4 numeri irrazionali con esempi. Cosa sono i numeri razionali e irrazionali

L'insieme dei numeri irrazionali è solitamente indicato con il capitale Lettera latina Io (\ displaystyle \ mathbb (I) ) in grassetto senza riempimento. Così: I = R ∖ Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ barra rovesciata \ mathbb (Q)), cioè l'insieme dei numeri irrazionali è la differenza tra gli insiemi dei numeri reali e razionali.

L'esistenza dei numeri irrazionali, più precisamente segmenti incommensurabili con un segmento di lunghezza unitaria, era già nota ai matematici antichi: conoscevano, ad esempio, l'incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che equivale all'irrazionalità del numero.

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Irrazionali sono:

Esempi di prova di irrazionalità

Radice di 2

Diciamo il contrario: 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))) razionale, cioè rappresentato come una frazione m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), dove m (\ displaystyle m)è un numero intero, e n (\ displaystyle n)- numero naturale .
Mettiamo al quadrato la presunta uguaglianza:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ frac (m ^ (2) ))(n^(2)))\Freccia destra m^(2)=2n^(2)).
Storia

Antichità

Il concetto di numeri irrazionali fu adottato implicitamente dai matematici indiani nel VII secolo a.C., quando Manawa (c. 750 a.C. - c. 690 a.C.) scoprì che radici quadrate alcuni numeri naturali, come 2 e 61, non possono essere espressi esplicitamente [ ] .
La prima prova dell'esistenza di numeri irrazionali è solitamente attribuita a Ippaso di Metaponto (500 aC circa), un pitagorico. Al tempo dei Pitagorici si credeva che esistesse una sola unità di lunghezza, sufficientemente piccola ed indivisibile, che è un numero intero di volte compreso in ogni segmento [ ] .
Non ci sono dati esatti sull'irrazionalità di quale numero sia stato dimostrato da Ippaso. Secondo la leggenda, lo trovò studiando le lunghezze dei lati del pentagramma. Pertanto, è ragionevole presumere che questo fosse il rapporto aureo [ ] .
I matematici greci chiamavano questo rapporto di quantità incommensurabili alogos(inesprimibile), ma secondo le leggende, Ippaso non riceveva il dovuto rispetto. C'è una leggenda secondo cui Ippaso fece la scoperta durante un viaggio per mare e fu gettato in mare da altri pitagorici "per aver creato un elemento dell'universo, che nega la dottrina secondo cui tutte le entità nell'universo possono essere ridotte a numeri interi e ai loro rapporti. " La scoperta di Ippa precede la matematica pitagorica problema serio, distruggendo l'assunto che sta alla base dell'intera teoria che i numeri e gli oggetti geometrici siano uno e inseparabile.

Con un segmento di lunghezza unitaria, i matematici antichi lo sapevano già: conoscevano, ad esempio, l'incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che equivale all'irrazionalità del numero.

Irrazionali sono:

Esempi di prova di irrazionalità

Radice di 2

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione irriducibile, dove e sono interi. Mettiamo al quadrato la presunta uguaglianza:
.
Da ciò ne consegue che anche, quindi, pari e . Lascia dove il tutto. Quindi

Pertanto, anche, quindi, pari e . L'abbiamo ottenuto e siamo pari, il che contraddice l'irriducibilità della frazione. Quindi l'ipotesi originale era sbagliata, e - ir numero razionale.

Logaritmo binario del numero 3

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione, dove e sono interi. Poiché , e può essere considerato positivo. Quindi

Ma è chiaro, è strano. Otteniamo una contraddizione.

e

Storia

Il concetto di numeri irrazionali fu adottato implicitamente dai matematici indiani nel VII secolo a.C., quando Manawa (c. 750 a.C. - c. 690 a.C.) scoprì che le radici quadrate di alcuni numeri naturali, come 2 e 61, non possono essere espresse esplicitamente.

La prima prova dell'esistenza di numeri irrazionali è solitamente attribuita a Ippaso di Metaponto (500 aC circa), un pitagorico che trovò questa prova studiando le lunghezze dei lati di un pentagramma. Al tempo dei Pitagorici si credeva che esistesse un'unica unità di lunghezza, sufficientemente piccola e indivisibile, che è un numero intero di volte compreso in ogni segmento. Tuttavia, Ippaso ha sostenuto che non esiste una singola unità di lunghezza, poiché l'ipotesi della sua esistenza porta a una contraddizione. Ha mostrato che se l'ipotenusa di un isoscele triangolo rettangolo contiene un numero intero di segmenti unitari, quindi questo numero deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo. La dimostrazione si presentava così:
- Il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza della gamba di un triangolo rettangolo isoscele può essere espresso come un:b, dove un e b selezionato come il più piccolo possibile.
- Secondo il teorema di Pitagora: un² = 2 b².
- Come un² anche, un deve essere pari (poiché il quadrato di un numero dispari sarebbe dispari).
- Nella misura in cui un:b irriducibile b deve essere strano.
- Come un anche, denotare un = 2y.
- Quindi un² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², quindi bè pari, quindi b Anche.
- Tuttavia, è stato dimostrato che b strano. Contraddizione.
I matematici greci chiamavano questo rapporto di quantità incommensurabili alogos(inesprimibile), ma secondo le leggende, Ippaso non riceveva il dovuto rispetto. C'è una leggenda secondo cui Ippaso fece la scoperta durante un viaggio per mare e fu gettato in mare da altri pitagorici "per aver creato un elemento dell'universo, che nega la dottrina secondo cui tutte le entità nell'universo possono essere ridotte a numeri interi e ai loro rapporti. " La scoperta di Ippaso pose un serio problema per la matematica pitagorica, distruggendo l'assunto alla base dell'intera teoria secondo cui i numeri e gli oggetti geometrici sono uno e inseparabile.

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numero razionaleè un numero rappresentato da una frazione ordinaria m/n, dove il numeratore m è un intero e il denominatore n è un numero naturale. Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione decimale infinita periodica. L'insieme dei numeri razionali è indicato con Q.

Se un numero reale non è razionale, allora lo è numero irrazionale . Le frazioni decimali che esprimono numeri irrazionali sono infinite e non periodiche. L'insieme dei numeri irrazionali è solitamente indicato dalla lettera latina maiuscola I.

Viene chiamato il numero reale algebrico, se è una radice di un polinomio (grado diverso da zero) con coefficienti razionali. Viene chiamato qualsiasi numero non algebrico trascendente.

Alcune proprietà:
Quando si risolvono problemi, è conveniente, insieme al numero irrazionale a + b√ c (dove a, b sono numeri razionali, c è un intero che non è un quadrato di un numero naturale), considerare il numero “coniugato” con it a - b√ c: sua somma e prodotto con i numeri originali - razionali. Quindi a + b√ c e a – b√ c sono le radici di un'equazione quadratica a coefficienti interi.

Problemi con soluzioni

1. Dimostralo

a) numero √ 7;

b) numero lg 80;

c) numero √ 2 + 3 √ 3;

è irrazionale.

a) Assumiamo che il numero √ 7 sia razionale. Allora, ci sono coprimi p e q tali che √ 7 = p/q, da cui otteniamo p 2 = 7q 2 . Poiché p e q sono coprimi, allora p 2, e quindi p è divisibile per 7. Allora р = 7k, dove k è un numero naturale. Quindi q 2 = 7k 2 = pk, il che contraddice il fatto che p e q sono coprimi.

Quindi, l'ipotesi è falsa, quindi il numero √ 7 è irrazionale.

b) Assumiamo che il numero lg 80 sia razionale. Allora ci sono p e q naturali tali che lg 80 = p/q, oppure 10 p = 80 q , da cui otteniamo 2 p–4q = 5 q–p . Tenendo conto che i numeri 2 e 5 sono coprimi, otteniamo che l'ultima uguaglianza è possibile solo per p–4q = 0 e q–p = 0. Da cui p = q = 0, cosa impossibile, poiché p e q sono scelto per essere naturale.

Quindi, l'ipotesi è falsa, quindi il numero lg 80 è irrazionale.

c) Indichiamo questo numero con x.

Quindi (x - √ 2) 3 \u003d 3 o x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Dopo aver quadrato questa equazione, otteniamo che x deve soddisfare l'equazione

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Le sue radici razionali possono essere solo i numeri 1 e -1. Il controllo mostra che 1 e -1 non sono radici.

Quindi, il numero dato √ 2 + 3 √ 3 è irrazionale.

2. È noto che i numeri a, b, √ a –√ b ,- razionale. Prova che √ a e √ b sono anche numeri razionali.

Considera il prodotto

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Numero √ a + √ b , che è uguale al rapporto dei numeri a – b e √ a –√ b ,è razionale perché il quoziente di due numeri razionali è un numero razionale. Somma di due numeri razionali

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

è un numero razionale, la loro differenza,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

è anche un numero razionale, che doveva essere dimostrato.

3. Dimostrare che esistono numeri irrazionali positivi aeb per i quali il numero a b è naturale.

4. Esistono numeri razionali a, b, c, d che soddisfano l'uguaglianza

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

dove n è un numero naturale?

Se l'uguaglianza data nella condizione è soddisfatta e i numeri a, b, c, d sono razionali, allora è soddisfatta anche l'uguaglianza:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Ma 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. La contraddizione risultante prova che l'uguaglianza originaria è impossibile.

Risposta: non esistono.

5. Se i segmenti di lunghezza a, b, c formano un triangolo, allora per tutti n = 2, 3, 4, . . . anche i segmenti di lunghezza n √ a , n √ b , n √ c formano un triangolo. Provalo.

Se i segmenti di lunghezza a, b, c formano un triangolo, allora si ottiene la disuguaglianza triangolare

Quindi abbiamo

( n √ un + n √ b ) n > un + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

I restanti casi di controllo della disuguaglianza triangolare sono considerati in modo simile, da cui segue la conclusione.

6. Dimostra che la frazione decimale infinita 0.1234567891011121314... numeri interi in ordine) è un numero irrazionale.

Come sapete, i numeri razionali sono espressi come frazioni decimali, che hanno un periodo che inizia da un certo segno. Pertanto, basta provare che questa frazione non è periodica con alcun segno. Supponiamo che non sia così, e che una sequenza T, composta da n cifre, sia il periodo di una frazione, a partire dall'ennesima cifra decimale. È chiaro che ci sono cifre diverse da zero dopo l'ennesima cifra, quindi c'è una cifra diversa da zero nella sequenza di cifre T. Ciò significa che a partire dalla m-esima cifra dopo la virgola decimale, tra n cifre qualsiasi di una riga c'è una cifra diversa da zero. Tuttavia, nella notazione decimale di questa frazione, deve esserci una notazione decimale per il numero 100...0 = 10 k , dove k > m e k > n. È chiaro che questa voce si verificherà a destra della m-esima cifra e conterrà più di n zeri di seguito. Si ottiene così una contraddizione, che completa la dimostrazione.

7. Data una frazione decimale infinita 0,a 1 a 2 ... . Dimostra che le cifre nella sua notazione decimale possono essere riorganizzate in modo che la frazione risultante esprima un numero razionale.

Ricordiamo che una frazione esprime un numero razionale se e solo se è periodica, partendo da qualche segno. Dividiamo i numeri da 0 a 9 in due classi: nella prima classe includiamo quei numeri che ricorrono nella frazione originale un numero finito di volte, nella seconda classe - quelli che ricorrono nella frazione originale un numero infinito di volte. Iniziamo a scrivere una frazione periodica, che può essere ottenuta dalla permutazione originale delle cifre. Innanzitutto, dopo zero e una virgola, scriviamo in ordine casuale tutti i numeri della prima classe, ciascuno tante volte quante si verifica nell'immissione della frazione originale. Le cifre della prima classe scritte precederanno il punto nella parte frazionaria del decimale. Successivamente, annotiamo i numeri della seconda classe in un certo ordine una volta. Dichiareremo questa combinazione un punto e la ripeteremo un numero infinito di volte. Quindi, abbiamo scritto la frazione periodica richiesta esprimendo un numero razionale.

8. Dimostrare che in ogni frazione decimale infinita c'è una sequenza di cifre decimali di lunghezza arbitraria, che si verifica infinite volte nell'espansione della frazione.

Sia m un numero naturale dato arbitrariamente. Rompiamo questa frazione decimale infinita in segmenti, ciascuno con m cifre. Ci saranno infiniti di questi segmenti. Dall'altro lato, vari sistemi, composto da m cifre, ci sono solo 10 m , cioè un numero finito. Di conseguenza, almeno uno di questi sistemi deve essere ripetuto qui infinite volte.

Commento. Per numeri irrazionali √ 2 , π o e non sappiamo nemmeno quale cifra sia ripetuta infinite volte negli infiniti decimali che li rappresentano, sebbene si possa facilmente dimostrare che ciascuno di questi numeri contiene almeno due distinte di tali cifre.

9. Dimostrare in modo elementare che la radice positiva dell'equazione

è irrazionale.

Per x > 0, il lato sinistro dell'equazione aumenta con x, ed è facile vedere che a x = 1,5 è minore di 10, e a x = 1,6 è maggiore di 10. Pertanto, l'unica radice positiva di l'equazione si trova all'interno dell'intervallo (1.5 ; 1.6).

Scriviamo la radice come una frazione irriducibile p/q, dove p e q sono dei numeri naturali coprimi. Quindi, per x = p/q, l'equazione assumerà la seguente forma:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

da cui segue che p è un divisore di 10, quindi p è uguale a uno dei numeri 1, 2, 5, 10. Tuttavia, scrivendo frazioni con i numeratori 1, 2, 5, 10, notiamo subito che nessuno dei ricade all'interno dell'intervallo (1.5; 1.6).

Quindi, la radice positiva dell'equazione originale non può essere rappresentata come frazione comune, il che significa che è un numero irrazionale.

10. a) Ci sono tre punti A, B e C sul piano tali che per ogni punto X la lunghezza di almeno uno dei segmenti XA, XB e XC sia irrazionale?

b) Le coordinate dei vertici del triangolo sono razionali. Dimostra che anche le coordinate del centro della sua circonferenza circoscritta sono razionali.

c) Esiste una sfera su cui c'è esattamente un punto razionale? (Un punto razionale è un punto per il quale tutte e tre le coordinate cartesiane sono numeri razionali.)

a) Sì, ci sono. Sia C il punto medio del segmento AB. Quindi XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Se il numero AB 2 è irrazionale, allora i numeri XA, XB e XC non possono essere razionali contemporaneamente.

b) Siano (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) e (a 3 ; b 3) le coordinate dei vertici del triangolo. Le coordinate del centro della sua circonferenza circoscritta sono date dal sistema di equazioni:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

È facile verificare che queste equazioni siano lineari, il che significa che la soluzione del sistema di equazioni considerato è razionale.

c) Tale sfera esiste. Ad esempio, una sfera con l'equazione

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Il punto O con coordinate (0; 0; 0) è un punto razionale che giace su questa sfera. I restanti punti della sfera sono irrazionali. Dimostriamolo.

Supponiamo il contrario: sia (x; y; z) un punto razionale della sfera, diverso dal punto O. È chiaro che x è diverso da 0, poiché per x = 0 esiste un'unica soluzione (0; 0 ; 0), che ora non possiamo interessare. Espandiamo le parentesi ed esprimiamo √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

che non può essere per razionale x, y, z e irrazionale √ 2 . Quindi, O(0; 0; 0) è l'unico punto razionale sulla sfera in esame.

Problemi senza soluzioni

1. Dimostra che il numero

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

è irrazionale.

2. Per quali interi m e n vale l'uguaglianza (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Esiste un numero a tale che i numeri a - √ 3 e 1/a + √ 3 siano interi?

4. I numeri 1, √ 2, 4 possono essere membri (non necessariamente adiacenti) di una progressione aritmetica?

5. Dimostrare che per ogni intero positivo n l'equazione (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 non ha soluzioni in numeri razionali (x; y).

Un numero razionale è un numero che può essere rappresentato come una frazione, dove . Q è l'insieme di tutti i numeri razionali.

I numeri razionali si dividono in: positivo, negativo e zero.

Ogni numero razionale può essere associato a un singolo punto sulla linea delle coordinate. La relazione "a sinistra" per i punti corrisponde alla relazione "minore di" per le coordinate di questi punti. Si può vedere che ogni numero negativo è minore di zero e ogni numero positivo; di due numeri negativi, quello il cui modulo è maggiore è minore. Quindi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione periodica decimale. Per esempio, .

Gli algoritmi per le operazioni sui numeri razionali seguono dalle regole dei segni per le corrispondenti operazioni su zero e frazioni positive. Q esegue una divisione diversa dalla divisione per zero.

Qualsiasi equazione lineare, cioè. equazione della forma ax+b=0, dove , è risolvibile sull'insieme Q, ma non qualsiasi equazione quadrata tipo , è risolvibile in numeri razionali. Non tutti i punti di una linea coordinata hanno un punto razionale. Anche alla fine del VI sec. n. Nella scuola di Pitagora si è dimostrato che la diagonale di un quadrato non è commisurata alla sua altezza, il che equivale all'affermazione: "L'equazione non ha radici razionali". Tutto quanto sopra ha portato alla necessità di ampliare l'insieme Q, è stato introdotto il concetto di numero irrazionale. Indica l'insieme di numeri irrazionali con la lettera J .

Su una linea di coordinate, tutti i punti che non hanno coordinate razionali hanno coordinate irrazionali. , dove r– imposta numeri reali. in modo universale le assegnazioni di numeri reali sono decimali. I decimali periodici definiscono i numeri razionali e i decimali non periodici definiscono i numeri irrazionali. Quindi, 2.03 (52) è un numero razionale, 2.03003000300003 ... (il periodo di ogni cifra "3" successiva è scritto uno zero in più) è un numero irrazionale.

Gli insiemi Q e R hanno le proprietà di positività: tra due numeri razionali qualsiasi c'è un numero razionale, ad esempio ecoi a
Per ogni numero irrazionale α si può specificare un'approssimazione razionale sia con una carenza che con un eccesso con una certa precisione: a< α
L'operazione di estrazione di una radice da alcuni numeri razionali porta a numeri irrazionali. L'estrazione della radice di un grado naturale è un'operazione algebrica, cioè la sua introduzione è connessa con la soluzione di un'equazione algebrica della forma . Se n è dispari, cioè n=2k+1, dove , allora l'equazione ha una sola radice. Se n è pari, n=2k, dove , allora per a=0 l'equazione ha un'unica radice x=0, per a<0 корней нет, при a>0 ha due radici opposte l'una all'altra. L'estrazione di una radice è l'operazione inversa dell'elevazione a una potenza naturale.

La radice aritmetica (per brevità, la radice) dell'ennesimo grado di un numero non negativo a è un numero b non negativo, che è la radice dell'equazione. La radice dell'ennesimo grado dal numero a è indicata dal simbolo. Per n=2, il grado della radice 2 non è indicato: .

Ad esempio, perché 2 2 =4 e 2>0; , perché 3 3 =27 e 3>0; non esiste perché -4<0.

Per n=2k e a>0, le radici dell'equazione (1) sono scritte come e . Ad esempio, le radici dell'equazione x 2 \u003d 4 sono 2 e -2.

Per n dispari, l'equazione (1) ha un'unica radice per qualsiasi . Se a≥0, allora - la radice di questa equazione. Se un<0, то –а>0 e - la radice dell'equazione. Quindi, l'equazione x 3 \u003d 27 ha una radice.

Tutti i numeri razionali possono essere rappresentati come una frazione comune. Questo vale per i numeri interi (ad esempio, 12, -6, 0) e le frazioni decimali finali (ad esempio, 0.5; -3.8921) e le frazioni decimali periodiche infinite (ad esempio, 0.11(23); -3 ,(87 )).

Tuttavia infiniti decimali non ricorrenti non possono essere rappresentate come frazioni ordinarie. Ecco cosa sono numeri irrazionali(cioè irrazionale). Un esempio di tale numero è π, che è approssimativamente uguale a 3,14. Tuttavia, non è possibile determinare a cosa corrisponda esattamente, poiché dopo il numero 4 c'è una serie infinita di altri numeri in cui non è possibile distinguere periodi ripetuti. Allo stesso tempo, sebbene il numero π non possa essere espresso esattamente, ha un significato geometrico specifico. Il numero π è il rapporto tra la lunghezza di un cerchio e la lunghezza del suo diametro. Quindi i numeri irrazionali esistono in natura, così come i numeri razionali.

Un altro esempio di numeri irrazionali sono le radici quadrate dei numeri positivi. Estrarre radici da alcuni numeri dà valori razionali, da altri - irrazionale. Ad esempio, √4 = 2, cioè la radice di 4 è un numero razionale. Ma √2, √5, √7 e molti altri risultano in numeri irrazionali, cioè possono essere estratti solo con un'approssimazione, arrotondati a una certa cifra decimale. In questo caso la frazione si ottiene non periodica. Cioè, è impossibile dire esattamente e definitivamente quale sia la radice di questi numeri.

Quindi √5 è un numero compreso tra 2 e 3, poiché √4 = 2, e √9 = 3. Possiamo anche concludere che √5 è più vicino a 2 che a 3, poiché √4 è più vicino a √5 che √9 a √5. Infatti, √5 ≈ 2,23 o √5 ≈ 2,24.

I numeri irrazionali si ottengono anche in altri calcoli (e non solo quando si estraggono le radici), sono negativi.

In relazione ai numeri irrazionali, possiamo dire che non importa quale segmento di unità prendiamo per misurare la lunghezza espressa da un tale numero, non possiamo misurarlo con certezza.

Nelle operazioni aritmetiche, i numeri irrazionali possono partecipare insieme a quelli razionali. Allo stesso tempo, ci sono una serie di regolarità. Ad esempio, se in un'operazione aritmetica sono coinvolti solo numeri razionali, il risultato è sempre un numero razionale. Se solo quelli irrazionali partecipano all'operazione, è impossibile dire inequivocabilmente se risulterà un numero razionale o irrazionale.

Ad esempio, se moltiplichi due numeri irrazionali √2 * √2, ottieni 2: questo è un numero razionale. D'altra parte, √2 * √3 = √6 è un numero irrazionale.

Se un'operazione aritmetica coinvolge un numero razionale e uno irrazionale, si otterrà un risultato irrazionale. Ad esempio, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.

Perché √17 - 4 è un numero irrazionale? Immagina di ottenere un numero razionale x. Allora √17 = x + 4. Ma x + 4 è un numero razionale, poiché abbiamo assunto che x sia razionale. Anche il numero 4 è razionale, quindi x + 4 è razionale. Tuttavia, un numero razionale non può essere uguale all'irrazionale √17. Pertanto, l'assunto che √17 - 4 dia un risultato razionale non è corretto. Il risultato di un'operazione aritmetica sarà irrazionale.

Tuttavia, c'è un'eccezione a questa regola. Se moltiplichiamo un numero irrazionale per 0, otteniamo un numero razionale 0.
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