Limite variabile. Limite di sequenza

FUNZIONI E LIMITI IX

§ 201. Costanti e variabili. Concetto di funzione

Abbiamo già incontrato il concetto di funzione più di una volta. Nella parte I, abbiamo esaminato lineare, quadratico, potenza e funzioni trigonometriche. Il capitolo precedente è stato dedicato allo studio delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Ora dobbiamo fare recensione generale quello che già sappiamo sulle funzioni e consideriamo alcune nuove domande.

Osservando i vari processi, si può notare che le quantità in essi implicate si comportano in modo diverso: alcuni cambiano, altri rimangono costanti. Se, ad esempio, in un triangolo ABC, il vertice B viene spostato lungo la retta MN parallela alla base AC (Fig. 263), allora i valori degli angoli A, B e C cambieranno continuamente, e la loro somma, l'altezza h e l'area del triangolo rimarrà invariata.

Un altro esempio. Se un gas viene compresso a una temperatura costante, il suo volume ( V) e pressione ( R) cambierà: il volume diminuirà e la pressione aumenterà. Il prodotto di queste quantità, come stabilito dalla legge di Boyle-Mariotte, rimarrà costante:

Vp=c ,

dove insieme a è una costante.

Tutte le grandezze possono essere suddivise in costanti e variabili.

Le variabili coinvolte in qualsiasi processo di solito non cambiano indipendentemente l'una dall'altra, ma in stretta connessione tra loro. Ad esempio, la compressione di un gas (a temperatura costante) comporta una variazione del suo volume e questo, a sua volta, provoca una variazione della pressione del gas. Un cambiamento nel raggio della base di un cilindro provoca un cambiamento nell'area di questa base; quest'ultimo porta a una variazione del volume del cilindro, e così via.Uno dei compiti agevoli dello studio matematico di questo o quel processo è stabilire come una variazione di alcune variabili influisca sulla variazione di altre variabili.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi. La legge di Boyle sopra menzionata - Mariotte dice che a temperatura costante il volume del gas V cambia inversamente alla pressione R : V = c / p . Se la pressione è nota, il volume del gas può essere calcolato utilizzando questa formula. Allo stesso modo, la formula S = π r 2 consente di determinare l'area di un cerchio S se il suo raggio è noto r . Secondo la formula β = π / 2 - α trova un angolo acuto triangolo rettangolo, se è noto un altro angolo acuto di questo triangolo, ecc.

Quando si confrontano due variabili, è conveniente considerarne una come indipendente variabile e l'altro come dipendente valore variabile. Ad esempio, il raggio di un cerchio r è naturale considerarla una variabile indipendente, e l'area di un cerchio S = π r 2 - variabile dipendente. Allo stesso modo, la pressione del gas R può essere considerata una variabile indipendente; poi il suo volume V = c / p sarà la variabile dipendente.

Quale delle due variabili dovrebbe essere scelta come dipendente e quale come indipendente? Questa domanda viene risolta in modi diversi a seconda dell'obiettivo. Se, ad esempio, siamo interessati a cosa porta la variazione della pressione del gas a una temperatura costante, allora è naturale considerare la segatura come variabile indipendente e il volume come variabile dipendente. In questo caso, la variabile dipendente V sarà espressa nei termini della variabile indipendente R secondo la formula: V = c / p . Se vogliamo scoprire le conseguenze della compressione di un gas, allora è meglio considerare il volume come una variabile indipendente e la pressione come una variabile dipendente. Quindi la variabile dipendente R sarà espresso in termini di variabile indipendente V dalla formula R = c / V . In ognuno di questi casi, le due quantità sono correlate tra loro in modo che ciascuna valore possibile uno di essi corrisponde a un valore ben definito dell'altro.

Se ogni valore di una variabile X messo in qualche modo in corrispondenza di un valore ben definito di un'altra quantità A, allora diciamo che è data una funzione.

il valore A allo stesso tempo chiamano dipendente variabile o funzione, e il valore X - indipendente variabile o discussione.

Per esprimere cosa A avere una funzione argomento X , di solito usa la notazione: A = f (X ), y = g (X ) , A = φ (X ), ecc. (si legge: y è uguale a ef da x, y è uguale a stesso da x, y è uguale a phi da x, ecc.). Scegliere una lettera per designare una funzione ( f, g φ ) è, ovviamente, non essenziale. Ciò che conta è il rapporto tra le quantità X e A esprime questa lettera.

Il valore che assume la funzione f (X ) A x = a , indicato f (un ). Se, per esempio, f (X ) = X 2+1, quindi

f (1) = 1 2 + 1 = 2;

f (2) = 2 2 + 1 = 5;

f (un + 1) = (un + 1) 2 + 1 = un 2 + 2un + 2;

f (2un ) = (2un ) 2 + 1 = 4un 2 + 1

Esercizi

1515. Viene compresso un gas sotto pressione di 2 atmosfere. Come cambia: a) il peso del gas; b) il suo volume; c) la sua pressione?

1516. Una corrente scorre attraverso un circuito elettrico. Con l'aiuto di un reostato, cambiamo la resistenza del circuito. Questo cambia: a) la corrente nel circuito; b) voltaggio?

1517. Il vertice B del triangolo ABC si muove lungo un cerchio il cui diametro coincide con la base AC di questo triangolo. Quali quantità rimangono costanti in questo processo e quali cambiano?

1518.

Trova un) f (0); b) f (un 2); in) f ( 1 / un ); G) f (peccato un ).

1519. Espresso f (2un ) attraverso f (un ) per le funzioni:

un) f (X ) = peccato X ; b) f (X ) = tg X ;

Tra i vari modi di comportamento delle variabili, il più importante è quello in cui la variabile tende a un certo limite. In questo caso, i valori assunti dalla variabile X, diventa arbitrariamente vicino a un numero costante un- limite di questa variabile. Si dice che una variabile tende ad avvicinarsi indefinitamente a un numero costante un(al tuo limite). Diamo la definizione corrispondente in modo più dettagliato.

La variabile x tende al limite a (a - numero costante) se il valore assoluto la differenza tra x e a diventa arbitrariamente piccola nel processo di modifica della variabile.

La stessa definizione si può dire in altre parole.

Definizione.Viene chiamato il numero costante alimite variabilex se - il valore assoluto della differenza tra x e a diventa arbitrariamente piccolo nel processo di modifica della variabile x.

Il fatto che il numero un, è il limite di una variabile, si scrive come segue:

( - le prime lettere della parola limes - limite) o X-> a

Chiariamo cosa si deve intendere con le parole "il valore diventa arbitrariamente piccolo", che sono disponibili nella definizione del limite. Prendiamo un numero arbitrario positivo, allora, se, a partire da un certo momento nel cambio della variabile X, i valori diventeranno, e diventeranno meno di questo .

La variabile tende al limite se per qualche positivo. a partire da un certo momento nel cambiamento della variabile, la disuguaglianza è soddisfatta .

La definizione di limite ha un significato geometrico semplice: la disuguaglianza significa che si trova nella -vicinanza del punto , cioè nell'intervallo (Fig. 26). Pertanto, la definizione del limite in forma geometrica: un numero è il limite di una variabile se per qualsiasi (arbitrariamente piccolo)-vicinato di un punto è possibile specificare tale momento nella modifica di una variabile, a partire da cui tutti i suoi valori
rientrano nell'indicato -vicinanza del punto a.

È necessario immaginare il processo di avvicinamento al limite nella dinamica. ne ha presi alcuni - vicinato del punto un; a partire da un certo punto nel cambiamento , tutti i valori rientrano in questo quartiere. Ora andiamo più da vicino - vicinato del punto un; a partire da qualche momento (più distante rispetto al primo) del cambiamento , tutti i suoi valori cadranno - vicinato del punto un eccetera. (Fig. 1).

Dopo aver introdotto la definizione del limite di una variabile, si è cercato di discuterla e decifrarla in dettaglio. Tuttavia, in questa definizione, un dettaglio molto significativo è rimasto nascosto; cosa si deve intendere con le parole "a partire da un certo momento nel cambiamento della variabile"? Questo è evidente quando il processo di modifica della variabile procede nel tempo: a partire da un certo momento (tempo). Ma non abbiamo sempre a che fare con variabili che cambiano nel tempo. Come essere in questi casi? La via d'uscita è decifrare questo posto nella definizione generale del limite di una variabile in modo specifico per ogni tipo di variabile: a modo suo per le sequenze, a modo suo per le funzioni e così via.

Limite di sequenza. Innanzitutto occorre ricordare la definizione di sequenza: se tutti i valori sono presi da una variabile X, può essere numerato utilizzando vari numeri naturali x ), x 2 ,... x n,..., e il valore con un numero più alto è preso dopo il valore con un numero più basso, allora diciamo che la variabile X scorre attraverso una sequenza di valori x x, x 2 ,... x p...; o semplicemente che esiste una sequenza (sequenza numerica).

Definizione. Sequenza numerica viene chiamata una funzione reale di un argomento naturale, ovvero una funzione per la quale = N e E.R.

È indicato dal simbolo , dove , o in breve, . Un numero che dipende da n si dice n – esimo membro della sequenza. Disponendo i valori della sequenza in ordine numerico, otteniamo che la sequenza può essere identificata con un insieme numerabile numeri reali, cioè.

Esempi:

a) La sequenza è costante e consiste di numeri uguali (unità): ;

b) . Per lei

G) .

Per le sequenze, l'enunciato contenuto nella definizione generale del limite di una variabile "inizia ad un certo punto del cambiamento " dovrebbe significare - "a partire da un numero", poiché i termini con numeri più alti seguono (per definizione della sequenza) il membro con un numero inferiore. Quindi otteniamo la seguente definizione del limite di una successione:

Definizione. Numero un chiamata limite sequenze se per qualsiasi numero esiste un numero tale che tutti i numeri per i quali soddisfano la disuguaglianza.

Designazione appropriata

La disuguaglianza può anche essere scritta come o . Questi record sottolineano che il valore x n diventa arbitrariamente poco diverso da un , quando il numero dei membri aumenta indefinitamente. Geometricamente, la definizione del limite di una successione significa quanto segue: for arbitrariamente piccolo -quartiere del numero un esiste un numero N tale che tutti i membri della successione con maggiore di N, i numeri cadono in questo quartiere, fuori del vicinato c'è solo un numero finito di termini iniziali della successione (Fig. 2). Questi sono tutti o alcuni dei membri .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Il numero nella nostra definizione dipende da : N= N(). Come accennato in precedenza, la definizione del limite va intesa nello sviluppo, nella dinamica, nel movimento: se prendiamo un altro valore minore per , ad esempio, c'è, in generale, un altro numero N x > N, tale che la disuguaglianza , è soddisfatto per tutti .

Scriveremo la definizione del limite usando simboli logici (quantificatori). La definizione del limite di una sequenza mediante quantificatori si presenta così.

Variabili e costanti non sono esattamente facili

La matematica scolastica ci ha sempre convinto e continua a convincerci che la questione delle variabili e delle costanti si risolve in modo molto semplice. Le variabili sono valori che, nelle condizioni di un determinato compito, possono assumere vari significati. I valori che non cambiano i loro valori nelle condizioni di un determinato problema sono considerati costanti.

Allo stesso tempo, viene inoltre riportato che la divisione delle quantità in variabili e costanti è piuttosto arbitraria e dipende dalle circostanze che accompagnano il processo di risoluzione del problema. La stessa quantità, che in alcune condizioni era considerata costante, in altre condizioni dovrebbe essere considerata come una variabile. Un classico esempio: si assume che la resistenza di un conduttore sia costante finché non si è costretti a tenere conto della dipendenza del valore della sua resistenza dalla temperatura ambiente.

Ma, come mostra la pratica, tutto quanto sopra per la corretta soluzione di un particolare problema non è sufficiente.

Cos'è un valore, è chiaro a tutti intuitivamente. Chiariamo questo concetto.

Nel caso generale, il contenuto del processo di risoluzione del problema è la trasformazione delle quantità. Allo stesso tempo, va inteso che in senso filosofico generale, il valore che rappresenta il risultato della soluzione del problema è già contenuto nella sua formulazione in forma implicita. È solo necessario costruire correttamente il processo di trasformazione dei valori del problema per presentare questo risultato in modo esplicito.

Definizione

Chiameremo un valore qualsiasi oggetto matematico che trasporta (o può trasportare) informazioni su un valore particolare.

La forma di rappresentazione delle quantità può essere diversa. Ad esempio, un valore con un valore numerico uguale a uno reale può essere rappresentato dalla costante decimale 1.0, dalla funzione Cos(0) e dall'espressione aritmetica 25.0 - 15.0 - 9.0.

I valori delle quantità possono essere modificati. Quindi, come risultato dell'azione x = 1,0, il valore nella forma della variabile x risulta essere il vettore del valore dell'unità reale. In questo caso si perde il valore precedente della variabile x. Gli esempi forniti mostrano già da un punto di vista alquanto diverso che le quantità possono essere variabili e costanti.

Definizione

Le variabili hanno la proprietà che i loro valori possono essere modificati a seguito di determinate azioni. E questo significa che il concetto di “valore variabile” riflette la possibilità, ma non il fatto del cambiamento.

Un valore costante (costante) dovrebbe essere considerato un valore il cui valore, a differenza di una variabile, non può essere modificato in linea di principio.

Ad esempio, il valore della costante nella forma dell'espressione 12+3 è 15 e non può essere modificato. In questo caso, è necessario fissare il significato dei segni con cui è rappresentato il valore. Altrimenti, se consideriamo, ad esempio, i segni di questa espressione come numeri nel sistema numerico in base 5, allora il suo valore sarà uguale a 10.

Definizione

Quindi, nei testi matematici, i portatori di valori, cioè le quantità, sono variabili, costanti, richiami a funzioni (o semplicemente funzioni), nonché espressioni.

Caratteristiche delle variabili

Simboli associati a determinati valori, in matematica si chiamano variabili (il termine è usato come sostantivo).

Ad esempio, il valore della variabile x+1 dipende dal valore associato al simbolo x. Qui la notazione x è usata come variabile. Modificando il valore della variabile x, cambiamo quindi il valore della variabile x+1.

Pertanto, i valori delle variabili dipendono dai valori delle variabili che ne fanno parte. Proprietà distintiva variabile è che il suo valore specifico dovrebbe essere semplicemente assegnato (assegnato).

L'approccio matematico che determina la possibilità di calcolare i valori delle variabili risulta in questo contesto non corretto. In matematica si possono valutare solo i valori delle espressioni.

La condizione principale per l'utilizzo di una variabile nei testi matematici nella sua forma finale è la seguente: per riferirsi ad una variabile è sufficiente indicarne la designazione.

Caratteristiche delle costanti

Nei testi matematici si possono usare due tipi di costanti: costanti token e costanti nominate.

A proposito, programmatori nelle lingue alto livello, usalo per motivi (legali) abbastanza formali.

Con l'aiuto di token costanti, i valori dei valori costanti vengono specificati direttamente senza eseguire alcuna operazione. Ad esempio, per ottenere il valore del valore costante 12+3, che è un'espressione, è necessario aggiungere due token costanti 12 e 3.

Definizione

Una costante denominata è una notazione associata a un valore specifico specificato come costante token.

Questo approccio è ampiamente utilizzato in Scienze naturali per motivi di comodità di registrazione di formule fisiche, chimiche, matematiche e di altro tipo. Ad esempio: g = 9,81523 - accelerazione caduta libera alla latitudine di Mosca; π = 3,1415926 è il numero $π$.

Oltre alla notazione compatta delle espressioni, le costanti con nome forniscono chiarezza e notevole praticità nel lavorare con testi matematici.

Una costante denominata acquisisce il suo valore a seguito di un accordo preliminare.

Una proprietà importante di qualsiasi costante denominata è che non è consigliabile modificarne il valore all'interno di un testo matematico.

Espressioni

Le espressioni sono parti costitutive la stragrande maggioranza dei testi matematici. Con l'aiuto delle espressioni, viene specificato l'ordine in cui vengono calcolati i nuovi valori sulla base di altri valori precedentemente noti.

Nel caso generale, gli operandi, i segni di operazione e la correzione delle parentesi tonde (quadrate, ricci) vengono utilizzati come parte delle espressioni.

Definizione

Gli operandi sono nome comune oggetti i cui valori vengono utilizzati durante l'esecuzione di operazioni. Gli operandi possono essere variabili, costanti e funzioni. A proposito, questo termine è molto popolare tra i programmatori. Un frammento di espressione racchiuso tra parentesi viene trattato come un operando composto separato.

Il segno di operazione simboleggia un insieme ben definito di azioni che devono essere eseguite sugli operandi corrispondenti. Le parentesi di controllo stabiliscono l'ordine desiderato delle operazioni, che può differire da quello fornito dalla precedenza delle operazioni.

Il caso più semplice di un'espressione è un singolo operando. Non ci sono segni di operazione in questa espressione.

La funzione operando ha le sue caratteristiche. Di norma, un tale operando è il nome (o il segno) di una funzione seguito da un elenco dei suoi argomenti tra parentesi. In questo caso le parentesi sono parte integrante delle funzioni e non si applicano a quelle di regolazione. Si noti che in molti casi gli operandi di funzione fanno a meno delle parentesi (ad esempio, 5! è il calcolo del fattoriale dell'intero 5).

Operazioni matematiche

Caratteristiche principali operazioni matematiche sono:

• i segni di operazione possono essere indicati utilizzando caratteri speciali, nonché utilizzando parole appositamente stabilite;
• le operazioni possono essere unarie (eseguite su un operando) e binarie (eseguite su due operandi);
• le operazioni hanno quattro livelli di priorità che determinano l'ordine in cui viene valutata l'espressione.

Le regole per valutare un'espressione complessa contenente una catena di operazioni in assenza di parentesi di controllo sono le seguenti:

1. in primo luogo, vengono calcolati i valori di tutte le funzioni;
2. quindi le operazioni vengono eseguite una ad una in ordine decrescente di priorità;
3. le operazioni di uguale precedenza vengono eseguite in ordine da sinistra a destra.

Quando sono presenti parentesi, l'espressione contiene operandi composti i cui valori devono essere valutati prima.

Alcune caratteristiche della scrittura di espressioni matematiche:

• si sconsiglia di omettere i segni di operazione, sebbene in molti casi sia possibile omettere il segno di moltiplicazione;
• è desiderabile specificare gli argomenti della funzione tra parentesi;
• l'indicazione consecutiva di due o più segni di operazioni binarie è inaccettabile; formalmente, è consentito utilizzare più segni di operazioni unarie di seguito, anche insieme a uno binario.

Esempi di variabili sono: temperatura dell'aria, parametro di funzione e molto altro.

Una variabile è caratterizzata solo dall'insieme di valori che può assumere. Una variabile è indicata da un simbolo comune a ciascuno dei suoi valori.

Variabili in matematica

In matematica variabile può essere sia una quantità fisica reale che una quantità astratta che non riflette i processi del mondo reale.

Descartes considerava i valori delle variabili sempre non negativi ed esprimeva i valori negativi con un segno, riflesso con un segno meno davanti alla variabile. Se il segno del coefficiente era sconosciuto, Cartesio metteva i puntini di sospensione. Il matematico olandese Johann Hudde già nel 1657 permise alle variabili letterali di assumere valori di qualsiasi segno.

Variabili in programmazione

In programmazione variabileè un identificatore che identifica i dati. Questo è solitamente un nome che nasconde un'area di memoria in cui è possibile inserire i dati archiviati in un'altra area di memoria. Una variabile può avere un tipo di valori che può assumere. Nella programmazione, le variabili sono solitamente denotate da una o più parole o simboli, come "tempo", "x", "

Variabili e costanti

grandezze che nella domanda in esame assumono valori diversi o, di conseguenza, mantengono lo stesso valore. Ad esempio, quando si studia la caduta di un corpo, la distanza di quest'ultimo dal suolo e la velocità di caduta sono quantità variabili, mentre l'accelerazione (se trascuriamo la resistenza dell'aria) è un valore costante. La matematica elementare trattava tutte le quantità che studiava come costanti. Il concetto di quantità variabile sorse in matematica nel XVII secolo. sotto l'influenza delle esigenze delle scienze naturali, che hanno portato alla ribalta lo studio del movimento - processi, e non solo degli stati. Questo concetto non si adattava alle forme sviluppate dalla matematica dell'antichità e del Medioevo e richiedeva nuove forme per la sua espressione. Tali nuove forme erano l'algebra letterale e la geometria analitica R. Descartes a. Nelle lettere dell'algebra cartesiana, che possono assumere valori numerici arbitrari, le variabili hanno trovato la loro espressione simbolica. “Il punto di svolta in matematica è stata la variabile cartesiana. Grazie a ciò, il movimento e quindi la dialettica sono entrati nella matematica, e grazie a ciò sono diventati immediatamente necessari il calcolo differenziale e integrale ... ”(Engels F., vedi Marx K. e Engels F., Soch., 2a ed., Vol. 20, pag. 573). Durante questo periodo e fino alla metà del XIX secolo. prevalgono le opinioni meccaniche sulle variabili. Esse furono espresse più chiaramente da I. Newton, che definì le variabili "fluenti", cioè correnti, e le considerava "... non come costituite da parti estremamente piccole, ma come descritte da un movimento continuo" ("Opere matematiche" , M., 1937, p. 167). Queste opinioni si sono rivelate molto fruttuose e, in particolare, hanno permesso a Newton di adottare un approccio completamente nuovo per trovare le aree delle figure curvilinee. Newton fu il primo a considerare l'area di un trapezio curvilineo ( ABNM sul Riso. ) non come valore costante (calcolato sommando le sue parti infinitesime), ma come variabile prodotta dal movimento dell'ordinata della curva ( NM); stabilendo che il tasso di variazione dell'area in esame è proporzionale all'ordinata Nm, ridusse così il problema del calcolo delle aree al problema della determinazione di una variabile da velocità nota i suoi cambiamenti. La legittimità dell'introduzione del concetto di velocità in matematica è stata confermata all'inizio del XIX secolo. teoria , che ha dato una definizione esatta della velocità come derivata (vedi Derivata). Tuttavia, durante il 19° secolo i limiti della visione delle variabili sopra descritta stanno gradualmente diventando evidenti. Analisi matematica diventa sempre più una teoria generale delle funzioni, il cui sviluppo è impossibile senza un'analisi precisa dell'essenza e della portata dei suoi concetti di base. Si scopre che anche il concetto di funzione continua è in realtà molto più complicato delle rappresentazioni visive che lo hanno portato. Vengono scoperte funzioni continue che non hanno una derivata in nessun punto; comprendere una tale funzione come il risultato di un movimento significherebbe assumere un movimento senza velocità in qualsiasi momento. Diventa sempre più importante lo studio delle funzioni discontinue, nonché delle funzioni definite su insiemi di struttura molto più complessa di un intervallo o dell'unione di più intervalli. L'interpretazione newtoniana di una variabile diventa insufficiente e, in molti casi, inutile.

D'altra parte, la matematica comincia a considerare come variabili non solo le grandezze, ma anche classi sempre più diverse e ampie dei suoi altri oggetti. Su questa base, nella seconda metà del XIX secolo. e nel 20° secolo La teoria degli insiemi, la topologia e la logica matematica sono in fase di sviluppo. A proposito di quanto si è espansa nel 20° secolo. il concetto di variabile è evidenziato dal fatto che la logica matematica considera non solo variabili che scorrono attraverso insiemi arbitrari di oggetti, ma anche variabili i cui valori sono affermazioni, predicati (relazioni tra oggetti), ecc. (vedi variabile).

Grande enciclopedia sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

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