संख्यात्मक अनुक्रम और उन्हें सेट करने के तरीके। व्यावहारिक कार्य के लिए कार्य "संख्यात्मक अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट करना, अनुक्रम के सदस्यों की गणना करना"

इस पाठ में हम प्रगति का अध्ययन शुरू करेंगे। यहां हम संख्या अनुक्रम से परिचित होंगे और इसे कैसे सेट करें।

सबसे पहले, हम संख्यात्मक तर्कों के कार्यों की परिभाषा और गुणों को याद करते हैं और फ़ंक्शन के एक विशेष मामले पर विचार करते हैं जब x सेट से संबंधित होता है प्राकृतिक संख्याएं. हम एक संख्यात्मक अनुक्रम की परिभाषा देते हैं और कुछ उदाहरण देते हैं। हम अनुक्रम को उसके n-वें सदस्य के सूत्र के माध्यम से निर्दिष्ट करने का एक विश्लेषणात्मक तरीका दिखाएंगे और अनुक्रम को निर्दिष्ट करने और निर्धारित करने के लिए कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। इसके बाद, अनुक्रम के मौखिक और आवर्तक असाइनमेंट पर विचार करें।

थीम: प्रगति

पाठ: संख्यात्मक अनुक्रमऔर इसे कैसे सेट करें

1. दोहराव

संख्यात्मक अनुक्रम, जैसा कि हम देखेंगे, यह एक फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है, तो चलिए फ़ंक्शन परिभाषा को याद करते हैं।

एक फ़ंक्शन एक कानून है जिसके अनुसार किसी तर्क के प्रत्येक मान्य मान को फ़ंक्शन का एक अद्वितीय मान दिया जाता है।

यहां ज्ञात कार्यों के उदाहरण दिए गए हैं।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ

0 को छोड़कर सभी मानों की अनुमति है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक हाइपरबोला है (चित्र 1 देखें)।

2.. सभी मानों की अनुमति है, .

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ

अनुसूची द्विघात फंक्शन- परवलय, विशेषता बिंदु भी चिह्नित हैं (चित्र 2 देखें)।

3..

चावल। 3. किसी फलन का ग्राफ

सभी x मानों की अनुमति है। एक रैखिक फलन का आलेख एक सरल रेखा है (देखिए आकृति 3)।

2. एक संख्यात्मक अनुक्रम की परिभाषा

यदि x केवल प्राकृतिक मान () लेता है, तो हमारे पास एक विशेष मामला है, अर्थात् एक संख्यात्मक अनुक्रम।

याद रखें कि प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3,…, n,…

फलन , जहां , प्राकृतिक तर्क या संख्यात्मक अनुक्रम का फलन कहलाता है, और इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है: या , या ।

आइए हम समझाएं कि, उदाहरण के लिए, संकेतन का क्या अर्थ है।

यह फ़ंक्शन का मान है जब n=1, यानी।

यह फ़ंक्शन का मान है जब n=2 यानी आदि...

यह फ़ंक्शन का मान है जब तर्क n है, अर्थात।

3. नमूना अनुक्रम

1. सामान्य शब्द सूत्र है। हम n के अलग-अलग मान सेट करते हैं, हमें y के अलग-अलग मान मिलते हैं - अनुक्रम के सदस्य।

जब एन = 1; , जब n=2, आदि।

संख्याएं किसी दिए गए अनुक्रम के सदस्य हैं, और अंक हाइपरबोला पर झूठ - फ़ंक्शन का ग्राफ (चित्र 4 देखें)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ

अगर एन = 1, फिर; अगर एन = 2, तो; अगर एन = 3, तो आदि।

संख्याएं किसी दिए गए अनुक्रम के सदस्य हैं, और बिंदु एक परवलय पर स्थित हैं - एक फ़ंक्शन का ग्राफ (चित्र 5 देखें)।

चावल। 5. फंक्शन ग्राफ

चावल। 6. फंक्शन ग्राफ

अगर एन = 1, फिर; अगर n=2 तो ; अगर n=3 तो आदि।

नंबर दिए गए अनुक्रम के सदस्य हैं, और बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं - फ़ंक्शन का ग्राफ (चित्र 6 देखें)।

4. अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए विश्लेषणात्मक विधि

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तीन तरीके हैं: विश्लेषणात्मक, मौखिक और आवर्तक। आइए उनमें से प्रत्येक पर विस्तार से विचार करें।

अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है यदि इसके nवें पद का सूत्र दिया गया हो।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

1. अनुक्रम के कई सदस्यों को खोजें, जो n-वें सदस्य के सूत्र द्वारा दिया गया है: (अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक विश्लेषणात्मक तरीका)।

फेसला। अगर एन = 1, फिर; अगर एन = 2, तो; अगर n=3 तो आदि।

किसी दिए गए अनुक्रम के लिए, हम पाते हैं और ।

.

.

2. nवें सदस्य के सूत्र द्वारा दिए गए अनुक्रम पर विचार करें: (अनुक्रम निर्दिष्ट करने का विश्लेषणात्मक तरीका)।

आइए इस क्रम के कई सदस्यों को खोजें।

अगर एन = 1, फिर; अगर n=2 तो ; अगर n=3 तो आदि।

सामान्य तौर पर, यह समझना मुश्किल नहीं है कि इस क्रम के सदस्य वे संख्याएँ हैं, जिन्हें 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 मिलता है।

ए। किसी दिए गए अनुक्रम के लिए, खोजें।

फेसला: . जवाब: ।

बी। दो संख्याएँ दी गई हैं: 821, 1282। क्या ये संख्याएँ दिए गए क्रम के सदस्य हैं?

क्रमांक 821 क्रम का सदस्य होने के लिए, यह आवश्यक है कि समानता: या . अंतिम समानता n के लिए एक समीकरण है। यदि निर्णय दिया गया समीकरणएक प्राकृतिक संख्या है, तो उत्तर हाँ है।

इस मामले में, है। .

उत्तर: हाँ, 821 दिए गए अनुक्रम का एक सदस्य है।

चलिए दूसरे नंबर पर चलते हैं। इसी तरह का तर्क हमें समीकरण के हल की ओर ले जाता है: .

उत्तर: चूँकि n एक प्राकृत संख्या नहीं है, संख्या 1282 दिए गए अनुक्रम का सदस्य नहीं है।

अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करने वाले सूत्र बहुत भिन्न हो सकते हैं: सरल, जटिल, आदि। उनके लिए आवश्यकता समान है: n का प्रत्येक मान एक ही संख्या के अनुरूप होना चाहिए।

3. दिया गया है: अनुक्रम निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है।

अनुक्रम के पहले तीन सदस्यों को खोजें।

, , .

जवाब: , , ।

4. क्या संख्याएं अनुक्रम के सदस्य हैं?

ए। , अर्थात। । इस समीकरण को हल करने पर, हमें वह मिलता है। यह एक प्राकृतिक संख्या है।

उत्तर पहली दी गई संख्या इस क्रम का एक सदस्य है, अर्थात् इसका पाँचवाँ सदस्य।

बी। , अर्थात। । इस समीकरण को हल करने पर, हमें वह मिलता है। यह एक प्राकृतिक संख्या है।

उत्तर दिया गया दूसरा अंक भी इसी क्रम का सदस्य है, अर्थात् इसका निन्यानवाँ सदस्य।

5. अनुक्रम स्थापित करने का मौखिक तरीका

हमने संख्यात्मक अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के एक विश्लेषणात्मक तरीके पर विचार किया है। यह सुविधाजनक, सामान्य है, लेकिन केवल एक ही नहीं है।

अगला तरीका अनुक्रम का मौखिक असाइनमेंट है।

अनुक्रम, इसके प्रत्येक सदस्य, इसके प्रत्येक सदस्य की गणना की संभावना को शब्दों में निर्दिष्ट किया जा सकता है, जरूरी नहीं कि सूत्र।

उदाहरण 1अभाज्य संख्याओं का एक क्रम।

याद रखें कि एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या है जिसमें ठीक दो अलग-अलग भाजक होते हैं: 1 और स्वयं संख्या। अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, आदि हैं।

उनमें से अनगिनत हैं। यूक्लिड ने यह भी सिद्ध किया कि इन संख्याओं का क्रम अनंत है, अर्थात कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या नहीं है। अनुक्रम दिया गया है, प्रत्येक पद की गणना की जा सकती है, थकाऊ, लेकिन गणना की जा सकती है। यह क्रम मौखिक रूप से दिया गया है। दुर्भाग्य से सूत्र उपलब्ध नहीं हैं।

उदाहरण 2संख्या पर विचार करें =1.41421…

ये है अपरिमेय संख्या, इसका दशमलव अंकन अनंत संख्या में अंक प्रदान करता है। आइए कमी के आधार पर किसी संख्या के दशमलव सन्निकटन के अनुक्रम पर विचार करें: 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; आदि।

इस क्रम के सदस्यों की संख्या अनंत है, उनमें से प्रत्येक की गणना की जा सकती है। इस क्रम को एक सूत्र द्वारा निर्धारित करना असंभव है, इसलिए हम इसका मौखिक रूप से वर्णन करते हैं।

6. अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए पुनरावर्ती तरीका

हमने संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के दो तरीकों पर विचार किया है:

1. विश्लेषणात्मक विधि, जब nवें सदस्य का सूत्र दिया गया हो।

2. अनुक्रम का मौखिक असाइनमेंट।

और, अंत में, एक आवर्तक अनुक्रमण होता है, जब पिछले पदों से nवें पद की गणना के नियम दिए गए हैं।

विचार करना

उदाहरण 1फाइबोनैचि अनुक्रम (13वीं शताब्दी)।

इतिहास संदर्भ:

पीसा के लियोनार्डो (लगभग 1170, पीसा - लगभग 1250) - प्रथम प्रमुख गणितज्ञ मध्ययुगीन यूरोप. उन्हें फिबोनाची उपनाम से जाना जाता है।

उन्होंने जो कुछ सीखा, उसमें से उन्होंने अपनी उत्कृष्ट पुस्तक अबेकस (लिबर अबासी, 1202; केवल 1228 की पूरक पांडुलिपि आज तक बची है) में निर्धारित की है। इस पुस्तक में उस समय की लगभग सभी अंकगणित और बीजगणितीय जानकारी है, जो असाधारण पूर्णता और गहराई के साथ प्रस्तुत की गई है। "अबेकस की पुस्तक" 12वीं-14वीं शताब्दी के यूरोपीय अंकगणित और बीजगणितीय साहित्य से बहुत ऊपर उठती है। तरीकों की विविधता और ताकत, कार्यों की समृद्धि, प्रस्तुति का प्रमाण। बाद के गणितज्ञों ने इसे व्यापक रूप से समस्याओं और उन्हें हल करने के तरीकों दोनों से आकर्षित किया। पहली पुस्तक के अनुसार, यूरोपीय गणितज्ञों की कई पीढ़ियों ने भारतीय स्थितीय संख्या प्रणाली का अध्ययन किया।

पहले दो पद दिए गए हैं और प्रत्येक बाद का पद पिछले दो का योग है

एक; एक; 2; 3; 5; आठ; तेरह; 21; 34; 55; ... फाइबोनैचि अनुक्रम के पहले कुछ सदस्य हैं।

यह क्रम पुनरावर्ती रूप से दिया गया है, नौवां पदपिछले दो पर निर्भर करता है।

उदाहरण 2

इस क्रम में, प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से 2 अधिक है। इस तरह के अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।

संख्या 1, 3, 5, 7... इस क्रम के पहले कुछ सदस्य हैं।

आइए एक अनुक्रम के आवर्तक नियतन का एक और उदाहरण दें।

उदाहरण 3

अनुक्रम इस प्रकार दिया गया है:

इस अनुक्रम का प्रत्येक बाद का पद पिछले पद को उसी संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इस तरह के अनुक्रम का एक विशेष नाम है - एक ज्यामितीय प्रगति। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति अगले पाठों में हमारे अध्ययन के विषय होंगे।

आइए निर्दिष्ट अनुक्रम के कुछ सदस्यों को b=2 और q=3 पर खोजें।

नंबर 2; 6; अठारह; 54; 162... इस क्रम के पहले कुछ सदस्य हैं।

दिलचस्प बात यह है कि इस क्रम को विश्लेषणात्मक रूप से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है, यानी आप एक सूत्र चुन सकते हैं। इस मामले में, सूत्र इस प्रकार होगा।

वास्तव में: यदि n=1, तब ; अगर एन = 2, तो; अगर n=3 तो आदि।

इस प्रकार, हम कहते हैं कि एक ही अनुक्रम विश्लेषणात्मक और आवर्तक दोनों तरह से दिया जा सकता है।

7. पाठ का सारांश

इसलिए, हमने विचार किया है कि संख्यात्मक अनुक्रम क्या है और इसे कैसे सेट किया जाए।

अगले पाठ में हम संख्यात्मक अनुक्रमों के गुणों से परिचित होंगे।

1. मकारिचेव यू। एन। एट अल। बीजगणित ग्रेड 9 (माध्यमिक विद्यालय के लिए पाठ्यपुस्तक)।-एम .: शिक्षा, 1992।

2. मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव, के.आई. बीजगणित ग्रेड 9 के लिए गहराई के साथ। पढाई गणित।-एम .: मेनेमोज़िना, 2003।

3. मकर्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी. बीजगणित ग्रेड 9.-एम की स्कूल पाठ्यपुस्तक के अतिरिक्त अध्याय: शिक्षा, 2002।

4. गैलिट्स्की एम.एल., गोल्डमैन ए.एम., ज़्वाविच एल.आई. 8-9 कक्षाओं के लिए बीजगणित में समस्याओं का संग्रह ( ट्यूटोरियलस्कूलों और कक्षाओं के छात्रों के लिए गहराई के साथ। पढाई गणित)।-एम .: शिक्षा, 1996।

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित ग्रेड 9, सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम .: निमोसिन, 2002।

6. मोर्दकोविच ए.जी., मिशुटिना टी.एन., तुलचिंस्काया ई.ई. बीजगणित ग्रेड 9, शैक्षिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक। - एम .: निमोसिन, 2002।

7. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। ग्रेड 7-8 (शिक्षकों के लिए एक गाइड)।-एम .: ज्ञानोदय, 1983।

1. कॉलेज अनुभाग। गणित में आरयू।

2. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल।

3. घातीय। आरयू शैक्षिक गणितीय साइट।

1. नंबर 331, 335, 338 (मकारिचेव यू। एन। एट अल। बीजगणित ग्रेड 9)।

2. नंबर 12.4 (गैलिट्स्की एम.एल., गोल्डमैन ए.एम., ज़्वाविच एल.आई. ग्रेड 8-9 के लिए बीजगणित में समस्याओं का संग्रह)।

बीजगणित। श्रेणी 9
पाठ #32
तारीख:_____________
शिक्षक: गोरबेंको अलीना सर्गेवनस
विषय: संख्यात्मक अनुक्रम, इसे सेट करने के तरीके और गुण
पाठ का प्रकार: संयुक्त
पाठ का उद्देश्य: एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा और परिभाषा देना, तरीकों पर विचार करना
संख्यात्मक अनुक्रमों का असाइनमेंट
कार्य:
शैक्षिक: एक संख्यात्मक अनुक्रम और एक सदस्य की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करने के लिए
संख्यात्मक अनुक्रम; विश्लेषणात्मक, मौखिक, आवर्तक और
संख्यात्मक अनुक्रम स्थापित करने के चित्रमय तरीके; संख्याओं के प्रकारों पर विचार करें
क्रम; ईएईए की तैयारी;
विकासशील: गणितीय साक्षरता, सोच, गणना तकनीक, कौशल का विकास
सूत्र चुनते समय तुलना; गणित में रुचि पैदा करना;
शैक्षिक: स्वतंत्र गतिविधि के कौशल की शिक्षा; स्पष्टता और
काम में संगठन; प्रत्येक छात्र को सफल होने में सक्षम बनाना;
उपकरण: स्कूल की आपूर्ति, ब्लैकबोर्ड, चाक, पाठ्यपुस्तक, हैंडआउट्स।
कक्षाओं के दौरान
मैं। आयोजन का समय
 आपसी अभिवादन;
अनुपस्थित फिक्सिंग;
 पाठ के विषय की घोषणा;
छात्रों द्वारा पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।
अनुक्रम गणित में सबसे बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। अनुक्रम कर सकते हैं
संख्याओं, बिंदुओं, कार्यों, वैक्टर आदि से बना हो।
आज के पाठ में हम "संख्यात्मक अनुक्रम" की अवधारणा से परिचित होंगे, हम जानेंगे कि क्या
अनुक्रम हो सकते हैं, आइए प्रसिद्ध अनुक्रमों से परिचित हों।

द्वितीय. बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।
क्या आप पूर्ण संख्या रेखा पर या उसके सतत पर परिभाषित फलन जानते हैं?
III.
अंतराल:
रैखिक कार्य y \u003d kx + v,
द्विघात फलन y \u003d ax2 + inx + c,


फलन y =



फलन y = |x|.
नए ज्ञान की धारणा के लिए तैयारी
प्रत्यक्ष आनुपातिकता y \u003d kx,
व्युत्क्रम आनुपातिकता y \u003d k / x,
घन फलन y = x3
,
लेकिन अन्य सेटों पर परिभाषित कार्य हैं।
उदाहरण। कई परिवारों का एक रिवाज होता है, एक तरह की रस्म: बच्चे के जन्मदिन पर
माता-पिता उसे ले आओ दरवाज़े का ढांचाऔर उस पर जन्मदिन के आदमी के विकास को गंभीरता से मनाएं।
बच्चा बढ़ता है, और वर्षों से, जाम्ब पर निशान की एक पूरी सीढ़ी दिखाई देती है। तीन, पांच, दो: यह है
साल दर साल वृद्धि का क्रम। लेकिन एक और क्रम है, अर्थात्
इसके सदस्यों को सेरिफ़ के आगे सावधानीपूर्वक लिखा जाता है। यह विकास मूल्यों का एक क्रम है।
दोनों क्रम एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।
दूसरे को पहले से जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
विकास पिछले सभी वर्षों के लाभ का योग है।
कुछ और मुद्दों पर विचार करें।
टास्क 1. गोदाम में 500 टन कोयला है, प्रतिदिन 30 टन कोयले की डिलीवरी होती है कितना कोयला होगा
1 दिन में स्टॉक में? 2 दिन? तीसरा दिन? दिन 4? दिन 5?
(छात्रों के उत्तर बोर्ड पर लिखे गए हैं: 500, 530, 560, 590, 620)।
कार्य 2. गहन विकास की अवधि के दौरान, एक व्यक्ति प्रति वर्ष औसतन 5 सेमी बढ़ता है। अब विकास
छात्र एस 180 सेमी है। वह 2026 में कितना लंबा होगा? (2 मी 30 सेमी)। लेकिन यह नहीं होना है
शायद। क्यों?
टास्क 3. हर दिन, इन्फ्लूएंजा से पीड़ित प्रत्येक व्यक्ति 4 अन्य लोगों को संक्रमित कर सकता है।
हमारे स्कूल के सभी छात्र (300 लोग) कितने दिनों में बीमार पड़ेंगे? (4 दिनों के बाद)।
ये प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित फलनों के उदाहरण हैं - संख्यात्मक
क्रम।
पाठ का लक्ष्य है: अनुक्रम के किसी भी सदस्य को खोजने के तरीके खोजें।
पाठ उद्देश्य: पता करें कि संख्यात्मक अनुक्रम क्या है और कैसे
क्रम।
चतुर्थ। नई सामग्री सीखना
परिभाषा: एक संख्यात्मक अनुक्रम एक सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है
प्राकृतिक संख्याएँ (अनुक्रम प्रकृति के ऐसे तत्वों का निर्माण करते हैं कि
क्रमांकित किया जा सकता है)।
संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा के सिद्धांत के निर्माण से बहुत पहले उत्पन्न और विकसित हुई थी
कार्य। यहाँ अनंत संख्या अनुक्रमों के उदाहरण दिए गए हैं जिन्हें वापस जाना जाता है
पुरावशेष:
1, 2, 3, 4, 5, : प्राकृत संख्याओं का क्रम;
2, 4, 6, 8, 10, : सम संख्याओं का क्रम;
1, 3, 5, 7, 9, : विषम संख्याओं का क्रम;
1, 4, 9, 16, 25, : प्राकृत संख्याओं के वर्गों का क्रम;
2, 3, 5, 7, 11, : अभाज्य संख्याओं का क्रम;
,
1,
इनमें से प्रत्येक श्रृंखला के सदस्यों की संख्या अनंत है; पहले पांच क्रम
, : प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रमों का क्रम।
,
नीरस रूप से बढ़ रहा है, बाद वाला नीरस रूप से घट रहा है।

पदनाम: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:अनुक्रम सदस्य की अनुक्रम संख्या।
(वाईएन) अनुक्रम, अनुक्रम का वां सदस्य।
(ए) अनुक्रम, अनुक्रम का वां सदस्य।
an1 अनुक्रम का पिछला सदस्य है,
अनुक्रम का एक +1 बाद का सदस्य।
अनुक्रम परिमित और अनंत हैं, बढ़ते और घटते हैं।
विद्यार्थियों के लिए कार्य: अनुक्रम के पहले 5 सदस्यों को लिखें:
पहली प्राकृतिक संख्या से 3 की वृद्धि होती है।
10 से 2 गुना वृद्धि और 1 की कमी।
संख्या 6 से, वैकल्पिक रूप से 2 की वृद्धि और 2 बार की वृद्धि करें।
इन संख्या श्रृंखलाओं को संख्या क्रम भी कहा जाता है।
अनुक्रमण के तरीके:
मौखिक तरीका।
अनुक्रमण नियमों को शब्दों में वर्णित किया गया है, बिना सूत्रों के या
जब अनुक्रम के तत्वों के बीच कोई नियमितता नहीं होती है।
उदाहरण 1. अभाज्य संख्याओं का एक क्रम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ....।
उदाहरण 2. संख्याओं का एक मनमाना समुच्चय: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ....
उदाहरण 3. सम संख्याओं का क्रम 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
विश्लेषणात्मक तरीका।
अनुक्रम के किसी भी nवें तत्व को सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।
उदाहरण 1. सम संख्याओं का अनुक्रम: y = 2n।
उदाहरण 2. प्राकृत संख्याओं के वर्ग का क्रम: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ...।
उदाहरण 3. स्थिर क्रम: y = C; सी, सी, सी, ..., सी, ...
विशेष मामला: वाई = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
उदाहरण 4. अनुक्रम y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ....
पुनरावर्ती तरीका।
एक नियम निर्दिष्ट किया गया है जो अनुक्रम के nवें तत्व की गणना की अनुमति देता है यदि
इसके पिछले तत्वों को जाना जाता है।
उदाहरण 1. अंकगणितीय प्रगति: a1=a, an+1=an+d, जहां a और d हैं दिए गए नंबर, डी
अंकगणितीय प्रगति का अंतर। मान लीजिए a1=5, d=0.7, फिर अंकगणितीय प्रगति
इस तरह दिखेगा: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ....
उदाहरण 2. ज्यामितीय प्रगति: b1= b, bn+1= bnq, जहां b और q को संख्याएं दी गई हैं, b
0,
0; q हर है ज्यामितीय अनुक्रम. चलो b1=23, q=½, फिर ज्यामितीय
क्यू
प्रगति इस तरह दिखेगी: 23; 11.5; 5.75; 2.875; ....
4) ग्राफिकल तरीका. संख्यात्मक अनुक्रम
एक ग्राफ द्वारा दिया गया है जो है
पृथक डॉट्स। इन बिन्दुओं का अभाव स्वाभाविक है
संख्याएं: एन = 1; 2; 3; 4; .... ऑर्डिनेट्स - सदस्य मान
अनुक्रम: a1; ए2; ए3; ए4;…
उदाहरण: एक संख्या अनुक्रम के सभी पाँच सदस्यों को लिखिए,
ग्राफिक तरीके से दिया गया है।
फेसला।
इस निर्देशांक तल के प्रत्येक बिंदु में है
निर्देशांक (एन; ए)। चिह्नित बिंदुओं के निर्देशांक लिखिए
आरोही भुज n.
हमें मिलता है: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7)।
इसलिए, a1= 3; ए2=1; ए3=4; ए4=6; ए 5 = 7.

उत्तर: 3; एक; 4; 6; 7.
V. अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन
उदाहरण 1. अनुक्रम (yn) के nवें तत्व के लिए एक संभावित सूत्र लिखें:
ए) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
बी) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
फेसला।
क) यह एक क्रम है विषम संख्या. विश्लेषणात्मक रूप से, यह क्रम हो सकता है
सूत्र y = 2n+1 द्वारा निर्धारित।
b) यह एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा होता है
4. विश्लेषणात्मक रूप से, यह क्रम सूत्र y = 4n द्वारा दिया जा सकता है।
उदाहरण 2. बार-बार दिए गए अनुक्रम के पहले दस तत्वों को लिखिए: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 अगर n = 3, 4, 5, 6, ....
फेसला।
इस क्रम का प्रत्येक अनुवर्ती तत्व पिछले दो के योग के बराबर है
तत्व
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. पाठ को सारांशित करना। प्रतिबिंब
1. कार्य को पूरा करने में आप क्या सफल हुए?
2. क्या कार्य का समन्वय किया गया था?
3. आपकी राय में क्या काम नहीं आया?

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य का एक विशेष मामला है, इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कई गुणों पर भी विचार किया जाता है।

1. परिभाषा . परवर्ती ( Y n} वृद्धि कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से बड़ा है:

आप 1 < आप 2 < आप 3 < … < Y n < Y n+1 < ….

2. परिभाषा। अनुक्रम ( Y n} घटती हुई कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से कम है:

आप 1 > आप 2 > आप 3 > … > Y n> Y n+1 > … .

3. बढ़ते और घटते अनुक्रम एक सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रमों द्वारा एकजुट होते हैं।

उदाहरण के लिए: आप 1 = 1; Y n= एन 2... एक बढ़ता हुआ क्रम है। आप 1 = 1; अवरोही क्रम है। आप 1 = 1; - यह क्रम बढ़ता नहीं घटता नहीं है।

4. परिभाषा। एक अनुक्रम को आवर्त कहा जाता है यदि कोई प्राकृतिक संख्या T मौजूद हो, जैसे कि, कुछ n से शुरू होकर, समानता yn = yn + T धारण करती है। संख्या T को आवर्त लंबाई कहा जाता है।

5. किसी अनुक्रम को नीचे से परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके सभी सदस्य कम से कम कुछ संख्याएँ हों।

6. किसी अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके सभी सदस्य किसी न किसी संख्या में अधिक से अधिक हों।

7. एक अनुक्रम को बाउंडेड कहा जाता है यदि यह ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हो, अर्थात। एक धनात्मक संख्या इस प्रकार है कि दिए गए अनुक्रम के सभी पद निरपेक्ष मान में इस संख्या से अधिक नहीं हैं। (लेकिन दोनों तरफ सीमित होने का मतलब यह नहीं है कि यह सीमित है।)

8. एक अनुक्रम की केवल एक सीमा हो सकती है।

9. ऊपर बंधे किसी भी गैर-घटते अनुक्रम की एक सीमा (सीमा) होती है।

10. नीचे बंधे किसी भी गैर-बढ़ते अनुक्रम की एक सीमा होती है।

अनुक्रम की सीमा एक बिंदु (संख्या) है जिसके आसपास अनुक्रम के अधिकांश सदस्य स्थित हैं, वे इस सीमा के करीब पहुंचते हैं, लेकिन उस तक नहीं पहुंचते हैं।

ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगतिअनुक्रम के विशेष मामले हैं।

अनुक्रमण के तरीके:

अनुक्रम सेट किया जा सकता है विभिन्न तरीके, जिनमें से तीन विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक और आवर्तक।

1. अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया गया है यदि इसके nवें सदस्य का सूत्र दिया गया है:

उदाहरण। yn \u003d 2n - 1 - विषम संख्याओं का क्रम: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. संख्यात्मक अनुक्रम सेट करने का एक वर्णनात्मक तरीका यह है कि यह बताता है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1. "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 के बराबर हैं।" इसका मतलब, हम बात कर रहे हेस्थिर अनुक्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में।

उदाहरण 2. "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में हैं।" इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। अनुक्रम निर्दिष्ट करने की इस पद्धति के साथ यह उदाहरणयह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

3. एक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक आवर्तक तरीका यह है कि एक नियम इंगित किया जाता है जो किसी को अनुक्रम के nवें सदस्य की गणना करने की अनुमति देता है यदि इसके पिछले सदस्यों को जाना जाता है। नाम पुनरावर्ती विधि से आता है लैटिन शब्दपुनरावर्ती - वापसी के लिए। अक्सर, ऐसे मामलों में, एक सूत्र इंगित किया जाता है जो अनुक्रम के nवें सदस्य को पिछले वाले के संदर्भ में व्यक्त करने की अनुमति देता है, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्य निर्दिष्ट होते हैं।

उदाहरण 1. y1 = 3; वाईएन = वाईएन -1 + 4 अगर एन = 2, 3, 4,…।

यहाँ y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

यह देखा जा सकता है कि इस उदाहरण में प्राप्त अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: yn = 4n - 1।

उदाहरण 2 आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n = Y n–2 + Y n-1 अगर एन = 3, 4,….

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

इस उदाहरण में रचित अनुक्रम का गणित में विशेष रूप से अध्ययन किया जाता है, क्योंकि इसमें एक श्रृंखला होती है दिलचस्प गुणऔर आवेदन। इसे 13वीं शताब्दी के इतालवी गणितज्ञ के बाद - फिबोनाची अनुक्रम कहा जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करना बहुत आसान है, लेकिन विश्लेषणात्मक रूप से यह बहुत कठिन है। एनवें फाइबोनैचि संख्या को निम्न सूत्र द्वारा इसकी क्रमसूचक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है।

पहली नज़र में, के लिए सूत्र एनफाइबोनैचि संख्या असंभव लगती है, क्योंकि केवल प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करने वाले सूत्र में शामिल है वर्गमूल, लेकिन आप पहले कुछ के लिए "मैन्युअल रूप से" इस सूत्र की वैधता की जांच कर सकते हैं एन.

फाइबोनैचि इतिहास:

फाइबोनैचि (पीसा के लियोनार्डो), सी। 1175-1250

इतालवी गणितज्ञ। पीसा में जन्मे, मध्य युग के अंत में यूरोप के पहले महान गणितज्ञ बने। उन्हें स्थापित करने की व्यावहारिक आवश्यकता के कारण गणित की ओर ले जाया गया व्यावसायिक संपर्क. उन्होंने अंकगणित, बीजगणित और अन्य गणितीय विषयों पर अपनी पुस्तकें प्रकाशित कीं। मुस्लिम गणितज्ञों से, उन्होंने भारत में आविष्कृत संख्याओं की प्रणाली के बारे में सीखा और पहले से ही अरब दुनिया में अपनाया, और इसकी श्रेष्ठता के बारे में आश्वस्त थे (ये संख्याएं आधुनिक अरबी अंकों के अग्रदूत थे)।

पीसा के लियोनार्डो, जिन्हें फिबोनाची के नाम से जाना जाता है, मध्य युग के उत्तरार्ध के महान यूरोपीय गणितज्ञों में से पहले थे। पीसा में एक धनी व्यापारी परिवार में जन्मे, उन्होंने व्यावसायिक संपर्क स्थापित करने की विशुद्ध रूप से व्यावहारिक आवश्यकता के माध्यम से गणित में प्रवेश किया। अपनी युवावस्था में, लियोनार्डो ने अपने पिता के साथ व्यापारिक यात्राओं पर बहुत यात्रा की। उदाहरण के लिए, हम बीजान्टियम और सिसिली में उनके लंबे प्रवास के बारे में जानते हैं। इस तरह की यात्राओं के दौरान उन्होंने स्थानीय वैज्ञानिकों से काफी बातचीत की।

संख्या क्रम जो आज उनके नाम को धारण करता है, खरगोशों के साथ समस्या से विकसित हुआ है जिसे फिबोनाची ने अपनी पुस्तक लिबर अबाची में 1202 में लिखा था:

एक आदमी ने एक दीवार से चारों तरफ से घिरे हुए एक पेन में खरगोशों का एक जोड़ा रखा। यह जोड़ा एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोशों को जन्म दे सकता है, यदि यह ज्ञात हो कि हर महीने, दूसरे से शुरू होकर, खरगोशों की प्रत्येक जोड़ी एक जोड़ी पैदा करती है?

आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि अगले बारह महीनों में से प्रत्येक में जोड़ों की संख्या क्रमशः 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

दूसरे शब्दों में, खरगोशों के जोड़े की संख्या एक श्रृंखला बनाती है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले दो का योग होता है। इसे फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है और संख्याएं स्वयं फाइबोनैचि संख्याएं हैं। यह पता चला है कि इस क्रम में गणितीय रूप से कई दिलचस्प गुण हैं। यहां एक उदाहरण दिया गया है: आप एक रेखा को दो खंडों में विभाजित कर सकते हैं ताकि बड़े और छोटे खंड के बीच का अनुपात पूरी रेखा और बड़े खंड के अनुपात के समानुपाती हो। यह आनुपातिकता कारक, लगभग 1.618 के बराबर, के रूप में जाना जाता है सुनहरा अनुपात. पुनर्जागरण में, यह माना जाता था कि स्थापत्य संरचनाओं में देखा गया यह अनुपात आंख को सबसे अधिक भाता है। यदि आप फाइबोनैचि श्रृंखला से लगातार जोड़े लेते हैं और विभाजित करते हैं अधिकप्रत्येक जोड़ी से एक छोटे से, आपका परिणाम धीरे-धीरे सुनहरे अनुपात के करीब पहुंच जाएगा।

जब से फाइबोनैचि ने अपने अनुक्रम की खोज की, यहां तक ​​कि प्राकृतिक घटनाएं भी मिली हैं जिनमें यह क्रम एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता प्रतीत होता है। उनमें से एक है फाइलोटैक्सिस (पत्ती व्यवस्था) - वह नियम जिसके अनुसार, उदाहरण के लिए, बीज सूरजमुखी के पुष्पक्रम में स्थित होते हैं। सूरजमुखी के बीज दो सर्पिलों में व्यवस्थित होते हैं। प्रत्येक सर्पिल में बीजों की संख्या को दर्शाने वाली संख्याएँ एक अद्भुत गणितीय अनुक्रम के सदस्य हैं। बीज सर्पिल की दो पंक्तियों में व्यवस्थित होते हैं, जिनमें से एक दक्षिणावर्त जाता है, दूसरा विपरीत। और प्रत्येक दशा में बीजों की संख्या कितनी है? 34 और 55.

कार्य 1:

अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए।

1. ए एन \u003d 2 एन + 1/2 एन

और n \u003d 2 n + 1/2 n

कार्य संख्या 2:

उन प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम के उभयनिष्ठ पद का सूत्र लिखिए जो 3 के गुणज हों।

उत्तर: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, और n = 3n

कार्य संख्या 3:

प्राकृत संख्याओं के उस अनुक्रम के उभयनिष्ठ पद का सूत्र लिखिए जिसे 4 से भाग देने पर 1 शेष रहता है।

उत्तर: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 और n = 4n+1

नंबर 19. समारोह।

फंक्शन (डिस्प्ले, ऑपरेटर, ट्रांसफॉर्मेशन) एक गणितीय अवधारणा है जो सेट के तत्वों के बीच संबंध को दर्शाती है। हम कह सकते हैं कि एक फ़ंक्शन एक "कानून" है जिसके अनुसार एक सेट के प्रत्येक तत्व (जिसे परिभाषा का डोमेन कहा जाता है) को दूसरे सेट का कुछ तत्व सौंपा जाता है (जिसे मूल्यों का डोमेन कहा जाता है)।

एक फ़ंक्शन एक की निर्भरता है चरदूसरे से। दूसरे शब्दों में, मात्राओं के बीच संबंध।

एक फ़ंक्शन की गणितीय अवधारणा एक सहज ज्ञान युक्त विचार व्यक्त करती है कि कैसे एक मात्रा पूरी तरह से दूसरी मात्रा के मूल्य को निर्धारित करती है। तो चर x का मान विशिष्ट रूप से अभिव्यक्ति के मूल्य को निर्धारित करता है, और महीने का मूल्य विशिष्ट रूप से इसके बाद के महीने का मूल्य निर्धारित करता है, और किसी भी व्यक्ति की तुलना किसी अन्य व्यक्ति - उसके पिता से की जा सकती है। इसी तरह, कुछ पूर्वकल्पित एल्गोरिथम, अलग-अलग इनपुट डेटा को देखते हुए, कुछ आउटपुट डेटा का उत्पादन करते हैं।

अक्सर "फ़ंक्शन" शब्द एक संख्यात्मक फ़ंक्शन को संदर्भित करता है; अर्थात्, एक फ़ंक्शन जो कुछ संख्याओं को दूसरों के साथ पत्राचार में रखता है। इन कार्यों को रेखांकन के रूप में आंकड़ों में आसानी से दर्शाया जाता है।

एक और परिभाषा दी जा सकती है। एक फ़ंक्शन एक विशिष्ट है गतिविधिएक चर के ऊपर।

इसका मतलब है कि हम मूल्य लेते हैं, इसके साथ कुछ क्रिया करते हैं (उदाहरण के लिए, हम इसे वर्ग करते हैं या इसके लघुगणक की गणना करते हैं) - और हमें मूल्य मिलता है।

आइए फ़ंक्शन की एक और परिभाषा दें - वह जो अक्सर पाठ्यपुस्तकों में पाई जाती है।

एक फ़ंक्शन दो सेटों के बीच एक पत्राचार होता है, जिसमें पहले सेट का प्रत्येक तत्व एक के अनुरूप होता है और दूसरे सेट का केवल एक तत्व होता है।

उदाहरण के लिए, प्रत्येक के लिए एक फ़ंक्शन वास्तविक संख्यासे दुगनी बड़ी संख्या से मेल खाता है।

कुछ F के तत्वों के सेट को x के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है, इसे इसकी परिभाषा का डोमेन कहा जाता है, और कुछ F के तत्वों के सेट को इसके मानों की श्रेणी कहा जाता है।

अवधि इतिहास:

शब्द "फ़ंक्शन" (कुछ हद तक संकुचित अर्थ में) का प्रयोग पहली बार लाइबनिज़ (1692) द्वारा किया गया था। बदले में, जोहान बर्नौली ने उसी लाइबनिज़ को लिखे एक पत्र में, इस शब्द का इस्तेमाल आधुनिक अर्थ के करीब किया। प्रारंभ में, एक फ़ंक्शन की अवधारणा एक विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व की अवधारणा से अप्रभेद्य थी। इसके बाद, यूलर (1751) द्वारा दी गई फ़ंक्शन की परिभाषा दिखाई दी, फिर - लैक्रोइक्स (1806) द्वारा - लगभग में आधुनिक रूप. अंत में, किसी फ़ंक्शन की सामान्य परिभाषा (में .) आधुनिक रूप, लेकिन संख्यात्मक कार्यों के लिए) लोबचेवस्की (1834) और डिरिचलेट (1837) द्वारा दिया गया था। सेवा देर से XIXसदी, एक फ़ंक्शन की अवधारणा ने संख्यात्मक प्रणालियों के ढांचे को पार कर लिया है। ऐसा करने वाले पहले वेक्टर फ़ंक्शन थे, फ्रीज ने जल्द ही तार्किक कार्यों (1879) की शुरुआत की, और सेट सिद्धांत के आगमन के बाद, डेडेकिंड (1887) और पीनो (1911) ने आधुनिक सार्वभौमिक परिभाषा तैयार की।

नंबर 20. फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के 4 तरीके हैं:

1. सारणीबद्धकाफी आम है, व्यक्ति की तालिका सेट करना

तर्क मान और उनके संगत फ़ंक्शन मान। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब फ़ंक्शन का डोमेन एक असतत परिमित सेट होता है।

यह सुविधाजनक है जब f एक परिमित समुच्चय है, लेकिन जब f अनंत है, केवल चयनित जोड़े (x, y) इंगित किए जाते हैं।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की सारणीबद्ध विधि के साथ, उस फ़ंक्शन के मानों की गणना करना संभव है जो तालिका में शामिल नहीं हैं, तर्क के मध्यवर्ती मूल्यों के अनुरूप। ऐसा करने के लिए, प्रक्षेप की विधि का उपयोग करें।

लाभ: सटीकता, गति, मूल्यों की तालिका में खोजने में आसान वांछित मूल्यकार्य। किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के सारणीबद्ध तरीके के लाभ यह हैं कि यह अतिरिक्त माप या गणना के बिना, एक ही बार में कुछ विशिष्ट मानों को निर्धारित करना संभव बनाता है।

नुकसान: अधूरापन, दृश्यता की कमी। कुछ मामलों में, तालिका फ़ंक्शन को पूरी तरह से परिभाषित नहीं करती है, लेकिन केवल तर्क के कुछ मूल्यों के लिए और तर्क में परिवर्तन के आधार पर फ़ंक्शन में परिवर्तन की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान नहीं करती है।

2. विश्लेषणात्मक(सूत्र)। अक्सर, के बीच संबंध स्थापित करने वाला कानून

तर्क और कार्य, सूत्रों के माध्यम से निर्दिष्ट किया जाता है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के इस तरीके को विश्लेषणात्मक कहा जाता है। यह एमए (गणित। विश्लेषण) के लिए सबसे महत्वपूर्ण है, क्योंकि एमए (डिफरेंशियल, इंटीग्रल कैलकुलस) के तरीके सेटिंग के इस तरीके का सुझाव देते हैं। एक ही कार्य विभिन्न सूत्रों द्वारा दिया जा सकता है: आप= पाप ( एक्स)∣आप=√1−cos2( एक्स) कभी कभी विभिन्न भागइसके डोमेन के, परिभाषित कार्य विभिन्न सूत्रों द्वारा दिया जा सकता है एफ(एक्स)={एफ 1(एक्स),एक्स∈डी 1 एफएन(एक्स),एक्स∈डीएन ∪एनके=1डीके=डी(एफ) . अक्सर, किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की इस पद्धति के साथ, परिभाषा के दायरे को इंगित नहीं किया जाता है, फिर परिभाषा के क्षेत्र को समझा जाता है प्राकृतिक क्षेत्रपरिभाषाएँ, अर्थात्। सभी x मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन वास्तविक मान लेता है।

यह विधि तर्क x के प्रत्येक संख्यात्मक मान के लिए फ़ंक्शन y के संगत संख्यात्मक मान को ठीक या कुछ सटीकता के साथ खोजना संभव बनाती है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के विश्लेषणात्मक तरीके का एक विशेष मामला F(x,y)=0 फॉर्म के समीकरण द्वारा एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर रहा है (1) यदि इस समीकरण में संपत्ति है कि ∀ एक्स D केवल सुमेलित है आप, ऐसा है कि एफ(एक्स,आप)=0, तब हम कहते हैं कि समीकरण (1) D पर एक फ़ंक्शन को परोक्ष रूप से परिभाषित करता है। फ़ंक्शन को परिभाषित करने का एक अन्य विशेष मामला पैरामीट्रिक है, प्रत्येक जोड़ी के साथ ( एक्स,आप)∈एफकार्यों की एक जोड़ी का उपयोग करके सेट करें एक्स=ϕ( टी),आप=ψ( टी) कहाँ पे टी∈एम.

संख्यात्मक अनुक्रम की परिभाषा दी गई है। अपरिमित रूप से बढ़ते, अभिसरण और अपसारी अनुक्रमों के उदाहरण माने जाते हैं। सभी परिमेय संख्याओं वाले अनुक्रम पर विचार किया जाता है।

परिभाषा ।
संख्यात्मक अनुक्रम (एक्स एन) कानून (नियम) कहा जाता है, जिसके अनुसार, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए n = 1, 2, 3, . . . कुछ संख्या x n असाइन की गई है।
तत्व x n कहलाता है नौवां सदस्यया अनुक्रम का एक तत्व।

अनुक्रम को घुंघराले कोष्ठक में संलग्न nवें सदस्य के रूप में दर्शाया गया है: . यह भी संभव है निम्नलिखित संकेतन: . वे स्पष्ट रूप से कहते हैं कि सूचकांक n प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है और यह कि अनुक्रम में सदस्यों की अनंत संख्या है। यहाँ अनुक्रमों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
, , .

दूसरे शब्दों में, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ऐसा फलन है जिसका डोमेन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय होता है। अनुक्रम में तत्वों की संख्या अनंत है। तत्वों में, ऐसे सदस्य भी हो सकते हैं जिनके पास समान मूल्य. इसके अलावा, अनुक्रम को संख्याओं के एक क्रमांकित सेट के रूप में माना जा सकता है, जिसमें अनंत संख्या में सदस्य होते हैं।

हम मुख्य रूप से इस प्रश्न में रुचि लेंगे - जब n अनंत की ओर जाता है तो अनुक्रम कैसे व्यवहार करते हैं: । यह सामग्री अनुक्रम सीमा - मूल प्रमेय और गुण खंड में प्रस्तुत की गई है। और यहाँ हम अनुक्रमों के कुछ उदाहरण देखेंगे।

अनुक्रम उदाहरण

असीम रूप से बढ़ते अनुक्रमों के उदाहरण

आइए एक क्रम पर विचार करें। इस क्रम का सामान्य शब्द है। आइए पहले कुछ शब्द लिखें:
.
यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, तत्व सकारात्मक मूल्यों की ओर अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं। हम कह सकते हैं कि यह क्रम : पर जाता है।

अब एक सामान्य पद वाले अनुक्रम पर विचार करें। यहाँ इसके कुछ पहले सदस्य हैं:
.
जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, इस अनुक्रम के तत्व निरपेक्ष मान में अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं, लेकिन उनका कोई स्थिर चिह्न नहीं होता है। अर्थात्, यह क्रम : पर जाता है।

परिमित संख्या में परिवर्तित होने वाले अनुक्रमों के उदाहरण

आइए एक क्रम पर विचार करें। इसका सामान्य सदस्य पहली शर्तें इस प्रकार हैं:
.
यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, इस अनुक्रम के तत्व अपने सीमा मान a . तक पहुंचते हैं = 0 : पर । तो प्रत्येक बाद का पद पिछले एक की तुलना में शून्य के करीब है। एक मायने में, हम मान सकते हैं कि संख्या के लिए एक अनुमानित मूल्य है = 0 एक त्रुटि के साथ। यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, यह त्रुटि शून्य हो जाती है, अर्थात n को चुनकर त्रुटि को मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है। इसके अलावा, किसी भी त्रुटि के लिए ε > 0 ऐसी संख्या N निर्दिष्ट करना संभव है, कि N: से अधिक संख्या वाले सभी तत्वों के लिए, सीमा मान a से संख्या का विचलन त्रुटि ε: से अधिक नहीं होगा।

अगला, अनुक्रम पर विचार करें। इसका सामान्य सदस्य यहाँ इसके कुछ पहले सदस्य हैं:
.
इस क्रम में सम संख्या वाले पद शून्य होते हैं। विषम n वाले सदस्य हैं। इसलिए, जैसे-जैसे n बढ़ता है, उनके मान सीमित मान a . तक पहुंचते हैं = 0 . यह इस तथ्य से भी निकलता है कि
.
पिछले उदाहरण की तरह, हम मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि निर्दिष्ट कर सकते हैं > 0 , जिसके लिए ऐसी संख्या N ज्ञात करना संभव है कि N से अधिक संख्या वाले तत्व सीमा मान a से विचलित हो जाएंगे = 0 निर्दिष्ट त्रुटि से अधिक नहीं के मान से। इसलिए, यह क्रम मान a . में परिवर्तित हो जाता है = 0 : पर ।

अपसारी अनुक्रमों के उदाहरण

निम्नलिखित सामान्य शब्द वाले अनुक्रम पर विचार करें:

यहाँ इसके पहले सदस्य हैं:


.
यह देखा जा सकता है कि सम संख्याओं वाले पद:
,
मान a . में अभिसरण करें 1 = 0 . विषम संख्या वाले सदस्य:
,
मान a . में अभिसरण करें 2 = 2 . अनुक्रम स्वयं, जैसे n बढ़ता है, किसी भी मान में परिवर्तित नहीं होता है।

अंतराल में वितरित शर्तों के साथ अनुक्रम (0;1)

अब एक और दिलचस्प क्रम पर विचार करें। संख्या रेखा पर एक खंड लीजिए। आइए इसे आधे में विभाजित करें। हमें दो खंड मिलते हैं। रहने दो
.
प्रत्येक खंड को फिर से आधे में विभाजित किया गया है। हमें चार खंड मिलते हैं। रहने दो
.
प्रत्येक खंड को फिर से आधा में विभाजित करें। चलो ले लो


.
आदि।

नतीजतन, हम एक अनुक्रम प्राप्त करते हैं जिसके तत्व एक खुले अंतराल में वितरित किए जाते हैं (0; 1) . बंद अंतराल से हम जो भी बिंदु लेते हैं , हम हमेशा अनुक्रम के सदस्यों को ढूंढ सकते हैं जो मनमाने ढंग से इस बिंदु के करीब हैं, या इसके साथ मेल खाते हैं।

फिर मूल अनुक्रम से कोई एक ऐसे अनुक्रम को अलग कर सकता है जो अंतराल से एक मनमाना बिंदु में परिवर्तित हो जाएगा . अर्थात्, जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, बाद के सदस्य पूर्व-चयनित बिंदु के करीब और करीब आते जाएंगे।

उदाहरण के लिए, बिंदु a . के लिए = 0 आप निम्नलिखित बाद का चयन कर सकते हैं:
.
= 0 .

बिंदु a के लिए = 1 निम्नलिखित बाद का चयन करें:
.
इस बाद के सदस्य मान में परिवर्तित हो जाते हैं a = 1 .

चूंकि ऐसे परिणाम हैं जो अभिसरण करते हैं विभिन्न अर्थ, तो मूल अनुक्रम स्वयं किसी संख्या में परिवर्तित नहीं होता है।

अनुक्रम जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ हों

आइए अब एक ऐसा क्रम बनाएँ जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ हों। इसके अलावा, प्रत्येक परिमेय संख्या को इस तरह के क्रम में अनंत बार शामिल किया जाएगा।

परिमेय संख्या r को निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:
,
एक पूर्णांक कहाँ है; - प्राकृतिक।
हमें प्रत्येक प्राकृत संख्या n को संख्या p और q का एक युग्म निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है ताकि p और q का कोई भी जोड़ा हमारे अनुक्रम में शामिल हो जाए।

ऐसा करने के लिए, समतल पर अक्ष p और q खीचें। हम पूर्णांक मानों p और q के माध्यम से ग्रिड रेखाएँ खींचते हैं। फिर इस ग्रिड के प्रत्येक नोड के अनुरूप होगा परिमेय संख्या. परिमेय संख्याओं के पूरे सेट को नोड्स के एक सेट द्वारा दर्शाया जाएगा। हमें सभी नोड्स को नंबर देने का एक तरीका खोजने की जरूरत है ताकि हम एक भी नोड को मिस न करें। यह करना आसान है यदि हम उन वर्गों के अनुसार नोड्स की संख्या करते हैं जिनके केंद्र बिंदु पर स्थित हैं (0; 0) (तस्वीर देखने)। इस मामले में, q . के साथ वर्गों के निचले हिस्से < 1 हमें नहीं चाहिए। इसलिए, उन्हें आकृति में नहीं दिखाया गया है।

तो, पहले वर्ग के ऊपरी हिस्से के लिए हमारे पास है:
.
आगे हम नंबर ऊपरी भागअगला वर्ग:

.
हम अगले वर्ग के ऊपरी भाग को संख्या देते हैं:

.
आदि।

इस प्रकार हमें एक अनुक्रम प्राप्त होता है जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ होती हैं। यह देखा जा सकता है कि इस क्रम में कोई भी परिमेय संख्या अनंत बार प्रकट होती है। दरअसल, नोड के साथ, इस क्रम में नोड्स भी शामिल होंगे, जहां एक प्राकृतिक संख्या है। लेकिन ये सभी नोड्स एक ही परिमेय संख्या के अनुरूप हैं।

फिर हमारे द्वारा बनाए गए अनुक्रम से, हम एक अनुवर्ती (तत्वों की अनंत संख्या वाले) का चयन कर सकते हैं, जिसके सभी तत्व एक पूर्व निर्धारित परिमेय संख्या के बराबर हैं। चूंकि हमने जो अनुक्रम बनाया है, उसके बाद के अभिसरण हैं अलग संख्या, तो अनुक्रम किसी संख्या में परिवर्तित नहीं होता है।

निष्कर्ष

यहां हमने संख्यात्मक अनुक्रम की सटीक परिभाषा दी है। हमने सहज ज्ञान युक्त विचारों के आधार पर इसके अभिसरण के मुद्दे को भी छुआ। अनुक्रम की सीमा निर्धारित करने वाले पृष्ठ पर अभिसरण की सटीक परिभाषा पर चर्चा की गई है। संबंधित गुण और प्रमेय पृष्ठ पर उल्लिखित हैं

पाठ #32 दिनांक ____________

बीजगणित

कक्षा: 9 "बी"

विषय: "संख्यात्मक अनुक्रम और इसे सेट करने के तरीके।"

पाठ का उद्देश्य:विद्यार्थियों को पता होना चाहिए कि एक संख्या क्रम क्या है; संख्यात्मक अनुक्रम सेट करने के तरीके; संख्यात्मक अनुक्रमों को निर्दिष्ट करने के विभिन्न तरीकों के बीच अंतर करने में सक्षम हो।

उपदेशात्मक सामग्री: हैंडआउट्स, संदर्भ नोट्स।

तकनीकी साधनसीख रहा हूँ:"संख्यात्मक अनुक्रम" विषय पर प्रस्तुति।

कक्षाओं के दौरान।

1. संगठनात्मक क्षण।

2. पाठ के लक्ष्य निर्धारित करना।

आज के पाठ में आप लोग सीखेंगे:

एक क्रम क्या है?

क्रम कितने प्रकार के होते हैं?

संख्या अनुक्रम कैसे निर्दिष्ट किया जाता है?

एक सूत्र और उसके कई तत्वों का उपयोग करके अनुक्रम लिखना सीखें।

अनुक्रम के सदस्यों को खोजना सीखें।

3. अध्ययन की गई सामग्री पर काम करें।

3.1. तैयारी का चरण।

दोस्तों, आइए आपके तर्क कौशल का परीक्षण करें। मैं कुछ शब्दों का नाम देता हूं, और आपको जारी रखना चाहिए:

-सोमवार मंगलवार,…..

- जनवरी फरवरी मार्च…;

- ग्लीबोवा एल, गणोविचेव ई, ड्रायाखलोव वी, इब्रेवा जी, ... .. (वर्ग सूची);

–10,11,12,…99;

लोगों के उत्तरों से, यह निष्कर्ष निकलता है कि उपरोक्त कार्य अनुक्रम हैं, अर्थात, संख्याओं या अवधारणाओं की किसी प्रकार की क्रमबद्ध श्रृंखला, जब प्रत्येक संख्या या अवधारणा सख्ती से अपनी जगह पर होती है, और यदि सदस्यों की अदला-बदली की जाती है, तो अनुक्रम उल्लंघन किया जाएगा (मंगलवार, गुरुवार, सोमवार सप्ताह के दिनों की सिर्फ एक सूची है)। तो, पाठ का विषय एक संख्यात्मक अनुक्रम है।

3.1. नई सामग्री की व्याख्या। (डेमो सामग्री)

विद्यार्थियों के उत्तरों का विश्लेषण करना, संख्या क्रम को परिभाषित करना और संख्या क्रमों को सेट करने का तरीका दिखाना।

(पाठ्यपुस्तक पीपी 66 - 67 के साथ काम करना)

परिभाषा 1. फलन y = f(x), xN को प्राकृतिक तर्क या संख्यात्मक अनुक्रम का एक फलन कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है: y = f(n) या y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... या (वाई एन)।

इस मामले में, स्वतंत्र चर एक प्राकृतिक संख्या है।

अक्सर, अनुक्रमों को निम्नानुसार दर्शाया जाएगा: ( ए एन), (बी एन), (साथ एन) आदि।

परिभाषा 2. अनुक्रम सदस्य.

अनुक्रम बनाने वाले तत्व अनुक्रम के सदस्य कहलाते हैं।

नई अवधारणाएँ: अनुक्रम के पिछले और बाद के सदस्य,

ए 1 …ए पी। (अनुक्रम का पहला और वां सदस्य)

संख्यात्मक अनुक्रम स्थापित करने के तरीके।

विश्लेषणात्मक तरीका।

कोई भी वां तत्वअनुक्रमों को एक सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। ( डेमो )

पार्स उदाहरण

उदाहरण 1सम संख्याओं का क्रम: y = 2n।

उदाहरण 2प्राकृत संख्याओं के वर्ग का क्रम: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., एन 2, ...।

उदाहरण 3स्थिर क्रम: y = C;

सी, सी, सी, ..., सी, ...।

विशेष मामला: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

उदाहरण 4. अनुक्रम y = 2 n;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

मौखिक तरीका।

अनुक्रम सेट करने के नियमों को शब्दों में वर्णित किया जाता है, बिना सूत्रों को निर्दिष्ट किए, या जब अनुक्रम के तत्वों के बीच कोई पैटर्न नहीं होता है।

उदाहरण 1. संख्या सन्निकटनπ.

उदाहरण 2अभाज्य संख्या क्रम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ....

उदाहरण 3 5 से विभाज्य संख्याओं का एक क्रम।

उदाहरण 2संख्याओं का यादृच्छिक समुच्चय: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ....

उदाहरण 3सम संख्याओं का क्रम 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ....

पुनरावर्ती तरीका।

आवर्तक विधि में एक नियम निर्दिष्ट करना शामिल है जो आपको अनुक्रम के nवें सदस्य की गणना करने की अनुमति देता है यदि इसके पहले कुछ सदस्य निर्दिष्ट हैं (कम से कम एक प्रथम सदस्य) और एक सूत्र जो आपको पिछले सदस्यों से इसके अगले सदस्य की गणना करने की अनुमति देता है। अवधि आवर्तक लैटिन शब्द से लिया गया है पुनरावर्ती , मतलब वापस लौटें . इस नियम के अनुसार अनुक्रम के सदस्यों की गणना करते समय, हम हर समय वापस जाते हैं, पिछले एक के आधार पर अगले सदस्य की गणना करते हैं। इस पद्धति की एक विशेषता यह है कि, उदाहरण के लिए, अनुक्रम के 100वें सदस्य को निर्धारित करने के लिए, आपको पहले सभी पिछले 99 सदस्यों को निर्धारित करना होगा।

उदाहरण 1 . ए 1 \u003d ए, ए एन + 1 \u003d ए एन +0.7। मान लीजिए 1 =5, तो अनुक्रम इस तरह दिखेगा: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ....

उदाहरण 2बी 1 \u003d बी, बी एन +1 \u003d ½ बी एन। मान लीजिए b 1 =23, फिर अनुक्रम इस प्रकार दिखेगा: 23; 11.5; 5.75; 2.875; ....

उदाहरण 3फिबोनाची अनुक्रम। इस क्रम को आसानी से पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाता है: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 यदि n=3, 4, 5, 6, ... । ऐसा दिखेगा:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (पीइस क्रम का वां पद पिछले दो पदों के योग के बराबर है)

फाइबोनैचि अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करना कठिन है, लेकिन यह संभव है। वह सूत्र जिसके द्वारा इस अनुक्रम का कोई तत्व निर्धारित किया जाता है, इस प्रकार है:

अतिरिक्त जानकारी:

पीसा का इतालवी व्यापारी लियोनार्डो (1180-1240), जिसे फिबोनाची उपनाम से जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण मध्ययुगीन गणितज्ञ था। इस क्रम की सहायता से फाइबोनैचि ने संख्या ज्ञात की φ (फी); =1.618033989।

ग्राफिकल तरीका

एक अनुक्रम के सदस्यों को निर्देशांक तल पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, संख्या को क्षैतिज अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और अनुक्रम के संबंधित सदस्य का मान ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।

असाइनमेंट के तरीकों को समेकित करने के लिए, मैं आपको अनुक्रमों के कई उदाहरण देने के लिए कहता हूं जो या तो मौखिक रूप से, या विश्लेषणात्मक रूप से, या आवर्ती तरीके से निर्दिष्ट होते हैं।

संख्या अनुक्रमों के प्रकार

(नीचे सूचीबद्ध अनुक्रमों पर, अनुक्रमों के प्रकार पर काम किया जाता है).

पाठ्यपुस्तक p.69-70 . के साथ कार्य करना

1) बढ़ाना - यदि प्रत्येक पद अगले पद से छोटा हो, अर्थात। ए एन ए एन +1.

2) घटाना - यदि प्रत्येक पद अगले पद से बड़ा है, अर्थात। ए एन ए एन +1 .

3) अंतहीन।

4) परम।

5) बारी-बारी से।

6) स्थिर (स्थिर)।

बढ़ते या घटते क्रम को मोनोटोनिक कहा जाता है।

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

पाठ्यपुस्तक के साथ काम करें: इसे मौखिक रूप से करें नंबर 150, 159 पीपी। 71, 72

3.2. नई सामग्री का समेकन। समस्या को सुलझाना।

ज्ञान को समेकित करने के लिए, छात्रों की तैयारी के स्तर के आधार पर उदाहरणों का चयन किया जाता है।

उदाहरण 1अनुक्रम के nवें तत्व के लिए एक संभावित सूत्र लिखें (y n):

ए) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

बी) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

फेसला।

a) यह विषम संख्याओं का एक क्रम है। विश्लेषणात्मक रूप से, यह क्रम सूत्र y = 2n+1 द्वारा दिया जा सकता है।

बी) यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें अगला तत्व पिछले एक से 4 अधिक है। विश्लेषणात्मक रूप से, इस अनुक्रम को सूत्र y = 4n द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

उदाहरण 2. बार-बार दिए गए अनुक्रम के पहले दस तत्वों को लिखिए: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 यदि n = 3, 4, 5, 6, ....

फेसला।

इस क्रम का प्रत्येक अनुवर्ती तत्व पिछले दो तत्वों के योग के बराबर है।

उदाहरण 3अनुक्रम (y n) बार-बार दिया जाता है: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2। इस क्रम को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट करें।

फेसला।

अनुक्रम के पहले कुछ तत्वों का पता लगाएं।

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

वाई 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

वाई 5 \u003d 5y 4 -6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

वाई 6 \u003d 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

वाई 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64।

हमें अनुक्रम मिलता है: 1; 2; 4; आठ; सोलह; 32; 64; ... जिसे के रूप में दर्शाया जा सकता है

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

एन = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7...।

अनुक्रम का विश्लेषण करते हुए, हम निम्नलिखित नियमितता प्राप्त करते हैं: y = 2 n -1।

उदाहरण 4एक क्रम दिया गया है y n =24n+36-5n 2 ।

a) इसके कितने सकारात्मक पद हैं?

बी) अनुक्रम का सबसे बड़ा तत्व खोजें।

ग) क्या इस क्रम में सबसे छोटा तत्व है?

यह संख्यात्मक अनुक्रम y = -5x 2 +24x+36 रूप का एक फलन है, जहां x

a) उस फलन के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए -5x 2 +24x+360। आइए समीकरण -5x 2 +24x+36=0 हल करें।

डी \u003d बी 2 -4ac \u003d 1296, एक्स 1 \u003d 6, एक्स 2 \u003d -1.2।

परवलय y \u003d -5x 2 +24x + 36 की समरूपता के अक्ष का समीकरण सूत्र x \u003d द्वारा पाया जा सकता है, हमें मिलता है: x \u003d 2.4।

असमानता -5x 2 +24x+360 -1.2 के लिए रखती है इस अंतराल में पांच प्राकृतिक संख्याएं (1, 2, 3, 4, 5) शामिल हैं। अतः दिए गए क्रम में पाँच सकारात्मक तत्वक्रम।

बी) अनुक्रम का सबसे बड़ा तत्व चयन विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है और यह y 2 = 64 के बराबर होता है।

c) कोई सबसे छोटा तत्व नहीं है।

3.4. स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य