REALNI BROJEVI II

§ 44 Geometrijski prikaz realnih brojeva

Geometrijski realni brojevi, poput racionalnih brojeva, predstavljeni su točkama na ravnoj crti.

Neka bude l - proizvoljna ravna linija, i O - neke od njegovih točaka (slika 58). Svaki pozitivan realni broj α staviti u korespondenciju točku A, koja leži desno od O na udaljenosti od α jedinice duljine.

ako npr. α = 2,1356..., dakle

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

itd. Očito je da točka A u ovom slučaju mora biti na pravoj l desno od točaka koje odgovaraju brojevima

2; 2,1; 2,13; ... ,

ali lijevo od točaka koje odgovaraju brojevima

3; 2,2; 2,14; ... .

Može se pokazati da ovi uvjeti definiraju na liniji l jedina točka A, koju smatramo geometrijskom slikom realnog broja α = 2,1356... .

Isto tako, svaki negativni realni broj β stavi u korespondenciju točku B koja leži lijevo od O na udaljenosti od | β | jedinice duljine. Konačno, točku O dodijelimo broju "nula".

Dakle, broj 1 će biti prikazan na ravnoj liniji l točka A, smještena desno od O na udaljenosti od jedne jedinice duljine (slika 59), broj - √2 - točka B, koja leži lijevo od O na udaljenosti od √2 jedinice duljine, itd.

Pokažimo kako na ravnoj liniji l pomoću šestara i ravnala možete pronaći točke koje odgovaraju realnim brojevima √2, √3, √4, √5, itd. Da bismo to učinili, prije svega, pokazat ćemo kako konstruirati segmente čije su duljine izražene s ove brojke. Neka je AB odsječak uzet kao jedinica duljine (slika 60).

U točki A vraćamo okomicu na ovaj segment i na njoj odvajamo segment AC, jednak segmentu AB. Zatim, primjenjujući Pitagorin teorem na pravokutni trokut ABC, dobivamo; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 = √2

Stoga segment BC ima duljinu √2. Sada vratimo okomicu na segment BC u točki C i izaberemo točku D na njoj tako da segment CD bude jednako jednom AB duljina. Zatim od pravokutni trokut BCD nalaz:

VD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Stoga segment BD ima duljinu √3. Nastavljajući dalje opisani proces, mogli bismo dobiti segmente BE, BF, ..., čije su duljine izražene brojevima √4, √5, itd.

Sada na liniji l lako je pronaći one točke koje služe kao geometrijski prikaz brojeva √2, √3, √4, √5, itd.

Stavljajući npr. desno od točke O segment BC (slika 61), dobivamo točku C, koja služi kao geometrijski prikaz broja √2. Na isti način, odlaganjem segmenta BD desno od točke O, dobivamo točku D", koja je geometrijska slika broja √3, itd.

No, ne treba misliti da uz pomoć šestara i ravnala na brojevnoj liniji l može se pronaći točka koja odgovara bilo kojem realnom broju. Dokazano je, na primjer, da je, imajući na raspolaganju samo šestar i ravnalo, nemoguće konstruirati segment čija je duljina izražena brojem π = 3,14 ... . Dakle, na brojevnoj liniji l korištenjem ovakvih konstrukcija nemoguće je naznačiti točku koja odgovara ovom broju, ali takva točka postoji.

Dakle za svaki pravi broj α moguće je pridružiti neku dobro definiranu točku linije l . Ova točka će biti odvojena od početne točke O na udaljenosti od | α | jedinice duljine i biti desno od O ako α > 0, a lijevo od O ako α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две razne točke ravno l . Doista, neka broj α odgovara točki A, a broj β - točka B. Onda, ako α > β , tada će A biti desno od B (slika 62, a); ako α < β , tada će A ležati lijevo od B (slika 62, b).

Govoreći u § 37 o geometrijskom prikazu racionalnih brojeva, postavili smo pitanje: može li se bilo koja točka ravne linije smatrati geometrijskom slikom nekog racionalno brojevi? Tada nismo mogli dati odgovor na ovo pitanje; sada možemo sasvim sigurno odgovoriti. Na pravoj liniji postoje točke koje služe kao geometrijska slika iracionalni brojevi(npr. √2 ). Stoga svaka točka na ravnoj liniji ne predstavlja racionalni broj. Ali u ovom slučaju postavlja se još jedno pitanje: može li se bilo koja točka realne linije smatrati geometrijskom slikom neke valjano brojevi? Ovo pitanje je već pozitivno riješeno.

Doista, neka je A proizvoljna točka na pravoj l , koji leži desno od O (slika 63).

Duljina odsječka OA izražava se nekim pozitivnim realnim brojem α (vidi § 41). Stoga je točka A geometrijska slika broja α . Slično, utvrđeno je da se svaka točka B, koja leži lijevo od O, može smatrati geometrijskom slikom negativnog realnog broja - β , gdje β - duljina segmenta VO. Konačno, točka O služi kao geometrijski prikaz broja nula. Jasno je da su dvije različite točke linije l ne može biti geometrijska slika istog realnog broja.

Iz gore navedenih razloga, ravna linija na kojoj je neka točka O označena kao "početna" točka (za danu jedinicu duljine) naziva se brojevnu liniju.

Izlaz. Skup svih realnih brojeva i skup svih točaka realnog pravca su u korespondenciji jedan prema jedan.

To znači da svakom realnom broju odgovara jedna, dobro definirana točka brojevnog pravca, i, obrnuto, svakoj točki brojevnog pravca, s takvom korespondencijom, odgovara jedan, dobro definiran realni broj.

Vježbe

320. Pronađi koja je od dvije točke na brojevnoj liniji lijevo, a koja desno, ako te točke odgovaraju brojevima:

a) 1,454545... i 1,455454...; c) 0 i - 1,56673...;

b) - 12,0003... i - 12,0002...; d) 13.24... i 13.00...

321. Pronađi koja je od dvije točke dalje od početne točke O na brojevnoj liniji, ako te točke odgovaraju brojevima:

a) 5,2397... i 4,4996...; .. c) -0,3567... i 0,3557... .

d) - 15,0001 i - 15,1000...;

322. U ovom dijelu je pokazano da za konstruiranje odsječka duljine √ n koristeći šestar i ravnalo, možete učiniti sljedeće: prvo konstruirati segment duljine √2, zatim segment duljine √3, itd., dok ne dođemo do segmenta duljine √ n . Ali za svaki fiksni P > 3 ovaj se proces može ubrzati. Kako biste, na primjer, počeli graditi segment duljine √10?

323*. Kako pomoću šestara i ravnala pronaći točku na brojevnoj liniji koja odgovara broju 1 / α , ako je položaj točke koji odgovara broju α , znan?

Brojevna linija, brojevna os, je pravac na kojem su prikazani realni brojevi. Na pravoj liniji bira se ishodište - točka O (točka O predstavlja 0) i točka L, koja predstavlja jedinicu. Točka L obično stoji desno od točke O. Segment OL naziva se jedinični segment.

Točke desno od točke O predstavljaju pozitivne brojeve. Točke lijevo od točke. Oh, oslikaj negativne brojeve. Ako točka X predstavlja pozitivan broj x, tada je udaljenost OX = x. Ako točka X predstavlja negativan broj x, tada je udaljenost OX = - x.

Broj koji pokazuje položaj točke na ravnoj crti naziva se koordinata te točke.

Točka V prikazana na slici ima koordinate 2, a točka H ima koordinatu -2,6.

Modul realnog broja je udaljenost od ishodišta do točke koja odgovara tom broju. Označite modul broja x, pa: | x |. Očito, | 0 | = 0.

Ako je broj x veći od 0, tada | x | = x, a ako je x manji od 0, onda | x | = - x. Na tim svojstvima modula temelji se rješenje mnogih jednadžbi i nejednadžbi s modulom.

Primjer: Riješite jednadžbu | x - 3 | = 1.

Rješenje: Razmotrimo dva slučaja - prvi slučaj, kada je x -3 > 0, i drugi slučaj, kada je x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

U ovom slučaju | x - 3 | = x - 3.

Jednadžba ima oblik x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - zadovoljiti prvi uvjet.

2. x -3 0, x 3.

U ovom slučaju | x - 3 | = - x + 3

Jednadžba ima oblik x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - zadovoljiti drugi uvjet.

Odgovor: x = 4, x = -2.

Numerički izrazi.

Numerički izraz je zbirka jednog ili više brojeva i funkcija povezanih aritmetičkim operatorima i zagradama.
Primjeri brojčanih izraza:

Vrijednost numeričkog izraza je broj.
Operacije u numeričkom izrazu izvode se sljedećim redoslijedom:

1. Radnje u zagradama.

2. Proračun funkcija.

3. Eksponencijacija

4. Množenje i dijeljenje.

5. Zbrajanje i oduzimanje.

6. Operacije iste vrste izvode se s lijeva na desno.

Dakle, vrijednost prvog izraza bit će sam broj 12.3
Da bismo izračunali vrijednost drugog izraza, izvršit ćemo radnje u sljedećem slijedu:

1. Izvedite radnje u zagradama u sljedećem slijedu - prvo podižemo 2 na treći stepen, a zatim oduzimamo 11 od rezultirajućeg broja:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Pomnožite 3 s 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Izvedite operacije uzastopno s lijeva na desno:

12 + (-3) = 9.
Izraz s varijablama je zbirka jednog ili više brojeva, varijabli i funkcija povezanih aritmetičkim operatorima i zagradama. Vrijednosti izraza s varijablama ovise o vrijednostima varijabli uključenih u njih. Redoslijed operacija ovdje je isti kao i za numeričke izraze. Ponekad je korisno pojednostaviti izraze s varijablama izvođenjem različitih radnji - zagrada, proširenje zagrada, grupiranje, smanjenje razlomaka, smanjenje sličnih itd. Također, radi pojednostavljenja izraza često se koriste različite formule, na primjer, skraćene formule množenja, svojstva raznih funkcija itd.

Algebarski izrazi.

Algebarski izraz je jedna ili više algebarskih veličina (brojeva i slova) međusobno povezanih znakovima algebarskih operacija: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje, kao i izdvajanje korijena i podizanje na cijeli broj (štoviše, korijen i eksponent moraju nužno biti cijeli brojevi) i znakovi slijeda tih radnji (obično zagrade različite vrste). Broj količina uključenih u algebarski izraz trebao bi biti konačan.

Primjer algebarskog izraza:

"Algebarski izraz" je sintaktički koncept, to jest, nešto je algebarski izraz ako i samo ako poštuje određena gramatička pravila (vidi Formalna gramatika). Ako se slova u algebarskom izrazu smatraju varijablama, tada algebarski izraz dobiva značenje algebarske funkcije.

Iz velike raznolikosti skupova od posebnog interesa su tzv skupovi brojeva, odnosno skupovi čiji su elementi brojevi. Jasno je da ih za ugodan rad s njima morate znati zapisati. S notnim oznakama i principima pisanja brojevnih skupova, počet ćemo ovaj članak. A zatim ćemo razmotriti kako su numerički skupovi prikazani na koordinatnoj liniji.

Navigacija po stranici.

Pisanje numeričkih skupova

Počnimo s prihvaćenom notacijom. Kao što je poznato, velika slova latinske abecede koriste se za označavanje skupova. Brojčani skupovi poput poseban slučaj skupovi su također označeni. Na primjer, možemo govoriti o brojčanim skupovima A , H , W , itd. Od posebne su važnosti skupovi prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih, realnih, kompleksnih brojeva itd., za koje su usvojene vlastite oznake:

• N je skup svih prirodnih brojeva;
• Z je skup cijelih brojeva;
• Q je skup racionalnih brojeva;
• J je skup iracionalnih brojeva;
• R je skup realnih brojeva;
• C je skup kompleksnih brojeva.

Iz ovoga je jasno da nije potrebno označavati skup koji se sastoji, na primjer, od dva broja 5 i −7 kao Q, ova će oznaka biti pogrešna, budući da slovo Q obično označava skup svih racionalnih brojeva. Za označavanje navedenog numeričkog skupa, bolje je koristiti neko drugo "neutralno" slovo, na primjer, A.

Budući da je riječ o zapisu, ovdje se podsjećamo i na zapis praznog skupa, odnosno skupa koji ne sadrži elemente. Označava se znakom ∅.

Prisjetimo se i oznake pripadnosti i nečlanstva elementa u skupu. Da biste to učinili, koristite znakove ∈ - pripada i ∉ - ne pripada. Na primjer, unos 5∈N znači da broj 5 pripada skupu prirodnih brojeva, a 5.7∉Z - decimalni razlomak 5.7 ne pripada skupu cijelih brojeva.

Prisjetimo se i notacije koja je usvojena za uključivanje jednog skupa u drugi. Jasno je da su svi elementi skupa N uključeni u skup Z, dakle, skup brojeva N je uključen u Z, to se označava kao N⊂Z. Također možete koristiti zapis Z⊃N, što znači da skup svih cijelih brojeva Z uključuje skup N. Relacije koje nisu uključene i koje nisu uključene označene su znakovima ⊄ odnosno . Također se koriste i znakovi nestrogog uključivanja oblika ⊆ i ⊇, što znači uključeno ili podudara se i uključuje ili podudara.

Razgovarali smo o zapisu, prijeđimo na opis brojčanih skupova. U ovom slučaju dotaknut ćemo se samo glavnih slučajeva koji se najčešće koriste u praksi.

Počnimo s brojčanim skupovima koji sadrže konačan i mali broj elemenata. Numerički skupovi koji se sastoje od konačnog broja elemenata mogu se prikladno opisati navođenjem svih njihovih elemenata. Svi elementi brojeva napisani su odvojeni zarezima i zatvoreni u , što je u skladu s zajedničkim postaviti pravila opisa. Na primjer, skup koji se sastoji od tri broja 0 , −0,25 i 4/7 može se opisati kao (0, −0,25, 4/7) .

Ponekad, kada je broj elemenata brojčanog skupa dovoljno velik, ali se elementi pokoravaju nekom uzorku, za opisivanje se koristi elipsa. Na primjer, skup svih neparnih brojeva od 3 do uključujući 99 može se zapisati kao (3, 5, 7, ..., 99) .

Tako smo glatko pristupili opisu brojčanih skupova čiji je broj elemenata beskonačan. Ponekad se mogu opisati koristeći sve iste tri tačke. Na primjer, opišimo skup svih prirodnih brojeva: N=(1, 2. 3, …) .

Također koriste opis brojčanih skupova navodeći svojstva njegovih elemenata. U ovom slučaju koristi se oznaka (x| svojstva). Na primjer, oznaka (n| 8 n+3, n∈N) definira skup takvih prirodnih brojeva koji, kada se podijele s 8, daju ostatak od 3. Isti skup se može opisati kao (11,19, 27, ...) .

U posebnim slučajevima, brojčani skupovi s beskonačnim brojem elemenata su poznati skupovi N, Z, R itd. ili praznine u brojevima. I općenito, brojčani skupovi su predstavljeni kao Unija pojedinačni brojčani intervali koji ih čine i brojčani skupovi s konačnim brojem elemenata (o kojima smo govorili malo više).

Pokažimo primjer. Neka skup brojeva budu brojevi −10 , −9 , −8.56 , 0 , svi brojevi intervala [−5, −1.3] i brojevi otvorenog brojevnog zraka (7, +∞) . Na temelju definicije unije skupova, navedeni brojčani skup može se zapisati kao {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Takav zapis zapravo znači skup koji sadrži sve elemente skupova (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] i (7, +∞) .

Slično, kombiniranjem različitih numeričkih raspona i skupova pojedinačnih brojeva, može se opisati bilo koji skup brojeva (koji se sastoji od realnih brojeva). Ovdje postaje jasno zašto takve vrste numeričkih intervala kao što su interval, poluinterval, segment, otvoren brojčani snop i brojevnu zraku: svi oni, zajedno sa zapisom skupova pojedinačnih brojeva, omogućuju opisivanje bilo kojeg skupa brojeva kroz njihovu uniju.

Imajte na umu da se prilikom pisanja numeričkog skupa njegovi sastavni brojevi i numerički intervali sortiraju uzlaznim redoslijedom. Ovo nije obavezan, ali poželjan uvjet, budući da je uređeni numerički skup lakše predstaviti i prikazati na koordinatnoj liniji. Također imajte na umu da takvi zapisi ne koriste numeričke intervale sa zajednički elementi, budući da se takvi unosi mogu zamijeniti unijom brojčanih intervala bez zajedničkih elemenata. Na primjer, unija brojčanih skupova sa zajedničkim elementima [−10, 0] i (−5, 3) je poluinterval [−10, 3) . Isto vrijedi i za uniju brojčanih intervala s istim graničnim brojevima, na primjer, unija (3, 5]∪(5, 7] je skup (3, 7] , na tome ćemo se posebno zadržati kada naučimo pronaći presjek i uniju brojevnih skupova .

Slika skupova brojeva na koordinatnoj liniji

U praksi je prikladno koristiti geometrijske slike brojčanih skupova - njihove slike na . Na primjer, kada rješavanje nejednakosti, u kojem je potrebno uzeti u obzir ODZ, potrebno je prikazati numeričke skupove kako bi se pronašli njihov presjek i/ili spoj. Stoga će biti korisno dobro razumjeti sve nijanse prikaza brojčanih skupova na koordinatnoj liniji.

Poznato je da između točaka koordinatnog pravca i realnih brojeva postoji korespondencija jedan prema jedan, što znači da je sama koordinatna linija geometrijski model skupa svih realnih brojeva R. Dakle, da bi se prikazao skup svih realnih brojeva, potrebno je povući koordinatnu liniju sa šrafiranjem cijelom dužinom:

A često čak ni ne navode porijeklo i jedan segment:

Sada razgovarajmo o slici brojčanih skupova, koji su neki konačni broj pojedinačnih brojeva. Na primjer, nacrtajmo skup brojeva (−2, −0,5, 1,2) . Geometrijska slika ovog skupa, koja se sastoji od tri broja -2, -0,5 i 1,2 bit će tri točke koordinatnog pravca s odgovarajućim koordinatama:

Imajte na umu da obično za potrebe prakse nema potrebe za točno izvođenjem crteža. Često je dovoljan shematski crtež, što znači da nije potrebno održavati razmjer, dok je važno samo održavati međusobni dogovor točke jedna u odnosu na drugu: svaka točka s manjom koordinatom mora biti lijevo od točke s većom koordinatom. Prethodni crtež će shematski izgledati ovako:

Zasebno, od svih mogućih brojčanih skupova izdvajaju se brojčani intervali (intervali, poluintervali, zrake i sl.), koji predstavljaju njihove geometrijske slike, detaljno smo ispitali u odjeljku. Nećemo se ovdje ponavljati.

I ostaje se zadržati samo na slici brojčanih skupova, koji su unija nekoliko brojčanih intervala i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva. Ovdje nema ništa lukavo: prema značenju unije, u tim slučajevima, na koordinatnoj liniji, trebate prikazati sve komponente skupa zadanog brojčanog skupa. Kao primjer, pokažimo sliku skupa brojeva (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

I zadržimo se na prilično čestim slučajevima kada je prikazani brojčani skup cijeli skup realnih brojeva, s iznimkom jedne ili više točaka. Takvi skupovi su često specificirani uvjetima kao što su x≠5 ili x≠−1, x≠2, x≠3,7 itd. U tim slučajevima, geometrijski, predstavljaju cijelu koordinatnu liniju, s izuzetkom odgovarajućih točaka. Drugim riječima, ove točke moraju biti "izbijene" iz koordinatne linije. Oni su prikazani kao krugovi s praznim središtem. Radi jasnoće, nacrtajmo skup brojeva, u skladu s uvjetima (ovaj skup je u biti):

Rezimirati. U idealnom slučaju, informacije iz prethodnih paragrafa trebale bi činiti isti pogled na snimanje i reprezentaciju brojčanih skupova kao i pogled na pojedinačne numeričke intervale: snimanje numeričkog skupa treba odmah dati svoju sliku na koordinatnoj liniji, a sa slike na koordinatnu liniju, trebali bismo biti spremni jednostavno opisati odgovarajući numerički skup kroz uniju pojedinačnih praznina i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva.

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati 1. dio. Udžbenik za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Oblikujte brojeve

U digitalnim uređajima postoje dva oblika slika brojeva: s fiksnim і plutajuća koma.

U prednjem odlomku bilo je vidljivo samo nekoliko pozitivnih brojeva. Formula (1.14) daje mogućnost prikaza dvostrukog broja s cijelim i razlomkom i fiksnim zarezom. Predznak dvoznamenkastog broja s fiksnim zarezom daje se dodatnim rangom, koji se stavlja ispred brojeva. Za dodatne brojeve, vrijednost dodatnog naloga je jednaka " 0 ", za vizuale - " 1 ”.

Na stolu 1.3 postoje tri opcije za kodiranje posljednjeg i drugog broja dvostrukim kodom.

Tablica 1.3.

U prvoj varijanti, kako se pokazuje iz tablica, u kodiranom dvostrukom nizu može postojati mjesto dodatnih i konačnih nula, što može dovesti do problema s pojavom aritmetičkih operacija.

Reprezentacija zadanih brojeva u kodu vrata također ne rješava gornji problem. Nećete pogriješiti samo jednom, ako vidite brojke dodatni kod, koji se izračunava po formuli:

Na sl. 1.12 prikazuje grafičku interpretaciju slike pozitivnih i negativnih brojeva koji su slični nuli alternativama izravnog i komplementarnog koda. Kao što će se kasnije pokazati, takav oblik prikaza desetih brojeva jednostavno će pojednostaviti aritmetičke operacije.

Primjer 1.10. Znati komplementarni kod desetih brojeva: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya. Poznajemo dva ekvivalenta zadanih brojeva:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Znamo šifru, zvorotní dvíykovim - vídpovídno: 11111111; 11101110; 01111110.

Poznato je dopuniti kodove zadanih brojeva: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Sada objašnjavamo bit snimanja brojeva s fiksnom komom. Bilo da broj u digitalnim sustavima zauzimaju posebni memorijski uređaji, red skinova se formira od fiksnog broja elemenata. Koma, koja je u broj hitaca uključila dio broja hitaca, zauzima u nizu memorije fiksiran položaj - ispred starijeg ranga ili iza mlađeg.

Za prvi tip, apsolutna vrijednost broja je manja od jedan - na primjer, 0,110101 2. Kao red memorijskih dodjela za deset pražnjenja, tada broj u novom treba napisati kao što je prikazano na sl. 1.13, konačni leviy rang pokazuje znak broja, a reshta - rang modula. Vilni mladi ispusti su ispunjeni nulama. Oskílki u pregledanom vipadku u nizu memorije prenosi zapis manji od razlomka broja, tada su rezultati svih operacija zbog apsolutnih vrijednosti manji od jedan. Wikonnannya tsíêí̈ svakako odaberite odgovarajuće faktore skale na kojima se množe vanjski podaci. Ako je koeficijent skale vibracija pogrešan, tada može doći do preuređivanja pražnjenja i izgleda cijelog dijela, kao da će se potrošiti, krhotine u mreži pražnjenja neće se prenijeti na njen izgled. Svejedno, odvest ću vas u pakao u rezultatu, koji je kratak od takve metode.

U drugom raspoloženju, ako je koma fiksirana nakon najmlađeg reda, može biti ispravna s cijelim brojevima. Tako je npr. broj 10011 2 u redu memorije postavljen u vidljivost na sl. 1.14, de livyjev rang je znak, a nakon njega s desne strane prazne znamenke su ispunjene nulama. Na taj način vrijednost modula je ograđeni red memorije.

Brojevi s plutajućom komom prenose sliku broja na bogomoljku, koja se množi s osnovom brojevnog sustava na pozornici, koja je postavljena u red. Na primjer, broj 200 zapisuje se kao 0,2 × 10 3, a broj 0,000312 - kao 0,312 × 10 -3. Vidpovidno zapisyutsya i dvíykoví brojevi. Bogomoljka i red prikazani su u dvostrukom kodu, a osnova je dvojka. Na primjer, broj 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 u desetom sustavu prikazuje se kao 0,875 × 2 2 = 3,5 10. U redu memorije takvi su brojevi uzeti iz dvije skupine brojeva: prva skupina - bogomoljka - određuje sam broj, druga - redoslijed - mjesto Komija u broju (slika 1.15).

Na nultom elementu memorijskog retka prikazuje se predznak broja (za zadani dvostruki broj koji je upisan u memorijski red - “ 0 ”). Udaljenosti se postavljaju redoslijedom samog broja (stowpts 1…8). Ako je zadan manjim brojem redaka, tada su memorijski elementi na desnoj strani broja ispunjeni nulama. U devetom redu prikazan je znak reda, au drugom, po analogiji s mantisom, - broj koji označava red. S takvim zapisom vrijednost broja se postavlja na način da prva značajna znamenka bogomoljke nije jednaka " 0 ". Ovaj oblik upisa se zove normalan.

Minimalni dodatni broj koji se može zapisati u normalnom obliku u memorijski red određen je minimalnom mantisom 0,1000..0 2 i maksimalnim vizualnim redoslijedom 111..1 2 . S količinom k redom od najmanje deset, broj koji se može zapisati određuje se formulom:

. (1.15)

Maksimalni broj matimemosa pri maksimalnoj vrijednosti bogomoljke (0,111 ... 1) 2 i maksimalnom dodatnom redu (111 ... 1 2) = 2 k– 1, dakle

Domet D brojevi, predstavljeni u normalnom obliku, kao zaokret formula (1.15) i (1.16), označavaju samo broj k. Na primjer, za k= 6 je poznato:

; .

Točnost bilježenja broja određuje se brojem narudžbi m mantici. Ako broj redova broja obrne broj redova unesenih u bogomoljku, tada se broj zaokružuje na traženi broj. Pravilo za zaokruživanje dva broja na ovaj način je sljedeće: ako je viši red dijela riječi koji se vidi jedan, tada se jedan dodaje najmlađem redu bogomoljke. Uz tako zaokruženu apsolutnu brojku, slika bogomoljke ne prelazi polovicu koeficijenta kategorije mladih bogomoljki, koji se uzima u obzir:

Vrakhovuchi, da u normalnom obliku zapisa bogomoljke ne može biti manji od 0,5, očita pogreška η:

Na primjer, kada m= 24 maêmo:

.

U današnjim digitalnim sustavima za prikaz brojeva s plutajućom komom koristi se red dozhinoy chotiri bajtova. S 23 pražnjenja postavite bogomoljku, a 7 - veličinu reda. Raspon brojeva koji se prikazuju presavija se s ± 2 127 na ± 2 -127 .

Varijacije brojeva s plutajućom zarezom proširit će i pojednostaviti prikaz brojeva, ali svestranost operacija na takvim brojevima je više suradnička, niža je kod brojeva s fiksnom zarezom.

Ekspresivan geometrijski prikaz sustava racionalnih brojeva može se dobiti na sljedeći način.

Riža. 8. Brojčana os

Na nekoj ravnoj liniji, "numeričkoj osi", označavamo segment od 0 do 1 (slika 8). Time se postavlja duljina segmenta jedinice, koja se, općenito govoreći, može proizvoljno odabrati. Pozitivni i negativni cijeli brojevi se tada prikazuju kao skup jednako raspoređenih točaka na brojevnoj osi, naime pozitivni brojevi su označeni desno, a negativni lijevo od točke 0. Da bismo prikazali brojeve s nazivnikom, podijelimo svaki dobivenih segmenata jedinične duljine na jednake dijelove; točke dijeljenja će predstavljati razlomke s nazivnikom. Ako to učinimo za vrijednosti koje odgovaraju svim prirodnim brojevima, tada će svaki racionalni broj biti prikazan nekom točkom na brojevnoj osi. Složit ćemo se da ove točke nazovemo "racionalnim"; općenito će se pojmovi "racionalni broj" i "racionalna točka" koristiti kao sinonimi.

U poglavlju I, § 1 definiran je odnos nejednakosti za prirodne brojeve. Na brojevnoj osi ovaj se omjer odražava na sljedeći način: ako prirodni broj A manji je od prirodnog broja B, tada točka A leži lijevo od točke B. Budući da je navedena geometrijska relacija uspostavljena za bilo koji par racionalnih točaka, prirodno je pokušati generalizirati odnos aritmetičke nejednakosti u takvom način da se sačuva ovaj geometrijski red za točke koje se razmatraju. To je moguće ako prihvatimo sljedeću definiciju: kažemo da je racionalni broj A manji od racionalni broj ili da je broj B veći od broja ako je razlika pozitivna. Iz ovoga slijedi (za ) da su točke (brojevi) između one koje

istovremeno Svaki takav par točaka, zajedno sa svim točkama između njih, naziva se segment (ili segment) i označava se (a sam skup međutočaka naziva se interval (ili interval), označen s

Udaljenost proizvoljne točke A od ishodišta 0, koja se smatra pozitivnim brojem, naziva se apsolutnom vrijednošću A i označava se simbolom

Koncept "apsolutne vrijednosti" definiran je na sljedeći način: ako , onda ako onda Jasno je da ako brojevi imaju isti predznak, onda je jednakost istinita ako imaju različiti znakovi, zatim . Kombinirajući ova dva rezultata zajedno, dolazimo do opće nejednakosti

koji vrijedi bez obzira na predznake

Činjenica od temeljne važnosti izražena je sljedećom tvrdnjom: racionalne točke su posvuda guste na brojevnoj liniji. Značenje ove izjave je da unutar bilo kojeg intervala, koliko god mali bio, postoje racionalne točke. Da bismo provjerili valjanost navedene tvrdnje, dovoljno je uzeti broj toliko velik da će interval ( biti manji od zadanog intervala ; tada će barem jedna od točaka oblika biti unutar tog intervala. Dakle, postoji nema takvog intervala na brojevnoj osi (čak i najmanjeg, koji se može zamisliti), unutar kojeg ne bi bilo racionalnih točaka. Iz ovoga slijedi daljnji zaključak: svaki interval sadrži beskonačan broj racionalnih točaka. Doista, ako bi neki interval sadržavao samo konačan broj racionalnih točaka, tada unutar intervala koji čine dvije susjedne takve točke više ne bi bilo racionalnih točaka, a to je u suprotnosti s onim što je upravo dokazano.