Rješavanje i rješavanje kvadratnih jednadžbi. Kvadratne jednadžbe

U nastavku teme “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.

Razmotrimo sve potanko: bit i zapis kvadratne jednadžbe, postavimo povezane pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznamo se s formulom korijena i diskriminanta, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata i naravno dat ćemo vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njezine vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba zapisana kao a x 2 + b x + c = 0, gdje x– varijabla, a, b i c su neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, budući da je kvadratna jednadžba zapravo algebarska jednadžba drugog stupnja.

Navedimo primjer da ilustriramo danu definiciju: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, a c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najveći koeficijent je 6 , drugi koeficijent je − 2 , a slobodni pojam je jednak − 11 . Obratimo pažnju na činjenicu da kada se koeficijenti b i/ili c su negativni, tada se koristi skraćeni oblik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako su koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , onda možda neće sudjelovati izričito u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava posebnostima pisanja naznačenih brojčanih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 viši koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne se jednadžbe dijele na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba gdje je vodeći koeficijent 1 . Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta kvadratna jednadžba nije redukovana.

Evo nekoliko primjera: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, u svakoj od kojih je vodeći koeficijent 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem oba njezina dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba imat će iste korijene kao zadana nereducirana jednadžba ili će također uopće imati korijene.

Razmatranje konkretnog primjera omogućit će nam da jasno demonstriramo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer 1

S obzirom na jednadžbu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Izvornu jednadžbu potrebno je pretvoriti u reducirani oblik.

Odluka

Prema gornjoj shemi, oba dijela izvorne jednadžbe dijelimo vodećim koeficijentom 6 . Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to precizirali a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bila točno kvadratna, budući da a = 0 u biti se pretvara u linearnu jednadžbu b x + c = 0.

U slučaju kada su koeficijenti b i c su jednake nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpuna.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b i c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj svi brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se tipovima kvadratnih jednadžbi daju upravo takva imena.

Za b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto kao a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba je zapisana kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 i c = 0 jednadžba će poprimiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s varijablom x, ni slobodni član, niti oboje odjednom. Zapravo, ova činjenica je dala naziv ovoj vrsti jednadžbi - nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, koeficijenti odgovaraju takvoj jednadžbi b = 0 i c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 za c = 0 .

Razmotrimo sukcesivno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 \u003d 0

Kao što je već spomenuto, takva jednadžba odgovara koeficijentima b i c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x2 = 0, što dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x2 = 0 je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema druge korijene, što se objašnjava svojstvima stupnja: za bilo koji broj p , nije jednako nuli, nejednakost je istinita p2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p2 = 0 nikada neće biti dostignut.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0, postoji jedinstveni korijen x=0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x2 = 0, njegov jedini korijen je x=0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Rješenje je sažeto kako slijedi:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Rješenje jednadžbe a x 2 + c \u003d 0

Sljedeće na redu je rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b \u003d 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu prijenosom člana s jedne strane jednadžbe na drugu, mijenjanjem predznaka u suprotan i dijeljenjem obje strane jednadžbe brojem koji nije jednak nuli:

• izdržati c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe sa a, dobivamo kao rezultat x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje zaključak o korijenima jednadžbe. Od čega su vrijednosti a i c ovisi o vrijednosti izraza - c a: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 i c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = -2 i c=6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); nije jednako nuli jer c ≠ 0. Zaustavimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: zapamtite kvadratni korijen i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a biti broj - c a, budući da - c a 2 \u003d - c a. Lako je razumjeti da je broj - - c a - također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a .

Jednadžba neće imati druge korijene. To možemo pokazati koristeći suprotnu metodu. Prvo, postavimo oznaku gore pronađenih korijena kao x 1 i − x 1. Pretpostavimo da jednadžba x 2 = - c a također ima korijen x2, što se razlikuje od korijena x 1 i − x 1. Znamo da zamjenom u jednadžbu umjesto x njezinih korijena, transformiramo jednadžbu u poštenu brojčanu jednakost.

Za x 1 i − x 1 zapiši: x 1 2 = - c a , i za x2- x 2 2 \u003d - c a. Na temelju svojstava brojčanih jednakosti, oduzimamo jednu pravu jednakost od drugog člana po član, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Upotrijebite svojstva brojčanih operacija da prepišete posljednju jednakost kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizlazi da x1 − x2 = 0 i/ili x1 + x2 = 0, što je isto x2 = x1 i/ili x 2 = − x 1. Nastala je očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x2 razlikuje od x 1 i − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema drugih korijena osim x = - c a i x = - - c a .

Sažimamo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a , koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a kada je - c a > 0 .

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 . Potrebno je pronaći njegovo rješenje.

Odluka

Prenosimo slobodni član na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 \u003d - 7.
Obje strane rezultirajuće jednadžbe dijelimo sa 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: data jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijene.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Potrebno je riješiti jednadžbu − x2 + 36 = 0.

Odluka

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x2 = 36. Na desnoj strani je pozitivan broj, iz čega to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36 .
Izvlačimo korijen i zapisujemo konačni rezultat: nepotpunu kvadratnu jednadžbu − x2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = -6.

Odgovor: x=6 ili x = -6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristimo metodu faktorizacije. Faktorizirajmo polinom, koji se nalazi na lijevoj strani jednadžbe, vadeći zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, zauzvrat, ekvivalentna skupu jednadžbi x=0 i a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearni, i njegov korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x=0 i x = − b a.

Konsolidirajmo gradivo na primjeru.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Odluka

Izvadimo x izvan zagrada i dobivamo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sada biste trebali riješiti rezultirajuću linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Ukratko, zapisujemo rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja za kvadratne jednadžbe postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c je takozvani diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x \u003d - b ± D 2 a u biti znači da x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bit će korisno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Izvršimo niz ekvivalentnih transformacija:

• podijelite obje strane jednadžbe brojem a, različito od nule, dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• odaberite puni kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• na kraju transformiramo izraz napisan na desnoj strani zadnje jednakosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dakle, došli smo do jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

O rješenju takvih jednadžbi raspravljali smo u prethodnim odlomcima (rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje da se izvede zaključak o korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• za b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba ima oblik x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je jedini korijen x = - b 2 · a očit;

• za b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, ispravan je: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , što je isto kao x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.j. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · 2 napisano na desnoj strani. A predznak ovog izraza je dat znakom brojnika (nazivnik 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno znak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminant kvadratne jednadžbe i slovo D definira se kao njezina oznaka. Ovdje možete zapisati bit diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku zaključuju hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako ima, koliko korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepišimo ga koristeći diskriminantni zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Rezimirajmo zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravi korijen;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na temelju svojstava radikala, ovi korijeni se mogu napisati kao: x \u003d - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A kada otvorimo module i smanjimo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminanta D izračunato po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju, kada je diskriminant veći od nule, određivanje oba stvarna korijena. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom da izvučemo kvadratni korijen negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. Uz negativan diskriminant, kvadratna jednadžba neće imati realne korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određen istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Kvadratnu jednadžbu moguće je riješiti odmah koristeći formulu korijena, ali u osnovi se to radi kada je potrebno pronaći kompleksne korijene.

U većini slučajeva traženje obično nije za kompleksne, već za stvarne korijene kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminant i uvjeriti se da nije negativan (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim nastaviti računati vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći vrijednost diskriminanta;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0 pronađite jedini korijen jednadžbe po formuli x = - b 2 · a ;
• za D > 0, odrediti dva realna korijena kvadratne jednadžbe formulom x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a , dat će isti rezultat kao i formula x = - b 2 · a .

Razmotrite primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Predstavljamo rješenja primjera za različite vrijednosti diskriminanta.

Primjer 6

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x - 6 = 0.

Odluka

Zapisujemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Zatim postupamo prema algoritmu, tj. Počnimo s izračunavanjem diskriminanta, za koji zamjenjujemo koeficijente a , b i c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobili smo D > 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva realna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo formulu korijena x \u003d - b ± D 2 · a i, zamjenom odgovarajućih vrijednosti, dobivamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Dobiveni izraz pojednostavljujemo tako da faktor izvučemo iz predznaka korijena, nakon čega slijedi smanjenje razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Odluka

Definirajmo diskriminanta: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminanta, izvorna jednadžba imat će samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odgovor: x = 3, 5.

Primjer 8

Potrebno je riješiti jednadžbu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Odluka

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5 , b = 6 i c = 2 . Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunati diskriminant je negativan, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

U slučaju kada je zadatak naznačiti kompleksne korijene, primjenjujemo formulu korijena izvodeći operacije sa kompleksnim brojevima:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ili x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ili x = - 3 5 - 1 5 i .

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

U školskom kurikulumu kao standardu ne postoji zahtjev za traženjem složenih korijena, stoga, ako je diskriminanta tijekom rješavanja definirana kao negativna, odmah se bilježi odgovor da pravih korijena nema.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Korijenska formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja vam omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom na x (ili s koeficijentom oblika 2 a n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako se ova formula izvodi.

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom da pronađemo rješenje kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Postupamo prema algoritmu: odredimo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a zatim koristimo formulu korijena:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a c bude označen kao D 1 (ponekad se označava kao D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n poprimiti oblik:

x \u003d - n ± D 1 a, gdje je D 1 \u003d n 2 - a c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1 ili D 1 = D 4 . Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminanta. Očito je da je predznak D 1 isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 može poslužiti i kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bismo pronašli rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom od 2 n, potrebno je:

• naći D 1 = n 2 − a c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• za D 1 = 0 odredimo jedini korijen jednadžbe po formuli x = - n a ;
• za D 1 > 0, odredimo dva realna korijena koristeći formulu x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Odluka

Drugi koeficijent zadane jednadžbe može se predstaviti kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdje je a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Izračunajmo četvrti dio diskriminanta: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Definiramo ih odgovarajućom formulom korijena:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe provodi množenjem ili dijeljenjem njezina oba dijela određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobivenu dijeljenjem oba njezina dijela sa 100.

Takva je transformacija moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu relativno prosti brojevi. Tada se obično oba dijela jednadžbe dijele najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definirajmo gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se eliminiraju razlomki koeficijenti. U ovom slučaju, pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti napisan u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se gotovo uvijek riješite minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući predznake svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela s −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, možete prijeći na njegovu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x = - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe u smislu njezinih brojčanih koeficijenata. Na temelju ove formule imamo priliku postaviti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije su formule Vietinog teorema:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu, zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nastavljamo proučavati temu rješenje jednadžbi". Već smo se susreli s linearnim jednadžbama, a sada ćemo se upoznati s njima kvadratne jednadžbe.

Najprije ćemo raspraviti što je kvadratna jednadžba, kako se piše u općem obliku i dati povezane definicije. Nakon toga ćemo na primjerima detaljno analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Dalje, prijeđimo na rješavanje potpunih jednadžbi, dobivamo formulu za korijene, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Konačno, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Što je kvadratna jednadžba? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti što je kvadratna jednadžba. Stoga je logično govoriti o kvadratnim jednadžbama definicijom kvadratne jednadžbe, kao i definicijama vezanim uz nju. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: reducirane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a se razlikuje od nule.

Recimo odmah da se kvadratne jednadžbe često nazivaju jednadžbama drugog stupnja. To je zato što je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Zvučna definicija omogućuje nam davanje primjera kvadratnih jednadžbi. Dakle 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a , b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 +b x + c=0, a koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu oblika 5 x 2 −2 x−3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a slobodni član je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo navedenom primjeru, koristi se kratki oblik kvadratne jednadžbe oblika 5 x 2 −2 x−3=0, a ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu kvadratne jednadžbe, što je zbog osobitosti zapisa takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Ovisno o vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 naziva se reducirana kvadratna jednadžba. Inače, kvadratna jednadžba je nesveden.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednadžbe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - smanjen, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. I 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe, njihovi vodeći koeficijenti su različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njezina dijela s vodećim koeficijentom, možete prijeći na smanjenu. Ova radnja je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobivena reducirana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao izvorna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Uzmimo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u reduciranu.

Primjer.

Iz jednadžbe 3 x 2 +12 x−7=0 prijeđite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednadžbu.

Odluka.

Dovoljno nam je izvršiti dijeljenje oba dijela izvorne jednadžbe s vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto kao (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, i tako dalje (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , odakle . Tako smo dobili reduciranu kvadratnu jednadžbu, koja je ekvivalentna izvornoj.

Odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednadžbe postoji uvjet a≠0. Ovaj uvjet je neophodan kako bi jednadžba a x 2 +b x+c=0 bila točno kvadratna, budući da s a=0 zapravo postaje linearna jednadžba oblika b x+c=0 .

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako odvojeno tako i zajedno. U tim se slučajevima kvadratna jednadžba naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednadžba a x 2 +b x+c=0 zove se nepotpun, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedeće rasprave.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +0 x+c=0 , a ekvivalentna je jednadžbi a x 2 +c=0 . Ako je c=0 , odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +b x+0=0 , tada se može prepisati kao x 2 +b x=0 . A s b=0 i c=0 dobivamo kvadratnu jednadžbu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s varijablom x, ni slobodni član, ni oboje. Otuda njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednadžbe x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednadžbi, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka iz prethodnog stavka proizlazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 kada je b=0;
• i a x 2 +b x=0 kada je c=0 .

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svake od ovih vrsta.

a x 2 \u003d 0

Počnimo s rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno s jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednadžba a·x 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0, koja se dobiva iz originala dijeljenjem njezina oba dijela brojem a koji nije nula. Očito je korijen jednadžbe x 2 = 0 nula, budući da je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema drugih korijena, što je objašnjeno, doista, za bilo koji broj p različit od nule, postoji nejednakost p 2 >0, što implicira da se za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada ne postiže.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 \u003d 0 ima jedan korijen x \u003d 0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4·x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0, njen jedini korijen je x \u003d 0, stoga izvorna jednadžba ima jednu korijensku nulu.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sada razmotrite kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da prijenos člana s jedne strane jednadžbe na drugu s suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednadžbe brojem koji nije nula, daju ekvivalentnu jednadžbu. Stoga se mogu provesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

• pomaknite c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 =−c,
• i podijeliti oba njegova dijela po a , dobivamo .

Rezultirajuća jednadžba omogućuje nam da izvučemo zaključke o njezinim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna, (na primjer, ako je a=−2 i c=6 , tada ), nije jednako nuli , jer po uvjetu c≠0 . Zasebno ćemo analizirati slučajeve i .

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava proizlazi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , tada je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se prisjetimo, tada korijen jednadžbe odmah postaje očit, to je broj, budući da. Lako je pogoditi da je broj također korijen jednadžbe , Dapače, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može pokazati, na primjer, proturječjem. Učinimo to.

Označimo upravo glasovne korijene jednadžbe kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednadžba ima drugi korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1 . Poznato je da zamjena u jednadžbu umjesto x njezinih korijena pretvara jednadžbu u pravu brojčanu jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva numeričkih jednakosti omogućuju nam da izvodimo oduzimanje po članu pravih brojčanih jednakosti, pa oduzimanje odgovarajućih dijelova jednakosti daje x 1 2 − x 2 2 =0. Svojstva operacija s brojevima omogućuju nam da prepišemo rezultirajuću jednakost kao (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Znamo da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobivene jednakosti proizlazi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0 , što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 = −x 1 . Tako smo došli do kontradikcije, budući da smo na početku rekli da je korijen jednadžbe x 2 različit od x 1 i −x 1 . To dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i .

Sumirajmo informacije u ovom odlomku. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi , koja

• nema korijena ako,
• ima dva korijena i ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0 .

Počnimo s kvadratnom jednadžbom 9 x 2 +7=0 . Nakon prijenosa slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe, on će poprimiti oblik 9·x 2 =−7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednadžbe s 9 , dolazimo do . Budući da je na desnoj strani dobiven negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7=0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednadžbu −x 2 +9=0. Prenosimo devet na desnu stranu: -x 2 \u003d -9. Sada oba dijela podijelimo s −1, dobivamo x 2 =9. Desna strana sadrži pozitivan broj, iz čega zaključujemo da ili . Nakon što zapišemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje pozabaviti se rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0 . Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 +b x=0 omogućuju rješavanje metoda faktorizacije. Očito možemo, smješteni na lijevoj strani jednadžbe, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. To nam omogućuje da prijeđemo s izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe na ekvivalentnu jednadžbu oblika x·(a·x+b)=0 . A ova jednadžba je ekvivalentna skupu dviju jednadžbi x=0 i a x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +b x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Kako bismo konsolidirali gradivo, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Odluka.

Izvlačimo x iz zagrada, to daje jednadžbu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Dobivenu linearnu jednadžbu rješavamo: , i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom nalazimo . Stoga su korijeni izvorne jednadžbe x=0 i .

Nakon što ste dobili potrebnu praksu, rješenja takvih jednadžbi mogu se ukratko napisati:

Odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Zapišimo formula korijena kvadratne jednadžbe: , gdje D=b 2 −4 a c- tzv diskriminanta kvadratne jednadžbe. Zapis u biti znači da .

Korisno je znati kako je dobivena formula korijena i kako se ona primjenjuje u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Pozabavimo se ovim.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu a·x 2 +b·x+c=0 . Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

• Oba dijela ove jednadžbe možemo podijeliti brojem a koji nije nula, kao rezultat dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu.
• Sada odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
• I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednadžbe , koja je ekvivalentna izvornoj kvadratnoj jednadžbi a·x 2 +b·x+c=0 .

Jednadžbe slične forme već smo riješili u prethodnim paragrafima kada smo analizirali . To nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako , tada jednadžba nema pravih rješenja;
• ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njezin jedini korijen;
• ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe, a time i izvorne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza određen je predznakom brojnika, budući da je nazivnik 4 a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 a c . Ovaj izraz b 2 −4 a c naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe i označena slovom D. Odavde je jasna bit diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku zaključuje se ima li kvadratna jednadžba stvarne korijene, i ako ima, koliki je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu , prepisujemo je koristeći zapis diskriminanta: . I zaključujemo:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D=0, tada ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili , što se može prepisati u obliku ili , a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4 a c .

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminant jednak nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A kod negativnog diskriminanta, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočeni smo s izvlačenjem kvadratnog korijena iz negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog kurikuluma. S negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par složeni konjugat korijene, koji se mogu pronaći pomoću istih formula korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovdje se više radi o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom tečaju algebre obično ne govorimo o složenim, već o stvarnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju poželjno je prvo pronaći diskriminant prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, provjeriti je li nenegativan (inače možemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a nakon toga izračunaj vrijednosti korijena.

Gornje nam razmišljanje omogućuje pisanje algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, trebate:

• koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4 a c izračunaj njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravih korijena ako je diskriminant negativan;
• izračunaj jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0 ;
• pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminant pozitivan.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, dat će istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere primjene algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe s pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, analogno će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednadžbu. Počnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe x 2 +2 x−6=0 .

Odluka.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a=1 , b=2 i c=−6 . Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Budući da je 28>0, odnosno diskriminant veći od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih po formuli korijena , dobivamo , Ovdje možemo pojednostaviti izraze dobivene tako da oduzimanje predznaka korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

Odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Odluka.

Počinjemo s pronalaženjem diskriminanta: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

Odgovor:

x=3,5.

Ostaje razmotriti rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednadžbu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Odluka.

Evo koeficijenata kvadratne jednadžbe: a=5, b=6 i c=2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

Ako trebate specificirati složene korijene, tada koristimo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije s kompleksnim brojevima:

Odgovor:

nema pravih korijena, složeni su korijeni: .

Još jednom napominjemo da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, onda škola obično odmah zapiše odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, te da ne nalaze kompleksne korijene.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4 a c omogućuje vam da dobijete kompaktniju formulu koja vam omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom na x (ili jednostavno s koeficijentom koji izgleda kao 2 n , na primjer, ili 14 ln5=2 7 ln5 ). Izvadimo je van.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu oblika a x 2 +2 n x + c=0 . Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu korijena:

Označimo izraz n 2 − a c kao D 1 (ponekad se označava D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 =n 2 −a c .

Lako je vidjeti da je D=4·D 1 ili D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . To jest, znak D 1 je također pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Dakle, za rješavanje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, trebate

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
• Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješenje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom odlomku.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Odluka.

Drugi koeficijent ove jednadžbe može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati izvornu kvadratnu jednadžbu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ovdje a=5 , n=−3 i c=−32 , i izračunati četvrti dio diskriminirajući: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Budući da je njezina vrijednost pozitivna, jednadžba ima dva realna korijena. Pronalazimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

Odgovor:

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što krenemo u izračun korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: "Je li moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe"? Složite se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednadžbu 11 x 2 −4 x −6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane s nekim brojem. Na primjer, u prethodnom odlomku uspjeli smo postići pojednostavljenje jednadžbe 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100 .

Slična se transformacija provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, oba dijela jednadžbe obično se dijele apsolutnim vrijednostima njegovih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 , dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednadžbe 2 x 2 −7 x+8=0 .

A množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se provodi na nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se oba dijela kvadratne jednadžbe pomnože s LCM(6, 3, 1)=6 , tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4 x−18=0 .

U zaključku ovog odlomka napominjemo da se gotovo uvijek riješite minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela s −1. Na primjer, obično se iz kvadratne jednadžbe −2·x 2 −3·x+7=0 ide na rješenje 2·x 2 +3·x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata. Na temelju formule korijena možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive formule iz Vietinog teorema oblika i . Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu, zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena je slobodni član. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x+22=0 možemo odmah reći da je zbroj njezinih korijena 7/3, a umnožak korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata: .

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

“, odnosno jednadžbe prvog stupnja. U ovoj lekciji ćemo istražiti što je kvadratna jednadžba i kako to riješiti.

Što je kvadratna jednadžba

Važno!

Stupanj jednadžbe određen je najvišim stupnjem do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalni stupanj do kojeg stoji nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednadžbu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Važno! Opći oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" i "c" - dati brojevi.

• "a" - prvi ili viši koeficijent;
• "b" - drugi koeficijent;
• "c" je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c" Morate usporediti svoju jednadžbu s općim oblikom kvadratne jednadžbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednadžbama.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednadžba	Izgledi
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristi se posebna jednadžba. formula za pronalaženje korijena.

Zapamtiti!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0". To jest, samo "0" treba ostati na desnoj strani;
• koristite formulu za korijenje:

Uzmimo primjer da shvatimo kako primijeniti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Riješimo kvadratnu jednadžbu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Jednadžba "x 2 - 3x - 4 = 0" već je svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, trebamo se samo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednadžbu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uz njegovu pomoć rješava se svaka kvadratna jednadžba.

U formuli "x 1; 2 \u003d" korijenski izraz se često zamjenjuje
"b 2 − 4ac" na slovo "D" i naziva se diskriminantnim. Pojam diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji „Što je diskriminant“.

Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c". Najprije dovedemo jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijenje.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada u kvadratnim jednadžbama nema korijena. Ova situacija se događa kada se u formuli ispod korijena pojavi negativan broj.

Samo. Prema formulama i jasnim jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

potrebno je zadanu jednadžbu dovesti u standardni oblik, t.j. na pogled:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu. Najvažnije je ispravno

odrediti sve koeficijente a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminirajući . Kao što vidite, da bismo pronašli x, mi

koristiti samo a, b i c. Oni. izgledi od kvadratna jednadžba. Samo pažljivo umetnite

vrijednosti a, b i c u ovu formulu i brojite. Zamjena sa njihov znakovi!

na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c = -4.

Zamijenite vrijednosti i napišite:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Najčešće pogreške su zabuna sa znakovima vrijednosti a, b i s. Dapače, sa zamjenom

negativne vrijednosti u formulu za izračun korijena. Ovdje se sprema detaljna formula

s određenim brojevima. Ako imate problema s izračunima, učinite to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Sve slikamo detaljno, pažljivo, ne propuštajući ništa sa svim znakovima i zagradama:

Često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka.

Prvi prijem. Ne budi lijen prije rješavanje kvadratne jednadžbe dovesti ga u standardni oblik.

Što to znači?

Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo sigurno ćete pomiješati izglede a, b i c.

Izgradite primjer ispravno. Prvo, x na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Kao ovo:

Riješite se minusa. Kako? Moramo pomnožiti cijelu jednadžbu sa -1. dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer.

Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Po Vietin teorem.

Za rješavanje zadanih kvadratnih jednadžbi, t.j. ako je koeficijent

x2+bx+c=0,

zatimx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Za potpunu kvadratnu jednadžbu u kojoj a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podijelite cijelu jednadžbu sa a:

→ →

gdje x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožiti

jednadžba za zajednički nazivnik.

Zaključak. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je pravo.

2. Ako je ispred x u kvadratu negativan koeficijent, eliminiramo ga tako da sve pomnožimo

jednadžbe za -1.

3. Ako su koeficijenti razlomki, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim

faktor.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak je jedan, rješenje se lako može provjeriti pomoću

Na jednostavniji način. Da biste to učinili, izvadite z iz zagrada. Dobivate: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, jer oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0, drugu pomičemo udesno s drugim predznakom. Odavde dobivamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako postoji nepotpuna jednadžba oblika az² + c \u003d 0, u ovom slučaju oni se nalaze jednostavnim prijenosom slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe. Također promijenite njegov znak. Dobivate zapis az² \u003d -s. Izraziti z² = -c/a. Uzmite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivnu i negativnu vrijednost kvadratnog korijena.

Bilješka

Ako u jednadžbi postoje razlomčki koeficijenti, pomnožite cijelu jednadžbu s odgovarajućim faktorom kako biste se riješili razlomaka.

Poznavanje rješavanja kvadratnih jednadžbi potrebno je i školarcima i studentima, ponekad može pomoći odrasloj osobi u svakodnevnom životu. Postoji nekoliko specifičnih metoda odlučivanja.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c - numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak "+" može promijeniti u znak "-".

Da biste riješili ovu jednadžbu, morate koristiti Vietin teorem ili pronaći diskriminanta. Najčešći način je pronalaženje diskriminanta, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vietin teorem.

Da biste pronašli diskriminant (D), morate napisati formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će postojati dva korijena, ako je D = 0, onda ostaje samo jedan korijen, točnije, možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminant, da biste pronašli x, koristite formule: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdje je sqrt funkcija za uzimanje kvadratnog korijena zadanog broja. Nakon izračunavanja ovih izraza, pronaći ćete dva korijena svoje jednadžbe, nakon čega se jednadžba smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, onda još uvijek ima korijene. U školi se ovaj odjeljak praktički ne proučava. Sveučilišni studenti trebaju biti svjesni da se ispod korijena pojavljuje negativan broj. Riješimo ga se tako da odvojimo imaginarni dio, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i", koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije, dobiva se D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješenje jednadžbe se svodi na isti nalaz korijena, kao što je gore opisano.

Vietin teorem sastoji se od odabira vrijednosti x(1) i x(2). Koriste se dvije identične jednadžbe: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Štoviše, vrlo važna točka je znak ispred koeficijenta b, zapamtite da je ovaj znak suprotan onom u jednadžbi. Na prvi pogled čini se da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, no prilikom rješavanja naići ćete na činjenicu da će brojeve morati točno odabrati.

Elementi za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Prema pravilima matematike, neki se mogu rastaviti na faktore: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, ako ste uspjeli transformirati ovu kvadratnu jednadžbu na ovaj način pomoću matematičkih formula, onda slobodno zapiši odgovor. x(1) i x(2) bit će jednaki susjednim koeficijentima u zagradama, ali s suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od pojmova, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako ispred x^2 ili x nema ništa, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.