Come trovare la differenza di una progressione aritmetica se nota. Progressione aritmetica

Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(otto\); \(undici\); \(14\)… è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce di tre dal precedente (si ottiene dal precedente sommando tre):

In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (uguale a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate crescente.

Tuttavia, \(d\) può anche essere un numero negativo. Per esempio, in progressione aritmetica \(16\); \(dieci\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… la differenza di progressione \(d\) è uguale a meno sei.

E in questo caso, ogni elemento successivo sarà minore del precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.

Notazione di progressione aritmetica

La progressione è indicata da una minuscola lettera latina.

Si chiamano i numeri che formano una progressione membri(o elementi).

Sono indicati con la stessa lettera della progressione aritmetica, ma con un indice numerico uguale al numero dell'elemento in ordine.

Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.

In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)

Risolvere problemi su una progressione aritmetica

In linea di principio, le informazioni di cui sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi su una progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Decisione:

Risposta: \(b_5=23\)

Esempio (OGE). Si danno i primi tre termini di una progressione aritmetica: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Decisione:

	Ci vengono dati i primi elementi della sequenza e sappiamo che si tratta di una progressione aritmetica. Cioè, ogni elemento differisce da quello vicino per lo stesso numero. Scopri quale sottraendo il precedente dall'elemento successivo: \(d=49-62=-13\).
	Ora possiamo ripristinare la nostra progressione all'elemento desiderato (primo negativo).
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(-3\)

Esempio (OGE). Vengono forniti diversi elementi successivi di una progressione aritmetica: \(...5; x; 10; 12.5...\) Trova il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Decisione:

	Per trovare \(x\), dobbiamo sapere quanto l'elemento successivo differisce dal precedente, in altre parole, la differenza di progressione. Troviamolo da due elementi vicini noti: \(d=12.5-10=2.5\).
	E ora troviamo quello che stiamo cercando senza problemi: \(x=5+2.5=7.5\).
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(7,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Decisione:

Dobbiamo trovare la somma dei primi sei termini della progressione. Ma non ne conosciamo il significato, ci viene dato solo il primo elemento. Pertanto, calcoliamo prima i valori a turno, usando il dato che ci è stato dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) E dopo aver calcolato i sei elementi di cui abbiamo bisogno, troviamo la loro somma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

L'importo richiesto è stato trovato.

Risposta: \(S_6=9\).

Esempio (OGE). In progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Decisione:

Risposta: \(d=7\).

Importanti formule di progressione aritmetica

Come puoi vedere, molti problemi di progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri e ogni elemento successivo in questa catena si ottiene sommando lo stesso numero al precedente (la differenza della progressione).

Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui è molto scomodo risolvere "sulla fronte". Ad esempio, immagina che nel primo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Che cos'è, noi \ (385 \) volte ne aggiungiamo quattro? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Contare è confuso...

Pertanto, in questi casi, non risolvono “sulla fronte”, ma utilizzano formule speciali derivate per la progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'ennesimo termine della progressione e la formula per la somma \(n\) dei primi termini.

Formula per il \(n\)esimo membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo membro della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) è un membro della progressione con il numero \(n\).

Questa formula ci permette di trovare velocemente almeno il trecentesimo, anche il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza di progressione.

Esempio. La progressione aritmetica è data dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Trova \(b_(246)\).
Decisione:

Risposta: \(b_(246)=1850\).

La formula per la somma dei primi n termini è: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove

\(a_n\) è l'ultimo termine sommato;

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Decisione:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Per calcolare la somma dei primi venticinque elementi, dobbiamo conoscere il valore del primo e del venticinquesimo termine. La nostra progressione è data dalla formula dell'ennesimo termine a seconda del suo numero (vedi dettagli). Calcoliamo il primo elemento sostituendo \(n\) con uno.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Ora troviamo il venticinquesimo termine sostituendo venticinque invece di \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Bene, ora calcoliamo l'importo richiesto senza problemi.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(25)=1090\).

Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituisci la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Noi abbiamo:

La formula per la somma dei primi n termini è: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove

\(S_n\) – la somma richiesta \(n\) dei primi elementi;
\(a_1\) è il primo termine da sommare;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) - il numero di elementi nella somma.

Esempio. Trova la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(quattordici\)…
Decisione:

Risposta: \(S_(33)=-231\).

Problemi di progressione aritmetica più complessi

Ora hai tutte le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Concludiamo l'argomento considerando problemi in cui non solo è necessario applicare formule, ma anche pensare un po' (in matematica può essere utile ☺)

Esempio (OGE). Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-diciannove\); \(-18.7\)…
Decisione:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Il compito è molto simile al precedente. Iniziamo a risolvere allo stesso modo: prima troviamo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ora sostituiremmo \(d\) nella formula per la somma ... e qui appare una piccola sfumatura - non sappiamo \(n\). In altre parole, non sappiamo quanti termini dovranno essere aggiunti. Come scoprirlo? Pensiamo. Smetteremo di aggiungere elementi quando arriviamo al primo elemento positivo. Cioè, devi scoprire il numero di questo elemento. Come? Scriviamo la formula per calcolare qualsiasi elemento di una progressione aritmetica: \(a_n=a_1+(n-1)d\) per il nostro caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Abbiamo bisogno che \(a_n\) sia maggiore di zero. Scopriamo per cosa \(n\) questo accadrà.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Trasferiamo meno uno, senza dimenticare di cambiare segno
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Informatica...
\(n>65.333…\)		…e risulta che il primo elemento positivo avrà il numero \(66\). Di conseguenza, l'ultimo negativo ha \(n=65\). Per ogni evenienza, diamo un'occhiata.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Quindi, dobbiamo aggiungere i primi \(65\) elementi.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cpunto 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(65)=-630,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è data dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma da \(26\)esimo a \(42\) elemento compreso.
Decisione:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	In questo problema, devi anche trovare la somma degli elementi, ma partendo non dal primo, ma dal \(26\)esimo. Non abbiamo una formula per questo. Come decidere? Facile: per ottenere la somma da \(26\)esimo a \(42\)esimo, devi prima trovare la somma da \(1\)esimo a \(42\)esimo, quindi sottrarre da esso la somma da il primo a \ (25 \) esimo (vedi foto).
	Per la nostra progressione \(a_1=-33\) e la differenza \(d=4\) (dopotutto, aggiungiamo quattro all'elemento precedente per trovare quello successivo). Sapendo questo, troviamo la somma dei primi elementi \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cpunto 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ora la somma dei primi \(25\)-esimo elemento.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cpunto 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E infine calcoliamo la risposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Risposta: \(S=1683\).

Per una progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui ogni numero è maggiore (o minore) del precedente della stessa quantità.

Questo argomento è spesso difficile e incomprensibile. Indici delle lettere, l'ennesimo membro della progressione, la differenza della progressione: tutto questo è in qualche modo confuso, sì ... Scopriamo il significato della progressione aritmetica e tutto funzionerà immediatamente.)

Il concetto di progressione aritmetica.

La progressione aritmetica è un concetto molto semplice e chiaro. Dubbio? Invano.) Guarda tu stesso.

Scriverò una serie di numeri incompiuta:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Puoi estendere questa linea? Quali numeri andranno dopo, dopo i cinque? Tutti... ehm..., insomma, tutti capiranno che i numeri 6, 7, 8, 9, ecc. andranno oltre.

Complichiamo il compito. Do una serie incompiuta di numeri:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Puoi catturare il modello, estendere la serie e il nome settimo numero di riga?

Se hai capito che questo numero è 20, mi congratulo con te! Non solo hai sentito punti chiave di una progressione aritmetica, ma li ha anche usati con successo negli affari! Se non capisci, continua a leggere.

Ora traduciamo i punti chiave dalle sensazioni in matematica.)

Primo punto chiave.

La progressione aritmetica si occupa di serie di numeri. Questo è confuso all'inizio. Siamo abituati a risolvere equazioni, costruire grafici e tutto il resto... E poi estendere la serie, trovare il numero della serie...

Va bene. È solo che le progressioni sono la prima conoscenza di una nuova branca della matematica. La sezione si chiama "Serie" e funziona con serie di numeri ed espressioni. Abituati.)

Secondo punto chiave.

In una progressione aritmetica, qualsiasi numero differisce dal precedente dello stesso importo.

Nel primo esempio, questa differenza è una. Qualunque sia il numero che prendi, è uno in più del precedente. Nel secondo - tre. Qualsiasi numero è tre volte maggiore del precedente. In realtà, è questo momento che ci dà l'opportunità di cogliere lo schema e calcolare i numeri successivi.

Terzo punto chiave.

Questo momento non è sorprendente, sì... Ma molto, molto importante. Eccolo: ogni numero di progressione è al suo posto. C'è il primo numero, c'è il settimo, c'è il quarantacinquesimo e così via. Se li confondi a casaccio, lo schema scomparirà. Anche la progressione aritmetica scomparirà. È solo una serie di numeri.

Questo è il punto.

Naturalmente, nel nuovo argomento compaiono nuovi termini e notazioni. Hanno bisogno di sapere. Altrimenti, non capirai il compito. Ad esempio, devi decidere qualcosa del tipo:

Scrivi i primi sei termini della progressione aritmetica (a n) se a 2 = 5, d = -2,5.

Ti ispira?) Lettere, alcuni indici... E il compito, tra l'altro, non potrebbe essere più semplice. Devi solo capire il significato dei termini e della notazione. Ora padroneggeremo questa questione e torneremo al compito.

Termini e designazioni.

Progressione aritmeticaè una serie di numeri in cui ogni numero è diverso dal precedente dello stesso importo.

Questo valore viene chiamato . Trattiamo questo concetto in modo più dettagliato.

Differenza di progressione aritmetica.

Differenza di progressione aritmeticaè l'importo di cui qualsiasi numero di progressione di più il precedente.

Un punto importante. Si prega di prestare attenzione alla parola "di più". Matematicamente, questo significa che si ottiene ogni numero di progressione aggiungendo la differenza di una progressione aritmetica rispetto al numero precedente.

Per calcolare, diciamo secondo numeri della riga, è necessario primo numero Inserisci questa stessa differenza di una progressione aritmetica. Per il calcolo quinto- la differenza è necessaria Inserisci a il quarto bene, ecc.

Differenza di progressione aritmetica può essere positivo allora ogni numero della serie risulterà essere reale più del precedente. Questa progressione è chiamata crescente. Per esempio:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Qui c'è ogni numero aggiungendo numero positivo, +5 al precedente.

La differenza può essere negativo quindi ogni numero della serie sarà meno del precedente. Questa progressione si chiama (non ci crederai!) decrescente.

Per esempio:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Anche qui si ottiene ogni numero aggiungendo al numero precedente, ma già negativo, -5.

A proposito, quando si lavora con una progressione, è molto utile determinarne immediatamente la natura, sia in aumento che in diminuzione. Aiuta molto orientarsi nella decisione, rilevare i propri errori e correggerli prima che sia troppo tardi.

Differenza di progressione aritmetica solitamente indicato dalla lettera d.

Come trovare d? Molto semplice. È necessario sottrarre da qualsiasi numero della serie precedente numero. Sottrarre. A proposito, il risultato della sottrazione è chiamato "differenza".)

Definiamo, ad esempio, d per una progressione aritmetica crescente:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Prendiamo un numero qualsiasi della riga che vogliamo, ad esempio 11. Sottrai da esso il numero precedente quelli. otto:

Questa è la risposta corretta. Per questa progressione aritmetica, la differenza è tre.

Puoi semplicemente prendere qualsiasi numero di progressioni, perché per una specifica progressione d-sempre uguale. Almeno da qualche parte all'inizio della riga, almeno nel mezzo, almeno ovunque. Non puoi prendere solo il primo numero. Solo perché il primo numero nessun precedente.)

A proposito, sapendo questo d=3, trovare il settimo numero di questa progressione è molto semplice. Aggiungiamo 3 al quinto numero - otteniamo il sesto, sarà 17. Aggiungiamo tre al sesto numero, otteniamo il settimo numero - venti.

Definiamo d per una progressione aritmetica decrescente:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vi ricordo che, a prescindere dai segni, da determinare d necessario da qualsiasi numero togli il precedente. Scegliamo un numero qualsiasi di progressione, ad esempio -7. Il suo numero precedente era -2. Quindi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

La differenza di una progressione aritmetica può essere qualsiasi numero: intero, frazionario, irrazionale, qualsiasi.

Altri termini e designazioni.

Ogni numero della serie viene chiamato membro di una progressione aritmetica.

Ogni membro della progressione ha il suo numero I numeri sono rigorosamente in ordine, senza trucchi. Primo, secondo, terzo, quarto, ecc. Ad esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, 14, ... due è il primo membro, cinque è il secondo, undici è il quarto, beh, capisci ...) Per favore, capisci chiaramente - i numeri stessi può essere assolutamente qualsiasi, intero, frazionario, negativo, qualunque cosa, ma numerazione- rigorosamente in ordine!

Come scrivere una progressione in forma generale? Nessun problema! Ogni numero della serie è scritto come una lettera. Per denotare una progressione aritmetica, di regola, viene utilizzata la lettera un. Il numero del socio è indicato dall'indice in basso a destra. I membri sono scritti separati da virgole (o punto e virgola), in questo modo:

un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....

un 1è il primo numero un 3- terzo, ecc. Niente di complicato. Puoi scrivere brevemente questa serie in questo modo: (un).

Ci sono delle progressioni finito e infinito.

ultimo la progressione ha un numero limitato di membri. Cinque, trentotto, qualunque cosa. Ma è un numero finito.

Senza fine progressione - ha un numero infinito di membri, come puoi immaginare.)

Puoi scrivere una progressione finale attraverso una serie come questa, tutti i membri e un punto alla fine:

un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 .

O in questo modo, se ci sono molti membri:

un 1 , un 2 , ... un 14 , un 15 .

In una voce breve, dovrai inoltre indicare il numero dei membri. Ad esempio (per venti membri), in questo modo:

(a n), n = 20

Una progressione infinita può essere riconosciuta dai puntini di sospensione alla fine della riga, come negli esempi di questa lezione.

Ora puoi già risolvere i compiti. I compiti sono semplici, puramente per comprendere il significato della progressione aritmetica.

Esempi di compiti per la progressione aritmetica.

Diamo un'occhiata più da vicino al compito sopra:

1. Annotare i primi sei membri della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Traduciamo il compito in un linguaggio comprensibile. Data una progressione aritmetica infinita. Il secondo numero di questa progressione è noto: un 2 = 5. Differenza di progressione nota: d = -2,5. Dobbiamo trovare il primo, terzo, quarto, quinto e sesto membro di questa progressione.

Per chiarezza, scriverò una serie in base alla condizione del problema. I primi sei membri, dove il secondo membro è cinque:

un 1 , 5 , un 3 , un 4 , un 5 , un 6 ,....

un 3 = un 2 + d

Sostituiamo nell'espressione un 2 = 5 e d=-2,5. Non dimenticare il meno!

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Il terzo termine è inferiore al secondo. Tutto è logico. Se il numero è maggiore del precedente negativo valore, quindi il numero stesso sarà inferiore al precedente. La progressione sta diminuendo. Va bene, prendiamolo in considerazione.) Consideriamo il quarto membro della nostra serie:

un 4 = un 3 + d

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + d

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Quindi sono stati calcolati i termini dal terzo al sesto. Ciò ha portato a una serie:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Resta da trovare il primo termine un 1 secondo il noto secondo. Questo è un passo nell'altra direzione, a sinistra.) Da qui la differenza della progressione aritmetica d non dovrebbe essere aggiunto a un 2, un porta via:

un 1 = un 2 - d

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Questo è tutto ciò che c'è da fare. Risposta all'attività:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Di passaggio, noto che abbiamo risolto questo compito ricorrente strada. Questa terribile parola significa, solo, la ricerca di un membro della progressione dal numero precedente (adiacente). Altri modi per lavorare con la progressione saranno discussi in seguito.

Da questo semplice compito si può trarre una conclusione importante.

Ricordare:

Se conosciamo almeno un membro e la differenza di una progressione aritmetica, possiamo trovare qualsiasi membro di questa progressione.

Ricordare? Questa semplice conclusione ci permette di risolvere la maggior parte dei problemi del corso scolastico su questo argomento. Tutte le attività ruotano attorno a tre parametri principali: membro di una progressione aritmetica, differenza di una progressione, numero di un membro di una progressione. Qualunque cosa.

Naturalmente, tutta l'algebra precedente non viene cancellata.) Le disuguaglianze, le equazioni e altre cose sono associate alla progressione. Ma secondo la progressione- tutto ruota attorno a tre parametri.

Ad esempio, considera alcune attività popolari su questo argomento.

2. Scrivi la progressione aritmetica finale come una serie se n=5, d=0,4 e a 1=3,6.

Tutto è semplice qui. Tutto è già dato. È necessario ricordare come vengono calcolati, contati e annotati i membri di una progressione aritmetica. Si consiglia di non saltare le parole nella condizione dell'attività: "finale" e " n=5". Per non contare finché non sei completamente blu in faccia.) Ci sono solo 5 (cinque) membri in questa progressione:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Resta da scrivere la risposta:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Un altro compito:

3. Determinare se il numero 7 sarà un membro di una progressione aritmetica (a n) se a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.

Hmm... Chi lo sa? Come definire qualcosa?

Come-come... Sì, scrivi la progressione sotto forma di serie e vedi se ci sarà un sette o meno! Noi crediamo:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ora si vede chiaramente che siamo solo in sette scivolato attraverso tra 6,5 ​​e 7,7! Il sette non è entrato nella nostra serie di numeri e, quindi, il sette non sarà un membro della progressione data.

Risposta: no.

Ed ecco un compito basato su una versione reale del GIA:

4. Vengono scritti diversi membri consecutivi della progressione aritmetica:

...; quindici; X; nove; 6; ...

Ecco una serie senza fine e senza inizio. Nessun numero di membro, nessuna differenza d. Va bene. Per risolvere il problema è sufficiente comprendere il significato di una progressione aritmetica. Vediamo e vediamo cosa possiamo scoprire da questa linea? Quali sono i parametri dei tre principali?

Numeri dei membri? Non c'è un solo numero qui.

Ma ci sono tre numeri e - attenzione! - parola "consecutivo" in condizione. Ciò significa che i numeri sono rigorosamente in ordine, senza lacune. Ce ne sono due in questa riga? confinante numeri conosciuti? Sì! Questi sono 9 e 6. Quindi possiamo calcolare la differenza di una progressione aritmetica! Sottraiamo dai sei precedente numero, cioè nove:

Sono rimasti degli spazi vuoti. Quale numero sarà il precedente per x? Quindici. Quindi x può essere facilmente trovato per semplice addizione. A 15 aggiungi la differenza di una progressione aritmetica:

È tutto. Risposta: x=12

Risolviamo noi stessi i seguenti problemi. Nota: questi puzzle non sono per le formule. Solo per comprendere il significato di una progressione aritmetica.) Scriviamo semplicemente una serie di numeri-lettere, guardiamo e pensiamo.

5. Trova il primo termine positivo della progressione aritmetica se a 5 = -3; d = 1,1.

6. È noto che il numero 5.5 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 = 1.6; d = 1,3. Determina il numero n di questo termine.

7. È noto che in una progressione aritmetica a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Trova un 3 .

8. Vengono scritti diversi membri consecutivi della progressione aritmetica:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Trova il termine della progressione, indicato dalla lettera x.

9. Il treno ha iniziato a muoversi dalla stazione, aumentando gradualmente la sua velocità di 30 metri al minuto. Quale sarà la velocità del treno tra cinque minuti? Dai la tua risposta in km/h.

10. È noto che in una progressione aritmetica a 2 = 5; un 6 = -5. Trova un 1.

Risposte (allo sbando): 7.7; 7.5; 9.5; nove; 0,3; 4.

Tutto ha funzionato? Sorprendente! Puoi imparare la progressione aritmetica a un livello superiore nelle lezioni seguenti.

Non è andato tutto bene? Nessun problema. Nella Sezione Speciale 555, tutti questi problemi sono suddivisi in pezzi.) E, naturalmente, viene descritta una semplice tecnica pratica che evidenzia immediatamente la soluzione di tali compiti in modo chiaro, chiaro, come nel palmo della tua mano!

A proposito, nel puzzle sul treno ci sono due problemi in cui le persone spesso inciampano. Uno - puramente per progressione, e il secondo - comune a qualsiasi compito in matematica e anche in fisica. Questa è una traduzione di dimensioni da una all'altra. Mostra come questi problemi dovrebbero essere risolti.

In questa lezione abbiamo esaminato il significato elementare di una progressione aritmetica ei suoi parametri principali. Questo è sufficiente per risolvere quasi tutti i problemi su questo argomento. Aggiungere d ai numeri, scrivi una serie, tutto sarà deciso.

La soluzione con le dita funziona bene per pezzi molto brevi della serie, come negli esempi di questa lezione. Se la serie è più lunga, i calcoli diventano più difficili. Ad esempio, se nel problema 9 della domanda, sostituire "cinque minuti" sul "trentacinque minuti" il problema peggiorerà molto.)

E ci sono anche compiti che sono in sostanza semplici, ma assolutamente assurdi in termini di calcoli, ad esempio:

Data una progressione aritmetica (a n). Trova un 121 se a 1 =3 e d=1/6.

E cosa, aggiungeremo 1/6 molte, molte volte?! È possibile uccidersi!?

Puoi.) Se non conosci una formula semplice con cui puoi risolvere tali compiti in un minuto. Questa formula sarà nella prossima lezione. E quel problema è risolto lì. In un minuto.)

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A proposito, ho un altro paio di siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :)

Bene, amici, se state leggendo questo testo, l'evidenza interna del cap mi dice che ancora non sapete cosa sia una progressione aritmetica, ma davvero (no, così: SOOOOO!) volete saperlo. Pertanto, non ti tormenterò con lunghe presentazioni e mi metterò immediatamente al lavoro.

Per iniziare, un paio di esempi. Considera diversi insiemi di numeri:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà c'è qualcosa. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente dello stesso numero.

Giudica tu stesso. Il primo set è composto solo da numeri consecutivi, ognuno più del precedente. Nel secondo caso, la differenza tra numeri adiacenti è già pari a cinque, ma questa differenza è sempre costante. Nel terzo caso, ci sono le radici in generale. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mentre $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, cioè nel qual caso ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non temere che questo numero sia irrazionale).

Quindi: tutte queste sequenze sono semplicemente chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigida:

Definizione. Una sequenza di numeri in cui ogni successivo differisce dal precedente esattamente della stessa quantità è chiamata progressione aritmetica. La stessa quantità di differenza dei numeri è chiamata differenza di progressione ed è più spesso indicata dalla lettera $d$.

Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.

E solo un paio di osservazioni importanti. In primo luogo, la progressione è considerata solo ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti e nient'altro. Non puoi riorganizzare o scambiare i numeri.

In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa come (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro, per così dire, suggeriscono che molti numeri vanno oltre. Infinitamente tanti, per esempio. :)

Vorrei anche notare che le progressioni sono in aumento e in diminuzione. Abbiamo già visto quelli in aumento - lo stesso insieme (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Va bene, va bene: l'ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, credo, lo capisci. Pertanto, introduciamo nuove definizioni:

Definizione. Una progressione aritmetica si chiama:

1. crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;
2. decrescente, se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.

Inoltre, ci sono le cosiddette sequenze "stazionarie": sono costituite dallo stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).

Rimane solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente, tutto qui dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:

1. Se $d \gt 0$, la progressione è crescente;
2. Se $d \lt 0$, allora la progressione è ovviamente decrescente;
3. Infine, c'è il caso $d=0$ — in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.

Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti sopra. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio il primo e il secondo) e sottrarre dal numero a destra il numero a sinistra. Sembrerà così:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Come puoi vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata davvero negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.

I membri della progressione e la formula ricorrente

Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \giusto\)\]

I singoli elementi di questo set sono chiamati membri della progressione. Vengono così indicati con l'ausilio di un numero: il primo membro, il secondo membro, e così via.

Inoltre, come già sappiamo, i membri vicini della progressione sono legati dalla formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Freccia destra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

In breve, per trovare il $n$esimo termine della progressione, devi conoscere il $n-1$esimo termine e la differenza $d$. Tale formula è chiamata ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero, conoscendo solo il precedente (e in effetti tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più complicata che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]

Probabilmente ti sei imbattuto in questa formula prima. A loro piace darlo in tutti i tipi di libri di consultazione e reshebnik. E in qualsiasi libro di testo sensato sulla matematica, è uno dei primi.

Tuttavia, ti suggerisco di esercitarti un po'.

Compito numero 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Decisione. Quindi, conosciamo il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza di progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fine(allineamento)\]

Risposta: (8; 3; -2)

È tutto! Nota che la nostra progressione sta diminuendo.

Ovviamente, $n=1$ non poteva essere sostituito - conosciamo già il primo termine. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo assicurati che anche per il primo termine la nostra formula funzionasse. In altri casi, tutto si riduceva a una banale aritmetica.

Compito numero 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è −40 e il suo diciassettesimo termine è −50.

Decisione. Scriviamo la condizione del problema nei soliti termini:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \giusto.\]

Metto il segno del sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. E ora notiamo che se sottraiamo la prima equazione dalla seconda (abbiamo il diritto di farlo, perché abbiamo un sistema), otteniamo questo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \fine(allineamento)\]

Proprio così, abbiamo trovato la differenza di progressione! Resta da sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fine(matrice)\]

Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fine(allineamento)\]

Pronto! Problema risolto.

Risposta: (-34; -35; -36)

Presta attenzione a una curiosa proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, allora otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Una proprietà semplice ma molto utile che dovresti assolutamente conoscere: con il suo aiuto, puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi di progressione. Ecco un ottimo esempio di questo:

Compito numero 3. Il quinto termine della progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.

Decisione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fine(allineamento)\]

Ma per condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui abbiamo:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \fine(allineamento)\]

Risposta: 20.4

È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di comporre alcun sistema di equazioni e calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato deciso in un paio di righe.

Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca di membri negativi e positivi della progressione. Non è un segreto che se la progressione aumenta, mentre il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno in essa termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.

Allo stesso tempo, è tutt'altro che sempre possibile trovare questo momento "sulla fronte", ordinando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono progettati in modo tale che senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli: ci addormenteremmo semplicemente finché non trovavamo la risposta. Pertanto, cercheremo di risolvere questi problemi in un modo più rapido.

Compito numero 4. Quanti termini negativi in ​​una progressione aritmetica -38,5; -35,8; …?

Decisione. Quindi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, da cui troviamo subito la differenza:

Nota che la differenza è positiva, quindi la progressione è in aumento. Il primo termine è negativo, quindi ad un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L'unica domanda è quando questo accadrà.

Proviamo a scoprire: per quanto tempo (cioè fino a quale numero naturale $n$) si conserva la negatività dei termini:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Freccia destra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cpunto 10 \destra. \\ & -385+27\cpunto \sinistra(n-1 \destra) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Freccia destra ((n)_(\max ))=15. \\ \fine(allineamento)\]

L'ultima riga necessita di chiarimenti. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, solo i valori interi del numero ci andranno bene (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero più grande consentito è precisamente $n=15$, e in nessun caso 16.

Compito numero 5. In progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.

Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

Inoltre, proviamo ad esprimere il quinto termine in termini di primo e differenza usando la formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cpunto 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fine(allineamento)\]

Procediamo ora per analogia con il problema precedente. Scopriamo a che punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \fine(allineamento)\]

La soluzione intera minima di questa disuguaglianza è il numero 56.

Si noti che nell'ultima attività tutto è stato ridotto a una stretta disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non è adatta a noi.

Ora che abbiamo imparato a risolvere problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima, impariamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare molto tempo e celle disuguali in futuro. :)

Media aritmetica e trattini uguali

Considera diversi termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a contrassegnarli su una linea numerica:

Membri della progressione aritmetica sulla linea dei numeri

Ho specificamente notato i membri arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e non qualsiasi $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ecc. Perché la regola, che ora vi dirò, funziona allo stesso modo per tutti i "segmenti".

E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorsiva e annotiamola per tutti i membri contrassegnati:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fine(allineamento)\]

Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fine(allineamento)\]

Bene, e allora? Ma il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ giacciono alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - sono anche rimossi da $((a)_(n) )$ della stessa distanza pari a $2d$. Puoi continuare all'infinito, ma l'immagine illustra bene il significato

I membri della progressione si trovano alla stessa distanza dal centro

Cosa significa questo per noi? Ciò significa che puoi trovare $((a)_(n))$ se i numeri vicini sono noti:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Abbiamo dedotto una magnifica affermazione: ogni membro di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei membri vicini! Inoltre, possiamo deviare dal nostro $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi — e comunque la formula sarà corretta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Quelli. possiamo facilmente trovare $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista, può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti compiti sono appositamente "affilati" per l'uso della media aritmetica. Guarda:

Compito numero 6. Trova tutti i valori di $x$ tali che i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ siano membri consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine specificato).

Decisione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi è soddisfatta la condizione della media aritmetica: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:

\[\begin(allineamento) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fine(allineamento)\]

Il risultato è una classica equazione quadratica. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.

Risposta: -3; 2.

Compito numero 7. Trova i valori di $$ tali che i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formino una progressione aritmetica (in quest'ordine).

Decisione. Ancora una volta, esprimiamo il termine medio in termini di media aritmetica dei termini vicini:

\[\begin(allineamento) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cpunto 2\destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fine(allineamento)\]

Un'altra equazione quadratica. E ancora due radici: $x=6$ e $x=1$.

Risposta 1; 6.

Se nel processo di risoluzione di un problema ottieni dei numeri brutali, o non sei completamente sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora c'è un meraviglioso trucco che ti permette di verificare: abbiamo risolto il problema correttamente?

Diciamo che nel problema 6 abbiamo le risposte -3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Basta inserirli nella condizione originale e vedere cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che dovrebbero formare una progressione aritmetica. Sostituisci $x=-3$:

\[\begin(allineamento) & x=-3\Freccia destra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fine(allineamento)\]

Abbiamo i numeri -54; −2; 50 che differiscono di 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:

\[\begin(allineamento) & x=2\Freccia destra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fine(allineamento)\]

Di nuovo una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi, il problema è risolto correttamente. Chi lo desidera può controllare da solo il secondo compito, ma lo dico subito: anche lì è tutto corretto.

In generale, mentre risolvevamo gli ultimi problemi, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante che va ricordato:

Se tre numeri sono tali che il secondo è la media del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.

In futuro, la comprensione di questa affermazione ci permetterà di “costruire” letteralmente le progressioni necessarie in base alla condizione del problema. Ma prima di impegnarci in una tale "costruzione", dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che deriva direttamente da quanto già considerato.

Raggruppamento e somma di elementi

Torniamo di nuovo alla linea dei numeri. Notiamo lì diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:

6 elementi segnati sulla linea dei numeri

Proviamo ad esprimere la "coda sinistra" in termini di $((a)_(n))$ e $d$, e la "coda destra" in termini di $((a)_(k))$ e $ d$. È molto semplice:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fine(allineamento)\]

Si noti ora che le seguenti somme sono uguali:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fine(allineamento)\]

In parole povere, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e quindi iniziamo a fare un passo da questi elementi in direzioni opposte (l'uno verso l'altro o viceversa per allontanarsi), poi saranno uguali anche le somme degli elementi in cui ci imbatteremo$ S $. Questo può essere rappresentato al meglio graficamente:

Gli stessi trattini danno somme uguali

Comprendere questo fatto ci consentirà di risolvere problemi di un livello di complessità fondamentalmente superiore a quelli che abbiamo considerato sopra. Ad esempio, questi:

Compito numero 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.

Decisione. Scriviamo tutto ciò che sappiamo:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fine(allineamento)\]

Quindi, non conosciamo la differenza della progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sinistra(66+d \destra)\cdot \sinistra(66+11d \destra)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fine(allineamento)\]

Per quelli nel serbatoio: ho tolto il fattore comune 11 dalla seconda parentesi. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con i rami in alto, perché se apriamo le parentesi otteniamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cpunto 72d+11\cpunto 66\cpunto 6 \end(allineamento)\]

Come puoi vedere, il coefficiente con il termine più alto è 11 - questo è un numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:

grafico di una funzione quadratica - parabola

Nota: questa parabola assume il suo valore minimo al suo vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente, possiamo calcolare questa ascissa secondo lo schema standard (c'è una formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole si noti che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(allineamento) & f\sinistra(d\destra)=0; \\ & 11\cpunto \sinistra(d+66 \destra)\cpunto \sinistra(d+6 \destra)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fine(allineamento)\]

Ecco perché non avevo fretta di aprire le parentesi: nella forma originale, le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media aritmetica dei numeri −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto assume il valore più piccolo (a proposito, non abbiamo calcolato $((y)_(\min ))$ - questo non è richiesto da noi). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione iniziale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)

Risposta: -36

Compito numero 9. Inserisci tre numeri tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ in modo che insieme ai numeri dati formino una progressione aritmetica.

Decisione. In effetti, dobbiamo fare una sequenza di cinque numeri, con il primo e l'ultimo numero già noti. Indica i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Nota che il numero $y$ è il "centro" della nostra sequenza: è equidistante dai numeri $x$ e $z$ e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)( 6)$. E se al momento non riusciamo a ricavare $y$ dai numeri $x$ e $z$, la situazione è diversa con le estremità della progressione. Ricorda la media aritmetica:

Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ appena trovati. Così

Discutendo in modo simile, troviamo il numero rimanente:

Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui devono essere inseriti tra i numeri originali.

Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Compito numero 10. Tra i numeri 2 e 42 inserire più numeri che, insieme ai numeri dati, formano una progressione aritmetica, se è noto che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.

Decisione. Un compito ancora più difficile, che però si risolve allo stesso modo dei precedenti - attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri inserire. Pertanto, per certezza, assumiamo che dopo l'inserimento ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi è 2 e l'ultimo è 42. In questo caso, la progressione aritmetica desiderata può essere rappresentata come:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Si noti, tuttavia, che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ sono ottenuti dai numeri 2 e 42 che stanno ai bordi di un passo l'uno verso l'altro , cioè . al centro della sequenza. E questo significa questo

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ma poi l'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fine(allineamento)\]

Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sinistra(3-1 \destra)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \fine(allineamento)\]

Resta solo da trovare i membri rimanenti:

\[\begin(allineamento) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cpunto 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cpunto 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cpunto 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cpunto 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cpunto 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cpunto 5=42; \\ \fine(allineamento)\]

Quindi, già al nono passaggio arriveremo all'estremità sinistra della sequenza: il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Compiti di testo con progressioni

In conclusione, vorrei considerare un paio di problemi relativamente semplici. Bene, come semplici: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi compiti possono sembrare un gesto. Tuttavia, sono proprio questi compiti che si incontrano nell'OGE e nell'USE in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.

Compito numero 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo hanno prodotto 14 parti in più rispetto al precedente. Quante parti ha prodotto la brigata a novembre?

Decisione. Ovviamente, il numero delle parti, dipinte per mese, sarà una progressione aritmetica crescente. E:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cpunto 14=202\]

Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.

Compito numero 12. Il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri a gennaio e ogni mese ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop a dicembre?

Decisione. lo stesso:

$\begin(allineamento) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dicembre è l'ultimo, 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cpunto 4=260\]

Questa è la risposta: a dicembre saranno rilegati 260 libri.

Bene, se hai letto fino a qui, mi affretto a congratularmi con te: hai completato con successo il "corso per giovani combattenti" in progressioni aritmetiche. Possiamo tranquillamente passare alla lezione successiva, dove studieremo la formula della somma della progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili da essa.

Molti hanno sentito parlare di una progressione aritmetica, ma non tutti sanno bene di cosa si tratta. In questo articolo, daremo una definizione appropriata e considereremo anche la questione di come trovare la differenza di una progressione aritmetica e forniremo una serie di esempi.

Definizione matematica

Quindi, se stiamo parlando di una progressione aritmetica o algebrica (questi concetti definiscono la stessa cosa), significa che esiste una serie di numeri che soddisfa la seguente legge: ogni due numeri adiacenti nella serie differiscono per lo stesso valore. Matematicamente, questo è scritto in questo modo:

Qui n indica il numero dell'elemento a n nella sequenza, e il numero d è la differenza della progressione (il suo nome deriva dalla formula presentata).

Cosa significa conoscere la differenza d? A proposito di quanto sono distanti i numeri adiacenti. Tuttavia, la conoscenza di d è una condizione necessaria ma non sufficiente per determinare (ripristinare) l'intera progressione. Devi conoscere un altro numero, che può essere assolutamente qualsiasi elemento della serie in esame, ad esempio un 4, a10, ma, di regola, viene utilizzato il primo numero, ovvero un 1.

Formule per determinare gli elementi della progressione

In generale, le informazioni di cui sopra sono già sufficienti per passare alla risoluzione di problemi specifici. Tuttavia, prima di dare una progressione aritmetica, e sarà necessario trovarne la differenza, presentiamo un paio di formule utili, facilitando così il successivo processo di risoluzione dei problemi.

È facile mostrare che qualsiasi elemento della sequenza con numero n può essere trovato come segue:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Tutti infatti possono verificare questa formula con una semplice enumerazione: se sostituisci n = 1 ottieni il primo elemento, se sostituisci n = 2 allora l'espressione dà la somma del primo numero e la differenza, e così via .

Le condizioni di molti problemi sono compilate in modo tale che per una coppia di numeri nota, i cui numeri sono riportati anche nella sequenza, è necessario ripristinare l'intera serie numerica (trovare la differenza e il primo elemento). Ora risolveremo questo problema in modo generale.

Quindi, diciamo che ci vengono dati due elementi con numeri n e m. Utilizzando la formula ottenuta sopra, possiamo comporre un sistema di due equazioni:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

un m = un 1 + (m - 1) * d

Per trovare quantità incognite, utilizziamo un noto metodo semplice per risolvere un tale sistema: sottraiamo le parti sinistra e destra a coppie, mentre l'uguaglianza rimane valida. Abbiamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

un n - un m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Quindi, abbiamo eliminato uno sconosciuto (a 1). Ora possiamo scrivere l'espressione finale per determinare d:

d = (un n - un m) / (n - m), dove n > m

Abbiamo ottenuto una formula molto semplice: per calcolare la differenza d in funzione delle condizioni del problema, è sufficiente prendere il rapporto tra le differenze tra gli elementi stessi ei loro numeri seriali. Occorre prestare attenzione a un punto importante: vengono prese le differenze tra i membri "senior" e "junior", cioè n> m ("senior" - significa stare più lontano dall'inizio della sequenza, il suo valore assoluto può essere elemento più o meno "più giovane").

L'espressione per la differenza d della progressione dovrebbe essere sostituita in una qualsiasi delle equazioni all'inizio della soluzione del problema per ottenere il valore del primo termine.

Nella nostra epoca di sviluppo della tecnologia informatica, molti scolari cercano di trovare soluzioni per i loro compiti su Internet, quindi spesso sorgono domande di questo tipo: trova la differenza di una progressione aritmetica online. A tale richiesta, il motore di ricerca visualizzerà un certo numero di pagine web, andando alle quali, dovrai inserire i dati noti dalla condizione (possono essere due membri della progressione o la somma di alcuni di essi) e ottieni subito una risposta. Tuttavia, un tale approccio alla risoluzione del problema è improduttivo in termini di sviluppo dello studente e comprensione dell'essenza del compito assegnatogli.

Soluzione senza utilizzare formule

Risolviamo il primo problema, mentre non useremo nessuna delle formule di cui sopra. Si diano gli elementi della serie: a6 = 3, a9 = 18. Trova la differenza della progressione aritmetica.

Gli elementi noti sono vicini l'uno all'altro in fila. Quante volte la differenza d deve essere aggiunta a quella più piccola per ottenere quella più grande? Tre volte (la prima volta aggiungendo d, otteniamo il 7° elemento, la seconda volta - l'ottavo, infine, la terza volta - il nono). Quale numero deve essere aggiunto a tre tre volte per ottenere 18? Questo è il numero cinque. Veramente:

Pertanto, la differenza incognita è d = 5.

Naturalmente, la soluzione potrebbe essere fatta utilizzando la formula appropriata, ma ciò non è stato fatto intenzionalmente. Una spiegazione dettagliata della soluzione del problema dovrebbe diventare un chiaro e vivido esempio di cosa sia una progressione aritmetica.

Un compito simile al precedente

Ora risolviamo un problema simile, ma cambiamo i dati di input. Quindi, dovresti trovare se a3 = 2, a9 = 19.

Certo, puoi ricorrere di nuovo al metodo di risoluzione "sulla fronte". Ma poiché gli elementi della serie sono dati, che sono relativamente distanti, un tale metodo diventa poco conveniente. Ma l'uso della formula risultante ci porterà rapidamente alla risposta:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Qui abbiamo arrotondato il numero finale. Quanto questo arrotondamento ha portato a un errore può essere giudicato controllando il risultato:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Questo risultato differisce solo dello 0,1% dal valore fornito nella condizione. Pertanto, l'arrotondamento ai centesimi utilizzati può essere considerato una buona scelta.

Attività per l'applicazione della formula per un membro

Consideriamo un classico esempio del problema della determinazione dell'incognita d: trova la differenza della progressione aritmetica se a1 = 12, a5 = 40.

Quando vengono dati due numeri di una sequenza algebrica sconosciuta e uno di essi è l'elemento a 1 , non è necessario pensare a lungo, ma è necessario applicare immediatamente la formula per il membro a n. In questo caso abbiamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Abbiamo ottenuto il numero esatto durante la divisione, quindi non ha senso controllare l'accuratezza del risultato calcolato, come è stato fatto nel paragrafo precedente.

Risolviamo un altro problema simile: dovremmo trovare la differenza della progressione aritmetica se a1 = 16, a8 = 37.

Usiamo un approccio simile al precedente e otteniamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Cos'altro dovresti sapere sulla progressione aritmetica

Oltre ai problemi di trovare una differenza sconosciuta o singoli elementi, è spesso necessario risolvere problemi di somma dei primi termini di una successione. La considerazione di questi problemi esula dallo scopo dell'argomento dell'articolo, tuttavia, per completezza di informazione, presentiamo una formula generale per la somma di n numeri della serie:

∑ n io = 1 (a io) = n * (a 1 + a n) / 2

L'argomento "progressione aritmetica" è studiato nel corso generale di algebra nelle scuole del 9° grado. Questo argomento è importante per ulteriori approfondimenti sulla matematica delle serie numeriche. In questo articolo, conosceremo la progressione aritmetica, la sua differenza e i compiti tipici che gli scolari possono affrontare.

Il concetto di progressione algebrica

Una progressione numerica è una sequenza di numeri in cui ogni elemento successivo può essere ottenuto dal precedente se viene applicata una qualche legge matematica. Esistono due semplici tipi di progressione: geometrica e aritmetica, detta anche algebrica. Soffermiamoci su di esso in modo più dettagliato.

Immagina un numero razionale, indichiamolo con il simbolo a 1 , dove l'indice indica il suo numero ordinale nella serie in esame. Aggiungiamo qualche altro numero a un 1, indichiamolo d. Allora il secondo elemento della serie può essere riflesso come segue: a 2 = a 1 + d. Ora aggiungi ancora d, otteniamo: a 3 = a 2 + d. Continuando questa operazione matematica, puoi ottenere un'intera serie di numeri, che verrà chiamata progressione aritmetica.

Come si può intuire da quanto sopra, per trovare l'n-esimo elemento di questa sequenza, è necessario utilizzare la formula: a n = a 1 + (n-1) * d. Infatti, sostituendo n=1 nell'espressione, otteniamo a 1 = a 1, se n = 2, allora la formula implica: a 2 = a 1 + 1*d, e così via.

Ad esempio, se la differenza della progressione aritmetica è 5 e a 1 = 1, significa che la serie numerica del tipo in questione ha la forma: 1, 6, 11, 16, 21, ... Come si può vedere, ciascuno dei suoi membri è 5 in più del precedente.

Formule di differenza di progressione aritmetica

Dalla definizione di cui sopra della serie di numeri in esame, ne consegue che per determinarla è necessario conoscere due numeri: a 1 e d. Quest'ultimo è chiamato la differenza di questa progressione. Determina in modo univoco il comportamento dell'intera serie. Infatti, se d è positivo, allora la serie numerica aumenterà costantemente, al contrario, nel caso di d negativo, i numeri della serie aumenteranno solo modulo, mentre il loro valore assoluto diminuirà all'aumentare del numero n.

Qual è la differenza tra una progressione aritmetica? Considera le due formule principali che vengono utilizzate per calcolare questo valore:

1. d = a n+1 -a n , questa formula segue direttamente dalla definizione della serie di numeri considerata.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), questa espressione si ottiene esprimendo d dalla formula data nel paragrafo precedente dell'articolo. Si noti che questa espressione diventa indeterminata (0/0) se n=1. Ciò è dovuto al fatto che è necessario conoscere almeno 2 elementi della serie per determinarne la differenza.

Queste due formule di base vengono utilizzate per risolvere qualsiasi problema di trovare la differenza di progressione. Tuttavia, c'è un'altra formula che devi anche conoscere.

Somma dei primi elementi

La formula, che può essere utilizzata per determinare la somma di un numero qualsiasi di membri di una progressione algebrica, secondo l'evidenza storica, fu ottenuta per la prima volta dal "principe" della matematica del XVIII secolo, Carl Gauss. Uno scienziato tedesco, ancora ragazzo alle elementari di una scuola di paese, ha notato che per sommare i numeri naturali nelle serie da 1 a 100 bisogna sommare prima il primo elemento e l'ultimo (il valore risultante sarà uguale alla somma del penultimo e del secondo, del penultimo e del terzo elemento, e così via), e poi questo numero va moltiplicato per il numero di queste somme, cioè per 50.

La formula che riflette il risultato dichiarato su un particolare esempio può essere generalizzata a un caso arbitrario. Sembrerà: S n = n/2*(a n + a 1). Si noti che per trovare il valore specificato, la conoscenza della differenza d non è richiesta se sono noti due membri della progressione (a n e a 1).

Esempio 1. Determina la differenza, conoscendo i due termini della serie a1 e an

Mostreremo come applicare le formule sopra indicate nell'articolo. Facciamo un semplice esempio: la differenza della progressione aritmetica è sconosciuta, è necessario determinare a cosa sarà uguale se a 13 \u003d -5.6 e a 1 \u003d -12.1.

Poiché conosciamo i valori di due elementi della sequenza numerica e uno di essi è il primo numero, possiamo utilizzare la formula n. 2 per determinare la differenza d. Abbiamo: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Nell'espressione abbiamo utilizzato il valore n=13, poiché il membro con questo numero ordinale è noto.

La differenza risultante indica che la progressione è in aumento, nonostante gli elementi dati nella condizione del problema abbiano un valore negativo. Si può notare che a 13 >a 1 , sebbene |a 13 |<|a 1 |.

Esempio #2. Termini di progressione positiva nell'esempio #1

Usiamo il risultato ottenuto nell'esempio precedente per risolvere un nuovo problema. È formulato come segue: da quale numero ordinale gli elementi della progressione nell'esempio n. 1 iniziano ad assumere valori positivi?

Come è stato mostrato, la progressione in cui a 1 = -12.1 e d = 0.54167 è crescente, quindi da un certo numero i numeri assumeranno solo valori positivi. Per determinare questo numero n, è necessario risolvere una semplice disuguaglianza, che matematicamente si scrive come segue: a n>0 oppure, usando l'apposita formula, riscriviamo la disuguaglianza: a 1 + (n-1)*d>0. È necessario trovare l'incognita n, esprimiamola: n>-1*a 1 /d + 1. Ora resta da sostituire i valori noti della differenza e il primo membro della sequenza. Otteniamo: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 o n>23.338. Poiché n può assumere solo valori interi, dalla disuguaglianza ottenuta segue che tutti i termini della serie che hanno un numero maggiore di 23 saranno positivi.

Controlliamo la nostra risposta usando la formula sopra per calcolare il 23° e il 24° elemento di questa progressione aritmetica. Abbiamo: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​​​0,54167 \u003d -0,18326 (numero negativo); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (valore positivo). Quindi il risultato ottenuto è corretto: a partire da n=24, tutti i membri della serie numerica saranno maggiori di zero.

Esempio #3. Quanti registri si adatteranno?

Ecco un problema interessante: durante la registrazione, è stato deciso di impilare i tronchi segati uno sopra l'altro come mostrato nella figura seguente. Quanti registri possono essere impilati in questo modo, sapendo che 10 righe si adatteranno in totale?

In questo modo di piegare i log si può notare una cosa interessante: ogni riga successiva conterrà un log in meno del precedente, cioè c'è una progressione algebrica la cui differenza è d=1. Supponendo che il numero di log in ogni riga sia un membro di questa progressione, e tenendo anche conto che a 1 = 1 (solo un log andrà bene in cima), troviamo il numero a 10 . Abbiamo: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Cioè, nella decima riga, che giace a terra, ci saranno 10 registri.

L'importo totale di questa costruzione "piramidale" può essere ottenuto utilizzando la formula di Gauss. Otteniamo: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 registri.