Primjeri su stupnjevi s racionalnim i iracionalnim eksponentima. Stupanj broja: definicije, oznaka, primjeri

U ovom članku ćemo razumjeti što je stupanj od. Ovdje ćemo dati definicije stupnja broja, uz detaljno razmatranje svih mogućih eksponenta stupnja, počevši s prirodnim eksponentom, završavajući s iracionalnim. U materijalu ćete pronaći mnogo primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Stupanj s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kocka broja

Počnimo s . Gledajući unaprijed, recimo da je definicija stupnja a s prirodnim eksponentom n dana za a , koji ćemo nazvati osnova diplome, i n , koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stupanj s prirodnim pokazateljem određuje kroz proizvod, pa da biste razumjeli materijal u nastavku, morate imati ideju o množenju brojeva.

Definicija.

Potencija broja a s prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n , čija je vrijednost jednaka umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a , odnosno .
Konkretno, stupanj broja a s eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.

Odmah je vrijedno spomenuti pravila za čitanje stupnjeva. Univerzalni načinčitanje unosa a n je: "a na stepen n". U nekim slučajevima su prihvatljive i takve opcije: "a na n-ti stepen" i "n-ti stepen broja a". Na primjer, uzmimo stupanj 8 12, ovo je "osam na stepen od dvanaest", ili "osam na dvanaestu potenciju", ili "dvanaesti stepen od osam".

Drugi stepen broja, kao i treći stepen broja, imaju svoja imena. Drugi stepen broja naziva se kvadrat broja, na primjer, 7 2 čita se kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treći stepen broja naziva se broj kocke, na primjer, 5 3 može se čitati kao "pet kocki" ili reći "kocka broja 5".

Vrijeme je da se donese primjeri stupnjeva s fizičkim pokazateljima. Počnimo s potencijom 5 7 , gdje je 5 baza potencije, a 7 eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru baza stupnja 4.32 napisana u zagradama: kako bismo izbjegli neslaganja, u zagradama ćemo uzeti sve baze stupnja koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stupnjeve s prirodnim pokazateljima , njihove baze nisu prirodni brojevi, pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće na ovom mjestu, prikazat ćemo razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3 . Izraz (−2) 3 je stepen −2 s prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti potencije 2 3 .

Imajte na umu da postoji oznaka za stupanj a s eksponentom n oblika a^n . Štoviše, ako je n viševrijedan prirodan broj, eksponent se uzima u zagrade. Na primjer, 4^9 je još jedan zapis za potenciju 4 9 . A evo još primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo uglavnom koristiti oznaku stupnja oblika a n .

Jedan od problema inverznih eksponencijaciji s prirodnim eksponentom je problem pronalaženja baze stupnja po poznata vrijednost stupanj i poznati eksponent. Ovaj zadatak vodi do .

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih i razlomaka, i svaki razlomak broj može biti predstavljen kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stupanj smo definirali cjelobrojnim eksponentom u prethodnom odlomku, dakle, kako bismo dovršili definiciju stupnja s racionalni pokazatelj, trebate dati značenje stupnja broja a s razlomkom eksponenta m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodni broj. Učinimo to.

Razmotrimo stupanj s razlomkom eksponenta oblika . Da bi svojstvo stupnja u stupnju ostalo valjano, mora vrijediti jednakost . Ako uzmemo u obzir rezultirajuću jednakost i način na koji smo definirali , onda je logično prihvatiti, pod uvjetom da za dane m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da sva svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom vrijede za as (ovo se radi u odjeljku o svojstvima stupnja s racionalnim eksponentom).

Gornje obrazloženje nam omogućuje sljedeće zaključak: ako za dane m, n i a izraz ima smisla, tada se potencija broja a s razlomkom eksponenta m / n naziva korijenom n-tog stupnja od a do stepena m.

Ova nas izjava približava definiciji stupnja s razlomkom eksponenta. Ostaje samo opisati za koje m, n i a izraz ima smisla. Ovisno o ograničenjima nametnutim za m , n i a, postoje dva glavna pristupa.

Najlakši način za ograničavanje a je pretpostaviti a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (jer m≤0 nema snagu od 0 m). Tada dobivamo sljedeću definiciju stupnja s razlomkom eksponenta.

Definicija.

Potencija pozitivnog broja a s razlomkom eksponenta m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se korijenom n-tog broja a na stepen m, to jest, .

Djelomični stupanj nule također je definiran uz jedino upozorenje da eksponent mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule s razlomkom pozitivnog eksponenta m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodni broj, definira se kao .
Kada stupanj nije definiran, odnosno stupanj broja nula s razlomkom negativnim eksponentom nema smisla.

Treba napomenuti da kod takve definicije stupnja s razlomkom eksponenta postoji jedna nijansa: za neke negativne a i neke m i n izraz ima smisla, a mi smo te slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0 . Na primjer, ima smisla pisati ili , a gornja definicija nas tjera da kažemo da stupnjevi s razlomkom eksponenta oblika su besmislene, budući da baza ne smije biti negativna.

Drugi pristup određivanju stupnja s frakcijskim eksponentom m / n je odvojeno razmatranje parnih i neparnih eksponenta korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: stupanj broja a, čiji je pokazatelj, smatra se stupnjem broja a, čiji je pokazatelj odgovarajući nesmanjivi razlomak (važnost ovog uvjeta bit će objašnjena u nastavku). To jest, ako je m/n nereducibilan razlomak, tada se za bilo koji prirodni broj k stupanj prvo zamjenjuje s .

Za paran n i pozitivno m izraz ima smisla za bilo koje nenegativno a (korijen parnog stupnja iz negativnog broja nema smisla), za negativan m broj a i dalje mora biti različit od nule (inače postoji bit će dijeljenje s nulom). A za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo što (korijen neparnog stupnja definiran je za bilo koji pravi broj), a za negativan m broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja s nulom).

Navedeno razmišljanje dovodi nas do takve definicije stupnja s razlomkom eksponenta.

Definicija.

Neka je m/n nesvodljivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za bilo koji obični razlomak koji se može reducirati, stupanj se zamjenjuje s . Potencija a s nesmanjivim frakcijskim eksponentom m / n je za



Objasnimo zašto se stupanj sa reducibilnim razlomkom eksponenta prvo zamjenjuje stupnjem s nesvodivim eksponentom. Kada bismo jednostavno definirali stupanj kao , a ne rezervisali se o nesvodljivosti razlomka m/n , tada bismo naišli na situacije slične sljedećoj: budući da je 6/10=3/5 , onda je jednakost , ali , a .

Video lekcija "Stupanj s racionalnim pokazateljem" sadrži vizualni prikaz edukativni materijal podučavati na ovu temu. Video lekcija sadrži informacije o pojmu stupnja s racionalnim eksponentom, svojstvima, takvim stupnjevima, kao i primjere koji opisuju korištenje obrazovnog materijala za rješavanje praktičnih problema. Zadaća ove video lekcije je jasno i jasno prezentirati nastavni materijal, olakšati njegov razvoj i pamćenje od strane učenika, formirati sposobnost rješavanja problema koristeći naučene pojmove.

Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnih transformacija i izračuna, mogućnost korištenja animacijskih efekata za poboljšanje učinkovitosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućuje zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga za individualni rad.

Video tutorial počinje uvođenjem teme. Povezivanje studija nova tema uz prethodno proučavani materijal, predlaže se podsjetiti da se n √ a inače označava s 1/n za prirodno n i pozitivno a. Ovaj prikaz n-korijena prikazan je na ekranu. Nadalje, predlaže se razmotriti što znači izraz a m / n, u kojem je a pozitivan broj, a m / n neki razlomak. Definicija stupnja istaknutog u okviru dana je s racionalnim eksponentom kao a m/n = n √ a m . Primjećuje se da n može biti prirodan broj, a m cijeli broj.

Nakon određivanja stupnja s racionalnim eksponentom, njegovo značenje otkrivaju primjeri: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Također je prikazan primjer u kojem se stepen predstavljen decimalom pretvara u obični razlomak koji se prikazuje kao korijen: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer iz negativnu vrijednost stupnjeva: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Zasebno, značajka određenog slučaja je naznačena kada je baza stupnja nula. Primjećuje se da ovaj stupanj ima smisla samo s pozitivnim razlomkom eksponenta. U ovom slučaju njegova je vrijednost jednaka nuli: 0 m/n =0.

Napominje se još jedna značajka stupnja s racionalnim eksponentom - da se stupanj s razlomnim eksponentom ne može smatrati s razlomnim eksponentom. Navedeni su primjeri netočnog zapisa stupnja: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Dalje u video lekciji razmatraju se svojstva stupnja s racionalnim eksponentom. Primjećuje se da će svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom vrijediti i za stupanj s racionalnim eksponentom. Predlaže se podsjetiti na popis svojstava koja vrijede iu ovom slučaju:

1. Prilikom množenja potencija sa iste osnove njihovi se pokazatelji zbrajaju: a p a q =a p+q .
2. Podjela stupnjeva s istim bazama svodi se na stupanj s danom bazom i razlikom eksponenata: a p:a q =a p-q .
3. Podignemo li stupanj na određeni stupanj, onda kao rezultat dobivamo stupanj s zadanom bazom i umnožak eksponenata: (a p) q =a pq .

Sva ova svojstva vrijede za potencije s racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva ostaju istinite kada se otvaraju zagrade:

1. (ab) p =a p b p - dizanje umnoška dvaju brojeva na određeni stepen s racionalnim eksponentom svodi se na umnožak brojeva, od kojih je svaki podignut na zadani stepen.
2. (a/b) p =a p /b p - stepenovanje s racionalnim eksponentom razlomka svodi se na razlomak čiji se brojnik i nazivnik dižu na zadani stepen.

Video tutorial govori o rješenju primjera koji koriste razmatrana svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. U prvom primjeru predlaže se pronaći vrijednost izraza koji sadrži varijable x na razlomak: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, koristeći svojstva stupnjeva, rješava se prilično jednostavno. Rješenje zadatka započinje pojednostavljenjem izraza, koji koristi pravilo dizanja stepena s racionalnim eksponentom na stepen, kao i množenje potencija s istom osnovom. Nakon zamjene zadane vrijednosti x=8 u pojednostavljeni izraz x 1/3 +48, ​​lako je dobiti vrijednost - 50.

U drugom primjeru potrebno je smanjiti razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stupnja, iz razlike odabiremo faktor x 1/3, koji se zatim smanjuje u brojniku i nazivniku, a pomoću formule razlike kvadrata brojnik se rastavlja na faktore, što daje više smanjenja isti faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratki razlomak x 1/4 +3.

Video lekciju "Stupanj s racionalnim pokazateljem" može se koristiti umjesto da nastavnik objašnjava novu temu sata. Također, ovaj priručnik sadrži dovoljno informacija za samostalno istraživanje student. Materijal može biti koristan u učenju na daljinu.

MBOU "Sidorskaya

sveobuhvatna škola»

Izrada plana-crte otvorena lekcija

iz algebre u 11. razredu na temu:

Pripremljeno i provedeno

učitelj matematike

Iskhakova E.F.

Plan otvorenog sata iz algebre u 11. razredu.

Predmet : "Stupanj s racionalnim eksponentom".

Vrsta lekcije : Učenje novog gradiva

Ciljevi lekcije:

Upoznati studente s pojmom stupnja s racionalnim pokazateljem i njegovim glavnim svojstvima, na temelju prethodno proučenog materijala (stupanj s cjelobrojnim pokazateljem).

Razviti računalne vještine i sposobnost pretvaranja i uspoređivanja brojeva s racionalnim eksponentom.

Razvijati matematičku pismenost i matematički interes kod učenika.

Oprema : Kartice zadataka, prezentacija učenika o stupnju s cjelobrojnim pokazateljem, prezentacija nastavnika o stupnju s racionalnim pokazateljem, prijenosno računalo, multimedijski projektor, ekran.

Tijekom nastave:

Organiziranje vremena.

Provjera asimilacije teme obuhvaćene pojedinačnim karticama zadataka.

Zadatak broj 1.

=2;

B) = x + 5;

Riješite sustav iracionalne jednadžbe: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Zadatak broj 2.

Riješite iracionalnu jednadžbu: = - 3;

B) = x - 2;

Riješite sustav iracionalnih jednadžbi: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Prezentacija teme i ciljeva sata.

Tema naše današnje lekcije Stupanj s racionalnim eksponentom».

Objašnjenje novog gradiva na primjeru prethodno proučenog.

Već ste upoznati s konceptom stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Tko mi može pomoći da ih se sjetim?

Ponavljanje s prezentacijom Stupanj s cjelobrojnim eksponentom».

Za sve brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n jednakosti su istinite:

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Danas ćemo generalizirati pojam stupnja broja i dati značenje izrazima koji imaju razlomak eksponenta. Hajde da se predstavimo definicija stupnjevi s racionalnim pokazateljem (Prezentacija "Stupanj s racionalnim pokazateljem"):

Stupanj a > 0 s racionalnim eksponentom r = , gdje m je cijeli broj, i n - prirodno ( n > 1), nazvao je broj m .

Dakle, po definiciji to dobivamo = m .

Pokušajmo primijeniti ovu definiciju prilikom izvođenja zadatka.

PRIMJER #1

Izražavam kao korijen broja izraz:

ALI) B) NA) .

Pokušajmo sada ovu definiciju primijeniti obrnuto

II Izraz izraziti kao stepen s racionalnim eksponentom:

ALI) 2 B) NA) 5 .

Snaga 0 definirana je samo za pozitivne eksponente.

0 r= 0 za bilo koji r> 0.

Koristeći ovu definiciju, Kuće završit ćete #428 i #429.

Pokažimo sada da gornja definicija stupnja s racionalnim eksponentom čuva osnovna svojstva stupnjeva koja su istinita za bilo koji eksponent.

Za sve racionalne brojeve r i s i bilo koje pozitivne a i b, jednakosti su istinite:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PRIMJER: *

20 . a r: a s =a r-s ;

PRIMJER: :

3 0 . (a r) s =a rs;

PRIMJER: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PRIMJER: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRIMJER upotrebe nekoliko svojstava odjednom: * : .

Fizkultminutka.

Stavili smo olovke na stol, ispravili leđa, a sada pružamo ruku, želimo dodirnuti ploču. I sad smo se dizali i naginjali desno, lijevo, naprijed, nazad. Pokazali su mi olovke, a sad mi pokaži kako tvoji prsti znaju plesati.

Radite na materijalu

Napominjemo još dva svojstva potencija s racionalnim eksponentima:

60 . Neka bude r je racionalan broj i 0< a < b . Тогда

a r < b r na r> 0,

a r < b r na r< 0.

7 0 . Za sve racionalne brojever i s od nejednakosti r> s slijedi to

a r> a r za a > 1,

a r < а r u 0< а < 1.

PRIMJER: Usporedite brojeve:

I ; 2 300 i 3 200 .

Sažetak lekcije:

Danas smo se na satu prisjetili svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom, naučili definiciju i osnovna svojstva stupnja s racionalnim eksponentom, razmotrili primjenu ovog teorijsko gradivo u praksi tijekom vježbanja. Želim vam skrenuti pozornost na činjenicu da je tema "Stupanj s racionalnim pokazateljem" obvezna KORISTI se zadacima. Prilikom pripreme domaće zadaće broj 428 i broj 429

Nakon što se utvrdi stupanj broja, logično je govoriti o tome svojstva stupnja. U ovom ćemo članku dati osnovna svojstva stupnja broja, a dotaknuti ćemo se i svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stupnja, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva primjenjuju pri rješavanju primjera.

Navigacija po stranici.

Svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima

Prema definiciji stupnja s prirodnim eksponentom, snaga a n je umnožak n faktora, od kojih je svaki jednak a . Na temelju ove definicije i korištenja svojstva množenja realnog broja, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stupnja s prirodnim eksponentom:

1. glavno svojstvo stupnja a m ·a n =a m+n , njegova generalizacija;
2. svojstvo parcijalnih potencija s istim bazama a m:a n =a m−n ;
3. svojstvo stupnja proizvoda (a b) n =a n b n , njegovo proširenje ;
4. svojstvo količnika u naravi (a:b) n =a n:b n ;
5. eksponencijacija (a m) n =a m n , njegova generalizacija (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. uspoređivanje stupnja s nulom:
   • ako je a>0, tada je a n >0 za bilo koji prirodni n;
   • ako je a=0, tada je a n =0;
   • ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako a<0 и показатель степени есть neparan broj 2 m−1 , zatim a 2 m−1<0 ;
7. ako su a i b pozitivni brojevi i a
8. ako su m i n cijeli brojevi, da je m>n , zatim za 0 0 nejednakost a m >a n je istinita.

Odmah napominjemo da su sve zapisane jednakosti identičan pod navedenim uvjetima, a njihov desni i lijevi dio mogu se izmjenjivati. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m a n = a m + n s pojednostavljenje izrazačesto se koristi u obliku a m+n = a m a n .

Sada pogledajmo svaki od njih detaljno.

Počnimo sa svojstvom umnoška dvaju potencija s istim bazama, koje se zove glavno svojstvo diplome: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n vrijedi jednakost a m ·a n =a m+n.

Dokažimo glavno svojstvo stupnja. Po definiciji stupnja s prirodnim eksponentom, umnožak potencija s istim bazama oblika a m a n može se zapisati kao umnožak. Zbog svojstava množenja, dobiveni izraz se može zapisati kao , a ovaj umnožak je potencija a s prirodnim eksponentom m+n , odnosno a m+n . Time je dokaz završen.

Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stupnja. Uzmimo stupnjeve s istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, prema glavnom svojstvu stupnja možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Provjerimo njegovu valjanost, za što izračunamo vrijednosti izraza 2 2 ·2 3 i 2 5 . Izvođenje eksponencijalnosti, imamo 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, budući da su dobivene jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 2 3 = 2 5 točna i potvrđuje glavno svojstvo stupnja.

Glavno svojstvo stupnja temeljeno na svojstvima množenja može se generalizirati na umnožak tri ili više potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1 , n 2 , …, n k jednakost a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Na primjer, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Možete prijeći na sljedeće svojstvo stupnjeva s prirodnim pokazateljem - svojstvo parcijalnih snaga s istim osnovama: za bilo koji realni broj različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uvjet m>n , jednakost a m:a n =a m−n je istinita.

Prije nego što damo dokaz ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uvjet a≠0 je neophodan kako bi se izbjeglo dijeljenje s nulom, budući da je 0 n =0, a kada smo se upoznali s dijeljenjem, složili smo se da je nemoguće dijeliti nulom. Uvjet m>n uvodi se tako da ne idemo dalje od prirodnih eksponenata. Doista, za m>n eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se događa za m−n ) ili negativan broj (što se događa za m

Dokaz. Glavno svojstvo razlomka omogućuje nam da zapišemo jednakost a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobivene jednakosti a m−n ·a n =a m i iz nje slijedi da je a m−n kvocijent potencija a m i a n . Time se dokazuje svojstvo parcijalnih potencija s istim bazama.

Uzmimo primjer. Uzmimo dva stupnja s istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, razmatrano svojstvo stupnja odgovara jednakosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Sada razmislite svojstvo stupnja proizvoda: prirodni stupanj n umnoška bilo koja dva realna broja a i b jednak je umnošku stupnjeva a n i b n , odnosno (a b) n =a n b n .

Doista, prema definiciji stupnja s prirodnim eksponentom, imamo . Posljednji proizvod, na temelju svojstava množenja, može se prepisati kao , što je jednako a n b n .

Evo primjera: .

Ovo svojstvo proteže se na stupanj umnoška tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodne snage n umnoška k faktora zapisuje se kao (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Radi jasnoće prikazujemo ovo svojstvo na primjeru. Za proizvod tri faktora na stepen 7, imamo .

Sljedeća imovina je prirodno vlasništvo: kvocijent realnih brojeva a i b , b≠0 na prirodni stepen n jednak je kvocijentu potencija a n i b n , odnosno (a:b) n =a n:b n .

Dokaz se može izvesti pomoću prethodnog svojstva. Tako (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a jednakost (a:b) n b n =a n implicira da je (a:b) n kvocijent od a n podijeljen s b n .

Zapišimo ovo svojstvo na primjeru određenih brojeva: .

Sada se oglasimo svojstvo eksponencijacije: za svaki realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n, potencija a m na stepen n jednaka je potenci a s eksponentom m·n , odnosno (a m) n =a m·n .

Na primjer, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dokaz svojstva moći u stupnju je sljedeći lanac jednakosti: .

Razmatrano svojstvo može se proširiti na stupanj unutar stupnja i tako dalje. Na primjer, za sve prirodne brojeve p, q, r i s jednakost . Radi veće jasnoće, evo primjera s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ostaje se zadržati na svojstvima uspoređivanja stupnjeva s prirodnim eksponentom.

Počinjemo s dokazivanjem svojstva usporedbe nule i stepena s prirodnim eksponentom.

Prvo, opravdajmo da je a n >0 za bilo koji a>0.

Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kako slijedi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja omogućuju nam da tvrdimo da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A snaga a s prirodnim eksponentom n je, po definiciji, umnožak n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovi argumenti nam omogućuju da tvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stupanj a n pozitivan broj. Na temelju dokazanog svojstva 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 i .

Sasvim je očito da je za bilo koji prirodni n s a=0 stupanj a n jednak nuli. Doista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0 .

Prijeđimo na negativne baze.

Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga kao 2 m , gdje je m prirodan broj. Zatim . Za svaki umnožak oblika a·a jednak je umnošku modula brojeva a i a je, dakle, pozitivan broj. Stoga će proizvod također biti pozitivan. i stupanj a 2 m . Evo primjera: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Konačno, kada je baza a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada . Svi produkti a·a su pozitivni brojevi, umnožak tih pozitivnih brojeva je također pozitivan, a njegovo množenje s preostalim negativnim brojem a rezultira negativnim brojem. Zbog ovog svojstva (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Okrećemo se svojstvu usporedbe stupnjeva s istim prirodnim eksponentima, koje ima sljedeću formulaciju: od dva stupnja s istim prirodnim eksponentima, n je manje od onog čija je baza manja, a više od onog čija je baza veća. Dokažimo to.

Nejednakost a n svojstva nejednakosti nejednakost koja se dokazuje oblika a n (2,2) 7 i .

Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava potencija s prirodnim eksponentima. Hajdemo to formulirati. Od dva stupnja s prirodnim pokazateljima i istim pozitivnim bazama, manjim od jednog, veći je stupanj čiji je pokazatelj manji; a od dva stupnja s prirodnim pokazateljima i istim bazama većim od jedan, veći je stupanj čiji je pokazatelj veći. Prelazimo na dokaz ovog svojstva.

Dokažimo da je za m>n i 0 0 zbog početnog uvjeta m>n , odakle slijedi da na 0

Ostaje dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da je za m>n i a>1 istina a m >a n. Razlika a m −a n nakon uzimanja n iz zagrada ima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj umnožak je pozitivan, budući da je za a>1 stupanj a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 pozitivan broj, budući da je m−n>0 zbog početnog uvjeta, a za a>1, stupanj a m−n veći je od jedan . Dakle, a m − a n >0 i a m >a n , što je trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustrira nejednakost 3 7 >3 2 .

Svojstva stupnjeva s cjelobrojnim eksponentima

Budući da su pozitivni cijeli brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s pozitivnim cijelim eksponentima točno podudaraju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom odlomku.

Stupanj smo definirali negativnim cjelobrojnim eksponentom, kao i stupanj s nultim eksponentom, tako da sva svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentima izražena jednakostima ostaju važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze stupnjeva različite od nule.

Dakle, za sve realne i različite brojeve a i b, kao i za bilo koje cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće svojstva stupnjeva s cjelobrojnim eksponentima:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n ;
6. ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi, a a b-n;
7. ako su m i n cijeli brojevi, a m>n , tada na 0 1 nejednakost a m >a n je ispunjena.

Za a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo zapisana svojstva vrijede i za slučajeve kada su a=0, a brojevi m i n pozitivni cijeli brojevi.

Svako od ovih svojstava nije teško dokazati, za to je dovoljno koristiti definicije stupnja s prirodnim i cjelobrojnim eksponentom, kao i svojstva radnji s realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo moći vrijedi i za pozitivne i za nepozitivne cijele brojeve. Da bismo to učinili, moramo pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, tada su jednakosti (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) i (a−p)−q =a (−p) (−q). Učinimo to.

Za pozitivne p i q, jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom pododjeljku. Ako je p=0 , tada imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1 , odakle (a 0) q =a 0 q . Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p 0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p 0 . Ako su i p=0 i q=0 , tada (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , odakle (a 0) 0 =a 0 0 .

Dokažimo sada da je (a −p) q =a (−p) q . Po definiciji stupnja s negativnim cijelim eksponentom , Onda . Po svojstvu kvocijenta u stupnju imamo . Budući da je 1 p =1·1·…·1=1 i , Tada je . Posljednji izraz je, po definiciji, potencija oblika a −(p q) , koja se, na temelju pravila množenja, može zapisati kao (−p) q .

Slično .

I .

Po istom principu mogu se dokazati sva ostala svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom, zapisanim u obliku jednakosti.

U pretposljednjem od zapisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n , što vrijedi za svaki negativni cijeli broj −n i svaki pozitivan a i b za koji je uvjet a . Budući da prema uvjetu a 0 . Umnožak a n ·b n je također pozitivan kao umnožak pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je dobiveni razlomak pozitivan kao kvocijent pozitivnih brojeva b n − a n i a n b n . Dakle, odakle je a −n >b −n , što je trebalo dokazati.

Posljednje svojstvo stupnjeva s cjelobrojnim eksponentima dokazuje se na isti način kao i analogno svojstvo stupnjeva s prirodnim eksponentima.

Svojstva potencija s racionalnim eksponentima

Stupanj smo definirali s razlomnim eksponentom proširivanjem svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, stupnjevi s frakcijskim eksponentima imaju ista svojstva kao i stupnjevi s cjelobrojnim eksponentima. Naime:

Dokaz svojstava stupnjeva s razlomnim eksponentom temelji se na definiciji stupnja s razlomnim eksponentom, na i na svojstvima stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Dajmo dokaz.

Po definiciji stupnja s razlomkom eksponenta i , Tada . Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da zapišemo sljedeće jednakosti. Nadalje, koristeći svojstvo stupnja s cjelobrojnim eksponentom, dobivamo , odakle, prema definiciji stupnja s razlomnim eksponentom, imamo , a eksponent dobivenog stupnja može se pretvoriti na sljedeći način: . Time je dokaz završen.

Drugo svojstvo potencija s frakcijskim eksponentima dokazuje se na potpuno isti način:

Ostale jednakosti dokazuju se sličnim principima:

Prelazimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b , a b p . Racionalni broj p zapisujemo kao m/n , gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uvjeti str<0 и p>0 će u ovom slučaju biti ekvivalentan uvjetima m<0 и m>0 redom. Za m>0 i a

Slično, za m<0 имеем a m >b m , odakle, to jest, i a p >b p .

Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo da je za racionalne brojeve p i q p>q za 0 0 – nejednakost a p >a q . Racionalne brojeve p i q uvijek možemo svesti na zajednički nazivnik, dobijemo obične razlomke i, gdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n je prirodan broj. U ovom slučaju, uvjet p>q odgovarat će uvjetu m 1 >m 2, koji slijedi iz . Zatim, svojstvom uspoređivanja potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima na 0 1 – nejednakost a m 1 >a m 2 . Ove nejednakosti u smislu svojstava korijena mogu se prepisati, odnosno, kao i . A definicija stupnja s racionalnim eksponentom omogućuje nam da prijeđemo na nejednakosti i, respektivno. Iz ovoga izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0 0 – nejednakost a p >a q .

Svojstva stupnjeva s iracionalnim eksponentima

Iz toga kako je definiran stupanj s iracionalnim eksponentom, može se zaključiti da ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentima. Dakle, za bilo koje a>0 , b>0 i iracionalni brojevi p i q svojstva stupnjeva s iracionalnim eksponentima:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q = a p q ;
6. za bilo koje pozitivne brojeve a i b , a 0 nejednakosti a str b p ;
7. za iracionalne brojeve p i q, p>q na 0 0 – nejednakost a p >a q .

Iz ovoga možemo zaključiti da potencije s bilo kojim realnim eksponentima p i q za a>0 imaju ista svojstva.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike Zh za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).

Stupanj s racionalnim eksponentom

Khasyanova T.G.,

nastavnik matematike

Predstavljeni materijal bit će koristan nastavnicima matematike pri proučavanju teme "Stupanj s racionalnim pokazateljem".

Svrha prezentiranog materijala: otkrivanje mog iskustva u vođenju lekcije na temu "Stupanj s racionalnim pokazateljem" program rada disciplina "Matematika".

Metodologija lekcije odgovara njenoj vrsti - satu u proučavanju i primarnoj konsolidaciji novog znanja. Temeljna znanja i vještine ažurirana su na temelju prethodno stečenog iskustva; primarno pamćenje, konsolidacija i primjena novih informacija. Konsolidacija i primjena novog materijala odvijala se u obliku rješavanja problema različite složenosti koje sam testirao, dajući pozitivan rezultat svladavanje teme.

Na početku sata učenicima sam postavila sljedeće ciljeve: odgojni, razvojni, odgojni. U nastavi sam koristio razne načine aktivnosti: frontalni, individualni, parna soba, samostalni, test. Zadaci su bili diferencirani i omogućili su utvrđivanje, u svakoj fazi lekcije, stupnja asimilacije znanja. Obim i složenost zadataka odgovara dobne karakteristike studentima. Iz mog iskustva - domaća zadaća, slično problemima riješenim u učionica omogućuje sigurnu konsolidaciju stečenih znanja i vještina. Na kraju sata provedeno je promišljanje i evaluacija rada pojedinih učenika.

Ciljevi su ostvareni. Studenti su proučavali pojam i svojstva stupnja s racionalnim eksponentom, naučili kako koristiti ta svojstva u rješavanju praktičnih zadataka. Iza samostalan rad ocjene se objavljuju u sljedećem satu.

Smatram da metodologiju koju koristim za izvođenje nastave matematike mogu primijeniti i nastavnici matematike.

Tema lekcije: Stupanj s racionalnim pokazateljem

Svrha lekcije:

Utvrđivanje razine ovladavanja od strane učenika kompleksom znanja i vještina i na temelju toga primjena određenih rješenja za unapređenje obrazovnog procesa.

Ciljevi lekcije:

Vodiči: formirati kod učenika nova znanja o temeljnim pojmovima, pravilima, zakonima za određivanje stupnja s racionalnim pokazateljem, sposobnost samostalne primjene znanja u standardnim uvjetima, u promijenjenim i nestandardnim uvjetima;

razvijanje: razmišljati logično i provoditi Kreativne vještine;

odgajatelji: formirati interes za matematiku, nadopuniti vokabular novim pojmovima, dobiti Dodatne informacije o svijetu oko sebe. Razvijajte strpljenje, ustrajnost, sposobnost prevladavanja poteškoća.

Organiziranje vremena

Ažuriranje osnovnih znanja

Prilikom množenja potencija s istom bazom, eksponenti se zbrajaju, a baza ostaje ista:

Na primjer,

2. Prilikom dijeljenja potencija s istim bazama, eksponenti se oduzimaju, a baza ostaje ista:

Na primjer,

3. Kada se stupanj diže na stepen, eksponenti se množe, a baza ostaje ista:

Na primjer,

4. Stupanj proizvoda jednak je umnošku potencija faktora:

Na primjer,

5. Stupanj kvocijenta jednak je količniku potencija dividende i djelitelja:

Na primjer,

Rješenje Vježbe

Pronađite vrijednost izraza:

Odluka:

U ovom slučaju, nijedno od svojstava stupnja s prirodnim eksponentom ne može se eksplicitno primijeniti, budući da svi stupnjevi imaju različite osnove. Zapišimo neke stupnjeve u drugačijem obliku:

(stupanj proizvoda jednak je umnošku stupnjeva faktora);

(kod množenja potencija s istom bazom, eksponenti se zbrajaju, a baza ostaje ista, pri dizanju stupnja na stepen eksponenti se množe, ali baza ostaje ista).

Tada dobivamo:

NA ovaj primjer korištena su prva četiri svojstva stupnja s prirodnim eksponentom.

Aritmetički kvadratni korijen
je nenegativan broj čiji je kvadrata,
. Na
- izraz
nije definirano, jer nema realnog broja čiji je kvadrat jednak negativnom brojua.

Matematički diktat(8-10 min.)

Opcija

II. Opcija

1. Pronađite vrijednost izraza

a)

b)

1. Pronađite vrijednost izraza

a)

b)

2. Izračunaj

a)

b)

NA)

2. Izračunaj

a)

b)

u)

Samotestiranje(na dasci za rever):

Matrica odgovora:

№ opcija/zadatak

Zadatak 1

Zadatak 2

opcija 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

u)

Opcija 2

a) 1.5

b)

a)

b)

u 4

II Formiranje novih znanja

Razmotrite značenje izraza, gdje - pozitivan broj– razlomak i m-cijeli broj, n-prirodni (n>1)

Definicija: stupanj broja a›0 s racionalnim eksponentomr = , m-cijela, n- prirodno ( n›1) poziva se broj.

Tako:

Na primjer:

Bilješke:

1. Za bilo koje pozitivno a i bilo koje racionalno r, broj pozitivno.

2. Kada
racionalna snaga brojaanije definirano.

Izrazi kao što su
nemaju smisla.

3.Ako razlomak pozitivnog broja
.

Ako je a razlomka negativan broj, dakle -nema smisla.

Na primjer: - nema smisla.

Razmotrimo svojstva stupnja s racionalnim eksponentom.

Neka je a>0, v>0; r, s - bilo koji racionalni brojevi. Tada stupanj s bilo kojim racionalnim eksponentom ima sljedeća svojstva:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidacija. Formiranje novih vještina i sposobnosti.

Kartice sa zadacima rade u malim grupama u obliku testa.

Također preporučujemo

• Heroji pioniri u Velikom domovinskom ratu Prezentacija pionira heroja Domovinskog rata
• Prezentacija „Formiranje držanja kod djece predškolske dobi Higijena pravilnog držanja djeteta
• Znanosti o ljudskom tijelu
• Prezentacija "Povijest i izgledi za razvoj robotike"
• Vrijednost borbe Rusije s Polovcima
• Azija i Afrika nakon Drugog svjetskog rata