Dat je algoritam za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Sastavimo algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe

1. Pronađite diskriminant D prema formuli D= -4ac.

2. Ako D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Ako je D=0, tada jednadžba ima jedan korijen:

4. Ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena:

Sada krenimo rješavati našu jednadžbu 3 -10x+3=0,

gdje je =3, b=-10 i c=3.

Pronalaženje diskriminanta:

D= -4*3*3=64

Budući da je D>0, onda ova jednadžba ima dva korijena. Nalazimo ih:

; .

Dakle, korijeni polinoma f(x)=3 -10+3 bit će brojevi 3 i .

Hornerova shema

Hornerova shema(ili Hornerovo pravilo, Hornerova metoda) - algoritam za izračunavanje vrijednosti polinoma, zapisanog kao zbroj polinoma (monoma), za zadanu vrijednost varijable . Ona nam, pak, pomaže da saznamo je li broj korijen zadanog polinoma ili ne.

Prvo razmotrite kako je polinom podijeljen f(x) u binom g(x).

Ovo se može napisati na sljedeći način: f(x):g(x)=n(x), gdje f(x)- dividenda, g(x)- djelitelj a n(x)- privatni.

Ali u slučaju kada f(x) nije djeljivo sa g(x) postoji opća oznaka izraza

Ovdje je stupanj r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Razmislite o dijeljenju polinoma binomom. Neka bude

,

dobivamo

Gdje je r broj jer stupanj r mora biti manji od stupnja (x-c).

Umnožimo se s(x) na i dobiti

Dakle, kod dijeljenja binomom moguće je iz dobivenih formula odrediti koeficijente kvocijenta. Ova metoda određivanja koeficijenata naziva se Hornerova shema.

				...
	+			...
c				...	r

Pogledajmo sada nekoliko primjera primjene Hornerove sheme.

Primjer. Izvrši dijeljenje polinoma f(x)= na x+3.

Riješenje. Na početku je potrebno napisati x+3) kao ( x-(-3)), budući da će u samoj shemi sudjelovati točno -3. U gornjem retku ćemo napisati koeficijente, u donjem retku - rezultat radnji.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Pronalaženje korijena prema Hornerovoj shemi. Vrste korijena

Prema Hornerovoj shemi, može se pronaći cjelobrojni korijen polinoma f(x). Pogledajmo ovo na primjeru.

Primjer. Pronađite sve cjelobrojne korijene polinoma f(x)= , koristeći Hornerovu shemu.

Riješenje. Koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi. Koeficijent prije najvišeg stupnja (u našem slučaju prije) jednak je jedan. Stoga ćemo tražiti cjelobrojne korijene polinoma među djeliteljima slobodnog člana (imamo 15), a to su brojevi:

Počnimo s brojem 1.

Stol 1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

Iz rezultirajuće tablice može se vidjeti da je za =1 polinom polinoma f(x)= , dobili smo ostatak r=192, a ne 0, što znači da jedinica nije korijen. Stoga nastavljamo provjeru na =-1. Da bismo to učinili, nećemo kreirati novu tablicu, već ćemo nastaviti u staroj i prekrižiti podatke koji više nisu potrebni.

Tablica broj 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Kao što vidimo iz tablice, posljednja ćelija je ispala nula, što znači da je r=0. posljedično? broj -1 je korijen ovog polinoma. Dijeljenje našeg polinoma polinoma f(x)= na ()=x+1 dobili smo polinom

f(x)=(x+1)(),

koeficijenti za koje smo uzeli iz trećeg retka tabele br. 2.

Možemo napraviti i ekvivalentnu notaciju

(x+1)(). Označi ga (1)

Sada je potrebno nastaviti potragu za cjelobrojnim korijenima, ali tek sada ćemo već tražiti korijene polinoma. Te ćemo korijene tražiti među slobodnim članom polinoma, brojem 45.

Provjerimo opet broj -1.

Tablica br. 3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Dakle, broj -1 je korijen polinoma, može se napisati kao

Uzimajući u obzir jednakost (2), jednakost (1) možemo napisati u sljedećem obliku

Sada tražimo korijene za polinom, opet među djeliteljima slobodnog člana. Provjerimo opet broj -1.

Tablica br.4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

Prema tablici vidimo da je broj -1 korijen polinoma.

S obzirom na (3*), možemo prepisati jednakost (2*) kao:

Sada ćemo tražiti korijen za . Opet gledamo djelitelje slobodnog člana. Počnimo ponovno provjeravati s brojem -1.

Tablica broj 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Dobili smo ostatak koji nije jednak nuli, što znači da broj -1 nije korijen polinoma. Provjerimo sljedeći broj 1.

Tablica br.6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

I vidimo da opet ne odgovara, ostatak je r(x) = 24. Uzimamo novi broj.

Provjerimo broj 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Tablica broj 7

r(x)= 0, to znači da je broj 3 korijen polinoma, ovaj polinom možemo zapisati kao:

=(x-3)( )

S obzirom na dobiveni izraz, jednakost (5) možemo napisati na sljedeći način:

(x-3)( ) (6)

Provjerimo sada polinom

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tablica br.8

Na temelju tablice vidimo da je broj 3 korijen polinoma . Sada napišimo sljedeće:

Zapisujemo jednakost (5*), uzimajući u obzir rezultirajući izraz, na sljedeći način:

(x-3)()= = .

Pronađite korijen za binom među djeliteljima slobodnog člana.

Uzmimo broj 5

Tablica br.9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, pa je 5 korijen binoma.

Dakle, možemo pisati

Odluka ovaj primjer bit će stol broj 8.

Kao što se može vidjeti iz tablice, brojevi -1; 3; 5 su korijeni polinoma.

Sada idemo izravno na vrste korijena.

1 je korijen trećeg stupnja, budući da je zagrada (x + 1) u trećem stupnju;

3- korijen drugog stupnja, zagrada (x-3) u drugom stupnju;

5 je korijen prvog stupnja ili, drugim riječima, jednostavan.

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u vašem pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

U pojmu "kvadratna jednadžba" ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednadžba mora nužno sadržavati varijablu (isti X) u kvadratu, a istovremeno ne smije biti X-ova u trećem (ili većem) stupnju.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješenje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Riješite se nazivnika i svaki član jednadžbe pomnožite sa

Pomaknimo sve na lijevu stranu i rasporedimo članove silaznim redoslijedom potencija x

Sada to sa sigurnošću možemo reći zadana jednadžba je kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je izvorno bila u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Strašno? Četvrti i drugi stupanj... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4

Čini se da jest, ali pogledajmo pobliže. Pomaknimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadratna;
4. nije kvadratna;
5. nije kvadratna;
6. kvadrat;
7. nije kvadratna;
8. kvadrat.

Matematičari uvjetno dijele sve kvadratne jednadžbe u sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Nepotpune su jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat !!! Inače, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednadžba.

Zašto su smislili takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva je podjela posljedica metoda rješavanja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi – one su puno jednostavnije!

Nepotpune kvadratne jednadžbe su sljedećih vrsta:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj su jednadžbi koeficijent i slobodni član jednaki.

1. i. Budući da znamo izvlačiti Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, onda dobivamo dva korijena. Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar je da uvijek trebate znati i zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje izvaditi korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako izvaditi korijenje?

Odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Jao! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednadžba

nema korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Na ovaj način,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika gdje je

Rješavanje punih kvadratnih jednadžbi je malo kompliciranije (samo malo) od navedenih.

Zapamtiti, bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti pomoću diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Ostale metode pomoći će vam da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo svladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način vrlo je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen Posebna pažnja nacrtaj korak. Diskriminant () nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. To ukazuje da jednadžba nema korijena.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

Korak 3

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

Odgovor: nema korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju smanjene (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba je jednak, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova je jednadžba prikladna za rješenje pomoću Vietinog teorema, jer .

Zbroj korijena jednadžbe je, t.j. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sustav:

• I. Zbroj je;
• I. Zbroj je;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Jednadžba se reducira, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi, štoviše.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, ali - slobodan član.

Zašto? Jer ako, jednadžba će odmah postati linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj se jednadžba stolice naziva nepotpuna. Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednadžbi:

I. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svakog od ovih podtipova.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, tada jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednadžba

nema korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je nula ako je barem jedan od čimbenika nula. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Faktoriziramo lijevu stranu jednadžbe i pronađemo korijene:

Odgovor:

Metode za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u formuli korijena? Ali diskriminant može biti negativan. Što učiniti? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, tada jednadžba ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali u stvari, jedan korijen:

  Takvi korijeni nazivaju se dvostrukim korijenima.

• Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. To ukazuje da jednadžba nema korijena.

Zašto postoje različiti brojevi korijena? Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednadžbe. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s osi x (os). Parabola možda uopće ne prelazi os ili je može presijecati u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietin teorem

Korištenje Vietinog teorema vrlo je jednostavno: samo trebate odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu, uzetom s suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo na zadane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova je jednadžba prikladna za rješenje pomoću Vietinog teorema, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Odaberimo takve parove brojeva, čiji je umnožak jednak, i provjerimo je li njihov zbroj jednak:

• I. Zbroj je;
• I. Zbroj je;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Odaberemo takve parove brojeva koji daju u umnošku, a zatim provjerimo je li njihov zbroj jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, posao.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbroj korijena je razlike njihovih modula.

Odabiremo takve parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Budući da njihov zbroj mora biti jednak, tada korijen koji je manji po apsolutnoj vrijednosti mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba se reducira, što znači:

Slobodni je član negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijeni i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba se reducira, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Odabiremo takve parove brojeva, čiji je umnožak jednak:

Očito su korijeni brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno - izmišljati korijene usmeno, umjesto brojanja ovog gadnog diskriminanta. Pokušajte koristiti Vietin teorem što je češće moguće.

Ali Vieta teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Kako bi vam bilo isplativo koristiti ga, morate radnje dovesti do automatizma. A za to riješi još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminant! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir započinjemo s proizvodom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naš omiljeni Vietin teorem: zbroj bi trebao ispasti, ali je proizvod jednak.

Ali budući da ne bi trebalo biti, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve pojmove prenijeti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

Da, stani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u zadanim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

Fino. Tada je zbroj korijena jednak umnošku.

Ovdje je lakše pokupiti: uostalom - prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni termin je negativan. Što je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih znakova. A sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, već proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što prvo treba učiniti? Tako je, dajte jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj mora biti jednak, što znači da će s minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

da rezimiram:

1. Vietin se teorem koristi samo u zadanim kvadratnim jednadžbama.
2. Koristeći Vieta teorem, korijene možete pronaći odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije data ili nije pronađen prikladan par faktora slobodnog člana, onda nema cjelobrojnih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljaju kao članovi iz formula skraćenog množenja - kvadrat zbroja ili razlike - tada se nakon promjene varijabli jednadžba može prikazati kao nepotpuna kvadratna jednadžba tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

U opći pogled transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća li vas ni na što? To je diskriminator! Upravo tako je dobivena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznanica, su koeficijenti kvadratne jednadžbe, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako i, jednadžba ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazite nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, tada jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminanta

1) Donosimo jednadžbu na standardni pogled: ,

2) Izračunajte diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, tada jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika, gdje je) jednak je, a umnožak korijena jednak, t.j. , ali.

2.3. Rješenje punog kvadrata

Ako kvadratna jednadžba oblika ima korijen, onda se može napisati u obliku: .

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan polaganje ispita, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zaraditi puno više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? Ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite nužno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

slajd 2

Ciklus kvadratnih jednadžbi nastave algebre u 8. razredu prema udžbeniku A.G. Mordkovich

Učitelj MBOU Grushevskaya srednje škole Kireeva T.A.

slajd 3

Ciljevi: upoznati pojmove kvadratne jednadžbe, korijena kvadratne jednadžbe; pokazati rješenja kvadratnih jednadžbi; formirati sposobnost rješavanja kvadratnih jednadžbi; pokazati način rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi pomoću formule korijena kvadratne jednadžbe.

slajd 4

slajd 5

Malo povijesti Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu. Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja još je u antici bila uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina zemljišta i s zemljani radovi vojne prirode, kao i s razvojem same astronomije i matematike. Babilonci su znali riješiti kvadratne jednadžbe oko 2000 godina prije naše vjere. Koristeći se suvremenim algebarskim zapisom, može se reći da u njihovim klinopisnim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe.

slajd 6

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, postavljeno u babilonskim tekstovima, poklapa se sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Usprkos visoka razina razvoj algebre u Babiloniji, koncept negativnog broja i opće metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi izostaju u klinastim tekstovima.

Slajd 7

Definicija 1. Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika gdje su koeficijenti a, b, c bilo koji realni brojevi, a Polinom se zove kvadratni trinom. a je prvi ili najviši koeficijent c je drugi koeficijent c je slobodan pojam

Slajd 8

Definicija 2. Kvadratna jednadžba naziva se reduciranom ako joj je vodeći koeficijent jednak 1; kvadratna se jednadžba naziva nereduciranom ako je vodeći koeficijent različit od 1. Primjer. 2 - 5 + 3 = 0 - nereducirana kvadratna jednadžba - redukovana kvadratna jednadžba

Slajd 9

Definicija 3. Potpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj su prisutna sva tri člana. a + in + c \u003d 0 Nepotpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj nisu prisutna sva tri člana; je jednadžba za koju je barem jedan od koeficijenata u, c jednak nuli.

Slajd 10

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

slajd 11

Riješite zadatke br. 24.16 (a, b) Riješi jednadžbu: ili Odgovori. ili Odgovor.

slajd 12

Definicija 4 Korijen kvadratne jednadžbe je svaka vrijednost varijable x na kojoj kvadratni trinom nestaje; takvu vrijednost varijable x nazivamo i korijenom kvadratnog trinoma.Rješavanje kvadratne jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili utvrditi da nema korijena.

slajd 13

Diskriminant kvadratne jednadžbe D 0 D=0 Jednadžba nema korijena Jednadžba ima dva korijena Jednadžba ima jedan korijen Formule za korijene kvadratne jednadžbe

Slajd 14

D>0 kvadratna jednadžba ima dva korijena, koji se nalaze formulama Primjer. Riješite jednadžbu Rješenje. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, odgovor: 1; -3

slajd 15

Algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe 1. Izračunajte diskriminant D pomoću formule D = 2. Ako je D 0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.

Programiranje u Lazara za školarce.

Lekcija broj 12.

Rješenje kvadratne jednadžbe.

Matytsin Igor Vladimirovič

Nastavnik matematike i informatike

Srednja škola MBOU s. djevojka

Svrha: napisati program za rješavanje kvadratne jednadžbe na bilo koji ulaz.

Djevojčica 2013.

Kvadratna jednadžba jedna je od najčešćih jednadžbi školskih predmeta. Iako je to prilično lako riješiti, ponekad morate provjeriti odgovore. Za to možete koristiti jednostavan program. Neće dugo trajati da ga napišete.

Morate početi od same kvadratne jednadžbe. Iz tečaja algebre znamo da je kvadratna jednadžba jednadžba oblika sjekira 2 + bx + c =0, gdje x - varijabilna, a , b i c su neki brojevi i a .

Iz definicije se vidi da se u jednadžbi mijenjaju samo koeficijenti a , b I c . To su parametri koje ćemo unijeti u naš program, a za to ćemo od komponenti kreirati tri polja za unos.

Slika 14.1 Polja za unos koeficijenata.

Iz definicije također proizlazi da a . U ovom slučaju, jednadžba neće biti kvadratna. A mi ćemo prije svega provjeriti ovo stanje. Kreirajmo gumb "Riješi" i njegov programer događaja pomoću operatora ako provjeriti stanje a . I ako a =0 kažemo da naša jednadžba nije kvadratna.Evo rukovatelja događaja za gumb:procedura TForm1.Button1Click(Pošiljatelj: TObject); var a,b,c:real; započeti a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); ako je a=0 onda Label4.Caption:="Jednadžba nije kvadratna";kraj;

Riža. 14.2 Ispitivanje postojanja jednadžbe.

Sada je potrebno opisati što će se dogoditi ako je jednadžba kvadratna. To će također biti u istoj izjavi ako nakon riječi drugo a kada se koristi složeni operator.

Ako je jednadžba kvadratna, odmah ćemo je riješiti pomoću formule diskriminanta i korijena kvadratne jednadžbe.

Diskriminanta nalazimo po formuli: D := b * b – 4* a * c ;

Ako je diskriminant manji od nule, tada jednadžba nema rješenja. Bit će opisan ovako:

Ako d zatim označiti 4. Naslov :='Jednadžba nema rješenja' drugo …

I onda drugo bit će izravno traženje korijena jednadžbe pomoću formula:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Ovdje je kompletan kod operatera ako :

ako je a=0 onda Label4.Caption:="Jednadžba nije kvadratna" drugo

početi

D:=b*b-4*a*c;

ako d

početi

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

kraj;

kraj;

Riža. 14.3 Radni prozor programske kvadratne jednadžbe.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a*x^2 +b*x+c=0, gdje su a,b,c neki proizvoljni realni (realni) brojevi, a x je varijabla. I broj a=0.

Brojevi a,b,c nazivaju se koeficijenti. Broj a - naziva se vodeći koeficijent, broj b je koeficijent na x, a broj c se naziva slobodnim članom.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Riješiti kvadratnu jednadžbu znači pronaći sve njezine korijene ili utvrditi činjenicu da kvadratna jednadžba nema korijena. Korijen kvadratne jednadžbe a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 je bilo koja vrijednost varijable x, takva da kvadratni trinom a*x^2 +b*x+c nestaje. Ponekad se takva vrijednost x naziva korijenom kvadratnog trinoma.

Postoji nekoliko načina rješavanja kvadratnih jednadžbi. Razmotrite jedan od njih - najsvestraniji. Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Formula za korijene kvadratne jednadžbe je a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), gdje je D =b^2-4*a*c.

Ova se formula dobiva rješavanjem jednadžbe a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 u općem obliku, isticanjem kvadrata binoma.

U formuli korijena kvadratne jednadžbe izraz D (b^2-4*a*c) naziva se diskriminantom kvadratne jednadžbe a*x^2 +b*x+c=0. Ovo ime je došlo od latinski, u prijevodu "različit". Ovisno o vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba će imati dva ili jedan korijen, ili uopće neće imati korijena.

Ako je diskriminant veći od nule, tada kvadratna jednadžba ima dva korijena. (x=(-b±√D)/(2*a))

Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen. (x=(-b/(2*a))

Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba nema korijena.

Opći algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe

Na temelju prethodno navedenog, formuliramo opći algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe a*x^2 +b*x+c=0 pomoću formule:

1. Pronađite vrijednost diskriminanta pomoću formule D =b^2-4*a*c.

2. Ovisno o vrijednosti diskriminanta, izračunajte korijene pomoću formula:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Ovaj algoritam je univerzalan i prikladan za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe. Potpuni i nepotpuni, citirani i necitirani.