„soluție de ecuații raționale fracționale”. Ecuații raționale

Cel mai mic numitor comun este folosit pentru a simplifica ecuația dată. Această metodă este folosită atunci când nu puteți scrie ecuația dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda înmulțirii încrucișate). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, înmulțirea încrucișată este mai bună).

Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun). NOZ este cel mai mic număr, care este divizibil egal cu fiecare numitor.

• Uneori, NOZ este un număr evident. De exemplu, dacă ecuația este dată: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, atunci este evident că cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 2 și 6 va fi 6.
• Dacă NOD-ul nu este evident, notați multiplii celui mai mare numitor și găsiți printre ei unul care este un multiplu al celorlalți numitori. Puteți găsi adesea NOD prin simpla înmulțire a doi numitori împreună. De exemplu, dacă este dată ecuația x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, atunci NOZ = 8*9 = 72.
• Dacă unul sau mai mulți numitori conțin o variabilă, atunci procesul este ceva mai complicat (dar nu imposibil). În acest caz, NOZ este o expresie (care conține o variabilă) care este divizibilă cu fiecare numitor. De exemplu, în ecuația 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), deoarece această expresie este divizibilă cu fiecare numitor: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOZ la numitorul corespunzător fiecărei fracții. Deoarece înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, înmulțiți efectiv o fracție cu 1 (de exemplu, 2/2 = 1 sau 3/3 = 1).

• Deci, în exemplul nostru, înmulțiți x/3 cu 2/2 pentru a obține 2x/6 și înmulțiți 1/2 cu 3/3 pentru a obține 3/6 (3x + 1/6 nu trebuie înmulțit deoarece numitorul este 6).
• Procedați în mod similar când variabila este la numitor. În al doilea exemplu NOZ = 3x(x-1), deci 5/(x-1) ori (3x)/(3x) este 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ori 3(x-1)/3(x-1) pentru a obține 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) înmulțiți cu (x-1)/(x-1) și obțineți 2(x-1)/3x(x-1).

Găsiți x. Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu un numitor comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.

• În exemplul nostru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puteți adăuga 2 fracții cu același numitor, deci scrieți ecuația ca: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6 și scăpați de numitori: 2x+3 = 3x +1. Rezolvați și obțineți x = 2.
• În al doilea exemplu (cu o variabilă la numitor), ecuația arată ca (după reducerea la un numitor comun): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Înmulțind ambele părți ale ecuației cu NOZ, scapi de numitor și obții: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), sau 15x = 3x - 3 + 2x -2, sau 15x = x - 5 Rezolvați și obțineți: x = -5/14.

Mai simplu spus, acestea sunt ecuații în care există cel puțin una cu o variabilă la numitor.

De exemplu:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemplu nu fracționat ecuații raționale:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Cum se rezolvă ecuațiile raționale fracționale?

Principalul lucru de reținut despre ecuațiile raționale fracționale este că trebuie să scrieți în ele. Și după ce găsiți rădăcinile, asigurați-vă că le verificați pentru admisibilitate. În caz contrar, pot apărea rădăcini străine, iar întreaga soluție va fi considerată incorectă.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale:

Scrieți și „rezolvați” ODZ.

Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu un numitor comun și reduceți fracțiile rezultate. Numitorii vor dispărea.

Scrieți ecuația fără a deschide paranteze.

Rezolvați ecuația rezultată.

Verificați rădăcinile găsite cu ODZ.

Scrieți ca răspuns rădăcinile care au trecut testul de la pasul 7.

Nu memorați algoritmul, 3-5 ecuații rezolvate - și va fi reținut de la sine.

Exemplu . Rezolvați ecuația rațională fracțională \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Decizie:

Răspuns: \(3\).

Exemplu . Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale \(=0\)

Decizie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Notăm și „rezolvăm” ODZ. Extindeți \(x^2+7x+10\) în formula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Din fericire, \(x_1\) și \(x_2\) le-am găsit deja.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Evident, numitorul comun al fracțiilor: \((x+2)(x+5)\). Înmulțim întreaga ecuație cu ea.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Reducem fracțiile
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Deschiderea parantezelor
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dăm condiții asemănătoare
\(2x^2+9x-5=0\)		Găsirea rădăcinilor ecuației
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una dintre rădăcini nu se potrivește sub ODZ, așa că, ca răspuns, notăm doar a doua rădăcină.

Răspuns: \(\frac(1)(2)\).

Obiectivele lecției:

Tutorial:

• formarea conceptului de ecuații raționale fracționale;
• să ia în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale;
• luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero;
• să predea soluția ecuațiilor raționale fracționale conform algoritmului;
• verificarea nivelului de asimilare a temei prin efectuarea de lucrări de testare.

În curs de dezvoltare:

• dezvoltarea capacităţii de a opera corect cu cunoştinţele dobândite, de a gândi logic;
• dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare;
• dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii, nu de a se opri aici;
• dezvoltare gândire critică;
• dezvoltarea abilităților de cercetare.

Hrănirea:

• creşterea interes cognitiv la subiect;
• educarea independenţei în rezolvarea problemelor educaţionale;
• educarea voinței și perseverenței pentru a obține rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicarea materialului nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Ecuațiile sunt scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi la lecție? Formulați subiectul lecției. Deci, deschidem caiete și notăm subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiem subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
2. Cum se numește ecuația #1? ( Liniar.) Metoda de rezolvare a ecuatiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Aduceți condiții asemănătoare. Găsiți multiplicatorul necunoscut).
3. Cum se numește ecuația 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Selectarea pătratului complet, prin formule, folosind teorema Vieta și consecințele acesteia.)
4. Ce este o proporție? ( Egalitatea a două relații.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este adevărată, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor medii.)
5. Ce proprietăți sunt folosite pentru a rezolva ecuații? ( 1. Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se va obține o ecuație care este echivalentă cu numărul dat.)
6. Când este o fracție egală cu zero? ( Fracția este zero când numărătorul zero, iar numitorul nu este egal cu zero.)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația #7 într-unul din moduri.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce sunt trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Până acum, elevii cu conceptul de rădăcină străină nu s-au întâlnit, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

• Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 la numitorul numărului, nr. 5-7 - expresii cu o variabilă.)
• Care este rădăcina ecuației? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată.)
• Cum să afli dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)

Când fac un test, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care să elimine această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, deci 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii înșiși formulează algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

1. Mutați totul spre stânga.
2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.
3. Alcătuiți un sistem: o fracție este zero când numărătorul este zero și numitorul nu este zero.
4. Rezolvați ecuația.
5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
6. Scrieți răspunsul.

Discuție: cum se formulează o soluție dacă se folosește proprietatea de bază a proporției și înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un numitor comun. (Suplimentați soluția: excludeți din rădăcinile sale pe cele care transformă numitorul comun la zero).

4. Înțelegerea primară a materialului nou.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve singuri ecuația, în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601 (a, e, g). Profesorul controlează îndeplinirea sarcinii, răspunde la întrebările care au apărut și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 3.

c) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1; 1.5.

5. Declarație de teme.

1. Citiți articolul 25 din manual, analizați exemplele 1-3.
2. Învață algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale.
3. Rezolvați în caietele Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
4. Încercați să rezolvați #696(a) (opțional).

6. Îndeplinirea sarcinii de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe foi.

Exemplu de job:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este zero când numărătorul este ______________________ iar numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației #6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinilor:

• „5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină.
• „4” - 75% -89%
• „3” - 50% -74%
• „2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină.
• Nota 2 nu este trecută în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe pliantele cu muncă independentă, puneți:

• 1 - dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine;
• 2 - interesant, dar nu clar;
• 3 - nu este interesant, dar de înțeles;
• 4 - nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații căi diferite, și-au testat cunoștințele cu ajutorul antrenamentului muncă independentă. Rezultatele muncii independente le vei afla in urmatoarea lectie, acasa vei avea ocazia sa consolidezi cunostintele acumulate.

Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, în opinia dumneavoastră, este mai ușoară, mai accesibilă, mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce nu trebuie uitat? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?

Vă mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Să ne familiarizăm cu ecuațiile raționale și fracționale, să le dăm definiția, să dăm exemple și să analizăm, de asemenea, cele mai comune tipuri de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuație rațională: definiție și exemple

Cunoașterea expresiilor raționale începe în clasa a VIII-a a școlii. În acest moment, la lecțiile de algebră, elevii încep din ce în ce mai mult să îndeplinească sarcini cu ecuații care conțin expresii rationaleîn notele tale. Să ne reîmprospătăm memoria despre ceea ce este.

Definiția 1

ecuație rațională este o ecuație în care ambele părți conțin expresii raționale.

În diverse manuale, puteți găsi o altă formulare.

Definiția 2

ecuație rațională- aceasta este o ecuație, a cărei înregistrare a părții stângi conține o expresie rațională, iar cea din dreapta conține zero.

Definițiile pe care le-am dat pentru ecuațiile raționale sunt echivalente, deoarece înseamnă același lucru. Corectitudinea cuvintelor noastre este confirmată de faptul că pentru orice expresii raționale Pși Q ecuații P=Qși P − Q = 0 vor fi expresii echivalente.

Acum să ne întoarcem la exemple.

Exemplul 1

Ecuații raționale:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Ecuațiile raționale, la fel ca și ecuațiile de alte tipuri, pot conține orice număr de variabile de la 1 la mai multe. Pentru început, vom lua în considerare exemple simple, în care ecuațiile vor conține o singură variabilă. Și apoi începem să complicăm treptat sarcina.

Ecuațiile raționale sunt împărțite în două grupuri mari: întregi și fracționale. Să vedem ce ecuații se vor aplica fiecărui grup.

Definiția 3

O ecuație rațională va fi un număr întreg dacă înregistrarea părților sale din stânga și din dreapta conține expresii raționale întregi.

Definiția 4

O ecuație rațională va fi fracțională dacă una sau ambele părți conțin o fracție.

Ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă, sau variabila este prezentă în numitor. Nu există o astfel de împărțire în scrierea ecuațiilor întregi.

Exemplul 2

3 x + 2 = 0și (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 sunt ecuații raționale întregi. Aici ambele părți ale ecuației sunt reprezentate prin expresii întregi.

1 x - 1 = x 3 și x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sunt ecuații fracționale raționale.

Ecuațiile raționale întregi includ ecuații liniare și pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce de obicei la transformarea lor în ecuații algebrice echivalente. Acest lucru poate fi realizat prin efectuarea de transformări echivalente ale ecuațiilor în conformitate cu următorul algoritm:

• mai întâi obținem zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta este necesar să transferăm expresia care se află în partea dreaptă a ecuației în partea stângă a acesteia și să schimbăm semnul;
• apoi transformăm expresia din partea stângă a ecuației într-un polinom vedere standard.

Trebuie să obținem o ecuație algebrică. Această ecuație va fi echivalentă cu ecuația originală. Cazurile simple ne permit să rezolvăm problema reducând întreaga ecuație la una liniară sau pătratică. În cazul general, rezolvăm o ecuație algebrică a gradului n.

Exemplul 3

Este necesar să găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Decizie

Să transformăm expresia originală pentru a obține o ecuație algebrică echivalentă cu aceasta. Pentru a face acest lucru, vom transfera expresia conținută în partea dreaptă a ecuației în partea stângă și vom schimba semnul în opus. Ca rezultat, obținem: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Acum vom transforma expresia care se află în partea stângă într-un polinom al formei standard și vom efectua acțiunile necesare cu acest polinom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Am reușit să reducem soluția ecuației inițiale la soluția unei ecuații pătratice de formă x 2 − 5 x − 6 = 0. Discriminantul acestei ecuații este pozitiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Aceasta înseamnă că vor exista două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcinilor ecuației pătratice:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 sau x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 sau x 2 = - 1

Să verificăm corectitudinea rădăcinilor ecuației pe care le-am găsit în cursul soluției. Pentru acest număr, pe care l-am primit, înlocuim în ecuația originală: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3și 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. În primul caz 63 = 63 , in secunda 0 = 0 . Rădăcini x=6și x = − 1 sunt într-adevăr rădăcinile ecuației date în condiția exemplu.

Răspuns: 6 , − 1 .

Să ne uităm la ce înseamnă „puterea întregii ecuații”. Vom întâlni adesea acest termen în acele cazuri când trebuie să reprezentăm o întreagă ecuație sub forma uneia algebrice. Să definim conceptul.

Definiția 5

Gradul unei ecuații întregi este gradul unei ecuații algebrice echivalente cu întreaga ecuație originală.

Dacă te uiți la ecuațiile din exemplul de mai sus, poți stabili: gradul întregii ecuații este al doilea.

Dacă cursul nostru s-a limitat la rezolvarea ecuațiilor de gradul doi, atunci analiza subiectului ar putea fi finalizată aici. Dar totul nu este atât de simplu. Rezolvarea ecuațiilor de gradul trei este plină de dificultăți. Și pentru ecuațiile de peste gradul al patrulea, nu există deloc formule generale rădăcini. În acest sens, soluționarea ecuațiilor întregi de gradul al treilea, al patrulea și alte grade necesită să folosim o serie de alte tehnici și metode.

Cea mai frecvent utilizată abordare pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi se bazează pe metoda factorizării. Algoritmul acțiunilor în acest caz este următorul:

• transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă, astfel încât zero să rămână în partea dreaptă a înregistrării;
• reprezentăm expresia din partea stângă ca un produs al factorilor și apoi trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Exemplul 4

Aflați soluția ecuației (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Decizie

Transferăm expresia din partea dreaptă a înregistrării în partea stângă cu semnul opus: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Convertirea părții stângi într-un polinom al formei standard este nepractică, deoarece aceasta ne va oferi o ecuație algebrică de gradul al patrulea: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Ușurința transformării nu justifică toate dificultățile în rezolvarea unei astfel de ecuații.

Este mult mai ușor să mergem în altă direcție: scoatem factorul comun x 2 − 10 x + 13 . Astfel ajungem la o ecuație a formei (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Acum înlocuim ecuația rezultată cu un set de două ecuații pătratice x 2 − 10 x + 13 = 0și x 2 − 2 x − 1 = 0și găsiți rădăcinile lor prin discriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Răspuns: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

În mod similar, putem folosi metoda introducerii unei noi variabile. Această metodă ne permite să trecem la ecuații echivalente cu puteri mai mici decât cele din întreaga ecuație originală.

Exemplul 5

Ecuația are rădăcini? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Decizie

Dacă acum încercăm să reducem o întreagă ecuație rațională la una algebrică, vom obține o ecuație de gradul 4, care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, ne va fi mai ușor să mergem în altă direcție: introduceți o nouă variabilă y, care va înlocui expresia din ecuație x 2 + 3 x.

Acum vom lucra cu întreaga ecuație (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Transferăm partea dreaptă a ecuației în partea stângă cu semnul opus și efectuăm transformările necesare. Primim: y 2 + 4 y + 3 = 0. Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: y = − 1și y = − 3.

Acum să facem înlocuirea inversă. Obținem două ecuații x 2 + 3 x = − 1și x 2 + 3 x = - 3 . Să le rescriem ca x 2 + 3 x + 1 = 0 și x 2 + 3 x + 3 = 0. Folosim formula rădăcinilor ecuației pătratice pentru a găsi rădăcinile primei ecuații obținute: - 3 ± 5 2 . Discriminantul celei de-a doua ecuații este negativ. Aceasta înseamnă că a doua ecuație nu are rădăcini reale.

Răspuns:- 3 ± 5 2

Ecuațiile întregi de grade înalte apar destul de des în probleme. Nu trebuie să-ți fie frică de ei. Trebuie să fiți gata să aplicați o metodă non-standard de rezolvare a acestora, inclusiv o serie de transformări artificiale.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

Începem examinarea acestui subtopic cu un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 , unde p(x)și q(x) sunt expresii raționale întregi. Rezolvarea altor ecuații raționale fracționale poate fi întotdeauna redusă la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Metoda cea mai des folosită pentru rezolvarea ecuațiilor p (x) q (x) = 0 se bazează pe următoarea afirmație: fracție numerică u v, Unde v este un număr diferit de zero, egal cu zero numai în cazurile în care numărătorul fracției este egal cu zero. Urmând logica afirmației de mai sus, putem afirma că soluția ecuației p (x) q (x) = 0 poate fi redusă la îndeplinirea a două condiții: p(x)=0și q(x) ≠ 0. Pe aceasta, se construiește un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0:

• găsim soluția întregii ecuații raționale p(x)=0;
• verificăm dacă condiția este îndeplinită pentru rădăcinile găsite în timpul soluției q(x) ≠ 0.

Dacă această condiție este îndeplinită, atunci rădăcina găsită. Dacă nu, atunci rădăcina nu este o soluție la problemă.

Exemplul 6

Aflați rădăcinile ecuației 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Decizie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională de forma p (x) q (x) = 0 , în care p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Să începem să rezolvăm ecuația liniară 3 x - 2 = 0. Rădăcina acestei ecuații va fi x = 2 3.

Să verificăm rădăcina găsită, dacă îndeplinește condiția 5 x 2 - 2 ≠ 0. Pentru a face acest lucru, înlocuiți o valoare numerică în expresie. Obținem: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Condiția este îndeplinită. Înseamnă că x = 2 3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns: 2 3 .

Există o altă opțiune pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale p (x) q (x) = 0 . Amintiți-vă că această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe intervalul de valori admisibile ale variabilei x din ecuația originală. Acest lucru ne permite să folosim următorul algoritm în rezolvarea ecuațiilor p(x) q(x) = 0:

• rezolva ecuația p(x)=0;
• găsiți intervalul de valori acceptabile pentru variabila x ;
• luăm rădăcinile care se află în regiunea valorilor admisibile ale variabilei x ca rădăcini dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Decizie

Pentru început, să decidem ecuație pătratică x 2 − 2 x − 11 = 0. Pentru a calcula rădăcinile sale, folosim formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient par. Primim D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12și x = 1 ± 2 3 .

Acum putem găsi ODV-ul lui x pentru ecuația originală. Acestea sunt toate numerele pentru care x 2 + 3 x ≠ 0. Este la fel ca x (x + 3) ≠ 0, de unde x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Acum să verificăm dacă rădăcinile x = 1 ± 2 3 obținute în prima etapă a soluției se află în intervalul valorilor acceptabile ale variabilei x . Vedem ce intră. Aceasta înseamnă că ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini x = 1 ± 2 3 .

Răspuns: x = 1 ± 2 3

A doua metodă de soluție descrisă mai usor decat primulîn cazurile în care este ușor de găsit aria valorilor admisibile ale variabilei x și rădăcinile ecuației p(x)=0 iraţional. De exemplu, 7 ± 4 26 9 . Rădăcinile pot fi raționale, dar cu un numărător sau numitor mare. De exemplu, 127 1101 și − 31 59 . Acest lucru economisește timp pentru verificarea stării. q(x) ≠ 0: este mult mai ușor să excludeți rădăcinile care nu se potrivesc, conform ODZ.

Când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai oportun să se folosească primul algoritm descris pentru rezolvarea ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0 . Găsirea mai rapidă a rădăcinilor unei întregi ecuații p(x)=0, apoi verificați dacă condiția este îndeplinită pentru ei q(x) ≠ 0, și nu găsiți ODZ, apoi rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.

Exemplul 8

Aflați rădăcinile ecuației (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Decizie

Începem prin a considera întreaga ecuație (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0și găsindu-și rădăcinile. Pentru a face acest lucru, aplicăm metoda de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare. Se pare că ecuația inițială este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, dintre care trei sunt liniare și unul este pătrat. Găsim rădăcinile: din prima ecuație x = 1 2, din a doua x=6, din a treia - x \u003d 7, x \u003d - 2, din a patra - x = − 1.

Să verificăm rădăcinile obținute. Este dificil pentru noi să determinăm ODZ în acest caz, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvăm o ecuație algebrică de gradul cinci. Va fi mai ușor să verificați condiția conform căreia numitorul fracției, care se află în partea stângă a ecuației, nu ar trebui să dispară.

La rândul său, înlocuiți rădăcinile în locul variabilei x din expresie x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 si calculeaza-i valoarea:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Verificarea efectuată ne permite să stabilim că rădăcinile ecuației raționale fracționale originale sunt 1 2 , 6 și − 2 .

Răspuns: 1 2 , 6 , - 2

Exemplul 9

Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Decizie

Să începem cu ecuația (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Să-i găsim rădăcinile. Este mai ușor pentru noi să reprezentăm această ecuație ca o combinație de ecuații patratice și liniare 5 x 2 - 7 x - 1 = 0și x − 2 = 0.

Folosim formula rădăcinilor unei ecuații pătratice pentru a găsi rădăcinile. Obținem două rădăcini x = 7 ± 69 10 din prima ecuație și din a doua x=2.

Înlocuirea valorii rădăcinilor în ecuația originală pentru a verifica condițiile va fi destul de dificilă pentru noi. Va fi mai ușor de determinat LPV al variabilei x . În acest caz, DPV al variabilei x este toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția este îndeplinită x 2 + 5 x − 14 = 0. Se obține: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Acum să verificăm dacă rădăcinile pe care le-am găsit aparțin intervalului de valori acceptabile pentru variabila x.

Rădăcinile x = 7 ± 69 10 - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale și x=2- nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns: x = 7 ± 69 10 .

Să examinăm separat cazurile în care numărătorul unei ecuații raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 conține un număr. În astfel de cazuri, dacă numărătorul conține un alt număr decât zero, atunci ecuația nu va avea rădăcini. Dacă acest număr este egal cu zero, atunci rădăcina ecuației va fi orice număr din ODZ.

Exemplul 10

Rezolvați ecuația rațională fracțională - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Decizie

Această ecuație nu va avea rădăcini, deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui x valoarea fracției date în condiția problemei nu va fi egală cu zero.

Răspuns: fara radacini.

Exemplul 11

Rezolvați ecuația 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Decizie

Deoarece numărătorul fracției este zero, soluția ecuației va fi orice valoare a lui x din variabila ODZ x.

Acum să definim ODZ. Va include toate valorile x pentru care x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluții de ecuație x 4 + 5 x 3 = 0 sunteți 0 și − 5 , deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) = 0, și, la rândul său, este echivalent cu mulțimea a două ecuații x 3 = 0 și x + 5 = 0 unde aceste rădăcini sunt vizibile. Ajungem la concluzia că intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0și x = -5.

Se pare că ecuația rațională fracțională 0 x 4 + 5 x 3 = 0 are un număr infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și - 5.

Răspuns: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Acum să vorbim despre ecuațiile raționale fracționale de formă arbitrară și despre metodele de rezolvare a acestora. Ele pot fi scrise ca r(x) = s(x), Unde r(x)și s x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Soluția unor astfel de ecuații se reduce la soluția ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0 .

Știm deja că putem obține o ecuație echivalentă transferând expresia din partea dreaptă a ecuației în partea stângă cu semnul opus. Aceasta înseamnă că ecuația r(x) = s(x) este echivalentă cu ecuația r (x) − s (x) = 0. Am discutat deja despre cum se transformă o expresie rațională într-o fracție rațională. Datorită acestui lucru, putem transforma cu ușurință ecuația r (x) − s (x) = 0în fracția sa rațională identică de forma p (x) q (x) .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x) = s(x) la o ecuație de forma p (x) q (x) = 0 , pe care am învățat deja cum să o rezolvăm.

Trebuie remarcat faptul că atunci când se fac tranziții de la r (x) − s (x) = 0 la p (x) q (x) = 0 și apoi la p(x)=0 este posibil să nu luăm în considerare extinderea intervalului de valori valide ale variabilei x.

Este destul de realist că ecuația originală r(x) = s(x)și ecuație p(x)=0 ca urmare a transformărilor acestea vor înceta să mai fie echivalente. Apoi soluția ecuației p(x)=0 ne poate da rădăcini care ne vor fi străine r(x) = s(x). În acest sens, în fiecare caz este necesar să se efectueze o verificare prin oricare dintre metodele descrise mai sus.

Pentru a vă facilita studierea subiectului, am generalizat toate informațiile într-un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale de forma r(x) = s(x):

• transferăm expresia din partea dreaptă cu semnul opus și obținem zero în dreapta;
• transformăm expresia inițială într-o fracție rațională p (x) q (x) , efectuând secvențial operații cu fracții și polinoame;
• rezolva ecuația p(x)=0;
• relevăm rădăcinile străine verificând apartenența lor la ODZ sau substituind în ecuația originală.

Vizual, lanțul de acțiuni va arăta astfel:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandonul r o n d e r o o n s

Exemplul 12

Rezolvați ecuația rațională fracțională x x + 1 = 1 x + 1 .

Decizie

Să trecem la ecuația x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Să transformăm expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației în forma p (x) q (x) .

Pentru asta trebuie să aducem fracții raționale la un numitor comun și simplificați expresia:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Pentru a găsi rădăcinile ecuației - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, trebuie să rezolvăm ecuația − 2 x − 1 = 0. Obținem o singură rădăcină x = - 1 2.

Ne rămâne să efectuăm verificarea prin oricare dintre metode. Să le luăm în considerare pe amândouă.

Înlocuiți valoarea rezultată în ecuația inițială. Se obține - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Am ajuns la egalitatea numerică corectă − 1 = − 1 . Înseamnă că x = − 1 2 este rădăcina ecuației inițiale.

Acum vom verifica prin ODZ. Să determinăm aria valorilor acceptabile pentru variabila x . Acesta va fi întregul set de numere, cu excepția − 1 și 0 (când x = − 1 și x = 0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina pe care o avem x = − 1 2 aparține ODZ. Aceasta înseamnă că este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: − 1 2 .

Exemplul 13

Aflați rădăcinile ecuației x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Decizie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională. Prin urmare, vom acționa conform algoritmului.

Să mutăm expresia din partea dreaptă în partea stângă cu semnul opus: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Să efectuăm transformările necesare: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Ajungem la ecuație x=0. Rădăcina acestei ecuații este zero.

Să verificăm dacă această rădăcină este una străină pentru ecuația originală. Înlocuiți valoarea din ecuația inițială: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . După cum puteți vedea, ecuația rezultată nu are sens. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină, iar ecuația rațională fracțională originală nu are rădăcini.

Răspuns: fara radacini.

Dacă nu am inclus alte transformări echivalente în algoritm, asta nu înseamnă deloc că nu pot fi folosite. Algoritmul este universal, dar este conceput pentru a ajuta, nu a limita.

Exemplul 14

Rezolvați ecuația 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Decizie

Cel mai simplu mod este de a rezolva ecuația rațională fracțională dată conform algoritmului. Dar există o altă cale. Să luăm în considerare.

Scădem din părțile din dreapta și din stânga 7, obținem: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Din aceasta putem trage concluzia că expresia din numitorul părții stângi ar trebui să fie egală cu reciproca numărului din partea dreaptă, adică 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Scădeți din ambele părți 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Prin analogie 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de unde 1 5 - x 2 \u003d 1 3, și mai departe 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Să verificăm pentru a stabili dacă rădăcinile găsite sunt rădăcinile ecuației originale.

Răspuns: x = ± 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Am introdus ecuația de mai sus în § 7. În primul rând, ne amintim ce este o expresie rațională. Aceasta este - expresie algebrica, compus din numere și variabila x folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere cu exponent natural.

Dacă r(x) este o expresie rațională, atunci ecuația r(x) = 0 se numește ecuație rațională.

Cu toate acestea, în practică este mai convenabil să folosești ceva mai mult interpretare amplă termenul „ecuație rațională”: aceasta este o ecuație de forma h(x) = q(x), unde h(x) și q(x) sunt expresii raționale.

Până acum nu am putut rezolva nicio ecuație rațională, ci doar una care, ca urmare a diferitelor transformări și raționamente, s-a redus la ecuație liniară. Acum posibilitățile noastre sunt mult mai mari: vom putea rezolva o ecuație rațională, care se reduce nu numai la liniară.
mu, dar și la ecuația pătratică.

Amintiți-vă cum am rezolvat mai devreme ecuațiile raționale și încercați să formulăm un algoritm de soluție.

Exemplul 1 rezolva ecuația

Decizie. Rescriem ecuația sub forma

În acest caz, ca de obicei, folosim faptul că egalitățile A \u003d B și A - B \u003d 0 exprimă aceeași relație între A și B. Acest lucru ne-a permis să transferăm termenul în partea stângă a ecuației cu semnul opus.

Să efectuăm transformări ale părții stângi a ecuației. Noi avem

Amintiți-vă condițiile de egalitate fractii zero: dacă și numai dacă două relații sunt satisfăcute simultan:

1) numărătorul fracției este zero (a = 0); 2) numitorul fracției este diferit de zero).
Echivalând cu zero numărătorul fracției din partea stângă a ecuației (1), obținem

Rămâne de verificat îndeplinirea celei de-a doua condiții menționate mai sus. Raportul înseamnă pentru ecuația (1) că . Valorile x 1 = 2 și x 2 = 0,6 satisfac relațiile indicate și, prin urmare, servesc drept rădăcini ale ecuației (1) și, în același timp, rădăcinilor ecuației date.

1) Să transformăm ecuația în formă

2) Să efectuăm transformările părții stângi a acestei ecuații:

(a schimbat simultan semnele la numărător și
fracții).
Prin urmare, ecuația dată ia forma

3) Rezolvați ecuația x 2 - 6x + 8 = 0. Aflați

4) Pentru valorile găsite, verificați starea . Numărul 4 îndeplinește această condiție, dar numărul 2 nu. Deci 4 este rădăcina ecuației date, iar 2 este o rădăcină străină.
Raspuns: 4.

2. Rezolvarea ecuațiilor raționale prin introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile vă este familiară, am folosit-o de mai multe ori. Să arătăm prin exemple cum este utilizat în rezolvarea ecuațiilor raționale.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația x 4 + x 2 - 20 = 0.

Decizie. Introducem o nouă variabilă y \u003d x 2. Deoarece x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, atunci ecuația dată poate fi rescrisă sub forma

y 2 + y - 20 = 0.

Aceasta este o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini le vom găsi folosind cunoscutul formule; obținem y 1 = 4, y 2 = - 5.
Dar y \u003d x 2, ceea ce înseamnă că problema a fost redusă la rezolvarea a două ecuații:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Din prima ecuație găsim că a doua ecuație nu are rădăcini.
Răspuns: .
O ecuație de forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 se numește ecuație biquadratică („bi” - doi, adică, parcă, o ecuație „de două ori pătrată”). Ecuația tocmai rezolvată a fost exact biquadratică. Orice ecuație biquadratică este rezolvată în același mod ca și ecuația din exemplul 3: este introdusă o nouă variabilă y \u003d x 2, ecuația pătratică rezultată este rezolvată în raport cu variabila y și apoi revenită la variabila x.

Exemplul 4 rezolva ecuația

Decizie. Rețineți că aceeași expresie x 2 + 3x apare de două ori aici. Prin urmare, este logic să introduceți o nouă variabilă y = x 2 + Zx. Acest lucru ne va permite să rescriem ecuația într-o formă mai simplă și mai plăcută (care, de fapt, este scopul introducerii unui nou variabil- și înregistrarea este mai ușoară
, iar structura ecuației devine mai clară):

Și acum vom folosi algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații raționale.

1) Să mutăm toți termenii ecuației într-o singură parte:

= 0
2) Să transformăm partea stângă a ecuației

Deci, am transformat ecuația dată în forma

3) Din ecuația - 7y 2 + 29y -4 = 0 găsim (am rezolvat deja destul de multe ecuații pătratice, așa că probabil că nu merită să oferim întotdeauna calcule detaliate în manual).

4) Să verificăm rădăcinile găsite folosind condiția 5 (y - 3) (y + 1). Ambele rădăcini îndeplinesc această condiție.
Deci, ecuația pătratică pentru noua variabilă y este rezolvată:
Deoarece y \u003d x 2 + Zx și y, după cum am stabilit, ia două valori: 4 și, - mai trebuie să rezolvăm două ecuații: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Rădăcinile primei ecuații sunt numerele 1 și - 4, rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt numerele

În exemplele luate în considerare, metoda de introducere a unei noi variabile a fost, după cum le place să spună matematicienii, adecvată situației, adică îi corespundea bine. De ce? Da, deoarece aceeași expresie a fost întâlnită în mod clar în înregistrarea ecuației de mai multe ori și a fost rezonabil să desemnăm această expresie cu o nouă literă. Dar nu este întotdeauna cazul, uneori o nouă variabilă „apare” doar în procesul transformărilor. Este exact ceea ce se va întâmpla în exemplul următor.

Exemplul 5 rezolva ecuația
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Decizie. Noi avem
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Deci ecuația dată poate fi rescrisă ca

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Acum a „apărut” o nouă variabilă: y = x 2 - Zx.

Cu ajutorul ei, ecuația poate fi rescrisă sub forma y (y + 2) \u003d 24 și apoi y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele 4 și -6.

Revenind la variabila inițială x, obținem două ecuații x 2 - Zx \u003d 4 și x 2 - Zx \u003d - 6. Din prima ecuație găsim x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; a doua ecuație nu are rădăcini.

Răspuns: 4, - 1.

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic timp de un an instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate