Esempi di soluzioni di funzioni quadratiche 9. Funzione quadratica e suo grafico

Note importanti!
1. Se al posto delle formule vedi abracadabra, svuota la cache. Come farlo nel tuo browser è scritto qui:
2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta maggiormente attenzione al nostro navigatore risorsa utile per

Per capire cosa verrà scritto qui, devi sapere bene cos'è una funzione quadratica e con cosa viene mangiata. Se ti consideri un professionista delle funzioni quadratiche, benvenuto. Ma in caso contrario, dovresti leggere il thread.

Cominciamo con un piccolo controlli:

1. Che aspetto ha una funzione quadratica in forma generale (formula)?
2. Qual è il nome del grafico funzione quadratica?
3. In che modo il coefficiente principale influisce sul grafico di una funzione quadratica?

Se riesci a rispondere subito a queste domande, continua a leggere. Se almeno una domanda ha causato difficoltà, vai a.

Quindi, sai già come gestire una funzione quadratica, analizzare il suo grafico e costruire un grafico per punti.

Bene, eccolo qui: .

Diamo una rapida occhiata a cosa fanno. probabilità.

1. Il coefficiente senior è responsabile della "ripidezza" della parabola, o, in altre parole, della sua larghezza: più grande è la parabola più stretta (ripida) e più piccola è la parabola più ampia (piatta).
2. Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse y.
3. E il coefficiente è in qualche modo responsabile dello spostamento della parabola dal centro delle coordinate. Eccone di più ora.

Perché iniziamo sempre a costruire una parabola? Qual è il suo punto distintivo?

Questo è vertice. E come trovare le coordinate del vertice, ricordi?

L'ascissa si cerca con la seguente formula:

Così: cosa di più, temi A sinistra la parte superiore della parabola si muove.

L'ordinata di un vertice può essere trovata sostituendo nella funzione:

Sostituiti e conta. Cosa è successo?

Se fai tutto bene e semplifichi il più possibile l'espressione risultante, ottieni:

Si scopre che più modulo, temi più alto volere vertice parabole.

Infine, passiamo alla trama.
Il modo più semplice è costruire una parabola partendo dall'alto.

Esempio:

Traccia la funzione.

Decisione:

Per prima cosa, definiamo i coefficienti: .

Ora calcoliamo le coordinate del vertice:

E ora ricorda: tutte le parabole con lo stesso coefficiente guida hanno lo stesso aspetto. Quindi, se costruiamo una parabola e spostiamo il suo vertice in un punto, otteniamo il grafico di cui abbiamo bisogno:

Semplice, vero?

Rimane solo una domanda: come disegnare rapidamente una parabola? Anche se disegniamo una parabola con un vertice all'origine, dobbiamo comunque costruirla punto per punto, che è lunga e scomoda. Ma tutte le parabole sembrano uguali, forse c'è un modo per velocizzare il loro disegno?

Quando ero a scuola, il mio insegnante di matematica ha detto a tutti di ritagliare uno stencil a forma di parabola dal cartone in modo che potessero disegnarlo velocemente. Ma non sarai in grado di camminare ovunque con uno stencil e non potranno portarlo all'esame. Quindi, non useremo oggetti estranei, ma cercheremo uno schema.

Considera la parabola più semplice. Costruiamolo per punti:

La regola qui è questa. Se ci spostiamo dall'alto a destra (lungo l'asse) e verso l'alto (lungo l'asse), arriveremo al punto della parabola. Inoltre: se da questo punto ci spostiamo a destra e in su, torneremo al punto della parabola. Avanti: avanti e indietro. Qual è il prossimo? Avanti e avanti. E così via: spostati a destra e al successivo numero dispari su. Quindi facciamo lo stesso con il ramo sinistro (dopotutto, la parabola è simmetrica, cioè i suoi rami hanno lo stesso aspetto):

Ottimo, questo aiuterà a costruire qualsiasi parabola dal vertice con il coefficiente più alto uguale a. Ad esempio, abbiamo imparato che il vertice di una parabola è in un punto. Costruisci (da solo, su carta) questa parabola.

Costruito?

Dovrebbe risultare così:

Ora colleghiamo i punti ottenuti:

È tutto.

OK, bene, ora costruisci solo parabole con?

Ovviamente no. Ora scopriamo cosa fare con loro, se.

Consideriamo alcuni casi tipici.

Ottimo, abbiamo imparato a disegnare una parabola, ora facciamo pratica sulle funzioni reali.

Quindi, disegna grafici di tali funzioni:

Risposte:

3. In alto: .

Ti ricordi cosa fare se il coefficiente senior è inferiore?

Osserviamo il denominatore della frazione: è uguale. Quindi ci sposteremo in questo modo:

• proprio sopra
• proprio sopra
• proprio sopra

e anche a sinistra:

4. In alto: .

Oh, cosa farne? Come misurare le celle se il vertice è da qualche parte tra le linee?...

E noi imbrogliamo. Per prima cosa, disegniamo una parabola e solo allora spostiamo il suo vertice in un punto. Nemmeno, facciamolo ancora più complicato: disegniamo una parabola, e poi muovere gli assi:- sul giù, un - su giusto:

Questa tecnica è molto comoda nel caso di qualsiasi parabola, ricordalo.

Lascia che ti ricordi che possiamo rappresentare la funzione in questa forma:

Per esempio: .

Cosa ci dà questo?

Il fatto è che il numero tra parentesi () è l'ascissa del vertice della parabola, e il termine fuori parentesi () è l'ordinata del vertice.

Ciò significa che, dopo aver costruito una parabola, non ti resta che farlo spostare l'asse a sinistra e l'asse in basso.

Esempio: tracciamo un grafico di funzione.

Selezioniamo un quadrato intero:

Che numero sottratto tra parentesi? Questo (e non come puoi decidere senza pensare).

Quindi, costruiamo una parabola:

Ora spostiamo l'asse verso il basso, cioè verso l'alto:

E ora - a sinistra, cioè a destra:

È tutto. Questo equivale a spostare una parabola con il suo vertice dall'origine a un punto, solo l'asse rettilineo è molto più facile da spostare rispetto a una parabola storta.

Ora, come al solito, io stesso:

E non dimenticare di cancellare i vecchi assi con una gomma!

Io sono come risposte per verifica, ti scriverò le ordinate dei vertici di queste parabole:

Tutto andava bene?

Se sì, allora sei grande! Saper gestire una parabola è molto importante e utile, e qui abbiamo scoperto che non è affatto difficile.

GRAFICA DI UNA FUNZIONE QUADRATICA. IN BREVE SUL PRINCIPALE

funzione quadraticaè una funzione della forma, dove, e sono tutti i numeri (coefficienti), è un membro libero.

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.

Parte superiore della parabola:
, cioè. più \displaystyle b è grande, più a sinistra si sposta la parte superiore della parabola.
Sostituisci nella funzione e ottieni:
, cioè. maggiore è \displaystyle b modulo , maggiore sarà la sommità della parabola

Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse y.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe, allora sei molto bravo.

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Tutti sanno cos'è una parabola. Ma come usarlo correttamente, con competenza nel risolvere vari problemi pratici, lo capiremo di seguito.

In primo luogo, indichiamo i concetti di base che l'algebra e la geometria danno a questo termine. Considera tutto tipi possibili questo grafico.

Impariamo tutte le caratteristiche principali di questa funzione. Comprendiamo le basi della costruzione di una curva (geometria). Impariamo come trovare in alto, altri valori di base del grafico di questo tipo.

Scopriremo: come la curva richiesta è costruita correttamente secondo l'equazione, a cosa devi prestare attenzione. Vediamo il principale uso pratico questo valore unico nella vita umana.

Cos'è una parabola e che aspetto ha

Algebra: questo termine si riferisce al grafico di una funzione quadratica.

Geometria: questa è una curva del secondo ordine che ha una serie di caratteristiche specifiche:

Equazione della parabola canonica

La figura mostra un sistema di coordinate rettangolare (XOY), un estremo, la direzione della funzione disegnando rami lungo l'asse delle ascisse.

L'equazione canonica è:

y 2 \u003d 2 * p * x,

dove il coefficiente p è il parametro focale della parabola (AF).

In algebra si scrive diversamente:

y = a x 2 + b x + c (modello riconoscibile: y = x 2).

Proprietà e grafico di una funzione quadratica

La funzione ha un asse di simmetria e un centro (estremo). Il dominio di definizione è tutti i valori dell'asse x.

L'intervallo di valori della funzione - (-∞, M) o (M, +∞) dipende dalla direzione dei rami della curva. Il parametro M qui indica il valore della funzione in cima alla riga.

Come determinare dove sono diretti i rami di una parabola

Per trovare la direzione di questo tipo di curva da un'espressione, è necessario specificare il segno davanti al primo parametro espressione algebrica. Se a ˃ 0, allora sono diretti verso l'alto. Altrimenti, giù.

Come trovare il vertice di una parabola usando la formula

Trovare l'estremo è il passo principale per risolvere molti problemi pratici. Certo, puoi aprire speciale calcolatrici online ma è meglio essere in grado di farlo da soli.

Come definirlo? C'è una formula speciale. Quando b non è uguale a 0, dobbiamo cercare le coordinate di questo punto.

Formule per trovare il top:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Esempio.

Esiste una funzione y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Troviamo i vertici di questa funzione.

Per una tale linea:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Otteniamo le coordinate del vertice (-2, -41).

Spostamento della parabola

Il caso classico è quando in una funzione quadratica y = a x 2 + b x + c, il secondo e il terzo parametro sono 0 e = 1 - il vertice è nel punto (0; 0).

Il movimento lungo l'asse delle ascisse o delle ordinate è dovuto a una modifica dei parametri b e c, rispettivamente. Lo spostamento della linea sul piano verrà eseguito esattamente del numero di unità, che è uguale al valore del parametro.

Esempio.

Abbiamo: b = 2, c = 3.

Ciò significa che la vista classica della curva si sposterà di 2 segmenti unitari lungo l'asse delle ascisse e di 3 lungo l'asse delle ordinate.

Come costruire una parabola usando un'equazione di secondo grado

È importante che gli scolari imparino a disegnare correttamente una parabola secondo i parametri indicati.

Analizzando espressioni ed equazioni, puoi vedere quanto segue:

1. Il punto di intersezione della retta desiderata con il vettore delle ordinate avrà un valore pari a c.
2. Tutti i punti del grafico (lungo l'asse x) saranno simmetrici rispetto all'estremo principale della funzione.

Inoltre, le intersezioni con OX si possono trovare conoscendo il discriminante (D) di tale funzione:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Per fare ciò, è necessario equiparare l'espressione a zero.

La presenza di radici di parabola dipende dal risultato:

• D ˃ 0, quindi x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, quindi x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, allora non ci sono punti di intersezione con il vettore OX.

Otteniamo l'algoritmo per costruire una parabola:

• determinare la direzione dei rami;
• trova le coordinate del vertice;
• trova l'intersezione con l'asse y;
• trova l'intersezione con l'asse x.

Esempio 1

Data una funzione y \u003d x 2 - 5 * x + 4. È necessario costruire una parabola. Agiamo secondo l'algoritmo:

1. a \u003d 1, quindi, i rami sono diretti verso l'alto;
2. coordinate estreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. si interseca con l'asse y al valore y = 4;
4. trova il discriminante: D = 25 - 16 = 9;
5. in cerca di radici

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (dieci).

Esempio 2

Per la funzione y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, devi costruire una parabola. Agiamo secondo l'algoritmo di cui sopra:

1. a \u003d 3, quindi, i rami sono diretti verso l'alto;
2. coordinate estreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. con l'asse y si intersecherà al valore y \u003d -1;
4. trova il discriminante: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Quindi le radici:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Dai punti ottenuti, puoi costruire una parabola.

Direttrice, eccentricità, fuoco di una parabola

Sulla base dell'equazione canonica, il fuoco F ha coordinate (p/2, 0).

La retta AB è una direttrice (una specie di corda di parabola di una certa lunghezza). La sua equazione è x = -p/2.

Eccentricità (costante) = 1.

Conclusione

Abbiamo considerato l'argomento in cui studiano gli studenti Scuola superiore. Ora sai, guardando la funzione quadratica di una parabola, come trovarne il vertice, in quale direzione saranno diretti i rami, se c'è un offset lungo gli assi e, avendo un algoritmo di costruzione, puoi tracciarne il grafico.