Sequenze numeriche e modi per impostarle. Compito per il lavoro pratico "Specificare sequenze numeriche in vari modi, calcolare i membri di una sequenza

In questa lezione inizieremo lo studio delle progressioni. Qui faremo conoscenza con la sequenza numerica e come impostarla.

Innanzitutto, ricordiamo la definizione e le proprietà delle funzioni di argomenti numerici e consideriamo un caso speciale di una funzione quando x appartiene all'insieme numeri naturali. Diamo una definizione di sequenza numerica e diamo alcuni esempi. Mostreremo un modo analitico per specificare una sequenza attraverso la formula del suo n-esimo membro e prenderemo in considerazione diversi esempi per specificare e determinare una sequenza. Quindi, considera l'assegnazione verbale e ricorrente di una sequenza.

Tema: Progressioni

Lezione: Sequenza numerica e come impostarlo

1. Ripetizione

Sequenza numerica, come vedremo, questo è un caso speciale di una funzione, quindi ricordiamo la definizione della funzione.

Una funzione è una legge in base alla quale a ogni valore valido di un argomento viene assegnato un valore univoco della funzione.

Ecco alcuni esempi di funzioni note.

Riso. 1. Grafico di una funzione

Tutti i valori sono ammessi tranne 0. Il grafico di questa funzione è un'iperbole (vedi Fig.1).

2.. Tutti i valori sono ammessi, .

Riso. 2. Grafico delle funzioni

Programma funzione quadratica- parabola, sono segnati anche i punti caratteristici (vedi Fig. 2).

3..

Riso. 3. Grafico di una funzione

Tutti i valori x sono consentiti. Il grafico di una funzione lineare è una retta (vedi Fig. 3).

2. Definizione di una sequenza numerica

Se x prende solo valori naturali(), allora abbiamo un caso speciale, ovvero una sequenza numerica.

Ricordiamo che i numeri naturali sono 1, 2, 3, …, n, …

La funzione , dove , è chiamata funzione di un argomento naturale o di una sequenza numerica ed è indicata come segue: o , o .

Spieghiamo cosa significa, ad esempio, la notazione.

Questo è il valore della funzione quando n=1, cioè .

Questo è il valore della funzione quando n=2 cioè ecc...

Questo è il valore della funzione quando l'argomento è n, cioè .

3. Sequenze campione

1. è la formula del termine generale. Impostiamo diversi valori di n, otteniamo diversi valori di y - membri della sequenza.

Quando n=1; , quando n=2, ecc., .

I numeri sono membri di una determinata sequenza e punti giacciono sull'iperbole - il grafico della funzione (vedi Fig. 4).

Riso. 4. Grafico delle funzioni

Se n=1, allora ; se n=2, allora ; se n=3, allora ecc.

I numeri sono membri di una data sequenza e i punti giacciono su una parabola, il grafico di una funzione (vedi Fig. 5).

Riso. 5. Grafico delle funzioni

Riso. 6. Grafico delle funzioni

Se n=1, allora ; se n=2 allora ; se n=3 allora eccetera.

Numeri sono membri di una data sequenza e i punti giacciono su una linea retta - il grafico della funzione (vedi Fig. 6).

4. Metodo analitico per specificare la sequenza

Esistono tre modi per specificare le sequenze: analitica, verbale e ricorrente. Consideriamo ciascuno di essi in dettaglio.

La successione è data analiticamente se è data la formula del suo ennesimo termine.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

1. Trova diversi membri della sequenza, che è data dalla formula dell'n-esimo membro: (un modo analitico per specificare la sequenza).

Decisione. Se n=1, allora ; se n=2, allora ; se n=3 allora eccetera.

Per una data sequenza, troviamo e .

.

.

2. Si consideri la sequenza data dalla formula dell'ennesimo membro: (modo analitico di specificare la sequenza).

Troviamo diversi membri di questa sequenza.

Se n=1, allora ; se n=2 allora ; se n=3 allora eccetera.

In generale, non è difficile capire che i membri di questa sequenza sono quei numeri che, divisi per 4, danno resto di 1.

un. Per una data sequenza, trova .

Decisione: . Risposta: .

b. Vengono dati due numeri: 821, 1282. Questi numeri sono membri della sequenza data?

Affinché il numero 821 sia un membro della sequenza, è necessario che l'uguaglianza: o . L'ultima uguaglianza è un'equazione per n. Se la decisione data equazioneè un numero naturale, la risposta è sì.

In questo caso, lo è. .

Risposta: sì, 821 è un membro della sequenza data, .

Passiamo al secondo numero. Un ragionamento simile ci porta alla soluzione dell'equazione: .

Risposta: poiché n non è un numero naturale, il numero 1282 non è un membro della sequenza data.

Le formule che definiscono analiticamente una sequenza possono essere molto diverse: semplici, complesse, ecc. Il requisito per esse è lo stesso: ogni valore di n deve corrispondere a un unico numero.

3. Dato: la successione è data dalla seguente formula.

Trova i primi tre membri della sequenza.

, , .

Risposta: , , .

4. I numeri sono membri della sequenza?

un. , cioè. . Risolvendo questa equazione, lo otteniamo. Questo è un numero naturale.

Risposta: il primo numero dato è un membro di questa sequenza, cioè il suo quinto membro.

b. , cioè. . Risolvendo questa equazione, lo otteniamo. Questo è un numero naturale.

Risposta: anche il secondo numero dato è un membro di questa sequenza, cioè il suo novantanovesimo membro.

5. Modo verbale di impostare la sequenza

Abbiamo considerato un modo analitico per specificare una sequenza numerica. È conveniente, comune, ma non l'unico.

Il modo successivo è l'assegnazione verbale della sequenza.

La sequenza, ciascuno dei suoi membri, la possibilità di calcolare ciascuno dei suoi membri possono essere specificati a parole, non necessariamente formule.

Esempio 1 Una sequenza di numeri primi.

Ricordiamo che un numero primo è un numero naturale che ha esattamente due distinti divisori: 1 e il numero stesso. I numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ecc.

Ce ne sono innumerevoli. Euclide ha anche dimostrato che la sequenza di questi numeri è infinita, cioè non esiste un numero primo più grande. La sequenza è data, ogni termine può essere calcolato, noioso, ma può essere calcolato. Questa sequenza è data verbalmente. Purtroppo le formule non sono disponibili.

Esempio 2 Considera il numero =1.41421…

Questo è numero irrazionale, la sua notazione decimale prevede un numero infinito di cifre. Consideriamo una sequenza di approssimazioni decimali di un numero per deficienza: 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; eccetera.

Ci sono un numero infinito di membri di questa sequenza, ognuno di essi può essere calcolato. È impossibile impostare questa sequenza con una formula, quindi la descriviamo verbalmente.

6. Modo ricorsivo per specificare una sequenza

Abbiamo considerato due modi per specificare una sequenza numerica:

1. Metodo analitico, quando è data la formula dell'ennesimo membro.

2. Assegnazione verbale della sequenza.

E, infine, c'è un sequenziamento ricorrente, quando si danno le regole per calcolare l'ennesimo termine dai termini precedenti.

Tenere conto

Esempio 1 Sequenza di Fibonacci (XIII secolo).

Riferimento storico:

Leonardo di Pisa (1170 circa, Pisa - 1250 circa) - il primo grande matematico Europa medievale. È meglio conosciuto con il soprannome di Fibonacci.

Molto di ciò che apprese lo espose nel suo eccezionale Libro dell'abaco (Liber abaci, 1202; solo il manoscritto integrato del 1228 è sopravvissuto fino ad oggi). Questo libro contiene quasi tutte le informazioni aritmetiche e algebriche dell'epoca, presentate con eccezionale completezza e profondità. Il "Libro dell'abaco" si eleva nettamente al di sopra della letteratura aritmetica e algebrica europea del XII-XIV secolo. la varietà e la forza dei metodi, la ricchezza dei compiti, l'evidenza della presentazione. I matematici successivi ne trassero ampiamente sia problemi che metodi per risolverli. Secondo il primo libro, molte generazioni di matematici europei hanno studiato il sistema numerico posizionale indiano.

Si danno i primi due termini e ogni termine successivo è la somma dei due precedenti

uno; uno; 2; 3; 5; otto; tredici; 21; 34; 55; ... sono i primi membri della sequenza di Fibonacci.

Questa sequenza è data ricorsivamente, ennesimo membro dipende dai due precedenti.

Esempio 2

In questa sequenza, ogni termine successivo è maggiore di 2 del precedente. Tale sequenza è chiamata progressione aritmetica.

I numeri 1, 3, 5, 7... sono i primi membri di questa sequenza.

Diamo un altro esempio di assegnazione ricorrente di una sequenza.

Esempio 3

La sequenza è data come segue:

Ogni termine successivo di questa successione si ottiene moltiplicando il termine precedente per lo stesso numero q. Tale sequenza ha un nome speciale: una progressione geometrica. Le progressioni aritmetiche e geometriche saranno oggetto del nostro studio nelle prossime lezioni.

Troviamo alcuni membri della sequenza specificata in b=2 e q=3.

Numeri 2; 6; diciotto; 54; 162 ... sono i primi membri di questa sequenza.

È interessante notare che questa sequenza può anche essere specificata analiticamente, ovvero puoi scegliere una formula. In questo caso, la formula sarà la seguente.

Infatti: se n=1, allora ; se n=2, allora ; se n=3 allora eccetera.

Pertanto, affermiamo che la stessa sequenza può essere data sia analiticamente che ricorrentemente.

7. Riepilogo della lezione

Quindi, abbiamo considerato cos'è una sequenza numerica e come impostarla.

Nella prossima lezione conosceremo le proprietà delle sequenze numeriche.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra grado 9 (libro di testo per la scuola secondaria).-M.: Istruzione, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra per Grade 9 con approfondimento. studio matematica.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Capitoli aggiuntivi al libro di testo scolastico di algebra grado 9.-M .: Istruzione, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Raccolta di problemi in algebra per 8-9 classi ( tutorial per studenti di scuole e classi con approfondimento. studio matematica).-M.: Istruzione, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra grado 9, libro di testo per istituti di istruzione generale. - M.: Mnemosine, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra grado 9, libro di problemi per le istituzioni educative. - M.: Mnemosine, 2002.

7. Glazer G. I. Storia della matematica a scuola. Classi 7-8 (una guida per insegnanti).-M.: Illuminismo, 1983.

1. Sezione collegio. ru in matematica.

2. Portale di Scienze Naturali.

3. Esponenziale. ru Sito matematico educativo.

1. N. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra Grado 9).

2. No. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Raccolta di problemi in algebra per i gradi 8-9).

Algebra. Grado 9
Lezione #32
L'appuntamento:_____________
Insegnante: Gorbenko Alena Sergeevna
Argomento: Sequenza numerica, modi per impostarla e proprietà
Tipo di lezione: combinata
Lo scopo della lezione: dare il concetto e la definizione di una sequenza numerica, considerare dei modi
assegnazioni di sequenze numeriche
Compiti:
Educativo: per familiarizzare gli studenti con il concetto di sequenza numerica e membro
sequenza numerica; familiarizzare con analitico, verbale, ricorrente e
modi grafici per impostare una sequenza numerica; considera i tipi di numeri
sequenze; preparazione per l'EAEA;
Sviluppo: sviluppo dell'alfabetizzazione matematica, del pensiero, delle tecniche di calcolo, delle abilità
confronti nella scelta di una formula; instillare un interesse per la matematica;
Educativo: educazione di abilità di attività indipendente; chiarezza e
organizzazione nel lavoro; consentire a ogni studente di avere successo;
Attrezzatura: materiale scolastico, lavagna, gesso, libro di testo, dispense.
Durante le lezioni
IO. Organizzare il tempo
 Saluto reciproco;
 Fissare assenze;
 Annuncio dell'argomento della lezione;
 Stabilire obiettivi e obiettivi della lezione da parte degli studenti.
La sequenza è uno dei concetti più basilari della matematica. La sequenza può
essere composto da numeri, punti, funzioni, vettori, ecc.
Oggi nella lezione faremo conoscenza con il concetto di "sequenza numerica", scopriremo cosa
potrebbero esserci delle sequenze, facciamo conoscenza con le famose sequenze.

II. Aggiornamento delle conoscenze di base.
Conosci le funzioni definite sull'intera linea dei numeri o sul suo continuo
III.
intervalli:
funzione lineare y \u003d kx + v,
funzione quadratica y \u003d ax2 + inx + c,


 funzione y =



 funzione y = |x|.
Preparazione alla percezione di nuove conoscenze
proporzionalità diretta y \u003d kx,
proporzionalità inversa y \u003d k / x,
funzione cubica y = x3,
,
Ma ci sono funzioni definite su altri set.
Esempio. Molte famiglie hanno un'usanza, una specie di rito: il compleanno di un bambino
i genitori lo portano a telaio della porta e celebrare solennemente la crescita dell'uomo del compleanno su di esso.
Il bambino cresce e, nel corso degli anni, sullo stipite appare un'intera scala di segni. Tre, cinque, due: ecco
sequenza di crescita di anno in anno. Ma c'è un'altra sequenza, vale a dire
i suoi membri sono scritti accuratamente accanto ai serif. Questa è una sequenza di valori di crescita.
Le due sequenze sono correlate tra loro.
Il secondo si ottiene dal primo per addizione.
La crescita è la somma dei guadagni di tutti gli anni precedenti.
Considera qualche altro problema.
Compito 1. Ci sono 500 tonnellate di carbone nel magazzino, 30 tonnellate vengono consegnate ogni giorno Quanto carbone sarà
disponibile in 1 giorno? 2 giorni? 3 giorni? Giorno 4? Giorno 5?
(Le risposte degli studenti sono scritte alla lavagna: 500, 530, 560, 590, 620).
Compito 2. Durante il periodo di crescita intensiva, una persona cresce in media di 5 cm all'anno. Ora la crescita
lo studente S. è alto 180 cm, quanto sarà alto nel 2026? (2m 30 cm). Ma questo non deve essere
può essere. Come mai?
Compito 3. Ogni giorno, ogni persona con l'influenza può infettarne altre 4.
In quanti giorni si ammaleranno tutti gli studenti della nostra scuola (300 persone)? (Dopo 4 giorni).
Questi sono esempi di funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali - numerici
sequenze.
L'obiettivo della lezione è: trovare modi per trovare qualsiasi membro della sequenza.
Obiettivi della lezione: Scopri cos'è una sequenza numerica e come
sequenze.
IV. Imparare nuovo materiale
Definizione: una sequenza numerica è una funzione definita su un insieme
numeri naturali (le sequenze costituiscono tali elementi della natura che
può essere numerato).
Il concetto di sequenza numerica sorse e si sviluppò molto prima della creazione della dottrina di
funzioni. Ecco alcuni esempi di sequenze di numeri infiniti già note
antichità:
1, 2, 3, 4, 5, : sequenza di numeri naturali;
2, 4, 6, 8, 10, : sequenza di numeri pari;
1, 3, 5, 7, 9, : sequenza di numeri dispari;
1, 4, 9, 16, 25, : sequenza di quadrati di numeri naturali;
2, 3, 5, 7, 11, : sequenza di numeri primi;
,
1,
Il numero dei membri di ciascuna di queste serie è infinito; prime cinque sequenze
, : sequenza di reciproci di numeri naturali.
,
monotonicamente crescente, quest'ultimo monotonicamente decrescente.

Designazione: y1, y2, y3, y4, y5:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:numero di sequenza del membro della sequenza.
(yn) sequenza, ynth membro della sequenza.
(an) sequenza, ennesimo membro della sequenza.
an1 è il membro precedente della sequenza,
an+1 membro successivo della sequenza.
Le sequenze sono finite e infinite, crescenti e decrescenti.
Compiti per gli studenti: Annota i primi 5 membri della sequenza:
Dal primo numero naturale aumentare di 3.
Da 10 aumentare di 2 volte e diminuire di 1.
Dal numero 6, alternare un aumento di 2 e un aumento di 2 volte.
Queste serie numeriche sono anche chiamate sequenze numeriche.
Metodi di sequenziamento:
modo verbale.
Le regole di sequenza sono descritte a parole, senza formule o
quando non ci sono regolarità tra gli elementi della sequenza.
Esempio 1. Una sequenza di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Esempio 2. Un insieme arbitrario di numeri: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Esempio 3. Sequenza di numeri pari 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
modo analitico.
Qualsiasi n-esimo elemento della sequenza può essere determinato utilizzando una formula.
Esempio 1. Sequenza di numeri pari: y = 2n.
Esempio 2. La sequenza del quadrato dei numeri naturali: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Esempio 3. Sequenza stazionaria: y = C; C, C, C, ..., C, ...
caso speciale: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Esempio 4. Sequenza y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
modo ricorsivo.
Viene specificata una regola che permette di calcolare l'ennesimo elemento della sequenza if
i suoi elementi precedenti sono noti.
Esempio 1. Progressione aritmetica: a1=a, an+1=an+d, dove a e d sono numeri dati, d
differenza di una progressione aritmetica. Sia a1=5, d=0.7, quindi la progressione aritmetica
sarà simile a: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .
Esempio 2. Progressione geometrica: b1= b, bn+1= bnq, dove b e q sono numeri, b
0,
0; q è il denominatore progressione geometrica. Sia b1=23, q=½, quindi la geometrica
q
la progressione sarà simile a: 23; 11.5; 5,75; 2.875; ... .
4) Modo grafico. Sequenza numerica
dato da un grafico che è
punti isolati. Le ascisse di questi punti sono naturali
numeri: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinati - valori dei membri
sequenze: a1; a2; a3; a4;…
Esempio: annotare tutti e cinque i membri di una sequenza numerica,
data in modo grafico.
Decisione.
Ogni punto in questo piano di coordinate ha
coordinate (n; an). Annotare le coordinate dei punti segnati
ascissa ascendente n.
Otteniamo: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Pertanto, a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Risposta: 3; uno; 4; 6; 7.
V. Consolidamento primario del materiale studiato
Esempio 1. Scrivi una possibile formula per l'ennesimo elemento della sequenza (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Decisione.
a) Questa è una sequenza numeri dispari. Analiticamente, questa sequenza può essere
impostato dalla formula y = 2n+1.
b) Questa è una sequenza numerica in cui l'elemento successivo è maggiore del precedente
per 4. Analiticamente, questa sequenza può essere data dalla formula y = 4n.
Esempio 2. Scrivi i primi dieci elementi di una sequenza data in modo ricorrente: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 se n = 3, 4, 5, 6, ... .
Decisione.
Ogni elemento successivo di questa sequenza è uguale alla somma dei due precedenti
elementi.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Riassumendo la lezione. Riflessione
1. Cosa sei riuscito a portare a termine?
2. Il lavoro è stato coordinato?
3. Cosa non ha funzionato, secondo te?

Una sequenza numerica è un caso speciale di una funzione numerica, quindi per le sequenze vengono considerate anche alcune proprietà delle funzioni.

1. Definizione . Sotto sequenza ( si n} si dice crescente se ciascuno dei suoi termini (tranne il primo) è maggiore del precedente:

y 1 < y 2 < y 3 < … < si n < si n+1 < ….

2. Definizione.Sequenza ( si n} si dice decrescente se ciascuno dei suoi termini (tranne il primo) è minore del precedente:

y 1 > y 2 > y 3 > … > si n> si n+1 > … .

3. Le sequenze crescenti e decrescenti sono unite da un termine comune: le sequenze monotone.

Per esempio: y 1 = 1; si n= n 2... è una sequenza crescente. y 1 = 1; è una sequenza discendente. y 1 = 1; – questa sequenza non è non crescente non decrescente.

4. Definizione. Una successione si dice periodica se esiste un numero naturale T tale che, a partire da qualche n, vale l'uguaglianza yn = yn+T. Il numero T è chiamato lunghezza del periodo.

5. Una sequenza si dice delimitata dal basso se tutti i suoi membri sono almeno un numero.

6. Una successione si dice limitata dall'alto se tutti i suoi membri sono al massimo un certo numero.

7. Una successione si dice limitata se è delimitata sia sopra che sotto, cioè esiste un numero positivo tale che tutti i termini della sequenza data non superano questo numero in valore assoluto. (Ma essere limitato su entrambi i lati non significa necessariamente che sia finito.)

8. Una sequenza può avere un solo limite.

9. Qualsiasi sequenza non decrescente delimitata sopra ha un limite (lim).

10. Qualsiasi sequenza non crescente delimitata al di sotto ha un limite.

Il limite della sequenza è un punto (numero) in prossimità del quale si trova la maggior parte dei membri della sequenza, si avvicinano da vicino a questo limite, ma non lo raggiungono.

Geometrico e progressione aritmetica sono casi speciali della sequenza.

Metodi di sequenziamento:

Le sequenze possono essere impostate diversi modi, di cui tre sono particolarmente importanti: analitica, descrittiva e ricorrente.

1. La successione è data analiticamente se è data la formula del suo ennesimo membro:

Esempio. yn \u003d 2n - 1 - una sequenza di numeri dispari: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Un modo descrittivo per impostare una sequenza numerica è che spiega da quali elementi è costruita la sequenza.

Esempio 1. "Tutti i membri della sequenza sono uguali a 1." Significa, noi stiamo parlando sulla sequenza stazionaria 1, 1, 1, …, 1, ….

Esempio 2. "La sequenza consiste di tutti i numeri primi in ordine crescente." Pertanto, è data la sequenza 2, 3, 5, 7, 11, …. Con questo metodo per specificare la sequenza in questo esempioè difficile rispondere a cosa, diciamo, è uguale al 1000° elemento della sequenza.

3. Un modo ricorrente per specificare una sequenza è che venga indicata una regola che consente di calcolare l'ennesimo membro della sequenza se sono noti i suoi membri precedenti. Il nome metodo ricorsivo deriva da Parola latina ricorrere - tornare. Molto spesso, in questi casi, viene indicata una formula che consente di esprimere l'ennesimo membro della sequenza in termini di quelli precedenti e vengono specificati 1–2 membri iniziali della sequenza.

Esempio 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4 se n = 2, 3, 4,….

Qui y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Si può notare che la sequenza ottenuta in questo esempio può essere specificata anche analiticamente: yn = 4n – 1.

Esempio 2 y 1 = 1; y 2 = 1; si n = si n–2 + si n-1 se n = 3, 4,….

Qui: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

La sequenza composta in questo esempio è particolarmente studiata in matematica, poiché ha una serie proprietà interessanti e applicazioni. Si chiama sequenza di Fibonacci - dal matematico italiano del XIII secolo. Definire la sequenza di Fibonacci in modo ricorsivo è molto facile, ma analiticamente è molto difficile. n Il esimo numero di Fibonacci è espresso in termini di numero ordinale dalla formula seguente.

A prima vista, la formula per n Il numero di Fibonacci sembra poco plausibile, poiché contiene la formula che specifica la sequenza dei numeri naturali da sola radici quadrate, ma puoi verificare "manualmente" la validità di questa formula per i primi n.

Storia di Fibonacci:

Fibonacci (Leonardo di Pisa), c. 1175–1250

matematico italiano. Nato a Pisa, divenne il primo grande matematico d'Europa nel tardo medioevo. Fu condotto alla matematica dalla necessità pratica di stabilire contatti commerciali. Ha pubblicato i suoi libri di aritmetica, algebra e altre discipline matematiche. Dai matematici musulmani apprese del sistema dei numeri inventato in India e già adottato nel mondo arabo, ed era convinto della sua superiorità (questi numeri erano i precursori dei moderni numeri arabi).

Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, fu il primo dei grandi matematici europei del tardo medioevo. Nato a Pisa da una ricca famiglia di mercanti, entrò in matematica per un'esigenza puramente pratica di stabilire contatti d'affari. In gioventù Leonardo viaggiò molto, accompagnando il padre nei viaggi di lavoro. Ad esempio, sappiamo del suo lungo soggiorno a Bisanzio e in Sicilia. Durante tali viaggi, ha interagito molto con gli scienziati locali.

La sequenza numerica che oggi porta il suo nome è nata dal problema con i conigli che Fibonacci ha delineato nel suo Liber abacci, scritto nel 1202:

Un uomo mise una coppia di conigli in un recinto, circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli può partorire questa coppia in un anno, se si sa che ogni mese, a partire dal secondo, ogni coppia di conigli produce una coppia?

Puoi assicurarti che il numero di coppie in ciascuno dei prossimi dodici mesi dei mesi sarà rispettivamente 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

In altre parole, il numero di coppie di conigli crea una serie, in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. È conosciuta come la serie di Fibonacci e i numeri stessi sono i numeri di Fibonacci. Si scopre che questa sequenza ha molte proprietà matematicamente interessanti. Ecco un esempio: puoi dividere una linea in due segmenti in modo che il rapporto tra il segmento più grande e quello più piccolo sia proporzionale al rapporto tra l'intera linea e il segmento più grande. Questo fattore di proporzionalità, approssimativamente pari a 1.618, è noto come rapporto aureo. Nel Rinascimento si credeva che questa proporzione, osservata nelle strutture architettoniche, fosse molto gradevole alla vista. Se prendi coppie consecutive dalla serie di Fibonacci e dividi di più da ogni paio a uno più piccolo, il tuo risultato si avvicinerà gradualmente al rapporto aureo.

Da quando Fibonacci ha scoperto la sua sequenza, sono stati trovati anche fenomeni naturali in cui questa sequenza sembra svolgere un ruolo importante. Uno di questi è la fillotassi (disposizione delle foglie) - la regola secondo la quale, ad esempio, i semi si trovano in un'infiorescenza di girasole. I semi di girasole sono disposti in due spirali. I numeri che indicano il numero di semi in ciascuna delle spirali sono membri di una sorprendente sequenza matematica. I semi sono disposti in due file di spirali, una delle quali va in senso orario, l'altra contro. E qual è il numero di semi in ciascun caso? 34 e 55.

Compito n. 1:

Scrivi i primi cinque termini della sequenza.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

e n \u003d 2 n + 1/2 n

Compito numero 2:

Scrivi la formula per il termine comune di una successione di numeri naturali multipli di 3.

Risposta: 0,3,6,9,12,15,.... 3n e n = 3n

Compito numero 3:

Scrivi la formula per il termine comune di una successione di numeri naturali che, divisi per 4, hanno resto di 1.

Risposta: 5,9,13,17,21 ....... 4 n +1 e n = 4n+1

n. 19. Funzione.

La funzione (visualizzazione, operatore, trasformazione) è un concetto matematico che riflette la relazione tra gli elementi degli insiemi. Possiamo dire che una funzione è una "legge" secondo la quale ad ogni elemento di un insieme (detto dominio di definizione) è assegnato un elemento di un altro insieme (detto dominio dei valori).

Una funzione è una dipendenza di uno variabile da un'altro. In altre parole, il rapporto tra quantità.

Il concetto matematico di una funzione esprime un'idea intuitiva di come una quantità determini completamente il valore di un'altra quantità. Quindi il valore della variabile x determina in modo univoco il valore dell'espressione e il valore del mese determina in modo univoco il valore del mese successivo e qualsiasi persona può essere paragonata a un'altra persona: suo padre. Allo stesso modo, qualche algoritmo preconcetto, dati dati di input variabili, produce determinati dati di output.

Spesso il termine "funzione" si riferisce a una funzione numerica; cioè una funzione che mette alcuni numeri in corrispondenza con altri. Queste funzioni sono convenientemente rappresentate nelle figure sotto forma di grafici.

Si può dare un'altra definizione. Una funzione è uno specifico azione su una variabile.

Ciò significa che prendiamo il valore , eseguiamo alcune azioni con esso (ad esempio, lo quadramo o calcoliamo il suo logaritmo) - e otteniamo il valore .

Diamo un'altra definizione di funzione, quella che si trova più spesso nei libri di testo.

Una funzione è una corrispondenza tra due insiemi, con ogni elemento del primo insieme corrispondente a uno e solo un elemento del secondo insieme.

Ad esempio, una funzione per ciascuno numero reale corrisponde a un numero due volte più grande di .

L'insieme degli elementi di qualche F. sostituito da x è chiamato dominio di definizione, e l'insieme degli elementi y di qualche F. è detto intervallo di valori.

Cronologia dei termini:

Il termine "funzione" (in un senso un po' più ristretto) fu usato per la prima volta da Leibniz (1692). A sua volta Johann Bernoulli, in una lettera allo stesso Leibniz, utilizzò questo termine in un senso più vicino a quello moderno. Inizialmente, il concetto di funzione era indistinguibile dal concetto di rappresentazione analitica. Successivamente apparve la definizione della funzione data da Eulero (1751), poi - da Lacroix (1806) - quasi in forma moderna. Infine, la definizione generale di una funzione (in forma moderna, ma per le funzioni numeriche) è stata data da Lobachevsky (1834) e Dirichlet (1837). A fine XIX secolo, il concetto di funzione ha superato la struttura dei sistemi numerici. Le funzioni vettoriali furono le prime a farlo, Frege introdusse presto le funzioni logiche (1879) e dopo l'avvento della teoria degli insiemi, Dedekind (1887) e Peano (1911) formularono la moderna definizione universale.

n. 20. Modi per impostare una funzione.

Esistono 4 modi per definire una funzione:

1. tabulare Abbastanza comune, è apparecchiare una tavola individuale

valori degli argomenti e i valori delle funzioni corrispondenti. Questo metodo per definire una funzione viene utilizzato quando il dominio della funzione è un insieme finito discreto.

È conveniente quando f è un insieme finito, ma quando f è infinito, vengono indicate solo le coppie selezionate (x, y).

Con il metodo tabulare di definizione di una funzione è possibile calcolare approssimativamente i valori della funzione che non sono contenuti nella tabella, corrispondenti ai valori intermedi dell'argomento. Per fare ciò, utilizzare il metodo di interpolazione.

Vantaggi: precisione, velocità, facile da trovare nella tabella dei valori valore desiderato funzioni. I vantaggi del modo tabulare di specificare una funzione sono che consente di determinare determinati valori contemporaneamente, senza misurazioni o calcoli aggiuntivi.

svantaggi: incompletezza, mancanza di chiarezza. In alcuni casi, la tabella non definisce completamente la funzione, ma solo per alcuni valori dell'argomento e non fornisce una rappresentazione visiva della natura della modifica nella funzione a seconda della modifica nell'argomento.

2. analitico(formule). Molto spesso, una legge che stabilisce una connessione tra

argomento e funzione, viene specificato tramite formule. Questo modo di definire una funzione è chiamato analitico. È il più importante per MA (analisi matematica), poiché i metodi di MA (calcolo differenziale, integrale) suggeriscono questo modo di impostare. La stessa funzione può essere data da diverse formule: y=∣peccato( X)∣y=√1−cos2( X) A volte dentro varie parti dei suoi domini, la funzione definita può essere data da varie formule f(X)={f 1(X),X∈D 1 fn(X),X∈dn ∪nk=1Dk=D(f). Spesso, con questo metodo di definizione di una funzione, non viene indicato l'ambito di definizione, quindi si intende il dominio di definizione area naturale definizioni, cioè l'insieme di tutti i valori x per i quali la funzione assume un valore reale.

Questo metodo consente a ciascun valore numerico dell'argomento x di trovare il valore numerico corrispondente della funzione y esattamente o con una certa precisione.

Un caso speciale del modo analitico di definire una funzione è definire una funzione mediante un'equazione della forma F(x,y)=0 (1) Se questa equazione ha la proprietà che ∀ X∈D è solo abbinato y, tale che F(X,y)=0, allora diciamo che l'equazione (1) su D definisce implicitamente una funzione. Un altro caso particolare di definizione di una funzione è parametrico, con ogni coppia ( X,y)∈f impostare utilizzando una coppia di funzioni X=ϕ( t),y=ψ( t) dove t∈M.

Viene data la definizione di una sequenza numerica. Vengono considerati esempi di sequenze infinitamente crescenti, convergenti e divergenti. Viene considerata una sequenza contenente tutti i numeri razionali.

Definizione.
Sequenza numerica ( x n ) detta legge (regola), secondo la quale, per ogni numero naturale n = 1, 2, 3, . . . viene assegnato un numero x n.
Viene chiamato l'elemento x n ennesimo membro o un elemento di una sequenza.

La sequenza è indicata come l'ennesimo membro racchiuso tra parentesi graffe: . Possibile anche la seguente notazione: . Affermano esplicitamente che l'indice n appartiene all'insieme dei numeri naturali e che la sequenza stessa ha un numero infinito di membri. Ecco alcuni esempi di sequenze:
, , .

In altre parole, una sequenza numerica è una funzione il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali. Il numero di elementi nella sequenza è infinito. Tra gli elementi, potrebbero esserci anche membri che hanno stessi valori. Inoltre, la sequenza può essere considerata come un insieme numerato di numeri, costituito da un numero infinito di membri.

Saremo principalmente interessati alla domanda - come si comportano le sequenze quando n tende all'infinito: . Questo materiale è presentato nella sezione Limite di sequenza - Teoremi di base e proprietà. E qui vedremo alcuni esempi di sequenze.

Esempi di sequenza

Esempi di successioni infinitamente crescenti

Consideriamo una sequenza. Il termine generale di questa sequenza è . Scriviamo i primi termini:
.
Si può vedere che all'aumentare del numero n, gli elementi aumentano indefinitamente verso valori positivi. Possiamo dire che questa sequenza tende a: a.

Consideriamo ora una successione con un termine comune. Ecco alcuni dei suoi primi membri:
.
All'aumentare del numero n, gli elementi di questa sequenza aumentano in valore assoluto indefinitamente, ma non hanno un segno costante. Cioè, questa sequenza tende a: a .

Esempi di successioni convergenti ad un numero finito

Consideriamo una sequenza. Il suo membro comune I primi termini sono i seguenti:
.
Si può vedere che all'aumentare del numero n, gli elementi di questa sequenza si avvicinano al loro valore limite a = 0 : A . Quindi ogni termine successivo è più vicino a zero del precedente. In un certo senso, possiamo supporre che esista un valore approssimativo per il numero a = 0 con un errore. È chiaro che al crescere di n questo errore tende a zero, cioè scegliendo n l'errore può essere arbitrariamente piccolo. Inoltre, per ogni dato errore ε > 0 è possibile specificare un numero N tale che per tutti gli elementi con numeri maggiori di N:, lo scostamento del numero dal valore limite a non superi l'errore ε:.

Quindi, considera la sequenza. Il suo membro comune Ecco alcuni dei suoi primi membri:
.
In questa sequenza, i termini pari sono zero. I membri con n dispari sono . Pertanto, all'aumentare di n, i loro valori si avvicinano al valore limite a = 0 . Ciò deriva anche dal fatto che
.
Come nell'esempio precedente, possiamo specificare un errore ε arbitrariamente piccolo > 0 , per cui è possibile trovare un numero N tale che gli elementi con numeri maggiori di N si discostino dal valore limite a = 0 di un valore non superiore all'errore specificato. Pertanto, questa sequenza converge al valore a = 0 : A .

Esempi di sequenze divergenti

Consideriamo una sequenza con il seguente termine comune:

Ecco i suoi primi membri:


.
Si può notare che i termini con numeri pari:
,
convergere al valore a 1 = 0 . Membri con numero dispari:
,
convergere al valore a 2 = 2 . La sequenza stessa, al crescere di n, non converge ad alcun valore.

Sequenza con termini distribuiti nell'intervallo (0;1)

Consideriamo ora una sequenza più interessante. Prendi un segmento sulla linea dei numeri. Dividiamolo a metà. Otteniamo due segmenti. Lascia stare
.
Ciascuno dei segmenti è nuovamente diviso a metà. Otteniamo quattro segmenti. Lascia stare
.
Dividi nuovamente ogni segmento a metà. Prendiamo


.
Eccetera.

Di conseguenza, otteniamo una sequenza i cui elementi sono distribuiti in un intervallo aperto (0; 1) . Qualunque punto prendiamo dall'intervallo chiuso , possiamo sempre trovare membri della sequenza che sono arbitrariamente vicini a questo punto, o coincidono con esso.

Quindi dalla sequenza originale si può individuare una sottosequenza che convergerà in un punto arbitrario dell'intervallo . Cioè, man mano che il numero n cresce, i membri della sottosequenza si avvicineranno sempre più al punto preselezionato.

Ad esempio, per il punto a = 0 puoi scegliere la seguente sottosequenza:
.
= 0 .

Per il punto a = 1 scegli la seguente sottosequenza:
.
I membri di questa sottosequenza convergono al valore a = 1 .

Poiché ci sono sottosequenze che convergono a significati diversi, allora la sequenza originale stessa non converge a nessun numero.

Sequenza contenente tutti i numeri razionali

Ora costruiamo una sequenza che contiene tutti i numeri razionali. Inoltre, ogni numero razionale sarà incluso in tale sequenza un numero infinito di volte.

Il numero razionale r può essere rappresentato come segue:
,
dove è un numero intero; - naturale.
Dobbiamo assegnare a ciascun numero naturale n una coppia di numeri p e q in modo che qualsiasi coppia di p e q sia inclusa nella nostra sequenza.

Per fare ciò, disegna gli assi p e q sul piano. Disegniamo linee della griglia attraverso valori interi p e q . Quindi ogni nodo di questa griglia con corrisponderà a numero razionale. L'intero insieme dei numeri razionali sarà rappresentato da un insieme di nodi. Dobbiamo trovare un modo per numerare tutti i nodi in modo da non perdere un solo nodo. Questo è facile se numeriamo i nodi in base ai quadrati i cui centri si trovano nel punto (0; 0) (Guarda l'immagine). In questo caso, le parti inferiori dei quadrati con q < 1 non abbiamo bisogno. Pertanto, non sono mostrati nella figura.

Quindi, per il lato superiore del primo quadrato abbiamo:
.
Inoltre contiamo parte superiore piazza successiva:

.
Numeriamo la parte superiore del quadrato successivo:

.
Eccetera.

In questo modo otteniamo una sequenza contenente tutti i numeri razionali. Si può vedere che qualsiasi numero razionale compare in questa sequenza un numero infinito di volte. Infatti, insieme al nodo , questa sequenza includerà anche nodi , dove è un numero naturale. Ma tutti questi nodi corrispondono allo stesso numero razionale.

Quindi dalla sequenza che abbiamo costruito, possiamo selezionare una sottosuccessione (avente un numero infinito di elementi), i cui elementi sono tutti uguali a un numero razionale predeterminato. Poiché la sequenza che abbiamo costruito ha sottosequenze convergenti a numeri diversi, allora la sequenza non converge a nessun numero.

Conclusione

Qui abbiamo dato una definizione precisa della sequenza numerica. Abbiamo anche toccato la questione della sua convergenza, sulla base di idee intuitive. L'esatta definizione di convergenza è discussa alla pagina Determinazione del limite di una sequenza. Proprietà e teoremi correlati sono descritti nella pagina

Lezione #32 Data ____________

Algebra

Classe: 9 "B"

Argomento: "Sequenza numerica e modi per impostarla".

Lo scopo della lezione: gli studenti dovrebbero sapere cos'è una sequenza numerica; modi per impostare una sequenza numerica; essere in grado di distinguere tra diversi modi di specificare le sequenze numeriche.

Materiali didattici: dispense, note di riferimento.

Mezzi tecnici apprendimento: presentazione sul tema "Sequenze numeriche".

Durante le lezioni.

1. Momento organizzativo.

2. Stabilire gli obiettivi della lezione.

Oggi nella lezione imparerete:

Cos'è una sequenza?

Che tipo di sequenze ci sono?

Come viene specificata la sequenza numerica?

Impara come scrivere una sequenza usando una formula e i suoi numerosi elementi.

Impara a trovare i membri di una sequenza.

3. Lavora sul materiale studiato.

3.1. Fase preparatoria.

Ragazzi, mettiamo alla prova le vostre abilità logiche. Nomino alcune parole e dovresti continuare:

-Lunedi martedì,…..

- Gennaio febbraio marzo…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (elenco delle classi);

–10,11,12,…99;

Dalle risposte dei ragazzi, si conclude che i compiti di cui sopra sono sequenze, cioè una sorta di serie ordinata di numeri o concetti, quando ogni numero o concetto è rigorosamente al suo posto, e se i membri vengono scambiati, la sequenza verrà violato (martedì, giovedì, lunedì è solo un elenco dei giorni della settimana). Quindi, l'argomento della lezione è una sequenza numerica.

3.1. Spiegazione del nuovo materiale. (Materiale dimostrativo)

Analizzando le risposte degli studenti, definire la sequenza numerica e mostrare come impostare le sequenze numeriche.

(Lavorare con il libro di testo pp. 66 - 67)

Definizione 1. La funzione y = f(x), xN è chiamata funzione di un argomento naturale o di una sequenza numerica e denotata: y = f(n) o y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... o (y n).

In questo caso, la variabile indipendente è un numero naturale.

Molto spesso, le sequenze saranno denotate come segue: ( un n), (b n), (insieme a n) eccetera.

Definizione 2. Membri della sequenza.

Gli elementi che formano una sequenza sono chiamati membri della sequenza.

Nuovi concetti: il membro precedente e successivo della sequenza,

un 1 …un P. (1° ed ennesimo membro della sequenza)

Metodi per impostare una sequenza numerica.

modo analitico.

Qualsiasi ennesimo elemento le sequenze possono essere determinate usando una formula. (demo)

Analizza esempi

Esempio 1 La sequenza di numeri pari: y = 2n.

Esempio 2 La successione del quadrato dei numeri naturali: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Esempio 3 Sequenza stazionaria: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Caso speciale: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Esempio 4. Sequenza y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

modo verbale.

Le regole per impostare la sequenza sono descritte a parole, senza specificare formule o quando non ci sono schemi tra gli elementi della sequenza.

Esempio 1. Approssimazioni numericheπ.

Esempio 2 Sequenza di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Esempio 3 Una sequenza di numeri divisibili per 5.

Esempio 2 Insieme casuale di numeri: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Esempio 3 La sequenza dei numeri pari 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

modo ricorsivo.

Il metodo ricorrente consiste nello specificare una regola che consente di calcolare l'ennesimo membro della sequenza se ne vengono specificati i primi membri (almeno un primo membro) e una formula che consente di calcolare il membro successivo dai membri precedenti. Termine ricorrente derivato dalla parola latina ricorrere , che significa ritorno . Quando calcoliamo i membri della sequenza secondo questa regola, torniamo sempre indietro, calcolando il membro successivo in base a quello precedente. Una caratteristica di questo metodo è che per determinare, ad esempio, il centesimo membro della sequenza, devi prima determinare tutti i 99 membri precedenti.

Esempio 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Sia a 1 =5, quindi la sequenza sarà simile a: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .

Esempio 2 b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Sia b 1 =23, allora la sequenza sarà simile a: 23; 11.5; 5,75; 2.875; ... .

Esempio 3 Sequenza di Fibonacci. Questa sequenza è facilmente definibile ricorsivamente: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 se n=3, 4, 5, 6, ... . Sembrerà:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P esimo termine di questa successione è uguale alla somma dei due termini precedenti)

È difficile definire analiticamente la sequenza di Fibonacci, ma è possibile. La formula con cui viene determinato qualsiasi elemento di questa sequenza è simile alla seguente:

Informazioni aggiuntive:

Il mercante italiano Leonardo da Pisa (1180-1240), meglio conosciuto con il soprannome di Fibonacci, fu un importante matematico medievale. Con l'aiuto di questa sequenza, Fibonacci ha determinato il numero φ (phi); φ=1.618033989.

Modo grafico

I membri di una sequenza possono essere rappresentati come punti sul piano delle coordinate. Per fare ciò, il numero viene tracciato lungo l'asse orizzontale e il valore del membro corrispondente della sequenza viene tracciato lungo l'asse verticale.

Per consolidare le modalità di assegnazione, vi chiedo di fornire alcuni esempi di sequenze che vengono specificate o verbalmente, o analiticamente, o in modo ricorrente.

Tipi di sequenze numeriche

(Sulle sequenze elencate di seguito, vengono elaborati i tipi di sequenze).

Lavorare con il libro di testo p.69-70

1) Crescente - se ogni termine è inferiore al successivo, cioè un n un n +1.

2) Decrescente - se ogni termine è maggiore del successivo, cioè un n un n +1 .

3) Infinito.

4) Ultimo.

5) Alternativo.

6) Costante (stazionario).

Una sequenza crescente o decrescente è chiamata monotona.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Lavora con il libro di testo: fallo oralmente n. 150, 159 pp. 71, 72

3.2. Consolidamento di nuovo materiale. Risoluzione dei problemi.

Per consolidare le conoscenze, vengono selezionati esempi in base al livello di preparazione degli studenti.

Esempio 1 Scrivi una possibile formula per l'ennesimo elemento della sequenza (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Decisione.

a) È una sequenza di numeri dispari. Analiticamente, questa sequenza può essere data dalla formula y = 2n+1.

b) Questa è una sequenza numerica in cui l'elemento successivo è maggiore del precedente di 4. Analiticamente, questa sequenza può essere specificata dalla formula y = 4n.

Esempio 2. Scrivi i primi dieci elementi della sequenza data in modo ricorrente: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 se n = 3, 4, 5, 6, ... .

Decisione.

Ogni elemento successivo di questa sequenza è uguale alla somma dei due elementi precedenti.

Esempio 3 La sequenza (y n) è data in modo ricorrente: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Specificare questa sequenza analiticamente.

Decisione.

Trova i primi elementi della sequenza.

y 3 =5a 2 -6a 1 =10-6=4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 -6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

Otteniamo la sequenza: 1; 2; 4; otto; sedici; 32; 64; ... che può essere rappresentato come

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Analizzando la sequenza, otteniamo la seguente regolarità: y = 2 n -1 .

Esempio 4 Data una sequenza y n =24n+36-5n 2 .

a) Quanti termini positivi ha?

b) Trova l'elemento più grande della sequenza.

c) C'è un elemento più piccolo in questa sequenza?

Questa sequenza numerica è una funzione della forma y = -5x 2 +24x+36, dove x

a) Trova i valori della funzione per cui -5x 2 +24x+360. Risolviamo l'equazione -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 \u003d -1.2.

L'equazione dell'asse di simmetria della parabola y \u003d -5x 2 +24x + 36 può essere trovata dalla formula x \u003d, otteniamo: x \u003d 2,4.

La disuguaglianza -5x 2 +24x+360 vale per -1.2 Questo intervallo contiene cinque numeri naturali (1, 2, 3, 4, 5). Quindi nella sequenza data cinque elementi positivi sequenze.

b) L'elemento più grande della sequenza è determinato dal metodo di selezione ed è uguale a y 2 =64.

c) Non esiste un elemento più piccolo.

3.4 Compiti per lavoro autonomo