Osnovna svojstva aritmetičkog korijena. Korijen stupnja n: osnovne definicije

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u vašem pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

Pokušajmo shvatiti kakav je pojam "korijen" i "s čime se jede". Da biste to učinili, razmotrite primjere s kojima ste se već susreli u lekcijama (dobro, ili se jednostavno morate suočiti s tim).

Na primjer, imamo jednadžbu. Koje je rješenje ove jednadžbe? Koji se brojevi mogu kvadrirati i dobiti u isto vrijeme? Sjećajući se tablice množenja, lako možete dati odgovor: i (jer kada pomnožite dva negativna broja, dobivate pozitivan broj)! Da pojednostavimo, matematičari su uveli poseban koncept kvadratnog korijena i dodijelili mu poseban simbol.

Definirajmo aritmetički kvadratni korijen.

Zašto broj mora biti nenegativan? Na primjer, ono što je jednako. U redu, pokušajmo to shvatiti. Možda tri? Provjerimo: a ne. Može biti, ? Opet provjerite: Pa zar nije odabrano? To je i za očekivati – jer nema brojeva koji, kada se kvadrira, daju negativan broj!
Ovo se mora zapamtiti: broj ili izraz pod predznakom korijena mora biti nenegativan!

No, najpažljiviji su vjerojatno već primijetili da definicija kaže da se rješenje kvadratnog korijena "broja naziva takvim nenegativni broj čiji je kvadrat ". Neki od vas će reći da smo na samom početku analizirali primjer, birali brojeve koji se mogu kvadrirati i dobiti u isto vrijeme, odgovor je bio i, a ovdje je riječ o nekakvom “nenegativnom broju”! Takva je primjedba sasvim prikladna. Ovdje je potrebno jednostavno razlikovati koncepte kvadratnih jednadžbi i aritmetičkog kvadratnog korijena broja. Na primjer, nije ekvivalent izrazu.

Iz toga slijedi da, odnosno, ili. (Pročitajte temu "")

I iz toga slijedi.

Naravno, ovo je vrlo zbunjujuće, ali treba imati na umu da su predznaci rezultat rješavanja jednadžbe, budući da pri rješavanju jednadžbe moramo zapisati sve x-ove koji će, kada se zamijene u izvornu jednadžbu, dati točan proizlaziti. U našem kvadratna jednadžba odgovara oboje.

Međutim, ako samo uzmi kvadratni korijen od nečega, onda uvijek dobivamo jedan nenegativan rezultat.

Sada pokušajte riješiti ovu jednadžbu. Nije sve tako jednostavno i glatko, zar ne? Pokušajte razvrstati brojeve, možda će nešto izgorjeti? Krenimo od samog početka - od nule: - ne odgovara, idemo dalje - manje od tri, također četkom u stranu, ali što ako. Provjerimo: - također ne odgovara, jer to je više od tri. S negativnim brojevima ispasti će ista priča. I što sada učiniti? Nije li nam pretraga ništa dala? Nikako, sada sigurno znamo da će odgovor biti neki broj između i, kao i između i. Također, očito je da rješenja neće biti cijeli brojevi. Štoviše, nisu racionalni. Dakle, što je sljedeće? Izgradimo graf funkcije i označimo rješenja na njemu.

Pokušajmo prevariti sustav i dobiti odgovor kalkulatorom! Izbacimo korijen iz posla! Oh-oh-oh, ispostavilo se da je tako. Ovaj broj nikad ne prestaje. Kako se možete sjetiti ovoga, jer na ispitu neće biti kalkulatora!? Sve je vrlo jednostavno, ne morate ga pamtiti, morate zapamtiti (ili moći brzo procijeniti) približnu vrijednost. i sami odgovori. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim, a uveden je koncept kvadratnog korijena kako bi se pojednostavilo označavanje takvih brojeva.

Pogledajmo još jedan primjer za pojačanje. Analizirajmo sljedeći problem: trebate dijagonalno prijeći kvadratno polje sa stranom od km, koliko km trebate prijeći?

Ovdje je najočitija stvar odvojeno razmotriti trokut i koristiti Pitagorin teorem:. Tako, . Dakle, koja je ovdje potrebna udaljenost? Očito, udaljenost ne može biti negativna, to shvaćamo. Korijen od dva je približno jednak, ali, kao što smo ranije napomenuli, već je potpun odgovor.

Kako rješavanje primjera s korijenima ne bi stvaralo probleme, morate ih vidjeti i prepoznati. Da biste to učinili, morate znati barem kvadrate brojeva od do, kao i znati ih prepoznati. Na primjer, morate znati što je na kvadrat, a također, obrnuto, što je na kvadrat.

Jeste li shvatili što je kvadratni korijen? Zatim riješi nekoliko primjera.

Primjeri.

Pa, kako je funkcioniralo? Pogledajmo sada ove primjere:

odgovori:

kockasti korijen

Pa, nekako smo shvatili koncept kvadratnog korijena, sada ćemo pokušati shvatiti što je to kockasti korijen i koja je njihova razlika.

Kubni korijen nekog broja je broj čija je kocka jednaka. Jeste li primijetili koliko je lakše? Nema ograničenja na moguće vrijednosti i vrijednost ispod predznaka kubnog korijena i broj koji treba izdvojiti. To jest, kubni korijen se može uzeti iz bilo kojeg broja:.

Uhvatili ste što je kockasti korijen i kako ga izvaditi? Zatim nastavite s primjerima.

Primjeri.

odgovori:

Korijen - oh stupanj

Pa, shvatili smo pojmove kvadratnog i kubnog korijena. Sada generaliziramo dobiveno znanje pojmom th korijen.

th korijen iz broja je broj čiji je th stepen jednak, t.j.

je jednako.

Ako - čak, zatim:

s negativnim, izraz nema smisla (korijeni parnog -tog stupnja negativnih brojeva ne može se izvući!);
s nenegativnim() izraz ima jedan nenegativan korijen.

Ako je - neparan, tada izraz ima jedan korijen za bilo koji.

Nemojte se uznemiravati, ovdje vrijede isti principi kao i kod kvadratnih i kubnih korijena. Odnosno, principi koje smo primijenili pri razmatranju kvadratnih korijena prošireni su na sve korijene parnog --tog stupnja.

A ona svojstva koja su korištena za kockasti korijen odnose se na korijene neparnog stupnja.

Pa, postalo je jasnije? Razumijemo s primjerima:

Ovdje je sve manje-više jasno: prvo gledamo - da, stupanj je paran, broj ispod korijena je pozitivan, pa je naš zadatak pronaći broj čiji će nam četvrti stupanj dati. Pa, ima li nagađanja? Može biti, ? Točno!

Dakle, stupanj je jednak - neparan, ispod korijena broj je negativan. Naš zadatak je pronaći takav broj, koji, kada se podigne na stepen, ispada. Prilično je teško odmah primijetiti korijen. Međutim, možete odmah suziti pretragu, zar ne? Prvo, željeni broj je definitivno negativan, a drugo, vidi se da je neparan, pa je stoga i željeni broj neparan. Pokušajte pokupiti korijen. Naravno, i možete sigurno četkom sa strane. Može biti, ?

Da, to je ono što smo tražili! Imajte na umu da smo za pojednostavljenje izračuna koristili svojstva stupnjeva: .

Osnovna svojstva korijena

Razumljivo? Ako ne, onda bi nakon razmatranja primjera sve trebalo doći na svoje mjesto.

Množenje korijena

Kako umnožiti korijene? Najjednostavnije i najosnovnije svojstvo pomaže odgovoriti na ovo pitanje:

Počnimo s jednostavnim:

Korijeni dobivenih brojeva nisu točno izvučeni? Ne brinite, evo nekoliko primjera:

Ali što ako ne postoje dva množitelja, već više? Isto! Formula za množenje korijena radi s bilo kojim brojem čimbenika:

Što možemo učiniti s tim? Pa, naravno, sakrijte trojku ispod korijena, a ne zaboravite da je trojka kvadratni korijen!

Zašto nam to treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti pri rješavanju primjera:

Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Olakšava život? Za mene je tako! Samo to morate zapamtiti možemo samo zbrajati pozitivne brojeve pod znakom korijena parnog stupnja.

Pogledajmo gdje još može dobro doći. Na primjer, u zadatku morate usporediti dva broja:

Još to:

Nećete reći odmah. Pa, upotrijebimo raščlanjeno svojstvo dodavanja broja ispod predznaka korijena? Zatim naprijed:

Pa, znajući što više broja pod znakom korijena, sam korijen je veći! Oni. ako znači . Iz ovoga čvrsto zaključujemo da I nitko nas neće uvjeriti u suprotno!

Prije toga smo uveli faktor pod znakom korijena, ali kako ga izvaditi? Vi samo trebate to izdvojiti i izdvojiti ono što je izvučeno!

Bilo je moguće ići drugim putem i razložiti se na druge čimbenike:

Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako se osjećate ugodno.

Na primjer, evo izraza:

U ovom primjeru stupanj je paran, ali što ako je neparan? Opet, primijenite svojstva snage i faktorirajte sve:

Čini se da je s ovim sve jasno, ali kako izvući korijen iz broja u stupnju? Evo, na primjer, ovo:

Prilično jednostavno, zar ne? Što ako je stupanj veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:

Pa, je li sve jasno? Onda evo primjera:

To su zamke, o njima uvijek vrijedno pamćenja. Ovo je zapravo refleksija o primjerima svojstava:

za nepar:
za par i:

Razumljivo? Ispravite to primjerima:

Da, vidimo korijen u parnom stupnju, negativni broj ispod korijena je također u parnom stupnju. Pa, radi li isto? A evo što:

To je sve! Evo nekoliko primjera:

Shvaćam? Zatim nastavite s primjerima.

Primjeri.

Odgovori.

Ako ste dobili odgovore, onda možete mirno nastaviti dalje. Ako ne, pogledajmo ove primjere:

Pogledajmo još dva svojstva korijena:

Ova svojstva moraju se analizirati u primjerima. Pa, hoćemo li ovo učiniti?

Shvaćam? Popravimo to.

Primjeri.

Odgovori.

KORIJENJE I NJIHOVA SVOJSTVA. SREDNJA RAZINA

Aritmetički kvadratni korijen

Jednadžba ima dva rješenja: i. To su brojevi čiji je kvadrat jednak.

Razmotrimo jednadžbu. Riješimo to grafički. Nacrtajmo graf funkcije i liniju na razini. Točke sjecišta ovih pravaca bit će rješenja. Vidimo da ova jednadžba također ima dva rješenja - jedno pozitivno, drugo negativno:

Ali u ovom slučaju rješenja nisu cijeli brojevi. Štoviše, nisu racionalni. Kako bismo zapisali ove iracionalne odluke, uvodimo poseban simbol kvadratnog korijena.

Aritmetički kvadratni korijen je nenegativan broj čiji je kvadrat . Kada izraz nije definiran, jer ne postoji takav broj, čiji je kvadrat jednak negativnom broju.

Korijen: .

Na primjer, . A iz toga slijedi da ili.

Opet, ovo je vrlo važno: Korijen je uvijek nenegativan broj: !

kockasti korijen izvan broja je broj čija je kocka jednaka. Kockasti korijen je definiran za svakoga. Može se izdvojiti iz bilo kojeg broja: . Kao što vidite, može imati i negativne vrijednosti.

Korijen th stupnja broja je broj čiji je th stupanj jednak, t.j.

Ako - čak, onda:

ako, onda th korijen od a nije definiran.
ako, tada se nenegativni korijen jednadžbe naziva aritmetičkim korijenom th stupnja i označava se.

Ako je - neparno, tada jednadžba ima jedan korijen za bilo koje.

Jeste li primijetili da njegov stupanj pišemo u gornjem lijevom kutu znaka korijena? Ali ne za kvadratni korijen! Ako vidite korijen bez stupnja, onda je kvadrat (stupnjevi).

Primjeri.

Osnovna svojstva korijena

KORIJENJE I NJIHOVA SVOJSTVA. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) od nenegativnog broja naziva se takvim nenegativan broj čiji je kvadrat

Svojstva korijena:

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan polaganje ispita, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zaraditi puno više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite nužno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Ovaj članak je zbirka detaljnih informacija koje se bave temom svojstava korijena. S obzirom na temu, počet ćemo od svojstava, proučiti sve formulacije i dati dokaze. Da bismo konsolidirali temu, razmotrit ćemo svojstva n-tog stupnja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Svojstva korijena

Razgovarat ćemo o nekretninama.

Vlasništvo pomnožene brojeve a i b, što je predstavljeno kao jednakost a · b = a · b . Može se predstaviti kao množitelji, pozitivni ili jednaki nuli a 1, a 2, …, a k kao a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
iz privatnog a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, može se napisati i u ovom obliku a b = a b ;
Svojstvo iz potencijskog broja a s parnim eksponentom a 2 m = a m za bilo koji broj a, na primjer, svojstvo iz kvadrata broja a 2 = a .

U bilo kojoj od prikazanih jednadžbi možete zamijeniti dijelove prije i iza znaka crtice, na primjer, jednakost a · b = a · b transformira se kao a · b = a · b . Svojstva jednakosti često se koriste za pojednostavljenje složenih jednadžbi.

Dokaz prvih svojstava temelji se na definiciji kvadratnog korijena i svojstava potencija s prirodnim eksponentom. Za potkrijepljenje trećeg svojstva potrebno je pozvati se na definiciju modula broja.

Prije svega, potrebno je dokazati svojstva kvadratnog korijena a · b = a · b . Prema definiciji, potrebno je uzeti u obzir da je a b broj, pozitivan ili jednak nuli, koji će biti jednak a b tijekom izgradnje u kvadrat. Vrijednost izraza a · b je pozitivna ili jednaka nuli kao umnožak nenegativnih brojeva. Svojstvo stupnja pomnoženih brojeva omogućuje nam da predstavimo jednakost u obliku (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Prema definiciji kvadratnog korijena a 2 \u003d a i b 2 \u003d b, zatim a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Na sličan način se to može dokazati iz proizvoda k množitelji a 1, a 2, …, a k bit će jednak umnošku kvadratnog korijena ovih faktora. Doista, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iz ove jednakosti slijedi da je a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Pogledajmo nekoliko primjera kako bismo pojačali temu.

Primjer 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 i 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

Potrebno je dokazati svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena kvocijenta: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Svojstvo vam omogućuje da zapišete jednakost a: b 2 = a 2: b 2 i a 2: b 2 = a: b , dok je a: b pozitivan broj ili jednak nuli. Ovaj izraz će biti dokaz.

Na primjer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30, 121 = 30, 121.

Razmotrimo svojstvo kvadratnog korijena kvadrata broja. Može se zapisati kao jednakost kao 2 = a Da bismo dokazali ovo svojstvo, potrebno je detaljno razmotriti nekoliko jednakosti za a ≥ 0 i na a< 0 .

Očito, za a ≥ 0, jednakost a 2 = a vrijedi. Na a< 0 jednakost a 2 = - a bit će istinita. Zapravo, u ovom slučaju − a > 0 i (− a) 2 = a 2 . Možemo zaključiti da je a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 2

5 2 = 5 = 5 i - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Dokazano svojstvo pomoći će da se opravda a 2 m = a m , gdje a- pravi, i m –prirodni broj. Doista, svojstvo eksponencijalnosti omogućuje nam zamjenu stupnja a 2 m izraz (prije) 2, tada je a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Primjer 3

3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Svojstva n-tog korijena

Prvo morate razmotriti glavna svojstva korijena n-tog stupnja:

Svojstvo iz umnoška brojeva a i b, koji su pozitivni ili jednaki nuli, mogu se izraziti kao jednakost a b n = a n b n , ovo svojstvo vrijedi za proizvod k brojevima a 1, a 2, …, a k kao a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
iz razlomak broj ima svojstvo a b n = a n b n , gdje je a- bilo koji pravi broj, što je pozitivno ili jednako nuli, i b je pozitivan realni broj;
Za bilo koje a pa čak i brojevi n = 2 m a 2 m 2 m = a je istina, a za neparne n = 2 m − 1 ispunjena je jednakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
Svojstvo ekstrakcije iz a m n = a n m , gdje je a- bilo koji broj, pozitivan ili jednak nuli, n i m su prirodni brojevi, ovo svojstvo se također može predstaviti kao . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Za bilo koje nenegativno a i proizvoljno n i m, koji su prirodni, može se definirati i pravedna jednakost a m n · m = a n ;
stupanj svojstvo n iz moći broja a, koji je pozitivan ili jednak nuli, u naravi m, definiran jednakošću a m n = a n m ;
Svojstvo usporedbe koje imaju iste eksponente: za sve pozitivne brojeve a i b takav da a< b , nejednakost a n< b n ;
Svojstvo usporedbe koje posjeduje isti brojevi korijen: ako m i n- prirodni brojevi koji m > n, zatim na 0 < a < 1 vrijedi nejednakost a m > a n, a za a > 1 a m< a n .

Gore navedene jednadžbe vrijede ako su dijelovi prije i poslije znaka jednakosti obrnuti. Mogu se koristiti i u ovom obliku. Ovo se često koristi tijekom pojednostavljivanja ili transformacije izraza.

Dokaz gore navedenih svojstava korijena temelji se na definiciji, svojstvima stupnja i definiciji modula broja. Ova svojstva moraju biti dokazana. Ali sve je u redu.

Prije svega, dokazat ćemo svojstva korijena n-tog stupnja iz umnoška a · b n = a n · b n . Za a i b , koji su pozitivna ili nula , vrijednost a n · b n je također pozitivna ili jednaka nuli, budući da je posljedica množenja nenegativnih brojeva. Svojstvo prirodnog umnožaka snage omogućuje nam da zapišemo jednakost a n · b n n = a n n · b n n . Po definiciji korijena n stupanj a n n = a i b n n = b , dakle, a n · b n n = a · b . Rezultirajuća jednakost je upravo ono što je trebalo dokazati.

Ovo svojstvo se dokazuje slično za proizvod k faktori: za nenegativne brojeve a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Evo primjera korištenja korijenskog svojstva n th stepen iz proizvoda: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Dokažimo svojstvo korijena kvocijenta a b n = a n b n . Na a ≥ 0 i b > 0 uvjet a n b n ≥ 0 je zadovoljen i a n b n n = a n n b n n = a b .

Pokažimo primjere:

Primjer 4

8 27 3 = 8 3 27 3 i 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

Za sljedeći korak potrebno je dokazati svojstva n-tog stupnja od broja do stupnja n. Ovo predstavljamo kao jednakost a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a za bilo koju realnu a i prirodno m. Na a ≥ 0 dobivamo a = a i a 2 m = a 2 m , što dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a , a jednakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a je očita. Na a< 0 dobivamo redom a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Posljednja transformacija broja vrijedi prema svojstvu stupnja. To je ono što dokazuje jednakost a 2 m 2 m \u003d a, a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a bit će istinito, budući da se - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m smatra neparnim stupanj - 1 za bilo koji broj c , pozitivan ili jednak nuli.

Kako biste konsolidirali primljene informacije, razmotrite nekoliko primjera korištenja svojstva:

Primjer 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 i (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Dokažimo sljedeću jednakost a m n = a n · m . Da biste to učinili, trebate promijeniti brojeve ispred znaka jednakosti i iza njega na mjestima a n · m = a m n . To će označiti točan unos. Za a ,što je pozitivno ili jednaka nuli , oblika a m n je pozitivan broj ili nula. Okrenimo se svojstvu dizanja stupnja na stepen i definiciji. Uz njihovu pomoć možete transformirati jednakosti u obliku a m n n · m = a m n n m = a m m = a . To dokazuje razmatrano svojstvo korijena iz korijena.

Slično se dokazuju i druga svojstva. Stvarno, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Na primjer, 7 3 5 = 7 5 3 i 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Dokažimo sljedeće svojstvo a m n · m = a n . Da bismo to učinili, potrebno je pokazati da je n broj koji je pozitivan ili jednak nuli. Kada se podigne na stepen n m je a m. Ako broj a onda je pozitivna ili nula n stupnja iz među a je pozitivan broj ili jednak nuli Štoviše, a n · m n = a n n m , što je trebalo dokazati.

Kako biste učvrstili stečeno znanje, razmotrite nekoliko primjera.

Dokažimo sljedeće svojstvo - svojstvo korijena potencije oblika a m n = a n m . Očito je da kod a ≥ 0 stupanj a n m je nenegativan broj. Štoviše, ona n-th stupanj je jednak a m, doista, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . To dokazuje razmatrano svojstvo stupnja.

Na primjer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

To moramo dokazati za sve pozitivne brojeve a i b a< b . Razmotrimo nejednakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Stoga, a n< b n при a< b .

Na primjer, dajemo 12 4< 15 2 3 4 .

Razmotrite svojstvo korijena n-. stupanj. Najprije razmotrimo prvi dio nejednakosti. Na m > n i 0 < a < 1 istina a m > a n . Pretpostavimo da je m ≤ a n . Svojstva će pojednostaviti izraz na a n m · n ≤ a m m · n . Tada je, prema svojstvima stupnja s prirodnim eksponentom, zadovoljena nejednakost a n m n m n ≤ a m m n m n, tj. a n ≤ a m. Vrijednost dobivena na m > n i 0 < a < 1 ne odgovara gornjim svojstvima.

Na isti način se to može dokazati m > n i a > 1 stanje a m< a n .

Kako biste popravili gornja svojstva, razmotrite nekoliko konkretnim primjerima. Razmotrite nejednakosti koristeći određene brojeve.

Primjer 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi ljudi se zbune oko korijena, ne zato što su složeni (što je komplicirano - par definicija i još par svojstava), nego zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divlje vrijednosti da samo autori udžbenika mogu razumjeti ovo škrabanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najispravniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju stvarno trebate zapamtiti. I tek onda ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo zapamtite jednu važna točka, o čemu mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i paran $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). A definicija korijena neparnog stupnja donekle se razlikuje od parnog.

Ovdje se u ovom jebenom "nešto drugačijem" krije, vjerojatno, 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Pa razjasnimo terminologiju jednom zauvijek:

Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativni broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stupnja iz istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvom zapisu naziva se korijenski eksponent, a broj $a$ naziva se radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput rečeno, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubni korijen (neparni stupanj), koji također se često nalazi u problemima i jednadžbama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(poravnati)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također česti - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(poravnati)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto su nam uopće potrebni korijeni?

Nakon čitanja definicije, mnogi će se učenici pitati: "Što su matematičari pušili kad su smislili ovo?" I stvarno: zašto su nam potrebni svi ti korijeni?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak na osnovne razrede. Zapamtite: u onima daleka vremena kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša je glavna briga bila pravilno množiti brojeve. Pa nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali uostalom, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, to nije poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Tako su smislili diplome. Zašto ne biste zapisali broj faktora kao superscript umjesto dugog niza? Kao ova:

Vrlo je zgodno! Svi izračuni su smanjeni za nekoliko puta, a ne možete potrošiti hrpu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav se unos zvao stupanj broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali se pokazalo da je sreća kratkog vijeka.

Nakon grandiozne cuge, koja je organizirana upravo u vezi s "otkrićem" stupnjeva, neki posebno naduvani matematičar iznenada je upitao: "Što ako znamo stupanj broja, a ne znamo sam broj?" Doista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. stepen, kako onda možemo pogoditi čemu je sam broj $b$ jednak?

Taj se problem pokazao mnogo globalnijim nego što se na prvi pogled moglo činiti. Jer se pokazalo da za većinu “gotovih” stupnjeva ne postoje takvi “početni” brojevi. Procijenite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Strelica desno b=3\cdot 3\cdot 3\Strelica desno b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(poravnati)\]

Što ako je $((b)^(3))=50$? Ispada da trebate pronaći određeni broj, koji će nam, kada se pomnoži sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIGU ćete razumjeti.

Upravo zbog toga su matematičari došli do $n$-tog korijena. Zato je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Za označavanje istog broja $b$, koji će nam na zadanu potenciju dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\Strelica desno ((b)^(n))=a\]

Ne tvrdim: često se ti korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera iznad. Ali ipak, u većini slučajeva, ako pomislite na proizvoljan broj, a zatim iz njega pokušate izvući korijen proizvoljnog stupnja, čeka vas okrutna nevolja.

Što je tamo! Čak i najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se predstaviti u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalne točke postoji beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj da biste ga brzo usporedili s drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]

Ali sva su ta zaokruživanja, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočiglednih pogrešaka (usput, vještina usporedbe i zaokruživanja nužno se provjerava na ispitu profila).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena – oni su isti jednaki predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, poput razlomaka i cijelih brojeva koje odavno poznajemo.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da dati korijen nije racionalni broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih konstrukcija posebno dizajniranih za to (logaritmi, stupnjevi, granice itd.). Ali o tome drugi put.

Razmotrimo nekoliko primjera gdje će, nakon svih izračuna, iracionalni brojevi i dalje ostati u odgovoru.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, od strane izgled korijen je gotovo nemoguće pogoditi koji će brojevi doći nakon decimalne točke. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo nekoliko prvih znamenki iracionalan broj. Stoga je puno ispravnije odgovore napisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Kako bi bilo lakše zapisivati odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa unutra zadnje utočište od nule. Ali kockasti korijeni se mirno izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnih, čak i negativnih.

Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Raspored kvadratna funkcija daje dva korijena: pozitivan i negativan

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj graf. Za ovo, grafikon vodoravna crta$y=4$ (označeno crvenom bojom), koji siječe parabolu u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x)_(2))=-2$. Ovo je sasvim logično, jer

Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:

Ali što onda učiniti s drugom točkom? Ima li 4 dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne bismo napisali $\sqrt(4)=-2$? A zašto učitelji gledaju takve zapise kao da te žele pojesti? :)

To je nevolja, da ako ne nametneš nikakvu dodatni uvjeti, tada će četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I svaki pozitivan broj također će ih imati dva. No negativni brojevi uopće neće imati korijen - to se može vidjeti iz istog grafa, budući da parabola nikada ne pada ispod osi y, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:

Strogo govoreći, svaki pozitivan broj imat će dva korijena s parnim eksponentom $n$;
Iz negativnih brojeva korijen s čak $n$ uopće se ne izdvaja.

Zato definicija parnog korijena $n$ izričito propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Ovako se rješavamo nejasnoća.

Ali za neparan $n$ ne postoji takav problem. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Kubična parabola poprima bilo koju vrijednost, pa se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini povučemo vodoravnu crtu, ta će se crta sigurno presijecati s našim grafom. Stoga se kubni korijen uvijek može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj uzeti u obzir "ispravan" korijen, a koji postići. Zato je definicija korijena za neparni stupanj jednostavnija nego za paran (nema zahtjeva nenegativnosti).

Šteta što ove jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naš mozak počinje uzdizati sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne tvrdim: što je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o tome, jer bez toga sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila bi nepotpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. Inače, zbog obilja termina, u glavi će vam početi toliki nered da na kraju nećete baš ništa razumjeti.

A sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što stvarno trebate znati o korijenima:

Parni korijen postoji samo od nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav korijen je nedefiniran.

Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što kapa upućuje, negativan.

Je li teško? Ne, nije teško. Razumljivo? Da, očito je! Stoga ćemo sada malo vježbati s izračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju puno čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo zapisujemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]

Drugim riječima, ako podignemo broj na paran stepen, a zatim iz toga izvučemo korijen istog stupnja, dobit ćemo ne izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji je lako dokazati (dovoljno je zasebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim zasebno razmotriti negativne). Učitelji stalno govore o tome, to se nalazi u svakom školskom udžbeniku. Ali jednom kad dođe do odluke iracionalne jednadžbe(tj. jednadžbe koje sadrže predznak radikala), učenici zajedno zaboravljaju ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo sve formule na minutu i pokušajmo izbrojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo je vrlo jednostavni primjeri. Prvi će primjer riješiti većina ljudi, ali na drugom se mnogi drže. Kako biste bez problema riješili svako takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:

Prvo, broj se podiže na četvrti stepen. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. nema "redukcije" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne radnje.

Pozabavimo se prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo podižemo broj −3 na četvrti stepen, za što ga trebamo pomnožiti sam sa sobom 4 puta:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lijevo (-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, budući da je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada, i svi će se međusobno poništiti (na kraju krajeva, minus po minus daje plus). Zatim ponovno izvucite korijen:

U principu, ovaj redak se ne bi mogao napisati, jer je nebitno da će odgovor biti isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse, i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(poravnati)\]

Ti se proračuni dobro slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a predznak radikala je također uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim uzimamo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Stoga možemo biti sigurni da se nenegativan broj uvijek nalazi ispod predznaka korijena, budući da je $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
No, oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da prvo izvlačimo korijen iz određenog broja $a$ i tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kojem slučaju ne može biti negativan - to jest obavezni zahtjev uključeno u definiciju.

Stoga se ni u kojem slučaju ne smije nepromišljeno smanjivati korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavlja" izvorni izraz. Jer ako ispod korijena postoji negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo mnogo problema.

Međutim, svi ovi problemi su relevantni samo za jednake pokazatelje.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, korijeni s neparnim eksponentima također imaju svoje obilježje, koje u principu ne postoji za parne. Naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stupnja. Ovo je vrlo korisno svojstvo, što vam omogućuje da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(poravnati)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne trebate brinuti: što ako je negativan izraz ušao ispod korijena, a stupanj u korijenu se pokazao paran? Dovoljno je samo "izbaciti" sve minuse izvan korijena, nakon čega se mogu međusobno umnožiti, podijeliti i općenito učiniti mnoge sumnjive stvari, koje će nas u slučaju "klasičnih" korijena zajamčeno dovesti do pogreška.

I tu na scenu stupa još jedna definicija – ona s kojom većina škola započinje proučavanje iracionalnih izraza. A bez čega bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte se!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod predznaka korijena. Ocijenimo na parne/neparne pokazatelje, ocjenimo na svim gore navedenim definicijama - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?

I tada dobivamo aritmetički korijen - on se djelomično siječe s našim "standardnim" definicijama, ali se još uvijek razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, paritet nas više ne zanima. Umjesto toga, pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz sada je uvijek nenegativan, a sam korijen također nije negativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafove kvadratne i kubične parabole koji su nam već poznati:

Područje pretraživanja aritmetički korijen- nenegativni brojevi

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafova koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrti – gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati u indikator da biste razumjeli imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.

Možda ćete pitati: "Pa, zašto nam treba takva kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"

Pa, navest ću samo jedno svojstvo zbog kojeg nova definicija postaje odgovarajuća. Na primjer, pravilo eksponencijalnosti:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: korijenski izraz možemo podići na bilo koji stepen i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent s istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(poravnati)\]

Pa, što nije u redu s tim? Zašto to nismo mogli učiniti prije? Evo zašto. Razmislite o jednostavnom izrazu: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo ga pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom slučaju uklonili smo minus ispod radikala (imamo potpuno pravo, jer indikator je neparan), au drugom smo koristili gornju formulu. Oni. s gledišta matematike sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo formula eksponencijalnosti, koja izvrsno radi za pozitivne brojeve i nulu, počinje davati potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.

Ovdje su, kako bi se riješili takve nejasnoće, došli do aritmetičkih korijena. Njima je posvećena zasebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Dakle, sada se nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugačkom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u zasebnom odlomku ili ne. Na kraju sam odlučio otići odavde. Ovaj materijal namijenjen je onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj “školskoj” razini, već na razini bliskoj olimpijadi.

Dakle: pored "klasične" definicije korijena $n$-tog stupnja iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne pokazatelje, postoji "odrasla" definicija, koja ne ovisi o paritetu i druge suptilnosti uopće. To se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo$ b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno$ \]

Temeljna razlika u odnosu na standardnu definiciju danu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A budući da radimo s realnim brojevima, ovaj skup je samo tri vrste:

Prazan set. Pojavljuje se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija iz nule, spadaju u ovu kategoriju;
Konačno, skup može uključivati dva broja - isti $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratna funkcija. Sukladno tome, takvo je poravnanje moguće samo kada se iz pozitivnog broja izdvoji korijen parnog stupnja.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera kako bismo razumjeli razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Odluka. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo$ 2;-2 \desno$\]

To su dva broja koja su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo$ -3 \desno$\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, budući da je eksponent korijena neparan.

Konačno, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kada se podigne na četvrti (odnosno, paran!) stepen, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napominjemo: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo sa stvarnim brojevima. Budući da postoje i kompleksni brojevi - tu je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u suvremenom školskom kurikulumu matematike kompleksni brojevi se gotovo nikada ne nalaze. Izostavljeni su iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju da je tema "preteška za razumjeti".

Korijenski stupanj n od realnog broja a, gdje n- prirodan broj, takav se pravi broj zove x, nčija je th snaga jednaka a.

korijen stupnja n od broja a označeno simbolom. Prema ovoj definiciji.

Pronalaženje korijena n stupnja iz među a zove ekstrakcija korijena. Broj a naziva se korijenski broj (izraz), n- pokazatelj korijena. Za čudno n postoji korijen n-. stupanj za bilo koji realni broj a. Čak n postoji korijen n-. stupanj samo za nenegativan broj a. Kako bi se uklonila dvosmislenost korijena n stupnja iz među a, uvodi se pojam aritmetičkog korijena n stupnja iz među a.

Koncept aritmetičkog korijena stupnja N

Ako n- prirodni broj veći od 1 , tada postoji, i to samo jedan, nenegativan broj x, takav da vrijedi jednakost. Ovaj broj x zove se aritmetički korijen n th stepena nenegativnog broja a i označava se. Broj a naziva korijenskim brojem n- pokazatelj korijena.

Dakle, prema definiciji, oznaka , gdje , znači, prvo, da i, drugo, da , t.j. .

Pojam stupnja s racionalnim eksponentom

Stupanj s prirodnim eksponentom: neka a je pravi broj, i n je prirodan broj veći od jedan n-ti stepen broja a nazovi posao n množitelji, od kojih je svaki jednak a, tj. . Broj a- osnova diplome, n- eksponent. Eksponent s nultim eksponentom: po definiciji, ako , onda . Nulta snaga broja 0 nema smisla. Potencija s negativnim cijelim eksponentom: po definiciji, ako i n je prirodan broj, onda . Stupanj s razlomkom eksponenta: po definiciji, ako i n- prirodni broj, m je cijeli broj, onda .

Operacije s korijenima.

U svim formulama ispod, simbol označava aritmetički korijen (radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen umnoška nekoliko čimbenika jednak je umnošku korijena ovih čimbenika:

2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena dividende i djelitelja:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići korijenski broj na ovaj stepen:

4. Ako povećate stupanj korijena za n puta i istovremeno povisite broj korijena na n-ti stepen, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stupanj korijena za n puta i istovremeno izdvojite korijen n-tog stupnja iz radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Proširenje pojma stupnja. Do sada smo razmatrali stupnjeve samo s prirodnim pokazateljem; ali operacije s potencijama i korijenima također mogu dovesti do negativnih, nultih i razlomnih eksponenta. Svi ovi eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija nekog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:

Sada se formula a m: a n \u003d a m - n može koristiti ne samo za m veće od n, već i za m manje od n.

PRIMJER a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Ako želimo da formula a m: a n = a m - n vrijedi za m = n , moramo definirati nulti stupanj.

Stupanj s nultim eksponentom. Stupanj bilo kojeg broja različitog od nule s nultim eksponentom je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.

Stupanj s razlomkom eksponenta. Da biste podignuli realni broj a na stepen m / n, trebate izdvojiti korijen n-tog stupnja iz m-tog stepena ovog broja a:

O izrazima koji nemaju smisla. Postoji nekoliko takvih izraza.

Slučaj 1

Gdje a ≠ 0 ne postoji.

Doista, ako pretpostavimo da je x određeni broj, tada, u skladu s definicijom operacije dijeljenja, imamo: a = 0 · x, t.j. a = 0, što je u suprotnosti s uvjetom: a ≠ 0

Slučaj 2

Bilo koji broj.

Doista, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 · x . Ali ova jednakost vrijedi za bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

Stvarno,

Rješenje. Razmotrite tri glavna slučaja:

1) x = 0 - ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednadžbu

2) za x > 0 dobivamo: x / x = 1, tj. 1 = 1, odakle slijedi da je x bilo koji broj; ali s obzirom da je u našem slučaju x > 0 , odgovor je x > 0 ;

3) na x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

u ovom slučaju nema rješenja. Dakle, x > 0.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.