Exemple de expresii raționale fracționale cu soluții. expresie rațională

Articolul vorbește despre transformare expresii rationale. Luați în considerare tipurile de expresii raționale, transformările lor, grupările, punerea în paranteze a factorului comun. Să învățăm cum să reprezentăm expresii raționale fracționale în formă fracții raționale.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definiție și exemple de expresii raționale

Definiția 1

Se numesc expresii care sunt alcătuite din numere, variabile, paranteze, grade cu operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire cu prezența unei bare de fracții. expresii rationale.

De exemplu, avem că 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 xy 2 - 1 11 x 3 .

Adică acestea sunt expresii care nu au împărțire în expresii cu variabile. Studiul expresiilor raționale începe cu clasa a 8-a, unde se numesc expresii raționale fracționale.O atenție deosebită se acordă fracțiilor din numărător, care sunt convertite folosind reguli de transformare.

Acest lucru ne permite să trecem la transformarea fracțiilor raționale dintr-o formă arbitrară. O astfel de expresie poate fi considerată ca o expresie cu prezența fracțiilor raționale și a expresiilor întregi cu semne de acțiune.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor raționale

Expresiile raționale sunt folosite pentru a efectua transformări identice, grupări, reduceri a celor similare, efectuarea altor operații cu numere. Scopul unor astfel de expresii este de a simplifica.

Exemplul 1

Convertiți expresia rațională 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Soluţie

Se poate observa că o astfel de expresie rațională este diferența 3 · x x · y - 1 și 2 · x x · y - 1 . Observați că au același numitor. Aceasta înseamnă că reducerea termenilor similari ia forma

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Răspuns: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Exemplul 2

Efectuați transformarea 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Soluţie

Inițial, efectuăm acțiunile dintre paranteze 3 · x − x = 2 · x . Această expresie este reprezentată ca 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Ajungem la o expresie care conține acțiuni cu o etapă, adică are adunare și scădere.

Scăpați de paranteze aplicând proprietatea diviziunii. Atunci obținem că 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Grupăm factorii numerici cu variabila x, după care putem efectua operații cu puteri. Înțelegem asta

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Răspuns: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Exemplul 3

Convertiți o expresie de forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Soluţie

Mai întâi, să convertim numărătorul și numitorul. Apoi obținem o expresie de forma (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, iar acțiunile dintre paranteze se fac mai întâi. La numărător se realizează acțiuni și se grupează factorii. Atunci obținem o expresie de forma x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Transformăm formula pentru diferența de pătrate în numărător, apoi obținem asta

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Răspuns: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Reprezentarea ca fracție rațională

O fracție algebrică este supusă cel mai adesea simplificării la rezolvare. Fiecare rațional se reduce la asta căi diferite. Totul trebuie făcut acțiunile necesare cu polinoame astfel încât expresia rațională să poată da în cele din urmă o fracție rațională.

Exemplul 4

Exprimați ca fracție rațională a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Soluţie

Această expresie poate fi reprezentată ca a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Înmulțirea se face în primul rând după reguli.

Ar trebui să începem cu înmulțirea, apoi obținem asta

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Producem o reprezentare a rezultatului obtinut cu originalul. Înțelegem asta

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Acum să facem scăderea:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 aa (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

După aceea, este evident că expresia originală va lua forma 16 a 2 - 9 .

Răspuns: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Exemplul 5

Exprimați x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x ca o fracție rațională.

Soluţie

Expresia dată se scrie sub formă de fracție, în numărătorul căreia se află x x + 1 + 1, iar la numitor 2 x - 1 1 + x. Este necesar să se facă transformări x x + 1 + 1 . Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați o fracție și un număr. Obținem că xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Rezultă că x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Fracția rezultată poate fi scrisă ca 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

După împărțire, ajungem la o fracție rațională a formei

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

O poți rezolva altfel.

În loc să împărțim la 2 x - 1 1 + x, înmulțim cu reciproca lui 1 + x 2 x - 1 . Aplicând proprietatea de distribuție, obținem asta

xx + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = xx + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Răspuns: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Această lecție va acoperi informațiile de bază despre expresiile raționale și transformările lor, precum și exemple de transformare a expresiilor raționale. Acest subiect rezumă subiectele pe care le-am studiat până acum. Transformările expresiei raționale includ adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponențiarea fracții algebrice, reducere, factorizare, etc. În cadrul lecției, vom analiza ce este o expresie rațională și, de asemenea, vom analiza exemple pentru transformarea lor.

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor

Definiție

expresie rațională este o expresie formată din numere, variabile, operații aritmetice și exponențiere.

Luați în considerare un exemplu de expresie rațională:

Cazuri speciale de expresii raționale:

gradul I: ;

2. monom: ;

3. fracție: .

Transformarea expresiei raționale este o simplificare a unei expresii raționale. Ordinea operațiilor la conversia expresiilor raționale: mai întâi sunt acțiunile între paranteze, apoi operațiile de înmulțire (împărțire) și apoi operații de adunare (scădere).

Să luăm în considerare câteva exemple de transformare a expresiilor raționale.

Exemplul 1

Soluţie:

Să rezolvăm acest exemplu pas cu pas. Acțiunea din paranteze este executată mai întâi.

Răspuns:

Exemplul 2

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 3

Soluţie:

Răspuns: .

Notă: poate când vezi acest exemplu a apărut o idee: a reduce fracția înainte de a duce la un numitor comun. Într-adevăr, este absolut corect: în primul rând, este de dorit să simplificăm expresia cât mai mult posibil și apoi să o transformăm. Să încercăm să rezolvăm același exemplu în al doilea mod.

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi absolut similar, dar soluția s-a dovedit a fi ceva mai simplă.

În această lecție, ne-am uitat la expresii raţionale şi transformările lor, precum și mai multe exemple concrete date de transformare.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

Acest articol este despre transformarea expresiilor raţionale, cea mai mare parte rațională, este una dintre întrebările cheie ale cursului de algebră pentru clasele a VIII-a. În primul rând, ne amintim ce fel de expresii sunt numite raționale. În continuare, ne vom concentra pe realizarea transformărilor standard cu expresii raționale, cum ar fi gruparea termenilor, scoaterea din paranteze a factorilor comuni, reducerea termenilor similari etc. În cele din urmă, vom învăța cum să reprezentăm expresii raționale fracționale ca fracții raționale.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de expresii raționale

Expresiile raționale sunt unul dintre tipurile de expresii studiate în lecțiile de algebră de la școală. Să dăm o definiție.

Definiție.

Expresii alcătuite din numere, variabile, paranteze, grade cu exponenți întregi, legate prin semne operatii aritmetice+, - și:, unde diviziunea poate fi indicată printr-o bară a unei fracții, sunt numite expresii rationale.

Iată câteva exemple de expresii raţionale: .

Expresiile raționale încep să fie studiate intenționat în clasa a VII-a. Mai mult, în clasa a VII-a, bazele lucrului cu așa-numitul expresii raționale întregi, adică cu expresii raţionale care nu conţin împărţirea în expresii cu variabile. Pentru a face acest lucru, monomiile și polinoamele sunt studiate în mod constant, precum și principiile pentru efectuarea acțiunilor cu acestea. Toate aceste cunoștințe vă permit în cele din urmă să efectuați transformarea expresiilor întregi.

În clasa a 8-a, ei trec la studiul expresiilor raționale care conțin împărțirea printr-o expresie cu variabile, care se numesc expresii raționale fracționale. în care Atentie speciala dat asa-zisului fracții raționale(numit si fracții algebrice), adică fracții al căror numărător și numitor conțin polinoame. Acest lucru face în cele din urmă posibilă efectuarea transformării fracțiilor raționale.

Abilitățile dobândite ne permit să trecem la transformarea expresiilor raționale a unei forme arbitrare. Acest lucru se explică prin faptul că orice expresie rațională poate fi considerată ca o expresie compusă din fracții raționale și expresii întregi, legate prin semne ale operațiilor aritmetice. Și știm deja cum să lucrăm cu expresii întregi și fracții algebrice.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor raționale

Cu expresii raționale, puteți efectua oricare dintre transformările identitare de bază, fie că este vorba de o grupare de termeni sau de factori, aducând termeni similari, efectuând operații cu numere etc. De obicei, scopul acestor transformări este simplificarea rațională a expresiei.

Exemplu.

.

Soluţie.

Este clar că această expresie rațională este diferența dintre două expresii și , iar aceste expresii sunt similare, deoarece au aceeași parte literală. Astfel, putem efectua o reducere a termenilor similari:

Răspuns:

.

Este clar că atunci când se efectuează transformări cu expresii raționale, ca, într-adevăr, cu orice alte expresii, trebuie să rămânem în cadrul ordinii acceptate a acțiunilor.

Exemplu.

Transformați expresia rațională.

Soluţie.

Știm că acțiunile din paranteze sunt executate mai întâi. Prin urmare, în primul rând, transformăm expresia dintre paranteze: 3 x − x=2 x .

Acum puteți înlocui rezultatul în expresia rațională originală: . Așa că am ajuns la o expresie care conține acțiunile unei etape - adunarea și înmulțirea.

Să scăpăm de parantezele de la sfârșitul expresiei aplicând proprietatea împărțire după produs: .

În cele din urmă, putem grupa factorii numerici și factorii cu variabila x, apoi efectuam operațiile corespunzătoare asupra numerelor și aplicăm : .

Aceasta completează transformarea expresiei raționale și, ca urmare, am obținut un monom.

Răspuns:

Exemplu.

Transformați expresia rațională .

Soluţie.

Mai întâi convertim numărătorul și numitorul. Această ordine de conversie a fracțiilor se explică prin faptul că cursa unei fracții este în esență o altă desemnare a diviziunii, iar expresia rațională originală este în esență o formă particulară. , iar acțiunile din paranteze sunt executate mai întâi.

Deci, la numărător efectuăm operații cu polinoame, mai întâi înmulțirea, apoi scăderea, iar la numitor grupăm factorii numerici și calculăm produsul lor: .

Să ne imaginăm și numărătorul și numitorul fracției rezultate ca produs: dintr-o dată este posibil să se reducă fracția algebrică. Pentru a face acest lucru, în numărător folosim formula diferenței de pătrate, iar la numitor scoatem doiul din paranteze, avem .

Răspuns:

.

Deci, cunoașterea inițială cu transformarea expresiilor raționale poate fi considerată realizată. Trecem, ca să spunem așa, la cei mai dulci.

Reprezentarea ca fracție rațională

Cel mai comun scop final al transformării expresiilor este simplificarea formei acestora. În această lumină, cel mai mult vedere simplă, la care poate fi convertită o expresie rațională fracționară, este o fracție rațională (algebrică) și, într-un caz particular, un polinom, un monom sau un număr.

Este posibil să se reprezinte orice expresie rațională ca o fracție rațională? Raspunsul este da. Să explicăm de ce este așa.

După cum am spus deja, orice expresie rațională poate fi considerată ca polinoame și fracții raționale, legate prin semne plus, minus, înmulțire și împărțire. Toate operațiile relevante pe polinoame dau un polinom sau o fracție rațională. La rândul său, orice polinom poate fi convertit într-o fracție algebrică scriind-o cu numitorul 1. Și adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor raționale au ca rezultat o nouă fracție rațională. Prin urmare, după efectuarea tuturor operațiilor cu polinoame și fracții raționale într-o expresie rațională, obținem o fracție rațională.

Exemplu.

Exprimați ca fracție rațională expresia .

Soluţie.

Expresia rațională originală este diferența dintre o fracție și un produs de fracții de formă . După ordinea operațiilor, trebuie mai întâi să facem înmulțirea și abia apoi adunarea.

Începem prin înmulțirea fracțiilor algebrice:

Inlocuim rezultatul obtinut in expresia rationala originala: .

Am ajuns la scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiti:

Deci, după ce am efectuat acțiuni cu fracțiile raționale care alcătuiesc expresia rațională originală, am prezentat-o ​​ca o fracție rațională.

Răspuns:

.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Exprimați o expresie rațională ca o fracție rațională.

Orice expresie fracționată(articolul 48) poate fi scris ca , unde P și Q sunt expresii raționale, iar Q conține în mod necesar variabile. O astfel de fracție se numește fracție rațională.

Exemple de fracții raționale:

Proprietatea principală a unei fracții este exprimată printr-o identitate care este valabilă în condițiile de aici - o întreagă expresie rațională. Aceasta înseamnă că numărătorul și numitorul unei fracții raționale pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, monom sau polinom.

De exemplu, proprietatea unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele membrilor unei fracții. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu -1, obținem. Astfel, valoarea fracției nu se va modifica dacă semnele numărătorului și numitorului sunt modificate în același timp. Dacă schimbați doar semnul numărătorului sau numai al numitorului, atunci fracția își va schimba semnul:

De exemplu,

60. Reducerea fracțiilor raționale.

A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul unei fracții la un factor comun. Posibilitatea unei astfel de reduceri se datorează proprietății principale a fracției.

Pentru a reduce o fracție rațională, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Dacă se dovedește că numărătorul și numitorul au factori comuni, atunci fracția poate fi redusă. Dacă nu există factori comuni, atunci conversia fracției prin reducere este imposibilă.

Exemplu. Reduceți fracția

Soluţie. Avem

Reducerea fractiei se realizeaza in conditia .

61. Aducerea fracțiilor raționale la un numitor comun.

Numitorul comun al mai multor fracții raționale este întreaga expresie rațională, care este împărțită la numitorul fiecărei fracții (vezi punctul 54).

De exemplu, un polinom servește ca numitor comun al fracțiilor, deoarece este divizibil cu și prin și cu și cu un polinom și un polinom și un polinom etc. De obicei, se ia un astfel de numitor comun încât orice alt numitor comun este divizibil cu ales. Acest cel mai simplu numitor este uneori numit cel mai mic numitor comun.

În exemplul de mai sus, numitorul comun este Avem

Reducerea acestor fracții la un numitor comun se realizează prin înmulțirea numărătorului și numitorului primei fracții cu 2. Iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții prin Polinoame se numesc factori suplimentari pentru prima și, respectiv, a doua fracție. Factorul suplimentar pentru o fracție dată este egal cu câtul împărțirii numitorului comun la numitorul fracției date.

Pentru a reduce mai multe fracții raționale la un numitor comun, aveți nevoie de:

1) descompuneți numitorul fiecărei fracții în factori;

2) să facă un numitor comun, incluzând ca factori în el toți factorii obținuți la paragraful 1) din expansiuni; dacă un anumit factor există în mai multe expansiuni, atunci se ia cu un exponent egal cu cel mai mare dintre cele disponibile;

3) găsirea de factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (pentru aceasta, numitorul comun se împarte la numitorul fracției);

4) înmulțind numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un factor suplimentar, aduceți fracția la un numitor comun.

Exemplu. Reduceți la un numitor comun al unei fracții

Soluţie. Să factorizăm numitorii:

Următorii factori trebuie incluși în numitorul comun: și cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 18, 24, adică . Deci numitorul comun este

Multiplicatori suplimentari: pentru prima fracție pentru a doua pentru a treia Deci, obținem:

62. Adunarea și scăderea fracțiilor raționale.

Suma a două (și în general orice număr finit) fracții raționale cu aceiași numitori identic egal cu o fracție cu același numitor și cu numărător egal cu suma numărătorilor fracțiilor adăugate:

Situația este similară la scăderea fracțiilor cu aceiași numitori:

Exemplul 1: Simplificați o expresie

Soluţie.

Pentru a adăuga sau scădea fracții raționale cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să aduceți fracțiile la un numitor comun, apoi să efectuați operații asupra fracțiilor rezultate cu aceiași numitori.

Exemplul 2: Simplificați o expresie

Soluţie. Avem

63. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor raționale.

Produsul a două fracții raționale (și, în general, a oricărui număr finit) este identic cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor fracțiilor înmulțite:

Cât de împărțire a două fracții raționale este identic cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul dintre numărătorul primei fracții la numitorul celei de-a doua fracții, iar numitorul este produsul dintre numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții:

Regulile formulate pentru înmulțire și împărțire se aplică și în cazul înmulțirii sau împărțirii cu un polinom: este suficient să scrieți acest polinom ca o fracție cu numitorul 1.

Având în vedere posibilitatea reducerii unei fracții raționale obținute prin înmulțirea sau împărțirea fracțiilor raționale, de obicei se caută factorizarea numărătorilor și numitorilor fracțiilor originale înainte de a efectua aceste operații.

Exemplul 1. Înmulțiți

Soluţie. Avem

Folosind regula înmulțirii fracțiilor, obținem:

Exemplul 2: Efectuați împărțirea

Soluţie. Avem

Folosind regula împărțirii, obținem:

64. Ridicarea unei fracții raționale la o putere întreagă.

Pentru a ridica o fracție rațională - la o putere naturală, trebuie să ridicați numărătorul și numitorul fracției separat la această putere; prima expresie este numărătorul și a doua expresie este numitorul rezultatului:

Exemplul 1. Convertiți într-o fracție o putere a lui 3.

Soluție Soluție.

La ridicarea unei fracții la o putere întreagă negativă, se folosește o identitate care este valabilă pentru toate valorile variabilelor pentru care .

Exemplul 2. Convertiți expresia în fracție

65. Transformarea expresiilor raţionale.

Transformarea oricărei expresii raționale se rezumă la adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor raționale, precum și ridicarea unei fracții la o putere naturală. Orice expresie rațională poate fi convertită într-o fracție al cărei numărător și numitor sunt expresii raționale întregi; acesta este de obicei scopul transformări identice expresii rationale.

Exemplu. Simplificați expresia

66. Cele mai simple transformări ale rădăcinilor aritmetice (radicale).

La conversia coriei aritmetice, sunt utilizate proprietățile lor (a se vedea punctul 35).

Luați în considerare câteva exemple despre utilizarea proprietăților rădăcini aritmetice pentru cele mai simple transformări ale radicalilor. În acest caz, toate variabilele vor fi considerate ca luând numai valori nenegative.

Exemplul 1. Extrageți rădăcina produsului

Soluţie. Aplicând proprietatea 1°, obținem:

Exemplul 2. Scoateți factorul de sub semnul rădăcinii

Soluţie.

O astfel de transformare se numește factoring out de sub semnul rădăcinii. Scopul transformării este de a simplifica expresia radicală.

Exemplul 3: Simplificați.

Soluţie. Conform proprietății 3°, de obicei încercăm să simplificăm expresia radicală, pentru care scot multiplicatorii dincolo de semnul corium. Avem

Exemplul 4: Simplificați

Soluţie. Transformăm expresia introducând un factor sub semnul rădăcinii: Prin proprietatea 4° avem

Exemplul 5: Simplificați

Soluţie. Prin proprietatea 5°, avem dreptul de a împărți exponentul rădăcinii și exponentul expresiei rădăcinii în același numar natural. Dacă în exemplul luat în considerare împărțim indicatorii indicați cu 3, atunci obținem .

Exemplul 6. Simplificați expresiile:

Rezolvare, a) Prin proprietatea 1°, obținem că pentru a înmulți rădăcini de același grad, este suficient să înmulțim expresiile rădăcinii și să extragem rădăcina de același grad din rezultatul obținut. Mijloace,

b) În primul rând, trebuie să reducem radicalii la un singur indice. Conform proprietății 5°, putem înmulți exponentul rădăcinii cu același număr natural. Prin urmare, în continuare, avem acum în rezultatul obținut prin împărțirea indicatorilor rădăcinii și a gradului de expresie a radicalului la 3, obținem .