Sustav linearnih jednadžbi naziva se zajednički ako mti. Kako pronaći opće i posebno rješenje za sustav linearnih jednadžbi

Nastavljamo se baviti sustavima linearnih jednadžbi. Do sada smo razmatrali sustave koji imaju jedinstveno rješenje. Takvi se sustavi mogu riješiti na bilo koji način: metoda zamjene("škola") po Cramerovim formulama, matrična metoda, Gaussova metoda. Međutim, u praksi su raširena još dva slučaja kada:

1) sustav je nedosljedan (nema rješenja);

2) sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Za ove sustave koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, “školski” način također će dovesti do odgovora, ali u viša matematika Uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu uzastopnog uklanjanja nepoznanica. Oni koji nisu upoznati s algoritmom Gaussove metode, najprije proučite lekciju Gaussova metoda

Same transformacije elementarne matrice potpuno su iste, razlika će biti u kraju rješenja. Prvo razmotrite nekoliko primjera u kojima sustav nema rješenja (nedosljedno).

Primjer 1

Što vam odmah upada u oči u ovom sustavu? Broj jednadžbi manji je od broja varijabli. Postoji teorem koji kaže: “Ako je broj jednadžbi u sustavu manja količina varijable, tada je sustav ili nekonzistentan ili ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo saznati.

Početak rješenja je sasvim običan - pišemo proširenu matricu sustava i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u korak oblik:

(jedan). Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti (+1) ili (-1). U prvom stupcu nema takvih brojeva, pa preuređivanje redaka neće raditi. Jedinica će se morati organizirati samostalno, a to se može učiniti na nekoliko načina. Tako smo i učinili. Prvom retku dodajemo treći redak, pomnožen s (-1).

(2). Sada dobivamo dvije nule u prvom stupcu. U drugi red dodajte prvi red pomnožen s 3. U treći red dodajte prvi, pomnožen s 5.

(3). Nakon što je transformacija obavljena, uvijek je preporučljivo vidjeti je li moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Limenka. Drugu liniju dijelimo s 2, istovremeno dobivajući željeni (-1) na drugom koraku. Treći red podijelite sa (-3).

(4). Dodajte drugi redak trećem redu. Vjerojatno su svi obratili pozornost na lošu liniju, koja se pokazala kao rezultat elementarnih transformacija:

. Jasno je da to ne može biti tako.

Doista, prepisujemo rezultirajuću matricu

natrag na sustav linearnih jednadžbi:

Ako je kao rezultat elementarnih transformacija niz oblika , gdjeλ je broj različit od nule, tada je sustav nekonzistentan (nema rješenja).

Kako snimiti kraj zadatka? Morate napisati izraz:

“Kao rezultat elementarnih transformacija, dobiva se niz oblika, gdje λ ≠ 0 ". Odgovor: "Sustav nema rješenja (nedosljedan)".

Napominjemo da u ovom slučaju nema obrnutog pomaka Gaussovog algoritma, nema rješenja i jednostavno se nema što pronaći.

Primjer 2

Riješite sustav linearnih jednadžbi

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Opet vas podsjećamo da se vaš put rješenja može razlikovati od našeg puta rješenja, Gaussova metoda ne postavlja jednoznačan algoritam, sami morate pogoditi proceduru i same radnje u svakom slučaju.

Još jedan tehnička značajka rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti odmah, čim redak poput , gdje λ ≠ 0 . Smatrati uvjetni primjer: pretpostavimo da nakon prve transformacije dobijemo matricu

Ova matrica još nije svedena na stepenasti oblik, ali nema potrebe za daljnjim elementarnim transformacijama, budući da se pojavila linija oblika, gdje λ ≠ 0 . Treba odmah odgovoriti da je sustav nekompatibilan.

Kada sustav linearnih jednadžbi nema rješenja, to je gotovo dar učeniku, jer se dobiva kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka. Ali sve je na ovom svijetu uravnoteženo, a problem u kojem sustav ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3:

Riješite sustav linearnih jednadžbi

Postoje 4 jednadžbe i 4 nepoznanice, tako da sustav može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačan broj rješenja. Što god bilo, ali Gaussova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. To je njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Napišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedemo je u stepenasti oblik:

To je sve, a ti si se bojao.

(jedan). Napominjemo da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi s 2, tako da smo na gornjem lijevom koraku također zadovoljni s dvojkom. U drugi red dodajemo prvi redak, pomnožen s (-4). Trećem retku dodajemo prvi redak, pomnožen s (-2). Četvrtom retku dodajemo prvi redak, pomnožen s (-1).

Pažnja! Mnogi mogu doći u iskušenje iz četvrtog retka oduzeti prvi red. To se može učiniti, ali nije potrebno, iskustvo pokazuje da se vjerojatnost pogreške u izračunima povećava nekoliko puta. Samo dodajemo: četvrtom retku dodajemo prvi red, pomnožen s (-1) - točno!

(2). Posljednja tri retka su proporcionalna, dva se mogu izbrisati. Ovdje je opet potrebno pokazati povećana pozornost, ali jesu li linije stvarno proporcionalne? Za reosiguranje, neće biti suvišno drugi red pomnožiti s (-1), a četvrti red podijeliti s 2, što će rezultirati tri identična reda. I tek nakon toga uklonite dva od njih. Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sustava svodi se na stepenasti oblik:

Prilikom dovršavanja zadatka u bilježnici, preporučljivo je iste bilješke napraviti olovkom radi preglednosti.

Prepisujemo odgovarajući sustav jednadžbi:

“Uobičajeno” jedino rješenje sustava ovdje ne miriše. Loša linija gdje λ ≠ 0, također ne. Dakle, ovo je treći preostali slučaj - sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Beskonačni skup rješenja sustava ukratko je zapisan u obliku tzv opće sustavno rješenje.

Opće rješenje sustava pronaći ćemo pomoću obrnutih gibanja Gaussove metode. Za sustave jednadžbi s beskonačnim skupom rješenja pojavljuju se novi koncepti: "osnovne varijable" I "slobodne varijable". Prvo, definirajmo koje varijable imamo Osnovni, temeljni, a koje varijable - besplatno. Nije potrebno detaljno objašnjavati pojmove linearne algebre, dovoljno je zapamtiti da takvi postoje bazne varijable I slobodne varijable.

Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice. U ovom primjeru, osnovne varijable su x 1 i x 3 .

Slobodne varijable su sve preostalo varijable koje nisu dobile korak. U našem slučaju postoje dva: x 2 i x 4 - slobodne varijable.

Sada trebate svibazne varijable izraziti samo krozslobodne varijable. Obrnuti potez Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore. Iz druge jednadžbe sustava izražavamo osnovnu varijablu x 3:

Sada pogledajte prvu jednadžbu: . Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz:

Ostaje izraziti osnovnu varijablu x 1 kroz slobodne varijable x 2 i x 4:

Rezultat je ono što vam treba - svi bazne varijable ( x 1 i x 3) izraženo samo kroz slobodne varijable ( x 2 i x 4):

Zapravo, opće rješenje je spremno:

Kako zapisati opće rješenje? Prije svega, slobodne varijable upisuju se u opće rješenje “sami” i strogo na svojim mjestima. U ovom slučaju, slobodne varijable x 2 i x 4 treba napisati na drugom i četvrtom mjestu:

Rezultirajući izrazi za osnovne varijable i očito treba biti napisano na prvom i trećem mjestu:

Iz općeg rješenja sustava može se pronaći beskonačno mnogo privatne odluke. Vrlo je jednostavno. slobodne varijable x 2 i x 4 se tako zovu jer se mogu dati bilo kakve konačne vrijednosti. Najpopularnije vrijednosti su nulte vrijednosti, jer je to najlakši način za dobivanje određenog rješenja.

Zamjena ( x 2 = 0; x 4 = 0) u opće rješenje, dobivamo jedno od posebnih rješenja:

, ili je određeno rješenje koje odgovara slobodnim varijablama s vrijednostima ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Jedni su još jedan slatki par, ajmo zamijeniti ( x 2 = 1 i x 4 = 1) u opće rješenje:

, tj. (-1; 1; 1; 1) je još jedno posebno rješenje.

Lako je vidjeti da sustav jednadžbi ima beskonačno mnogo rješenja budući da možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti.

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome jednadžba sustava. To je osnova za "brzu" provjeru ispravnosti rješenja. Uzmimo, na primjer, određeno rješenje (-1; 1; 1; 1) i zamijenimo ga u lijevu stranu svake jednadžbe u izvornom sustavu:

Sve se mora spojiti. I s bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi se također trebalo spojiti.

Strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad vara, t.j. neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednadžbu sustava, a samo opće rješenje je zapravo pogrešno pronađeno. Stoga je prije svega provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija.

Kako provjeriti dobiveno opće rješenje ?

Nije teško, ali zahtijeva dosta dugu transformaciju. Moramo uzeti izraze Osnovni, temeljni varijable, u ovom slučaju i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sustava.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sustava:

Dobiva se desna strana izvorne prve jednadžbe sustava.

Na lijevoj strani druge jednadžbe sustava:

Dobiva se desna strana izvorne druge jednadžbe sustava.

I dalje - na lijevi dio treće i četvrte jednadžbe sustava. Ova provjera je duža, ali jamči 100% ispravnost cjelokupnog rješenja. Osim toga, u nekim je zadacima potrebno provjeriti opće rješenje.

Primjer 4:

Riješite sustav Gaussovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva privatna rješenja. Provjerite cjelokupno rješenje.

Ovo je "uradi sam" primjer. Ovdje je, inače, opet broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, što znači da je odmah jasno da će sustav ili biti nekonzistentan ili imati beskonačan broj rješenja.

Primjer 5:

Riješite sustav linearnih jednadžbi. Ako sustav ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Riješenje: Napišimo proširenu matricu sustava i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u korak oblik:

(jedan). Dodajte prvi redak u drugi redak. Trećem retku dodajemo prvi red pomnožen sa 2. Četvrtom retku dodajemo prvi red pomnožen sa 3.

(2). Trećem retku dodajemo drugi redak, pomnožen s (-5). Četvrtom retku dodajemo drugi redak, pomnožen sa (-7).

(3). Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo. Evo takve ljepote:

Bazične varijable sjede na stepenicama, tako da su osnovne varijable.

Postoji samo jedna slobodna varijabla, koja nije dobila korak: .

(4). Obrnuti potez. Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodne varijable:

Iz treće jednadžbe:

Razmotrimo drugu jednadžbu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:

, , ,

Razmotrimo prvu jednadžbu i zamijenimo pronađene izraze i u nju:

Dakle, opće rješenje s jednom slobodnom varijablom x 4:

Još jednom, kako se to dogodilo? slobodna varijabla x 4 sjedi sam na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable , , također su na svojim mjestima.

Odmah provjerimo opće rješenje.

Zamjenjujemo osnovne varijable , , u lijevu stranu svake jednadžbe sustava:

Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, čime je pronađeno ispravno opće rješenje.

Sada iz pronađenog općeg rješenja dobivamo dva posebna rješenja. Sve varijable su ovdje izražene kroz jednu jedinicu slobodna varijabla x 4 . Ne trebate razbijati glavu.

Neka bude x 4 = 0, dakle je prvo posebno rješenje.

Neka bude x 4 = 1, dakle je još jedno posebno rješenje.

Odgovor: Zajednička odluka: . Privatna rješenja:

i .

Primjer 6:

Naći opće rješenje sustava linearnih jednadžbi.

Opće rješenje smo već provjerili, odgovoru se može vjerovati. Vaš način djelovanja može se razlikovati od našeg. Glavna stvar je da se opća rješenja podudaraju. Vjerojatno su mnogi primijetili neugodan trenutak u rješenjima: vrlo često, tijekom obrnutog tijeka Gaussove metode, morali smo petljati s obični razlomci. U praksi je to točno, slučajevi u kojima nema razlomaka su puno rjeđi. Budite psihički spremni, i što je najvažnije, tehnički.

Zadržimo se na obilježjima rješenja koja nisu pronađena u riješenim primjerima. Opće rješenje sustava ponekad može uključivati konstantu (ili konstante).

Na primjer, opće rješenje: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ništa egzotično u ovome, događa se. Očito je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.

Rijetko, ali postoje sustavi u kojima broj jednadžbi je veći od broja varijabli. Međutim, Gaussova metoda djeluje u najtežim uvjetima. Trebali biste mirno dovesti proširenu matricu sustava u stepenasti oblik prema standardnom algoritmu. Takav sustav može biti nedosljedan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedinstveno rješenje.

Ponavljamo u našem savjetu – da biste se osjećali ugodno pri rješavanju sustava Gaussovom metodom, trebali biste napuniti ruku i riješiti barem desetak sustava.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:

Riješenje:Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedimo je u stepenasti oblik.

Izvršene elementarne transformacije:

(1) Prvi i treći redak su zamijenjeni.

(2) Prvi redak je dodan drugom retku, pomnožen sa (-6). Prvi red je dodan trećem retku, pomnožen sa (-7).

(3) Drugi redak je dodan trećem retku, pomnožen s (-1).

Kao rezultat elementarnih transformacija, niz oblika, gdje λ ≠ 0 .Dakle, sustav je nedosljedan.Odgovor: nema rješenja.

Primjer 4:

Riješenje:Napišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedemo je u stepenasti oblik:

Izvršene konverzije:

(jedan). Prvi red pomnožen s 2 dodan je drugom retku. Prvi red pomnožen s 3 dodan je trećem retku.

Ne postoji jedinica za drugi korak , a transformacija (2) je usmjerena na njegovo dobivanje.

(2). Drugi red je dodan trećem redu, pomnožen s -3.

(3). Drugi i treći red su zamijenjeni (rezultirajući -1 premješten je u drugi korak)

(4). Drugi red je dodan trećem redu, pomnožen s 3.

(pet). Predznak prva dva retka je promijenjen (pomnožen sa -1), treći red je podijeljen sa 14.

Obrnuti potez:

(jedan). Ovdje su osnovne varijable (koje su na koracima), i su slobodne varijable (koji nisu dobili korak).

(2). Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodnih varijabli:

Iz treće jednadžbe: .

(3). Razmotrimo drugu jednadžbu:, posebna rješenja:

Odgovor: Zajednička odluka:

Kompleksni brojevi

U ovom ćemo odjeljku predstaviti koncept kompleksni broj, smatrati algebarski, trigonometrijski I obrazac za prikaz kompleksni broj. Također ćemo naučiti kako izvoditi operacije s kompleksnim brojevima: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, povećavanje i vađenje korijena.

Da biste svladali kompleksne brojeve, nije vam potrebno nikakvo posebno znanje iz kolegija više matematike, a materijal je dostupan čak i školarcu. Dovoljno je znati izvoditi algebarske operacije s "običnim" brojevima, a zapamtiti trigonometriju.

Prvo, sjetimo se "običnih" brojeva. U matematici se zovu puno realni brojevi a označeni su slovom R, ili R (debeo). Svi realni brojevi sjede na poznatoj brojevnoj pravoj:

Društvo realnih brojeva vrlo je šareno - ovdje su cijeli brojevi, razlomci i iracionalni brojevi. U tom slučaju svaka točka brojčane osi nužno odgovara nekom realnom broju.

Sustavi m linearne jednadžbe s n nepoznato.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi je takav skup brojeva ( x 1 , x 2 , …, x n), zamjenom koje u svaku od jednadžbi sustava dobiva se točna jednakost.
gdje a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n su koeficijenti sustava;
b i , i = 1, …, m- slobodni članovi;
x j , j = 1, …, n- nepoznato.
Gornji sustav može se zapisati u matričnom obliku: A X = B,

gdje ( A|B) je glavna matrica sustava;
A— proširena matrica sustava;
x— stupac nepoznanica;
B je kolona slobodnih članova.
Ako je matrica B nije nula matrica ∅, onda se ovaj sustav linearnih jednadžbi naziva nehomogenim.
Ako je matrica B= ∅, tada se ovaj sustav linearnih jednadžbi naziva homogenim. Homogeni sustav uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje: x 1 = x 2 = ..., x n \u003d 0.
Zajednički sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima rješenje.
Nedosljedan sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji nema rješenja.
Određeni sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima jedinstveno rješenje.
Neodređeni sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima beskonačan broj rješenja.
Sustavi od n linearnih jednadžbi s n nepoznanica
Ako je broj nepoznanica jednak broju jednadžbi, tada je matrica kvadratna. Matrična determinanta naziva se glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi i označava se simbolom Δ.
Cramerova metoda za rješavanje sustava n linearne jednadžbe s n nepoznato.
Cramerovo pravilo.
Ako glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi nije nula, tada je sustav dosljedan i definiran, a jedinstveno rješenje izračunava se po Cramerovim formulama:
gdje su Δ i determinante dobivene iz glavne determinante sustava Δ zamjenom i kolone slobodnih članova. .
Sustavi od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica
Kronecker-Cappelli teorem.

Da bi ovaj sustav linearnih jednadžbi bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sustava bude jednak rangu proširene matrice sustava, rang(Α) = rang(Α|B).
Ako rang(Α) ≠ rang(Α|B), onda sustav očito nema rješenja.
Ako rang(Α) = rang(Α|B), tada su moguća dva slučaja:
1) rang(Α) = n(na broj nepoznanica) - rješenje je jedinstveno i može se dobiti Cramerovim formulama;
2) rang (Α)< n − postoji beskonačno mnogo rješenja.
Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Sastavimo proširenu matricu ( A|B) zadanog sustava koeficijenata na nepoznatoj i desnoj strani.
Gaussova metoda ili metoda eliminacije nepoznatih sastoji se u smanjenju proširene matrice ( A|B) uz pomoć elementarnih transformacija nad svojim redovima u dijagonalni oblik (u gornji trokutasti oblik). Vraćajući se na sustav jednadžbi, određuju se sve nepoznanice.
Elementarne transformacije na nizovima uključuju sljedeće:
1) zamjena dva reda;
2) množenje niza brojem koji nije 0;
3) dodavanje nizu drugog niza pomnoženog proizvoljnim brojem;
4) odbacivanje null niza.
Proširena matrica svedena na dijagonalni oblik odgovara linearnom sustavu ekvivalentnom zadanom, čije rješenje ne uzrokuje poteškoće. .
Sustav homogenih linearnih jednadžbi.
Homogeni sustav ima oblik:

odgovara matričnoj jednadžbi A X = 0.
1) Homogeni sustav je uvijek dosljedan, budući da r(A) = r(A|B), uvijek postoji nulto rješenje (0, 0, …, 0).
2) Da bi homogeni sustav imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r = r(A)< n , što je ekvivalentno Δ = 0.
3) Ako r< n , tada je Δ = 0, tada postoje slobodne nepoznanice c 1 , c 2 , …, c n-r, sustav ima netrivijalna rješenja, a ima ih beskonačno mnogo.
4) Opće rješenje x na r< n može se zapisati u matričnom obliku na sljedeći način:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
gdje su rješenja X 1 , X 2 , …, X n-rčine temeljni sustav rješenja.
5) Osnovni sustav rješenja može se dobiti iz općeg rješenja homogenog sustava:

,
ako sekvencijalno pretpostavimo da su vrijednosti parametara (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Dekompozicija općeg rješenja u terminima temeljnog sustava rješenja je zapis općeg rješenja kao linearne kombinacije rješenja koja pripadaju temeljnom sustavu.
Teorema. Da bi sustav linearnih homogenih jednadžbi imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ ≠ 0.
Dakle, ako je determinanta Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje.
Ako je Δ ≠ 0, tada sustav linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.
Teorema. Da bi homogeni sustav imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r(A)< n .
Dokaz:
1) r ne može biti više n(rang matrice ne prelazi broj stupaca ili redaka);
2) r< n , jer ako r=n, tada je glavna determinanta sustava Δ ≠ 0, a prema Cramerovim formulama postoji jedinstveno trivijalno rješenje x 1 \u003d x 2 \u003d ... = x n \u003d 0, što je u suprotnosti s uvjetom. Sredstva, r(A)< n .
Posljedica. Kako bi bio homogen sustav n linearne jednadžbe s n nepoznanica ima rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ = 0.

Zadatak usluge. Online kalkulator je dizajniran za proučavanje sustava linearnih jednadžbi. Obično je u stanju problema potrebno pronaći opće i posebno rješenje sustava. Pri proučavanju sustava linearnih jednadžbi rješavaju se sljedeći problemi:

je li sustav kolaborativan;
ako je sustav konzistentan, onda je određen ili neodređen (kriterij kompatibilnosti sustava određen je teoremom);
ako je sustav definiran, kako pronaći njegovo jedinstveno rješenje (koristi se Cramerova metoda, metoda inverzne matrice ili Jordan-Gaussova metoda);
ako je sustav neodređen, kako onda opisati skup njegovih rješenja.

Klasifikacija sustava linearnih jednadžbi

Proizvoljni sustav linearnih jednadžbi ima oblik:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Sustavi linearnih nehomogenih jednadžbi (broj varijabli jednak je broju jednadžbi, m = n).
Proizvoljni sustavi linearnih nehomogenih jednadžbi (m > n ili m< n).

Definicija. Rješenje sustava je bilo koja zbirka brojeva c 1 ,c 2 ,...,c n , čija zamjena u sustav umjesto odgovarajućih nepoznanica pretvara svaku jednadžbu sustava u identitet.

Definicija. Za dva sustava se kaže da su ekvivalentna ako je rješenje za prvi rješenje za drugi i obrnuto.

Definicija. Zove se sustav koji ima barem jedno rješenje zgloba. Sustav koji nema nikakvo rješenje naziva se nedosljednim.

Definicija. Zove se sustav s jedinstvenim rješenjem izvjesni, a imati više od jednog rješenja je neodređeno.

Algoritam za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Pronađite rangove glavne i proširene matrice. Ako nisu jednaki, onda je, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav nedosljedan i tu studija završava.
Neka je rang(A) = rang(B) . Odabiremo osnovni mol. U ovom slučaju svi nepoznati sustavi linearnih jednadžbi podijeljeni su u dvije klase. Nepoznate, čiji koeficijenti ulaze u osnovni minor, nazivaju se zavisnima, a nepoznanice čiji koeficijenti nisu uključeni u osnovni minor nazivaju se slobodnim. Imajte na umu da izbor ovisnih i slobodnih nepoznanica nije uvijek jedinstven.
Precrtavamo one jednadžbe sustava čiji koeficijenti nisu uključeni u osnovni minor, jer su posljedice ostatka (prema osnovnom molskom teoremu).
Članovi jednadžbi koje sadrže slobodne nepoznanice prenijet će se na desnu stranu. Kao rezultat, dobivamo sustav od r jednadžbi s r nepoznanica, ekvivalentan zadanoj, čija je determinanta različita od nule.
Rezultirajući sustav rješava se na jedan od sljedećih načina: Cramerova metoda, metoda inverzne matrice ili Jordan-Gaussova metoda. Pronađene su relacije koje izražavaju zavisne varijable u terminima slobodnih.

Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica naziva sustav forme

gdje aij I b i (i=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednadžbe, a drugi j je broj nepoznate na kojoj stoji ovaj koeficijent.

Koeficijenti za nepoznanice bit će zapisani u obliku matrice , koje ćemo nazvati matrica sustava.

Brojevi s desne strane jednadžbe b 1 ,…,b m pozvao slobodni članovi.

Agregat n brojevima c 1 ,…,c n pozvao odluka ovog sustava, ako svaka jednadžba sustava postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.

Naš će zadatak biti pronaći rješenja za sustav. U tom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:

Zove se sustav linearnih jednadžbi koji ima barem jedno rješenje zgloba. Inače, t.j. ako sustav nema rješenja, onda se zove nespojivo.

Razmotrite načine za pronalaženje rješenja za sustav.

MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI

Matrice omogućuju ukratko zapisivanje sustava linearnih jednadžbi. Neka je zadan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:

Razmotrimo matricu sustava i matrični stupci nepoznatih i slobodnih članova

Pronađimo proizvod

oni. kao rezultat proizvoda dobivamo lijeve strane jednadžbe ovog sustava. Zatim koristeći definiciju matrične jednakosti ovaj sustav može se napisati u obliku

ili kraće A∙X=B.

Ovdje matrice A I B poznati su, a matrica x nepoznato. Treba je pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane matricom A-1, inverzno od matrice A: . Ukoliko A -1 A = E I E∙X=X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi je isti kao i broj nepoznanica. Međutim, matrični zapis sustava moguć je i u slučaju kada broj jednadžbi nije jednak broju nepoznanica, tada je matrica A nije kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sustava u obliku X = A -1 B.

Primjeri. Riješiti sustave jednadžbi.

CRAMEROVO PRAVILO

Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sustava, t.j. sastavljen od koeficijenata na nepoznanicama,

pozvao odrednica sustava.

Sastavljamo još tri determinante na sljedeći način: zamjenjujemo sukcesivno 1, 2 i 3 stupca u determinanti D stupcem slobodnih članova

Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.

Teorem (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i

Dokaz. Dakle, razmotrite sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožite 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednadžbe:

Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Po teoremu o proširenju determinante po elementima 1. stupca

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako vidjeti

Tako dobivamo jednakost: .

Posljedično, .

Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teorema.

Dakle, primjećujemo da ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sustava jednaka nuli, tada sustav ili ima beskonačan skup rješenja ili nema rješenja, tj. nespojivo.

Primjeri. Riješite sustav jednadžbi

GAUSSOVA METODA

Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sustava u kojima se broj jednadžbi poklapa s brojem nepoznanica, a determinanta sustava mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i prikladna je za sustave s bilo kojim brojem jednadžbi. Sastoji se u sukcesivnom uklanjanju nepoznanica iz jednadžbi sustava.

Razmotrimo opet sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Prvu jednadžbu ostavljamo nepromijenjenom, a iz 2. i 3. isključujemo članove koji sadrže x 1. Da bismo to učinili, drugu jednadžbu podijelimo sa ali 21 i pomnoži sa - ali 11, a zatim zbrojite s 1. jednadžbom. Slično, dijelimo treću jednadžbu na ali 31 i pomnoži sa - ali 11, a zatim ga dodajte prvom. Kao rezultat toga, izvorni sustav će poprimiti oblik:

Sada, iz posljednje jednadžbe, eliminiramo pojam koji sadrži x2. Da biste to učinili, podijelite treću jednadžbu s , pomnožite s i dodajte je drugoj. Tada ćemo imati sustav jednadžbi:

Stoga je iz posljednje jednadžbe lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednadžbe x2 i konačno od 1. - x 1.

Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.

Često umjesto pisanja novi sustav jednadžbe su ograničene na ispisivanje proširene matrice sustava:

a zatim ga pomoću elementarnih transformacija dovesti u trokutasti ili dijagonalni oblik.

DO elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:

permutacija redaka ili stupaca;
množenje niza brojem koji nije nula;
dodajući u jedan red druge retke.

primjeri: Riješite sustave jednadžbi Gaussovom metodom.

Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja.

Sustavi jednadžbi imaju široku primjenu u gospodarskoj industriji u matematičkom modeliranju različitih procesa. Primjerice, kod rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (promet transporta) ili smještaja opreme.

Sustavi jednadžbi koriste se ne samo u području matematike, već i u fizici, kemiji i biologiji, kada se rješavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sustav linearnih jednadžbi je pojam za dvije ili više jednadžbi s više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednadžbe postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednadžbe oblika ax+by=c nazivamo linearnim. Oznake x, y su nepoznanice, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njezinog grafa izgledat će kao ravna crta, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sustava linearnih jednadžbi

Najjednostavniji su primjeri sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješite sustav jednadžbi - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) pri kojima se sustav pretvara u pravu jednakost ili utvrditi da prikladne vrijednosti x i y ne postoje.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili ga nema, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sustav nije homogen.

Broj varijabli može biti puno veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri ili više varijable.

Suočeni sa sustavima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama, može ih biti proizvoljno velik broj.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sustava jednadžbi

Ne postoji opći analitički način rješavanja takvih sustava, sve se metode temelje na numeričkim rješenjima. Školski kolegij matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko zbrajanje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavnim metodama rješavanja je naučiti kako pravilno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sustav pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi 7. razreda programa Srednja škola prilično jednostavno i vrlo detaljno objašnjeno. U bilo kojem udžbeniku matematike ovom se dijelu posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi po Gaussovoj i Cramerovoj metodi detaljnije se proučava na prvim kolegijima visokih učilišta.

Rješenje sustava metodom supstitucije

Radnje metode zamjene usmjerene su na izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednadžbu, a zatim se svodi na jedan oblik varijable. Radnja se ponavlja ovisno o broju nepoznanica u sustavu

Navedimo primjer sustava linearnih jednadžbi 7. klase metodom supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x izražena je kroz F(X) = 7 + Y. Dobiveni izraz, zamijenjen u 2. jednadžbu sustava umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednadžbi . Rješenje ovog primjera ne uzrokuje poteškoće i omogućuje dobivanje vrijednosti Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Primjer sustava linearnih jednadžbi nije uvijek moguće riješiti zamjenom. Jednadžbe mogu biti složene i izraz varijable u terminima druge nepoznanice bit će previše glomazan za daljnje izračune. Kada u sustavu ima više od 3 nepoznanice, rješenje zamjene je također nepraktično.

Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje pomoću algebarskog zbrajanja

Prilikom traženja rješenja sustava metodom zbrajanja, zbrajanjem po članu i množenjem jednadžbi s razni brojevi. Konačni cilj matematičkih operacija je jednadžba s jednom varijablom.

Primjena ove metode zahtijeva praksu i promatranje. Sustav linearnih jednadžbi nije lako riješiti metodom zbrajanja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko zbrajanje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam djelovanja rješenja:

Pomnožite obje strane jednadžbe nekim brojem. Kao rezultat aritmetička operacija jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
Zbrojite rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznanica.
Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednadžbu sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sustav treba pronaći rješenje za najviše dvije jednadžbe, broj nepoznanica također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednadžba se rješava s obzirom na unesenu nepoznanicu, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sustava na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta po dobro poznata formula: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su množitelji polinoma. U navedenom primjeru, a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant veći od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminant manji od nule, postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za dobivene sustave nalazi se metodom zbrajanja.

Vizualna metoda za rješavanje sustava

Pogodno za sustave s 3 jednadžbe. Metoda se sastoji u crtanju grafova svake jednadžbe uključene u sustav na koordinatnoj osi. Koordinate točaka presjeka krivulja bit će opće rješenje sustava.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, dvije točke su konstruirane za svaku liniju, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Točke s koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Točka presjeka linija je rješenje sustava.

U sljedećem primjeru potrebno je pronaći grafičko rješenje sustava linearnih jednadžbi: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sustav nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne sijeku se cijelom dužinom.

Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruiraju, postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njezine vrste

Matrice se koriste za kratko zapisivanje sustava linearnih jednadžbi. Matrica je posebna vrsta tablice ispunjene brojevima. n*m ima n - redaka i m - stupaca.

Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak. Matrica-vektor je matrica s jednim stupcem s beskonačno mogućim brojem redaka. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za izvornu kvadratnu.

Pravila za pretvaranje sustava jednadžbi u matricu

Što se tiče sustava jednadžbi, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbe zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednadžba je jedan red matrice.

Redak matrice naziva se ne-nula ako barem jedan element retka nije jednak nuli. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Stupci matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Mogućnosti za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sustav ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti elemente međusobno dijagonalno. Za opciju "tri po tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog retka i svakog stupca kako se brojevi stupaca i redaka elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućuje smanjenje glomaznih zapisa pri rješavanju sustava s veliki iznos varijable i jednadžbe.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješenje sustava Gaussovom metodom

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja za sustave naziva se Gauss-Cramerova metoda rješavanja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sustava s velikim brojem linearnih jednadžbi.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima supstitucije i algebarskog zbrajanja, ali je sustavnija. U školskom se kolegiju Gaussovo rješenje koristi za sustave 3 i 4 jednadžbe. Svrha metode je dovesti sustav u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama vrijednost jedne varijable nalazi se u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznanice, a 3 i 4 - s 3 odnosno 4 varijable.

Nakon dovođenja sustava u opisani oblik, daljnje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja opisan je kako slijedi:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dobivene su dvije jednadžbe 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje od jednadžbi omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.

Teorem 5, koji se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednadžbi sustava zamijeni ekvivalentnom, tada će i rezultirajući sustav biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu učenicima je teško razumjeti Srednja škola, ali je jedan od naj zanimljive načine razvijati domišljatost djece upisanih na napredni studij matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja izračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednadžbi sustava. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne strane. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.

Najprije zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje provedene s jednim od redaka. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i nastavlja izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat, trebala bi se dobiti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti izračune s brojevima obje strane jednadžbe.

Ova oznaka je manje glomazna i omogućuje vam da vas ne ometa navođenje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.