Formula maksimalne jakosti struje u oscilatornom krugu. Oscilatorni krug

Elektromagnetno polje može postojati i u nedostatku električnih naboja ili struja: upravo takva „samoodrživa“ električna i magnetska polja predstavljaju Elektromagnetski valovi koji uključuju vidljivo svjetlo, infracrveno, ultraljubičasto i rendgensko zračenje, radio valovi itd.

§ 25. Oscilatorni krug

Najjednostavniji sustav u kojem su moguće prirodne elektromagnetske oscilacije je tzv. titrajni krug, koji se sastoji od kondenzatora i induktora međusobno povezanih (slika 157). Poput mehaničkog oscilatora, kao što je masivno tijelo na elastičnoj oprugi, prirodne oscilacije u krugu su praćene energetskim transformacijama.

Riža. 157. Oscilatorni krug

Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih oscilacija. Za oscilatorni krug, analog potencijalne energije mehaničkog oscilatora (na primjer, elastična energija deformirane opruge) je energija električnog polja u kondenzatoru. Analog kinetičke energije tijela koje se kreće je energija magnetsko polje u induktoru. Doista, energija opruge je proporcionalna kvadratu pomaka iz ravnotežnog položaja, a energija kondenzatora proporcionalna je kvadratu naboja. Kinetička energija tijela proporcionalna je kvadratu njegove brzine, a energija magnetskog polja u zavojnici proporcionalna je kvadratu struje.

Ukupna mehanička energija opružnog oscilatora E jednaka je zbroju potencijalne i kinetičke energije:

Energija vibracija. Slično, ukupna elektromagnetska energija oscilatornog kruga jednaka je zbroju energija električnog polja u kondenzatoru i magnetskog polja u zavojnici:

Iz usporedbe formula (1) i (2) proizlazi da je analog krutosti k opružnog oscilatora u oscilatornom krugu recipročna vrijednost kapacitivnosti C, a analog mase je induktivitet zavojnice.

Podsjetimo da se u mehaničkom sustavu čija je energija data izrazom (1) mogu pojaviti vlastite neprigušene harmonijske oscilacije. Kvadrat frekvencije takvih oscilacija jednak je omjeru koeficijenata na kvadratima pomaka i brzine u izrazu za energiju:

Vlastita frekvencija. U oscilatornom krugu čija je elektromagnetska energija dana izrazom (2) mogu nastati vlastite neprigušene harmonijske oscilacije čiji je kvadrat frekvencije također, očito, jednak omjeru odgovarajućih koeficijenata (tj. koeficijenata na kvadratima naboja i jakosti struje):

Iz (4) slijedi izraz za period osciliranja, nazvan Thomsonova formula:

Kod mehaničkih oscilacija, ovisnost pomaka x o vremenu određena je kosinusnom funkcijom, čiji se argument naziva faza osciliranja:

Amplituda i početna faza. Amplituda A i početna faza a određene su početnim uvjetima, tj. vrijednostima pomaka i brzine pri

Slično, s elektromagnetskim prirodnim oscilacijama u krugu, naboj kondenzatora ovisi o vremenu prema zakonu

gdje je frekvencija određena, u skladu s (4), samo osobinama samog strujnog kruga, a amplituda oscilacija naboja i početna faza a, kao u slučaju mehaničkog oscilatora, određuju se

početni uvjeti, tj. vrijednosti naboja kondenzatora i jakosti struje pri Dakle, prirodna frekvencija ne ovisi o načinu pobuđivanja titranja, dok su amplituda i početna faza određene upravo uvjetima pobude. .

Energetske transformacije. Razmotrimo detaljnije transformacije energije tijekom mehaničkih i elektromagnetskih oscilacija. Na sl. 158 shematski prikazuje stanja mehaničkih i elektromagnetskih oscilatora u vremenskim intervalima od četvrtine perioda

Riža. 158. Energetske transformacije tijekom mehaničkih i elektromagnetskih vibracija

Dva puta tijekom perioda titranja energija se pretvara iz jednog oblika u drugi i obrnuto. Ukupna energija oscilatornog kruga, kao i ukupna energija mehaničkog oscilatora, ostaje nepromijenjena u odsutnosti disipacije. Da bismo to provjerili, potrebno je izraz (6) za i izraz za snagu struje zamijeniti formulom (2)

Koristeći formulu (4) za dobivamo

Riža. 159. Grafovi energije električnog polja kondenzatora i energije magnetskog polja u zavojnici u funkciji vremena punjenja kondenzatora

Konstantna ukupna energija poklapa se s potencijalnom energijom u trenucima kada je naboj kondenzatora maksimalan, a poklapa se s energijom magnetskog polja zavojnice - "kinetičkom" energijom - u trenucima kada naboj kondenzatora nestane i struja je na svom maksimumu. Tijekom međusobnih transformacija dvije vrste energije stvaraju harmonijske oscilacije iste amplitude u protufazi jedna s drugom i s frekvencijom u odnosu na njihovu prosječnu vrijednost. To je lako provjeriti iz sl. 158, a uz pomoć formula trigonometrijske funkcije pola argumenta:

Grafovi ovisnosti energije električnog polja i energije magnetskog polja o vremenu punjenja kondenzatora prikazani su na sl. 159 za početnu fazu

Kvantitativne pravilnosti prirodnih elektromagnetskih oscilacija mogu se utvrditi izravno na temelju zakona za kvazistacionarne struje, bez pribjegavanja analogiji s mehaničkim titranjima.

Jednadžba za oscilacije u krugu. Razmotrimo najjednostavniji oscilatorni krug prikazan na Sl. 157. Prilikom zaobilaženja kruga, na primjer, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, zbroj napona na induktoru i kondenzatoru u tako zatvorenom serijskom krugu je nula:

Napon na kondenzatoru povezan je s nabojem ploče i kapacitivnošću S relacijom Napon na induktivitetu u svakom trenutku je jednak apsolutnoj vrijednosti i suprotnog predznaka EMF samoindukcija, pa je struja u krugu jednaka brzini promjene naboja kondenzatora:

Dobivamo sada izraz (10) poprima oblik

Prepišimo ovu jednadžbu drugačije, uvodeći po definiciji:

Jednadžba (12) se poklapa s jednadžbom harmonijske vibracije mehanički oscilator s vlastitom frekvencijom Rješenje takve jednadžbe je dano harmonijskom (sinusoidnom) funkcijom vremena (6) s proizvoljnim vrijednostima amplitude i početne faze a. Iz ovoga slijede svi gornji rezultati koji se tiču elektromagnetskih oscilacija u krugu.

Prigušenje elektromagnetskih oscilacija. Do sada smo raspravljali o vlastitim oscilacijama u idealiziranom mehaničkom sustavu i idealiziranom LC krugu. Idealizacija je bila zanemariti trenje u oscilatoru i električni otpor u krugu. Samo u tom slučaju sustav će biti konzervativan i energija oscilacija će biti očuvana.

Riža. 160. Oscilatorni krug s otporom

Obračun rasipanja energije oscilacija u krugu može se provesti na isti način kao što je to učinjeno u slučaju mehaničkog oscilatora s trenjem. Prisutnost električnog otpora zavojnice i spojnih žica neizbježno je povezana s oslobađanjem Joule topline. Kao i prije, ovaj otpor se može promatrati kao neovisni element u dijagram ožičenja oscilatornog kruga, smatrajući zavojnicu i žice idealnim (slika 160). Kada se razmatra kvazistacionarna struja u takvom krugu, u jednadžbi (10) potrebno je dodati napon na otporu

Zamjenom u dobivamo

Uvođenje notacije

prepisujemo jednadžbu (14) u obliku

Jednadžba (16) za ima potpuno isti oblik kao i jednadžba za vibracije mehaničkog oscilatora s

trenje proporcionalno brzini (viskozno trenje). Stoga, u prisutnosti električnog otpora u krugu, elektromagnetske oscilacije nastaju po istom zakonu kao i mehaničke oscilacije oscilatora s viskoznim trenjem.

Disipacija energije vibracija. Kao i kod mehaničkih vibracija, moguće je uspostaviti zakon opadanja energije prirodnih vibracija s vremenom primjenom Joule-Lenzovog zakona za izračunavanje oslobođene topline:

Kao rezultat toga, u slučaju malog prigušenja za vremenske intervale mnogo duže od razdoblja oscilacija, stopa smanjenja energije oscilacija pokazuje se proporcionalnom samoj energiji:

Rješenje jednadžbe (18) ima oblik

Energija prirodnih elektromagnetskih oscilacija u strujnom krugu s otporom opada eksponencijalno.

Energija oscilacija proporcionalna je kvadratu njihove amplitude. Za elektromagnetske oscilacije to slijedi, na primjer, iz (8). Stoga se amplituda prigušenih oscilacija, u skladu s (19), smanjuje prema zakonu

Životni vijek oscilacija. Kao što je vidljivo iz (20), amplituda oscilacija se smanjuje za faktor 1 u vremenu jednakom, bez obzira na početnu vrijednost amplitude. Ovo vrijeme x naziva se životnim vijekom oscilacija, iako, kao što može ako se vidi iz (20), oscilacije se formalno nastavljaju u nedogled. U stvarnosti, naravno, ima smisla govoriti o oscilacijama samo sve dok njihova amplituda prelazi karakterističnu vrijednost razine toplinske buke u danom krugu. Stoga, zapravo, oscilacije u krugu "žive" konačno vrijeme, koje, međutim, može biti nekoliko puta veće od gore uvedenog vijeka trajanja x.

Često je važno znati ne sam životni vijek oscilacija x, već broj potpunih oscilacija koje će se dogoditi u krugu tijekom tog vremena x. Ovaj broj pomnožen s naziva se faktor kvalitete kruga.

Strogo govoreći, prigušene oscilacije nisu periodične. Uz malo prigušenje, možemo uvjetno govoriti o periodu, koji se shvaća kao vremenski interval između dva

uzastopne maksimalne vrijednosti naboja kondenzatora (istog polariteta), ili maksimalne vrijednosti struje (jednog smjera).

Prigušenje oscilacija utječe na period, što dovodi do njegovog povećanja u usporedbi s idealiziranim slučajem bez prigušenja. Uz malo prigušenje, povećanje perioda osciliranja je vrlo neznatno. Međutim, s jakim prigušenjem možda uopće neće biti oscilacija: napunjeni kondenzator će se prazniti aperiodično, tj. bez promjene smjera struje u krugu. Tako će biti s tj. sa

Točno rješenje. Gore formulirani obrasci prigušenih oscilacija slijede iz točnog rješenja diferencijalne jednadžbe (16). Izravnom zamjenom može se potvrditi da ima oblik

gdje su proizvoljne konstante čije su vrijednosti određene iz početnih uvjeta. Za nisko prigušenje, kosinusni množitelj se može promatrati kao amplituda oscilacije koja se polagano mijenja.

Zadatak

Punjenje kondenzatora kroz induktor. U krugu, čiji je dijagram prikazan na sl. 161, naboj gornjeg kondenzatora je jednak, a donjeg nije napunjen. Trenutno je ključ zatvoren. Nađite vremensku ovisnost naboja gornjeg kondenzatora i struje u zavojnici.

Riža. 161. U početnom trenutku vremena napunjen je samo jedan kondenzator

Riža. 162. Naboji kondenzatora i struja u strujnom krugu nakon zatvaranja ključa

Riža. 163. Mehanička analogija za električni krug prikazan na sl. 162

Odluka. Nakon što je ključ zatvoren, u krugu se javljaju oscilacije: gornji kondenzator počinje se prazniti kroz zavojnicu, dok se puni donji; onda se sve događa u suprotnom smjeru. Neka je, na primjer, pri , gornja ploča kondenzatora pozitivno nabijena. Zatim

nakon kratkog vremena, predznaci naboja ploča kondenzatora i smjer struje bit će kao što je prikazano na sl. 162. Označimo nabojima one ploče gornjeg i donjeg kondenzatora, koje su međusobno povezane induktorom. Na temelju zakona o očuvanju električno punjenje

Zbroj naprezanja na svim elementima zatvorenog kruga u svakom trenutku je jednak nuli:

Predznak napona na kondenzatoru odgovara raspodjeli naboja na sl. 162. i naznačeni smjer struje. Izraz za struju kroz zavojnicu može se napisati u jednom od dva oblika:

Isključimo iz jednadžbe koristeći relacije (22) i (24):

Uvođenje notacije

prepisujemo (25) u sljedećem obliku:

Ako umjesto uvođenja funkcije

i uzeti u obzir da (27) ima oblik

Ovo je uobičajena jednadžba neprigušenih harmonijskih oscilacija, koja ima rješenje

gdje su i proizvoljne konstante.

Vraćajući se s funkcije, dobivamo sljedeći izraz za ovisnost o vremenu punjenja gornjeg kondenzatora:

Da bismo odredili konstante i a, uzimamo u obzir da u početnom trenutku naboj a struja Za jačinu struje iz (24) i (31) imamo

Budući da odavde slijedi da Zamjena sada u i uzimajući u obzir da dobivamo

Dakle, izrazi za naboj i jačinu struje su

Priroda oscilacija naboja i struje posebno dolazi do izražaja kada iste vrijednosti kapaciteti kondenzatora. U ovom slučaju

Naboj gornjeg kondenzatora oscilira s amplitudom od oko prosječne vrijednosti jednakom Polovici perioda titranja, smanjuje se s maksimalne vrijednosti u početnom trenutku na nulu, kada je cijeli naboj na donjem kondenzatoru.

Izraz (26) za frekvenciju titranja, naravno, mogao bi se odmah napisati, budući da su u krugu koji se razmatra kondenzatori spojeni serijski. Međutim, teško je izravno napisati izraze (34), budući da je u takvim početnim uvjetima nemoguće kondenzatore uključene u krug zamijeniti jednim ekvivalentnim.

Vizualni prikaz procesa koji se ovdje odvijaju daje mehanički analog ovog električnog kruga, prikazan na sl. 163. Identične opruge odgovaraju slučaju kondenzatora istog kapaciteta. U početnom trenutku je lijeva opruga stisnuta, što odgovara nabijenom kondenzatoru, a desna je u nedeformiranom stanju, budući da stupanj deformacije opruge služi kao analog naboja kondenzatora. Prilikom prolaska kroz srednji položaj obje opruge su djelomično stisnute, a u krajnjem desnom položaju lijeva opruga se ne deformira, a desna se stisne na isti način kao i lijeva u početnom trenutku, što odgovara potpuni tok naboja od jednog kondenzatora do drugog. Iako lopta izvodi uobičajene harmonijske oscilacije oko ravnotežnog položaja, deformacija svake od opruga opisana je funkcijom čija je prosječna vrijednost različita od nule.

Za razliku od oscilatornog kruga s jednim kondenzatorom, gdje tijekom oscilacija dolazi do njegovog ponavljajućeg punog punjenja, u razmatranom sustavu početno napunjen kondenzator nije potpuno napunjen. Na primjer, kada se njegov naboj smanji na nulu, a zatim se ponovno vrati u istom polaritetu. Inače se te oscilacije ne razlikuju od harmonijskih oscilacija u konvencionalnom krugu. Energija tih oscilacija je očuvana, ako se, naravno, može zanemariti otpor zavojnice i spojnih žica.

Objasnite zašto se iz usporedbe formula (1) i (2) za mehaničku i elektromagnetsku energiju zaključilo da je analog krutosti k, a analog mase induktivitet, a ne obrnuto.

Dajte opravdanje za izvođenje izraza (4) za vlastitu frekvenciju elektromagnetskih titranja u krugu iz analogije s mehaničkim opružnim oscilatorom.

Harmonične oscilacije u -krugu karakteriziraju amplituda, frekvencija, period, faza titranja, početna faza. Koje od ovih veličina određuju svojstva samog titrajnog kruga, a koje ovise o načinu pobuđivanja titranja?

Dokažite da su prosječne vrijednosti električne i magnetske energije tijekom prirodnih oscilacija u krugu jednake jedna drugoj i čine polovicu ukupne elektromagnetske energije titranja.

Kako primijeniti zakone kvazistacionarnih pojava u električnom krugu za izvođenje diferencijalne jednadžbe (12) za harmonijske oscilacije u -krugu?

Koju diferencijalnu jednadžbu zadovoljava struja u LC krugu?

Izvedi jednadžbu za brzinu smanjenja energije vibracija pri malom prigušenju na isti način kao što je to učinjeno za mehanički oscilator s trenjem proporcionalnim brzini i pokaži da se za vremenske intervale koji znatno premašuju period osciliranja, dolazi do tog smanjenja prema eksponencijalnom zakonu. Što znači izraz "malo prigušenje" koji se ovdje koristi?

Pokažite da funkcija zadana formulom (21) zadovoljava jednadžbu (16) za sve vrijednosti i a.

Razmotrimo mehanički sustav prikazan na sl. 163, te pronađite ovisnost o vremenu deformacije lijeve opruge i brzini masivnog tijela.

Petlja bez otpora s neizbježnim gubicima. U gore razmatranom problemu, unatoč ne sasvim uobičajenim početnim uvjetima za naboje na kondenzatorima, bilo je moguće primijeniti uobičajene jednadžbe za električne krugove, budući da su tu bili zadovoljeni uvjeti za kvazistacionarnost procesa koji se odvijaju. Ali u krugu, čiji je dijagram prikazan na Sl. 164, s formalnom vanjskom sličnošću s dijagramom na sl. 162, uvjeti kvazistacionarnosti nisu zadovoljeni ako je u početnom trenutku jedan kondenzator nabijen, a drugi nije.

Razmotrimo detaljnije razloge zbog kojih se ovdje krše uvjeti kvazistacionarnosti. Odmah nakon zatvaranja

Riža. 164. Električni krug za koji nisu ispunjeni uvjeti kvazistacionarnosti

Ključno je da se svi procesi odvijaju samo u međusobno povezanim kondenzatorima, budući da je povećanje struje kroz induktor relativno sporo i u početku se grananje struje u zavojnicu može zanemariti.

Kada je ključ zatvoren, dolazi do brzih prigušenih oscilacija u krugu koji se sastoji od kondenzatora i žica koje ih povezuju. Period takvih oscilacija je vrlo mali, budući da je induktivnost spojnih žica mala. Kao rezultat ovih oscilacija dolazi do preraspodjele naboja na pločama kondenzatora, nakon čega se dva kondenzatora mogu smatrati jednim. Ali u prvom trenutku to se ne može učiniti, jer uz preraspodjelu naboja dolazi i do preraspodjele energije, čiji dio prelazi u toplinu.

Nakon prigušenja brzih oscilacija u sustavu nastaju oscilacije, kao u strujnom krugu s jednim kondenzatorom kapacitivnosti, čiji je naboj u početnom trenutku jednak početnom naboju kondenzatora.Uvjet za valjanost gornjeg razmišljanja je malenost induktiviteta spojnih žica u usporedbi s induktivitetom svitka.

Kao iu razmatranom problemu, i ovdje je korisno pronaći mehaničku analogiju. Ako su tamo dvije opruge koje odgovaraju kondenzatorima bile smještene s obje strane masivnog tijela, ovdje se moraju nalaziti s jedne njegove strane, tako da se vibracije jedne od njih mogu prenijeti na drugu dok tijelo miruje. Umjesto dvije opruge, možete uzeti jednu, ali samo u početnom trenutku ona bi trebala biti nehomogeno deformirana.

Zgrabimo oprugu za sredinu i istegnemo njenu lijevu polovicu na neki razmak.Druga polovica opruge će ostati u nedeformiranom stanju, tako da se opterećenje u početnom trenutku pomakne iz ravnotežnog položaja udesno za udaljenost i odmara. Onda pustimo oprugu. Koje će značajke proizaći iz činjenice da je u početnom trenutku opruga nehomogeno deformirana? jer, kao što je lako vidjeti, krutost “polovine” opruge je Ako je masa opruge mala u usporedbi s masom kuglice, prirodna frekvencija opruge kao proširenog sustava je mnogo veća od frekvencija kuglice na oprugi. Ove "brze" oscilacije će izumrijeti u vremenu koje je mali djelić perioda oscilacija lopte. Nakon prigušenja brzih oscilacija, napetost u oprugi se preraspoređuje, a pomak tereta ostaje praktički isti, budući da se teret za to vrijeme nema vremena osjetno pomaknuti. Deformacija opruge postaje jednolika, a energija sustava jednaka je

Tako se uloga brzih oscilacija opruge svela na činjenicu da se rezerva energije sustava smanjila na vrijednost koja odgovara jednoličnoj početnoj deformaciji opruge. Jasno je da se daljnji procesi u sustavu ne razlikuju od slučaja homogene početne deformacije. Ovisnost pomaka opterećenja o vremenu izražava se istom formulom (36).

U razmatranom primjeru, kao rezultat brzih fluktuacija, pretvorio se u unutarnja energija(u toplinu) polovica početne opskrbe mehaničkom energijom. Jasno je da je podvrgavanjem početne deformacije ne pola, već proizvoljnom dijelu opruge moguće bilo koji djelić početne opskrbe mehaničke energije pretvoriti u unutarnju energiju. Ali u svim slučajevima, energija vibracija opterećenja na oprugu odgovara rezervi energije za istu jednoliku početnu deformaciju opruge.

U električnom krugu, kao rezultat prigušenih brzih oscilacija, energija nabijenog kondenzatora djelomično se oslobađa u obliku Joule topline u spojnim žicama. Uz jednake kapacitete, to će biti polovica početne rezerve energije. Druga polovica ostaje u obliku energije relativno sporih elektromagnetskih oscilacija u krugu koji se sastoji od zavojnice i dva kondenzatora C spojena paralelno, a

Dakle, u ovom sustavu je idealizacija u osnovi neprihvatljiva, u kojoj se zanemaruje disipacija energije titranja. Razlog tome je što su ovdje moguće brze oscilacije, bez utjecaja na prigušnice ili masivno tijelo u sličnom mehaničkom sustavu.

Oscilatorni krug s nelinearnim elementima. Proučavajući mehaničke vibracije, vidjeli smo da vibracije nipošto nisu uvijek harmonične. Harmonične vibracije su karakteristično svojstvo linearni sustavi, u kojem

povratna sila je proporcionalna odstupanju od ravnotežnog položaja, a potencijalna energija proporcionalna je kvadratu odstupanja. Pravi mehanički sustavi, u pravilu, ne posjeduju ova svojstva, a oscilacije u njima mogu se smatrati harmonijskim samo za mala odstupanja od ravnotežnog položaja.

U slučaju elektromagnetskih oscilacija u strujnom krugu može se steći dojam da je riječ o idealnim sustavima u kojima su oscilacije strogo harmonične. Međutim, to vrijedi samo dok se kapacitet kondenzatora i induktivnost svitka mogu smatrati konstantnim, tj. neovisnim o naboju i struji. Kondenzator s dielektrikom i zavojnica s jezgrom su, strogo govoreći, nelinearni elementi. Kada se kondenzator napuni feroelektrikom, tj. tvari čija dielektrična konstanta jako ovisi o primijenjenom električnom polju, kapacitet kondenzatora se više ne može smatrati konstantnim. Slično, induktivnost svitka s feromagnetskom jezgrom ovisi o jakosti struje, budući da feromagnet ima svojstvo magnetskog zasićenja.

Ako se u mehaničkim oscilatornim sustavima masa, u pravilu, može smatrati konstantnom, a nelinearnost nastaje samo zbog nelinearne prirode djelujuće sile, tada se u elektromagnetskom oscilatornom krugu nelinearnost može pojaviti i zbog kondenzatora (analogno elastičnom opruga) i zbog induktora (maseni analog).

Zašto je idealizacija neprimjenjiva za oscilatorni krug s dva paralelna kondenzatora (slika 164), u kojem se sustav smatra konzervativnim?

Zašto brze oscilacije dovode do disipacije energije titranja u krugu na sl. 164 se nije pojavio u krugu s dva serijska kondenzatora prikazana na sl. 162?

Koji razlozi mogu dovesti do nesinusoidnosti elektromagnetskih oscilacija u krugu?

Električni oscilatorni krug je sustav za pobuđivanje i održavanje elektromagnetskih oscilacija. U svom najjednostavnijem obliku, to je krug koji se sastoji od zavojnice s induktivitetom L, kondenzatora s kapacitetom C i otpornika s otporom R spojenih u seriju (slika 129). Kada je prekidač P postavljen na položaj 1, kondenzator C se puni na napon U t. U tom slučaju nastaje između ploča kondenzatora električno polje, čija je maksimalna energija jednaka

Kada se prekidač pomakne u položaj 2, krug se zatvara i u njemu se odvijaju sljedeći procesi. Kondenzator se počinje prazniti i struja teče kroz strujni krug i, čija vrijednost raste od nule do maksimalne vrijednosti a zatim se ponovno smanjuje na nulu. Budući da u krugu teče izmjenična struja, u zavojnici se inducira EMF, koji sprječava pražnjenje kondenzatora. Stoga se proces pražnjenja kondenzatora ne događa odmah, već postupno. Kao rezultat pojave struje u zavojnici nastaje magnetsko polje čija je energija
dostiže svoju maksimalnu vrijednost pri struji jednakoj . Maksimalna energija magnetskog polja bit će jednaka

Nakon postizanja maksimalne vrijednosti, struja u krugu će se početi smanjivati. U tom slučaju kondenzator će se ponovno napuniti, energija magnetskog polja u zavojnici će se smanjiti, a energija električnog polja u kondenzatoru će se povećati. Po dostizanju maksimalne vrijednosti. Proces će se početi ponavljati i u krugu će se pojaviti oscilacije električnih i magnetskih polja. Ako pretpostavimo da je otpor
(tj. ne troši se energija na grijanje), tada se prema zakonu održanja energije ukupna energija W ostaje konstantan

i
;
.

Krug u kojem nema gubitka energije naziva se idealnim. Napon i struja u strujnom krugu mijenjaju se prema harmonijskom zakonu

;

gdje - frekvencija kružnih (cikličkih) oscilacija
.

Kružna frekvencija povezana je s frekvencijom titranja i razdoblja fluktuacija T omjer.

H i sl. 130 prikazani su grafikoni napona U i struje I u svitku idealnog titrajnog kruga. Vidi se da jačina struje zaostaje u fazi s naponom .

;
;
- Thomsonova formula.

U slučaju da otpor
, Thomsonova formula poprima oblik

Osnove Maxwellove teorije

Maxwellova teorija je teorija jednog elektromagnetskog polja stvorenog proizvoljnim sustavom naboja i struja. U teoriji je riješen glavni problem elektrodinamike - prema zadanoj raspodjeli naboja i struja, pronalaze se karakteristike električnog i magnetskog polja koje oni stvaraju. Maxwellova teorija je generalizacija najvažnijih zakona koji opisuju električne i elektromagnetske pojave - Ostrogradsky-Gaussov teorem za električna i magnetska polja, zakon ukupne struje, zakon elektromagnetska indukcija te teoremi o kruženju vektora jakosti električnog polja. Maxwellova teorija je fenomenološke prirode, t.j. ne razmatra unutarnji mehanizam pojava koje se događaju u okolišu i uzrokujući pojavu električna i magnetska polja. U Maxwellovoj teoriji medij se opisuje pomoću tri karakteristike - dielektrične ε i magnetske μ propusnosti medija i električne vodljivosti γ.

Pod električnim oscilacijama podrazumijevaju se periodične promjene naboja, struje i napona. Najjednostavniji sustav u kojem su moguće slobodne električne oscilacije je tzv. titrajni krug. Ovo je uređaj koji se sastoji od kondenzatora i zavojnice međusobno povezanih. Pretpostavit ćemo da nema aktivnog otpora zavojnice, u ovom slučaju krug se naziva idealnim. Kada se energija prenese u ovaj sustav, u njemu će se pojaviti neprigušene harmonijske oscilacije naboja na kondenzatoru, napona i struje.

Moguće je informirati oscilatorni krug energije različiti putevi. Na primjer, punjenjem kondenzatora iz izvora istosmjerna struja odnosno uzbudne struje u induktoru. U prvom slučaju, električno polje između ploča kondenzatora posjeduje energiju. U drugom, energija je sadržana u magnetskom polju struje koja teče kroz strujni krug.

§1 Jednadžba titranja u krugu

Dokažimo da će se prilikom predaje energije krugu u njemu pojaviti neprigušene harmonijske oscilacije. Da biste to učinili, potrebno je dobiti diferencijalnu jednadžbu harmonijskih oscilacija oblika .

Pretpostavimo da je kondenzator napunjen i zatvoren za zavojnicu. Kondenzator će se početi prazniti, struja će teći kroz zavojnicu. Prema Kirchhoffovom drugom zakonu, zbroj padova napona duž zatvorenog kruga jednak je zbroju EMF-a u ovom krugu .

U našem slučaju pad napona je zato što je krug idealan. Kondenzator u krugu se ponaša kao izvor struje, razlika potencijala između ploča kondenzatora djeluje kao EMF, gdje je naboj na kondenzatoru, je kapacitet kondenzatora. Osim toga, kada promjenjiva struja teče kroz zavojnicu, u njemu nastaje EMF samoindukcije, gdje je induktivnost zavojnice, brzina promjene struje u zavojnici. Budući da EMF samoindukcije sprječava proces pražnjenja kondenzatora, drugi Kirchhoffov zakon ima oblik

Ali struja u krugu je struja pražnjenja ili punjenja kondenzatora, dakle. Zatim

Diferencijalna jednadžba se pretvara u oblik

Uvođenjem oznake dobivamo dobro poznatu diferencijalnu jednadžbu harmonijskih oscilacija.

To znači da će se naboj na kondenzatoru u oscilatornom krugu mijenjati prema harmonijskom zakonu

gdje je maksimalna vrijednost naboja na kondenzatoru, je ciklička frekvencija, je početna faza oscilacija.

Period oscilacije naboja . Ovaj izraz se zove Thompsonova formula.

Napon kondenzatora

Struja kruga

Vidimo da će se osim naboja na kondenzatoru, prema harmonijskom zakonu, mijenjati i struja u krugu i napon na kondenzatoru. Napon oscilira u fazi s nabojem, a struja je ispred naboja

faza uključena.

Energija električnog polja kondenzatora

Energija struje magnetskog polja

Tako se i energije električnog i magnetskog polja mijenjaju prema harmonijskom zakonu, ali s udvostručenom frekvencijom.

Rezimirati

Električne oscilacije treba shvatiti kao periodične promjene naboja, napona, jakosti struje, energije električnog polja, energije magnetskog polja. Ove oscilacije, poput mehaničkih, mogu biti i slobodne i prisilne, harmonijske i neharmonične. U idealnom titrajnom krugu moguće su slobodne harmonijske električne oscilacije.

§2 Procesi koji se odvijaju u oscilatornom krugu

Matematički smo dokazali postojanje slobodnih harmonijskih oscilacija u titrajnom krugu. Međutim, ostaje nejasno zašto je takav proces moguć. Što uzrokuje oscilacije u strujnom krugu?

U slučaju slobodnih mehaničkih vibracija pronađen je takav razlog - to jest unutarnja snaga, koji nastaje kada se sustav izvede iz ravnoteže. Ta je sila u svakom trenutku usmjerena na ravnotežni položaj i proporcionalna je koordinati tijela (sa predznakom minus). Pokušajmo pronaći sličan razlog za pojavu oscilacija u titrajnom krugu.

Neka se oscilacije u strujnom krugu pobuđuju punjenjem kondenzatora i zatvaranjem zavojnice.

U početnom trenutku vremena, naboj na kondenzatoru je maksimalan. Posljedično, napon i energija električnog polja kondenzatora također su maksimalni.

U krugu nema struje, energija magnetskog polja struje je nula.

Prva četvrtina razdoblja- pražnjenje kondenzatora.

Ploče kondenzatora, koje imaju različite potencijale, povezane su vodičem, pa se kondenzator počinje prazniti kroz zavojnicu. Naboj, napon na kondenzatoru i energija električnog polja se smanjuju.

Struja koja se pojavljuje u strujnom krugu raste, međutim, njezin rast sprječava EMF samoindukcije koji se javlja u zavojnici. Povećava se energija magnetskog polja struje.

Prošla je četvrtina- kondenzator je ispražnjen.

Kondenzator se ispraznio, napon na njemu postao je jednak nuli. Energija električnog polja u ovom trenutku također je jednaka nuli. Prema zakonu održanja energije, nije mogao nestati. Energija polja kondenzatora potpuno se pretvorila u energiju magnetskog polja zavojnice, koja u ovom trenutku dostiže svoju maksimalnu vrijednost. Maksimalna struja u krugu.

Čini se da bi u ovom trenutku struja u krugu trebala prestati, jer je uzrok struje, električno polje, nestao. Međutim, nestanak struje ponovno sprječava EMF samoindukcije u zavojnici. Sada će održavati opadajuću struju i nastavit će teći u istom smjeru, puneći kondenzator. Počinje druga četvrtina razdoblja.

Druga četvrtina razdoblja - Punjenje kondenzatora.

Struja koju podupire samoindukcijski EMF nastavlja teći u istom smjeru, postupno se smanjuje. Ova struja puni kondenzator u suprotnom polaritetu. Naboj i napon na kondenzatoru se povećavaju.

Energija magnetskog polja struje, smanjujući, prelazi u energiju električnog polja kondenzatora.

Prošla je druga četvrtina razdoblja - kondenzator se napunio.

Kondenzator se puni sve dok postoji struja. Stoga, u trenutku kada struja prestane, naboj i napon na kondenzatoru poprimaju maksimalnu vrijednost.

Energija magnetskog polja u ovom trenutku potpuno se pretvorila u energiju električnog polja kondenzatora.

Situacija u krugu u ovom trenutku je ekvivalentna izvornoj. Procesi u krugu će se ponoviti, ali u suprotnom smjeru. Jedna potpuna oscilacija u krugu, koja traje neko vrijeme, završit će kada se sustav vrati u prvobitno stanje, odnosno kada se kondenzator ponovno napuni u svom izvornom polaritetu.

Lako je vidjeti da je uzrok oscilacija u krugu fenomen samoindukcije. EMF samoindukcije sprječava promjenu struje: ne dopušta joj da se trenutno poveća i trenutno nestane.

Inače, ne bi bilo suvišno usporediti izraze za izračun kvazielastične sile u mehaničkom oscilatornom sustavu i EMF samoindukcije u krugu:

Ranije su dobivene diferencijalne jednadžbe za mehaničke i električne oscilatorne sustave:

Usprkos temeljne razlike fizičkih procesa mehaničkim i električnim oscilatornim sustavima jasno je vidljiv matematički identitet jednadžbi koje opisuju procese u tim sustavima. O tome bi trebalo detaljnije razgovarati.

§3 Analogija između električnih i mehaničkih vibracija

Pažljiva analiza diferencijalnih jednadžbi za opružni njihalo i titrajni krug, kao i formule koje povezuju veličine koje karakteriziraju procese u tim sustavima, omogućavaju identificiranje koje se veličine ponašaju na isti način (tablica 2).

Opružno njihalo	Oscilatorni krug
Koordinate tijela ()	Napunite kondenzator ()
brzina tijela	Struja petlje
Potencijalna energija elastično deformirane opruge	Energija električnog polja kondenzatora
Kinetička energija tereta	Energija magnetskog polja zavojnice sa strujom
Recipročna krutost opruge	Kapacitet kondenzatora
Težina opterećenja	Induktivnost svitka
Elastična sila	EMF samoindukcije, jednak naponu na kondenzatoru

tablica 2

Nije važna samo formalna sličnost između veličina koje opisuju procese njihanja i procesa u krugu. Sami procesi su identični!

Ekstremni položaji njihala su ekvivalentni stanju strujnog kruga kada je naboj na kondenzatoru maksimalan.

Ravnotežni položaj njihala je ekvivalentan stanju strujnog kruga kada se kondenzator isprazni. U ovom trenutku sila elastičnosti nestaje, a na kondenzatoru u krugu nema napona. Brzina njihala i struja u krugu su maksimalne. Potencijalna energija elastične deformacije opruge i energija električnog polja kondenzatora jednake su nuli. Energija sustava sastoji se od kinetičke energije tereta ili energije magnetskog polja struje.

Pražnjenje kondenzatora odvija se slično kretanju njihala od ekstremni položaj u položaj ravnoteže. Proces ponovnog punjenja kondenzatora identičan je postupku skidanja opterećenja iz ravnotežnog položaja u krajnji položaj.

Ukupna energija oscilatornog sustava ili ostaje nepromijenjen tijekom vremena.

Slična se analogija može pratiti ne samo između opružnog njihala i oscilatornog kruga. Opći obrasci slobodnih oscilacija bilo koje prirode! Ovi obrasci, ilustrirani primjerom dvaju oscilatornih sustava (opružnog njihala i oscilatornog kruga), ne samo da su mogući, već mora vidjeti u vibracijama bilo kojeg sustava.

U načelu je moguće riješiti problem bilo kojeg oscilatornog procesa zamjenom njihanjem njihala. Da biste to učinili, dovoljno je kompetentno izgraditi ekvivalentni mehanički sustav, riješiti mehanički problem i promijeniti vrijednosti u konačnom rezultatu. Na primjer, trebate pronaći period titranja u krugu koji sadrži kondenzator i dvije zavojnice spojene paralelno.

Oscilatorni krug sadrži jedan kondenzator i dvije zavojnice. Budući da se zavojnica ponaša kao težina opružnog njihala, a kondenzator poput opruge, ekvivalentni mehanički sustav mora sadržavati jednu oprugu i dva utega. Cijeli problem je kako su utezi pričvršćeni na oprugu. Moguća su dva slučaja: jedan kraj opruge je fiksiran, a jedan uteg je pričvršćen na slobodni kraj, drugi je na prvom ili su utezi pričvršćeni na različite krajeve opruge.

Na paralelna veza zavojnice različitih induktivnih struja kroz njih teku različite. Posljedično, brzine opterećenja u identičnom mehaničkom sustavu također moraju biti različite. Očito, to je moguće samo u drugom slučaju.

Već smo pronašli period ovog oscilatornog sustava. On je jednak . Zamijenivši mase utega induktivitetom zavojnica, a recipročnu krutost opruge kapacitetom kondenzatora, dobivamo .

§4 Oscilatorni krug s izvorom istosmjerne struje

Razmotrimo oscilatorni krug koji sadrži izvor istosmjerne struje. Neka kondenzator u početku nije napunjen. Što će se dogoditi u sustavu nakon što se ključ K zatvori? Hoće li se u tom slučaju uočiti oscilacije i kolika je njihova frekvencija i amplituda?

Očito, nakon što je ključ zatvoren, kondenzator će se početi puniti. Pišemo drugi Kirchhoffov zakon:

Dakle, struja u krugu je struja punjenja kondenzatora. Zatim . Diferencijalna jednadžba se pretvara u oblik

*Riješi jednadžbu promjenom varijabli.

Označimo . Diferencirati dvaput i, uzimajući u obzir da , Dobivamo . Diferencijalna jednadžba ima oblik

Ovo je diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija, njeno rješenje je funkcija

gdje je ciklička frekvencija, integracijske konstante i nalaze se iz početnih uvjeta.

Naboj na kondenzatoru se mijenja u skladu sa zakonom

Odmah nakon zatvaranja sklopke, naboj na kondenzatoru nula a u strujnom krugu nema struje . Uzimajući u obzir početne uvjete, dobivamo sustav jednadžbi:

Rješavajući sustav, dobivamo i . Nakon što je ključ zatvoren, naboj na kondenzatoru se mijenja u skladu sa zakonom.

Lako je vidjeti da se u krugu javljaju harmonijske oscilacije. Prisutnost izvora istosmjerne struje u krugu nije utjecala na frekvenciju titranja, ostala je jednaka. Promijenio se "ravnotežni položaj" - u trenutku kada je struja u krugu maksimalna, kondenzator se puni. Amplituda oscilacija naboja na kondenzatoru jednaka je Cε.

Isti rezultat može se dobiti jednostavnije korištenjem analogije između oscilacija u krugu i oscilacija opružnog njihala. DC izvor je ekvivalentan istosmjernoj polje sile, u kojem je postavljeno opružno njihalo, na primjer, gravitacijsko polje. Odsutnost naboja na kondenzatoru u trenutku zatvaranja kruga identična je odsutnosti deformacije opruge u trenutku dovođenja njihala u oscilatorno gibanje.

U stalnom polju sile period titranja opružnog njihala se ne mijenja. Period titranja u krugu se ponaša na isti način - ostaje nepromijenjen kada se u krug uvede izvor istosmjerne struje.

U ravnotežnom položaju, kada je brzina opterećenja maksimalna, opruga je deformirana:

Kada je struja u oscilatornom krugu maksimalna . Drugi Kirchhoffov zakon je napisan na sljedeći način

U ovom trenutku, naboj na kondenzatoru je jednak Isti rezultat može se dobiti na temelju izraza (*) zamjenom

§5 Primjeri rješavanja problema

Zadatak 1 Zakon očuvanja energije

L\u003d 0,5 μH i kondenzator s kapacitetom S= 20 pF dolazi do električnih oscilacija. Koliki je najveći napon na kondenzatoru ako je amplituda struje u krugu 1 mA? Aktivni otpor svitka je zanemariv.

Odluka:

(1)

2 U trenutku kada je napon na kondenzatoru maksimalan (maksimalni naboj na kondenzatoru), u strujnom krugu nema struje. Ukupna energija sustava sastoji se samo od energije električnog polja kondenzatora

(2)

3 U trenutku kada je struja u krugu maksimalna, kondenzator je potpuno ispražnjen. Ukupna energija sustava sastoji se samo od energije magnetskog polja zavojnice

(3)

4 Na temelju izraza (1), (2), (3) dobivamo jednakost . Maksimalni napon na kondenzatoru je

Zadatak 2 Zakon očuvanja energije

U oscilatornom krugu koji se sastoji od induktivnog svitka L i kondenzator S, javljaju se električne oscilacije s periodom T = 1 μs. Maksimalna vrijednost punjenja . Kolika je struja u strujnom krugu u trenutku kada je naboj na kondenzatoru jednak? Aktivni otpor svitka je zanemariv.

Odluka:

1 Budući da se aktivni otpor zavojnice može zanemariti, ukupna energija sustava, koja se sastoji od energije električnog polja kondenzatora i energije magnetskog polja zavojnice, ostaje nepromijenjena tijekom vremena:

(1)

2 U trenutku kada je naboj na kondenzatoru maksimalan, u strujnom krugu nema struje. Ukupna energija sustava sastoji se samo od energije električnog polja kondenzatora

(2)

3 Na temelju (1) i (2) dobivamo jednakost . Struja u strujnom kolu je .

4 Period titranja u krugu određen je Thomsonovom formulom. Odavde. Tada za struju u krugu dobivamo

Zadatak 3 Oscilatorni krug s dva paralelno spojena kondenzatora

U oscilatornom krugu koji se sastoji od induktivnog svitka L i kondenzator S, električne oscilacije se javljaju s amplitudom naboja. U trenutku kada je naboj na kondenzatoru maksimalan, ključ K je zatvoren. Koliki će biti period oscilacija u krugu nakon što se ključ zatvori? Kolika je amplituda struje u krugu nakon zatvaranja sklopke? Zanemarite omski otpor kruga.

Odluka:

1 Zatvaranje ključa dovodi do pojave u krugu drugog kondenzatora spojenog paralelno s prvim. Ukupni kapacitet dva paralelno spojena kondenzatora je .

Period oscilacija u krugu ovisi samo o njegovim parametrima i ne ovisi o tome kako su oscilacije pobuđene u sustavu i koja je energija za to prenesena u sustav. Prema Thomsonovoj formuli.

2 Da bismo pronašli amplitudu struje, otkrijmo koji se procesi događaju u krugu nakon što je ključ zatvoren.

Drugi kondenzator je spojen u trenutku kada je naboj na prvom kondenzatoru bio maksimalan, stoga u krugu nije bilo struje.

Kondenzator petlje trebao bi se početi prazniti. Struja pražnjenja, koja je stigla do čvora, treba podijeliti na dva dijela. Međutim, u grani sa zavojnicom nastaje EMF samoindukcije, što sprječava povećanje struje pražnjenja. Zbog toga će cijela struja pražnjenja teći u granu s kondenzatorom, čiji je omski otpor nula. Struja će prestati čim se naponi na kondenzatorima izjednače, dok se početni naboj kondenzatora preraspodijeli između dva kondenzatora. Vrijeme preraspodjele naboja između dva kondenzatora je zanemarivo zbog nepostojanja omskog otpora u granama kondenzatora. Tijekom tog vremena, struja u grani sa zavojnicom neće se imati vremena pojaviti. fluktuacije u novi sustav nastaviti nakon što se naboj preraspodijeli između kondenzatora.

Važno je razumjeti da se u procesu preraspodjele naboja između dva kondenzatora energija sustava ne čuva! Prije nego što je ključ zatvoren, jedan kondenzator, kondenzator petlje, imao je energiju:

Nakon što se naboj preraspodijeli, baterija kondenzatora posjeduje energiju:

Lako je vidjeti da se energija sustava smanjila!

3 Novu amplitudu struje pronalazimo koristeći zakon održanja energije. U procesu oscilacija, energija kondenzatorske banke pretvara se u energiju magnetskog polja struje:

Imajte na umu da zakon očuvanja energije počinje "raditi" tek nakon završetka preraspodjele naboja između kondenzatora.

Zadatak 4 Oscilatorni krug s dva kondenzatora spojena u nizu

Titrajni krug sastoji se od svitka s induktivitetom L i dva kondenzatora C i 4C spojena u seriju. Kondenzator kapaciteta C se puni na napon, kondenzator kapaciteta 4C se ne puni. Nakon što je ključ zatvoren, u krugu počinju oscilacije. Koliki je period tih oscilacija? Odredite amplitudu struje, maksimalne i minimalne vrijednosti napona na svakom kondenzatoru.

Odluka:

1 U trenutku kada je struja u krugu maksimalna, u zavojnici nema samoindukcijske EMF . Zapisujemo za sada drugi Kirchhoffov zakon

Vidimo da su u trenutku kada je struja u krugu maksimalna, kondenzatori napunjeni na isti napon, ali u suprotnom polaritetu:

2 Prije zatvaranja ključa, ukupna energija sustava sastojala se samo od energije električnog polja kondenzatora C:

U trenutku kada je struja u krugu maksimalna, energija sustava je zbroj energije magnetskog polja struje i energije dvaju kondenzatora nabijenih na isti napon:

Prema zakonu održanja energije

Da bismo pronašli napon na kondenzatorima, koristimo se zakonom održanja naboja - naboj donje ploče kondenzatora C djelomično je prešao na gornju ploču kondenzatora 4C:

Pronađenu vrijednost napona zamjenjujemo u zakon održanja energije i nalazimo amplitudu struje u krugu:

3 Nađimo granice unutar kojih se mijenja napon na kondenzatorima tijekom procesa titranja.

Jasno je da je u trenutku zatvaranja kruga na kondenzatoru C bio maksimalni napon. Kondenzator 4C nije bio napunjen, dakle, .

Nakon što se sklopka zatvori, kondenzator C se počinje prazniti, a kondenzator kapaciteta 4C počinje se puniti. Proces pražnjenja prvog i punjenja drugog kondenzatora završava čim prestane struja u krugu. To će se dogoditi za pola razdoblja. Prema zakonima održanja energije i električnog naboja:

Rješavajući sustav, nalazimo:

Znak minus znači da se nakon pola perioda kapacitivnost C puni obrnutim polaritetom od originala.

Zadatak 5 Oscilatorni krug s dvije serijski spojene zavojnice

Titrajni krug sastoji se od kondenzatora kapaciteta C i dvije zavojnice s induktivitetom L1 i L2. U trenutku kada struja u krugu dosegne svoju maksimalnu vrijednost, željezna jezgra se brzo uvodi u prvu zavojnicu (u usporedbi s periodom titranja), što dovodi do povećanja njezina induktiviteta za μ puta. Kolika je amplituda napona u procesu daljnjih oscilacija u krugu?

Odluka:

1 Brzim uvođenjem jezgre u zavojnicu, magnetski tok(fenomen elektromagnetske indukcije). Stoga će brza promjena induktiviteta jedne od zavojnica rezultirati brzom promjenom struje u krugu.

2 Tijekom uvođenja jezgre u zavojnicu, naboj na kondenzatoru se nije imao vremena promijeniti, ostao je nenapunjen (jezgra je uvedena u trenutku kada je struja u krugu bila maksimalna). Nakon četvrtine perioda, energija magnetskog polja struje će se pretvoriti u energiju nabijenog kondenzatora:

Zamijenite u rezultirajućem izrazu vrijednost struje ja i pronađite amplitudu napona na kondenzatoru:

Zadatak 6 Oscilatorni krug s dvije zavojnice spojene paralelno

Induktori L 1 i L 2 spojeni su preko ključeva K1 i K2 na kondenzator s kapacitetom C. U početnom trenutku oba ključa su otvorena, a kondenzator je napunjen do razlike potencijala. Prvo, ključ K1 je zatvoren i, kada napon na kondenzatoru postane jednak nuli, K2 je zatvoren. Odredite maksimalni napon na kondenzatoru nakon zatvaranja K2. Zanemarite otpore zavojnica.

Odluka:

1 Kada je ključ K2 otvoren, u krugu koji se sastoji od kondenzatora i prve zavojnice javljaju se oscilacije. Do trenutka kada je K2 zatvoren, energija kondenzatora prešla je u energiju magnetskog polja struje u prvoj zavojnici:

2 Nakon zatvaranja K2, u oscilatornom krugu pojavljuju se dvije paralelno spojene zavojnice.

Struja u prvom svitku ne može stati zbog fenomena samoindukcije. Na čvoru se dijeli: jedan dio struje ide u drugu zavojnicu, a drugi dio puni kondenzator.

3 Napon na kondenzatoru će postati maksimalan kada struja prestane ja kondenzator za punjenje. Očito je da će u ovom trenutku struje u zavojnicama biti jednake.

: Utezi su podložni istom modulu sile – oba su utega pričvršćena na oprugu Neposredno nakon zatvaranja K2, u prvoj zavojnici je postojala struja U početnom trenutku prvo opterećenje imalo je brzinu Odmah nakon zatvaranja K2, u drugom svitku nije bilo struje U početnom trenutku drugi teret je mirovao Koliki je maksimalni napon na kondenzatoru? Kolika je najveća elastična sila koja se javlja u oprugi tijekom titranja?

Njihalo se kreće naprijed brzinom središta mase i oscilira oko središta mase.

Sila elastičnosti je najveća u trenutku najveće deformacije opruge. Očito, u ovom trenutku relativna brzina utega postaje jednaka nuli, a u odnosu na tablicu, utezi se kreću brzinom središta mase. Zapisujemo zakon održanja energije:

Rješavanje sustava, nalazimo

Izrađujemo zamjenu

i dobiti za maksimalni napon prethodno pronađena vrijednost

§6 Zadaci za samostalno rješavanje

Vježba 1 Proračun perioda i frekvencije prirodnih titranja

1 Titrajni krug uključuje zavojnicu promjenjivog induktiviteta, koja varira unutar L1= 0,5 µH do L2\u003d 10 μH, i kondenzator, čiji kapacitet može varirati od Od 1= 10 pF do

Od 2\u003d 500 pF. Koji se frekvencijski raspon može pokriti ugađanjem ovog kruga?

2 Koliko će se puta promijeniti frekvencija vlastitih titranja u krugu ako se njegov induktivitet poveća 10 puta, a kapacitet smanji za 2,5 puta?

3 Oscilatorni krug s kondenzatorom od 1 uF podešen je na frekvenciju od 400 Hz. Ako paralelno s njim spojite drugi kondenzator, frekvencija titranja u krugu postaje jednaka 200 Hz. Odredite kapacitet drugog kondenzatora.

4 Titrajni krug sastoji se od zavojnice i kondenzatora. Koliko će se puta promijeniti frekvencija vlastitih oscilacija u krugu ako se u krug serijski spoji drugi kondenzator čiji je kapacitet 3 puta manji od kapaciteta prvog?

5 Odredite period osciliranja kruga, koji uključuje zavojnicu (bez jezgre) duljine u= 50 cm m površina presjeka

S\u003d 3 cm 2, imajući N\u003d 1000 zavoja i kondenzator kapaciteta S= 0,5 uF.

6 Oscilatorni krug uključuje induktor L\u003d 1,0 μH i zračni kondenzator, čija površina ploča S\u003d 100 cm 2. Krug je podešen na frekvenciju od 30 MHz. Odredite udaljenost između ploča. Aktivni otpor kruga je zanemariv.

ELEKTROMAGNETSKE OSCILACIJE I VALOVI

§1 Oscilatorni krug.

Prirodne vibracije u oscilatornom krugu.

Thomsonova formula.

Prigušene i prisilne oscilacije u c.c.

Slobodne vibracije u c.c.

Oscilatorni krug (c.c.) je krug koji se sastoji od kondenzatora i induktora. Pod određenim uvjetima u k.c. mogu se pojaviti elektromagnetske fluktuacije naboja, struje, napona i energije.

Razmotrimo krug prikazan na slici 2. Ako stavite ključ u položaj 1, tada će se kondenzator napuniti i na njegovim pločama će se pojaviti nabojP i napetost U C. Ako zatim okrenete ključ u položaj 2, kondenzator će se početi prazniti, struja će teći u krugu, dok će se energija električnog polja zatvorenog između ploča kondenzatora pretvoriti u energiju magnetskog polja koncentriranu u induktoru.L. Prisutnost induktora dovodi do činjenice da se struja u krugu ne povećava trenutno, već postupno zbog fenomena samoindukcije. Kako se kondenzator prazni, naboj na njegovim pločama će se smanjiti, struja u krugu će se povećati. Maksimalna vrijednost struje petlje će doseći kada je naboj na pločama jednak nuli. Od ovog trenutka, struja petlje će se početi smanjivati, ali će se, zbog fenomena samoindukcije, održavati magnetskim poljem induktora, t.j. kada se kondenzator potpuno isprazni, energija magnetskog polja pohranjena u induktoru počet će se pretvarati u energiju električnog polja. Zbog struje petlje, kondenzator će se početi puniti i na njegovim pločama će se početi nakupljati naboj suprotan izvornom. Kondenzator će se puniti sve dok se sva energija magnetskog polja induktora ne pretvori u energiju električnog polja kondenzatora. Tada će se proces ponoviti u suprotnom smjeru i tako će se u krugu pojaviti elektromagnetske oscilacije.

Zapišimo 2. Kirchhoffov zakon za razmatrani k.k.,

Diferencijalna jednadžba k.k.

Dobili smo diferencijalnu jednadžbu za oscilacije naboja u c.c. Ova je jednadžba slična diferencijalnoj jednadžbi koja opisuje gibanje tijela pod djelovanjem kvazielastične sile. Stoga će rješenje ove jednadžbe biti napisano na sličan način

Jednadžba fluktuacije naboja u c.c.

Jednadžba fluktuacija napona na pločama kondenzatora u c.c.

Jednadžba strujnih kolebanja u k.k.

Prigušene oscilacije u QC

Zamislite C.C. koji sadrži kapacitet, induktivitet i otpor. Kirchhoffov 2. zakon u ovom slučaju bit će napisan u obliku

- faktor prigušenja,

Vlastita ciklička frekvencija.

- - diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija u c.c.

Jednadžba prigušenih oscilacija naboja u c.c.

Zakon promjene amplitude naboja tijekom prigušenih oscilacija u c.c.;

Period prigušenih oscilacija.

Smanjenje slabljenja.

- logaritamski dekrement prigušenja.

Dobrota sklopa.

Ako je prigušenje slabo, onda T ≈T 0

Istražujemo promjenu napona na pločama kondenzatora.

Promjena struje je van faze za φ od napona.

pri - moguće su prigušene oscilacije,

na - kritična situacija

kravata. R > RDo- ne dolazi do fluktuacija (aperiodično pražnjenje kondenzatora).

Elektromagnetske vibracije su periodične promjene tijekom vremena u električnim i magnetske veličine u električnom krugu.

besplatno nazivaju se takvima fluktuacije, koji nastaju u zatvorenom sustavu zbog odstupanja ovog sustava od stanja stabilne ravnoteže.

Tijekom oscilacija odvija se kontinuirani proces transformacije energije sustava iz jednog oblika u drugi. U slučaju oklijevanja elektromagnetsko polje razmjena se može odvijati samo između električne i magnetske komponente ovog polja. Najjednostavniji sustav u kojem se ovaj proces može odvijati je oscilatorni krug.

Idealan oscilatorni krug (LC krug) - električni krug koji se sastoji od induktivnog svitka L i kondenzator C.

Za razliku od pravog oscilatornog kruga, koji ima električni otpor R, električni otpor idealna kontura je uvijek nula. Stoga je idealni oscilatorni krug pojednostavljeni model stvarnog kruga.

Na slici 1 prikazan je dijagram idealnog oscilatornog kruga.

Energija kruga

Ukupna energija oscilatornog kruga

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Gdje Mi- energija električnog polja titrajnog kruga u ovaj trenutak vrijeme S je kapacitet kondenzatora, u- vrijednost napona na kondenzatoru u datom trenutku, q- vrijednost naboja kondenzatora u datom trenutku, Wm- energija magnetskog polja titrajnog kruga u datom trenutku, L- induktivnost zavojnice, i- vrijednost struje u zavojnici u datom trenutku.

Procesi u oscilatornom krugu

Razmotrimo procese koji se događaju u oscilatornom krugu.

Da bismo sklop uklonili iz ravnotežnog položaja, kondenzator punimo tako da na njegovim pločama postoji naboj Qm(Sl. 2, položaj 1 ). Uzimajući u obzir jednadžbu \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) nalazimo vrijednost napona na kondenzatoru. U ovom trenutku u krugu nema struje, t.j. i = 0.

Nakon što je ključ zatvoren, pod djelovanjem električnog polja kondenzatora u krugu, struja, jačina struje i koji će se vremenom povećavati. Kondenzator će se u ovom trenutku početi prazniti, jer. elektroni koji stvaraju struju (podsjećam da se smjer kretanja pozitivnih naboja uzima kao smjer struje) napuštaju negativnu ploču kondenzatora i dolaze na pozitivnu (vidi sl. 2, položaj 2 ). Zajedno s naplatom q napetost će se smanjiti u\(\lijevo(u = \dfrac(q)(C) \desno).\) Kako jačina struje raste, kroz zavojnicu će se pojaviti emf samoindukcije, sprječavajući promjenu jačine struje. Kao rezultat toga, jačina struje u oscilatornom krugu će se povećati od nule do određene maksimalne vrijednosti ne odmah, već tijekom određenog vremenskog razdoblja, određenog induktivnošću zavojnice.

Naboj kondenzatora q smanjuje se i u nekom trenutku postaje jednak nuli ( q = 0, u= 0), struja u zavojnici će dosegnuti određenu vrijednost ja sam(vidi sl. 2, položaj 3 ).

Bez električnog polja kondenzatora (i otpora), elektroni koji stvaraju struju nastavljaju se kretati po inerciji. U ovom slučaju, elektroni koji dolaze do neutralne ploče kondenzatora daju joj negativan naboj, a elektroni koji napuštaju neutralnu ploču daju joj pozitivan naboj. Kondenzator se počinje puniti q(i napon u), ali suprotnog predznaka, t.j. kondenzator se puni. Sada novo električno polje kondenzatora sprječava kretanje elektrona, pa struja i počinje opadati (vidi sliku 2, položaj 4 ). Opet, to se ne događa odmah, jer sada EMF samoindukcije nastoji nadoknaditi smanjenje struje i "podržava" ga. I vrijednost struje ja sam(trudna 3 ) ispada maksimalna struja u konturi.

I opet, pod djelovanjem električnog polja kondenzatora, u krugu će se pojaviti električna struja, ali usmjerena u suprotnom smjeru, jakosti struje i koji će se vremenom povećavati. I kondenzator će se u tom trenutku isprazniti (vidi sliku 2, položaj 6 ) na nulu (vidi sliku 2, položaj 7 ). itd.

Budući da je naboj na kondenzatoru q(i napon u) određuje njegovu energiju električnog polja Mi\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \desno),\) i struja u zavojnici i- energija magnetskog polja wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \desno),\) tada će se zajedno s promjenama naboja, napona i struje mijenjati i energije.

Oznake u tablici:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Ukupna energija idealnog oscilatornog kruga održava se tijekom vremena, budući da u njemu dolazi do gubitka energije (nema otpora). Zatim

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Dakle, idealno LC- krug će doživjeti periodične promjene u vrijednostima jakosti struje i, naboj q i stres u, a ukupna energija kruga će ostati konstantna. U ovom slučaju kažemo da postoje slobodne elektromagnetske oscilacije.

Slobodne elektromagnetske oscilacije u krugu - to su periodične promjene naboja na pločama kondenzatora, jakosti struje i napona u krugu, koje se javljaju bez trošenja energije iz vanjskih izvora.

Dakle, pojava slobodnih elektromagnetskih oscilacija u krugu je posljedica ponovnog punjenja kondenzatora i pojave EMF-a samoindukcije u zavojnici, koja "osigurava" ovo ponovno punjenje. Imajte na umu da je naboj na kondenzatoru q i struja u zavojnici i dostižu svoje maksimalne vrijednosti Qm i ja sam u raznim vremenskim trenucima.

Slobodne elektromagnetske oscilacije u krugu nastaju prema harmonijskom zakonu:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \desno), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \desno), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \desno).\)

Najmanji vremenski period tijekom kojeg LC- krug se vraća u prvobitno stanje (na početnu vrijednost naboja ove obloge), naziva se period slobodnih (prirodnih) elektromagnetskih oscilacija u krugu.

Period slobodnih elektromagnetskih oscilacija u LC-kontura je određena Thomsonovom formulom:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Sa stajališta mehaničke analogije, opružno njihalo bez trenja odgovara idealnom oscilatornom krugu, a stvarnom - s trenjem. Zbog djelovanja sila trenja, oscilacije opružnog njihala s vremenom se gube.

*Izvođenje Thomsonove formule

Budući da ukupna energija ideala LC-kontura, jednaka zbroju energija elektrostatičko polje kondenzator i magnetsko polje zavojnice je očuvano, tada u svakom trenutku jednakost

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Dobivamo jednadžbu oscilacija u LC-krug, koristeći zakon održanja energije. Razlikovanje izraza za njegovu ukupnu energiju s obzirom na vrijeme, uzimajući u obzir činjenicu da

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

dobivamo jednadžbu koja opisuje slobodne oscilacije u idealnom krugu:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \desno)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Prepisujući ga kao:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

imajte na umu da je ovo jednadžba harmonijskih oscilacija s cikličkom frekvencijom

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Sukladno tome, razdoblje razmatranih oscilacija

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Književnost

Zhilko, V.V. Fizika: udžbenik. dodatak za 11. razred općeg obrazovanja. škola iz ruskog lang. obuka / V.V. Zhilko, L.G. Marković. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.