”, adică ecuații de gradul I. În această lecție, vom explora ce este o ecuație pătratică si cum se rezolva.

Ce este o ecuație pătratică

Important!

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă gradul maxim în care se află necunoscutul este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! Forma generală a ecuației pătratice arată astfel:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” și „c” - numere date.

• "a" - primul sau coeficientul superior;
• "b" - al doilea coeficient;
• „c” este un membru gratuit.

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” Trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ecuația	Cote
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cum se rezolvă ecuații pătratice

Spre deosebire de ecuațiile liniare pentru rezolvare ecuații pătratice special formula pentru găsirea rădăcinilor.

Tine minte!

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

• aduceți ecuația pătratică la forma generală „ax 2 + bx + c \u003d 0”. Adică doar „0” ar trebui să rămână pe partea dreaptă;
• utilizați formula pentru rădăcini:

Să folosim un exemplu pentru a ne da seama cum să aplicăm formula pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm ecuația pătratică.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ecuația „x 2 - 3x - 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să definim coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Cu ajutorul lui, orice ecuație pătratică este rezolvată.

În formula „x 1; 2 \u003d” expresia rădăcină este adesea înlocuită
„b 2 − 4ac” la litera „D” și numit discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.

Luați în considerare un alt exemplu de ecuație pătratică.

x 2 + 9 + x = 7x

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să aducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Răspuns: x = 3

Există momente când nu există rădăcini în ecuațiile pătratice. Această situație apare atunci când un număr negativ apare în formulă sub rădăcină.

Continuăm să studiem subiectul rezolvarea ecuatiilor". Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și acum ne vom familiariza cu ecuații pătratice.

Mai întâi, vom analiza ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă vedere generala, și dați definiții aferente. După aceea, folosind exemple, vom analiza în detaliu cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete. În continuare, trecem la rezolvarea ecuațiilor complete, obținem formula rădăcinilor, ne familiarizăm cu discriminantul unei ecuații pătratice și luăm în considerare soluții la exemple tipice. În cele din urmă, urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem să vorbim despre ecuații pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definiții legate de aceasta. După aceea, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiție.

Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a , b și c sunt niște numere, iar a este diferit de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Definiția sunată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. sunt ecuații pătratice.

Definiție.

Numerele a , b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a x 2 +b x + c=0, iar coeficientul a se numește primul, sau senior, sau coeficientul la x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul la x și c este un membru liber.

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x−3=0 , aici coeficientul principal este 5 , al doilea coeficient este −2 , iar termenul liber este −3 . Rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, atunci forma scurta scriind o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x−3=0 , și nu 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Este de remarcat faptul că, atunci când coeficienții a și / sau b sunt egali cu 1 sau -1, atunci ei nu sunt de obicei prezenți în mod explicit în notația ecuației pătratice, ceea ce se datorează particularităților notării unui astfel de . De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0, coeficientul principal este unul, iar coeficientul la y este −1.

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică redusă. În caz contrar, ecuația pătratică este neredus.

Conform acestei definiții, ecuațiile pătratice x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 etc. - redus, în fiecare dintre ele primul coeficient egal cu unu. Și 5 x 2 −x−1=0 , etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1 .

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul de conducere, puteți trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, ca și ea, nu are rădăcini.

Să luăm un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Soluţie.

Este suficient să facem împărțirea ambelor părți ale ecuației inițiale cu coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, așa că putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , care este același cu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , și așa mai departe (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , de unde . Deci am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Există o condiție a≠0 în definiția unei ecuații pătratice. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 +b x+c=0 să fie exact pătrată, deoarece cu a=0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x+c=0 .

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât separat, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiție.

Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b , c este egal cu zero.

La randul lui

Definiție.

Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Aceste nume nu sunt date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din următoarea discuție.

Dacă coeficientul b este egal cu zero, atunci ecuația pătratică devine a x 2 +0 x+c=0 , și este echivalentă cu ecuația a x 2 +c=0 . Dacă c=0 , adică ecuația pătratică are forma a x 2 +b x+0=0 , atunci poate fi rescrisă ca a x 2 +b x=0 . Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin faptul că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete și x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 =0 , îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
• a x 2 +c=0 când b=0;
• și a x 2 +b x=0 când c=0 .

Să analizăm în ordine cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 \u003d 0

Să începem prin a rezolva ecuații pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 este zero, deoarece 0 2 \u003d 0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică, într-adevăr, pentru orice număr diferit de zero p are loc inegalitatea p 2 >0, ceea ce implică că pentru p≠0, egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 \u003d 0 are o singură rădăcină x \u003d 0.

Ca exemplu, dăm soluția unei ecuații pătratice incomplete −4·x 2 =0. Este echivalent cu ecuația x 2 \u003d 0, singura sa rădăcină este x \u003d 0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.

O soluție scurtă în acest caz poate fi emisă după cum urmează:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Acum luați în considerare cum sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete, în care coeficientul b este egal cu zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației cu un număr diferit de zero, dau o ecuație echivalentă. Prin urmare, pot fi efectuate următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:

• mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
• și împărțim ambele părți cu a , obținem .

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6 , atunci ), nu este egal cu zero , deoarece prin condiția c≠0 . Vom analiza separat cazurile și .

Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre, atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, este numărul, deoarece. Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. S-o facem.

Să notăm rădăcinile exacte ale ecuației ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are o altă rădăcină x 2 diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1 . Se știe că înlocuirea în ecuație în loc de x a rădăcinilor sale transformă ecuația într-o egalitate numerică adevărată. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice adevărate, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 − x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea obținută rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0 , care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 = −x 1 . Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1 . Aceasta dovedește că ecuația nu are alte rădăcini decât și .

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația , care

• nu are rădăcini dacă,
• are două rădăcini și dacă .

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0 .

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0 . După transferul termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9·x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Deoarece se obține un număr negativ în partea dreaptă, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7=0 nu are rădăcini.

Să rezolvăm încă o ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Transferăm cele nouă în partea dreaptă: -x 2 \u003d -9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. Partea dreaptă conține un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau . După ce scriem răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.

a x 2 +b x=0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0 . Ecuațiile patratice incomplete de forma a x 2 +b x=0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0 . Și această ecuație este echivalentă cu mulțimea a două ecuații x=0 și a x+b=0 , dintre care ultima este liniară și are rădăcina x=−b/a .

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 +b x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui exemplu concret.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Scoatem x din paranteze, aceasta dă ecuația. Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvăm ecuația liniară rezultată: , și împărțind numărul mixt la fracție comună, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .

După practicarea necesară, soluțiile unor astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x=0, .

Discriminant, formula rădăcinilor unei ecuații pătratice

Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să scriem formula rădăcinilor ecuației pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zisul discriminant al unei ecuații pătratice. Notația înseamnă în esență că .

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum este aplicată în găsirea rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Să ne ocupăm de asta.

Derivarea formulei rădăcinilor unei ecuații pătratice

Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0 . Să efectuăm câteva transformări echivalente:

• Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, ca rezultat obținem ecuația pătratică redusă.
• Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă: . După aceea, ecuația va lua forma .
• În această etapă, este posibil să se efectueze transferul ultimilor doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
• Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .

Ca rezultat, ajungem la ecuația , care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0 .

Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele anterioare când am analizat . Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

• dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
• dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
• dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4 a 2 este întotdeauna pozitiv, adică semnul expresiei b 2 −4 a c . Această expresie b 2 −4 a c se numește discriminant al unei ecuații pătraticeși marcat cu litera D. De aici, esența discriminantului este clară - prin valoarea și semnul său, se ajunge la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.

Revenim la ecuația , o rescriem folosind notația discriminantului: . Și conchidem:

• daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
• în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau , care pot fi rescrise sub forma sau , iar după extinderea și reducerea fracțiilor la un numitor comun obținem .

Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele arată ca , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4 a c .

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este egal cu zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii corespunzătoare singurei soluții a ecuației pătratice. Iar cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr negativ, ceea ce ne duce dincolo de sfera programului școlar. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugare complexa rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați o ecuație pătratică, puteți utiliza imediat formula rădăcină, cu care să le calculați valorile. Dar este mai mult despre găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară, este de obicei vorbim nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este indicat să găsiți mai întâi discriminantul înainte de a utiliza formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, asigurați-vă că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), iar după aceea calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, aveți nevoie de:

• folosind formula discriminantă D=b 2 −4 a c calculați valoarea acesteia;
• trageți concluzia că ecuația pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0 ;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că dacă discriminantul este egal cu zero, se poate folosi și formula, va da aceeași valoare ca .

Puteți trece la exemple de aplicare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Luați în considerare soluțiile a trei ecuații pătratice cu pozitiv, negativ și zero discriminant. După ce ne-am ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibilă rezolvarea oricărei alte ecuații pătratice. Să începem.

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2 x−6=0 .

Soluţie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1 , b=2 și c=−6 . Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul, pentru aceasta înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă, avem D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim după formula rădăcinilor , obținem , aici putem simplifica expresiile obținute făcând factorizarea semnului rădăcinii urmată de reducerea fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluţie.

Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică

Răspuns:

x=3,5.

Rămâne de luat în considerare soluția ecuațiilor pătratice cu discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5 y 2 +6 y+2=0 .

Soluţie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5 , b=6 și c=2 . Înlocuind aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să specificați rădăcini complexe, atunci folosim formula binecunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice și efectuăm operatii cu numere complexe:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcinile complexe sunt: ​​.

Încă o dată, observăm că, dacă discriminantul ecuației pătratice este negativ, atunci școala de obicei notează imediat răspunsul, în care indică faptul că nu există rădăcini reale și nu găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru coeficienți chiar și doi

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice , unde D=b 2 −4 ac vă permite să obțineți o formulă mai compactă care vă permite să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par la x (sau pur și simplu cu un coeficient care arată ca 2 n , de exemplu, sau 14 ln5=2 7 ln5 ). Să o scoatem afară.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x + c=0 . Să-i găsim rădăcinile folosind formula cunoscută nouă. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), iar apoi folosim formula rădăcină:

Notați expresia n 2 −a c ca D 1 (uneori se notează D "). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n ia forma , unde D 1 =n 2 −a c .

Este ușor de observat că D=4·D 1 , sau D 1 =D/4 . Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor ecuației pătratice.

Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu al doilea coeficient 2 n, aveți nevoie

• Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
• Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
• Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.

Luați în considerare soluția exemplului folosind formula rădăcinii obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x−32=0 .

Soluţie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică originală sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , aici a=5 , n=−3 și c=−32 , și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Le găsim folosind formula rădăcină corespunzătoare:

Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz, ar trebui făcută mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a te lansa în calculul rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind formule, nu strica să pui întrebarea: „Este posibil să simplificăm forma acestei ecuații”? De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x −6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0 .

De obicei, o simplificare a formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale acesteia cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior, am reușit să realizăm o simplificare a ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100 .

O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: mcd(12, 42, 48)= mcd(mcd(12, 42), 48)= mcd(6, 48)=6 . Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 , ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0 .

Și înmulțirea ambelor părți ale ecuației pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se efectuează pe numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale unei ecuații pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6 , atunci aceasta va lua o formă mai simplă x 2 +4 x−18=0 .

În încheierea acestui paragraf, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la cel mai mare coeficient al ecuației pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei din ecuația pătratică −2·x 2 −3·x+7=0 mergeți la soluția 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile unei ecuații în termeni de coeficienți. Pe baza formulei rădăcinilor, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema Vieta a formei și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x+22=0, putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este 7/3, iar produsul rădăcinilor este 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte relații între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice în termeni de coeficienți: .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Problemele ecuației pătratice sunt de asemenea studiate în curiculumul scolarși în universități. Ele sunt înțelese ca ecuații de forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, unde X- variabilă, a,b,c – constante; A<>0 . Problema este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa x. Aceasta înseamnă că se află în planul superior cu ramurile în sus sau cel inferior cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică din el își capătă valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților la puterile variabilelor se pot trage concluzii interesante despre amplasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci parabola este îndreptată în sus, dacă este negativă, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă ia o valoare negativă, atunci în dreapta.

Derivarea unei formule pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

Să transferăm constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a obține un pătrat complet în stânga, adăugați b ^ 2 în ambele părți și efectuați transformarea

De aici găsim

Formula discriminantului și rădăcinilor ecuației pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicalului.Dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini care coincid), care sunt ușor de obținut din formula de mai sus pentru D=0. Când discriminantul este negativ, nu există rădăcini reale. Cu toate acestea, pentru a studia soluțiile ecuației pătratice în plan complex, iar valoarea lor este calculată prin formula

teorema lui Vieta

Luați în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și construiți o ecuație pătratică pe baza lor.Teorema Vieta însăși rezultă ușor din notația: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Formula pentru cele de mai sus va arăta ca Dacă constanta a din ecuația clasică este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație la ea și apoi să aplicați teorema Vieta.

Schema ecuației pătratice pe factori

Să fie stabilită sarcina: să descompunem ecuația pătratică în factori. Pentru a o realiza, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). Apoi, înlocuim rădăcinile găsite în formula de extindere a ecuației pătratice, această problemă va fi rezolvată.

Sarcini pentru o ecuație pătratică

Sarcina 1. Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice

x^2-26x+120=0 .

Rezolvare: Notați coeficienții și înlocuiți în formula discriminantă

rădăcină de valoare dată egal cu 14, este ușor să-l găsești cu un calculator sau să-l amintești cu o utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului, îți voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi găsite adesea în astfel de sarcini .
Valoarea găsită este înlocuită în formula rădăcină

și primim

Sarcina 2. rezolva ecuatia

2x2+x-3=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


De formule cunoscute găsiți rădăcinile ecuației pătratice

Sarcina 3. rezolva ecuatia

9x2 -12x+4=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinați discriminantul

Avem cazul când rădăcinile coincid. Găsim valorile rădăcinilor prin formula

Sarcina 4. rezolva ecuatia

x^2+x-6=0 .

Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici pentru x, este recomandabil să se aplice teorema Vieta. Prin condiția sa, obținem două ecuații

Din a doua condiție, obținem că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții(-3;2), (3;-2) . Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt

Sarcina 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este de 18 cm și aria este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma laturilor adiacente. Să notăm x - latura mare, atunci 18-x este partea sa mai mică. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul acestor lungimi:
x(18x)=77;
sau
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Aflați discriminantul ecuației

Calculăm rădăcinile ecuației

Dacă x=11, apoi 18x=7 , viceversa este de asemenea adevărată (dacă x=7, atunci 21-x=9).

Problema 6. Factorizați ecuația pătratică 10x 2 -11x+3=0.

Rezolvare: Calculați rădăcinile ecuației, pentru aceasta găsim discriminantul

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcinilor și calculăm

Aplicam formula de extindere a ecuatiei patratice in termeni de radacini

Extindem parantezele, obținem identitatea.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului dar , ecuația (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a=3, vedem că nu are soluție. În plus, vom folosi faptul că, cu un discriminant zero, ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

simplificați-l și echivalați cu zero

Am obținut o ecuație pătratică față de parametrul a, a cărei soluție este ușor de obținut folosind teorema Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla enumerare, stabilim ca numerele 3.4 vor fi radacinile ecuatiei. Deoarece am respins deja soluția a=3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a=4. Astfel, pentru a = 4, ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. Pentru ce valori ale parametrului dar , ecuația a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Luați în considerare mai întâi punctele singulare, acestea vor fi valorile a=0 și a=-3. Când a=0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9=0; x=3/2 și va fi o singură rădăcină. Pentru a= -3 obținem identitatea 0=0 .
Calculați discriminantul

și găsiți valorile lui a pentru care este pozitiv

Din prima condiție obținem a>3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să definim intervalele în care funcția ia valori pozitive. Inlocuind punctul a=0 obtinem 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3; 1/3) funcția este negativă. Nu uitați punctul a=0 care ar trebui exclus, deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condiția problemei

În practică vor exista multe sarcini similare, încercați să vă ocupați singur de sarcini și nu uitați să țineți cont de condițiile care se exclud reciproc. Studiați bine formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice, ele sunt destul de des necesare în calcule în diverse probleme și științe.

Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au intrări lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. Există trei formule noi în total. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a ecuației pătratice

Aici este propusă notația lor explicită, atunci când este scris mai întâi gradul cel mai mare și apoi - în ordine descrescătoare. Adesea există situații în care termenii sunt separati. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem notația. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie notată cu numărul unu.

Când este dată ecuația, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• Ecuația nu are deloc rădăcini.

Și deși decizia nu este adusă la sfârșit, este dificil de înțeles care dintre opțiuni va cădea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Sarcinile pot avea intrări diferite. Ele nu vor arăta întotdeauna ca formula generală a unei ecuații pătratice. Uneori îi vor lipsi anumiți termeni. Ce s-a scris mai sus este ecuație completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți ceva diferit. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult decât atât, pot dispărea doar termenii pentru care coeficienții „b” și „c”. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Fie prima formulă numărul doi, iar al doilea număr trei.

Discriminantul și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Acest număr trebuie cunoscut pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficienților în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Cu un număr negativ, rădăcinile ecuației pătratice vor fi absente. Dacă este egal cu zero, răspunsul va fi unul.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești discriminantul. După ce se clarifică faptul că există rădăcini ale ecuației pătratice, iar numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formulele pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați o astfel de formulă.

Deoarece conține semnul „±”, vor exista două valori. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă într-un mod diferit.

Formula cinci. Din aceeași înregistrare se poate observa că dacă discriminantul este zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă soluția ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Chiar și nu este nevoie de formule suplimentare. Și nu veți avea nevoie de cele care au fost deja scrise pentru discriminant și necunoscut.

Mai întâi luați în considerare ecuație incompletă la numărul doi. În această egalitate, se presupune să scoată valoarea necunoscută din paranteză și să rezolve ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Primul este neapărat egal cu zero, deoarece există un factor format din variabila însăși. Al doilea se obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă de la numărul trei se rezolvă prin transferarea numărului din partea stângă a ecuației la dreapta. Apoi trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Rămâne doar să extrageți rădăcina pătrată și să nu uitați să o scrieți de două ori cu semne opuse.

Următoarele sunt câteva acțiuni care vă ajută să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri sunt cauza unor note slabe la studierea temei extinse „Ecuații quadrice (clasa a 8-a)”. Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui să fie efectuate în mod constant. Pentru că va exista un obicei stabil.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei și apoi - fără grad și ultimul - doar un număr.

• Dacă un minus apare înaintea coeficientului „a”, atunci poate complica munca unui începător să studieze ecuațiile pătratice. E mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• În același mod, se recomandă să scapi de fracții. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 - 7x \u003d 0. Este incompletă, prin urmare, se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După bracketing, rezultă: x (x - 7) \u003d 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 \u003d 0. A doua va fi găsită din ecuația liniară: x - 7 \u003d 0. Este ușor de observat că x 2 \u003d 7.

A doua ecuație: 5x2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După transferul 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numere: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

A treia ecuație: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Aici și mai jos, soluția ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie într-o formă standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Acum este timpul să folosiți a doua ecuație. sfat utilși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Conform celei de-a patra formule, trebuie să calculați discriminantul: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate conform celei de-a cincea formule. Potrivit acesteia, se dovedește că x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Apoi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x \u003d 0 este convertită în aceasta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 trebuie rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

A șasea ecuație (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, înainte de a deschide parantezele. În locul primei va exista o astfel de expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x \u003d 0. A devenit incomplet . Asemănător cu acesta a fost deja considerat puțin mai ridicat. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.

Ecuații cuadratice. discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cu ce ​​seamănă? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat".Înseamnă că în ecuație neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus, în ecuație poate exista (sau poate să nu existe!) Doar x (la primul grad) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe x într-un grad mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar dar- orice în afară de zero. De exemplu:

Aici dar =1; b = 3; c = -4

Aici dar =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici dar =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, ai înțeles ideea...

În aceste ecuații pătratice, în stânga, există Set complet membrii. x pătrat cu coeficientul dar, x la prima putere cu coeficient bȘi membru liber al

Astfel de ecuații pătratice se numesc complet.

Si daca b= 0, ce vom obține? Avem X va dispărea în gradul I. Acest lucru se întâmplă de la înmulțirea cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etc. Și dacă ambii coeficienți bȘi c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Astfel de ecuații, unde lipsește ceva, sunt numite ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo de ce dar nu poate fi zero? Și tu înlocuiești în schimb dar zero.) X-ul din pătrat va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Și se face altfel...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. Prin formule și clare reguli simple. În prima etapă, aveți nevoie ecuația dată duce la forma standard, adică la vedere:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, dar, bȘi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi x, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții din ecuația pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și cîn această formulă și numărați. Substitui cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

dar =1; b = 3; c= -4. Aici scriem:

Exemplu aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce crezi, nu poți greși? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de valori a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde e de încurcat?), ci cu înlocuirea valori negativeîn formula de calcul a rădăcinilor. Aici, o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice salvează. Dacă există probleme cu calculele, atunci, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să pictezi atât de atent. Dar doar pare. Incearca-l. Ei bine, sau alege. Care este mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să pictezi totul atât de atent. Pur și simplu se va dovedi corect. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

Știai?) Da! Acest ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Ele pot fi rezolvate și prin formula generală. Trebuie doar să vă dați seama corect ce este egal aici a, b și c.

Realizat? În primul exemplu a = 1; b = -4; dar c? Nu există deloc! Ei bine, da, așa este. În matematică, asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. Înlocuiți zero în formulă în loc de c,și totul se va rezolva pentru noi. La fel și cu al doilea exemplu. Numai zero nu avem aici din, dar b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără nicio formulă. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face pe partea stângă? Puteți scoate X-ul din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce-i cu asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu crezi? Ei bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Ceva...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tot. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele se potrivesc. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât formula generală. Observ, apropo, care X va fi primul și care al doilea - este absolut indiferent. Ușor de scris în ordine x 1- oricare e mai puțin x 2- ceea ce este mai mult.

A doua ecuație poate fi, de asemenea, rezolvată cu ușurință. Ne deplasăm cu 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne să extragem rădăcina din 9 și atât. Obține:

de asemenea două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie scoțând x din paranteze, fie transfer simplu numerele din dreapta, urmate de extragerea rădăcinii.
Este extrem de dificil să confundăm aceste metode. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina din X, ceea ce este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

discriminant. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminant ! Un elev de liceu rar nu a auzit acest cuvânt! Expresia „decide prin discriminant” este liniștitoare și liniștitoare. Pentru că nu este nevoie să așteptați trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme în manipulare.) Vă reamintesc cel mai mult formula generala pentru solutii orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Discriminantul este de obicei notat prin literă D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de special la această expresie? De ce merită un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu numesc în mod specific... Litere și litere.

Ideea este aceasta. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că puteți extrage rădăcina din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Este important ce se extrage in principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci ai o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero la numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, dar două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Un număr negativ nu ia rădăcina pătrată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer să fiu, la solutie simpla ecuații pătratice, conceptul de discriminant nu este deosebit de solicitat. Înlocuim valorile coeficienților din formulă și luăm în considerare. Acolo totul se dovedește de la sine, și două rădăcini, și una, și nu una singură. Totuși, când rezolvi mai mult sarcini dificile, fără cunoștințe sens și formulă discriminantă insuficient. Mai ales - în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru GIA și examenul de stat unificat!)

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau învățat, ceea ce nu este rău.) Știi să identifici corect a, b și c. Știi cum cu grijaînlocuiți-le în formula rădăcină și cu grija numărați rezultatul. Ai înțeles că cuvântul cheie aici este: cu grija?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Chiar acelea care se datorează neatenției... Pentru care apoi este dureros și jignitor...

Prima recepție . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică pentru a o aduce la o formă standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți exemplul corect. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Asa:

Și din nou, nu te grăbi! Minusul dinaintea x pătratului te poate supăra foarte mult. A uita este ușor... Scăpați de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul. Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu-ți face griji, îți voi explica totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cea prin care am notat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificați ușor rădăcinile. Este suficient să le înmulțim. Ar trebui să obțineți un termen gratuit, de exemplu. în cazul nostru -2. Atenție, nu 2, ci -2! membru liber cu semnul tău . Dacă nu a funcționat, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați o eroare.

Dacă a funcționat, trebuie să îndoiți rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Ar trebui să fie un raport b din opus semn. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui x, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Tot mai putine greseli voi.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitorul comun așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări de identitate”. Când lucrați cu fracții, erori, din anumite motive, urcați...

Apropo, am promis un exemplu rău, cu o grămadă de minusuri de simplificat. Vă rog! Aici era.

Pentru a nu ne confunda în minusuri, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! A decide este distractiv!

Deci, să recapitulăm subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi verificată cu ușurință folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum poți decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Se potrivește totul? Amenda! Ecuațiile cuadratice nu sunt ale tale durere de cap. Primele trei s-au dovedit, dar restul nu? Atunci problema nu este în ecuații pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci vă va ajuta Secțiunea 555. Acolo, toate aceste exemple sunt sortate după oase. Se arată principal erori de solutie. Desigur, se vorbește și despre utilizare transformări identiceîn rezolvarea diverselor ecuaţii. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.