NUMERI REALI II

§ 44 Rappresentazione geometrica dei numeri reali

I numeri geometricamente reali, come i numeri razionali, sono rappresentati da punti su una retta.

Lascia stare l - una retta arbitraria, e O - alcuni dei suoi punti (Fig. 58). Ogni numero reale positivo α porre in corrispondenza il punto A, giacente a destra di O ad una distanza di α unità di lunghezza.

Se, per esempio, α = 2,1356..., allora

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

ecc. È ovvio che il punto A in questo caso deve trovarsi sulla retta l a destra dei punti corrispondenti ai numeri

2; 2,1; 2,13; ... ,

ma a sinistra dei punti corrispondenti ai numeri

3; 2,2; 2,14; ... .

Si può dimostrare che queste condizioni si definiscono sulla linea l l'unico punto A, che consideriamo l'immagine geometrica di un numero reale α = 2,1356... .

Allo stesso modo, ogni numero reale negativo β porre in corrispondenza il punto B giacente a sinistra di O ad una distanza di | β | unità di lunghezza. Infine, assegniamo il punto O al numero "zero".

Quindi, il numero 1 verrà visualizzato su una linea retta l punto A, situato a destra di O a una distanza di un'unità di lunghezza (Fig. 59), il numero - √2 - punto B, che giace a sinistra di O a una distanza di √2 unità di lunghezza, ecc.

Mostriamo come su una linea retta l utilizzando un compasso e un righello, puoi trovare i punti corrispondenti ai numeri reali √2, √3, √4, √5, ecc. Per fare ciò, prima di tutto, mostreremo come costruire segmenti le cui lunghezze sono espresse da questi numeri. Sia AB un segmento preso come unità di lunghezza (Fig. 60).

Nel punto A, restituiamo una perpendicolare a questo segmento e vi mettiamo da parte il segmento AC, uguale al segmento AB. Quindi, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC, otteniamo; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Pertanto, il segmento BC ha lunghezza √2. Riportiamo ora la perpendicolare al segmento BC nel punto C e scegliamo su di esso il punto D in modo che il segmento CD sia uguale a uno Lunghezza AB. Poi da triangolo rettangolo BCD trova:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Pertanto, il segmento BD ha lunghezza √3. Continuando ulteriormente il processo descritto, potremmo ottenere segmenti BE, BF, ..., le cui lunghezze sono espresse dai numeri √4, √5, ecc.

Ora in linea l è facile trovare quei punti che servono come rappresentazione geometrica dei numeri √2, √3, √4, √5, ecc.

Mettendo, ad esempio, a destra del punto O il segmento BC (Fig. 61), otteniamo il punto C, che funge da rappresentazione geometrica del numero √2. Allo stesso modo, allontanando il segmento BD a destra del punto O, otteniamo il punto D", che è l'immagine geometrica del numero √3, ecc.

Tuttavia, non si dovrebbe pensare che con l'aiuto di una bussola e un righello su una linea numerica l si può trovare un punto corrispondente a un dato numero reale. È stato dimostrato, ad esempio, che, avendo a disposizione solo un compasso e un righello, è impossibile costruire un segmento la cui lunghezza sia espressa dal numero π = 3,14 ... . Quindi sulla linea dei numeri l utilizzando tali costruzioni è impossibile indicare un punto corrispondente a questo numero, tuttavia tale punto esiste.

Quindi per ogni numero reale α è possibile associare dei punti ben definiti della retta l . Questo punto sarà separato dal punto iniziale O ad una distanza di | α | unità di lunghezza ed essere a destra di O se α > 0, ea sinistra di O se α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две vari punti dritto l . Anzi, lascia il numero α corrisponde al punto A e al numero β - punto B. Poi, se α > β , allora A sarà a destra di B (Fig. 62, a); Se α < β , quindi A giacerà a sinistra di B (Fig. 62, b).

Parlando nel § 37 della rappresentazione geometrica dei numeri razionali, ci siamo posti la domanda: un punto qualsiasi di una retta può essere considerato un'immagine geometrica di alcuni razionale numeri? A quel tempo non potevamo dare una risposta a questa domanda; ora possiamo rispondere in modo abbastanza definitivo. Ci sono punti su una linea retta che fungono da immagine geometrica numeri irrazionali(es. √2 ). Pertanto, non tutti i punti di una retta rappresentano un numero razionale. Ma in questo caso sorge un'altra domanda: un punto qualsiasi della linea reale può essere considerato come un'immagine geometrica di alcuni valido numeri? Questo problema è già stato risolto positivamente.

Sia A un punto arbitrario della retta l , giacente a destra di O (Fig. 63).

La lunghezza del segmento OA è espressa da un numero reale positivo α (vedi § 41). Quindi il punto A è l'immagine geometrica del numero α . Allo stesso modo, è stabilito che ogni punto B, che giace a sinistra di O, può essere considerato come un'immagine geometrica di un numero reale negativo - β , dove β - la lunghezza del segmento VO. Infine, il punto O funge da rappresentazione geometrica del numero zero. È chiaro che due punti distinti della linea l non può essere l'immagine geometrica dello stesso numero reale.

Per le ragioni sopra esposte, si chiama una retta su cui un punto O è indicato come punto "iniziale" (per una data unità di lunghezza) linea numerica.

Conclusione. L'insieme di tutti i numeri reali e l'insieme di tutti i punti della retta reale sono in corrispondenza uno a uno.

Ciò significa che ad ogni numero reale corrisponde un punto ben definito della retta numerica e, viceversa, ad ogni punto della retta numerica, con tale corrispondenza, corrisponde un numero reale ben definito.

Esercizi

320. Scopri quale dei due punti si trova sulla linea dei numeri a sinistra e quale a destra, se questi punti corrispondono a dei numeri:

a) 1.454545... e 1.455454...; c) 0 e - 1,56673...;

b) - 12.0003... e - 12.0002...; d) 13.24... e 13.00....

321. Scopri quale dei due punti è più lontano dal punto di partenza O sulla retta numerica, se questi punti corrispondono a numeri:

a) 5.2397... e 4.4996...; .. c) -0,3567... e 0,3557... .

d) - 15.0001 e - 15.1000...;

322. In questa sezione è stato mostrato che per costruire un segmento di lunghezza √ n usando un compasso e un righello, puoi fare quanto segue: costruire prima un segmento con una lunghezza di √2, poi un segmento con una lunghezza di √3, ecc., fino a raggiungere un segmento con una lunghezza di √ n . Ma per ogni fisso P > 3 questo processo può essere accelerato. Come, ad esempio, inizieresti a costruire un segmento di lunghezza √10?

323*. Come utilizzare un compasso e un righello per trovare un punto sulla linea numerica corrispondente al numero 1 / α , se la posizione del punto corrispondente al numero α , conosciuto?

Una linea numerica, un asse dei numeri, è una linea su cui sono rappresentati i numeri reali. Sulla retta viene scelta l'origine: il punto O (il punto O rappresenta 0) e il punto L, che rappresenta l'unità. Il punto L di solito si trova a destra del punto O. Il segmento OL è chiamato segmento unitario.

I punti a destra del punto O rappresentano numeri positivi. Punti a sinistra del punto. Oh, dipingi i numeri negativi. Se il punto X rappresenta un numero positivo x, allora la distanza OX = x. Se il punto X rappresenta un numero negativo x, allora la distanza OX = - x.

Il numero che mostra la posizione di un punto su una retta è chiamato coordinata di questo punto.

Il punto V mostrato nella figura ha una coordinata di 2 e il punto H ha una coordinata di -2,6.

Il modulo di un numero reale è la distanza dall'origine al punto corrispondente a questo numero. Designare il modulo del numero x, quindi: | x |. Ovviamente, | 0 | = 0.

Se il numero x è maggiore di 0, allora | x | = x, e se x è minore di 0, allora | x | = - x. Su queste proprietà del modulo si basa la soluzione di molte equazioni e disuguaglianze con il modulo.

Esempio: Risolvi equazione | x - 3 | = 1.

Soluzione: considera due casi: il primo caso, quando x -3 > 0, e il secondo caso, quando x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

In questo caso | x - 3 | = x - 3.

L'equazione assume la forma x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - soddisfa la prima condizione.

2. x -3 0, x 3.

In questo caso | x - 3 | = - x + 3

L'equazione assume la forma x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - soddisfa la seconda condizione.

Risposta: x = 4, x = -2.

Espressioni numeriche.

Un'espressione numerica è una raccolta di uno o più numeri e funzioni collegati da operatori aritmetici e parentesi.
Esempi di espressioni numeriche:

Il valore di un'espressione numerica è un numero.
Le operazioni nell'espressione numerica vengono eseguite nella seguente sequenza:

1. Azioni tra parentesi.

2. Calcolo delle funzioni.

3. Esponenziale

4. Moltiplicazione e divisione.

5. Addizione e sottrazione.

6. Le operazioni dello stesso tipo vengono eseguite da sinistra a destra.

Quindi il valore della prima espressione sarà il numero stesso 12.3
Per calcolare il valore della seconda espressione, eseguiremo le azioni nella seguente sequenza:

1. Esegui le azioni tra parentesi nella seguente sequenza: prima eleviamo 2 alla terza potenza, quindi sottrai 11 dal numero risultante:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Moltiplica 3 per 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Eseguire le operazioni in sequenza da sinistra a destra:

12 + (-3) = 9.
Un'espressione con variabili è una raccolta di uno o più numeri, variabili e funzioni collegati da operatori aritmetici e parentesi. I valori delle espressioni con variabili dipendono dai valori delle variabili in essa incluse. La sequenza delle operazioni qui è la stessa delle espressioni numeriche. A volte è utile semplificare le espressioni con variabili eseguendo varie azioni: parentesi, espansione delle parentesi, raggruppamento, riduzione di frazioni, riduzione di simili, ecc. Inoltre, per semplificare le espressioni, vengono spesso utilizzate varie formule, ad esempio formule di moltiplicazione abbreviate, proprietà di varie funzioni, ecc.

Espressioni algebriche.

Un'espressione algebrica è una o più quantità algebriche (numeri e lettere) interconnesse da segni di operazioni algebriche: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, nonché estrarre la radice e elevare a potenza intera (inoltre, radice ed esponente devono necessariamente essere numeri interi) e segni della sequenza di queste azioni (solitamente parentesi quadre diverso tipo). Il numero di quantità incluse in espressione algebrica dovrebbe essere definitivo.

Un esempio di espressione algebrica:

"Espressione algebrica" ​​è un concetto sintattico, cioè qualcosa è un'espressione algebrica se e solo se obbedisce a determinate regole grammaticali (vedi Grammatica formale). Se le lettere in un'espressione algebrica sono considerate variabili, allora l'espressione algebrica acquisisce il significato di funzione algebrica.

Dalla vasta varietà di imposta di particolare interesse sono i cosiddetti set di numeri, cioè insiemi i cui elementi sono numeri. È chiaro che per lavorare a proprio agio con loro devi essere in grado di scriverli. Con la notazione e i principi di scrittura di insiemi numerici, inizieremo questo articolo. E poi considereremo come sono rappresentati gli insiemi numerici sulla linea delle coordinate.

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Scrittura di insiemi numerici

Cominciamo con la notazione accettata. Come è noto, le lettere maiuscole dell'alfabeto latino sono usate per designare gli insiemi. Insiemi numerici come caso speciale anche gli insiemi sono indicati. Ad esempio, possiamo parlare di insiemi numerici A , H , W , ecc. Di particolare importanza sono gli insiemi di numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi, ecc., per i quali sono state adottate le proprie designazioni:

• N è l'insieme di tutti i numeri naturali;
• Z è l'insieme degli interi;
• Q è l'insieme dei numeri razionali;
• J è l'insieme dei numeri irrazionali;
• R è l'insieme dei numeri reali;
• C è l'insieme dei numeri complessi.

Da ciò è chiaro che non è necessario denotare un insieme costituito, ad esempio, da due numeri 5 e −7 come Q, questa designazione sarà fuorviante, poiché la lettera Q di solito denota l'insieme di tutti i numeri razionali. Per designare il set numerico specificato, è meglio usare qualche altra lettera "neutra", ad esempio A.

Trattandosi di notazione, qui ricordiamo anche la notazione di un insieme vuoto, cioè un insieme che non contiene elementi. È indicato dal segno ∅.

Ricordiamo anche la designazione di appartenenza e non appartenenza di un elemento in un insieme. Per fare ciò, usa i segni ∈ - appartiene e ∉ - non appartiene. Ad esempio, la voce 5∈N significa che il numero 5 appartiene all'insieme dei numeri naturali e 5.7∉Z - la frazione decimale 5.7 non appartiene all'insieme degli interi.

Ricordiamo anche la notazione adottata per includere un insieme in un altro. È chiaro che tutti gli elementi dell'insieme N sono inclusi nell'insieme Z, quindi, numero impostato N è incluso in Z , questo è indicato come N⊂Z . Puoi anche usare la notazione Z⊃N , il che significa che l'insieme di tutti gli interi Z include l'insieme N . Le relazioni non incluse e non incluse sono indicate rispettivamente dai segni ⊄ e . Vengono utilizzati anche i segni di inclusione non rigorosa della forma ⊆ e ⊇, che significano, rispettivamente, incluso o corrisponde e include o corrisponde.

Abbiamo parlato della notazione, passiamo alla descrizione degli insiemi numerici. In questo caso, toccheremo solo i casi principali che vengono utilizzati più spesso nella pratica.

Iniziamo con insiemi numerici contenenti un numero finito e piccolo di elementi. Gli insiemi numerici costituiti da un numero finito di elementi possono essere convenientemente descritti elencando tutti i loro elementi. Tutti gli elementi numerici sono scritti separati da virgole e racchiusi tra , che è coerente con common impostare le regole di descrizione. Ad esempio, un insieme composto da tre numeri 0 , −0.25 e 4/7 può essere descritto come (0, −0.25, 4/7) .

A volte, quando il numero di elementi di un insieme numerico è sufficientemente grande, ma gli elementi obbediscono a uno schema, per descrivere vengono utilizzati i puntini di sospensione. Ad esempio, l'insieme di tutti i numeri dispari da 3 a 99 inclusi può essere scritto come (3, 5, 7, ..., 99) .

Quindi ci siamo avvicinati senza problemi alla descrizione degli insiemi numerici, il cui numero di elementi è infinito. A volte possono essere descritti usando tutti gli stessi puntini di sospensione. Ad esempio, descriviamo l'insieme di tutti i numeri naturali: N=(1, 2. 3, …) .

Usano anche la descrizione degli insiemi numerici indicando le proprietà dei suoi elementi. In questo caso viene utilizzata la notazione (x| properties). Ad esempio, la notazione (n| 8 n+3, n∈N) definisce l'insieme di tali numeri naturali che, divisi per 8, danno un resto di 3 . Lo stesso insieme può essere descritto come (11,19, 27, ...) .

In casi speciali, gli insiemi numerici con un numero infinito di elementi sono noti insiemi N , Z , R , ecc. o lacune numeriche. E in generale, gli insiemi numerici sono rappresentati come Unione singoli intervalli numerici che li compongono e insiemi numerici con un numero finito di elementi (di cui abbiamo parlato un po' più in alto).

Mostriamo un esempio. Sia il numero impostato i numeri −10 , −9 , −8.56 , 0 , tutti i numeri dell'intervallo [−5, −1.3] ei numeri del raggio dei numeri aperti (7, +∞) . In virtù della definizione dell'unione di insiemi, l'insieme numerico indicato può essere scritto come {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Tale notazione in realtà significa un insieme contenente tutti gli elementi degli insiemi (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] e (7, +∞) .

Allo stesso modo, combinando vari intervalli numerici e insiemi di singoli numeri, è possibile descrivere qualsiasi insieme di numeri (costituito da numeri reali). Qui diventa chiaro perché tali tipi di intervalli numerici come intervallo, semiintervallo, segmento, aperto raggio numerico e un raggio numerico: tutti, insieme alla notazione di insiemi di singoli numeri, permettono di descrivere qualsiasi insiemi di numeri attraverso la loro unione.

Si noti che quando si scrive un insieme numerico, i suoi numeri costitutivi e gli intervalli numerici sono ordinati in ordine crescente. Questa non è una condizione obbligatoria, ma desiderabile, poiché un insieme numerico ordinato è più facile da rappresentare e rappresentare su una linea di coordinate. Si noti inoltre che tali record non utilizzano intervalli numerici con elementi comuni, poiché tali voci possono essere sostituite dall'unione di intervalli numerici privi di elementi comuni. Ad esempio, l'unione di insiemi numerici con elementi comuni [−10, 0] e (−5, 3) è un semiintervallo [−10, 3) . Lo stesso vale per l'unione di intervalli numerici con gli stessi numeri limite, per esempio, l'unione (3, 5]∪(5, 7] è un insieme (3, 7] , ci soffermeremo su questo separatamente quando impareremo a trova l'intersezione e l'unione di insiemi numerici.

Immagine di insiemi di numeri sulla linea delle coordinate

In pratica, è conveniente utilizzare le immagini geometriche degli insiemi numerici - le loro immagini su . Ad esempio, quando risolvere le disuguaglianze, in cui è necessario tenere conto dell'ODZ, è necessario rappresentare insiemi numerici per trovarne l'intersezione e/o l'unione. Quindi sarà utile comprendere bene tutte le sfumature della rappresentazione degli insiemi numerici sulla linea delle coordinate.

È noto che tra i punti della linea delle coordinate e i numeri reali c'è una corrispondenza uno a uno, il che significa che la linea delle coordinate stessa è un modello geometrico dell'insieme di tutti i numeri reali R. Pertanto, per rappresentare l'insieme di tutti i numeri reali, è necessario tracciare una linea di coordinate con tratteggio per tutta la sua lunghezza:

E spesso non indicano nemmeno l'origine e un solo segmento:

Parliamo ora dell'immagine degli insiemi numerici, che sono un numero finito di numeri individuali. Ad esempio, disegniamo il numero impostato (−2, −0.5, 1.2) . L'immagine geometrica di questo set, composto da tre numeri -2, -0.5 e 1.2, saranno tre punti della linea di coordinate con le coordinate corrispondenti:

Si noti che di solito per esigenze di pratica non è necessario eseguire il disegno in modo accurato. Spesso è sufficiente un disegno schematico, il che significa che non è necessario mantenere la scala, mentre è solo importante mantenere disposizione reciproca punti l'uno rispetto all'altro: qualsiasi punto con una coordinata più piccola deve trovarsi a sinistra di un punto con una coordinata più grande. Il disegno precedente sarà schematicamente simile a questo:

Separatamente, da tutti i possibili insiemi numerici, si distinguono intervalli numerici (intervalli, semiintervalli, raggi, ecc.), che rappresentano le loro immagini geometriche, che abbiamo esaminato in dettaglio nella sezione. Non ci ripeteremo qui.

E resta solo da soffermarsi sull'immagine degli insiemi numerici, che sono l'unione di più intervalli numerici e insiemi costituiti da singoli numeri. Non c'è niente di complicato qui: secondo il significato dell'unione, in questi casi, sulla linea delle coordinate, è necessario rappresentare tutti i componenti dell'insieme di un determinato insieme numerico. Ad esempio, mostriamo l'immagine di un insieme di numeri (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

E soffermiamoci su casi abbastanza comuni in cui l'insieme numerico rappresentato è l'intero insieme dei numeri reali, ad eccezione di uno o più punti. Tali insiemi sono spesso specificati da condizioni come x≠5 o x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 ecc. In questi casi, geometricamente, rappresentano l'intera linea di coordinate, ad eccezione dei punti corrispondenti. In altre parole, questi punti devono essere "punzonati" dalla linea delle coordinate. Sono raffigurati come cerchi con un centro vuoto. Per chiarezza, disegniamo un set di numeri, conforme alle condizioni (questo set è essenzialmente):

Ricapitolare. Idealmente, le informazioni dei paragrafi precedenti dovrebbero formare la stessa vista della registrazione e rappresentazione di insiemi numerici come la vista di singoli intervalli numerici: la registrazione di un insieme numerico dovrebbe dare immediatamente la sua immagine sulla linea delle coordinate, e dall'immagine in poi la linea delle coordinate, dovremmo essere pronti a descrivere facilmente il corrispondente insieme numerico attraverso l'unione di singoli spazi e insiemi costituiti da singoli numeri.

Bibliografia.

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Dai forma ai numeri

Nei dispositivi digitali, ci sono due forme di immagini di numeri: con un fisso і coma fluttuante.

Al primo paragrafo erano visibili solo pochi numeri positivi. La formula (1.14) dà la possibilità di visualizzare un numero doppio con una parte intera e una frazionaria e una virgola fissa. Il segno di un numero a due cifre con coma fissa è dato da un rango aggiuntivo, che è posto davanti ai numeri. Per i numeri aggiuntivi, il valore dell'ordine aggiuntivo è uguale a " 0 ”, per elementi visivi - “ 1 ”.

A tavola 1.3 ci sono tre opzioni per codificare l'ultimo e il secondo numero con un doppio codice.

Tabella 1.3.

Nella prima variante, come risulta dalle tabelle, nella doppia sequenza codificata, potrebbe esserci un posto di zeri aggiuntivi e finali, che possono causare problemi durante le operazioni aritmetiche di vikonann.

Anche la rappresentazione dei numeri dati nel codice del cancello non risolve il problema di cui sopra. Non sbaglierai una volta sola, se vedi i numeri codice aggiuntivo, che si calcola con la formula:

Sulla fig. 1.12 mostra un'interpretazione grafica dell'immagine dei numeri positivi e negativi simili a zero rispetto alle alternative dei codici diretti e complementari. Come verrà mostrato in seguito, una tale forma di rappresentazione dei decimi numeri semplificherà semplicemente le operazioni aritmetiche.

Esempio 1.10. Conoscere il codice complementare ai decimi numeri: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannina. Conosciamo due equivalenti di numeri dati:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Conosciamo il codice, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

È noto integrare i codici dei numeri dati: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Ora spieghiamo l'essenza della registrazione dei numeri con un coma fisso. Indipendentemente dal fatto che il numero nei sistemi digitali sia occupato da speciali dispositivi di memoria, una fila di skin è formata da un numero fisso di elementi. Il coma, che includeva nel numero dei colpi una parte del numero dei colpi, occupa in una fila di memoria una posizione fissa - davanti alla classifica senior o dopo quella giovane.

Per il primo tipo, il valore assoluto del numero è inferiore a uno, ad esempio 0,110101 2 . 1.13, il grado di prelievo finale mostra il segno del numero e il reshta - il grado del modulo. Gli scarichi giovani di Vilni sono pieni di zeri. Oskіlki nel vipadku rivisto in una riga di memoria viene trasferito per registrare solo la parte frazionaria del numero, quindi i risultati di tutte le operazioni sono dovuti a valori assoluti, inferiori a uno. Wikonnannya tsієї assicurati di scegliere i fattori di scala appropriati, su cui vengono moltiplicati i dati esterni. Se il coefficiente di scala delle vibrazioni non è corretto, potrebbe esserci un riordino degli scarichi e l'aspetto dell'intera parte, come se fosse esaurito, i frammenti nella griglia di scarico non verranno trasferiti all'aspetto її. Tuttavia, ti porterò all'inferno nel risultato, che è a corto di un tale metodo.

In un altro stato d'animo, se un coma viene risolto dopo l'ordine più giovane, può essere corretto con numeri interi. Quindi, ad esempio, il numero 10011 2 di fila di memoria è posto nella visibilità di fig. 1.14, de livy rank è segno, e seguendolo a destra, le cifre vuote sono riempite con zeri. In questo modo, il valore del modulo è una riga di memoria recintata.

I numeri con una coma mobile trasferiscono l'immagine del numero alla mantide, che viene moltiplicata per la base del sistema numerico nella fase, che è impostato in ordine. Ad esempio, il numero 200 viene scritto come 0,2 × 10 3 e il numero 0,000312 - come 0,312 × 10 -3. Numeri di Vidpovidno zapisyutsya e dvіykovі. La mantide e l'ordine sono visualizzati in un doppio codice e la base è un due. Ad esempio, il numero 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 nel decimo sistema viene visualizzato come 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10. In una riga di memoria, tali numeri sono presi da due gruppi di numeri: il primo gruppo - la mantide - determina il numero stesso, l'altro - l'ordine - il posto del Komi nel numero (Fig. 1.15).

All'elemento zero della riga di memoria, viene visualizzato il segno del numero (per il numero doppio dato, che è scritto nella riga di memoria - " 0 ”). Le distanze sono impostate nell'ordine del numero stesso (stowpts 1…8). Se è dato da un numero di righe inferiore, gli elementi di memoria sul lato destro del numero vengono riempiti con zeri. Al nono ordine viene visualizzato il segno dell'ordine e nel resht, per analogia con la mantissa, - il numero che indica l'ordine. Con un tale record, il valore del numero è impostato in modo tale che la prima cifra significativa della mantide non sia uguale a " 0 ". Questa forma di ingresso è chiamata normale.

Il numero minimo aggiuntivo che può essere scritto in forma normale nella riga di memoria è determinato dalla mantissa minima 0.1000..0 2 e dall'ordine visivo massimo 111..1 2 . Con una quantità K nell'ordine del minimo dieci, il numero svalutabile è determinato dalla formula:

. (1.15)

Il numero massimo di matimemo al valore massimo della mantide (0,111 ... 1) 2 e l'ordine aggiuntivo massimo (111 ... 1 2) = 2 K– 1, quindi

Allineare D i numeri rappresentati in forma normale, come risulta dalle formule (1.15) e (1.16), significano solo un numero K. Ad esempio, per K= 6 è noto:

; .

L'accuratezza della registrazione del numero è determinata dal numero di ordini m mantici. Se il numero di gradi del numero inverte il numero di gradi immessi nella mantide, il numero viene arrotondato per eccesso al numero richiesto. La regola per arrotondare due numeri in questo modo è la seguente: se l'ordine più anziano della parte della parola che si vede è uno, allora uno viene aggiunto all'ordine più giovane della mantide. Con una cifra assoluta così arrotondata, l'immagine della mantide non supera la metà del coefficiente della categoria della mantide giovane, che viene presa, tobto:

Vrakhovuchi, che nella forma normale del record della mantide non può essere inferiore a 0,5, errore evidente η:

Ad esempio, quando m= 24 maєmo:

.

Negli odierni sistemi digitali per la visualizzazione di numeri con coma mobile, viene utilizzata una riga di byte dozhinoy chotiri. Con 23 scariche, imposta la mantide e 7 - la grandezza dell'ordine. L'intervallo di numeri visualizzati viene piegato da ± 2 127 a ± 2 -127 .

La variazione dei numeri con una coma mobile amplierà e semplificherà la rappresentazione dei numeri, ma la versatilità delle operazioni su tali numeri è più collaborativa, inferiore sui numeri con una coma fissa.

Una rappresentazione geometrica espressiva del sistema dei numeri razionali può essere ottenuta come segue.

Riso. 8. Asse dei numeri

Su una retta, "l'asse numerico", segniamo il segmento da 0 a 1 (Fig. 8). Questo imposta la lunghezza del segmento unitario, che, in generale, può essere scelto arbitrariamente. Gli interi positivi e negativi vengono quindi rappresentati come un insieme di punti equidistanti sull'asse dei numeri, vale a dire, i numeri positivi sono contrassegnati a destra e quelli negativi a sinistra del punto 0. Per rappresentare i numeri con un denominatore, dividiamo ciascuno dei segmenti ottenuti di lunghezza unitaria in parti uguali; i punti di divisione rappresenteranno le frazioni con un denominatore Se lo facciamo per i valori corrispondenti a tutti i numeri naturali, ogni numero razionale sarà rappresentato da un punto sull'asse numerico. Accetteremo di chiamare questi punti "razionali"; in generale verranno usati come sinonimi i termini "numero razionale" e "punto razionale".

Nel Capitolo I, § 1, è stata definita la relazione di disuguaglianza per i numeri naturali. Sull'asse dei numeri, questo rapporto si riflette come segue: se numero naturale A è minore di un numero naturale B, allora il punto A giace a sinistra del punto B. Poiché la relazione geometrica specificata è stabilita per ogni coppia di punti razionali, è naturale cercare di generalizzare la relazione di disuguaglianza aritmetica in tale modo da preservare questo ordine geometrico per i punti in esame. Ciò è possibile se accettiamo la seguente definizione: diciamo che il numero razionale A è minore di numero razionale o che il numero B è maggiore del numero se la differenza è positiva. Ne consegue (per ) che i punti (numeri) tra sono quelli che

simultaneamente Ciascuna di queste coppie di punti, insieme a tutti i punti tra di loro, è chiamata segmento (o segmento) ed è indicata (e l'insieme dei punti intermedi da solo è chiamato intervallo (o intervallo), indicato con

La distanza di un punto arbitrario A dall'origine 0, considerata come un numero positivo, è chiamata valore assoluto di A ed è indicata dal simbolo

Il concetto di "valore assoluto" è definito come segue: se , allora se allora È chiaro che se i numeri hanno lo stesso segno, allora l'uguaglianza è vera se hanno segni diversi, poi . Combinando insieme questi due risultati si arriva alla disuguaglianza generale

che è valido indipendentemente dai segni

Un fatto di fondamentale importanza è espresso dalla seguente proposizione: i punti razionali sono ovunque densi sulla retta dei numeri. Il significato di questa affermazione è che all'interno di ogni intervallo, non importa quanto piccolo possa essere, ci sono punti razionali. Per verificare la validità dell'enunciato è sufficiente prendere un numero così grande che l'intervallo ( sarà minore dell'intervallo dato ; allora almeno uno dei punti della forma sarà all'interno di questo intervallo. Quindi, c'è nessun tale intervallo sull'asse dei numeri (anche il più piccolo, che si possa immaginare), entro il quale non ci sarebbero punti razionali. Da ciò segue un ulteriore corollario: ogni intervallo contiene un numero infinito di punti razionali. Infatti, se qualche intervallo contenesse solo un numero finito di punti razionali, quindi entro l'intervallo formato da due tali punti vicini, non ci sarebbero più punti razionali, e ciò contraddice quanto appena dimostrato.