Primjeri rješenja kvadratne funkcije 9. Kvadratna funkcija i njezin graf

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u vašem pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

Da biste razumjeli što će ovdje biti napisano, morate dobro znati što je kvadratna funkcija i s čime se jede. Ako se smatrate profesionalcem u kvadratnim funkcijama, dobrodošli. Ali ako ne, trebali biste pročitati temu.

Počnimo s malim provjere:

Kako kvadratna funkcija izgleda u općem obliku (formuli)?
Kako se zove grafikon kvadratna funkcija?
Kako vodeći koeficijent utječe na graf kvadratne funkcije?

Ako možete odmah odgovoriti na ova pitanja, nastavite čitati. Ako je barem jedno pitanje izazvalo poteškoće, idite na.

Dakle, već znate rukovati kvadratnom funkcijom, analizirati njezin graf i graditi graf po točkama.

Pa, evo ga: .

Pogledajmo na brzinu što rade. izgledi.

Viši koeficijent odgovoran je za “strminu” parabole, odnosno, drugim riječima, za njenu širinu: što je veća, to je parabola uža (strmija), a što je manja, to je šira (ravnija) parabola.
Slobodni član je koordinata presjeka parabole s y-osi.
A koeficijent je nekako odgovoran za pomak parabole iz središta koordinata. Evo sad više o tome.

Zašto uvijek počinjemo graditi parabolu? Koja je njezina prepoznatljiva točka?

Ovaj vrh. A kako pronaći koordinate vrha, sjećate se?

Apscisa se traži po sljedećoj formuli:

Ovako: što više, teme nalijevo vrh parabole se pomiče.

Ordinat vrha može se pronaći zamjenom u funkciju:

Zamijenite se i brojite. Što se dogodilo?

Ako sve napravite kako treba i što je više moguće pojednostavnite rezultirajući izraz, dobit ćete:

Ispada da što više modulo, teme iznad htjeti vrh parabole.

Konačno, prijeđimo na crtanje.
Najlakši način je izgraditi parabolu počevši od vrha.

Primjer:

Iscrtajte funkciju.

Riješenje:

Najprije definirajmo koeficijente: .

Sada izračunajmo koordinate vrha:

A sada zapamtite: sve parabole s istim vodećim koeficijentom izgledaju isto. Dakle, ako izgradimo parabolu i pomaknemo njen vrh u točku, dobit ćemo graf koji nam treba:

Jednostavno, zar ne?

Ostaje samo jedno pitanje: kako brzo nacrtati parabolu? Čak i ako nacrtamo parabolu s vrhom u ishodištu, ipak je moramo graditi točku po točku, što je dugo i nezgodno. Ali sve parabole izgledaju isto, možda postoji način da se ubrza njihovo crtanje?

Kad sam bio u školi, moj učitelj matematike rekao je svima da izrežu šablonu u obliku parabole iz kartona kako bi je mogli brzo nacrtati. Ali nećete moći posvuda hodati s šablonom, a oni je neće smjeti polagati na ispit. Dakle, nećemo koristiti strane predmete, već ćemo tražiti uzorak.

Razmotrimo najjednostavniju parabolu. Izgradimo ga po točkama:

Ovdje je pravilo ovo. Pomaknemo li se od vrha udesno (duž osi) do, i prema gore (duž osi) do, tada ćemo doći do točke parabole. Dalje: ako se od ove točke pomaknemo udesno malo gore, opet ćemo doći do točke parabole. Sljedeće: odmah dalje i gore. Što je sljedeće? Tako dalje i gore. I tako dalje: pomaknite se udesno, pa na sljedeće neparan broj gore. Zatim radimo isto s lijevom granom (na kraju krajeva, parabola je simetrična, odnosno njezine grane izgledaju isto):

Sjajno, ovo će pomoći u izgradnji bilo koje parabole iz vrha s najvećim koeficijentom jednakim. Na primjer, naučili smo da je vrh parabole u točki. Konstruirajte (sam, na papiru) ovu parabolu.

Izgrađen?

Trebalo bi ispasti ovako:

Sada povezujemo dobivene točke:

To je sve.

OK, dobro, sada gradi samo parabole?

Naravno da ne. Sada ćemo shvatiti što učiniti s njima, ako.

Razmotrimo neke tipične slučajeve.

Super, naučili smo nacrtati parabolu, a sada vježbajmo na stvarnim funkcijama.

Dakle, nacrtajte grafove takvih funkcija:

odgovori:

3. Vrh: .

Sjećate li se što učiniti ako je viši koeficijent manji?

Gledamo nazivnik razlomka: jednak je. Pa ćemo se kretati ovako:

desno - gore
desno - gore
desno - gore

i također lijevo:

4. Vrh: .

Oh, što učiniti s tim? Kako izmjeriti ćelije ako je vrh negdje između linija?..

I varamo se. Najprije nacrtajmo parabolu, a tek onda pomaknimo njezin vrh u točku. Čak ni, učinimo to još složenije: Nacrtajmo parabolu, a zatim pomicanje osi:- na dolje, a - na pravo:

Ova tehnika je vrlo prikladna u slučaju bilo koje parabole, zapamtite je.

Dopustite da vas podsjetim da funkciju možemo predstaviti u ovom obliku:

Na primjer: .

Što nam ovo daje?

Činjenica je da je broj koji se oduzima u zagradama () apscisa vrha parabole, a izraz izvan zagrada () je ordinata vrha.

To znači da, nakon što ste izgradili parabolu, samo trebate pomaknite os ulijevo, a os prema dolje.

Primjer: nacrtajmo graf funkcije.

Odaberimo cijeli kvadrat:

Koji broj oduzeti iz u zagradama? Ovo (a ne kako možete odlučiti bez razmišljanja).

Dakle, gradimo parabolu:

Sada pomičemo os dolje, odnosno gore:

A sada - lijevo, odnosno desno:

To je sve. To je isto kao i pomicanje parabole s njezinim vrhom od ishodišta do točke, samo što je ravnu os puno lakše pomicati od krive parabole.

Sada, kao i obično, ja:

I ne zaboravite izbrisati stare osovine gumicom!

Ja sam kao odgovori radi provjere napisat ću vam ordinate vrhova ovih parabola:

Je li sve odgovaralo?

Ako da, onda ste super! Znati rukovati parabolom vrlo je važno i korisno, a ovdje smo otkrili da to uopće nije teško.

GRAFICANJE KVADRATNE FUNKCIJE. UKRATKO O GLAVNOM

kvadratna funkcija je funkcija oblika, gdje, i su bilo koji brojevi (koeficijenti), je slobodni član.

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Vrh parabole:
, tj. što je veći \displaystyle b, to se vrh parabole više pomiče ulijevo.
Zamijenite u funkciji i dobijete:
, tj. što je veći \displaystyle b modulo, to će biti viši vrh parabole

Slobodni član je koordinata presjeka parabole s y-osi.

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan polaganje ispita, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zaraditi puno više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? Ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite nužno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Svi znaju što je parabola. Ali kako ga pravilno koristiti, kompetentno u rješavanju raznih praktičnih problema, razumjet ćemo u nastavku.

Najprije označimo osnovne pojmove koje algebra i geometrija daju ovom pojmu. Uzmite u obzir sve moguće vrste ovaj grafikon.

Saznajemo sve glavne karakteristike ove funkcije. Shvatimo osnove konstruiranja krivulje (geometrije). Naučimo kako pronaći gornje, druge osnovne vrijednosti grafa ove vrste.

Saznat ćemo: kako je tražena krivulja ispravno konstruirana prema jednadžbi, na što trebate obratiti pozornost. Pogledajmo glavno praktična upotreba ovu jedinstvenu vrijednost u ljudskom životu.

Što je parabola i kako izgleda

Algebra: Ovaj se pojam odnosi na graf kvadratne funkcije.

Geometrija: Ovo je krivulja drugog reda koja ima niz specifičnih značajki:

Jednadžba kanonske parabole

Na slici je prikazan pravokutni koordinatni sustav (XOY), ekstrem, smjer crtanja funkcije grana se duž osi apscise.

Kanonska jednadžba je:

y 2 \u003d 2 * p * x,

gdje je koeficijent p žarišni parametar parabole (AF).

U algebri se drugačije piše:

y = a x 2 + b x + c (prepoznatljivi uzorak: y = x 2).

Svojstva i graf kvadratne funkcije

Funkcija ima os simetrije i središte (ekstremum). Domena definicije su sve vrijednosti x-ose.

Raspon vrijednosti funkcije - (-∞, M) ili (M, +∞) ovisi o smjeru grana krivulje. Parametar M ovdje znači vrijednost funkcije na vrhu retka.

Kako odrediti kamo su usmjerene grane parabole

Da biste pronašli smjer ove vrste krivulje iz izraza, morate odrediti znak ispred prvog parametra algebarski izraz. Ako je a ˃ 0, onda su usmjereni prema gore. Inače, dolje.

Kako pronaći vrh parabole koristeći formulu

Pronalaženje ekstrema glavni je korak u rješavanju mnogih praktičnih problema. Naravno, možete otvoriti posebne online kalkulatori ali bolje je da to možete učiniti sami.

Kako to definirati? Postoji posebna formula. Kada b nije jednako 0, moramo tražiti koordinate ove točke.

Formule za pronalaženje vrha:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Primjer.

Postoji funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Nađimo vrhove ove funkcije.

Za takvu liniju:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dobivamo koordinate vrha (-2, -41).

Pomak parabole

Klasičan slučaj je kada su u kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c, drugi i treći parametar 0, a = 1 - vrh je u točki (0; 0).

Kretanje duž apscisne ili ordinatne osi posljedica je promjene parametara b i c. Pomak linije na ravnini izvršit će se točno brojem jedinica, što je jednako vrijednosti parametra.

Primjer.

Imamo: b = 2, c = 3.

To znači da će se klasični prikaz krivulje pomaknuti za 2 jedinična segmenta duž osi apscise i za 3 duž ordinatne osi.

Kako izgraditi parabolu pomoću kvadratne jednadžbe

Za školarce je važno naučiti kako pravilno nacrtati parabolu prema zadanim parametrima.

Analizom izraza i jednadžbi možete vidjeti sljedeće:

Točka presjeka željene linije s ordinatnim vektorom imat će vrijednost jednaku c.
Sve točke grafa (duž x-osi) bit će simetrične u odnosu na glavni ekstrem funkcije.

Osim toga, sjecišta s OX mogu se pronaći poznavanjem diskriminanta (D) takve funkcije:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Da biste to učinili, morate izraz izjednačiti s nulom.

Prisutnost korijena parabole ovisi o rezultatu:

D ˃ 0, tada je x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, zatim x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, tada nema točaka presjeka s vektorom OX.

Dobivamo algoritam za konstruiranje parabole:

odrediti smjer grana;
pronaći koordinate vrha;
pronaći sjecište s y-osi;
pronađite sjecište s x-osi.

Primjer 1

S obzirom na funkciju y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Potrebno je izgraditi parabolu. Radimo prema algoritmu:

a \u003d 1, dakle, grane su usmjerene prema gore;
koordinate ekstrema: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
siječe se s y-osi na vrijednosti y = 4;
naći diskriminanta: D = 25 - 16 = 9;
tražeći korijene

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Primjer 2

Za funkciju y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, morate izgraditi parabolu. Radimo prema gore navedenom algoritmu:

a \u003d 3, dakle, grane su usmjerene prema gore;
koordinate ekstrema: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
s y-osi će se presijecati na vrijednosti y \u003d -1;
pronađite diskriminant: D = 4 + 12 = 16. Dakle, korijeni:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Od dobivenih točaka možete izgraditi parabolu.

Directrix, ekscentricitet, fokus parabole

Na temelju kanonske jednadžbe, žarište F ima koordinate (p/2, 0).

Prava crta AB je direktrisa (vrsta tetive parabole određene duljine). Njezina je jednadžba x = -p/2.

Ekscentricitet (konstanta) = 1.

Zaključak

Razmotrili smo temu po kojoj studenti uče Srednja škola. Sada znate, gledajući kvadratnu funkciju parabole, kako pronaći njezin vrh, u kojem smjeru će grane biti usmjerene, postoji li pomak duž osi i, ako imate algoritam konstrukcije, možete nacrtati njezin graf.