Metodi per impostare una sequenza numerica. Definizione di una sequenza numerica

Vida y= f(X), X o N, dove Nè l'insieme dei numeri naturali (o una funzione di un argomento naturale), denotato y=f(n) o y 1 ,y 2 ,…, si n,…. Valori y 1 ,y 2 ,y 3 ,… sono chiamati rispettivamente il primo, il secondo, il terzo, ... membri della sequenza.

Ad esempio, per la funzione y= n 2 si può scrivere:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metodi per impostare le sequenze. Le sequenze possono essere specificate in vari modi, tra cui tre sono particolarmente importanti: analitica, descrittiva e ricorrente.

1. Una sequenza è data analiticamente se è data la sua formula n-esimo membro:

si n=f(n).

Esempio. si n= 2n- 1 – sequenza di numeri dispari: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Descrittivo il modo per specificare una sequenza numerica è che spiega da quali elementi è costruita la sequenza.

Esempio 1. "Tutti i membri della sequenza sono uguali a 1." Significa, noi stiamo parlando sulla sequenza stazionaria 1, 1, 1, …, 1, ….

Esempio 2. "La sequenza consiste di tutti i numeri primi in ordine crescente." Pertanto, è data la sequenza 2, 3, 5, 7, 11, …. Con questo modo di specificare la sequenza in questo esempio, è difficile rispondere a cosa, diciamo, il millesimo elemento della sequenza è uguale.

3. Il modo ricorrente di specificare una sequenza è che venga indicata una regola che consente di calcolare n-esimo membro della sequenza, se sono noti i membri precedenti. Il nome metodo ricorrente deriva dalla parola latina ricorrere- ritorno. Molto spesso, in questi casi, viene indicata una formula che consente di esprimere n esimo membro della sequenza attraverso i precedenti e specificare 1–2 membri iniziali della sequenza.

Esempio 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 se n = 2, 3, 4,….

Qui y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Si può notare che la sequenza ottenuta in questo esempio può essere specificata anche analiticamente: si n= 4n- 1.

Esempio 2 y 1 = 1; y 2 = 1; si n = si n –2 + si n-1 se n = 3, 4,….

Qui: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

La sequenza composta in questo esempio è particolarmente studiata in matematica perché ha una serie di proprietà e applicazioni interessanti. Si chiama sequenza di Fibonacci - dal matematico italiano del XIII secolo. Definire la sequenza di Fibonacci in modo ricorsivo è molto facile, ma analiticamente è molto difficile. n Il esimo numero di Fibonacci è espresso in termini di numero ordinale dalla formula seguente.

A prima vista, la formula per n il numero di Fibonacci sembra poco plausibile, poiché la formula che specifica la sequenza dei soli numeri naturali contiene radici quadrate, ma puoi verificare "manualmente" la validità di questa formula per i primi n.

Proprietà delle successioni numeriche.

Una sequenza numerica è un caso speciale di una funzione numerica, quindi per le sequenze vengono considerate anche alcune proprietà delle funzioni.

Definizione . Sotto sequenza ( si n} si dice crescente se ciascuno dei suoi termini (tranne il primo) è maggiore del precedente:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definizione.Sequenza ( si n} si dice decrescente se ciascuno dei suoi termini (tranne il primo) è minore del precedente:

y 1 > y 2 > y 3 > … > si n> si n +1 > … .

Le sequenze crescenti e decrescenti sono unite da un termine comune: le sequenze monotone.

Esempio 1 y 1 = 1; si n= n 2 è una sequenza crescente.

Pertanto, il seguente teorema è vero (una proprietà caratteristica di una progressione aritmetica). Una successione numerica è aritmetica se e solo se ciascuno dei suoi membri, eccetto il primo (e l'ultimo nel caso di successione finita), è uguale alla media aritmetica dei membri precedenti e successivi.

Esempio. A che valore X numero 3 X + 2, 5X– 4 e 11 X+ 12 formano una progressione aritmetica finita?

Secondo la proprietà caratteristica, le espressioni date devono soddisfare la relazione

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Risolvere questa equazione dà X= –5,5. Con questo valore X espressioni date 3 X + 2, 5X– 4 e 11 X+ 12 prendi, rispettivamente, i valori -14,5, –31,5, –48,5. Questa è una progressione aritmetica, la sua differenza è -17.

Progressione geometrica.

Una sequenza numerica, i cui membri sono tutti diversi da zero e ciascuno dei quali, a partire dal secondo, si ottiene dal membro precedente moltiplicando per lo stesso numero q, è chiamata progressione geometrica, e il numero q- il denominatore di una progressione geometrica.

Quindi, una progressione geometrica è una sequenza numerica ( b n) data ricorsivamente dalle relazioni

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b e q- dati numeri, b ≠ 0, q ≠ 0).

Esempio 1. 2, 6, 18, 54, ... - progressione geometrica crescente b = 2, q = 3.

Esempio 2. 2, -2, 2, -2, ... – progressione geometrica b= 2,q= –1.

Esempio 3. 8, 8, 8, 8, … – progressione geometrica b= 8, q= 1.

Una progressione geometrica è una sequenza crescente se b 1 > 0, q> 1 e decrescente se b 1 > 0, 0 q

Una delle proprietà ovvie di una progressione geometrica è che se una sequenza è una progressione geometrica, allora la sequenza di quadrati, cioè

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… è una progressione geometrica il cui primo termine è uguale a b 1 2 , e il denominatore è q 2 .

Formula n- Il termine di una progressione geometrica ha la forma

b n= b 1 q n– 1 .

Puoi ottenere la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica finita.

Sia una progressione geometrica finita

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

lascia stare S n - la somma dei suoi membri, cioè

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

È accettato q No. 1. Determinare S n viene applicato un trucco artificiale: vengono eseguite alcune trasformazioni geometriche dell'espressione S nq.

S nq = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Così, S nq= S n +b n q – b 1 e quindi

Questa è la formula con umma n membri di una progressione geometrica per il caso quando q≠ 1.

In q= 1 formula non può essere derivata separatamente, è ovvio che in questo caso S n= un 1 n.

La progressione geometrica prende il nome perché in essa ogni termine tranne il primo è uguale alla media geometrica dei termini precedenti e successivi. Infatti, poiché

b n = b n- 1 q;

mld = mld+ 1 /q,

quindi, b n 2= b n– 1 mld+ 1 ed è vero il seguente teorema (proprietà caratteristica di una progressione geometrica):

una successione numerica è una progressione geometrica se e solo se il quadrato di ciascuno dei suoi termini, eccetto il primo (e l'ultimo nel caso di successione finita), è uguale al prodotto dei termini precedenti e successivi.

Limite di sequenza.

Sia una sequenza ( c n} = {1/n}. Questa sequenza è detta armonica, poiché ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è la media armonica tra i membri precedenti e successivi. Media geometrica dei numeri un e b c'è un numero

In caso contrario, la sequenza è chiamata divergente.

Sulla base di questa definizione si può, ad esempio, provare l'esistenza di un limite A=0 per la sequenza armonica ( c n} = {1/n). Sia ε un numero positivo arbitrariamente piccolo. Consideriamo la differenza

C'è tale N quello per tutti n≥ N disuguaglianza 1 /N? Se preso come N qualsiasi numero naturale maggiore di 1/ε , quindi per tutti n ≥ N disuguaglianza 1 /n ≤ 1/N ε , QED

A volte è molto difficile provare l'esistenza di un limite per una sequenza particolare. Le sequenze più comuni sono ben studiate e sono elencate nei libri di riferimento. Esistono teoremi importanti che consentono di concludere che una data sequenza ha un limite (e anche di calcolarlo) sulla base di sequenze già studiate.

Teorema 1. Se una successione ha un limite, allora è limitata.

Teorema 2. Se una successione è monotona e limitata, allora ha un limite.

Teorema 3. Se la successione ( un} ha un limite UN, quindi le sequenze ( potere}, {un+ c) e (| un|} avere dei limiti circa, UN +c, |UN| rispettivamente (qui cè un numero arbitrario).

Teorema 4. Se le successioni ( un} e ( b n) hanno limiti pari a UN e B padella + qb n) ha un limite papà+ qB.

Teorema 5. Se le successioni ( un) e ( b n) hanno limiti pari a UN e B rispettivamente, quindi la sequenza ( a n b n) ha un limite AB.

Teorema 6. Se le successioni ( un} e ( b n) hanno limiti pari a UN e B rispettivamente e in aggiunta b n ≠ 0 e B≠ 0, quindi la sequenza ( un n / b n) ha un limite A/B.

Anna Chugainova

Lavoro pratico n. 13

Impostare sequenze numeriche in vari modi, calcolare i membri di una sequenza. Trovare i limiti delle sequenze e funzioni

Bersaglio: imparare a scrivere sequenze numeriche in vari modi, descriverne le proprietà; trovare i limiti di sequenze e funzioni.

Breve teoria

La funzione y=f (n) dell'argomento naturale n (n=1; 2; 3; 4;...) è chiamata sequenza numerica.

Esistono i seguenti modi per specificare una sequenza numerica:

modo verbale.È un modello o una regola per la disposizione dei membri di una sequenza, descritta a parole.

modo analitico. La successione è data dalla formula dell'n-esimo membro: y n = f(n). Usando questa formula, puoi trovare qualsiasi membro della sequenza.

modo ricorsivo. Viene data una formula con la quale ogni termine successivo viene trovato attraverso i termini precedenti. Nel caso di un modo ricorrente di definire una funzione, vengono sempre specificati in aggiunta uno o più primi membri della sequenza.

Viene chiamata la sequenza numerica crescente, se i suoi membri sono crescenti (a n + 1 a n) e decrescenti se i suoi membri diminuire(per n+1 n).

Vengono chiamate sequenze numeriche crescenti o decrescenti monotono.

Sia un punto della retta e sia un numero positivo. L'intervallo è chiamato intorno del punto e il numero è chiamato raggio del vicinato.

Si consideri una sequenza numerica il cui termine comune si avvicina a un certo numero b all'aumentare del numero ordinale n. In questo caso, si dice che la sequenza numerica ha un limite. Questo concetto ha una definizione più rigorosa.

Il numero b è detto limite della successione (y n) se in un qualsiasi prescelto intorno del punto b contiene tutti i membri della successione, a partire da un certo numero

Teorema 1 Se poi:

Il limite di somma/differenza di due successioni è uguale alla somma/differenza dei limiti di ciascuna di esse, se queste ultime esistono:

Il limite del prodotto di due successioni è uguale al prodotto dei limiti di ciascuna di esse, se esistono i limiti dei fattori:

Il limite del rapporto di due successioni è uguale al rapporto dei limiti di ciascuna di esse, se questi limiti esistono e il limite del denominatore non è uguale a zero:

Per qualsiasi indicatore naturale m e qualsiasi coefficiente k, la relazione è vera:

Teorema 1 Se poi:

Il limite della somma/differenza di due funzioni è uguale alla somma/differenza dei limiti di ciascuna di esse, se queste ultime esistono:

;

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti di ciascuna di esse, se esistono i limiti dei fattori:

Il limite del rapporto di due funzioni è uguale al rapporto dei limiti di ciascuna di esse, se tali limiti esistono e il limite del denominatore non è uguale a zero:

Il fattore costante può essere tolto dal segno limite:

La funzione y=f(x) si dice continua nel punto x=a se il limite della funzione y=f(x) quando x tende ad a è uguale al valore della funzione nel punto x=a.

Primo limite notevole: .

Compiti pratici per il lavoro in classe

Definisci analiticamente la sequenza e trova i primi cinque termini di questa sequenza:

a) ad ogni numero naturale è assegnato il numero opposto;

b) ad ogni numero naturale è assegnata la radice quadrata di tale numero;

c) ad ogni numero naturale è assegnato il numero -5;

d) ad ogni numero naturale è assegnata la metà del suo quadrato.

2. Usando la formula data per l'ennesimo termine, calcola i primi cinque termini della sequenza (y n):

3. La sequenza è limitata?

4. La sequenza è decrescente o crescente?

5. Annotare l'intorno del punto a=-3 con raggio r=0,5 come intervallo.

6. L'intorno di quale punto e quale raggio è l'intervallo (2,1; 2,3).

7. Calcola il limite di sequenza:

8. Calcola:

Lavoro indipendente

opzione 1

Parte A

parte B

parte C

7. Calcola:

opzione 2

Parte A

parte B

6. Calcola il limite di sequenza:

parte C

7. Calcola:

Opzione 3

Parte A

parte B

6. Calcola il limite di sequenza:

parte C

7. Calcola:

Opzione 4

Parte A

parte B

6. Calcola il limite di sequenza:

parte C

7. Calcola:

domande di prova

Cos'è una sequenza numerica?

Quali sono i modi per specificare una sequenza numerica?

Quale sequenza si dice delimitata dall'alto?

Quale sequenza si dice delimitata dal basso?

Cos'è una sequenza ascendente?

Cos'è una sequenza discendente?

Qual è il limite di una sequenza numerica?

Elenca le regole per calcolare i limiti delle sequenze.

Elenca le regole per il calcolo dei limiti delle funzioni.

Algebra. Grado 9
Lezione #32
L'appuntamento:_____________
Insegnante: Gorbenko Alena Sergeevna
Argomento: Sequenza numerica, modi per impostarla e proprietà
Tipo di lezione: combinata
Lo scopo della lezione: dare il concetto e la definizione di una sequenza numerica, considerare dei modi
assegnazioni di sequenze numeriche
Compiti:
Educativo: per familiarizzare gli studenti con il concetto di sequenza numerica e membro
sequenza numerica; familiarizzare con analitico, verbale, ricorrente e
modi grafici per impostare una sequenza numerica; considera i tipi di numeri
sequenze; preparazione per l'EAEA;
Sviluppo: sviluppo dell'alfabetizzazione matematica, del pensiero, delle tecniche di calcolo, delle abilità
confronti nella scelta di una formula; instillare un interesse per la matematica;
Educativo: educazione di abilità di attività indipendente; chiarezza e
organizzazione nel lavoro; consentire a ogni studente di avere successo;
Attrezzatura: materiale scolastico, lavagna, gesso, libro di testo, dispense.
Durante le lezioni
I. Momento organizzativo
 Saluto reciproco;
 Fissare assenze;
 Annuncio dell'argomento della lezione;
 Stabilire obiettivi e obiettivi della lezione da parte degli studenti.
La sequenza è uno dei concetti più basilari della matematica. La sequenza può
essere composto da numeri, punti, funzioni, vettori, ecc.
Oggi nella lezione faremo conoscenza con il concetto di "sequenza numerica", scopriremo cosa
potrebbero esserci delle sequenze, facciamo conoscenza con le famose sequenze.

II. Aggiornamento delle conoscenze di base.
Conosci le funzioni definite sull'intera linea dei numeri o sul suo continuo
III.
intervalli:
funzione lineare y \u003d kx + v,
funzione quadratica y \u003d ax2 + inx + c,


 funzione y =



 funzione y = |x|.
Preparazione alla percezione di nuove conoscenze
proporzionalità diretta y \u003d kx,
proporzionalità inversa y \u003d k / x,
funzione cubica y = x3,
,
Ma ci sono funzioni definite su altri set.
Esempio. Molte famiglie hanno un'usanza, una specie di rito: il compleanno di un bambino
i genitori lo portano allo stipite della porta e celebrano solennemente la crescita del festeggiato su di esso.
Il bambino cresce e, nel corso degli anni, sullo stipite appare un'intera scala di segni. Tre, cinque, due: ecco
sequenza di crescita di anno in anno. Ma c'è un'altra sequenza, vale a dire
i suoi membri sono scritti accuratamente accanto ai serif. Questa è una sequenza di valori di crescita.
Le due sequenze sono correlate tra loro.
Il secondo si ottiene dal primo per addizione.
La crescita è la somma dei guadagni di tutti gli anni precedenti.
Considera qualche altro problema.
Compito 1. Ci sono 500 tonnellate di carbone nel magazzino, 30 tonnellate vengono consegnate ogni giorno Quanto carbone sarà
disponibile in 1 giorno? 2 giorni? 3 giorni? Giorno 4? Giorno 5?
(Le risposte degli studenti sono scritte alla lavagna: 500, 530, 560, 590, 620).
Compito 2. Durante il periodo di crescita intensiva, una persona cresce in media di 5 cm all'anno. Ora in aumento
lo studente S. è alto 180 cm, quanto sarà alto nel 2026? (2m 30 cm). Ma questo non deve essere
può essere. Come mai?
Compito 3. Ogni giorno, ogni persona con l'influenza può infettarne altre 4.
In quanti giorni si ammaleranno tutti gli studenti della nostra scuola (300 persone)? (Dopo 4 giorni).
Questi sono esempi di funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali - numerici
sequenze.
L'obiettivo della lezione è: trovare modi per trovare qualsiasi membro della sequenza.
Obiettivi della lezione: Scopri cos'è una sequenza numerica e come
sequenze.
IV. Imparare nuovo materiale
Definizione: una sequenza numerica è una funzione definita su un insieme
numeri naturali (le sequenze costituiscono tali elementi della natura che
può essere numerato).
Il concetto di sequenza numerica sorse e si sviluppò molto prima della creazione della dottrina di
funzioni. Ecco alcuni esempi di sequenze di numeri infiniti già note
antichità:
1, 2, 3, 4, 5, : sequenza di numeri naturali;
2, 4, 6, 8, 10, : sequenza di numeri pari;
1, 3, 5, 7, 9, : sequenza di numeri dispari;
1, 4, 9, 16, 25, : sequenza di quadrati di numeri naturali;
2, 3, 5, 7, 11, : sequenza di numeri primi;
,
1,
Il numero dei membri di ciascuna di queste serie è infinito; prime cinque sequenze
, : sequenza di reciproci di numeri naturali.
,
monotonicamente crescente, quest'ultimo monotonicamente decrescente.

Designazione: y1, y2, y3, y4, y5:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:numero di sequenza del membro della sequenza.
(yn) sequenza, ynth membro della sequenza.
(an) sequenza, ennesimo membro della sequenza.
an1 è il membro precedente della sequenza,
an+1 membro successivo della sequenza.
Le sequenze sono finite e infinite, crescenti e decrescenti.
Compiti per gli studenti: Annota i primi 5 membri della sequenza:
Dal primo numero naturale aumentare di 3.
Da 10 aumentare di 2 volte e diminuire di 1.
Dal numero 6, alternare un aumento di 2 e un aumento di 2 volte.
Queste serie numeriche sono anche chiamate sequenze numeriche.
Metodi di sequenziamento:
modo verbale.
Le regole di sequenza sono descritte a parole, senza formule o
quando non ci sono regolarità tra gli elementi della sequenza.
Esempio 1. Una sequenza di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Esempio 2. Un insieme arbitrario di numeri: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Esempio 3. Sequenza di numeri pari 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
modo analitico.
Qualsiasi n-esimo elemento della sequenza può essere determinato utilizzando una formula.
Esempio 1. Sequenza di numeri pari: y = 2n.
Esempio 2. La sequenza del quadrato dei numeri naturali: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Esempio 3. Sequenza stazionaria: y = C; C, C, C, ..., C, ...
Caso speciale: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Esempio 4. Sequenza y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
modo ricorsivo.
Viene specificata una regola che permette di calcolare l'ennesimo elemento della sequenza if
i suoi elementi precedenti sono noti.
Esempio 1. Progressione aritmetica: a1=a, an+1=an+d, dove a e d sono dati numeri, d
differenza di una progressione aritmetica. Sia a1=5, d=0.7, quindi la progressione aritmetica
sarà simile a: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ... .
Esempio 2. Progressione geometrica: b1= b, bn+1= bnq, dove b e q sono numeri, b
0,
0; q è il denominatore di una progressione geometrica. Sia b1=23, q=½, quindi la geometrica
q
la progressione sarà simile a: 23; 11.5; 5,75; 2.875; ... .
4) Modo grafico. Sequenza numerica
dato da un grafico che è
punti isolati. Le ascisse di questi punti sono naturali
numeri: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinati - valori dei membri
sequenze: a1; a2; a3; a4;…
Esempio: annotare tutti e cinque i membri di una sequenza numerica,
data in modo grafico.
Decisione.
Ogni punto in questo piano di coordinate ha
coordinate (n; an). Annotare le coordinate dei punti segnati
ascissa ascendente n.
Otteniamo: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Pertanto, a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Risposta: 3; uno; 4; 6; 7.
V. Consolidamento primario del materiale studiato
Esempio 1. Scrivi una possibile formula per l'ennesimo elemento della sequenza (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Decisione.
a) È una sequenza di numeri dispari. Analiticamente, questa sequenza può essere
impostato dalla formula y = 2n+1.
b) Questa è una sequenza numerica in cui l'elemento successivo è maggiore del precedente
per 4. Analiticamente, questa sequenza può essere data dalla formula y = 4n.
Esempio 2. Scrivi i primi dieci elementi di una sequenza data in modo ricorrente: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 se n = 3, 4, 5, 6, ... .
Decisione.
Ogni elemento successivo di questa sequenza è uguale alla somma dei due precedenti
elementi.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Riassumendo la lezione. Riflessione
1. Cosa sei riuscito a portare a termine?
2. Il lavoro è stato coordinato?
3. Cosa non ha funzionato, secondo te?

2. Determinare l'operazione aritmetica, con l'aiuto della quale si ottiene la media dai due numeri estremi, e al posto del segno *, inserire il numero mancante: otto

3. Gli studenti hanno risolto il compito in cui è necessario trovare i numeri mancanti. Hanno avuto risposte diverse. Trova le regole con cui i ragazzi hanno riempito le celle. Attività Risposta 1 risposta

Definizione di sequenza numerica Si dice che una sequenza numerica è data se, secondo una qualche legge, un certo numero (un membro della sequenza) è assegnato in modo univoco a un qualsiasi numero naturale (numero di luogo). In termini generali, tale corrispondenza può essere rappresentata come segue: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Il numero n è il n- esimo membro della sequenza. L'intera sequenza è solitamente indicata con (y n).

Modo analitico per specificare le sequenze numeriche Una sequenza viene specificata analiticamente se viene specificata la formula dell'n-esimo membro. Ad esempio, 1) y n= n 2 - assegnazione analitica della sequenza 1, 4, 9, 16, ... 2) y n= С - sequenza costante (stazionaria) 2) y n= 2 n - assegnazione analitica della sequenza 2 , 4, 8, 16, … Risolvi 585

Modo ricorsivo di impostare sequenze numeriche Il modo ricorrente di impostare una sequenza è che indicano una regola che permette di calcolare l'ennesimo termine se si conoscono i suoi membri precedenti 1) una progressione aritmetica è data da relazioni ricorsive ) progressione geometrica - b 1 \ u003d b, b n + 1 \u003d b n * q

Ancoraggio 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Limite superiore Una sequenza (y n) si dice delimitata dall'alto se tutti i suoi membri sono al massimo un certo numero. In altre parole, una sequenza (y n) è delimitata dall'alto se esiste un numero M tale che per ogni n vale la disuguaglianza y n M. M è il limite superiore della sequenza Ad esempio, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Limitata dal basso Una sequenza (y n) è chiamata delimitata dal basso se tutti i suoi membri sono almeno un numero. In altre parole, la successione (y n) è limitata dall'alto se esiste un numero m tale che per ogni n vale la disuguaglianza y n m. m è il limite inferiore della sequenza Ad esempio, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Limite di una sequenza Una sequenza (y n) è chiamata limitata se è possibile specificare due numeri A e B tra i quali giacciono tutti i membri della sequenza. La disuguaglianza Ay n B A è il limite inferiore, B è il limite superiore Ad esempio, 1 è il limite superiore, 0 è il limite inferiore

Sequenza decrescente Una sequenza si dice decrescente se ciascuno dei suoi membri è minore della precedente: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Ad esempio, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Ad esempio, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Ad esempio,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Ad esempio," title="(!LANG:Sequenza discendente Una sequenza si dice decrescente se ciascuno dei suoi membri è minore della precedente: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Ad esempio,"> title="Sequenza decrescente Una sequenza si dice decrescente se ciascuno dei suoi membri è minore della precedente: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Ad esempio,"> !} 23

Lavoro di verifica Opzione 1Opzione 2 1. La sequenza numerica è data dalla formula a) Calcola i primi quattro termini di questa sequenza b) Il numero è un membro della sequenza? b) Il numero 12.25 è un membro della sequenza? 2. Formulare il esimo termine della successione 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Una sequenza numerica è un caso speciale di una funzione numerica, quindi per le sequenze vengono considerate anche alcune proprietà delle funzioni.

1. Definizione . Sotto sequenza ( si n} si dice crescente se ciascuno dei suoi termini (tranne il primo) è maggiore del precedente:

y 1 < y 2 < y 3 < … < si n < si n+1 < ….

2. Definizione.Sequenza ( si n} si dice decrescente se ciascuno dei suoi termini (tranne il primo) è minore del precedente:

y 1 > y 2 > y 3 > … > si n> si n+1 > … .

3. Le sequenze crescenti e decrescenti sono unite da un termine comune: le sequenze monotone.

Per esempio: y 1 = 1; si n= n 2... è una sequenza crescente. y 1 = 1; è una sequenza discendente. y 1 = 1; – questa sequenza non è non crescente non decrescente.

4. Definizione. Una successione si dice periodica se esiste un numero naturale T tale che, a partire da qualche n, vale l'uguaglianza yn = yn+T. Il numero T è chiamato lunghezza del periodo.

5. Una sequenza si dice delimitata dal basso se tutti i suoi membri sono almeno un numero.

6. Una successione si dice limitata dall'alto se tutti i suoi membri sono al massimo un certo numero.

7. Una successione si dice limitata se è delimitata sia sopra che sotto, cioè esiste un numero positivo tale che tutti i termini della sequenza data non superano questo numero in valore assoluto. (Ma essere limitato su entrambi i lati non significa necessariamente che sia finito.)

8. Una sequenza può avere un solo limite.

9. Qualsiasi sequenza non decrescente delimitata sopra ha un limite (lim).

10. Qualsiasi sequenza non crescente delimitata al di sotto ha un limite.

Il limite della sequenza è un punto (numero) in prossimità del quale si trova la maggior parte dei membri della sequenza, si avvicinano da vicino a questo limite, ma non lo raggiungono.

Le progressioni geometriche e aritmetiche sono casi speciali di successioni.

Metodi di sequenziamento:

Le sequenze possono essere specificate in vari modi, tra cui tre sono particolarmente importanti: analitica, descrittiva e ricorrente.

1. La successione è data analiticamente se è data la formula del suo ennesimo membro:

Esempio. yn \u003d 2n - 1 - una sequenza di numeri dispari: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Un modo descrittivo per impostare una sequenza numerica è che spiega da quali elementi è costruita la sequenza.

Esempio 1. "Tutti i membri della sequenza sono uguali a 1." Ciò significa che stiamo parlando di una sequenza stazionaria 1, 1, 1, …, 1, ….

Esempio 2. "La sequenza consiste di tutti i numeri primi in ordine crescente." Pertanto, è data la sequenza 2, 3, 5, 7, 11, …. Con questo modo di specificare la sequenza in questo esempio, è difficile rispondere a cosa, diciamo, il millesimo elemento della sequenza è uguale.

3. Un modo ricorrente per specificare una sequenza è che venga indicata una regola che consente di calcolare l'ennesimo membro della sequenza se sono noti i suoi membri precedenti. Il nome metodo ricorrente deriva dalla parola latina recurrere - ritornare. Molto spesso, in questi casi, viene indicata una formula che consente di esprimere l'ennesimo membro della sequenza in termini di quelli precedenti e vengono specificati 1–2 membri iniziali della sequenza.

Esempio 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4 se n = 2, 3, 4,….

Qui y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Si può notare che la sequenza ottenuta in questo esempio può essere specificata anche analiticamente: yn = 4n – 1.

Esempio 2 y 1 = 1; y 2 = 1; si n = si n–2 + si n-1 se n = 3, 4,….

Qui: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

La sequenza composta in questo esempio è particolarmente studiata in matematica perché ha una serie di proprietà e applicazioni interessanti. Si chiama sequenza di Fibonacci - dal matematico italiano del XIII secolo. Definire la sequenza di Fibonacci in modo ricorsivo è molto facile, ma analiticamente è molto difficile. n Il esimo numero di Fibonacci è espresso in termini di numero ordinale dalla formula seguente.

A prima vista, la formula per n il numero di Fibonacci sembra poco plausibile, poiché la formula che specifica la sequenza dei soli numeri naturali contiene radici quadrate, ma puoi verificare "manualmente" la validità di questa formula per i primi n.

Storia di Fibonacci:

Fibonacci (Leonardo di Pisa), c. 1175–1250

matematico italiano. Nato a Pisa, divenne il primo grande matematico d'Europa nel tardo medioevo. Fu la necessità pratica di stabilire contatti d'affari che lo portarono alla matematica. Ha pubblicato i suoi libri di aritmetica, algebra e altre discipline matematiche. Dai matematici musulmani apprese del sistema dei numeri inventato in India e già adottato nel mondo arabo, ed era convinto della sua superiorità (questi numeri erano i precursori dei moderni numeri arabi).

Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, fu il primo dei grandi matematici europei del tardo medioevo. Nato a Pisa da una ricca famiglia di mercanti, entrò in matematica per un'esigenza puramente pratica di stabilire contatti d'affari. In gioventù Leonardo viaggiò molto, accompagnando il padre nei viaggi di lavoro. Ad esempio, sappiamo del suo lungo soggiorno a Bisanzio e in Sicilia. Durante tali viaggi, ha interagito molto con gli scienziati locali.

La sequenza numerica che oggi porta il suo nome è nata dal problema con i conigli che Fibonacci ha delineato nel suo Liber abacci, scritto nel 1202:

Un uomo mise una coppia di conigli in un recinto, circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli può partorire questa coppia in un anno, se si sa che ogni mese, a partire dal secondo, ogni coppia di conigli produce una coppia?

Puoi assicurarti che il numero di coppie in ciascuno dei prossimi dodici mesi dei mesi sarà rispettivamente 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

In altre parole, il numero di coppie di conigli crea una serie, in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. È conosciuta come la serie di Fibonacci e i numeri stessi sono i numeri di Fibonacci. Si scopre che questa sequenza ha molte proprietà matematicamente interessanti. Ecco un esempio: puoi dividere una linea in due segmenti in modo che il rapporto tra il segmento più grande e quello più piccolo sia proporzionale al rapporto tra l'intera linea e il segmento più grande. Questo fattore di proporzionalità, approssimativamente pari a 1,618, è noto come sezione aurea. Nel Rinascimento si credeva che questa proporzione, osservata nelle strutture architettoniche, fosse molto gradevole alla vista. Se prendi coppie di Fibonacci consecutive e dividi il numero maggiore di ciascuna coppia per quello più piccolo, il tuo risultato si avvicinerà gradualmente al rapporto aureo.

Da quando Fibonacci ha scoperto la sua sequenza, sono stati trovati anche fenomeni naturali in cui questa sequenza sembra svolgere un ruolo importante. Uno di questi è la fillotassi (disposizione delle foglie) - la regola secondo la quale, ad esempio, i semi si trovano in un'infiorescenza di girasole. I semi di girasole sono disposti in due spirali. I numeri che indicano il numero di semi in ciascuna delle spirali sono membri di una sorprendente sequenza matematica. I semi sono disposti in due file di spirali, una delle quali va in senso orario, l'altra contro. E qual è il numero di semi in ciascun caso? 34 e 55.

Compito n. 1:

Scrivi i primi cinque termini della sequenza.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

e n \u003d 2 n + 1/2 n

Compito numero 2:

Scrivi la formula per il termine comune di una successione di numeri naturali multipli di 3.

Risposta: 0,3,6,9,12,15,.... 3n e n = 3n

Compito numero 3:

Scrivi la formula per il termine comune di una successione di numeri naturali che, divisi per 4, hanno resto di 1.

Risposta: 5,9,13,17,21 ....... 4 n +1 e n = 4n+1

n. 19. Funzione.

La funzione (visualizzazione, operatore, trasformazione) è un concetto matematico che riflette la relazione tra gli elementi degli insiemi. Possiamo dire che una funzione è una "legge" secondo la quale ad ogni elemento di un insieme (detto dominio di definizione) è assegnato un elemento di un altro insieme (detto dominio dei valori).

Una funzione è la dipendenza di una variabile da un'altra. In altre parole, il rapporto tra quantità.

Il concetto matematico di una funzione esprime un'idea intuitiva di come una quantità determini completamente il valore di un'altra quantità. Quindi il valore della variabile x determina in modo univoco il valore dell'espressione e il valore del mese determina in modo univoco il valore del mese successivo e qualsiasi persona può essere paragonata a un'altra persona: suo padre. Allo stesso modo, qualche algoritmo preconcetto, dati dati di input variabili, produce determinati dati di output.

Spesso il termine "funzione" si riferisce a una funzione numerica; cioè una funzione che mette alcuni numeri in corrispondenza con altri. Queste funzioni sono convenientemente rappresentate nelle figure sotto forma di grafici.

Si può dare un'altra definizione. Una funzione è uno specifico azione su una variabile.

Ciò significa che prendiamo il valore , eseguiamo alcune azioni con esso (ad esempio, lo quadramo o calcoliamo il suo logaritmo) - e otteniamo il valore .

Diamo un'altra definizione di funzione, quella che si trova più spesso nei libri di testo.

Una funzione è una corrispondenza tra due insiemi, con ogni elemento del primo insieme corrispondente a uno e solo un elemento del secondo insieme.

Ad esempio, la funzione assegna a ciascun numero reale un numero due volte più grande di .

L'insieme degli elementi di qualche F. sostituito da x è chiamato dominio di definizione, e l'insieme degli elementi y di qualche F. è detto intervallo di valori.

Cronologia dei termini:

Il termine "funzione" (in un senso un po' più ristretto) fu usato per la prima volta da Leibniz (1692). A sua volta Johann Bernoulli, in una lettera allo stesso Leibniz, utilizzò questo termine in un senso più vicino a quello moderno. Inizialmente, il concetto di funzione era indistinguibile dal concetto di rappresentazione analitica. Successivamente apparve la definizione della funzione data da Eulero (1751), poi - da Lacroix (1806) - quasi nella sua forma moderna. Infine, una definizione generale di funzione (nella sua forma moderna, ma per funzioni numeriche) è stata data da Lobachevsky (1834) e Dirichlet (1837). Entro la fine del 19° secolo, il concetto di funzione aveva superato la portata dei sistemi numerici. Le funzioni vettoriali furono le prime a farlo, Frege introdusse presto le funzioni logiche (1879) e dopo l'avvento della teoria degli insiemi, Dedekind (1887) e Peano (1911) formularono la moderna definizione universale.

n. 20. Modi per impostare una funzione.

Esistono 4 modi per definire una funzione:

1. tabulare Abbastanza comune, è apparecchiare una tavola individuale

valori degli argomenti e i valori delle funzioni corrispondenti. Questo metodo per definire una funzione viene utilizzato quando il dominio della funzione è un insieme finito discreto.

È conveniente quando f è un insieme finito, ma quando f è infinito, vengono indicate solo le coppie selezionate (x, y).

Con il metodo tabulare di definizione di una funzione è possibile calcolare approssimativamente i valori della funzione che non sono contenuti nella tabella, corrispondenti ai valori intermedi dell'argomento. Per fare ciò, utilizzare il metodo di interpolazione.

Vantaggi: precisione, velocità, è facile trovare il valore desiderato della funzione dalla tabella dei valori. I vantaggi del modo tabulare di specificare una funzione sono che consente di determinare determinati valori contemporaneamente, senza misurazioni o calcoli aggiuntivi.

svantaggi: incompletezza, mancanza di visibilità. In alcuni casi, la tabella non definisce completamente la funzione, ma solo per alcuni valori dell'argomento e non fornisce una rappresentazione visiva della natura della modifica nella funzione a seconda della modifica nell'argomento.

2. analitico(formule). Molto spesso, una legge che stabilisce una connessione tra

argomento e funzione, viene specificato tramite formule. Questo modo di definire una funzione è chiamato analitico. È il più importante per MA (analisi matematica), poiché i metodi di MA (calcolo differenziale, integrale) suggeriscono questo modo di impostare. La stessa funzione può essere data da diverse formule: y=∣peccato( X)∣y=√1−cos2( X) A volte, in diverse parti dei loro domini, la funzione che viene definita può essere data da formule diverse f(X)={f 1(X),X∈D 1 fn(X),X∈dn ∪nk=1Dk=D(f). Spesso, con questo metodo di definizione di una funzione, il dominio di definizione non è indicato, quindi il dominio di definizione è inteso come il dominio naturale di definizione, cioè l'insieme di tutti i valori x per i quali la funzione assume un valore reale.

Questo metodo consente a ciascun valore numerico dell'argomento x di trovare il valore numerico corrispondente della funzione y esattamente o con una certa precisione.

Un caso speciale del modo analitico di definire una funzione è definire una funzione mediante un'equazione della forma F(x,y)=0 (1) Se questa equazione ha la proprietà che ∀ X∈D è solo abbinato y, tale che F(X,y)=0, allora diciamo che l'equazione (1) su D definisce implicitamente una funzione. Un altro caso particolare di definizione di una funzione è parametrico, con ogni coppia ( X,y)∈f impostare utilizzando una coppia di funzioni X=ϕ( t),y=ψ( t) dove t∈M.