje zasijana, trebalo bi najmanje 8 godina da se skupi potreban broj zrna. Ova legenda se ponekad tumači kao referenca na gotovo neograničene mogućnosti koje se kriju u igri šaha.

Lako je uočiti činjenicu da je ovaj broj stvarno 20-znamenkasti:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 = 1,6 10 19 (točniji izračun daje 1,84 10 19). Ali zanima me možete li saznati kojom znamenkom završava ovaj broj?

Geometrijska progresija raste ako je nazivnik veći od 1 u apsolutnoj vrijednosti, ili opada ako je manji od jedan. U potonjem slučaju, broj q n može postati proizvoljno mali za dovoljno veliko n. Dok rastući eksponencijal raste neočekivano brzo, opadajući eksponencijal opada jednako brzo.

Što je veći n, slabiji se broj q n razlikuje od nule, a zbroj n članova geometrijske progresije S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) bliži je broju S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tako je obrazložio, na primjer, F. Viet). Broj S naziva se zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Međutim, mnoga stoljeća matematičarima nije bilo dovoljno jasno pitanje što znači zbrajanje SVIH geometrijskih progresija, s njegovim beskonačnim brojem pojmova.

Opadajuća geometrijska progresija može se vidjeti, na primjer, u Zenonovim aporijama "Ugriz" i "Ahilej i kornjača". U prvom slučaju jasno je pokazano da je cijela cesta (pretpostavimo duljinu 1) zbroj beskonačnog broja segmenata 1/2, 1/4, 1/8 itd. Tako je, naravno, sa stajališta ideja o beskonačnoj geometrijskoj progresiji konačnog zbroja. Pa ipak – kako ovo može biti?

Riža. 2. Progresija s faktorom 1/2

U aporiji o Ahileju situacija je malo kompliciranija, jer ovdje nazivnik progresije nije jednak 1/2, već nekom drugom broju. Neka, na primjer, Ahilej trči brzinom v, kornjača se kreće brzinom u, a početna udaljenost između njih je l. Ahilej će pretrčati ovu udaljenost u vremenu l/v, a kornjača će se za to vrijeme pomaknuti za udaljenost lu/v. Kada Ahilej protrči kroz ovaj segment, udaljenost između njega i kornjače postat će jednaka l (u / v) 2, itd. Ispada da sustizanje kornjače znači pronaći zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije s prvim član l i nazivnik u / v. Ovaj zbroj - segment koji će Ahilej na kraju pretrčati do mjesta susreta s kornjačom - jednak je l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . No, opet, kako treba tumačiti ovaj rezultat i zašto uopće ima smisla, dugo nije bilo baš jasno.

Riža. 3. Geometrijska progresija s koeficijentom 2/3

Zbroj geometrijske progresije koristio je Arhimed kada je određivao površinu segmenta parabole. Neka je zadani segment parabole omeđen tetivom AB i neka je tangenta u točki D parabole paralelna s AB . Neka je C središte AB, E središte AC, F središte CB. Kroz točke A, E, F, B povucite prave paralelne s istosmjernom strujom; neka tangenta povučena u točki D , te se pravci sijeku u točkama K , L , M , N . Nacrtajmo i segmente AD i DB. Neka pravac EL siječe pravac AD u točki G, a parabola u točki H; pravac FM siječe pravac DB u točki Q, a parabolu u točki R. Prema općoj teoriji konusnih presjeka, DC je promjer parabole (odnosno segmenta paralelnog s njezinom osi); ona i tangenta u točki D mogu poslužiti kao koordinatne osi x i y, u kojima je jednadžba parabole napisana kao y 2 = 2px (x je udaljenost od D do bilo koje točke danog promjera, y je duljina a segment paralelan s danom tangentom od ove točke promjera do neke točke na samoj paraboli).

Na temelju jednadžbe parabole DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a budući da je DK = 2DL , onda je KA = 4LH . Budući da je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole jednaka je površini trokuta ΔADB i površinama segmenata AHD i DRB zajedno. Zauzvrat, površina AHD segmenta je na sličan način jednaka površini trokuta AHD i preostalih segmenata AH i HD, sa svakim od kojih se može izvesti ista operacija - podijeliti u trokut (Δ) i dva preostala segmenta (), itd.:

Površina trokuta ΔAHD jednaka je polovici površine trokuta ΔALD (imaju zajedničku bazu AD, a visine se razlikuju za 2 puta), što je, pak, jednako polovini površine trokut ΔAKD, a time i polovica površine trokuta ΔACD. Dakle, površina trokuta ΔAHD jednaka je četvrtini površine trokuta ΔACD. Isto tako, površina trokuta ΔDRB jednaka je četvrtini površine trokuta ΔDFB. Dakle, površine trokuta ∆AHD i ∆DRB, zajedno, jednake su četvrtini površine trokuta ∆ADB. Ponavljanje ove operacije primijenjene na segmente AH , HD , DR i RB također će od njih odabrati trokute čija će površina, zajedno, biti 4 puta manja od površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzeto zajedno, dakle 16 puta manje od površine trokuta ΔADB. itd:

Dakle, Arhimed je dokazao da je "svaki segment zatvoren između ravne crte i parabole četiri trećine trokuta, a sa sobom ima istu bazu i jednaku visinu."

Geometrijska progresija ništa manje važno u matematici nego u aritmetici. Geometrijska progresija je takav niz brojeva b1, b2,..., b[n] čiji se svaki sljedeći član dobije množenjem prethodnog s konstantnim brojem. Taj broj, koji također karakterizira stopu rasta ili smanjenja progresije, naziva se nazivnik geometrijske progresije i označiti

Za potpunu zadaću geometrijske progresije, osim nazivnika, potrebno je poznavati ili odrediti njezin prvi član. Za pozitivnu vrijednost nazivnika, progresija je monoton niz, a ako je ovaj niz brojeva monotono opadajući i monotono raste kada. Slučaj kada je nazivnik jednak jedan ne razmatra se u praksi, jer imamo niz identičnih brojeva, a njihovo zbrajanje nije od praktičnog interesa

Opći pojam geometrijske progresije izračunato prema formuli

Zbroj prvih n članova geometrijske progresije određena formulom

Razmotrimo rješenja klasičnih problema geometrijske progresije. Počnimo s najjednostavnijim za razumjeti.

Primjer 1. Prvi član geometrijske progresije je 27, a nazivnik mu je 1/3. Pronađite prvih šest članova geometrijske progresije.

Rješenje: Uvjet zadatka upisujemo u obrazac

Za izračune koristimo formulu za n-ti član geometrijske progresije

Na temelju njega nalazimo nepoznate članove progresije

Kao što vidite, izračunavanje uvjeta geometrijske progresije nije teško. Sama progresija će izgledati ovako

Primjer 2. Zadana su prva tri člana geometrijske progresije: 6; -12; 24. Pronađite nazivnik i sedmi član.

Rješenje: Nazivnik geometrijske progresije izračunavamo na temelju njezine definicije

Dobili smo izmjeničnu geometrijsku progresiju čiji je nazivnik -2. Sedmi član izračunava se po formuli

Na ovaj zadatak je riješen.

Primjer 3. Geometrijsku progresiju daju dva njezina člana . Pronađite deseti član progresije.

Odluka:

Zapišimo zadane vrijednosti kroz formule

Prema pravilima, bilo bi potrebno pronaći nazivnik, a zatim tražiti željenu vrijednost, ali za deseti član imamo

Ista formula se može dobiti na temelju jednostavnih manipulacija s ulaznim podacima. Šesti član serije podijelimo s drugim, kao rezultat dobijemo

Ako se dobivena vrijednost pomnoži sa šestim članom, dobivamo deseti

Dakle, za takve probleme, uz pomoć jednostavnih transformacija na brz način, možete pronaći pravo rješenje.

Primjer 4. Geometrijska progresija dana je rekurentnim formulama

Pronađite nazivnik geometrijske progresije i zbroj prvih šest članova.

Odluka:

Zadane podatke zapisujemo u obliku sustava jednadžbi

Izrazite nazivnik dijeljenjem druge jednadžbe s prvom

Pronađite prvi član progresije iz prve jednadžbe

Izračunajte sljedećih pet pojmova kako biste pronašli zbroj geometrijske progresije

Razmotrimo seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata točno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je napredak.

Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva čija je glavna značajka da se sljedeći broj dobiva od prethodnog množenjem s nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Razdoblje kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na temelju ove formule nazivnik progresije se može pronaći kako slijedi:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti s q.

Da biste specificirali ovu progresiju, morate navesti njezin prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih pojmova i njihov zbroj.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija je podijeljena u nekoliko tipova:

Ako su i 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se numerički niz može zapisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

Ako je |q| manje od jedan, to jest, množenje s njim je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.

Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji ga slijedi.

Znak-varijabla. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se slijed može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Za praktično korištenje geometrijskih progresija postoje mnoge formule:

Formula z-tog člana. Omogućuje vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.

Odluka:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Zbroj prvih elemenata čiji je broj z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednak 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.

Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunaj S 5 .

Odluka:S 5 = 22 - izračun po formuli.

Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Odluka:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neka svojstva:

karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet izvedena za bilo kojez, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdjetje udaljenost između ovih brojeva.

Elementirazlikuju se u qjednom.
Logaritmi elemenata progresije također tvore progresiju, ali već aritmetičku, odnosno svaki od njih je za određeni broj veći od prethodnog.

Primjeri nekih klasičnih problema

Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjem za 9. razred.

Uvjeti:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.

Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Potrebno je neke elemente izraziti kroz druge pomoću nazivnika.

Stoga,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

Uvjeti:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunaj S 6 .

Odluka:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , stoga,q= 2

a 2 = q a 1 ,Zato a 1 = 3

S 6 = 189

· a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

Klijent banke položio je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, prema kojem će klijent svake godine dodati 6% na glavnicu. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: Početni iznos je 10 tisuća rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja, račun će imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Sukladno tome, iznos na računu nakon sljedeće godine bit će izražen na sljedeći način:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je zadan prvim elementom jednakim 10 tisuća, a nazivnikom jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:

U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

Odluka:

Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbroj, morate znati elementa 1 i nazivnikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Razmotrimo sada pitanje zbrajanja beskonačne geometrijske progresije. Nazovimo djelomični zbroj dane beskonačne progresije zbrojem njegovih prvih članova. Djelomični zbroj označimo simbolom

Za svaku beskonačnu progresiju

može se sastaviti (također beskonačan) niz njegovih parcijalnih zbroja

Neka niz s neograničenim povećanjem ima granicu

U ovom slučaju, broj S, tj. granica parcijalnih zbroja progresije, naziva se zbroj beskonačne progresije. Dokazat ćemo da beskonačna opadajuća geometrijska progresija uvijek ima zbroj i izvući formulu za taj zbroj (također možemo pokazati da za beskonačnu progresiju nema zbroja, ne postoji).

Zapisujemo izraz za djelomični zbroj kao zbroj članova progresije prema formuli (91.1) i razmatramo granicu parcijalnog zbroja na

Iz teorema točke 89 poznato je da za opadajuću progresiju ; dakle, primjenom teorema granične razlike nalazimo

(ovdje se također koristi pravilo: konstantni faktor se izvlači iz predznaka granice). Dokazano je postojanje, a ujedno se dobiva formula za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije:

Jednakost (92.1) se također može napisati kao

Ovdje se može činiti paradoksalnim da je dobro definirana konačna vrijednost dodijeljena zbroju beskonačnog skupa pojmova.

Može se dati jasna ilustracija koja objašnjava ovu situaciju. Promotrimo kvadrat sa stranicom jednakom jedan (slika 72). Ovaj kvadrat podijelimo vodoravnom crtom na dva jednaka dijela i gornji dio nanesemo na donji tako da nastane pravokutnik sa stranicama 2 i . Nakon toga, desnu polovicu ovog pravokutnika ponovno podijelimo na pola vodoravnom linijom i pričvrstimo gornji dio na donji (kao što je prikazano na slici 72). Nastavljajući ovaj proces, konstantno pretvaramo izvorni kvadrat s površinom jednakom 1 u figure jednake veličine (u obliku stubišta s stanjivim stepenicama).

Beskonačnim nastavkom ovog procesa, cijela površina kvadrata razlaže se na beskonačan broj članova - površine pravokutnika s bazama jednakim 1 i visinama. Površine pravokutnika samo tvore beskonačno opadajuću progresiju, njegov zbroj

tj., kao što se i očekivalo, jednako je površini kvadrata.

Primjer. Pronađite zbrojeve sljedećih beskonačnih progresija:

Rješenje, a) Primjećujemo da ova progresija Dakle, formulom (92.2) nalazimo

b) Ovdje to znači da po istoj formuli (92.2) imamo

c) Nalazimo da ova progresija Dakle, ova progresija nema zbroj.

U 5. odjeljku prikazana je primjena formule za zbroj članova beskonačno opadajuće progresije na pretvorbu periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak.