Problemele ecuației pătratice sunt, de asemenea, studiate în curiculumul scolarși în universități. Ele sunt înțelese ca ecuații de forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, unde X- variabilă, a,b,c – constante; A<>0 . Problema este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa x. Aceasta înseamnă că se află în planul superior cu ramurile în sus sau cel inferior cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică din el își dobândește valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților la puterile variabilelor se pot trage concluzii interesante despre plasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci parabola este îndreptată în sus, dacă este negativă, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă ia o valoare negativă, atunci în dreapta.

Derivarea unei formule pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

Să transferăm constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a obține un pătrat complet în stânga, adăugați b ^ 2 în ambele părți și efectuați transformarea

De aici găsim

Formula discriminantului și rădăcinilor ecuației pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicalului.Dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini care coincid), care sunt ușor de obținut din formula de mai sus pentru D=0. Când discriminantul este negativ, nu există rădăcini reale. Cu toate acestea, pentru a studia soluțiile ecuației pătratice în plan complex, iar valoarea lor este calculată prin formula

teorema lui Vieta

Luați în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și construiți o ecuație pătratică pe baza lor.Teorema Vieta însăși rezultă ușor din notația: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Formula pentru cele de mai sus va arăta ca Dacă constanta a din ecuația clasică este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație la ea și apoi să aplicați teorema Vieta.

Schema ecuației pătratice pe factori

Să fie stabilită sarcina: să descompunem ecuația pătratică în factori. Pentru a o realiza, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). În continuare, înlocuim rădăcinile găsite în formula de extindere a ecuației pătratice, această problemă va fi rezolvată.

Sarcini pentru o ecuație pătratică

Sarcina 1. Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice

x^2-26x+120=0 .

Rezolvare: Notați coeficienții și înlocuiți în formula discriminantă

rădăcină de valoare dată egal cu 14, este ușor să-l găsiți cu un calculator sau să îl amintiți cu o utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului vă voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi găsite adesea în astfel de sarcini .
Valoarea găsită este înlocuită în formula rădăcină

și primim

Sarcina 2. rezolva ecuatia

2x2+x-3=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


De formule cunoscute găsiți rădăcinile ecuației pătratice

Sarcina 3. rezolva ecuatia

9x2 -12x+4=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinați discriminantul

Avem cazul când rădăcinile coincid. Găsim valorile rădăcinilor prin formula

Sarcina 4. rezolva ecuatia

x^2+x-6=0 .

Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici pentru x, este indicat să se aplice teorema Vieta. Prin condiția sa, obținem două ecuații

Din a doua condiție, obținem că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții(-3;2), (3;-2) . Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt

Sarcina 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este de 18 cm și aria este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma laturilor adiacente. Să notăm x - latura mare, atunci 18-x este partea sa mai mică. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul acestor lungimi:
x(18x)=77;
sau
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Aflați discriminantul ecuației

Calculăm rădăcinile ecuației

În cazul în care un x=11, apoi 18x=7 , viceversa este de asemenea adevărată (dacă x=7, atunci 21-x=9).

Problema 6. Factorizați ecuația pătratică 10x 2 -11x+3=0.

Rezolvare: Calculați rădăcinile ecuației, pentru aceasta găsim discriminantul

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcinilor și calculăm

Aplicam formula de extindere a ecuatiei patratice in termeni de radacini

Extindem parantezele, obținem identitatea.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a=3, vedem că nu are soluție. În plus, vom folosi faptul că, cu un discriminant zero, ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

simplificați-l și echivalați cu zero

Am obținut o ecuație pătratică față de parametrul a, a cărei soluție este ușor de obținut folosind teorema Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla enumerare, stabilim ca numerele 3.4 vor fi radacinile ecuatiei. Deoarece am respins deja soluția a=3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a=4. Astfel, pentru a = 4, ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Luați în considerare mai întâi punctele singulare, acestea vor fi valorile a=0 și a=-3. Când a=0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9=0; x=3/2 și va fi o singură rădăcină. Pentru a= -3 obținem identitatea 0=0 .
Calculați discriminantul

și găsiți valorile lui a pentru care este pozitiv

Din prima condiție obținem a>3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să definim intervalele în care funcția ia valori pozitive. Inlocuind punctul a=0 obtinem 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3; 1/3) funcția este negativă. Nu uitați punctul a=0 care ar trebui exclus, deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condiția problemei

Vor exista multe sarcini similare în practică, încercați să vă ocupați singur de sarcini și nu uitați să țineți cont de condiții care se exclud reciproc. Studiați bine formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice, ele sunt destul de des necesare în calcule în diverse probleme și științe.

LA societate modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în domeniul științific și dezvoltări tehnice. Acest lucru poate fi evidențiat prin proiectarea navelor maritime și fluviale, a aeronavelor și a rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, se determină traiectorii de mișcare a diferitelor corpuri, inclusiv a obiectelor spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Ele pot fi necesare în drumeții, la sport, in magazine la cumparaturi si in alte situatii foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factori componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia dată. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci aceste expresii, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea în partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care un astfel de polinom nu are niciunul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemplele cu rezolvarea unor astfel de probleme, în care valoarea variabilelor nu este greu de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia arată în așa fel încât să existe doi termeni în partea dreaptă a expresiei, mai precis ax 2 și bx, cel mai ușor este să găsiți x prin parantezele variabilei. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). Mai mult, devine evident că fie x=0, fie problema se reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub acțiunea gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct, luat drept origine. Aici notatie matematica ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul scurs din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme și în multe altele cazuri dificile. Luați în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice de acest tip.

X2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătrat este complet. În primul rând, transformăm expresia și o descompunem în factori. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Când factorii din partea dreaptă în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca urmare, devine evident că ecuația dată are trei rădăcini: -3; -unu; 3.

Extragerea rădăcinii pătrate

Un alt caz de ecuație incompletă de ordinul doi este o expresie scrisă în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat partea dreapta, iar după aceea, din ambele părți ale egalității, Rădăcină pătrată. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții sunt egalitățile care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în vremuri străvechi, deoarece dezvoltarea matematicii este în mare măsură în acelea. vremuri îndepărtate s-a datorat necesităţii de a determina cu cea mai mare acurateţe suprafeţele şi perimetrele terenurilor.

Ar trebui să luăm în considerare și exemple cu soluția ecuațiilor pătratice compilate pe baza unor probleme de acest fel.

Deci, să spunem că există zona dreptunghiulara teren, a cărui lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului, dacă se știe că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Trecând la treabă, la început vom face ecuația necesară. Să notăm lățimea secțiunii ca x, apoi lungimea acesteia va fi (x + 16). Din ceea ce s-a scris, rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, conform condiției problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este doar atât, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă a acesteia conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite alte metode.

discriminant

În primul rând, facem transformările necesare, apoi aspect această expresie va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice prin discriminant. Aici calculele necesare produs după schema: D = b 2 - 4ac. Această valoare auxiliară nu numai că face posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația de ordinul doi, ci determină numărul Opțiuni. În cazul D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o singură rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256 - 4(-612) = 2704. Aceasta indică faptul că problema noastră are un răspuns. Dacă știți, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua variantă în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunea terenului nu poate fi măsurată în valori negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea terenului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18+16=34, iar perimetrul 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Mai jos vor fi date exemple și o soluție detaliată a câtorva dintre ele.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Să transferăm totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică să obținem forma ecuației, care se numește de obicei cea standard, și să o echivalăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Deci ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea 1.

2) Acum vom dezvălui ghicitori de alt fel.

Să aflăm dacă aici există rădăcini x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, aducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și calculăm discriminantul. În acest exemplu, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece esența problemei nu este deloc în aceasta. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice prin formulele de mai sus și prin discriminant, când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Este numit după un bărbat care a trăit în Franța secolului al XVI-lea și a avut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Folosind teorema Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După ce am făcut o verificare, ne vom asigura că aceste valori ale variabilelor se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul și ecuația unei parabole

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date anterior. Acum să ne uităm la câteva puzzle-uri matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de dependență, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite prin formula tocmai dată x 0 = -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei aparținând axei y.

Intersecția ramurilor parabolei cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să le luăm în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul unei parabole, puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și invers. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor de trasat.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri, nu numai că se făceau calcule matematice și se determina aria formelor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru descoperiri grandioase în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. S-a întâmplat cu patru secole înainte de apariția erei noastre. Desigur, calculele lor erau fundamental diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități ale celor cunoscute oricărui student al timpului nostru.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India, Baudhayama, a preluat soluția ecuațiilor pătratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de apariția erei lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este esențială.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a , b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac .

Această formulă trebuie cunoscută pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație în același mod:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este egal cu zero - rădăcina va fi una.

Rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alegeți singuri: viteza sau calitatea.

Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de multe.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când coeficienții negativi sunt înlocuiți în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, pictați fiecare pas - și scăpați de greșeli foarte curând.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil atunci când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură ecuație. rădăcină: x \u003d 0.

Să luăm în considerare alte cazuri. Fie b \u003d 0, apoi obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c \u003d 0. Să o transformăm ușor:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar atunci când (−c / a ) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 satisface inegalitatea (−c / a ) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c / a )< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici măcar nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a ) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea lui x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteză

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, vom analiza câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Ecuații cuadratice. discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cu ce ​​seamănă? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat".Înseamnă că în ecuație neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus, în ecuație poate exista (sau poate să nu existe!) Doar x (la primul grad) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe x într-un grad mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar A- orice în afară de zero. De exemplu:

Aici A =1; b = 3; c = -4

Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici A =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, ai înțeles ideea...

În aceste ecuații pătratice, în stânga, există Set complet membrii. x pătrat cu coeficientul A, x la prima putere cu coeficient bși membru liber al

Astfel de ecuații pătratice se numesc complet.

Si daca b= 0, ce vom obține? Noi avem X va dispărea în primul grad. Acest lucru se întâmplă de la înmulțirea cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etc. Și dacă ambii coeficienți bși c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Astfel de ecuații, unde lipsește ceva, sunt numite ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo de ce A nu poate fi zero? Și tu înlocuiești în schimb A zero.) X-ul din pătrat va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Și se face altfel...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. Prin formule și clare reguli simple. În prima etapă, aveți nevoie ecuația dată duce la vedere standard, adică la vedere:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, A, bși c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi x, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții din ecuația pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și cîn această formulă și numărați. Substitui cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c= -4. Aici scriem:

Exemplu aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce crezi, nu poți greși? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de valori a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde e de încurcat?), ci cu înlocuirea valori negativeîn formula de calcul a rădăcinilor. Aici, o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice salvează. Dacă există probleme cu calculele, atunci, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să pictezi atât de atent. Dar doar pare. Incearca-l. Ei bine, sau alege. Care este mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să pictezi totul atât de atent. Pur și simplu se va dovedi corect. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

Știai?) Da! Aceasta este ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Ele pot fi rezolvate și prin formula generală. Trebuie doar să vă dați seama corect ce este egal aici a, b și c.

Realizat? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu există deloc! Ei bine, da, așa este. În matematică, asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. Înlocuiți zero în formulă în loc de c,și totul se va rezolva pentru noi. La fel și cu al doilea exemplu. Numai zero nu avem aici cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără nicio formulă. Luați în considerare primul ecuație incompletă. Ce se poate face pe partea stângă? Puteți scoate X-ul din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce din asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu crezi? Ei bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Ceva...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tot. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele se potrivesc. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât formula generală. Observ, apropo, care X va fi primul și care al doilea - este absolut indiferent. Ușor de scris în ordine x 1- oricare e mai puțin x 2- ceea ce este mai mult.

A doua ecuație poate fi, de asemenea, rezolvată cu ușurință. Ne deplasăm cu 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne să extragem rădăcina din 9 și atât. Obține:

de asemenea două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie scoțând x din paranteze, fie transfer simplu numerele din dreapta, urmate de extragerea rădăcinii.
Este extrem de dificil să confundăm aceste metode. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina din X, ceea ce este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

discriminant. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminant ! Un elev de liceu rar nu a auzit acest cuvânt! Expresia „decide prin discriminant” este liniștitoare și liniștitoare. Pentru că nu este nevoie să așteptați trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme în manipulare.) Vă reamintesc cel mai mult formula generala pentru solutii orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Discriminantul este de obicei notat prin literă D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de special la această expresie? De ce merită un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu numesc în mod specific... Litere și litere.

Ideea este aceasta. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că puteți extrage rădăcina din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Este important ce se extrage in principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci ai o soluție. Deoarece adunarea-scăderea lui zero în numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, dar două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Un număr negativ nu ia rădăcina pătrată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer să fiu, la solutie simpla ecuații pătratice, conceptul de discriminant nu este deosebit de solicitat. Înlocuim valorile coeficienților din formulă și luăm în considerare. Acolo totul se dovedește de la sine, și două rădăcini, și una, și nu una singură. Totuși, când rezolvi mai mult sarcini dificile, fara cunostinte sens și formulă discriminantă insuficient. Mai ales - în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru GIA și examenul de stat unificat!)

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau învățat, ceea ce nu este rău.) Știi să identifici corect a, b și c. Știi cum atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Ai înțeles că cuvântul cheie aici este: atent?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Chiar acelea care se datorează neatenției... Pentru care apoi este dureros și jignitor...

Prima recepție . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică pentru a o aduce la o formă standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți exemplul corect. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Minusul dinaintea x pătratului te poate supăra foarte mult. A uita este ușor... Scăpați de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul. Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu-ți face griji, îți voi explica totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cea prin care am notat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificați ușor rădăcinile. Este suficient să le înmulțim. Ar trebui să obțineți un termen gratuit, de exemplu. în cazul nostru -2. Atenție, nu 2, ci -2! membru liber cu semnul tău . Dacă nu a funcționat, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați o eroare.

Dacă a funcționat, trebuie să îndoiți rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Ar trebui să fie un raport b cu opus semn. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui x, este egal cu -1. Deci, totul este în regulă!
Este păcat că este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Tot mai putine greseli voi.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitorul comun așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări de identitate”. Când lucrați cu fracții, erori, din anumite motive, urcați...

Apropo, am promis un exemplu rău, cu o grămadă de minusuri de simplificat. Cu plăcere! Iată-l.

Pentru a nu ne confunda în minusuri, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! A decide este distractiv!

Deci, să recapitulăm subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătratul este curat, coeficientul de la acesta egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată prin teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum poți decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Se potrivește totul? Amenda! Ecuațiile cuadratice nu sunt ale tale durere de cap. Primele trei s-au dovedit, dar restul nu? Atunci problema nu este în ecuații pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci vă va ajuta Secțiunea 555. Acolo, toate aceste exemple sunt sortate după oase. Se arată principal erori de solutie. Desigur, se vorbește și despre utilizare transformări identiceîn rezolvarea diverselor ecuaţii. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

”, adică ecuații de gradul I. În această lecție, vom explora ce este o ecuație pătratică si cum se rezolva.

Ce este o ecuație pătratică

Important!

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă gradul maxim în care se află necunoscutul este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! Forma generală a ecuației pătratice arată astfel:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” și „c” - numere date.

• "a" - primul sau coeficientul superior;
• "b" - al doilea coeficient;
• „c” este un membru gratuit.

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” Trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ecuația	Cote
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cum se rezolvă ecuații pătratice

Spre deosebire de ecuatii lineare pentru a rezolva ecuații pătratice, o specială formula pentru găsirea rădăcinilor.

Tine minte!

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

• aduce ecuația pătratică la vedere generala„ax 2 + bx + c = 0”. Adică doar „0” ar trebui să rămână pe partea dreaptă;
• utilizați formula pentru rădăcini:

Să folosim un exemplu pentru a ne da seama cum să aplicăm formula pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm ecuația pătratică.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ecuația „x 2 - 3x - 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să definim coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Cu ajutorul lui, orice ecuație pătratică este rezolvată.

În formula „x 1; 2 \u003d” expresia rădăcină este adesea înlocuită
„b 2 − 4ac” la litera „D” și numit discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.

Luați în considerare un alt exemplu de ecuație pătratică.

x 2 + 9 + x = 7x

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să aducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Răspuns: x = 3

Există momente când nu există rădăcini în ecuațiile pătratice. Această situație apare atunci când un număr negativ apare în formulă sub rădăcină.