Quali numeri sono naturali. Studiare l'argomento esatto: i numeri naturali sono ciò che i numeri, gli esempi e le proprietà

I numeri naturali sono uno dei più antichi concetti matematici.

In un lontano passato, le persone non conoscevano i numeri e quando avevano bisogno di contare gli oggetti (animali, pesci, ecc.), lo facevano in modo diverso rispetto a noi oggi.

Il numero di oggetti è stato confrontato con parti del corpo, ad esempio con le dita della mano, e hanno detto: "Ho tante noci quante sono le dita della mano".

Nel corso del tempo, le persone si sono rese conto che cinque noci, cinque capre e cinque lepri hanno una proprietà comune: il loro numero è cinque.

Ricordare!

Interi sono numeri, a partire da 1, ottenuti quando si contano gli oggetti.

1, 2, 3, 4, 5…

numero naturale più piccolo — 1 .

numero naturale più grande non esiste.

Durante il conteggio, il numero zero non viene utilizzato. Pertanto, zero non è considerato un numero naturale.

Le persone hanno imparato a scrivere i numeri molto più tardi che a contare. Prima di tutto, hanno iniziato a rappresentare l'unità con un bastoncino, poi con due bastoncini - il numero 2, con tre - il numero 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Quindi apparvero segni speciali per designare i numeri, i precursori dei numeri moderni. I numeri che usiamo per scrivere i numeri sono nati in India circa 1.500 anni fa. Gli arabi li hanno portati in Europa, così si chiamano Numeri arabi.

Ci sono dieci cifre in totale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Queste cifre possono essere utilizzate per scrivere qualsiasi numero naturale.

Ricordare!

serie naturaleè la successione di tutti i numeri naturali:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Nella serie naturale ogni numero è maggiore di 1 del precedente.

La serie naturale è infinita, non c'è il numero naturale più grande in essa.

Si chiama il sistema di conteggio che utilizziamo posizionale decimale.

Decimale perché 10 unità di ogni cifra formano 1 unità della cifra più significativa. Posizionale perché il valore di una cifra dipende dalla sua posizione nella notazione di un numero, cioè dalla cifra in cui è scritta.

Importante!

Le classi che seguono il miliardo sono denominate secondo i nomi latini dei numeri. Ogni unità successiva contiene mille precedenti.

• 1.000 miliardi = 1.000.000.000.000 = 1 trilione ("tre" in latino significa "tre")
• 1.000 trilioni = 1.000.000.000.000.000 = 1 quadrilione ("quadra" in latino significa "quattro")
• 1.000 quadrilioni = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 quintilion ("quinta" in latino significa "cinque")

Tuttavia, i fisici hanno trovato un numero che supera il numero di tutti gli atomi (le più piccole particelle di materia) nell'intero universo.

Questo numero ha un nome speciale - gogol. Un googol è un numero che ha 100 zeri.

Interi- i numeri naturali sono numeri usati per contare gli oggetti. L'insieme di tutti i numeri naturali è talvolta chiamato serie naturale: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ecc. .

Per scrivere numeri naturali, vengono utilizzate dieci cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Con il loro aiuto, puoi scrivere qualsiasi numero naturale. Questa notazione è chiamata decimale.

La serie naturale dei numeri può essere continuata indefinitamente. Non esiste un numero che sarebbe l'ultimo, perché si può sempre sommare all'ultimo numero e si otterrà un numero già maggiore di quello desiderato. In questo caso si dice che nella serie naturale non esiste un numero maggiore.

Cifre di numeri naturali

Scrivendo qualsiasi numero usando i numeri, il punto su cui si trova il numero nel numero è cruciale. Ad esempio, il numero 3 significa: 3 unità se arriva per ultimo nel numero; 3 decine se sarà nel numero al penultimo posto; 4 centinaia, se sarà nel numero al terzo posto dalla fine.

L'ultima cifra indica la cifra delle unità, la penultima - la cifra delle decine, 3 dalla fine - la cifra delle centinaia.

Cifre singole e multiple

Se c'è uno 0 in qualsiasi cifra del numero, significa che non ci sono unità in questa cifra.

Il numero 0 sta per zero. Zero è "nessuno".

Zero non è un numero naturale. Anche se alcuni matematici la pensano diversamente.

Se un numero è composto da una cifra, viene chiamato una cifra, due - due cifre, tre - tre cifre, ecc.

I numeri che non sono cifre singole sono anche chiamati cifre multiple.

Classi di cifre per la lettura di grandi numeri naturali

Per leggere grandi numeri naturali, il numero è diviso in gruppi di tre cifre, partendo dal bordo destro. Questi gruppi sono chiamati classi.

Le prime tre cifre dal bordo destro costituiscono la classe delle unità, le tre successive la classe delle migliaia, le tre successive la classe dei milioni.

Un milione è millemila, per la cronaca usano l'abbreviazione milione 1 milione = 1.000.000.

Un miliardo = mille milioni. Per la registrazione viene utilizzata l'abbreviazione miliardo 1 miliardo = 1.000.000.000.

Scrivi e leggi esempio

Questo numero ha 15 unità nella classe dei miliardi, 389 unità nella classe dei milioni, zero unità nella classe delle migliaia e 286 unità nella classe delle unità.

Questo numero si legge così: 15 miliardi 389 milioni 286.

Leggi i numeri da sinistra a destra. A sua volta, viene chiamato il numero di unità di ciascuna classe e quindi viene aggiunto il nome della classe.

I numeri naturali sono familiari all'uomo e intuitivi, perché ci circondano fin dall'infanzia. Nell'articolo seguente, daremo un'idea di base del significato dei numeri naturali, descriveremo le abilità di base per scriverli e leggerli. L'intera parte teorica sarà accompagnata da esempi.

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Idea generale dei numeri naturali

A un certo punto dello sviluppo dell'umanità, è sorto il compito di contare determinati oggetti e designarne la quantità, il che, a sua volta, richiedeva di trovare uno strumento per risolvere questo problema. I numeri naturali sono diventati un tale strumento. Anche lo scopo principale dei numeri naturali è chiaro: dare un'idea del numero di oggetti o del numero di serie di un particolare oggetto, se parliamo di un insieme.

È logico che affinché una persona utilizzi i numeri naturali, sia necessario avere un modo per percepirli e riprodurli. Quindi, un numero naturale può essere espresso o rappresentato, che sono modi naturali di trasmettere informazioni.

Considera le abilità di base della voce (lettura) e delle immagini (scrittura) dei numeri naturali.

Notazione decimale di un numero naturale

Ricordiamo come vengono visualizzati i seguenti caratteri (li indichiamo separati da virgole): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Questi caratteri sono chiamati numeri.

Ora prendiamo come regola che quando si rappresenta (scrivendo) qualsiasi numero naturale, vengono utilizzate solo le cifre indicate senza la partecipazione di altri simboli. Lascia che le cifre quando scrivi un numero naturale abbiano la stessa altezza, siano scritte una dopo l'altra in una riga e sulla sinistra c'è sempre una cifra diversa da zero.

Indichiamo esempi della corretta notazione dei numeri naturali: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. I rientri tra le cifre non sono sempre gli stessi, questo sarà discusso più dettagliatamente di seguito quando si studiano le classi di numeri. Gli esempi forniti mostrano che quando si scrive un numero naturale, non è necessario avere tutte le cifre della serie precedente. Alcuni o tutti possono essere ripetuti.

Definizione 1

I record della forma: 065 , 0 , 003 , 0791 non sono record di numeri naturali, perché a sinistra c'è il numero 0.

Viene chiamata la corretta notazione di un numero naturale, fatta tenendo conto di tutti i requisiti descritti notazione decimale di un numero naturale.

Significato quantitativo dei numeri naturali

Come già accennato, i numeri naturali hanno inizialmente, tra l'altro, un significato quantitativo. I numeri naturali, come strumento di numerazione, sono discussi nell'argomento del confronto dei numeri naturali.

Cominciamo con i numeri naturali, le cui voci coincidono con le voci di cifre, ovvero: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Immagina un certo oggetto, ad esempio questo: Ψ . Possiamo scrivere ciò che vediamo 1 cosa. Il numero naturale 1 viene letto come "uno" o "uno". Il termine "unità" ha anche un altro significato: qualcosa che può essere considerato nel suo insieme. Se esiste un insieme, qualsiasi suo elemento può essere indicato con uno. Ad esempio, su molti topi, qualsiasi mouse è uno; qualsiasi fiore di una serie di fiori è un'unità.

Ora immagina: Ψ Ψ . Vediamo un oggetto e un altro oggetto, ad es. nel record sarà - 2 articoli. Il numero naturale 2 viene letto come "due".

Inoltre, per analogia: Ψ Ψ Ψ - 3 elementi ("tre"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("quattro"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("cinque"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("sei"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sette"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("otto"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 (" nove").

Dalla posizione indicata, la funzione di un numero naturale è indicare quantità Oggetti.

Definizione 1

Se l'immissione di un numero corrisponde all'immissione della cifra 0, viene chiamato tale numero "zero". Zero non è un numero naturale, ma è considerato insieme ad altri numeri naturali. Zero significa no, cioè zero elementi significa nessuno.

Numeri naturali a una cifra

È un fatto ovvio che quando scriviamo ciascuno dei numeri naturali discussi sopra (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), usiamo un segno: una cifra.

Definizione 2

Numero naturale a una cifra- un numero naturale, che si scrive utilizzando un segno - una cifra.

Esistono nove numeri naturali a una cifra: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Numeri naturali a due e tre cifre

Definizione 3

Numeri naturali a due cifre- numeri naturali, che si scrivono usando due segni - due cifre. In questo caso, i numeri utilizzati possono essere uguali o diversi.

Ad esempio, i numeri naturali 71, 64, 11 sono a due cifre.

Considera il significato dei numeri a due cifre. Faremo affidamento sul significato quantitativo dei numeri naturali a valore singolo già a noi noti.

Introduciamo un concetto come "dieci".

Immagina un insieme di oggetti, composto da nove e uno in più. In questo caso, possiamo parlare di 1 dozzina ("una dozzina") di articoli. Se immagini una dozzina e un'altra, parleremo di 2 decine ("due decine"). Sommando ancora una decina a due decine, otteniamo tre decine. E così via: continuando ad aggiungere una decina alla volta, otteniamo quattro decine, cinque decine, sei decine, sette decine, otto decine e infine nove decine.

Consideriamo un numero a due cifre come un insieme di numeri a una cifra, uno dei quali è scritto a destra, l'altro a sinistra. Il numero a sinistra indicherà il numero di decine nel numero naturale e il numero a destra indicherà il numero di unità. Nel caso in cui il numero 0 si trovi a destra, stiamo parlando dell'assenza di unità. Quanto sopra è il significato quantitativo dei numeri naturali a due cifre. Ce ne sono 90 in totale.

Definizione 4

Numeri naturali a tre cifre- numeri naturali, che vengono scritti utilizzando tre caratteri - tre cifre. I numeri possono essere diversi o ripetuti in qualsiasi combinazione.

Ad esempio, 413, 222, 818, 750 sono numeri naturali a tre cifre.

Per comprendere il significato quantitativo dei numeri naturali a tre valori, introduciamo il concetto "cento".

Definizione 5

Cento (1cento)è un insieme di dieci decine. Cento più cento equivalgono a duecento. Aggiungine altri cento e ottieni 3 centinaia. Sommando gradualmente cento, otteniamo: quattrocento, cinquecento, seicento, settecento, ottocento, novecento.

Considera la registrazione di un numero a tre cifre stesso: i numeri naturali a una cifra inclusi in esso sono scritti uno dopo l'altro da sinistra a destra. La cifra singola più a destra indica il numero di unità; il successivo numero a una cifra a sinistra - per il numero di decine; la cifra singola più a sinistra è il numero di centinaia. Se nella voce è coinvolto il numero 0, indica l'assenza di unità e/o decine.

Quindi, il numero naturale a tre cifre 402 significa: 2 unità, 0 decine (non ci sono decine che non sono combinate in centinaia) e 4 centinaia.

Per analogia, viene data la definizione di numeri naturali a quattro cifre, cinque cifre e così via.

Numeri naturali multivalore

Da tutto quanto sopra è ora possibile procedere alla definizione dei numeri naturali multivalore.

Definizione 6

Numeri naturali multivalore- numeri naturali, che si scrivono utilizzando due o più caratteri. I numeri naturali a più cifre sono numeri a due cifre, tre cifre e così via.

Mille è un insieme che include diecicento; un milione è composto da millemila; un miliardo - mille milioni; un trilione è mille miliardi. Anche i set più grandi hanno nomi, ma il loro uso è raro.

Analogamente al principio di cui sopra, possiamo considerare qualsiasi numero naturale a più cifre come un insieme di numeri naturali a una cifra, ognuno dei quali, trovandosi in un determinato luogo, indica la presenza e il numero di unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, centinaia di milioni, miliardi e così via (rispettivamente da destra a sinistra).

Ad esempio, il numero a più cifre 4 912 305 contiene: 5 unità, 0 decine, trecento, 2mila, 1 decine di migliaia, 9 centinaia di migliaia e 4 milioni.

Riassumendo, abbiamo esaminato l'abilità di raggruppare le unità in vari insiemi (decine, centinaia, ecc.) e abbiamo visto che i numeri nel record di un numero naturale a più cifre sono una designazione del numero di unità in ciascuno di tali insiemi.

Lettura di numeri naturali, classi

Nella teoria sopra, abbiamo indicato i nomi dei numeri naturali. Nella tabella 1, indichiamo come utilizzare correttamente i nomi dei numeri naturali a una cifra nel parlato e nella notazione alfabetica:

Numero	maschile	Femminile	Genere neutro
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Uno Due Tre quattro Cinque Sei Sette Otto Nove	Uno Due Tre quattro Cinque Sei Sette Otto Nove	Uno Due Tre quattro Cinque Sei Sette Otto Nove

Numero	caso nominativo	Genitivo	Dativo	Accusativo	Caso strumentale	preposizionale
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Uno Due Tre quattro Cinque Sei Sette Otto Nove	Uno Due Tre quattro Cinque sei Semi otto Nove	a uno Due Trem quattro Cinque sei Semi otto Nove	Uno Due Tre quattro Cinque Sei Sette Otto Nove	Uno Due Tre quattro Cinque sei famiglia otto Nove	Circa uno Circa due Circa tre Circa quattro Ancora Circa sei Verso le sette Circa otto Verso le nove

Per leggere e scrivere in modo competente numeri a due cifre, è necessario apprendere i dati nella tabella 2:

Numero	Maschile, femminile e neutro
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Dieci Undici Dodici Tredici Quattordici Quindici Sedici Diciassette Diciotto Diciannove Venti Trenta Quaranta Cinquanta Sessanta Settanta Ottanta Novanta

Numero	caso nominativo	Genitivo	Dativo	Accusativo	Caso strumentale	preposizionale
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Dieci Undici Dodici Tredici Quattordici Quindici Sedici Diciassette Diciotto Diciannove Venti Trenta Quaranta Cinquanta Sessanta Settanta Ottanta Novanta	dieci Undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove venti trenta Gazza cinquanta sessanta Settanta ottanta novanta	dieci Undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove venti trenta Gazza cinquanta sessanta Settanta ottanta novanta	Dieci Undici Dodici Tredici Quattordici Quindici Sedici Diciassette Diciotto Diciannove Venti Trenta Quaranta Cinquanta Sessanta Settanta Ottanta Novanta	dieci Undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove venti trenta Gazza cinquanta sessanta Settanta ottanta Novanta	Una decina Verso le undici Verso le dodici Circa tredici Circa quattordici Circa quindici Circa sedici Circa diciassette anni Circa diciotto Circa diciannove Circa venti Circa trenta Oh gazza Una cinquantina Circa sessanta Circa settanta Circa ottanta Circa novanta

Per leggere altri numeri naturali a due cifre, utilizzeremo i dati di entrambe le tabelle, consideralo con un esempio. Diciamo che dobbiamo leggere un numero naturale a due cifre 21. Questo numero contiene 1 unità e 2 decine, cioè 20 e 1. Passando alle tabelle, leggiamo il numero indicato come “ventuno”, mentre l'unione “e” tra le parole non ha bisogno di essere pronunciata. Supponiamo di dover usare il numero specificato 21 in qualche frase, indicando il numero di oggetti nel caso genitivo: "non ci sono 21 mele". In questo caso, la pronuncia suonerà così: "non ci sono ventuno mele".

Facciamo un altro esempio per chiarezza: il numero 76, che si legge come "settantasei" e, ad esempio, "settantasei tonnellate".

Numero	Nominativo	Genitivo	Dativo	Accusativo	Caso strumentale	preposizionale
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Centinaio Duecento Trecento Quattrocento Cinquecento Seicento Settecento Ottocento Novecento	Sta duecento trecento quattrocento cinquecento Seicento Settecento Ottocento Novecento	Sta duecento Tremstam quattrocento cinquecento Seicento Settecento Ottocento Novecento	Centinaio Duecento Trecento Quattrocento Cinquecento Seicento Settecento Ottocento Novecento	Sta duecento Trecento quattrocento cinquecento Seicento Settecento Ottocento Novecento	Circa un centinaio Circa duecento Circa trecento Circa quattrocento Circa cinquecento Circa seicento Circa settecento Circa ottocento Circa novecento

Per leggere completamente un numero a tre cifre, utilizziamo anche i dati di tutte le tabelle specificate. Ad esempio, dato un numero naturale 305 . Questo numero corrisponde a 5 unità, 0 decine e 3 centinaia: 300 e 5. Prendendo come base la tabella, leggiamo: "trecentocinque" o in declinazione per casi, ad esempio, in questo modo: "trecentocinque metri".

Leggiamo un altro numero: 543. Secondo le regole delle tabelle, il numero indicato suonerà così: "cinquecentoquarantatre" o in caso di declinazione, ad esempio, così: "no cinquecentoquarantatre rubli".

Passiamo al principio generale della lettura dei numeri naturali a più cifre: per leggere un numero a più cifre, è necessario suddividerlo da destra a sinistra in gruppi di tre cifre e il gruppo più a sinistra può avere 1, 2 o 3 cifre . Tali gruppi sono chiamati classi.

La classe di estrema destra è la classe delle unità; poi la classe successiva, a sinistra - la classe delle migliaia; inoltre - la classe di milioni; poi viene la classe dei miliardi, seguita dalla classe dei trilioni. Anche le seguenti classi hanno un nome, ma i numeri naturali costituiti da un gran numero di caratteri (16, 17 e più) sono usati raramente nella lettura, è abbastanza difficile percepirli a orecchio.

Per comodità di percezione del record, le classi sono separate l'una dall'altra da un piccolo trattino. Ad esempio, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Classe trilioni	Classe miliardi	Classe milioni	Mille classe	Classe di unità
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Per leggere un numero a più cifre, chiamiamo a turno i numeri che lo compongono (da sinistra a destra, per classe, aggiungendo il nome della classe). Il nome della classe di unità non è pronunciato e anche quelle classi che compongono le tre cifre 0 non sono pronunciate. Se una o due cifre 0 sono presenti a sinistra in una classe, non vengono utilizzate in alcun modo durante la lettura. Ad esempio, 054 viene letto come "cinquantaquattro" o 001 come "uno".

Esempio 1

Esaminiamo nel dettaglio la lettura del numero 2 533 467 001 222:

Leggiamo il numero 2, come componente della classe dei trilioni - "due";

Aggiungendo il nome della classe, otteniamo: "due trilioni";

Leggiamo il seguente numero, aggiungendo il nome della classe corrispondente: “cinquecentotrentatre miliardi”;

Continuiamo per analogia, leggendo la classe successiva a destra: “quattrocentosessantasette milioni”;

Nella classe successiva, vediamo due cifre 0 che si trovano a sinistra. Secondo le regole di lettura di cui sopra, le cifre 0 vengono scartate e non partecipano alla lettura del record. Quindi otteniamo: "mille";

Leggiamo l'ultima classe di unità senza aggiungerne il nome: "duecentoventidue".

Quindi, il numero 2 533 467 001 222 suonerà così: due trilioni cinquecentotrentatre miliardi quattrocentosessantasette milioni milleduecentoventidue. Usando questo principio, possiamo anche leggere gli altri numeri dati:

31 013 736 - trentunomilioni tredicimilasettecentotrentasei;

134 678 -ttantotto;

23 476 009 434 - ventitre miliardi quattrocentosettantaseimilionio.

Pertanto, la base per la corretta lettura dei numeri a più cifre è la capacità di suddividere un numero a più cifre in classi, la conoscenza dei nomi corrispondenti e la comprensione del principio di lettura di numeri a due e tre cifre.

Come risulta già chiaro da tutto quanto sopra, il suo valore dipende dalla posizione in cui si trova la cifra nel record del numero. Cioè, ad esempio, il numero 3 nel numero naturale 314 denota il numero di centinaia, ovvero 3 centinaia. Il numero 2 è il numero di decine (1 dieci) e il numero 4 è il numero di unità (4 unità). In questo caso, diremo che il numero 4 è al posto delle unità ed è il valore delle unità poste nel numero dato. Il numero 1 è al posto delle decine e serve come valore del posto delle decine. Il numero 3 si trova al posto delle centinaia ed è il valore del posto delle centinaia.

Definizione 7

Scaricoè la posizione di una cifra nella notazione di un numero naturale, così come il valore di questa cifra, che è determinato dalla sua posizione in un dato numero.

Gli scarichi hanno i loro nomi, li abbiamo già usati sopra. Da destra a sinistra, seguono le cifre: unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, ecc.

Per comodità di memorizzazione è possibile utilizzare la seguente tabella (indichiamo 15 cifre):

Chiariamo questo dettaglio: il numero di cifre in un dato numero a più cifre è uguale al numero di caratteri nell'immissione del numero. Ad esempio, questa tabella contiene i nomi di tutte le cifre di un numero con 15 caratteri. Anche le scariche successive hanno nomi, ma sono usate molto raramente e sono molto scomode per l'ascolto.

Con l'aiuto di tale tabella, è possibile sviluppare l'abilità di determinare il rango scrivendo un dato numero naturale nella tabella in modo che la cifra più a destra sia scritta nelle unità cifra e quindi in ogni cifra per cifra. Ad esempio, scriviamo un numero naturale a più cifre 56 402 513 674 in questo modo:

Presta attenzione al numero 0, che si trova nella scarica di decine di milioni: significa l'assenza di unità di questa categoria.

Introduciamo anche i concetti delle cifre più basse e più alte di un numero a più cifre.

Definizione 8

Grado più basso (junior). qualsiasi numero naturale multivalore è la cifra delle unità.

Categoria più alta (senior). di qualsiasi numero naturale a più cifre - la cifra corrispondente alla cifra più a sinistra nella notazione del numero dato.

Così, ad esempio, nel numero 41.781: il rango più basso è il rango delle unità; il rango più alto è la cifra delle decine di migliaia.

Ne consegue logicamente che è possibile parlare dell'anzianità delle cifre l'una rispetto all'altra. Ogni cifra successiva quando ci si sposta da sinistra a destra è inferiore (più giovane) della precedente. E viceversa: spostandosi da destra a sinistra, ogni cifra successiva è più alta (più vecchia) della precedente. Ad esempio, la cifra delle migliaia è più vecchia della cifra delle centinaia, ma più giovane della cifra dei milioni.

Chiariamo che quando si risolvono alcuni esempi pratici, non viene utilizzato il numero naturale stesso, ma la somma dei termini di bit di un dato numero.

Brevemente sul sistema dei numeri decimali

Definizione 9

Notazione- un metodo per scrivere i numeri usando i segni.

Sistemi numerici posizionali- quelli in cui il valore di una cifra nel numero dipende dalla sua posizione nella notazione del numero.

Secondo questa definizione, possiamo dire che, studiando i numeri naturali e il modo in cui sono scritti sopra, abbiamo utilizzato il sistema dei numeri posizionali. Il numero 10 gioca un posto speciale qui. Continuiamo a contare in decine: dieci unità fanno dieci, dieci decine uniscono in cento e così via. Il numero 10 funge da base di questo sistema numerico e il sistema stesso è anche chiamato decimale.

Oltre ad esso, ci sono altri sistemi numerici. Ad esempio, l'informatica utilizza il sistema binario. Quando teniamo traccia del tempo, utilizziamo il sistema numerico sessagesimale.

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La matematica emerse dalla filosofia generale intorno al VI secolo aC. e., e da quel momento iniziò la sua marcia vittoriosa intorno al mondo. Ogni fase dello sviluppo ha introdotto qualcosa di nuovo: il conteggio elementare si è evoluto, trasformato in calcolo differenziale e integrale, i secoli sono cambiati, le formule sono diventate sempre più confuse e è arrivato il momento in cui "è iniziata la matematica più complessa - tutti i numeri sono scomparsi da essa". Ma qual era la base?

L'inizio del tempo

I numeri naturali sono apparsi insieme alle prime operazioni matematiche. Una volta una spina dorsale, due spine, tre spine... Sono apparse grazie agli scienziati indiani che ne hanno dedotto la prima posizionale

La parola "posizionalità" significa che la posizione di ogni cifra in un numero è rigorosamente definita e corrisponde alla sua categoria. Ad esempio, i numeri 784 e 487 sono gli stessi numeri, ma i numeri non sono equivalenti, poiché il primo comprende 7 centinaia, mentre il secondo solo 4. L'innovazione degli indiani fu ripresa dagli arabi, che portarono i numeri al forma che ora conosciamo.

Nei tempi antichi, ai numeri veniva dato un significato mistico, Pitagora credeva che il numero fosse alla base della creazione del mondo insieme agli elementi principali: fuoco, acqua, terra, aria. Se consideriamo tutto solo dal lato matematico, allora che cos'è un numero naturale? Il campo dei numeri naturali è indicato come N ed è una serie infinita di numeri interi e positivi: 1, 2, 3, … + ∞. Zero è escluso. Viene utilizzato principalmente per contare gli articoli e indicare l'ordine.

Cosa c'è in matematica? Gli assiomi di Peano

Il campo N è il campo base su cui si basa la matematica elementare. Nel tempo, i campi dei numeri interi, razionali,

Il lavoro del matematico italiano Giuseppe Peano rese possibile l'ulteriore strutturazione dell'aritmetica, ne conseguì la formalità e aprì la strada ad ulteriori conclusioni che andarono oltre il campo N.

Che cos'è un numero naturale è stato chiarito in precedenza con un linguaggio semplice, di seguito considereremo una definizione matematica basata sugli assiomi di Peano.

• Uno è considerato un numero naturale.
• Il numero che segue un numero naturale è un numero naturale.
• Non esiste un numero naturale prima dell'uno.
• Se il numero b segue sia il numero c che il numero d, allora c=d.
• L'assioma dell'induzione, che a sua volta mostra cos'è un numero naturale: se qualche affermazione che dipende da un parametro è vera per il numero 1, allora assumiamo che funzioni anche per il numero n dal campo dei numeri naturali N. Allora l'affermazione vale anche per n =1 dal campo dei numeri naturali N.

Operazioni di base per il campo dei numeri naturali

Poiché il campo N è diventato il primo per i calcoli matematici, ad esso si riferiscono sia i domini di definizione che gli intervalli di valori di una serie di operazioni sottostanti. Sono chiusi e non. La differenza principale è che è garantito che le operazioni chiuse lascino un risultato all'interno dell'insieme N, indipendentemente dai numeri coinvolti. Basta che siano naturali. Il risultato delle restanti interazioni numeriche non è più così inequivocabile e dipende direttamente dal tipo di numeri coinvolti nell'espressione, poiché potrebbe contraddire la definizione principale. Quindi, operazioni chiuse:

• addizione - x + y = z, dove x, y, z sono inclusi nel campo N;
• moltiplicazione - x * y = z, dove x, y, z sono inclusi nel campo N;
• esponenziazione - x y , dove x, y sono inclusi nel campo N.

Le restanti operazioni, il cui risultato potrebbe non esistere nel contesto della definizione "cos'è un numero naturale", sono le seguenti:

Proprietà dei numeri appartenenti al campo N

Tutti gli ulteriori ragionamenti matematici saranno basati sulle seguenti proprietà, le più banali, ma non per questo meno importanti.

• La proprietà commutativa dell'addizione è x + y = y + x, dove i numeri x, y sono compresi nel campo N. Oppure il noto "la somma non cambia da un cambiamento nei luoghi dei termini".
• La proprietà commutativa della moltiplicazione è x * y = y * x, dove i numeri x, y sono inclusi nel campo N.
• La proprietà associativa dell'addizione è (x + y) + z = x + (y + z), dove x, y, z sono inclusi nel campo N.
• La proprietà associativa della moltiplicazione è (x * y) * z = x * (y * z), dove i numeri x, y, z sono inclusi nel campo N.
• proprietà di distribuzione - x (y + z) = x * y + x * z, dove i numeri x, y, z sono inclusi nel campo N.

Tavola pitagorica

Uno dei primi passi nella conoscenza dell'intera struttura della matematica elementare da parte degli scolari, dopo aver capito da soli quali numeri sono chiamati naturali, è la tavola pitagorica. Può essere considerato non solo dal punto di vista scientifico, ma anche come un prezioso monumento scientifico.

Questa tabella di moltiplicazione ha subito una serie di modifiche nel tempo: da essa è stato rimosso lo zero e i numeri da 1 a 10 si denotano da soli, senza tener conto degli ordini (centinaia, migliaia ...). È una tabella in cui le intestazioni di righe e colonne sono numeri e il contenuto delle celle della loro intersezione è uguale al loro prodotto.

Nella pratica dell'insegnamento degli ultimi decenni c'è stata la necessità di memorizzare la tavola pitagorica "in ordine", cioè la memorizzazione è stata prima. La moltiplicazione per 1 è stata esclusa perché il risultato era 1 o maggiore. Nel frattempo, nella tabella ad occhio nudo, puoi vedere uno schema: il prodotto dei numeri cresce di un passo, che è uguale al titolo della riga. Quindi, il secondo fattore ci mostra quante volte dobbiamo prendere il primo per ottenere il prodotto desiderato. Questo sistema è molto più conveniente di quello praticato nel Medioevo: anche capendo cos'è un numero naturale e quanto sia banale, le persone sono riuscite a complicare il loro conteggio quotidiano utilizzando un sistema basato sui poteri del due.

Sottoinsieme come culla della matematica

Al momento, il campo dei numeri naturali N è considerato solo come uno dei sottoinsiemi dei numeri complessi, ma questo non li rende meno preziosi nella scienza. Un numero naturale è la prima cosa che un bambino impara studiando se stesso e il mondo che lo circonda. Un dito, due dita ... Grazie a lui, una persona sviluppa il pensiero logico, oltre alla capacità di determinare la causa e dedurre l'effetto, aprendo la strada a grandi scoperte.

Definizione

I numeri naturali sono chiamati numeri destinati al conteggio degli oggetti. Per registrare i numeri naturali, vengono utilizzati 10 numeri arabi (0–9), che costituiscono la base del sistema dei numeri decimali generalmente accettato per i calcoli matematici.

Sequenza di numeri naturali

I numeri naturali costituiscono una serie che inizia da 1 e copre l'insieme di tutti gli interi positivi. Tale sequenza è composta dai numeri 1,2,3, ... . Ciò significa che nella serie naturale:

1. C'è un numero più piccolo e non il più grande.
2. Ogni numero successivo è maggiore del precedente di 1 (l'eccezione è l'unità stessa).
3. Man mano che i numeri vanno all'infinito, crescono indefinitamente.

A volte lo 0 viene introdotto anche in una serie di numeri naturali, questo è consentito, e poi se ne parla esteso serie naturale.

Classi di numeri naturali

Ogni cifra di un numero naturale esprime una determinata cifra. L'ultimo è sempre il numero di unità nel numero, quello prima è il numero di decine, il terzo dalla fine è il numero di centinaia, il quarto è il numero di migliaia e così via.

• nel numero 276: 2 centinaia, 7 decine, 6 unità
• nel numero 1098: 1 mille, 9 decine, 8 uno; il posto delle centinaia è qui assente, poiché è espresso come zero.

Per numeri grandi e molto grandi, puoi vedere una tendenza costante (se esamini il numero da destra a sinistra, cioè dall'ultima cifra alla prima):

• le ultime tre cifre del numero sono unità, decine e centinaia;
• i tre precedenti sono unità, decine e centinaia di migliaia;
• i tre davanti a loro (cioè la 7a, 8a e 9a cifra del numero, contando dalla fine) sono unità, decine e centinaia di milioni, ecc.

Cioè, ogni volta abbiamo a che fare con tre cifre, che significano unità, decine e centinaia di un nome più grande. Tali gruppi formano classi. E se nella vita di tutti i giorni devi affrontare più o meno spesso le prime tre classi, allora le altre dovrebbero essere elencate, perché non tutti ricordano i loro nomi a memoria.

• La 4a classe, che segue la classe dei milioni e rappresenta numeri di 10-12 cifre, è chiamata un miliardo (o un miliardo);
• 5a elementare - trilioni;
• 6a elementare - quadrilioni;
• 7a elementare - quintilioni;
• 8a elementare - sestilione;
• 9a elementare - settilion.

Addizione di numeri naturali

L'addizione dei numeri naturali è un'operazione aritmetica che permette di ottenere un numero che contiene tante unità quante sono i numeri sommati.

Il segno di addizione è il segno "+". I numeri aggiunti sono chiamati termini, il risultato è chiamato somma.

Piccoli numeri vengono aggiunti (riassunti) oralmente, per iscritto tali azioni sono scritte in una riga.

I numeri a più cifre, difficili da aggiungere nella mente, vengono solitamente aggiunti in una colonna. Per questo, i numeri vengono scritti uno sotto l'altro, allineati con l'ultima cifra, cioè scrivono la cifra delle unità sotto la cifra delle unità, la cifra delle centinaia sotto la cifra delle centinaia e così via. Successivamente, è necessario aggiungere le cifre a coppie. Se l'aggiunta di cifre avviene con una transizione attraverso un dieci, allora questo dieci viene fissato come unità sopra la cifra a sinistra (cioè, seguendola) e viene sommato insieme alle cifre di questa cifra.

Se non 2, ma più numeri vengono aggiunti alla colonna, quando si sommano le cifre della categoria, non 1 dozzina, ma diversi, potrebbero essere ridondanti. In questo caso, il numero di tali decine viene trasferito alla cifra successiva.

Sottrazione di numeri naturali

La sottrazione è un'operazione aritmetica, il contrario dell'addizione, che si riduce al fatto che, data la quantità e uno dei termini, è necessario trovarne un altro, un termine sconosciuto. Il numero da cui viene sottratto è chiamato minuendo; il numero che viene sottratto è il sottraendo. Il risultato della sottrazione è chiamato differenza. Il segno che denota l'operazione di sottrazione è "-".

Nel passaggio all'addizione, il sottraendo e la differenza si trasformano in termini e il ridotto in somma. L'addizione di solito controlla la correttezza della sottrazione eseguita e viceversa.

Qui 74 è il minuendo, 18 è il sottraendo, 56 è la differenza.

Un prerequisito per la sottrazione dei numeri naturali è il seguente: il minuendo deve essere necessariamente maggiore del sottraendo. Solo in questo caso la differenza risultante sarà anche un numero naturale. Se l'azione di sottrazione viene eseguita per una serie naturale estesa, allora è consentito che il minuendo sia uguale al sottraendo. E il risultato della sottrazione in questo caso sarà 0.

Nota: se il sottraendo è uguale a zero, l'operazione di sottrazione non modifica il valore del minuendo.

La sottrazione di numeri a più cifre viene solitamente eseguita in una colonna. Annota i numeri come per l'addizione. La sottrazione viene eseguita per le cifre corrispondenti. Se risulta che il minuendo è inferiore al sottraendo, ne viene preso uno dalla cifra precedente (situata a sinistra), che, dopo il trasferimento, diventa naturalmente 10. Questo dieci è riassunto con la cifra del ridotto cifra data e poi sottratta. Inoltre, quando si sottrae la cifra successiva, è necessario tenere conto del fatto che il ridotto è diventato 1 in meno.

Prodotto di numeri naturali

Il prodotto (o la moltiplicazione) dei numeri naturali è un'operazione aritmetica, che consiste nel trovare la somma di un numero arbitrario di termini identici. Per registrare l'operazione di moltiplicazione, utilizzare il segno "·" (a volte "×" o "*"). Ad esempio: 3 5=15.

L'azione della moltiplicazione è indispensabile quando è necessario sommare un gran numero di termini. Ad esempio, se devi sommare il numero 4 7 volte, moltiplicare 4 per 7 è più facile che fare questa addizione: 4+4+4+4+4+4+4.

I numeri che vengono moltiplicati sono chiamati fattori, il risultato della moltiplicazione è il prodotto. Di conseguenza, il termine "lavoro" può, a seconda del contesto, esprimere sia il processo di moltiplicazione che il suo risultato.

I numeri a più cifre vengono moltiplicati in una colonna. Per questo numero si scrive come per addizione e sottrazione. Si consiglia di scrivere prima (sopra) quale dei 2 numeri è più lungo. In questo caso, il processo di moltiplicazione sarà più semplice, e quindi più razionale.

Quando si moltiplica in una colonna, le cifre di ciascuna delle cifre del secondo numero vengono moltiplicate in sequenza per le cifre del 1° numero, a partire dalla sua fine. Dopo aver trovato il primo lavoro del genere, scrivono il numero di unità e tengono a mente il numero di decine. Quando si moltiplica la cifra del 2° numero per la cifra successiva del 1° numero, il numero che viene tenuto presente viene aggiunto al prodotto. E ancora scrivono il numero di unità del risultato ottenuto e ricordano il numero di decine. Quando si moltiplica per l'ultima cifra del 1° numero, il numero ottenuto in questo modo viene annotato per intero.

I risultati della moltiplicazione delle cifre della 2a cifra del secondo numero vengono scritti nella seconda riga, spostandola di 1 cella a destra. Eccetera. Di conseguenza, si otterrà una "scala". Tutte le righe di numeri risultanti devono essere aggiunte (secondo la regola dell'addizione in una colonna). Le celle vuote devono essere considerate piene di zeri. La somma risultante è il prodotto finale.

Nota

1. Il prodotto di qualsiasi numero naturale per 1 (o 1 per un numero) è uguale al numero stesso. Ad esempio: 376 1=376; 1 86=86.
2. Quando uno dei fattori o entrambi i fattori sono uguali a 0, il prodotto è uguale a 0. Ad esempio: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Divisione dei numeri naturali

La divisione è chiamata operazione aritmetica, con l'aiuto della quale, secondo un prodotto noto e uno dei fattori, si può trovare un altro fattore sconosciuto. La divisione è l'inverso della moltiplicazione e viene utilizzata per verificare se una moltiplicazione è stata eseguita correttamente (e viceversa).

Il numero che viene diviso è chiamato divisibile; il numero per cui è diviso è il divisore; il risultato di una divisione è detto quoziente. Il segno di divisione è ":" (a volte, meno spesso - "÷").

Qui 48 è il dividendo, 6 è il divisore e 8 è il quoziente.

Non tutti i numeri naturali possono essere divisi tra loro. In questo caso, la divisione viene eseguita con un resto. Consiste nel fatto che per il divisore un tale fattore è selezionato in modo che il suo prodotto per il divisore sia un numero il più vicino possibile in valore al dividendo, ma inferiore ad esso. Il divisore viene moltiplicato per questo fattore e sottratto dal dividendo. La differenza sarà il resto della divisione. Il prodotto di un divisore per un fattore è detto quoziente incompleto. Attenzione: il resto deve essere inferiore al moltiplicatore selezionato! Se il resto è maggiore, significa che il moltiplicatore è stato scelto in modo errato e dovrebbe essere aumentato.

Selezioniamo un fattore per 7. In questo caso, questo numero è 5. Troviamo un quoziente incompleto: 7 5 \u003d 35. Calcola il resto: 38-35=3. Dal 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

I numeri a più cifre sono divisi in una colonna. Per fare ciò, il dividendo e il divisore vengono scritti fianco a fianco, separando il divisore con una linea verticale e orizzontale. Nel dividendo viene selezionata la prima cifra o le prime cifre (a destra), che dovrebbe essere un numero minimamente sufficiente per la divisione per un divisore (ovvero, questo numero deve essere maggiore del divisore). Per questo numero si seleziona un quoziente incompleto, come descritto nella regola di divisione con resto. Il numero del moltiplicatore utilizzato per trovare il quoziente parziale è scritto sotto il divisore. Il quoziente incompleto viene scritto sotto il numero che è stato diviso, allineato a destra. Trova la loro differenza. La cifra successiva del dividendo viene demolita scrivendola accanto a questa differenza. Per il numero risultante si trova nuovamente un quoziente incompleto annotando la cifra del fattore selezionato, accanto al precedente sotto il divisore. Eccetera. Tali azioni vengono eseguite fino all'esaurimento dei numeri del dividendo. Successivamente, la divisione è considerata completata. Se il dividendo e il divisore sono divisi interamente (senza resto), l'ultima differenza darà zero. In caso contrario, verrà restituito il numero rimanente.

Esponenziale

L'esponenziazione è un'operazione matematica che consiste nel moltiplicare un numero arbitrario di numeri identici. Ad esempio: 2 2 2 2.

Tali espressioni sono scritte come: ascia,

dove unè un numero moltiplicato per se stesso Xè il numero di tali fattori.

Numeri naturali primi e composti

Qualsiasi numero naturale, tranne 1, può essere diviso per almeno 2 numeri: uno e se stesso. In base a questo criterio, i numeri naturali sono divisi in primi e composti.

I numeri primi sono numeri divisibili solo per 1 e per se stessi. I numeri che sono divisibili per più di questi 2 numeri sono chiamati numeri composti. Un'unità divisibile solo per se stessa non è né prima né composta.

I numeri sono primi: 2,3,5,7,11,13,17,19, ecc. Esempi di numeri composti: 4 (divisibile per 1,2,4), 6 (divisibile per 1,2,3,6), 20 (divisibile per 1,2,4,5,10,20).

Qualsiasi numero composto può essere scomposto in fattori primi. In questo caso, per fattori primi si intendono i suoi divisori, che sono numeri primi.

Un esempio di fattorizzazione in fattori primi:

Divisori dei numeri naturali

Un divisore è un numero per il quale un dato numero può essere diviso senza resto.

Secondo questa definizione, i numeri naturali semplici hanno 2 divisori, i numeri composti hanno più di 2 divisori.

Molti numeri hanno divisori comuni. Il divisore comune è il numero per il quale i numeri dati sono divisibili senza resto.

• I numeri 12 e 15 hanno un divisore comune 3
• I numeri 20 e 30 hanno divisori comuni 2,5,10

Di particolare importanza è il massimo comun divisore (MCD). Questo numero, in particolare, è utile per poterlo trovare per le frazioni riducenti. Per trovarlo, è necessario scomporre i numeri dati in fattori primi e presentarlo come il prodotto dei loro fattori primi comuni, presi nelle loro potenze più piccole.

È necessario trovare il GCD dei numeri 36 e 48.

Divisibilità dei numeri naturali

È tutt'altro che sempre possibile determinare "a occhio" se un numero è divisibile per un altro senza resto. In questi casi è utile il relativo test di divisibilità, cioè la regola con la quale in pochi secondi si può determinare se è possibile dividere numeri senza resto. Il segno "" è usato per indicare la divisibilità.

Minimo comune multiplo

Questo valore (indicato con LCM) è il numero più piccolo divisibile per ciascuno di quelli indicati. L'LCM può essere trovato per un insieme arbitrario di numeri naturali.

LCM, come GCD, ha un significato applicato significativo. Quindi, è l'LCM che deve essere trovato riducendo le frazioni ordinarie a un denominatore comune.

Il LCM è determinato scomponendo i numeri dati in fattori primi. Per la sua formazione si prende un prodotto, costituito da ciascuno dei fattori primi presenti (almeno per 1 numero) rappresentati al massimo grado.

È necessario trovare l'LCM dei numeri 14 e 24.

Media

La media aritmetica di un numero arbitrario (ma finito) di numeri naturali è la somma di tutti questi numeri divisa per il numero di termini:

La media aritmetica è un valore medio per un insieme di numeri.

Sono riportati i numeri 2,84,53,176,17,28. È necessario trovare la loro media aritmetica.