4 iracionalna broja s primjerima. Što su racionalni i iracionalni brojevi

Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim slovima latinično slovo ja (\displaystyle \mathbb (I) ) podebljano bez ispune. Na ovaj način: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q)), odnosno skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Postojanje iracionalnih brojeva, točnije segmenata koji su nesumjerljivi s segmentom jedinične duljine, bilo je poznato već starim matematičarima: poznavali su npr. nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalent iracionalnosti broja.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5
Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Korijen od 2

Recimo suprotno: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalno, odnosno predstavljeno kao razlomak m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), gdje m (\displaystyle m) je cijeli broj, i n (\displaystyle n)- prirodni broj .
Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Strelica desno 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Strelica desno m^(2)=2n^(2)).
Povijest

Antika

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću prije Krista, kada je Manawa (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) otkrio da je kvadratni korijeni neki prirodni brojevi, kao što su 2 i 61, ne mogu se eksplicitno izraziti [ ] .
Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pr. Kr.), Pitagorejcu. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment [ ] .
Nema točnih podataka čiju je iracionalnost broja dokazao Hipas. Prema legendi, pronašao ga je proučavajući duljine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to bio zlatni omjer [ ] .
Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesumjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipazu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipa stavilo je ispred pitagorejske matematike ozbiljan problem, uništavajući pretpostavku koja je u osnovi cijele teorije da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

Sa segmentom jedinične duljine stari su matematičari već znali: znali su, na primjer, nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Korijen od 2

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:
.
Iz ovoga proizlazi da je čak, dakle, čak i . Neka gdje cjelina. Zatim

Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da i su čak, što proturječi ireducibilnosti razlomka . Dakle, prvotna pretpostavka je bila pogrešna, i - ir racionalni broj.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: to je racionalno, to jest, predstavljeno je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Zatim

Ali jasno je, čudno je. Dobivamo kontradikciju.

e

Povijest

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću prije Krista, kada je Manawa (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) otkrio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.

Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pr. Kr.), Pitagorejcu koji je ovaj dokaz pronašao proučavajući duljine stranica pentagrama. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica duljine, budući da pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. Pokazao je da ako je hipotenuza jednakokrake pravokutni trokut sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, tada taj broj mora biti paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:
- Omjer duljine hipotenuze i duljine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a I b odabrana kao najmanja moguća.
- Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
- Jer a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
- Ukoliko a:b nesvodiv b mora biti čudno.
- Jer ačak, označiti a = 2y.
- Zatim a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², dakle b pa je onda bčak.
- Međutim, dokazano je da b neparan. Proturječje.
Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesumjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipazu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipaza predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

vidi također

Bilješke

Numerički sustavi
Brojanje
skupova Prirodni brojevi () Cijeli brojevi ()

racionalni broj je broj predstavljen običnim razlomkom m/n, gdje je brojnik m cijeli broj, a nazivnik n prirodan broj. Svaki racionalni broj može se predstaviti kao periodični beskonačni decimalni razlomak. Skup racionalnih brojeva označava se s Q.

Ako realan broj nije racionalan, onda jest iracionalan broj . Decimalni razlomci koji izražavaju iracionalne brojeve su beskonačni i nisu periodični. Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim latiničnim slovom I.

Zove se pravi broj algebarski, ako je korijen nekog polinoma (različit od nule) s racionalnim koeficijentima. Poziva se bilo koji nealgebarski broj transcendentan.

Neka svojstva:
Prilikom rješavanja zadataka zgodno je, zajedno s iracionalnim brojem a + b√ c (gdje su a, b racionalni brojevi, c cijeli broj koji nije kvadrat prirodnog broja), uzeti u obzir broj „konjugiran“ s to a - b√ c: njegov zbroj i umnožak s izvornim - racionalnim brojevima. Dakle, a + b√ c i a – b√ c su korijeni kvadratne jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima.

Problemi s rješenjima

1. Dokaži da

a) broj √ 7;

b) broj LG 80;

c) broj √ 2 + 3 √ 3;

je iracionalno.

a) Pretpostavimo da je broj √ 7 racionalan. Zatim, postoje koprosti p i q takvi da je √ 7 = p/q, odakle dobivamo p 2 = 7q 2 . Budući da su p i q međusobno prosti, onda je p 2, pa je p djeljivo sa 7. Tada je r = 7k, gdje je k neki prirodni broj. Stoga je q 2 = 7k 2 = pk, što je u suprotnosti s činjenicom da su p i q međusobno prosti.

Dakle, pretpostavka je netočna, pa je broj √ 7 iracionalan.

b) Pretpostavimo da je broj lg 80 racionalan. Tada postoje prirodni p i q takvi da je lg 80 = p/q, ili 10 p = 80 q , odakle dobivamo 2 p–4q = 5 q–p . Uzimajući u obzir da su brojevi 2 i 5 međusobno prosti, dobivamo da je posljednja jednakost moguća samo za p–4q = 0 i q–p = 0. Otuda je p = q = 0, što je nemoguće, budući da su p i q odabrano da bude prirodno.

Dakle, pretpostavka je netočna, pa je broj lg 80 iracionalan.

c) Označimo ovaj broj s x.

Tada (x - √ 2) 3 = 3, ili x 3 + 6x - 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Nakon kvadriranja ove jednadžbe, dobivamo da x mora zadovoljiti jednadžbu

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Njegovi racionalni korijeni mogu biti samo brojevi 1 i -1. Provjera pokazuje da 1 i -1 nisu korijeni.

Dakle, zadani broj √ 2 + 3 √ 3 je iracionalan.

2. Poznato je da su brojevi a, b, √ a –√ b ,- racionalno. Dokaži to √ a i √ b također su racionalni brojevi.

Razmotrite proizvod

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Broj √ a + √ b , koji je jednak omjeru brojeva a – b i √ a –√ b , je racionalan jer je kvocijent dva racionalna broja racionalan broj. Zbroj dva racionalna broja

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

je racionalan broj, njihova razlika,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

je također racionalan broj, što je trebalo dokazati.

3. Dokažite da postoje pozitivni iracionalni brojevi a i b za koje je broj a b prirodan.

4. Postoje li racionalni brojevi a, b, c, d koji zadovoljavaju jednakost

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

gdje je n prirodan broj?

Ako je jednakost data u uvjetu zadovoljena, a brojevi a, b, c, d su racionalni, tada je jednakost također zadovoljena:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Ali 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Dobivena proturječnost dokazuje da je izvorna jednakost nemoguća.

Odgovor: ne postoje.

5. Ako segmenti duljina a, b, c tvore trokut, tada je za sve n = 2, 3, 4, . . . segmenti duljina n √ a , n √ b , n √ c također tvore trokut. Dokaži.

Ako segmenti duljina a, b, c tvore trokut, onda daje nejednakost trokuta

Stoga imamo

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Slično se razmatraju i preostali slučajevi provjere nejednakosti trokuta, iz čega slijedi zaključak.

6. Dokaži da je beskonačni decimalni razlomak 0,1234567891011121314... cijeli brojevi redom) je iracionalan broj.

Kao što znate, racionalni brojevi se izražavaju kao decimalni razlomci, koji imaju period počevši od određenog znaka. Stoga je dovoljno dokazati da ovaj razlomak nije periodičan s bilo kojim predznakom. Pretpostavimo da to nije slučaj, a neki niz T, koji se sastoji od n znamenki, je period razlomka, počevši od m-tog decimalnog mjesta. Jasno je da iza m-te znamenke postoje znamenke različite od nule, tako da postoji znamenka različita od nule u nizu znamenki T. To znači da počevši od m-te znamenke nakon decimalne točke, između bilo kojih n znamenki u nizu postoji znamenka različita od nule. Međutim, u decimalnom zapisu ovog razlomka mora postojati decimalni zapis za broj 100...0 = 10 k , gdje je k > m i k > n. Jasno je da će se ovaj unos pojaviti desno od m-te znamenke i sadržavati više od n nula u nizu. Tako dobivamo kontradikciju, koja dovršava dokaz.

7. Zadan je beskonačan decimalni razlomak 0,a 1 a 2 ... . Dokažite da se znamenke u njegovom decimalnom zapisu mogu preurediti tako da rezultirajući razlomak izražava racionalan broj.

Podsjetimo da razlomak izražava racionalni broj ako i samo ako je periodičan, počevši od nekog znaka. Brojeve od 0 do 9 dijelimo u dvije klase: u prvu klasu uključujemo one brojeve koji se pojavljuju u izvornom razlomku konačan broj puta, u drugu klasu - one koji se pojavljuju u izvornom razlomku beskonačan broj puta. Počnimo ispisivati periodični razlomak, koji se može dobiti iz izvorne permutacije znamenki. Prvo, nakon nule i zareza, nasumičnim redoslijedom upisujemo sve brojeve iz prve klase – svaki onoliko puta koliko se pojavljuje u unosu izvornog razlomka. Napisane znamenke prve klase prethodit će točki u razlomku decimale. Zatim, jednom zapisujemo brojeve iz drugog razreda nekim redoslijedom. Ovu kombinaciju ćemo proglasiti točkom i ponoviti je beskonačan broj puta. Dakle, ispisali smo traženi periodični razlomak koji izražava neki racionalni broj.

8. Dokažite da u svakom beskonačnom decimalnom razlomku postoji niz decimalnih znamenki proizvoljne duljine, koji se javlja beskonačno mnogo puta u proširenju razlomka.

Neka je m proizvoljno zadan prirodan broj. Razbijmo ovaj beskonačni decimalni razlomak na segmente, svaki s m znamenki. Takvih će segmenata biti beskonačno mnogo. S druge strane, razni sustavi, koji se sastoji od m znamenki, postoji samo 10 m , tj. konačan broj. Prema tome, barem jedan od ovih sustava mora se ovdje ponavljati beskonačno mnogo puta.

Komentar. Za iracionalne brojeve √ 2 , π ili ečak ni ne znamo koja se znamenka ponavlja beskonačno mnogo puta u beskonačnim decimalima koje ih predstavljaju, iako se lako može pokazati da svaki od tih brojeva sadrži barem dvije različite takve znamenke.

9. Na elementaran način dokazati da je pozitivan korijen jednadžbe

je iracionalno.

Za x > 0, lijeva strana jednadžbe raste s x, i lako je vidjeti da je pri x = 1,5 manji od 10, a pri x = 1,6 veći od 10. Stoga je jedini pozitivni korijen od jednadžba se nalazi unutar intervala (1.5 ; 1.6).

Korijen zapisujemo kao nesvodljivi razlomak p/q, gdje su p i q neki koprimarni prirodni brojevi. Tada, za x = p/q, jednadžba će poprimiti sljedeći oblik:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

odakle slijedi da je p djelitelj 10, dakle, p je jednako jednom od brojeva 1, 2, 5, 10. No, ispisujući razlomke s brojnicima 1, 2, 5, 10, odmah primjećujemo da nijedan od oni spadaju unutar intervala (1,5; 1,6).

Dakle, pozitivni korijen izvorne jednadžbe ne može se predstaviti kao obični razlomak, što znači da je to iracionalan broj.

10. a) Postoje li tri točke A, B i C na ravnini takve da je za bilo koju točku X duljina barem jednog od odsječaka XA, XB i XC iracionalna?

b) Koordinate vrhova trokuta su racionalne. Dokažite da su koordinate središta njegove opisane kružnice također racionalne.

c) Postoji li sfera na kojoj se nalazi točno jedna racionalna točka? (Racionalna točka je točka za koju su sve tri kartezijanske koordinate racionalni brojevi.)

a) Da, postoje. Neka je C središte segmenta AB. Tada je XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Ako je broj AB 2 iracionalan, onda brojevi XA, XB i XC ne mogu biti racionalni u isto vrijeme.

b) Neka su (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) i (a 3 ; b 3) koordinate vrhova trokuta. Koordinate središta njegove opisane kružnice dane su sustavom jednadžbi:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Lako je provjeriti da su te jednadžbe linearne, što znači da je rješenje razmatranog sustava jednadžbi racionalno.

c) Takva sfera postoji. Na primjer, kugla s jednadžbom

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Točka O s koordinatama (0; 0; 0) je racionalna točka koja leži na ovoj sferi. Preostale točke sfere su iracionalne. Dokažimo to.

Pretpostavimo suprotno: neka je (x; y; z) racionalna točka sfere, različita od točke O. Jasno je da je x različit od 0, budući da za x = 0 postoji jedinstveno rješenje (0; 0 ; 0), što nas sada ne može zanimati. Proširimo zagrade i izrazimo √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

što ne može biti za racionalne x, y, z i iracionalne √ 2 . Dakle, O(0; 0; 0) je jedina racionalna točka na sferi koja se razmatra.

Problemi bez rješenja

1. Dokaži da je broj

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

je iracionalno.

2. Za koje cijele brojeve m i n vrijedi jednakost (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Postoji li broj a takav da su brojevi a - √ 3 i 1/a + √ 3 cijeli brojevi?

4. Mogu li brojevi 1, √ 2, 4 biti članovi (ne nužno susjedni) aritmetičke progresije?

5. Dokažite da za svaki pozitivan cijeli broj n jednadžba (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 nema rješenja u racionalnim brojevima (x; y).

Racionalni broj je broj koji se može predstaviti kao razlomak, gdje . Q je skup svih racionalnih brojeva.

Racionalni brojevi se dijele na: pozitivne, negativne i nulte.

Svaki racionalni broj može se povezati s jednom točkom na koordinatnoj liniji. Relacija "lijevo" za točke odgovara odnosu "manje od" za koordinate tih točaka. Može se vidjeti da je svaki negativan broj manji od nule i svaki pozitivan broj; od dva negativna broja manji je onaj čiji je modul veći. Dakle, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao decimalni periodični razlomak. Na primjer, .

Algoritmi za operacije nad racionalnim brojevima slijede iz pravila predznaka za odgovarajuće operacije nad nulom i pozitivnim razlomcima. Q obavlja dijeljenje osim dijeljenja s nulom.

Bilo koji Linearna jednadžba, tj. jednadžba oblika ax+b=0, gdje je , rješiva na skupu Q, ali ne bilo koja kvadratna jednadžba ljubazan , rješivo je u racionalnim brojevima. Nema svaka točka na koordinatnoj liniji racionalnu točku. Još krajem 6. st. pr. n. e u Pitagorinoj školi, dokazano je da dijagonala kvadrata nije razmjerna njegovoj visini, što je jednako tvrdnji: "Jednadžba nema racionalne korijene." Sve navedeno dovelo je do potrebe proširenja skupa Q, uveden je koncept iracionalnog broja. Skup iracionalnih brojeva označiti slovom J .

Na koordinatnoj liniji sve točke koje nemaju racionalne koordinate imaju iracionalne koordinate. , gdje r– skupovi realni brojevi. na univerzalan način dodjele realnih brojeva su decimale. Periodične decimale definiraju racionalne brojeve, a neperiodične decimale definiraju iracionalne brojeve. Dakle, 2,03 (52) je racionalan broj, 2,03003000300003 ... (period svake sljedeće znamenke "3" upisuje se još jedna nula) je iracionalan broj.

Skupovi Q i R imaju svojstva pozitivnosti: između bilo koja dva racionalna broja nalazi se racionalni broj, na primjer, ecoi a
Za svaki iracionalan broj α može se odrediti racionalna aproksimacija i s manjkom i s viškom s bilo kojom točnošću: a< α
Operacija vađenja korijena iz nekih racionalnih brojeva dovodi do iracionalnih brojeva. Izdvajanje korijena prirodnog stupnja je algebarska operacija, t.j. njegovo je uvođenje povezano s rješenjem algebarske jednadžbe oblika . Ako je n neparan, t.j. n=2k+1, gdje je , tada jednadžba ima jedan korijen. Ako je n paran, n=2k, gdje je , tada za a=0 jednadžba ima jedan korijen x=0, za<0 корней нет, при a>0 ima dva korijena koji su suprotni jedan drugome. Vađenje korijena je obrnuta operacija podizanja na prirodnu snagu.

Aritmetički korijen (radi kratkoće, korijen) n-tog stupnja nenegativnog broja a je nenegativan broj b, koji je korijen jednadžbe. Korijen n-tog stupnja iz broja a označava se simbolom. Za n=2, stupanj korijena 2 nije naznačen: .

Na primjer, , jer 2 2 =4 i 2>0; , jer 3 3 =27 i 3>0; ne postoji jer -4<0.

Za n=2k i a>0, korijeni jednadžbe (1) su zapisani kao i . Na primjer, korijeni jednadžbe x 2 \u003d 4 su 2 i -2.

Za n neparan, jednadžba (1) ima jedan korijen za bilo koji . Ako je a≥0, tada - korijen ove jednadžbe. Ako je a<0, то –а>0 i - korijen jednadžbe. Dakle, jednadžba x 3 \u003d 27 ima korijen.

Svi racionalni brojevi mogu se predstaviti kao obični razlomak. To se odnosi na cijele brojeve (na primjer, 12, -6, 0) i završne decimalne razlomke (na primjer, 0,5; -3,8921) i beskonačne periodične decimalne razlomke (na primjer, 0,11(23); -3 ,(87) )).

ali beskonačne decimale koje se ne ponavljaju ne mogu se predstaviti kao obični razlomci. To su oni iracionalni brojevi(tj. iracionalno). Primjer takvog broja je π, koji je približno jednak 3,14. Međutim, ne može se utvrditi koliko je to točno, jer nakon broja 4 postoji beskonačan niz drugih brojeva u kojima se ne mogu razlikovati periodi koji se ponavljaju. U isto vrijeme, iako se broj π ne može točno izraziti, on ima specifično geometrijsko značenje. Broj π je omjer duljine bilo koje kružnice i duljine njezina promjera. Dakle, iracionalni brojevi postoje u prirodi, kao i racionalni brojevi.

Drugi primjer iracionalnih brojeva su kvadratni korijeni pozitivnih brojeva. Izdvajanje korijena iz nekih brojeva daje racionalne vrijednosti, iz drugih - iracionalne. Na primjer, √4 = 2, tj. korijen od 4 je racionalan broj. Ali √2, √5, √7 i mnogi drugi rezultiraju iracionalnim brojevima, odnosno mogu se izdvojiti samo s aproksimacijom, zaokruženim na određeno decimalno mjesto. U ovom slučaju, razlomak se dobiva neperiodično. Odnosno, nemoguće je točno i definitivno reći koji je korijen ovih brojeva.

Dakle, √5 je broj između 2 i 3, budući da je √4 = 2, a √9 = 3. Također možemo zaključiti da je √5 bliži 2 nego 3, budući da je √4 bliži √5 nego √9 do √5. Doista, √5 ≈ 2,23 ili √5 ≈ 2,24.

Iracionalni brojevi dobivaju se i u drugim izračunima (i to ne samo kod vađenja korijena), oni su negativni.

U odnosu na iracionalne brojeve, možemo reći da bez obzira koji jedinični segment uzmemo za mjerenje duljine izražene takvim brojem, ne možemo je definitivno izmjeriti.

U aritmetičkim operacijama uz racionalne mogu sudjelovati i iracionalni brojevi. Istovremeno, postoji niz pravilnosti. Na primjer, ako su samo racionalni brojevi uključeni u aritmetičku operaciju, tada je rezultat uvijek racionalan broj. Ako u operaciji sudjeluju samo iracionalni, onda je nemoguće nedvojbeno reći hoće li ispasti racionalni ili iracionalni broj.

Na primjer, ako pomnožite dva iracionalna broja √2 * √2, dobit ćete 2 - ovo je racionalan broj. S druge strane, √2 * √3 = √6 je iracionalan broj.

Ako aritmetička operacija uključuje racionalan i iracionalan broj, tada će se dobiti iracionalan rezultat. Na primjer, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.

Zašto je √17 - 4 iracionalan broj? Zamislite da dobijete racionalni broj x. Tada je √17 = x + 4. Ali x + 4 je racionalan broj, budući da smo pretpostavili da je x racionalan. Broj 4 je također racionalan, pa je x + 4 racionalan. Međutim, racionalan broj ne može biti jednak iracionalnom √17. Stoga je pretpostavka da √17 - 4 daje racionalan rezultat netočna. Rezultat aritmetičke operacije bit će iracionalan.

Međutim, postoji iznimka od ovog pravila. Ako iracionalan broj pomnožimo s 0, dobit ćemo racionalni broj 0.
Također preporučujemo