Forme geometrice care nu sunt poligoane. Tipuri de poligoane” în cadrul tehnologiei „Dezvoltarea gândirii critice prin citire și scriere

Subiect: „Poligoane. Tipuri de poligoane”

Clasa a 9-a

SL №20

Profesor: Kharitonovich T.I. Scopul lecției: studiul tipurilor de poligoane.

Sarcina de invatare: actualizarea, extinderea și generalizarea cunoștințelor elevilor despre poligoane; forma o idee despre părțile constitutive"poligon; efectuează un studiu al numărului de elemente constitutive ale poligoanelor regulate (de la un triunghi la n-gon);

Sarcina de dezvoltare: dezvoltarea capacității de a analiza, compara, trage concluzii, dezvolta abilități de calcul, vorbire matematică orală și scrisă, memoria, precum și independența în gândire și activități de învățare capacitatea de a lucra în perechi și în grup; dezvolta cercetarea si activitate cognitivă;

Sarcina educațională: să cultive independența, activitatea, responsabilitatea pentru sarcina atribuită, perseverența în atingerea scopului.

Echipament: tabla interactiva (prezentare)

În timpul orelor

Afișează prezentarea: „Poligoane”

„Natura vorbește limbajul matematicii, literele acestei limbi... cifre matematice.” G. Gallilei

La începutul lecției, clasa este împărțită în grupuri de lucru (în cazul nostru, împărțirea în 3 grupe)

1. Etapa de apel-

a) actualizarea cunoștințelor elevilor pe tema;

b) trezirea interesului pentru tema studiată, motivarea fiecărui elev pentru activități de învățare.

Recepție: Jocul „Crezi că...”, organizarea muncii cu text.

Forme de lucru: frontal, grup.

"Crezi asta…."

1. ... cuvântul „poligon” indică faptul că toate figurile acestei familii au „multe colțuri”?

2. ... un triunghi aparține unei mari familii de poligoane, care se disting dintr-o varietate de poligoane diferite forme geometrice la suprafata?

3. …un pătrat este un octogon regulat (patru laturi + patru colțuri)?

Astăzi în lecție vom vorbi despre poligoane. Învățăm că această cifră este delimitată de o linie întreruptă închisă, care la rândul ei poate fi simplă, închisă. Să vorbim despre faptul că poligoanele sunt plate, regulate, convexe. Unul dintre poligoane plate este un triunghi cu care sunteți familiarizat de mult timp (puteți arăta elevilor afișe care prezintă poligoane, o linie întreruptă, le puteți arăta tipuri diferite, puteți utiliza și TSO).

2. Stadiul de înțelegere

Scop: obținerea de informații noi, înțelegerea acesteia, selecția.

Recepție: zig-zag.

Forme de lucru: individual->pereche->grup.

Fiecare grupă primește un text pe tema lecției, iar textul este conceput în așa fel încât să includă atât informații deja cunoscute elevilor, cât și informații complet noi. Odată cu textul, elevii primesc întrebări, ale căror răspunsuri trebuie găsite în acest text.

Poligoane. Tipuri de poligoane.

Cine nu a auzit de misteriosul Triunghi al Bermudelor, unde navele și avioanele dispar fără urmă? Dar triunghiul care ne este familiar din copilărie este plin de multe lucruri interesante și misterioase.

Pe lângă tipurile de triunghiuri deja cunoscute nouă, împărțite pe laturi (scalen, isoscel, echilateral) și unghiuri (unghi acut, obtuz, dreptunghic), triunghiul aparține unei mari familii de poligoane care se disting din multe diferite forme geometrice pe plan.

Cuvântul „poligon” indică faptul că toate figurile acestei familii au „multe colțuri”. Dar acest lucru nu este suficient pentru a caracteriza figura.

O linie întreruptă A1A2...An este o figură care constă din punctele A1,A2,...An și segmentele A1A2, A2A3,... care le unesc. Punctele sunt numite vârfuri ale poliliniei, iar segmentele sunt numite legături ale poliliniei. (FIG.1)

O linie întreruptă se numește simplă dacă nu are auto-intersecții (Fig. 2,3).

O linie întreruptă se numește închisă dacă capetele ei coincid. Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale (Fig. 4)

O linie întreruptă închisă simplă se numește poligon dacă legăturile sale adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă (Fig. 5).

Înlocuiți în cuvântul „poligon” în locul părții „multe” un anumit număr, de exemplu 3. Veți obține un triunghi. Sau 5. Apoi - un pentagon. Rețineți că există atâtea unghiuri câte laturi, așa că aceste cifre ar putea fi numite multilaterale.

Vârfurile poliliniei se numesc vârfuri ale poligonului, iar legăturile poliliniei se numesc laturile poligonului.

Poligonul împarte planul în două regiuni: internă și externă (Fig. 6).

Un poligon plan sau o regiune poligonală este o parte finită a unui plan mărginită de un poligon.

Două vârfuri ale unui poligon care sunt capetele aceleiași laturi se numesc vecine. Vârfurile care nu sunt capetele unei laturi sunt neadiacente.

Un poligon cu n vârfuri și prin urmare n laturi se numește n-gon.

Cu toate că cel mai mic număr laturile unui poligon - 3. Dar triunghiurile, care se leagă între ele, pot forma alte figuri, care la rândul lor sunt și poligoane.

Segmentele care leagă vârfurile neînvecinate ale unui poligon se numesc diagonale.

Un poligon se numește convex dacă se află într-un semiplan în raport cu orice dreaptă care conține latura sa. În acest caz, linia în sine este considerată ca aparținând SEMI-PLANULUI

Unghiul unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acel vârf.

Să demonstrăm teorema (pe suma unghiurilor unui n-gon convex): Suma unghiurilor unui n-gon convex este egală cu 1800*(n - 2).

Dovada. În cazul n=3 teorema este valabilă. Fie А1А2…А n un poligon convex dat și n>3. Să desenăm diagonale în el (de la un vârf). Deoarece poligonul este convex, aceste diagonale îl împart în n - 2 triunghiuri. Suma unghiurilor poligonului este aceeași cu suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri. Suma unghiurilor fiecărui triunghi este 1800, iar numărul acestor triunghiuri este n - 2. Prin urmare, suma unghiurilor unui n - unghi convex A1A2 ... A n este 1800 * (n - 2). Teorema a fost demonstrată.

Unghiul exterior al unui poligon convex la un punct dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acel vârf.

Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale.

Deci pătratul poate fi numit diferit - un patrulater regulat. Triunghiurile echilaterale sunt de asemenea regulate. Astfel de figuri au fost mult timp de interes pentru maeștrii care au decorat clădirile. Au realizat modele frumoase, de exemplu, pe parchet. Dar nu toate poligoanele obișnuite ar putea fi folosite pentru a forma parchetul. Parchetul nu poate fi format din octogoane obișnuite. Faptul este că au fiecare unghi egal cu 1350. Și dacă vreun punct este vârful a două astfel de octogoane, atunci vor avea 2700 și nu există unde să se potrivească al treilea octogon: 3600 - 2700 \u003d 900. Dar asta este suficient pentru un pătrat. Prin urmare, este posibil să pliați parchetul din octogoane și pătrate obișnuite.

Stelele sunt corecte. Steaua noastră cu cinci colțuri este o stea pentagonală obișnuită. Și dacă rotiți pătratul în jurul centrului cu 450, obțineți o stea octogonală obișnuită.

Ce este o linie întreruptă? Explicați ce sunt vârfurile și legăturile unei polilinii.

Care linie întreruptă se numește simplă?

Care linie întreruptă se numește închisă?

Ce este un poligon? Cum se numesc vârfurile unui poligon? Care sunt laturile unui poligon?

Ce este un poligon plat? Dați exemple de poligoane.

Ce este n-gon?

Explicați ce vârfuri ale poligonului sunt adiacente și care nu.

Care este diagonala unui poligon?

Ce este un poligon convex?

Explicați ce colțuri ale poligonului sunt externe și care sunt interne?

Ce este un poligon regulat? Dați exemple de poligoane regulate.

Care este suma unghiurilor unui n-gon convex? Dovedește-o.

Elevii lucrează cu textul, caută răspunsuri la întrebările puse, după care se formează grupuri de experți, în care se lucrează pe aceleași probleme: elevii evidențiază principalul lucru, întocmesc un rezumat justificativ, prezintă informații într-una din forme grafice. La sfârșitul lucrării, studenții revin la grupurile lor de lucru.

3. Stadiul reflecției -

a) evaluarea cunoștințelor lor, provocare la următorul pas de cunoaștere;

b) înţelegerea şi însuşirea informaţiei primite.

Recepție: lucrări de cercetare.

Forme de lucru: individual->pereche->grup.

Grupurile de lucru sunt experți în răspunsurile la fiecare dintre secțiunile întrebărilor propuse.

Revenind la grupul de lucru, expertul îi prezintă pe ceilalți membri ai grupului cu răspunsurile la întrebările lor. În grup are loc un schimb de informații între toți membrii grupului de lucru. Astfel, în fiecare grup de lucru, datorită muncii experților, se formează o idee generală asupra subiectului studiat.

Cercetare elevi- completarea tabelului.

Poligoane regulate Desen Număr de laturi Număr de vârfuri Suma tuturor unghiurilor interne Măsura gradului de interior. unghi Măsura gradului unghiului exterior Numărul de diagonale

A) un triunghi

B) patrulater

B) cu cinci găuri

D) hexagon

E) n-gon

Soluţie sarcini interesante pe tema lecției.

1) Câte laturi are un poligon regulat, fiecare dintre ele colțurile interne care este egal cu 1350?

2) Într-un anumit poligon, toate unghiurile interioare sunt egale între ele. Suma unghiurilor interioare ale acestui poligon poate fi: 3600, 3800?

3) Este posibil să construiți un pentagon cu unghiuri de 100,103,110,110,116 grade?

Rezumând lecția.

Înregistrare teme pentru acasă: STR 66-72 №15,17 SI PROBLEMA: intr-un CADRUNGURI, DESENATI UN DIRECT CA SA O IMPARTEA IN TREI TRIANGURI.

Reflecție sub formă de teste (pe o tablă interactivă)

Partea planului delimitată de o linie întreruptă închisă se numește poligon.

Segmentele acestei linii întrerupte sunt numite petreceri poligon. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - laturile poligonului ABCDE. Suma tuturor laturilor unui poligon se numește sa perimetru.

Poligonul se numește convex, dacă este situat pe o latură a oricăreia dintre laturile sale, extins la infinit dincolo de ambele vârfuri.

Poligonul MNPKO (Fig. 1) nu va fi convex, deoarece este situat pe mai mult de o parte a dreptei KP.

Vom lua în considerare numai poligoane convexe.

Unghiurile formate de două laturi adiacente ale unui poligon se numesc al acestuia intern colțurile și vârfurile lor - vârfurile poligoanelor.

Un segment de linie care leagă două vârfuri neadiacente ale unui poligon se numește diagonală a poligonului.

AC, AD - diagonalele poligonului (Fig. 2).

Colțurile adiacente colțurilor interne ale poligonului se numesc colțuri externe ale poligonului (Fig. 3).

În funcție de numărul de unghiuri (laturi), un poligon se numește triunghi, patrulater, pentagon etc.

Se spune că două poligoane sunt egale dacă pot fi suprapuse.

Poligoane înscrise și circumscrise

Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci poligonul se numește înscrisăîntr-un cerc, iar cercul descris lângă poligon (fig.).

Dacă toate laturile unui poligon sunt tangente la un cerc, atunci poligonul se numește descrisîn jurul cercului, iar cercul se numește înscrisăîntr-un poligon (fig.).

Similitudinea poligoanelor

Două poligoane cu același nume se numesc similare dacă unghiurile unuia dintre ele sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt, iar laturile similare ale poligoanelor sunt proporționale.

Sunt numite poligoane cu același nume acelasi numar laturi (colţuri).

Laturile poligoanelor similare care leagă vârfuri de unghiuri egale corespunzător se numesc similare.

Deci, de exemplu, pentru ca poligonul ABCDE să fie similar cu poligonul A'B'C'D'E', este necesar ca: E = ∠E' și, în plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Raportul perimetrului poligoanelor similare

În primul rând, luați în considerare proprietatea unei serii de rapoarte egale. Să avem, de exemplu, relații: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Să găsim suma membrilor anteriori ai acestor relații, apoi - suma membrilor lor următori și să aflăm raportul sumelor primite, obținem:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Obținem același lucru dacă luăm un număr de alte relații, de exemplu: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 și apoi găsim raportul acestor sume, primim:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

În ambele cazuri, suma membrilor anteriori ai unei serii de relații egale este legată de suma membrilor următori ai aceleiași serii, întrucât membrul anterior al oricăreia dintre aceste relații este legat de cel următor.

Am dedus această proprietate luând în considerare o serie de exemple numerice. Se poate deduce strict și în formă generală.

Acum luați în considerare raportul dintre perimetrele poligoanelor similare.

Fie poligonul ABCDE similar cu poligonul A'B'C'D'E' (fig.).

Din asemănarea acestor poligoane rezultă că

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Pe baza proprietății unei serii de relații egale pe care le-am derivat, putem scrie:

Suma termenilor anteriori ai relațiilor pe care le-am luat este perimetrul primului poligon (P), iar suma termenilor următori ai acestor relații este perimetrul celui de-al doilea poligon (P '), deci P / P ' = AB / A'B '.

Prin urmare, perimetrele poligoanelor similare sunt legate ca laturile lor corespunzătoare.

Raportul suprafețelor poligoanelor similare

Fie ABCDE și A'B'C'D'E' să fie poligoane similare (fig.).

Se știe că ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' și ΔADE ~ ΔA'D'E'.

In afara de asta,

;

Deoarece al doilea raport al acestor proporții este egal, ceea ce decurge din similitudinea poligoanelor, atunci

Folosind proprietatea unei serii de rapoarte egale, obținem:

unde S și S' sunt ariile acestor poligoane similare.

Prin urmare, ariile poligoanelor similare sunt legate ca pătrate ale laturilor similare.

Formula rezultată poate fi convertită în această formă: S / S '= (AB / A'B ') 2

Aria unui poligon arbitrar

Să fie necesar să se calculeze aria unui patrulater arbitrar ABDC (Fig.).

Să desenăm o diagonală în ea, de exemplu AD. Obținem două triunghiuri ABD și ACD, ale căror arii le putem calcula. Apoi găsim suma ariilor acestor triunghiuri. Suma rezultată va exprima aria patrulaterului dat.

Dacă trebuie să calculați aria unui pentagon, atunci procedăm în același mod: desenăm diagonale dintr-unul dintre vârfuri. Obținem trei triunghiuri, ale căror zone le putem calcula. Deci putem găsi aria acestui pentagon. Facem același lucru atunci când calculăm aria oricărui poligon.

Zona de proiecție a poligonului

Amintiți-vă că unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan (Fig.).

Teorema. Aria proiecției ortogonale a poligonului pe plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului format de planul poligonului și planul de proiecție.

Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri, a căror sumă a ariilor este egală cu aria poligonului. Prin urmare, este suficient să demonstrați teorema pentru un triunghi.

Fie proiectat ΔABC pe plan R. Luați în considerare două cazuri:

a) una dintre laturile ΔABS este paralelă cu planul R;

b) niciuna dintre laturile ΔABC nu este paralelă R.

Considera primul caz: lasă [AB] || R.

Desenați prin planul (AB). R 1 || Rși proiectați ortogonal ΔABC pe R 1 și mai departe R(orez.); obținem ΔABC 1 și ΔA’B’C’.

După proprietatea proiecției, avem ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’ și, prin urmare

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Să desenăm ⊥ și segmentul D 1 C 1 . Atunci ⊥ , a $\overbrace(CD_1C_1)$ = φ este unghiul dintre planul ΔABC și planul R unu . De aceea

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

şi, prin urmare, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Să trecem la considerare al doilea caz. Desenați un avion R 1 || R prin acel vârf ΔАВС, distanța de la care până la plan R cel mai mic (fie vârful A).

Să proiectăm ΔABC în avion R 1 și R(orez.); fie proiecțiile sale, respectiv ΔAB 1 C 1 și ΔA’B’C’.

Fie (BC) ∩ p 1 = D. Atunci

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Alte materiale

Proprietăți poligon

Un poligon este o figură geometrică, definită de obicei ca o polilinie închisă fără auto-intersecții (un poligon simplu (Fig. 1a)), dar uneori sunt permise auto-intersecții (atunci poligonul nu este simplu).

Vârfurile poliliniei sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele sunt numite laturile poligonului. Vârfurile unui poligon se numesc vecine dacă sunt capetele uneia dintre laturile acestuia. Segmentele de linie care leagă vârfuri neînvecinate ale unui poligon se numesc diagonale.

Un unghi (sau unghi intern) al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf, iar unghiul este considerat din partea poligonului. În special, unghiul poate depăși 180° dacă poligonul nu este convex.

Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acel vârf. În general, unghiul exterior este diferența dintre 180° și unghiul interior. Din fiecare vârf al -gonului pentru > 3 ies - 3 diagonale, prin urmare numărul total diagonalele unui -gon sunt egale.

Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru - un patrulater, cu cinci - un pentagon și așa mai departe.

Poligon cu n vârfuri se numește n- pătrat.

Un poligon plat este o figură care constă dintr-un poligon și o parte finită a zonei delimitate de acesta.

Un poligon se numește convex dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții (echivalente):

1. se află pe o parte a oricărei drepte care leagă vârfurile învecinate. (adică, prelungirile laturilor unui poligon nu se intersectează cu celelalte laturi ale acestuia);
2. este intersecția (adică partea comună) a mai multor semiplanuri;
3. orice segment cu capete în puncte aparținând poligonului îi aparține în întregime.

Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale, de exemplu, un triunghi echilateral, un pătrat și un pentagon.

Se spune că un poligon convex este înscris în jurul unui cerc dacă toate laturile sale sunt tangente la un cerc

Un poligon obișnuit este un poligon în care toate unghiurile și toate laturile sunt egale.

Proprietățile poligonului:

1 Fiecare diagonală a unui -gon convex, unde >3, o descompune în două poligoane convexe.

2 Suma tuturor unghiurilor unui -gon convex este egală cu.

D-in: Să demonstrăm teorema prin metoda inducției matematice. Pentru = 3 este evident. Să presupunem că teorema este adevărată pentru a -gon, unde <, și demonstrează-o pentru -gon.

Fie un poligon dat. Desenați o diagonală a acestui poligon. Prin teorema 3, poligonul este descompus într-un triunghi și un -gon convex (Fig. 5). Prin ipoteza inducţiei. Pe de altă parte, . Adăugând aceste egalități și ținând cont de faptul că (- unghiul fasciculului interior ) Și (- unghiul fasciculului interior ), primim.Când ajungem: .

3 Despre orice poligon regulat este posibil să descrii un cerc și, în plus, doar unul.

D-in: Fie un poligon regulat și și bisectoarele unghiurilor și (Fig. 150). Din moment ce, prin urmare, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке DESPRE. Să demonstrăm asta O = OA 2 = DESPRE =… = OA P . Triunghi DESPRE isoscel, deci DESPRE= DESPRE. Conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, prin urmare, DESPRE = DESPRE. În mod similar, se dovedește că DESPRE = DESPRE etc. Deci ideea DESPRE echidistant de toate vârfurile poligonului, deci cercul cu centrul DESPRE rază DESPRE este circumscrisă unui poligon.

Să demonstrăm acum că există un singur cerc circumscris. Luați în considerare trei vârfuri ale unui poligon, de exemplu, DAR 2 , . Deoarece doar un cerc trece prin aceste puncte, atunci despre poligon … Nu poți descrie mai mult de un cerc.

4 În orice poligon obișnuit, puteți înscrie un cerc și, în plus, doar unul.
5 Un cerc înscris într-un poligon obișnuit atinge laturile poligonului la mijlocul acestora.
6 Centrul unui cerc care circumscrie un poligon regulat coincide cu centrul unui cerc înscris în același poligon.
7 Simetrie:

Se spune că o figură este simetrică (simetrică) dacă există o astfel de mișcare (nu identică) care transformă această figură în sine.

7.1. Un triunghi general nu are axe sau centre de simetrie, nu este simetric. Un triunghi isoscel (dar nu echilateral) are o singură axă de simetrie: bisectoarea perpendiculară pe bază.
7.2. Un triunghi echilateral are trei axe de simetrie (bisectoare perpendiculare pe laturi) și simetrie de rotație în jurul centrului cu un unghi de rotație de 120°.

7.3 Orice n-gon regulat are n axe de simetrie, toate trecând prin centrul său. De asemenea, are simetrie de rotație în jurul centrului cu un unghi de rotație.

Chiar n unele axe de simetrie trec prin vârfuri opuse, altele prin punctele medii ale laturilor opuse.

Pentru ciudat n fiecare axă trece prin vârful și punctul de mijloc al părții opuse.

Centrul unui poligon regulat cu un număr par de laturi este centrul său de simetrie. Un poligon regulat cu un număr impar de laturi nu are centru de simetrie.

8 Similaritate:

Cu similaritate, și -gon merge într-un -gon, semiplan - într-un semiplan, deci convex n-gon devine convex n-gon.

Teorema: Dacă laturile și unghiurile poligoanelor convexe și satisfac egalitățile:

unde este coeficientul podiumului

atunci aceste poligoane sunt asemănătoare.

8.1 Raportul dintre perimetrele a două poligoane similare este egal cu coeficientul de similitudine.
8.2. Raportul ariilor a două poligoane similare convexe este egal cu pătratul coeficientului de asemănare.

teorema perimetrului triunghiului poligonului

Poligoane de subiecte - clasa a VIII-a:

Se numește o linie de segmente adiacente care nu se află pe aceeași linie dreaptă linie frântă.

Capetele segmentelor sunt culmi.

Fiecare tăietură- legătură.

Și toate sumele lungimilor segmentelor alcătuiesc totalul lungime linie frântă. De exemplu, AM + ME + EK + KO = lungimea poliliniei

Dacă segmentele sunt închise, atunci poligon(Vezi deasupra) .

Legăturile dintr-un poligon sunt numite petreceri.

Suma lungimilor laturilor - perimetru poligon.

Vârfurile de pe aceeași parte sunt vecine.

Se numește un segment de linie care conectează vârfuri neadiacente diagonală.

Poligoane numit după numărul de laturi: pentagon, hexagon etc.

Tot ce este în interiorul poligonului este partea interioară a avionului, și tot ce este afară - partea exterioară a avionului.

Notă! Poza de mai jos- acesta NU este un poligon, deoarece există puncte comune suplimentare pe aceeași linie dreaptă pentru segmentele neadiacente.

Poligon convex se află pe o parte a fiecărei linii. Pentru a o determina mental (sau desen) continuăm fiecare parte.

Într-un poligon atâtea unghiuri câte laturi sunt.

Într-un poligon convex suma tuturor unghiurilor interioare este egal cu (n-2)*180°. n este numărul de colțuri.

Poligonul se numește corect dacă toate laturile și unghiurile sale sunt egale. Deci, calculul unghiurilor sale interne se efectuează conform formulei (unde n este numărul de unghiuri): 180° * (n-2) / n

Mai jos sunt poligoane, suma unghiurilor lor și cu ce este egal un unghi.

Unghiurile exterioare ale poligoanelor convexe se calculează după cum urmează:

Materia, vârsta elevilor: geometrie, clasa a 9-a

Scopul lecției: studiul tipurilor de poligoane.

Sarcina de învățare: actualizarea, extinderea și generalizarea cunoștințelor elevilor despre poligoane; formați o idee despre „componentele” unui poligon; efectuează un studiu al numărului de elemente constitutive ale poligoanelor regulate (de la un triunghi la n-gon);

Sarcina de dezvoltare: dezvoltarea capacității de a analiza, compara, trage concluzii, dezvolta abilități de calcul, vorbire matematică orală și scrisă, memoria, precum și independența în activități de gândire și învățare, capacitatea de a lucra în perechi și în grup; dezvoltarea activităților de cercetare și educație;

Sarcina educațională: a educa independența, activitatea, responsabilitatea pentru sarcina atribuită, perseverența în atingerea scopului.

În timpul orelor: pe tablă este scris un citat

„Natura vorbește limbajul matematicii, literele acestei limbi... cifre matematice.” G. Gallilei

La începutul lecției, clasa este împărțită în grupuri de lucru (în cazul nostru, împărțirea în grupuri de câte 4 persoane fiecare - numărul de membri ai grupului este egal cu numărul de grupuri de întrebări).

1. Etapa de apel-

Obiective:

a) actualizarea cunoștințelor elevilor pe tema;

b) trezirea interesului pentru tema studiată, motivarea fiecărui elev pentru activități de învățare.

Recepție: Jocul „Crezi că...”, organizarea muncii cu text.

Forme de lucru: frontal, grup.

"Crezi asta…."

1. ... cuvântul „poligon” indică faptul că toate figurile acestei familii au „multe colțuri”?

2. … un triunghi aparține unei familii mari de poligoane, care se disting între multe forme geometrice diferite de pe plan?

3. …un pătrat este un octogon regulat (patru laturi + patru colțuri)?

Astăzi în lecție vom vorbi despre poligoane. Învățăm că această cifră este delimitată de o linie întreruptă închisă, care la rândul ei poate fi simplă, închisă. Să vorbim despre faptul că poligoanele sunt plate, regulate, convexe. Unul dintre poligoane plate este un triunghi cu care sunteți familiarizat de mult timp (puteți arăta elevilor afișe care prezintă poligoane, o linie întreruptă, arătați diferitele tipuri ale acestora, puteți folosi și TCO).

2. Stadiul de înțelegere

Scop: obținerea de informații noi, înțelegerea acesteia, selecția.

Recepție: zig-zag.

Forme de lucru: individual->pereche->grup.

Poligoane. Tipuri de poligoane.

Cuvântul „poligon” indică faptul că toate figurile acestei familii au „multe colțuri”. Dar acest lucru nu este suficient pentru a caracteriza figura.

O linie întreruptă A 1 A 2 ... A n este o figură formată din punctele A 1, A 2, ... A n și segmentele A 1 A 2, A 2 A 3, ... care le unesc. Punctele sunt numite vârfuri ale poliliniei, iar segmentele sunt numite legături ale poliliniei. (fig.1)

O linie întreruptă se numește simplă dacă nu are auto-intersecții (Fig. 2,3).

O linie întreruptă se numește închisă dacă capetele ei coincid. Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale (Fig. 4).

O linie întreruptă închisă simplă se numește poligon dacă legăturile sale adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă (Fig. 5).

Vârfurile poliliniei se numesc vârfuri ale poligonului, iar legăturile poliliniei se numesc laturile poligonului.

Poligonul împarte planul în două regiuni: internă și externă (Fig. 6).

Un poligon plan sau o regiune poligonală este o parte finită a unui plan mărginită de un poligon.

Două vârfuri ale unui poligon care sunt capetele aceleiași laturi se numesc vecine. Vârfurile care nu sunt capetele unei laturi sunt neadiacente.

Un poligon cu n vârfuri și prin urmare n laturi se numește n-gon.

Deși cel mai mic număr de laturi ale unui poligon este 3. Dar triunghiurile, care se leagă între ele, pot forma alte forme, care la rândul lor sunt și poligoane.

Segmentele care leagă vârfurile neînvecinate ale unui poligon se numesc diagonale.

Un poligon se numește convex dacă se află într-un semiplan în raport cu orice dreaptă care conține latura sa. În acest caz, linia dreaptă în sine este considerată a aparține semiplanului.

Unghiul unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acel vârf.

Să demonstrăm teorema (pe suma unghiurilor unui n-gon convex): Suma unghiurilor unui n-gon convex este egală cu 180 0 *(n - 2).

Dovada. În cazul n=3 teorema este valabilă. Fie А 1 А 2 …А n un poligon convex dat și n>3. Să desenăm diagonale în el (de la un vârf). Deoarece poligonul este convex, aceste diagonale îl împart în n - 2 triunghiuri. Suma unghiurilor poligonului este aceeași cu suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri. Suma unghiurilor fiecărui triunghi este 180 0, iar numărul acestor triunghiuri este n - 2. Prin urmare, suma unghiurilor unui n convex - unghi A 1 A 2 ... A n este 180 0 * ( n - 2). Teorema a fost demonstrată.

Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acel vârf.

Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale.

Deci pătratul poate fi numit diferit - un patrulater regulat. Triunghiurile echilaterale sunt de asemenea regulate. Astfel de figuri au fost mult timp de interes pentru maeștrii care au decorat clădirile. Au realizat modele frumoase, de exemplu, pe parchet. Dar nu toate poligoanele obișnuite ar putea fi folosite pentru a forma parchetul. Parchetul nu poate fi format din octogoane obișnuite. Faptul este că au fiecare unghi egal cu 135 0. Și dacă orice punct este vârful a două astfel de octogoane, atunci vor avea 270 0 și nu există unde să se potrivească al treilea octogon: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Dar suficient pentru un pătrat. Prin urmare, este posibil să pliați parchetul din octogoane și pătrate obișnuite.

Stelele sunt corecte. Steaua noastră cu cinci colțuri este o stea pentagonală obișnuită. Și dacă rotiți pătratul în jurul centrului cu 45 0, obțineți o stea octogonală obișnuită.

1 grup

Ce este o linie întreruptă? Explicați ce sunt vârfurile și legăturile unei polilinii.

Care linie întreruptă se numește simplă?

Care linie întreruptă se numește închisă?

Ce este un poligon? Cum se numesc vârfurile unui poligon? Care sunt laturile unui poligon?

2 grupa

Ce este un poligon plat? Dați exemple de poligoane.

Ce este n-gon?

Explicați ce vârfuri ale poligonului sunt adiacente și care nu.

Care este diagonala unui poligon?

3 grupa

Ce este un poligon convex?

Explicați ce colțuri ale poligonului sunt externe și care sunt interne?

Ce este un poligon regulat? Dați exemple de poligoane regulate.

4 grupa

Care este suma unghiurilor unui n-gon convex? Dovedește-o.

3. Stadiul reflecției -

a) evaluarea cunoștințelor lor, provocare la următorul pas de cunoaștere;

b) înţelegerea şi însuşirea informaţiei primite.

Recepție: lucrări de cercetare.

Forme de lucru: individual->pereche->grup.

Grupurile de lucru sunt experți în răspunsurile la fiecare dintre secțiunile întrebărilor propuse.

Lucrări de cercetare ale studenților - completarea tabelului.

Poligoane regulate	Desen	Numărul de laturi	Numărul de vârfuri	Suma tuturor unghiurilor interne	Măsura gradului int. unghi	Măsura gradului de unghi exterior	Numărul de diagonale
A) un triunghi
B) patrulater
B) cu cinci pereți
D) hexagon
E) n-gon

Rezolvarea unor probleme interesante pe tema lecției.

În patrulater, trageți o linie astfel încât să o împartă în trei triunghiuri.
Câte laturi are un poligon regulat, al cărui unghi interior este egal cu 135 0?
Într-un anumit poligon, toate unghiurile interioare sunt egale între ele. Poate fi suma unghiurilor interioare ale acestui poligon: 360 0 , 380 0 ?

Rezumând lecția. Înregistrarea temelor.