Come risolvere la radice quadrata. Come estrarre rapidamente le radici quadrate

Tra le tante conoscenze che sono segno di alfabetizzazione, l'alfabeto è al primo posto. Il successivo, lo stesso elemento "segno", sono le abilità di addizione-moltiplicazione e, adiacenti ad esse, ma di significato inverso, le operazioni aritmetiche di sottrazione-divisione. Le abilità apprese nell'infanzia della scuola lontana servono fedelmente giorno e notte: TV, giornali, SMS, e ovunque leggiamo, scriviamo, contiamo, addizioniamo, sottraiamo, moltiplichiamo. E, dimmi, hai dovuto spesso mettere radici nella vita, tranne che in campagna? Ad esempio, un problema così divertente, come la radice quadrata del numero 12345 ... C'è ancora polvere da sparo nelle boccette di polvere? Possiamo farlo? Sì, non c'è niente di più facile! Dov'è la mia calcolatrice ... E senza di essa, corpo a corpo, debole?

Innanzitutto, chiariamo di cosa si tratta - Radice quadrata numeri. In generale, "estrarre la radice da un numero" significa eseguire l'operazione aritmetica opposta all'elevazione a potenza - qui hai l'unità degli opposti nell'applicazione della vita. diciamo che un quadrato è una moltiplicazione di un numero per se stesso, cioè, come insegnavano a scuola, X * X = A o in un'altra notazione X2 = A, e in parole - "X al quadrato è uguale ad A". Allora il problema inverso suona così: la radice quadrata del numero A, è il numero X, che al quadrato è uguale ad A.

Estrazione della radice quadrata

Dal corso scolastico di aritmetica sono noti metodi di calcolo "in colonna", che aiutano a eseguire qualsiasi calcolo utilizzando i primi quattro operazioni aritmetiche. Ahimè ... Per quadrate, e non solo quadrate, le radici di tali algoritmi non esistono. E in questo caso, come estrarre la radice quadrata senza calcolatrice? Sulla base della definizione della radice quadrata, c'è solo una conclusione: è necessario selezionare il valore del risultato mediante l'enumerazione sequenziale dei numeri, il cui quadrato si avvicina al valore dell'espressione radice. Solo e tutto! Un'ora o due non avranno il tempo di passare, poiché puoi calcolare usando il noto metodo di moltiplicazione in una "colonna", qualsiasi radice quadrata. Se hai le capacità, un paio di minuti sono sufficienti per questo. Anche un calcolatore o un utente di PC non abbastanza avanzato lo fa in un colpo solo: il progresso.

Ma seriamente, il calcolo della radice quadrata viene spesso eseguito utilizzando la tecnica della "forchetta di artiglieria": in primo luogo, prendono un numero il cui quadrato corrisponde approssimativamente all'espressione della radice. È meglio se "la nostra piazza" è leggermente inferiore a questa espressione. Quindi correggono il numero in base alla propria capacità di comprensione, ad esempio, moltiplicano per due e ... quadrano di nuovo. Se il risultato è maggiore del numero sotto la radice, aggiustando successivamente il numero originale, avvicinandosi gradualmente al suo "collega" sotto la radice. Come puoi vedere, nessuna calcolatrice, solo la possibilità di contare "in una colonna". Naturalmente, ci sono molti algoritmi scientificamente ragionati e ottimizzati per il calcolo della radice quadrata, ma per "uso domestico" la tecnica di cui sopra dà il 100% di fiducia nel risultato.

Sì, quasi dimenticavo, per confermare la nostra maggiore alfabetizzazione, calcoliamo la radice quadrata del numero 12345 precedentemente indicato. Lo facciamo passo dopo passo:

1. Prendi, in modo puramente intuitivo, X=100. Calcoliamo: X * X = 10000. L'intuizione è in cima: il risultato è inferiore a 12345.

2. Proviamo, anche puramente intuitivamente, X = 120. Quindi: X * X = 14400. E ancora, con l'intuizione, l'ordine - il risultato è più di 12345.

3. Sopra, si ottiene una "forcella" di 100 e 120. Scegliamo nuovi numeri: 110 e 115. Otteniamo, rispettivamente, 12100 e 13225 - la forcella si restringe.

4. Proviamo "forse" X = 111. Otteniamo X * X = 12321. Questo numero è già abbastanza vicino a 12345. In base alla precisione richiesta, il "fitting" può essere continuato o interrotto al risultato ottenuto. È tutto. Come promesso, tutto è molto semplice e senza calcolatrice.

Un po' di storia...

Pensando di usare radici quadrate ancora i Pitagorici, allievi della scuola e seguaci di Pitagora, per 800 anni aC. e proprio lì, "incappato in" nuove scoperte nel campo dei numeri. E da dove viene?

1. La soluzione del problema con l'estrazione della radice, dà il risultato sotto forma di numeri di una nuova classe. Erano chiamati irrazionali, in altre parole "irragionevoli", perché. non sono scritti come un numero completo. L'esempio più classico di questo tipo è la radice quadrata di 2. Questo caso corrisponde al calcolo della diagonale di un quadrato di lato uguale a 1 - ecco l'influenza della scuola pitagorica. Si è scoperto che in un triangolo con una dimensione unitaria dei lati molto specifica, l'ipotenusa ha una dimensione espressa da un numero che "non ha fine". Così in matematica è apparso

2. È noto che si è scoperto che questo operazione matematica contiene un altro problema: estraendo la radice, non sappiamo quale quadrato di un numero, positivo o negativo, sia l'espressione radice. Tale incertezza, il doppio risultato di un'operazione, viene svalutata.

Lo studio dei problemi associati a questo fenomeno è diventato una direzione in matematica chiamata teoria di una variabile complessa, che è di grande importanza pratica nella fisica matematica.

È curioso che la designazione della radice - radicale - sia stata usata nel suo "Universal Arithmetic" dallo stesso onnipresente I. Newton, ma esattamente aspetto moderno Il record di radice è noto dal 1690 dal libro del Frenchman Roll "Guide to Algebra".

La matematica è nata quando una persona ha preso coscienza di se stessa e ha iniziato a posizionarsi come unità autonoma del mondo. La voglia di misurare, confrontare, calcolare ciò che ti circonda è ciò che sta alla base di una delle scienze fondamentali dei nostri giorni. All'inizio si trattava di pezzi di matematica elementare, che consentivano di associare i numeri alle loro espressioni fisiche, in seguito le conclusioni iniziarono a essere presentate solo in teoria (a causa della loro astrattezza), ma dopo un po', come disse uno scienziato, " la matematica ha raggiunto il tetto della complessità quando tutti i numeri." Il concetto di "radice quadrata" è apparso in un momento in cui poteva essere facilmente supportato da dati empirici, andando oltre il piano dei calcoli.

Come tutto è cominciato

La prima menzione della radice, che su questo momento indicato come √, è stato registrato negli scritti dei matematici babilonesi, che hanno gettato le basi per l'aritmetica moderna. Certo, assomigliavano un po' alla forma attuale: gli scienziati di quegli anni usavano per la prima volta compresse ingombranti. Ma nel secondo millennio aC. e. hanno escogitato una formula di calcolo approssimativa che mostrava come prendere la radice quadrata. La foto sotto mostra una pietra su cui gli scienziati babilonesi hanno scolpito il processo di output √2, e si è rivelata così corretta che la discrepanza nella risposta è stata trovata solo nel decimo decimale.

Inoltre si usava la radice se era necessario trovare il lato di un triangolo, a patto che si conoscessero gli altri due. Ebbene, quando si risolvono equazioni quadratiche, non c'è scampo dall'estrazione della radice.

Insieme alle opere babilonesi, l'oggetto dell'articolo è stato studiato anche nell'opera cinese "Matematica in nove libri", e gli antichi greci sono giunti alla conclusione che qualsiasi numero da cui la radice non viene estratta senza resto dà un risultato irrazionale .

L'origine di questo termine è associata alla rappresentazione araba del numero: gli antichi scienziati credevano che il quadrato di un numero arbitrario crescesse dalla radice, come una pianta. In latino, questa parola suona come radix (si può tracciare uno schema: tutto ciò che ha un carico semantico "radice" è consonante, sia esso ravanello o sciatica).

Gli scienziati delle generazioni successive raccolsero questa idea, designandola come Rx. Ad esempio, nel XV secolo, per indicare che la radice quadrata è tratta da un numero arbitrario a, scrivevano R 2 a. Abituale aspetto moderno"tick" √ apparve solo nel XVII secolo grazie a René Descartes.

I nostri giorni

Matematicamente, la radice quadrata di y è il numero z il cui quadrato è y. In altre parole, z 2 =y equivale a √y=z. Tuttavia, questa definizione è rilevante solo per la radice aritmetica, poiché implica un valore non negativo dell'espressione. In altre parole, √y=z, dove z è maggiore o uguale a 0.

In generale, che è valido per determinare la radice algebrica, il valore dell'espressione può essere positivo o negativo. Quindi, per il fatto che z 2 =y e (-z) 2 =y, abbiamo: √y=±z o √y=|z|.

A causa del fatto che l'amore per la matematica è aumentato solo con lo sviluppo della scienza, ci sono varie manifestazioni di attaccamento ad essa, non espresse in calcoli asciutti. Ad esempio, oltre a eventi interessanti come il giorno del Pi, si celebrano anche le feste della radice quadrata. Si celebrano nove volte in cento anni, e sono determinati secondo il seguente principio: i numeri che indicano il giorno e il mese in ordine devono essere la radice quadrata dell'anno. Sì, dentro la prossima volta Questa festa sarà celebrata il 4 aprile 2016.

Proprietà della radice quadrata sul campo R

Quasi tutte le espressioni matematiche hanno una base geometrica, questo destino non è passato e √y, che è definito come il lato di un quadrato di area y.

Come trovare la radice di un numero?

Esistono diversi algoritmi di calcolo. Il più semplice, ma allo stesso tempo piuttosto ingombrante, è il solito calcolo aritmetico, che è il seguente:

1) dal numero di cui abbiamo bisogno la radice, i numeri dispari vengono sottratti a turno - fino a quando il resto dell'output è inferiore a quello sottratto o pari zero. Il numero di mosse alla fine diventerà il numero desiderato. Ad esempio, calcolando la radice quadrata di 25:

Il numero dispari successivo è 11, il resto è: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Per questi casi, esiste un'espansione in serie di Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , dove n assume valori da 0 a

+∞ e |y|≤1.

Rappresentazione grafica della funzione z=√y

Si consideri una funzione elementare z=√y sul campo dei numeri reali R, dove y è maggiore o uguale a zero. Il suo grafico si presenta così:

La curva cresce dall'origine e incrocia necessariamente il punto (1; 1).

Proprietà della funzione z=√y sul campo dei numeri reali R

1. Il dominio di definizione della funzione considerata è l'intervallo da zero a più infinito (zero è compreso).

2. L'intervallo di valori della funzione considerata è l'intervallo da zero a più infinito (lo zero è nuovamente incluso).

3. La funzione assume il valore minimo (0) solo nel punto (0; 0). Non esiste un valore massimo.

4. La funzione z=√y non è né pari né dispari.

5. La funzione z=√y non è periodica.

6. C'è un solo punto di intersezione del grafico della funzione z=√y con gli assi delle coordinate: (0; 0).

7. Il punto di intersezione del grafico della funzione z=√y è anche lo zero di questa funzione.

8. La funzione z=√y è in continua crescita.

9. La funzione z=√y assume solo valori positivi, quindi il suo grafico occupa il primo angolo di coordinate.

Opzioni per visualizzare la funzione z=√y

In matematica, per facilitare il calcolo di espressioni complesse, viene talvolta utilizzata la forma di scrittura della radice quadrata: √y=y 1/2. Questa opzione è conveniente, ad esempio, per elevare una funzione a potenza: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Questo metodo è anche una buona rappresentazione per la differenziazione con integrazione, poiché grazie ad esso la radice quadrata è rappresentata da una normale funzione di potenza.

E in programmazione, la sostituzione del simbolo √ è la combinazione di lettere sqrt.

Vale la pena notare che in quest'area la radice quadrata è molto richiesta, in quanto fa parte della maggior parte delle formule geometriche necessarie per i calcoli. L'algoritmo di conteggio stesso è piuttosto complicato e si basa sulla ricorsione (una funzione che chiama se stessa).

La radice quadrata nel campo complesso C

In generale, è stato l'argomento di questo articolo che ha stimolato la scoperta del campo dei numeri complessi C, poiché i matematici erano ossessionati dalla questione di ottenere una radice di grado pari da un numero negativo. Così mi è apparsa l'unità immaginaria, che è caratterizzata da una proprietà molto interessante: il suo quadrato è -1. Grazie a ciò, anche le equazioni quadratiche sono state risolte con un discriminante negativo. In C, per la radice quadrata, sono rilevanti le stesse proprietà di R, l'unica cosa è che le restrizioni sull'espressione radice vengono rimosse.

La superficie di un lotto di terreno quadrato è di 81 dm². Trova la sua parte. Supponiamo che la lunghezza del lato del quadrato sia X decimetri. Quindi l'area della trama è X² decimetri quadrati. Poiché, a seconda della condizione, questa superficie è di 81 dm², quindi X² = 81. La lunghezza del lato di un quadrato è un numero positivo. Un numero positivo il cui quadrato è 81 è il numero 9. Quando si risolve il problema, è stato necessario trovare il numero x, il cui quadrato è 81, ovvero risolvere l'equazione X² = 81. Questa equazione ha due radici: X 1 = 9 e X 2 \u003d - 9, da 9² \u003d 81 e (- 9)² \u003d 81. Entrambi i numeri 9 e - 9 sono chiamati radici quadrate del numero 81.

Nota che una delle radici quadrate X= 9 è un numero positivo. Si chiama radice quadrata aritmetica di 81 ed è indicata con √81, quindi √81 = 9.

Radice quadrata aritmetica di un numero unè un numero non negativo il cui quadrato è uguale a un.

Ad esempio, i numeri 6 e -6 sono le radici quadrate di 36. Il numero 6 è la radice quadrata aritmetica di 36, poiché 6 è un numero non negativo e 6² = 36. Il numero -6 non è una radice aritmetica.

Radice quadrata aritmetica di un numero un denotato come segue: √ un.

Il segno è chiamato segno aritmetico della radice quadrata; unè chiamata espressione radice. Espressione √ un leggere in questo modo: la radice quadrata aritmetica di un numero un. Ad esempio, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nei casi in cui è chiaro che noi stiamo parlando sulla radice aritmetica, dicono brevemente: "la radice quadrata di un«.

L'atto di trovare la radice quadrata di un numero si chiama prendere la radice quadrata. Questa azione è l'inverso della quadratura.

Qualsiasi numero può essere quadrato, ma non tutti i numeri possono essere radici quadrate. Ad esempio, è impossibile estrarre la radice quadrata del numero - 4. Se esistesse una tale radice, indicandola con la lettera X, otterremmo l'uguaglianza sbagliata x² \u003d - 4, poiché c'è un numero non negativo a sinistra e un numero negativo a destra.

Espressione √ un ha senso solo quando un ≥ 0. La definizione di radice quadrata si può scrivere sinteticamente come: √ un ≥ 0, (√un)² = un. Uguaglianza (√ un)² = un valido per un ≥ 0. Quindi, per assicurarsi che la radice quadrata di un numero non negativo unè uguale a b, cioè che √ un =b, è necessario verificare che siano soddisfatte le due condizioni seguenti: b ≥ 0, b² = un.

La radice quadrata di una frazione

Calcoliamo. Nota che √25 = 5, √36 = 6 e controlla se l'uguaglianza vale.

Come e , allora l'uguaglianza è vera. Così, .

Teorema: Se un un≥ 0 e b> 0, ovvero la radice della frazione uguale alla radice dal numeratore diviso per la radice del denominatore. È necessario dimostrare che: e .

Dal √ un≥0 e √ b> 0, quindi .

Per la proprietà di elevare una frazione a potenza e di determinare la radice quadrata il teorema è dimostrato. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Calcola , secondo il teorema dimostrato .

Secondo esempio: dimostralo , Se un ≤ 0, b < 0. .

Un altro esempio: Calcola .

.

Trasformazione radice quadrata

Estrarre il moltiplicatore da sotto il segno della radice. Sia data un'espressione. Se un un≥ 0 e b≥ 0, quindi per il teorema sulla radice del prodotto, possiamo scrivere:

Tale trasformazione è chiamata scomposizione del segno radice. Considera un esempio;

Calcola a X= 2. Sostituzione diretta X= 2 nell'espressione radicale porta a calcoli complicati. Questi calcoli possono essere semplificati se prima rimuoviamo i fattori da sotto il segno della radice: . Sostituendo ora x = 2, otteniamo:.

Quindi, quando si estrae il fattore da sotto il segno della radice, l'espressione radicale è rappresentata come un prodotto in cui uno o più fattori sono i quadrati di numeri non negativi. Viene quindi applicato il teorema del prodotto radice e viene presa la radice di ciascun fattore. Consideriamo un esempio: Semplificando l'espressione A = √8 + √18 - 4√2 togliendo i fattori da sotto il segno della radice nei primi due termini, otteniamo:. Sottolineiamo che l'uguaglianza valido solo quando un≥ 0 e b≥ 0. se un < 0, то .

Abbastanza spesso, quando risolviamo problemi, ci troviamo di fronte a grandi numeri da cui dobbiamo estrarre Radice quadrata. Molti studenti decidono che questo è un errore e iniziano a risolvere l'intero esempio. In nessun caso questo dovrebbe essere fatto! Ci sono due ragioni per questo:

1. Radici da grandi numeri effettivamente si verificano nei compiti. Soprattutto nel testo;
2. Esiste un algoritmo mediante il quale queste radici vengono considerate quasi verbalmente.

Considereremo questo algoritmo oggi. Forse alcune cose ti sembreranno incomprensibili. Ma se presti attenzione a questa lezione, otterrai l'arma più potente contro radici quadrate.

Quindi l'algoritmo:

1. Limitare la radice desiderata sopra e sotto a multipli di 10. Pertanto, ridurremo l'intervallo di ricerca a 10 numeri;
2. Da questi 10 numeri, elimina quelli che sicuramente non possono essere radici. Di conseguenza, rimarranno 1-2 numeri;
3. Al quadrato questi 1-2 numeri. Quella di loro, il cui quadrato è uguale al numero originale, sarà la radice.

Prima di applicare questo algoritmo funziona in pratica, diamo un'occhiata a ogni singolo passaggio.

Vincolo delle radici

Prima di tutto, dobbiamo scoprire tra quali numeri si trova la nostra radice. È altamente auspicabile che i numeri siano un multiplo di dieci:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Otteniamo una serie di numeri:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Cosa ci danno questi numeri? È semplice: otteniamo dei limiti. Prendi, ad esempio, il numero 1296. Si trova tra 900 e 1600. Pertanto, la sua radice non può essere inferiore a 30 e maggiore di 40:

[Didascalia]

Lo stesso vale per qualsiasi altro numero da cui puoi trovare la radice quadrata. Ad esempio, 3364:

[Didascalia]

Quindi, invece di un numero incomprensibile, otteniamo un intervallo molto specifico in cui si trova la radice originale. Per restringere ulteriormente l'ambito della ricerca, vai al secondo passaggio.

Eliminazione dei numeri ovviamente superflui

Quindi, abbiamo 10 numeri - candidati per la radice. Li abbiamo ricevuti molto rapidamente, senza pensieri complessi e moltiplicazioni in una colonna. È ora di andare avanti.

Che ci crediate o no, ora ridurremo il numero di numeri candidati a due - e ancora senza complicati calcoli! abbastanza per sapere regola speciale. Ecco qui:

L'ultima cifra del quadrato dipende solo dall'ultima cifra numero originale.

In altre parole, basta guardare l'ultima cifra del quadrato e capiremo immediatamente dove finisce il numero originale.

Ci sono solo 10 cifre che possono stare in piedi ultimo posto. Proviamo a scoprire in cosa si trasformano quando sono al quadrato. Dai un'occhiata alla tabella:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Questa tabella è un altro passo verso il calcolo della radice. Come puoi vedere, i numeri nella seconda riga si sono rivelati simmetrici rispetto ai cinque. Per esempio:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Come puoi vedere, l'ultima cifra è la stessa in entrambi i casi. E questo significa che, ad esempio, la radice di 3364 termina necessariamente con 2 o 8. Ricordiamo invece la restrizione del paragrafo precedente. Noi abbiamo:

[Didascalia]

I quadratini rossi indicano che non conosciamo ancora questa cifra. Ma in fondo la radice è compresa tra 50 e 60, su cui ci sono solo due numeri che terminano con 2 e 8:

[Didascalia]

È tutto! Di tutte le possibili radici, abbiamo lasciato solo due opzioni! E questo è nel caso più difficile, perché l'ultima cifra può essere 5 o 0. E poi ci sarà l'unico candidato per le radici!

Calcoli finali

Quindi, abbiamo 2 numeri candidati rimasti. Come fai a sapere qual è la radice? La risposta è ovvia: quadra entrambi i numeri. Quello al quadrato darà il numero originale e sarà la radice.

Ad esempio, per il numero 3364, abbiamo trovato due numeri candidati: 52 e 58. Mettiamoli al quadrato:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

È tutto! Si è scoperto che la radice è 58! Allo stesso tempo, per semplificare i calcoli, ho utilizzato la formula dei quadrati della somma e della differenza. Grazie a questo, non dovevi nemmeno moltiplicare i numeri in una colonna! Questo è un altro livello di ottimizzazione dei calcoli, ma, ovviamente, è completamente opzionale :)

Esempi di calcolo della radice

La teoria è buona, ovviamente. Ma proviamolo in pratica.

[Didascalia]

Per prima cosa, scopriamo tra quali numeri si trova il numero 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ora diamo un'occhiata all'ultimo numero. È uguale a 6. Quando succede? Solo se la radice termina con 4 o 6. Otteniamo due numeri:

Resta da quadrare ogni numero e confrontarlo con l'originale:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Bene! Il primo quadrato è risultato essere uguale al numero originale. Quindi questa è la radice.

Compito. Calcola la radice quadrata:

[Didascalia]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Diamo un'occhiata all'ultimo numero:

1369 → 9;
33; 37.

Mettiamola al quadrato:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Ecco la risposta: 37.

Compito. Calcola la radice quadrata:

[Didascalia]

Limitiamo il numero:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Diamo un'occhiata all'ultimo numero:

2704 → 4;
52; 58.

Mettiamola al quadrato:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Abbiamo la risposta: 52. Non sarà più necessario al quadrato il secondo numero.

Compito. Calcola la radice quadrata:

[Didascalia]

Limitiamo il numero:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Diamo un'occhiata all'ultimo numero:

4225 → 5;
65.

Come puoi vedere, dopo il secondo passaggio, rimane solo un'opzione: 65. Questa è la radice desiderata. Ma facciamo ancora il quadrato e controlliamo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Tutto è corretto. Scriviamo la risposta.

Conclusione

Ahimè, non meglio. Diamo un'occhiata ai motivi. Ce ne sono due:

• È vietato l'uso della calcolatrice in qualsiasi normale esame di matematica, sia esso il GIA o l'Esame di Stato unificato. E per portare una calcolatrice in classe, possono essere facilmente espulsi dall'esame.
• Non essere come gli stupidi americani. Che non sono come le radici: non possono sommare due numeri primi. E alla vista delle frazioni, generalmente diventano isteriche.

In questo articolo introduciamo il concetto di radice di un numero. Agiremo in sequenza: inizieremo con la radice quadrata, da essa si passerà alla descrizione radice cubica, dopodiché generalizziamo il concetto di radice definendo la radice dell'ennesimo grado. Allo stesso tempo, introdurremo definizioni, notazioni, forniremo esempi di radici e forniremo le spiegazioni e i commenti necessari.

Radice quadrata, radice quadrata aritmetica

Per capire la definizione della radice di un numero, e della radice quadrata in particolare, si deve avere . A questo punto, incontreremo spesso la seconda potenza di un numero: il quadrato di un numero.

Iniziamo con definizioni di radice quadrata.

Definizione

La radice quadrata di aè il numero il cui quadrato è a .

Per portare esempi di radici quadrate, prendi diversi numeri, ad esempio 5 , −0.3 , 0.3 , 0 e quadrali, otteniamo rispettivamente i numeri 25 , 0.09 , 0.09 e 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 e 0 2 =0 0=0 ). Quindi, secondo la definizione di cui sopra, 5 è la radice quadrata di 25, −0,3 e 0,3 sono le radici quadrate di 0,09 e 0 è la radice quadrata di zero.

Si noti che per nessun numero a esiste il cui quadrato è uguale ad a. Vale a dire, per qualsiasi numero negativo a non ci sono numero reale b , il cui quadrato sarebbe uguale ad a . Infatti, l'uguaglianza a=b 2 è impossibile per ogni a negativo, poiché b 2 è un numero non negativo per ogni b . Così, sull'insieme dei numeri reali non c'è radice quadrata di un numero negativo. In altre parole, sull'insieme dei numeri reali, la radice quadrata di un numero negativo non è definita e non ha significato.

Questo porta a una domanda logica: "C'è una radice quadrata di a per ogni a non negativo"? La risposta è si. La logica di questo fatto può essere considerata un metodo costruttivo utilizzato per trovare il valore della radice quadrata.

Quindi sorge la seguente domanda logica: "Qual è il numero di tutte le radici quadrate di un dato numero non negativo a - uno, due, tre o anche di più"? Ecco la risposta: se a è zero, l'unica radice quadrata di zero è zero; se a è un numero positivo, allora il numero di radici quadrate dal numero a è uguale a due e le radici sono . Confermiamo questo.

Iniziamo con il caso a=0 . Dimostriamo innanzitutto che zero è effettivamente la radice quadrata di zero. Ciò deriva dall'ovvia uguaglianza 0 2 =0·0=0 e dalla definizione della radice quadrata.

Ora dimostriamo che 0 è l'unica radice quadrata di zero. Usiamo il metodo opposto. Assumiamo che esista un numero b diverso da zero che sia la radice quadrata di zero. Allora deve essere soddisfatta la condizione b 2 =0, cosa impossibile, poiché per ogni b diverso da zero il valore dell'espressione b 2 è positivo. Siamo giunti a una contraddizione. Ciò dimostra che 0 è l'unica radice quadrata di zero.

Passiamo ai casi in cui a è un numero positivo. Sopra abbiamo detto che c'è sempre una radice quadrata di qualsiasi numero non negativo, sia b la radice quadrata di a. Diciamo che esiste un numero c , che è anche la radice quadrata di a . Allora, per la definizione della radice quadrata, valgono le uguaglianze b 2 =a e c 2 =a, da cui segue che b 2 −c 2 =a−a=0, ma poiché b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , quindi (b−c) (b+c)=0 . L'uguaglianza risultante in vigore proprietà di azioni con numeri reali possibile solo quando b−c=0 o b+c=0 . Quindi i numeri b e c sono uguali o opposti.

Se assumiamo che c'è un numero d, che è un'altra radice quadrata del numero a, allora con ragionamenti simili a quelli già dati, si dimostra che d è uguale al numero b o al numero c. Quindi, il numero di radici quadrate di un numero positivo è due e le radici quadrate sono numeri opposti.

Per la comodità di lavorare con radici quadrate radice negativa separa dal positivo. A tal fine, introduce definizione di radice quadrata aritmetica.

Definizione

Radice quadrata aritmetica di un numero non negativo aè un numero non negativo il cui quadrato è uguale a .

Per la radice quadrata aritmetica del numero a, la notazione è accettata. Il segno è chiamato segno della radice quadrata aritmetica. È anche chiamato il segno del radicale. Pertanto, puoi in parte sentire sia "radice" che "radicale", il che significa lo stesso oggetto.

Viene chiamato il numero sotto il segno della radice quadrata aritmetica numero di radice, e l'espressione sotto il segno della radice - espressione radicale, mentre il termine "numero radicale" è spesso sostituito da "espressione radicale". Ad esempio, nella notazione, il numero 151 è un numero radicale e nella notazione l'espressione a è un'espressione radicale.

Durante la lettura, la parola "aritmetica" viene spesso omessa, ad esempio, la voce viene letta come "la radice quadrata di sette virgola ventinove centesimi". La parola "aritmetica" si pronuncia solo quando si vuole sottolineare che si tratta della radice quadrata positiva di un numero.

Alla luce della notazione introdotta, dalla definizione della radice quadrata aritmetica deriva che per ogni numero non negativo a .

Le radici quadrate di un numero positivo a vengono scritte usando il segno della radice quadrata aritmetica come e . Ad esempio, le radici quadrate di 13 sono e . La radice quadrata aritmetica di zero è zero, cioè . Per i numeri negativi a, non attribuiremo un significato alle voci finché non studieremo numeri complessi. Ad esempio, le espressioni e sono prive di significato.

Sulla base della definizione di radice quadrata, vengono dimostrate le proprietà delle radici quadrate, che vengono spesso utilizzate nella pratica.

Per concludere questo paragrafo, notiamo che le radici quadrate di un numero sono soluzioni della forma x 2 =a rispetto alla variabile x .

radice cubica di

Definizione della radice cubica del numero a è dato in modo simile alla definizione della radice quadrata. Solo che si basa sul concetto di un cubo di un numero, non di un quadrato.

Definizione

La radice cubica di a viene chiamato un numero il cui cubo è uguale ad a.

Portiamo esempi radici cubiche . Per fare ciò, prendi diversi numeri, ad esempio 7 , 0 , −2/3 , e tagliali a cubetti: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Quindi, in base alla definizione della radice cubica, possiamo dire che il numero 7 è la radice cubica di 343, 0 è la radice cubica di zero e −2/3 è la radice cubica di −8/27.

Si può dimostrare che la radice cubica del numero a, a differenza della radice quadrata, esiste sempre, e non solo per a non negativo, ma anche per qualsiasi numero reale a. Per fare ciò, puoi usare lo stesso metodo che abbiamo menzionato nello studio della radice quadrata.

Inoltre, esiste una sola radice cubica di un dato numero a. Proviamo l'ultima affermazione. Per fare ciò, considera tre casi separatamente: a è un numero positivo, a=0 e a è un numero negativo.

È facile dimostrare che per a positivo, la radice cubica di a non può essere né negativa né zero. Sia infatti b la radice cubica di a , allora per definizione possiamo scrivere l'uguaglianza b 3 =a . È chiaro che tale uguaglianza non può essere vera per b negativo e per b=0, poiché in questi casi b 3 =b·b·b sarà rispettivamente un numero negativo o zero. Quindi la radice cubica di un numero positivo a è un numero positivo.

Supponiamo ora che oltre al numero b ci sia una radice cubica in più rispetto al numero a, indichiamola c. Allora c 3 = a. Pertanto, b 3 −c 3 =a−a=0 , ma b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(questa è la formula abbreviata di moltiplicazione differenza di cubi), da cui (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . L'uguaglianza risultante è possibile solo quando b−c=0 oppure b 2 +b c+c 2 =0 . Dalla prima uguaglianza abbiamo b=c , e la seconda uguaglianza non ha soluzioni, poiché il suo lato sinistro è un numero positivo per qualsiasi numero positivo b e c come somma di tre termini positivi b 2 , b c e c 2 . Ciò dimostra l'unicità della radice cubica di un numero positivo a.

Per a=0, l'unica radice cubica di a è zero. Infatti, se assumiamo che esista un numero b , che è una radice cubica diversa da zero di zero, allora deve valere l'uguaglianza b 3 =0, il che è possibile solo quando b=0 .

Per a negativo, si può argomentare in modo simile al caso per a positivo. In primo luogo, mostriamo che la radice cubica di un numero negativo non può essere uguale né a un numero positivo né a zero. In secondo luogo, assumiamo che esista una seconda radice cubica di un numero negativo e mostriamo che coinciderà necessariamente con il primo.

Quindi, c'è sempre una radice cubica di ogni dato numero reale a, e solo uno.

Diamo definizione di radice cubica aritmetica.

Definizione

Radice cubica aritmetica di un numero non negativo a viene chiamato un numero non negativo il cui cubo è uguale ad a.

La radice cubica aritmetica di un numero a non negativo è indicata come , il segno è chiamato il segno della radice cubica aritmetica, il numero 3 in questa notazione è chiamato indicatore di radice. Il numero sotto il segno della radice è numero di radice, l'espressione sotto il segno della radice è espressione radicale.

Sebbene la radice cubica aritmetica sia definita solo per i numeri a non negativi, è anche conveniente utilizzare voci in cui i numeri negativi sono sotto il segno della radice cubica aritmetica. Li capiremo come segue: , dove a è un numero positivo. Per esempio, .

Parleremo delle proprietà delle radici del cubo nelle proprietà generali dell'articolo delle radici.

Il calcolo del valore di una radice cubica è chiamato estrazione di una radice cubica, questa azione è discussa nell'articolo estrazione di radici: metodi, esempi, soluzioni.

Per concludere questa sottosezione, diciamo che la radice cubica di a è una soluzione della forma x 3 =a.

N-esima radice, radice aritmetica di n

Generalizziamo il concetto di radice da un numero - introduciamo determinazione dell'ennesima radice per n.

Definizione

ennesima radice di aè un numero la cui n-esima potenza è uguale ad a.

Da questa definizione è chiaro che la radice del primo grado dal numero a è il numero a stesso, poiché studiando il grado con un indicatore naturale, abbiamo preso a 1 = a.

Sopra, abbiamo considerato casi speciali della radice dell'ennesimo grado per n=2 e n=3 - la radice quadrata e la radice cubica. Cioè, la radice quadrata è la radice del secondo grado e la radice cubica è la radice del terzo grado. Per studiare le radici dell'ennesimo grado per n=4, 5, 6, ..., è conveniente dividerle in due gruppi: il primo gruppo - le radici dei gradi pari (cioè per n=4, 6 , 8, ...), il secondo gruppo - le radici gradi dispari (ovvero, per n=5, 7, 9, ... ). Ciò è dovuto al fatto che le radici dei gradi pari sono simili alla radice quadrata e le radici dei gradi dispari sono simili alla radice cubica. Affrontiamoli a turno.

Iniziamo con radici i cui poteri sono numeri pari 4, 6, 8, ... Come abbiamo già detto, sono analoghi alla radice quadrata di a. Cioè, la radice di qualsiasi grado pari dal numero a esiste solo per a non negativo. Inoltre, se a=0, allora la radice di a è unica e uguale a zero, e se a>0, allora ci sono due radici di grado pari dal numero a, e sono numeri opposti.

Giustifichiamo l'ultima affermazione. Sia b una radice di grado pari (la indichiamo come 2 m, dove m è alcuni numero naturale) dal numero a . Supponiamo che ci sia un numero c - un'altra radice di 2 m di a . Allora b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ma sappiamo della forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), allora (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Da questa uguaglianza segue che b−c=0 , oppure b+c=0 , o b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Le prime due uguaglianze significano che i numeri b e c sono uguali o b e c sono opposti. E l'ultima uguaglianza è valida solo per b=c=0 , poiché il suo lato sinistro contiene un'espressione che non è negativa per qualsiasi b e c come somma di numeri non negativi.

Quanto alle radici dell'ennesimo grado per n dispari, sono simili alla radice cubica. Cioè, la radice di qualsiasi grado dispari dal numero a esiste per qualsiasi numero reale a, e per un dato numero a è unico.

L'unicità della radice di grado dispari 2·m+1 dal numero a è dimostrata per analogia con la dimostrazione dell'unicità della radice cubica da a . Solo qui invece dell'uguaglianza a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) un'uguaglianza della forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). L'espressione nell'ultima parentesi può essere riscritta come b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Ad esempio, per m=2 abbiamo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Quando a e b sono entrambi positivi o entrambi negativi, il loro prodotto è un numero positivo, allora l'espressione b 2 +c 2 +b·c , che è tra parentesi del più alto grado di annidamento, è positiva come somma di positivo numeri. Ora, spostandoci successivamente alle espressioni tra parentesi dei precedenti gradi di annidamento, ci assicuriamo che siano positive anche come somme di numeri positivi. Di conseguenza, otteniamo che l'uguaglianza b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 possibile solo quando b−c=0 , cioè quando il numero b è uguale al numero c .

È tempo di occuparsi della notazione delle radici dell'ennesimo grado. Per questo è dato determinazione della radice aritmetica dell'ennesimo grado.

Definizione

La radice aritmetica dell'ennesimo grado di un numero non negativo a viene chiamato un numero non negativo la cui n-esima potenza è uguale ad a.