Exemple de cel mai mic multiplu comun de trei numere. Găsirea celui mai mic multiplu comun: metode, exemple de găsire a LCM

Pentru a înțelege cum să calculați LCM, ar trebui mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.

Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, 15, 20, 25 și așa mai departe pot fi considerați multipli ai lui 5.

Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.

Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.

Pentru a găsi NOC, puteți utiliza mai multe metode.

Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți într-o linie toți multiplii acestor numere până când se găsește unul comun printre ei. Multiplii sunt notați în înregistrare cu litera K majusculă.

De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Deci, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:

LCM(4, 6) = 24

Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă modalitate de a calcula LCM.

Pentru a finaliza sarcina, este necesar să descompuneți numerele propuse în factori primi.

Mai întâi trebuie să scrieți extinderea celui mai mare dintre numere dintr-o linie, iar sub ea - restul.

În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.

De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.

În descompunerea numărului mai mic, trebuie subliniați factorii care lipsesc în descompunerea primului număr cel mai mare și apoi adăugați-i la acesta. În exemplul prezentat, un deuce lipsește.

Acum putem calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii numărului al doilea, care nu sunt incluși în descompunerea numărului mai mare, va fi cel mai mic multiplu comun.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.

De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Deci, doar doi doi din descompunerea lui șaisprezece (unul este în descompunerea lui douăzeci și patru) nu au intrat în factorizarea unui număr mai mare.

Astfel, ele trebuie adăugate la descompunerea unui număr mai mare.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.

De exemplu, NOC de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.

Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.

De exemplu, LCM(10, 11) = 110.

Luați în considerare trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Găsirea prin factorizare

Prima modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM a numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, descompunem fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere care apare și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Deci LCM (99, 30, 28) = 13 860. Niciun alt număr mai mic de 13 860 nu este divizibil egal cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, trebuie să le descompuneți în factori primi, apoi să luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent care apare și să înmulțiți acești factori împreună.

Deoarece numerele coprime nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt coprime. Asa de

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Același lucru ar trebui făcut atunci când se caută cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin potrivire.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este divizibil egal cu alte numere date, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:

1. Determinați cel mai mare număr din numerele date.
2. În continuare, găsim numere care sunt multipli ai celui mai mare număr, înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă numerele date rămase sunt divizibile cu produsul rezultat.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinați cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. Apoi, găsiți numerele care sunt multipli ai lui 24, verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18 și cu 3:

24 1 = 24 este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 18.

24 2 = 48 - divizibil cu 3 dar nu divizibil cu 18.

24 3 \u003d 72 - divizibil cu 3 și 18.

Deci LCM(24, 3, 18) = 72.

Găsire prin căutare secvențială LCM

A treia modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea succesivă a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, se utilizează următoarea procedură:

1. În primul rând, se găsește LCM a oricăror două dintre numerele date.
2. Apoi, LCM al celui mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
3. Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr și așa mai departe.
4. Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Să găsim LCM a trei numere date: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM al numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al lui 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al lor: mcd (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8, 9) = 72.

Luați în considerare soluția următoarei probleme. Pasul băiatului este de 75 cm, iar pasul fetei este de 60 cm. Este necesar să găsiți cea mai mică distanță la care amândoi vor face un număr întreg de pași.

Decizie.Întreaga cale pe care o vor parcurge băieții trebuie să fie divizibil cu 60 și 70 fără rest, deoarece fiecare trebuie să facă un număr întreg de pași. Cu alte cuvinte, răspunsul trebuie să fie un multiplu de 75 și 60.

Mai întâi, vom scrie toți multiplii, pentru numărul 75. Obținem:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Acum să scriem numerele care vor fi multiplu de 60. Obținem:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Acum găsim numerele care sunt în ambele rânduri.

• Multiplii comuni ai numerelor vor fi numere, 300, 600 etc.

Cel mai mic dintre ele este numărul 300. În acest caz, se va numi cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Revenind la starea problemei, cea mai mică distanță la care băieții fac un număr întreg de pași va fi de 300 cm. Băiatul va merge în acest fel în 4 pași, iar fata va trebui să facă 5 pași.

Găsirea celui mai mic multiplu comun

• Cel mai mic multiplu comun al două numere naturale a și b este cel mai mic număr natural care este un multiplu atât al lui a cât și al lui b.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun a două numere, nu este necesar să notați toți multiplii acestor numere pe rând.

Puteți folosi următoarea metodă.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun

În primul rând, trebuie să descompuneți aceste numere în factori primi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Acum să notăm toți factorii care sunt în expansiunea primului număr (2,2,3,5) și să adăugăm la ei toți factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (5).

Ca rezultat, obținem o serie de numere prime: 2,2,3,5,5. Produsul acestor numere va fi cel mai puțin comun factor pentru aceste numere. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generală pentru găsirea celui mai mic multiplu comun

• 1. Descompune numerele în factori primi.
• 2. Notați factorii primi care fac parte din unul dintre ei.
• 3. Adăugați la acești factori toți cei care se află în descompunerea restului, dar nu în cel selectat.
• 4. Aflați produsul tuturor factorilor notați.

Această metodă este universală. Poate fi folosit pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al oricărui număr de numere naturale.

Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun (mcd) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 vor fi numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 vor fi numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc coprime.

Definiție. Se numesc numerele naturale coprime dacă cel mai mare divizor comun al lor (mcd) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică, doi doi).
Rămân factorii 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al lui 15, 45, 75 și 180 este 15, deoarece împarte toate celelalte numere: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori simpli: 75 \u003d 3 * 5 * 5 și 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Să scriem factorii incluși în expansiunea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Găsiți, de asemenea, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsiți cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) descompuneți-le în factori primi;
2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al lui 12, 15, 20 și 60 ar fi 60, deoarece este divizibil cu toate numerele date.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine), ei au numit număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreicii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33 550 336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar până acum, oamenii de știință nu știu dacă există numere perfecte impare, dacă există cel mai mare număr perfect.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Se pune întrebarea: există ultimul (cel mai mare) număr prim? Vechiul matematician grec Euclid (sec. III î.Hr.), în cartea sa „Începuturi”, care timp de două mii de ani a fost principalul manual de matematică, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un par număr prim mai mare.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratostene, a venit cu o astfel de metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici un număr prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele de după 2 (numerele care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele de după 3 au fost tăiate (numerele care sunt multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.). în cele din urmă, doar numerele prime au rămas nebarite.

Elevii primesc o mulțime de teme de matematică. Printre acestea, de foarte multe ori există sarcini cu următoarea formulare: există două valori. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor date? Este necesar să puteți îndeplini astfel de sarcini, deoarece abilitățile dobândite sunt folosite pentru a lucra cu fracții cu numitori diferiți. În articol, vom analiza cum să găsim LCM și conceptele de bază.

Înainte de a găsi răspunsul la întrebarea cum să găsiți LCM, trebuie să definiți termenul multiplu. Cel mai adesea, formularea acestui concept este următoarea: un multiplu al unei valori A este un număr natural care va fi divizibil cu A fără rest. Deci, pentru 4, 8, 12, 16, 20 și așa mai departe, până la limita necesară.

În acest caz, numărul de divizori pentru o anumită valoare poate fi limitat și există infiniti multipli. Există, de asemenea, aceeași valoare pentru valorile naturale. Acesta este un indicator care este împărțit de ei fără rest. După ce ne-am ocupat de conceptul de cea mai mică valoare pentru anumiți indicatori, să trecem la cum să o găsim.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu de doi sau mai mulți exponenți este cel mai mic număr natural care este complet divizibil cu toate numerele date.

Există mai multe modalități de a găsi o astfel de valoare. Să luăm în considerare următoarele metode:

1. Dacă numerele sunt mici, atunci scrieți în linie toate divizibile cu ea. Continuați să faceți asta până când găsiți ceva în comun între ei. În înregistrare, ele sunt notate cu litera K. De exemplu, pentru 4 și 3, cel mai mic multiplu este 12.
2. Dacă acestea sunt mari sau trebuie să găsiți un multiplu pentru 3 sau mai multe valori, atunci ar trebui să utilizați o tehnică diferită aici, care implică descompunerea numerelor în factori primi. Mai întâi, așezați cel mai mare dintre cei indicați, apoi toate celelalte. Fiecare dintre ele are propriul său număr de multiplicatori. De exemplu, să descompunăm 20 (2*2*5) și 50 (5*5*2). Pentru cei mai mici dintre ei, subliniază factorii și adaugă la cei mai mari. Rezultatul va fi 100, care va fi cel mai mic multiplu comun al numerelor de mai sus.
3. La găsirea a 3 numere (16, 24 și 36) principiile sunt aceleași ca și pentru celelalte două. Să extindem fiecare dintre ele: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Doar doi doi din extinderea numărului 16 nu au fost incluse în descompunerea celor mai mari.Le adunăm și obținem 144, care este cel mai mic rezultat pentru valorile numerice indicate anterior.

Acum știm care este tehnica generală pentru găsirea celei mai mici valori pentru două, trei sau mai multe valori. Cu toate acestea, există și metode private, ajutând la căutarea NOC-urilor, dacă cele anterioare nu ajută.

Cum să găsiți GCD și NOC.

Modalități private de a găsi

Ca și în cazul oricărei secțiuni matematice, există cazuri speciale de găsire a LCM-urilor care ajută în situații specifice:

• dacă unul dintre numere este divizibil cu celelalte fără rest, atunci cel mai mic multiplu al acestor numere este egal cu acesta (NOC 60 și 15 este egal cu 15);
• Numerele coprime nu au divizori primi comuni. Cea mai mică valoare a acestora este egală cu produsul acestor numere. Astfel, pentru numerele 7 și 8, acesta va fi 56;
• aceeași regulă funcționează și pentru alte cazuri, inclusiv cele speciale, despre care se poate citi în literatura de specialitate. Aceasta ar trebui să includă și cazurile de descompunere a numerelor compuse, care fac obiectul unor articole separate și chiar al lucrărilor de doctorat.

Cazurile speciale sunt mai puțin frecvente decât exemplele standard. Dar datorită lor, puteți învăța cum să lucrați cu fracții de diferite grade de complexitate. Acest lucru este valabil mai ales pentru fracții., unde există numitori diferiți.

Cateva exemple

Să ne uităm la câteva exemple, datorită cărora puteți înțelege principiul găsirii celui mai mic multiplu:

1. Găsim LCM (35; 40). Așezăm mai întâi 35 = 5*7, apoi 40 = 5*8. Adăugăm 8 la cel mai mic număr și obținem NOC 280.
2. NOC (45; 54). Așezăm fiecare dintre ele: 45 = 3*3*5 și 54 = 3*3*6. Adăugăm numărul 6 la 45. Obținem NOC egal cu 270.
3. Ei bine, ultimul exemplu. Sunt 5 și 4. Nu există multipli simpli pentru ei, așa că cel mai mic multiplu comun în acest caz va fi produsul lor, egal cu 20.

Datorită exemplelor, puteți înțelege cum este localizat NOC, care sunt nuanțele și care este sensul unor astfel de manipulări.

Găsirea NOC este mult mai ușoară decât ar părea la început. Pentru aceasta, se utilizează atât o simplă extindere, cât și o multiplicare a valorilor simple între ele.. Capacitatea de a lucra cu această secțiune a matematicii ajută la studiul ulterioar al subiectelor matematice, în special al fracțiunilor cu diferite grade de complexitate.

Nu uitați să rezolvați periodic exemple cu diferite metode, acest lucru dezvoltă aparatul logic și vă permite să vă amintiți numeroși termeni. Învață metode pentru a găsi un astfel de indicator și vei putea lucra bine cu restul secțiunilor matematice. Învățare fericită la matematică!

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum să găsiți cel mai mic multiplu comun.