उदाहरण सहित 4 अपरिमेय संख्याएँ। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं?

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर पूंजी द्वारा दर्शाया जाता है लैटिन अक्षर मैं (\displaystyle \mathbb (I))बोल्ड में बिना फिल के। इस प्रकार: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q))अर्थात् अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच का अंतर है।

अपरिमेय संख्याओं का अस्तित्व, अधिक सटीक रूप से खंड जो इकाई लंबाई के एक खंड के साथ अतुलनीय हैं, प्राचीन गणितज्ञों के लिए पहले से ही ज्ञात थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण और वर्ग के पक्ष की असंगति, जो तर्कहीनता के बराबर है संख्या का।

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तर्कहीन हैं:

तर्कहीनता प्रमाण उदाहरण

2 . की जड़

आइए इसके विपरीत कहें: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))परिमेय, अर्थात्, भिन्न के रूप में दर्शाया गया है एम एन (\displaystyle (\frac (एम)(एन))), कहाँ पे एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)एक पूर्णांक है, और n (\displaystyle n)- प्राकृतिक संख्या ।
आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).
कहानी

प्राचीन काल

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में अपनाया गया था, जब मनावा (सी। 750 ईसा पूर्व - सी। 690 ईसा पूर्व) ने पाया कि वर्गमूलकुछ प्राकृत संख्याएँ, जैसे कि 2 और 61, को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है [ ] .
अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (सी। 500 ईसा पूर्व), एक पाइथागोरस को जिम्मेदार ठहराया जाता है। पाइथागोरस के समय, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य है, जो किसी भी खंड में शामिल होने की एक पूर्णांक संख्या है [ ] .
हिप्पसस द्वारा किस संख्या को सिद्ध किया गया था, इस पर कोई सटीक डेटा नहीं है। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने इसे पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके पाया। इसलिए, यह मान लेना उचित है कि यह स्वर्णिम अनुपात था [ ] .
यूनानी गणितज्ञों ने अतुलनीय मात्राओं के इस अनुपात को कहा है अलोगोस(अव्यक्त), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार, हिप्पसस को उचित सम्मान नहीं दिया गया था। एक किंवदंती है कि हिप्पसस ने समुद्री यात्रा के दौरान खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए" पानी में फेंक दिया गया था, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया जा सकता है। " हिप्पस की खोज पाइथागोरस गणित के सामने रखी गंभीर समस्या, पूरे सिद्धांत की अंतर्निहित धारणा को नष्ट करना कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक हैं और अविभाज्य हैं।

इकाई लंबाई के एक खंड के साथ, प्राचीन गणितज्ञ पहले से ही जानते थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण की असंगति और वर्ग की भुजा, जो संख्या की अपरिमेयता के बराबर है।

तर्कहीन हैं:

तर्कहीनता प्रमाण उदाहरण

2 . की जड़

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात्, इसे एक अपरिमेय अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:
.
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम, इसलिए, सम और । चलो जहां पूरे। फिर

इसलिए, सम, इसलिए, सम और । हमने वह प्राप्त कर लिया है और सम है, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। तो मूल धारणा गलत थी, और - ir परिमेय संख्या.

संख्या 3 . का बाइनरी लॉगरिदम

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और सकारात्मक लिया जा सकता है। फिर

लेकिन यह स्पष्ट है, यह अजीब है। हमें एक विरोधाभास मिलता है।

इ

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में निहित रूप से अपनाया गया था, जब मनावा (सी। 750 ईसा पूर्व - सी। 690 ईसा पूर्व) ने पाया कि 2 और 61 जैसी कुछ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस (सी। 500 ईसा पूर्व) के हिपासस को दिया जाता है, एक पाइथागोरस जिसने एक पेंटाग्राम के पक्षों की लंबाई का अध्ययन करके इस प्रमाण को पाया। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य होती है, जो किसी भी खंड में शामिल कई बार पूर्णांक होती है। हालांकि, हिप्पसस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु का कर्ण सही त्रिकोणइकाई खंडों की एक पूर्णांक संख्या है, तो यह संख्या एक ही समय में सम और विषम दोनों होनी चाहिए। सबूत इस तरह दिखता था:
- एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ पे एऔर बीसबसे छोटा संभव के रूप में चुना गया।
- पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए= 2 बी².
- जैसा एमैं भी, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
- जहां तक कि ए:बीअलघुकरणीय बीविषम होना चाहिए।
- जैसा एसम, निरूपित ए = 2आप.
- फिर ए= 4 आप= 2 बी².
- बी= 2 आप, इसलिए बीसम है, तो बीयहाँ तक की।
- हालांकि, यह साबित हो गया है कि बीअजीब। अंतर्विरोध।
यूनानी गणितज्ञों ने अतुलनीय मात्राओं के इस अनुपात को कहा है अलोगोस(अव्यक्त), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार, हिप्पसस को उचित सम्मान नहीं दिया गया था। एक किंवदंती है कि हिप्पसस ने समुद्री यात्रा के दौरान खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए" पानी में फेंक दिया गया था, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया जा सकता है। " हिप्पसस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या पेश की, इस अंतर्निहित धारणा को नष्ट कर दिया कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक और अविभाज्य हैं।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

संख्यात्मक प्रणाली
गिनती
सेट प्राकृत संख्याएं () पूर्णांक ()

परिमेय संख्याएक साधारण भिन्न m/n द्वारा निरूपित एक संख्या है, जहाँ अंश m एक पूर्णांक है और हर n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी परिमेय संख्या को आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q द्वारा निरूपित किया जाता है।

यदि कोई वास्तविक संख्या परिमेय नहीं है, तो वह है अपरिमेय संख्या . अपरिमेय संख्याओं को व्यक्त करने वाली दशमलव भिन्न अनंत होती हैं, आवर्त नहीं। अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बड़े लैटिन अक्षर I द्वारा दर्शाया जाता है।

वास्तविक संख्या कहलाती है बीजगणितीय, यदि यह परिमेय गुणांकों वाले कुछ बहुपद (गैर-शून्य डिग्री) का मूल है। कोई भी गैर-बीजीय संख्या कहलाती है उत्कृष्ट.

कुछ गुण:
समस्याओं को हल करते समय, यह सुविधाजनक है, साथ में अपरिमेय संख्या a + b√ c (जहाँ a, b परिमेय संख्याएँ हैं, c एक पूर्णांक है जो एक प्राकृतिक संख्या का वर्ग नहीं है), संख्या "संयुग्म" पर विचार करने के लिए यह a - b√ c: इसका योग और मूल - परिमेय संख्याओं के साथ गुणनफल। तो a + b√ c और a – b√ c पूर्णांक गुणांक वाले द्विघात समीकरण के मूल हैं।

समाधान के साथ समस्या

1. सिद्ध कीजिए कि

ए) संख्या 7;

बी) संख्या एलजी 80;

ग) संख्या 2 + 3 3;

तर्कहीन है।

a) मान लें कि संख्या 7 परिमेय है। फिर, ऐसे सह अभाज्य p और q हैं कि 7 = p/q, जहाँ से हमें p 2 = 7q 2 प्राप्त होता है। चूँकि p और q सहअभाज्य हैं, तो p 2, और इसलिए p, 7 से विभाज्य है। तब р = 7k, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है। अतः q 2 = 7k 2 = pk, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि p और q सहअभाज्य हैं।

तो, धारणा गलत है, इसलिए संख्या 7 अपरिमेय है।

b) मान लें कि संख्या lg 80 परिमेय है। फिर प्राकृतिक p और q ऐसे हैं कि lg 80 = p/q, या 10 p = 80 q, जहाँ से हमें 2 p–4q = 5 q–p मिलता है। यह ध्यान में रखते हुए कि संख्याएँ 2 और 5 सहअभाज्य हैं, हम पाते हैं कि अंतिम समानता केवल p–4q = 0 और q–p = 0 के लिए संभव है। जहाँ से p = q = 0, जो असंभव है, क्योंकि p और q हैं स्वाभाविक चुना है।

तो, धारणा गलत है, इसलिए lg 80 की संख्या अपरिमेय है।

ग) आइए इस संख्या को x से निरूपित करें।

फिर (x - 2) 3 \u003d 3, या x 3 + 6x - 3 \u003d 2 (3x 2 + 2)। इस समीकरण का वर्ग करने के बाद, हम पाते हैं कि x को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0।

इसकी परिमेय जड़ें केवल संख्या 1 और -1 हो सकती हैं। चेक से पता चलता है कि 1 और -1 मूल नहीं हैं।

अतः दी गई संख्या 2 + 3 3 अपरिमेय है।

2. यह ज्ञात है कि संख्याएँ a, b, ए -√ बी,- विवेकी। साबित करो ए और √ बीपरिमेय संख्याएँ भी हैं।

उत्पाद पर विचार करें

(ए - √ बी) (√ ए + √ बी) = ए - बी।

संख्या ए + √ बी,जो संख्या a - b और के अनुपात के बराबर है ए -√ बी,परिमेय है क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का भागफल एक परिमेय संख्या होती है। दो परिमेय संख्याओं का योग

½ (√ a + b) + ½ (√ a - b) = a

एक परिमेय संख्या है, उनका अंतर,

½ (√ ए + √ बी) - ½ (√ ए - √ बी) = √ बी,

एक परिमेय संख्या भी है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

3. सिद्ध कीजिए कि धनात्मक अपरिमेय संख्याएँ a और b हैं जिनके लिए संख्या a b प्राकृत है।

4. क्या परिमेय संख्याएँ a, b, c, d हैं जो समानता को संतुष्ट करती हैं?

(ए+बी 2 ) 2एन + (सी + डी√ 2 ) 2एन = 5 + 4√ 2,

जहाँ n एक प्राकृत संख्या है?

यदि शर्त में दी गई समानता संतुष्ट है, और संख्याएँ a, b, c, d परिमेय हैं, तो समानता भी संतुष्ट होती है:

(ए-बी 2 ) 2n + (c - d√ 2) 2n = 5 - 4√ 2.

लेकिन 5 - 4√ 2 (a - b√ 2 ) 2n + (c - d√ 2) 2n > 0. परिणामी अंतर्विरोध साबित करता है कि मूल समानता असंभव है।

उत्तर: वे मौजूद नहीं हैं।

5. यदि लंबाई a, b, c वाले खंड एक त्रिभुज बनाते हैं, तो सभी n = 2, 3, 4, के लिए। . . लंबाई n a , n b , n √ c वाले खंड भी एक त्रिभुज बनाते हैं। इसे साबित करो।

यदि लंबाई a, b, c वाले खंड एक त्रिभुज बनाते हैं, तो त्रिभुज असमानता देता है

इसलिए हमारे पास है

(एन √ ए + एन √ बी) एन> ए + बी> सी = (एन √ सी) एन,

एन √ ए + एन √ बी > एन √ सी।

त्रिभुज असमानता की जाँच के शेष मामलों को इसी तरह माना जाता है, जिससे निष्कर्ष निकलता है।

6. सिद्ध कीजिए कि अनंत दशमलव भिन्न 0.1234567891011121314... पूर्णांकोंक्रम में) एक अपरिमेय संख्या है।

जैसा कि आप जानते हैं, परिमेय संख्याओं को दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिनकी अवधि एक निश्चित चिह्न से शुरू होती है। इसलिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि यह अंश किसी भी चिन्ह के साथ आवधिक नहीं है। मान लीजिए कि यह मामला नहीं है, और कुछ अनुक्रम T, जिसमें n अंक हैं, एक भिन्न की अवधि है, जो दशमलव के mवें स्थान से शुरू होती है। यह स्पष्ट है कि mवें अंक के बाद गैर-शून्य अंक होते हैं, इसलिए अंक T के क्रम में एक गैर-शून्य अंक होता है। इसका मतलब यह है कि दशमलव बिंदु के बाद एम-वें अंक से शुरू होकर, एक पंक्ति में किसी भी n अंकों के बीच एक गैर-शून्य अंक होता है। हालाँकि, इस भिन्न के दशमलव संकेतन में, संख्या 100...0 = 10 k के लिए एक दशमलव संकेतन होना चाहिए, जहाँ k > m और k > n। यह स्पष्ट है कि यह प्रविष्टि m-वें अंक के दाईं ओर होगी और इसमें एक पंक्ति में n से अधिक शून्य होंगे। इस प्रकार, हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं, जो प्रमाण को पूरा करता है।

7. एक अनंत दशमलव भिन्न 0,a 1 a 2 ... दिया गया है। सिद्ध कीजिए कि इसके दशमलव अंकन के अंकों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है कि परिणामी भिन्न एक परिमेय संख्या को व्यक्त करे।

याद रखें कि एक भिन्न एक परिमेय संख्या को व्यक्त करता है यदि और केवल अगर यह आवर्त है, तो किसी चिन्ह से शुरू होकर। हम 0 से 9 तक की संख्याओं को दो वर्गों में विभाजित करते हैं: पहली श्रेणी में हम उन संख्याओं को शामिल करते हैं जो मूल भिन्न में एक सीमित संख्या में आती हैं, दूसरी श्रेणी में - वे जो मूल भिन्न में अनंत बार आती हैं। आइए एक आवधिक अंश लिखना शुरू करें, जिसे अंकों के मूल क्रमपरिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है। सबसे पहले, शून्य और अल्पविराम के बाद, हम प्रथम श्रेणी से सभी संख्याओं को यादृच्छिक क्रम में लिखते हैं - प्रत्येक जितनी बार मूल भिन्न की प्रविष्टि में होती है। लिखे गए प्रथम श्रेणी के अंक दशमलव के भिन्नात्मक भाग में अवधि से पहले होंगे। इसके बाद, हम दूसरी कक्षा की संख्याओं को एक बार किसी क्रम में लिखते हैं। हम इस संयोजन को एक अवधि घोषित करेंगे और इसे अनंत बार दोहराएंगे। इस प्रकार, हमने कुछ परिमेय संख्याओं को व्यक्त करते हुए आवश्यक आवर्त भिन्न को लिखा है।

8. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक अपरिमित दशमलव भिन्न में मनमानी लंबाई के दशमलव अंकों का एक क्रम होता है, जो भिन्न के विस्तार में अपरिमित रूप से कई बार आता है।

मान लीजिए m एक मनमाना रूप से दी गई प्राकृत संख्या है। आइए इस अनंत दशमलव अंश को खंडों में विभाजित करें, प्रत्येक में एम अंकों के साथ। असीम रूप से ऐसे कई खंड होंगे। दूसरी ओर, विभिन्न प्रणालियाँ, m अंकों से मिलकर, केवल 10 m हैं, अर्थात, एक परिमित संख्या। नतीजतन, इनमें से कम से कम एक सिस्टम को यहां असीमित रूप से कई बार दोहराया जाना चाहिए।

टिप्पणी। अपरिमेय संख्याओं के लिए √ 2 , or इहम यह भी नहीं जानते कि कौन से अंक को अनंत दशमलव में कई बार दोहराया जाता है जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं, हालांकि इनमें से प्रत्येक संख्या को कम से कम दो अलग-अलग ऐसे अंकों को आसानी से दिखाया जा सकता है।

9. प्राथमिक रूप से सिद्ध कीजिए कि समीकरण का धनात्मक मूल

तर्कहीन है।

x> 0 के लिए, समीकरण का बायां पक्ष x के साथ बढ़ता है, और यह देखना आसान है कि x = 1.5 पर यह 10 से कम है, और x = 1.6 पर यह 10 से अधिक है। इसलिए, इसका एकमात्र सकारात्मक मूल है समीकरण अंतराल (1.5; 1.6) के अंदर है।

हम मूल को अपरिमेय भिन्न p/q के रूप में लिखते हैं, जहाँ p और q कुछ सहअभाज्य प्राकृत संख्याएँ हैं। फिर, x = p/q के लिए, समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

पी 5 + पीक्यू 4 = 10क्यू 5,

जहाँ से यह पता चलता है कि p 10 का भाजक है, इसलिए, p संख्या 1, 2, 5, 10 में से एक के बराबर है। हालाँकि, अंश 1, 2, 5, 10 के साथ भिन्नों को लिखने पर, हम तुरंत ध्यान देते हैं कि इनमें से कोई भी संख्या नहीं है। वे अंतराल के अंदर आते हैं (1.5; 1.6)।

अत: मूल समीकरण के धनात्मक मूल को इस प्रकार नहीं दर्शाया जा सकता है सामान्य अंश, जिसका अर्थ है कि यह एक अपरिमेय संख्या है।

10. क) क्या तल पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि किसी बिंदु X के लिए खण्ड XA, XB और XC में से कम से कम एक की लंबाई अपरिमेय है?

b) त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक परिमेय होते हैं। सिद्ध कीजिए कि इसके परिबद्ध वृत्त के केंद्र के निर्देशांक भी परिमेय होते हैं।

ग) क्या कोई ऐसा गोला है जिस पर ठीक एक परिमेय बिंदु है? (परिमेय बिंदु वह बिंदु है जिसके लिए तीनों कार्तीय निर्देशांक परिमेय संख्याएँ हैं।)

क) हाँ, वहाँ हैं। मान लीजिए C खंड AB का मध्यबिंदु है। तब XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2)/2। यदि संख्या AB 2 अपरिमेय है, तो संख्याएँ XA, XB और XC एक ही समय पर परिमेय नहीं हो सकती हैं।

b) माना (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) और (a 3 ; b 3) त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक हैं। इसके परिबद्ध वृत्त के केंद्र के निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली द्वारा दिए गए हैं:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2।

यह जांचना आसान है कि ये समीकरण रैखिक हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरणों की मानी गई प्रणाली का समाधान तर्कसंगत है।

ग) ऐसा क्षेत्र मौजूद है। उदाहरण के लिए, समीकरण वाला एक गोला

(x - 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2।

निर्देशांक के साथ बिंदु O (0; 0; 0) इस गोले पर स्थित एक परिमेय बिंदु है। गोले के शेष बिंदु अपरिमेय हैं। आइए इसे साबित करें।

इसके विपरीत मान लें: मान लीजिए (x; y; z) गोले का एक परिमेय बिंदु है, जो बिंदु O से भिन्न है। यह स्पष्ट है कि x 0 से भिन्न है, क्योंकि x = 0 के लिए एक अद्वितीय हल है (0; 0 ; 0), जिसमें अब हम रुचि नहीं ले सकते। आइए कोष्ठकों का विस्तार करें और √ 2 व्यक्त करें:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

जो परिमेय x, y, z और अपरिमेय 2 के लिए नहीं हो सकता। अतः, विचाराधीन गोले पर O(0; 0; 0) एकमात्र परिमेय बिंदु है।

समाधान के बिना समस्या

1. सिद्ध कीजिए कि संख्या

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

तर्कहीन है।

2. किस पूर्णांक m और n के लिए समानता (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2) n धारण करती है?

3. क्या कोई ऐसी संख्या है कि संख्याएँ a - 3 और 1/a + 3 पूर्णांक हैं?

4. क्या संख्याएँ 1, 2, 4 एक समान्तर श्रेणी की सदस्य हो सकती हैं (जरूरी नहीं कि आसन्न हों)?

5. सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए समीकरण (x + y √ 3) 2n = 1 + 3 का परिमेय संख्याओं (x; y) में कोई हल नहीं है।

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ . Q सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

परिमेय संख्याओं को विभाजित किया गया है: सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य।

प्रत्येक परिमेय संख्या को निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से जोड़ा जा सकता है। बिंदुओं के लिए "बाईं ओर" संबंध इन बिंदुओं के निर्देशांक के लिए "से कम" संबंध से मेल खाता है। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक ऋणात्मक संख्या शून्य से कम है और प्रत्येक धनात्मक संख्या; दो ऋणात्मक संख्याओं में से, जिसका मापांक अधिक है वह कम है। तो, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

किसी भी परिमेय संख्या को दशमलव आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ।

परिमेय संख्याओं पर संचालन के लिए एल्गोरिदम शून्य और सकारात्मक अंशों पर संबंधित संचालन के लिए संकेतों के नियमों का पालन करते हैं। Q शून्य से विभाजन के अलावा अन्य भाग करता है।

कोई भी रेखीय समीकरण, अर्थात। फॉर्म का समीकरण ax+b=0, कहा पे , सेट क्यू पर हल करने योग्य है, लेकिन कोई नहीं द्विघात समीकरणतरह , परिमेय संख्याओं में हल करने योग्य है। निर्देशांक रेखा के प्रत्येक बिंदु का एक परिमेय बिंदु नहीं होता है। छठी शताब्दी ईसा पूर्व के अंत में भी। एन। ई पाइथागोरस के स्कूल में, यह साबित हुआ कि एक वर्ग का विकर्ण उसकी ऊंचाई के अनुरूप नहीं है, जो इस कथन के समान है: "समीकरण की कोई तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं।" उपरोक्त सभी ने सेट क्यू को विस्तारित करने की आवश्यकता को जन्म दिया, एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा पेश की गई थी। अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को अक्षर द्वारा निरूपित करें जे .

एक निर्देशांक रेखा पर, वे सभी बिंदु जिनमें परिमेय निर्देशांक नहीं होते हैं, अपरिमेय निर्देशांक होते हैं। , जहां r- सेट वास्तविक संख्या. एक सार्वभौमिक तरीके सेवास्तविक संख्याओं के असाइनमेंट दशमलव हैं। आवधिक दशमलव परिमेय संख्याओं को परिभाषित करते हैं, और गैर-आवधिक दशमलव अपरिमेय संख्याओं को परिभाषित करते हैं। तो, 2.03 (52) एक परिमेय संख्या है, 2.03003000000003 ... (प्रत्येक निम्नलिखित अंक "3" की अवधि को एक शून्य अधिक लिखा जाता है) एक अपरिमेय संख्या है।

समुच्चय क्यू और आर में सकारात्मकता के गुण हैं: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच एक परिमेय संख्या होती है, उदाहरण के लिए, ईकोइ ए
प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए α एक कमी के साथ और किसी भी सटीकता के साथ अधिकता के साथ एक तर्कसंगत सन्निकटन निर्दिष्ट कर सकता है: a< α
कुछ परिमेय संख्याओं से एक मूल निकालने की क्रिया अपरिमेय संख्याओं की ओर ले जाती है। एक प्राकृतिक डिग्री की जड़ निकालना एक बीजीय संक्रिया है, अर्थात। इसका परिचय फॉर्म के बीजीय समीकरण के समाधान से जुड़ा है . यदि n विषम है, अर्थात्। n=2k+1, कहा पे , तो समीकरण का एक ही मूल है। यदि n सम है, n=2k, जहाँ , तो a=0 के लिए समीकरण का एक मूल x=0 है, a के लिए<0 корней нет, при a>0 के दो मूल हैं जो एक दूसरे के विपरीत हैं। जड़ निकालना एक प्राकृतिक शक्ति को ऊपर उठाने का उल्टा ऑपरेशन है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल (संक्षिप्तता के लिए, मूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या b है, जो समीकरण का मूल है। संख्या a से nवें अंश का मूल प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। n=2 के लिए, रूट 2 की डिग्री इंगित नहीं की गई है: .

उदाहरण के लिए, क्योंकि 2 2 =4 और 2>0; , क्योंकि 3 3 =27 और 3>0; मौजूद नहीं है क्योंकि -4<0.

n=2k और a>0 के लिए, समीकरण (1) के मूल को और के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 \u003d 4 के मूल 2 और -2 हैं।

n विषम के लिए, समीकरण (1) में किसी के लिए एक ही मूल है। अगर a≥0, तो - इस समीकरण की जड़। यदि एक<0, то –а>0 और - समीकरण की जड़। तो, समीकरण x 3 \u003d 27 का एक मूल है।

सभी परिमेय संख्याओं को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह पूर्ण संख्याओं पर लागू होता है (उदाहरण के लिए, 12, -6, 0), और अंतिम दशमलव अंश (उदाहरण के लिए, 0.5; -3.8921), और अनंत आवधिक दशमलव अंश (उदाहरण के लिए, 0.11(23); -3 ,(87) ))।

हालांकि अनंत अनावर्ती दशमलवसाधारण भिन्नों के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। वे यही हैं तर्कहीन संख्या(यानी तर्कहीन)। ऐसी संख्या का एक उदाहरण है, जो लगभग 3.14 के बराबर है। हालाँकि, यह वास्तव में क्या बराबर है, यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि संख्या 4 के बाद अन्य संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला है जिसमें दोहराव की अवधि को अलग नहीं किया जा सकता है। उसी समय, हालांकि संख्या को सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, इसका एक विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। संख्या किसी भी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास की लंबाई का अनुपात है। इस प्रकार अपरिमेय संख्याएँ प्रकृति में मौजूद होती हैं, जैसा कि परिमेय संख्याएँ होती हैं।

अपरिमेय संख्याओं का एक अन्य उदाहरण धनात्मक संख्याओं का वर्गमूल है। कुछ संख्याओं से जड़ें निकालने से परिमेय मान मिलते हैं, दूसरों से - अपरिमेय। उदाहरण के लिए, 4 = 2, अर्थात 4 का मूल एक परिमेय संख्या है। लेकिन √2, √5, √7 और कई अन्य परिणाम अपरिमेय संख्या में होते हैं, अर्थात, उन्हें केवल एक सन्निकटन के साथ निकाला जा सकता है, एक निश्चित दशमलव स्थान पर गोल किया जाता है। इस मामले में, अंश गैर-आवधिक प्राप्त होता है। यानी इन संख्याओं का मूल क्या है, यह निश्चित रूप से और निश्चित रूप से कहना असंभव है।

तो 5 2 और 3 के बीच की एक संख्या है, क्योंकि 4 = 2, और √9 = 3। हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 5, 9 की तुलना में 5 के करीब है, इसलिए 5, 5 के करीब है। 5. दरअसल, 5 2.23 या √5 2.24।

अपरिमेय संख्याएँ अन्य गणनाओं में भी प्राप्त होती हैं (और न केवल जड़ों को निकालते समय), वे ऋणात्मक होती हैं।

अपरिमेय संख्याओं के संबंध में, हम कह सकते हैं कि ऐसी संख्या द्वारा व्यक्त की गई लंबाई को मापने के लिए हम चाहे कोई भी इकाई खंड लें, हम निश्चित रूप से इसे मापने में सक्षम नहीं होंगे।

अंकगणितीय संक्रियाओं में, अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के साथ भाग ले सकती हैं। इसी समय, कई नियमितताएं हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक अंकगणितीय संक्रिया में केवल परिमेय संख्याएँ शामिल हैं, तो परिणाम हमेशा एक परिमेय संख्या होता है। यदि केवल अपरिमेय संख्याएँ संक्रिया में भाग लेती हैं, तो स्पष्ट रूप से यह कहना असंभव है कि कोई परिमेय संख्या निकलेगी या अपरिमेय संख्या।

उदाहरण के लिए, यदि आप दो अपरिमेय संख्याओं √2 * √2 को गुणा करते हैं, तो आपको 2 प्राप्त होता है - यह एक परिमेय संख्या है। दूसरी ओर, 2 * √3 = √6 एक अपरिमेय संख्या है।

यदि एक अंकगणितीय संक्रिया में एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या शामिल है, तो एक अपरिमेय परिणाम प्राप्त होगा। उदाहरण के लिए, 1 + 3.14... = 4.14...; 17 - 4.

√17 - 4 एक अपरिमेय संख्या क्यों है? कल्पना कीजिए कि आपको एक परिमेय संख्या x प्राप्त होती है। तब 17 = x + 4. लेकिन x + 4 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि हमने यह मान लिया था कि x परिमेय संख्या है। संख्या 4 भी परिमेय है, इसलिए x + 4 परिमेय है। हालांकि, एक परिमेय संख्या अपरिमेय 17 के बराबर नहीं हो सकती। इसलिए, यह धारणा कि √17 - 4 एक परिमेय परिणाम देता है, गलत है। अंकगणितीय संक्रिया का परिणाम अपरिमेय होगा।

हालाँकि, इस नियम का एक अपवाद है। यदि हम एक अपरिमेय संख्या को 0 से गुणा करते हैं, तो हमें एक परिमेय संख्या 0 प्राप्त होती है।
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