संख्यात्मक अनुक्रम स्थापित करने के तरीके। एक संख्या अनुक्रम की परिभाषा

विडा आप= एफ(एक्स), एक्सके बारे में एन, कहाँ पे एनप्राकृतिक संख्याओं का समूह है (या प्राकृतिक तर्क का एक कार्य), निरूपित आप=एफ(एन) या आप 1 ,आप 2 ,…, Y n,…. मूल्यों आप 1 ,आप 2 ,आप 3 ,… अनुक्रम के क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ... सदस्य कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए आप= एन 2 लिखा जा सकता है:

आप 1 = 1 2 = 1;

आप 2 = 2 2 = 4;

आप 3 = 3 2 = 9;…वाई एन = एन 2 ;…

अनुक्रम स्थापित करने के तरीके।अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से तीन विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक और आवर्तक।

1. एक अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है यदि उसका सूत्र दिया गया हो एन-वें सदस्य:

Y n=एफ(एन).

उदाहरण। Y n= 2एन- 1 – विषम संख्याओं का क्रम: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. वर्णनात्मक एक संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का तरीका यह है कि यह बताता है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1. "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 के बराबर हैं।" इसका मतलब यह है, हम बात कर रहे हैंस्थिर अनुक्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में।

उदाहरण 2. "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में हैं।" इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

3. अनुक्रम निर्दिष्ट करने का आवर्तक तरीका यह है कि एक नियम इंगित किया जाता है जो किसी को गणना करने की अनुमति देता है एन- अनुक्रम का सदस्य, यदि इसके पिछले सदस्य ज्ञात हैं। नाम आवर्तक विधि लैटिन शब्द . से आया है पुनरावर्ती- वापस लौटें। सबसे अधिक बार, ऐसे मामलों में, एक सूत्र का संकेत दिया जाता है जो व्यक्त करने की अनुमति देता है एनपिछले वाले के माध्यम से अनुक्रम का वां सदस्य, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्यों को निर्दिष्ट करें।

उदाहरण 1 आप 1 = 3; वाई एन = वाई एन-1 + 4 अगर एन = 2, 3, 4,….

यहां आप 1 = 3; आप 2 = 3 + 4 = 7;आप 3 = 7 + 4 = 11; ….

यह देखा जा सकता है कि इस उदाहरण में प्राप्त अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: Y n= 4एन- 1.

उदाहरण 2 आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n = Y n –2 + Y n-1 अगर एन = 3, 4,….

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

इस उदाहरण में रचित अनुक्रम का गणित में विशेष रूप से अध्ययन किया गया है क्योंकि इसमें कई दिलचस्प गुण और अनुप्रयोग हैं। इसे 13वीं शताब्दी के इतालवी गणितज्ञ के बाद - फिबोनाची अनुक्रम कहा जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करना बहुत आसान है, लेकिन विश्लेषणात्मक रूप से यह बहुत कठिन है। एनवें फाइबोनैचि संख्या को निम्न सूत्र द्वारा इसकी क्रमसूचक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है।

पहली नज़र में, के लिए सूत्र एनफाइबोनैचि संख्या असंभव लगती है, क्योंकि सूत्र जो केवल प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है, में वर्गमूल होते हैं, लेकिन आप पहले कुछ के लिए इस सूत्र की "मैन्युअल रूप से" वैधता की जांच कर सकते हैं। एन.

संख्यात्मक अनुक्रमों के गुण।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य का एक विशेष मामला है, इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कई गुणों पर भी विचार किया जाता है।

परिभाषा . परवर्ती ( Y n} वृद्धि कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से बड़ा है:

आप 1 y 2 y 3 y n n +1

परिभाषा। अनुक्रम ( Y n} घटती हुई कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से कम है:

आप 1 > आप 2 > आप 3 > … > Y n> Y n +1 > … .

बढ़ते और घटते क्रम एक सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रमों द्वारा एकजुट होते हैं।

उदाहरण 1 आप 1 = 1; Y n= एन 2 एक बढ़ता हुआ क्रम है।

इस प्रकार, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (एक अंकगणितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण)। एक संख्यात्मक अनुक्रम अंकगणितीय होता है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक सदस्य, पहले (और परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण। किस मूल्य पर एक्ससंख्या 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+12 एक परिमित अंकगणितीय प्रगति बनाता है?

विशेषता गुण के अनुसार, दिए गए व्यंजकों को संबंध को संतुष्ट करना चाहिए

5एक्स – 4 = ((3एक्स + 2) + (11एक्स + 12))/2.

इस समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है एक्स= –5,5. इस मूल्य के साथ एक्सदिए गए भाव 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+ 12 क्रमशः मान -14.5 लेते हैं, –31,5, –48,5. यह एक समांतर श्रेणी है, इसका अंतर -17 है।

ज्यामितीय अनुक्रम।

एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसके सभी सदस्य गैर-शून्य हैं और जिनमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। क्यू, को एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है, और संख्या क्यू- एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है ( बी नहीं) संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया गया

बी 1 = बी, बी नहीं = बी नहीं –1 क्यू (एन = 2, 3, 4…).

(बीऔर क्यू-दिए गए नंबर, बी ≠ 0, क्यू ≠ 0).

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... - बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति बी = 2, क्यू = 3.

उदाहरण 2. 2, -2, 2, -2, ... – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 2,क्यू= –1.

उदाहरण 3. 8, 8, 8, 8,… – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 8, क्यू= 1.

एक ज्यामितीय प्रगति एक बढ़ता हुआ क्रम है यदि बी 1 > 0, क्यू> 1, और घट रहा है अगर बी 1 > 0, 0 क्यू

एक ज्यामितीय प्रगति के स्पष्ट गुणों में से एक यह है कि यदि कोई अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का अनुक्रम, अर्थात।

बी 1 2 , बी 2 2 , बी 3 2 , …, बी नहीं 2,... एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद के बराबर है बी 1 2 , और हर है क्यू 2 .

सूत्र एन-एक ज्यामितीय प्रगति के वें पद का रूप है

बी नहीं= बी 1 क्यू एन- 1 .

आप एक परिमित ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

मान लीजिए कि एक परिमित ज्यामितीय प्रगति है

बी 1 ,बी 2 ,बी 3 , …, बी नहीं

रहने दो एस एन -इसके सदस्यों का योग, अर्थात्।

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + … +बी नहीं.

यह स्वीकार किया जाता है कि क्यूनंबर 1. निर्धारित करने के लिए एस नहींएक कृत्रिम चाल लागू की जाती है: अभिव्यक्ति के कुछ ज्यामितीय परिवर्तन किए जाते हैं एस एन क्यू.

एस एन क्यू = (बी 1 + बी 2 + बी 3 + … + बी नहीं –1 + बी नहीं)क्यू = बी 2 + बी 3 + बी 4 + …+ बी नहीं+ बी एन क्यू = एस नहीं+ बी एन क्यू– बी 1 .

इस प्रकार से, एस एन क्यू= एस नहीं +बी एन क्यू - बी 1 और इसलिए

यह सूत्र है उम्मा n एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यमामले के लिए जब क्यू≠ 1.

पर क्यू= 1 सूत्र अलग से नहीं निकाला जा सकता है, यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में एस नहीं= ए 1 एन.

इसे एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है क्योंकि इसमें पहले को छोड़कर प्रत्येक पद, पिछले और बाद के पदों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है। दरअसल, चूंकि

बी एन = बी एन- 1 क्यू;

बीएन = बीएन+ 1 /क्यू,

फलस्वरूप, बी नहीं 2= बी एन- 1 बीएन+ 1 और निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (एक ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण):

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले (और एक परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के शब्दों के उत्पाद के बराबर है।

अनुक्रम सीमा।

एक क्रम होने दो ( ग नहीं} = {1/एन}. इस अनुक्रम को हार्मोनिक कहा जाता है, क्योंकि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के बीच हार्मोनिक माध्य है। संख्याओं का ज्यामितीय माध्य एऔर बीएक संख्या है

अन्यथा, अनुक्रम को अपसारी कहा जाता है।

इस परिभाषा के आधार पर, उदाहरण के लिए, एक सीमा के अस्तित्व को सिद्ध किया जा सकता है ए = 0हार्मोनिक अनुक्रम के लिए ( ग नहीं} = {1/एन) मान लीजिए एक मनमाना लघु धनात्मक संख्या है। हम अंतर पर विचार करते हैं

क्या ऐसा है एनकि सबके लिए नहीं एनअसमानता 1 /एन? अगर के रूप में लिया एनसे बड़ी कोई प्राकृत संख्या 1/ε , तो सभी के लिए एन नहींअसमानता 1 /एन 1/एन , क्यू.ई.डी.

किसी विशेष अनुक्रम के लिए एक सीमा के अस्तित्व को सिद्ध करना कभी-कभी बहुत कठिन होता है। सबसे सामान्य अनुक्रमों का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है और उन्हें संदर्भ पुस्तकों में सूचीबद्ध किया जाता है। ऐसे महत्वपूर्ण प्रमेय हैं जो यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाते हैं कि किसी दिए गए अनुक्रम में पहले से ही अध्ययन किए गए अनुक्रमों के आधार पर एक सीमा होती है (और यहां तक कि इसकी गणना भी होती है)।

प्रमेय 1. यदि किसी अनुक्रम की एक सीमा होती है, तो वह परिबद्ध होता है।

प्रमेय 2. यदि कोई अनुक्रम नीरस और परिबद्ध है, तो उसकी एक सीमा होती है।

प्रमेय 3. यदि अनुक्रम ( एक} एक सीमा है ए, फिर अनुक्रम ( कर सकते हैं}, {एक+ ग) और (| एक|} सीमाएं हैं सीए, ए +सी, |ए| क्रमशः (यहाँ सीएक मनमाना संख्या है)।

प्रमेय 4. यदि अनुक्रम ( एक} और ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एऔर बी कड़ाही + क्यूबी एन) की एक सीमा है देहात+ क्यूबी.

प्रमेय 5. यदि अनुक्रम ( एक) और ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एऔर बीक्रमशः, फिर अनुक्रम ( एक एन बी नहीं) की एक सीमा है एबी.

प्रमेय 6. यदि अनुक्रम ( एक} और ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एऔर बीक्रमशः, और इसके अतिरिक्त बी एन 0 और ब 0, फिर अनुक्रम ( ए एन / बी एन) की एक सीमा है ए/बी.

अन्ना चुगैनोवा

व्यावहारिक कार्य संख्या 13

संख्यात्मक अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से सेट करना, अनुक्रम के सदस्यों की गणना करना। अनुक्रमों की सीमा ढूँढना और कार्य

लक्ष्य:संख्यात्मक अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से लिखना सीखना, उनके गुणों का वर्णन करना; अनुक्रमों और कार्यों की सीमाएँ ज्ञात कीजिए।

संक्षिप्त सिद्धांत

प्राकृतिक तर्क n (n=1; 2; 3; 4;...) के फलन y=f (n) को संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है।

संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के निम्नलिखित तरीके हैं:

मौखिक तरीका।यह शब्दों में वर्णित अनुक्रम के सदस्यों की व्यवस्था के लिए एक पैटर्न या नियम है।

विश्लेषणात्मक तरीका।अनुक्रम nवें सदस्य के सूत्र द्वारा दिया गया है: y n = f(n)। इस सूत्र का उपयोग करके, आप अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

पुनरावर्ती तरीका।एक सूत्र दिया गया है जिसके द्वारा प्रत्येक अगला पद पिछले पदों के माध्यम से ज्ञात किया जाता है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की एक आवर्तक विधि के मामले में, अनुक्रम के एक या अधिक पहले सदस्य हमेशा अतिरिक्त रूप से निर्दिष्ट होते हैं।

संख्या क्रम कहलाता है की बढ़ती, यदि इसके सदस्य बढ़ रहे हैं (n + 1 पर n पर) और घट रहे हैं यदि इसके सदस्य कमी(एन + 1 एन के लिए)।

बढ़ते या घटते संख्यात्मक क्रम कहलाते हैं नीरस.

आज्ञा देना कि रेखा का एक बिंदु हो और एक धनात्मक संख्या हो। अंतराल को बिंदु का पड़ोस कहा जाता है, और संख्या को पड़ोस की त्रिज्या कहा जाता है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम पर विचार करें जिसका सामान्य शब्द एक निश्चित संख्या b तक पहुंचता है जैसे-जैसे क्रमिक संख्या बढ़ती है एन. इस मामले में, संख्या अनुक्रम की एक सीमा होती है। इस अवधारणा की अधिक कठोर परिभाषा है।

संख्या b को अनुक्रम की सीमा (y n) कहा जाता है यदि बिंदु b के किसी पूर्व-चयनित पड़ोस में अनुक्रम के सभी सदस्य होते हैं, जो किसी संख्या से शुरू होते हैं

प्रमेय 1 तो अगर:

दो अनुक्रमों का योग/अंतर सीमा उनमें से प्रत्येक से सीमाओं के योग/अंतर के बराबर है, यदि बाद वाले मौजूद हैं:

दो अनुक्रमों के उत्पाद की सीमा उनमें से प्रत्येक की सीमाओं के उत्पाद के बराबर है, यदि कारकों की सीमाएं मौजूद हैं:

दो अनुक्रमों के अनुपात की सीमा उनमें से प्रत्येक की सीमा के अनुपात के बराबर है, यदि ये सीमाएँ मौजूद हैं और हर की सीमा शून्य के बराबर नहीं है:

किसी भी प्राकृतिक संकेतक m और किसी गुणांक k के लिए, संबंध सत्य है:

प्रमेय 1 तो अगर:

दो कार्यों के योग/अंतर की सीमा उनमें से प्रत्येक की सीमाओं के योग/अंतर के बराबर है, यदि बाद वाले मौजूद हैं:

;

दो कार्यों के उत्पाद की सीमा उनमें से प्रत्येक की सीमाओं के उत्पाद के बराबर है, यदि कारकों की सीमाएं मौजूद हैं:

दो कार्यों के अनुपात की सीमा उनमें से प्रत्येक की सीमाओं के अनुपात के बराबर है, यदि ये सीमाएं मौजूद हैं और हर की सीमा शून्य के बराबर नहीं है:

अचर गुणक को सीमा चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है:

फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x=a पर निरंतर कहा जाता है यदि फ़ंक्शन y=f(x) की सीमा x की ओर जाती है, तो बिंदु x=a पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है।

पहली उल्लेखनीय सीमा: .

कक्षा कार्य के लिए व्यावहारिक कार्य

अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करें और इस अनुक्रम के पहले पांच शब्द खोजें:

क) प्रत्येक प्राकृत संख्या को उसकी विपरीत संख्या दी गई है;

बी) प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को इस संख्या का वर्गमूल सौंपा गया है;

ग) प्रत्येक प्राकृत संख्या को संख्या -5 दी गई है;

d) प्रत्येक प्राकृत संख्या को उसके वर्ग का आधा भाग दिया जाता है।

2. nवें पद के लिए दिए गए सूत्र का प्रयोग करते हुए, अनुक्रम के प्रथम पाँच पदों की गणना कीजिए (y n):

3. क्या अनुक्रम सीमित है?

4. क्रम घट रहा है या बढ़ रहा है?

5. अंतराल के रूप में त्रिज्या r=0.5 के साथ बिंदु a=-3 के पड़ोस को लिखें।

6. किस बिंदु का पड़ोस और किस त्रिज्या का अंतराल (2,1; 2,3) है।

7. अनुक्रम सीमा की गणना करें:

8. गणना करें:

स्वतंत्र काम

विकल्प 1

भाग ए

भाग बी

भाग सी

7. गणना करें:

विकल्प 2

भाग ए

भाग बी

6. अनुक्रम सीमा की गणना करें:

भाग सी

7. गणना करें:

विकल्प 3

भाग ए

भाग बी

6. अनुक्रम सीमा की गणना करें:

भाग सी

7. गणना करें:

विकल्प 4

भाग ए

भाग बी

6. अनुक्रम सीमा की गणना करें:

भाग सी

7. गणना करें:

परीक्षण प्रश्न

एक संख्या अनुक्रम क्या है?

संख्या अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तरीके क्या हैं?

किस क्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा गया है?

किस क्रम को नीचे से परिबद्ध कहा गया है?

एक आरोही क्रम क्या है?

अवरोही क्रम क्या है?

संख्या अनुक्रम की सीमा क्या है?

अनुक्रमों की सीमाओं की गणना के नियमों की सूची बनाएं।

कार्यों की सीमा की गणना के लिए नियमों की सूची बनाएं।

बीजगणित। श्रेणी 9
पाठ #32
की तिथि:_____________
शिक्षक: गोरबेंको अलीना सर्गेवनस
विषय: संख्यात्मक अनुक्रम, इसे सेट करने के तरीके और गुण
पाठ का प्रकार: संयुक्त
पाठ का उद्देश्य: एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा और परिभाषा देना, तरीकों पर विचार करना
संख्यात्मक अनुक्रमों का असाइनमेंट
कार्य:
शैक्षिक: एक संख्यात्मक अनुक्रम और एक सदस्य की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करने के लिए
संख्यात्मक अनुक्रम; विश्लेषणात्मक, मौखिक, आवर्तक और
संख्यात्मक अनुक्रम स्थापित करने के चित्रमय तरीके; संख्याओं के प्रकारों पर विचार करें
क्रम; ईएईए की तैयारी;
विकासशील: गणितीय साक्षरता, सोच, गणना तकनीक, कौशल का विकास
सूत्र चुनते समय तुलना; गणित में रुचि पैदा करना;
शैक्षिक: स्वतंत्र गतिविधि के कौशल की शिक्षा; स्पष्टता और
काम में संगठन; प्रत्येक छात्र को सफल होने में सक्षम बनाना;
उपकरण: स्कूल की आपूर्ति, ब्लैकबोर्ड, चाक, पाठ्यपुस्तक, हैंडआउट्स।
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण
 आपसी अभिवादन;
अनुपस्थित फिक्सिंग;
 पाठ के विषय की घोषणा;
छात्रों द्वारा पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।
अनुक्रम गणित में सबसे बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। अनुक्रम कर सकते हैं
संख्याओं, बिंदुओं, कार्यों, वैक्टर आदि से बना हो।
आज के पाठ में हम "संख्यात्मक अनुक्रम" की अवधारणा से परिचित होंगे, हम जानेंगे कि क्या
अनुक्रम हो सकते हैं, आइए प्रसिद्ध अनुक्रमों से परिचित हों।

द्वितीय. बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।
क्या आप पूर्ण संख्या रेखा पर या उसके सतत पर परिभाषित फलन जानते हैं?
III.
अंतराल:
रैखिक कार्य y \u003d kx + v,
द्विघात फलन y \u003d ax2 + inx + c,


फलन y =



फलन y = |x|.
नए ज्ञान की धारणा के लिए तैयारी
प्रत्यक्ष आनुपातिकता y \u003d kx,
व्युत्क्रम आनुपातिकता y \u003d k / x,
घन फलन y = x3
,
लेकिन अन्य सेटों पर परिभाषित कार्य हैं।
उदाहरण। कई परिवारों का एक रिवाज होता है, एक तरह की रस्म: बच्चे के जन्मदिन पर
माता-पिता उसे चौखट पर लाते हैं और उस पर जन्मदिन के लड़के की वृद्धि का जश्न मनाते हैं।
बच्चा बढ़ता है, और वर्षों से, जाम्ब पर निशान की एक पूरी सीढ़ी दिखाई देती है। तीन, पांच, दो: यह है
साल दर साल वृद्धि का क्रम। लेकिन एक और क्रम है, अर्थात्
इसके सदस्यों को सेरिफ़ के आगे सावधानीपूर्वक लिखा जाता है। यह विकास मूल्यों का एक क्रम है।
दोनों क्रम एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।
दूसरे को पहले से जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
विकास पिछले सभी वर्षों के लाभ का योग है।
कुछ और मुद्दों पर विचार करें।
टास्क 1. गोदाम में 500 टन कोयला है, प्रतिदिन 30 टन कोयले की डिलीवरी होती है कितना कोयला होगा
1 दिन में स्टॉक में? 2 दिन? 3 दिन? दिन 4? दिन 5?
(छात्रों के उत्तर बोर्ड पर लिखे गए हैं: 500, 530, 560, 590, 620)।
कार्य 2. गहन विकास की अवधि के दौरान, एक व्यक्ति प्रति वर्ष औसतन 5 सेमी बढ़ता है। अब विकास
छात्र एस 180 सेमी है। वह 2026 में कितना लंबा होगा? (2 मी 30 सेमी)। लेकिन यह नहीं होना है
शायद। क्यों?
टास्क 3. हर दिन, इन्फ्लूएंजा से पीड़ित प्रत्येक व्यक्ति 4 अन्य लोगों को संक्रमित कर सकता है।
हमारे स्कूल के सभी छात्र (300 लोग) कितने दिनों में बीमार पड़ेंगे? (4 दिनों के बाद)।
ये प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित फलनों के उदाहरण हैं - संख्यात्मक
क्रम।
पाठ का लक्ष्य है: अनुक्रम के किसी भी सदस्य को खोजने के तरीके खोजें।
पाठ उद्देश्य: पता करें कि संख्यात्मक अनुक्रम क्या है और कैसे
क्रम।
चतुर्थ। नई सामग्री सीखना
परिभाषा: एक संख्यात्मक अनुक्रम एक सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है
प्राकृतिक संख्याएँ (अनुक्रम प्रकृति के ऐसे तत्वों का निर्माण करते हैं कि
क्रमांकित किया जा सकता है)।
संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा के सिद्धांत के निर्माण से बहुत पहले उठी और विकसित हुई
कार्य। यहाँ अनंत संख्या अनुक्रमों के उदाहरण दिए गए हैं जिन्हें वापस जाना जाता है
पुरावशेष:
1, 2, 3, 4, 5, : प्राकृत संख्याओं का क्रम;
2, 4, 6, 8, 10, : सम संख्याओं का क्रम;
1, 3, 5, 7, 9, : विषम संख्याओं का क्रम;
1, 4, 9, 16, 25, : प्राकृत संख्याओं के वर्गों का क्रम;
2, 3, 5, 7, 11, : अभाज्य संख्याओं का क्रम;
,
1,
इनमें से प्रत्येक श्रृंखला के सदस्यों की संख्या अनंत है; पहले पांच क्रम
, : प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रमों का क्रम।
,
नीरस रूप से बढ़ रहा है, बाद वाला नीरस रूप से घट रहा है।

पदनाम: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:अनुक्रम सदस्य की अनुक्रम संख्या।
(वाईएन) अनुक्रम, अनुक्रम का वां सदस्य।
(ए) अनुक्रम, अनुक्रम का वां सदस्य।
an1 अनुक्रम का पिछला सदस्य है,
अनुक्रम का एक +1 बाद का सदस्य।
अनुक्रम परिमित और अनंत हैं, बढ़ते और घटते हैं।
विद्यार्थियों के लिए कार्य: अनुक्रम के पहले 5 सदस्यों को लिखें:
पहली प्राकृतिक संख्या से 3 की वृद्धि होती है।
10 से 2 गुना वृद्धि और 1 की कमी।
संख्या 6 से, वैकल्पिक रूप से 2 की वृद्धि और 2 बार की वृद्धि करें।
इन संख्या श्रृंखलाओं को संख्या क्रम भी कहा जाता है।
अनुक्रमण के तरीके:
मौखिक तरीका।
अनुक्रमण नियमों को शब्दों में वर्णित किया गया है, बिना सूत्रों के या
जब अनुक्रम के तत्वों के बीच कोई नियमितता नहीं होती है।
उदाहरण 1. अभाज्य संख्याओं का एक क्रम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ....।
उदाहरण 2. संख्याओं का एक मनमाना समुच्चय: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ....
उदाहरण 3. सम संख्याओं का क्रम 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
विश्लेषणात्मक तरीका।
अनुक्रम के किसी भी nवें तत्व को सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।
उदाहरण 1. सम संख्याओं का अनुक्रम: y = 2n।
उदाहरण 2. प्राकृत संख्याओं के वर्ग का क्रम: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ...।
उदाहरण 3. स्थिर क्रम: y = C; सी, सी, सी, ..., सी, ...
विशेष मामला: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
उदाहरण 4. अनुक्रम y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ....
पुनरावर्ती तरीका।
एक नियम निर्दिष्ट किया गया है जो अनुक्रम के nवें तत्व की गणना की अनुमति देता है यदि
इसके पिछले तत्वों को जाना जाता है।
उदाहरण 1. अंकगणितीय प्रगति: a1=a, an+1=an+d, जहां a और d को संख्याएं दी गई हैं, d
अंकगणितीय प्रगति का अंतर। मान लीजिए a1=5, d=0.7, फिर अंकगणितीय प्रगति
इस तरह दिखेगा: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ....
उदाहरण 2. ज्यामितीय प्रगति: b1= b, bn+1= bnq, जहां b और q को संख्याएं दी गई हैं, b
0,
0; q एक ज्यामितीय प्रगति का हर है। चलो b1=23, q=½, फिर ज्यामितीय
क्यू
प्रगति इस तरह दिखेगी: 23; 11.5; 5.75; 2.875; ....
4) ग्राफिकल तरीका। संख्यात्मक अनुक्रम
एक ग्राफ द्वारा दिया गया है जो है
पृथक डॉट्स। इन बिन्दुओं का अभाव स्वाभाविक है
संख्याएं: एन = 1; 2; 3; 4; .... ऑर्डिनेट्स - सदस्य मान
अनुक्रम: a1; ए2; ए3; ए4;…
उदाहरण: एक संख्या अनुक्रम के सभी पाँच सदस्यों को लिखिए,
ग्राफिक तरीके से दिया गया है।
समाधान।
इस निर्देशांक तल के प्रत्येक बिंदु में है
निर्देशांक (एन; ए)। चिह्नित बिंदुओं के निर्देशांक लिखिए
आरोही भुज n.
हमें मिलता है: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7)।
इसलिए, a1= 3; ए2=1; ए3=4; ए4=6; ए 5 = 7.

उत्तर: 3; एक; 4; 6; 7.
V. अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन
उदाहरण 1. अनुक्रम (yn) के nवें तत्व के लिए एक संभावित सूत्र लिखें:
ए) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
बी) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
समाधान।
a) यह विषम संख्याओं का एक क्रम है। विश्लेषणात्मक रूप से, यह क्रम हो सकता है
सूत्र y = 2n+1 द्वारा निर्धारित।
b) यह एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा होता है
4. विश्लेषणात्मक रूप से, यह क्रम सूत्र y = 4n द्वारा दिया जा सकता है।
उदाहरण 2. बार-बार दिए गए अनुक्रम के पहले दस तत्वों को लिखिए: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 अगर n = 3, 4, 5, 6, ....
समाधान।
इस क्रम का प्रत्येक अनुवर्ती तत्व पिछले दो के योग के बराबर है
तत्व
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. पाठ को सारांशित करना। प्रतिबिंब
1. कार्य को पूरा करने में आप क्या सफल हुए?
2. क्या कार्य का समन्वय किया गया था?
3. आपकी राय में क्या काम नहीं आया?

2. अंकगणितीय संक्रिया ज्ञात कीजिए, जिसकी सहायता से दो चरम संख्याओं से औसत प्राप्त किया जाता है, और * चिह्न के स्थान पर लुप्त संख्या सम्मिलित करें: 8

3. छात्रों ने उस कार्य को हल किया जिसमें लापता संख्याओं को खोजना आवश्यक है। उन्हें अलग-अलग जवाब मिले। उन नियमों का पता लगाएं जिनके द्वारा लोगों ने कोशिकाओं में भर दिया। कार्य उत्तर 1 उत्तर

एक संख्यात्मक अनुक्रम की परिभाषा यह कहा जाता है कि एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया जाता है, यदि किसी कानून के अनुसार, एक निश्चित संख्या (अनुक्रम का एक सदस्य) विशिष्ट रूप से किसी भी प्राकृतिक संख्या (स्थान संख्या) को निर्दिष्ट किया जाता है। सामान्य शब्दों में, इस पत्राचार को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., yn, ... ... n ... संख्या n n है- अनुक्रम का वां सदस्य। पूरे अनुक्रम को आमतौर पर निरूपित किया जाता है (y n)।

संख्यात्मक अनुक्रमों को निर्दिष्ट करने का विश्लेषणात्मक तरीका एक अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जाता है यदि n-वें सदस्य का सूत्र निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1) yn= n 2 - अनुक्रम 1, 4, 9, 16, ... का विश्लेषणात्मक विनिर्देशन 2) yn= - स्थिर (स्थिर) अनुक्रम 2) yn= 2 n - अनुक्रम 2 का विश्लेषणात्मक असाइनमेंट , 4, 8, 16,… 585 हल करें

संख्यात्मक अनुक्रमों को निर्दिष्ट करने की आवर्तक विधि एक अनुक्रम को निर्दिष्ट करने की आवर्तक विधि यह है कि वे एक नियम को इंगित करते हैं जो आपको nवें पद की गणना करने की अनुमति देता है यदि इसके पिछले शब्द ज्ञात हैं 1) एक अंकगणितीय प्रगति आवर्तक संबंधों द्वारा दी जाती है ) ज्यामितीय प्रगति - b 1 \ u003d बी, बीएन + 1 \u003d बीएन * क्यू

एंकरिंग 591, 592 (ए, बी) 594, - 614 (ए)

ऊपरी परिबद्ध एक अनुक्रम (y n) को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है यदि इसके सभी सदस्य किसी न किसी संख्या में अधिकतम हों। दूसरे शब्दों में, एक अनुक्रम (yn) ऊपर से घिरा होता है यदि कोई संख्या M मौजूद हो, जैसे कि किसी भी n असमानता के लिए yn M धारण करता है। M अनुक्रम की ऊपरी सीमा है उदाहरण के लिए, -1, -4, -9, -16, ..., -एन 2, ...

नीचे से परिबद्ध एक अनुक्रम (y n) को नीचे से परिबद्ध कहा जाता है यदि इसके सभी सदस्य कम से कम कुछ संख्या में हों। दूसरे शब्दों में, यदि कोई संख्या m मौजूद है तो अनुक्रम (y n) ऊपर से घिरा हुआ है जैसे कि किसी भी n के लिए असमानता y n m धारण करती है। मी अनुक्रम की निचली सीमा है उदाहरण के लिए, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

एक अनुक्रम की सीमा एक अनुक्रम (y n) को बाउंडेड कहा जाता है यदि दो संख्याओं ए और बी को निर्दिष्ट करना संभव हो, जिनके बीच अनुक्रम के सभी सदस्य झूठ बोलते हैं। असमानता Ay n B A निचली सीमा है, B ऊपरी सीमा है उदाहरण के लिए, 1 ऊपरी सीमा है, 0 निचली सीमा है

घटते क्रम को घटाना कहा जाता है यदि प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कम है: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... उदाहरण के लिए, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … उदाहरण के लिए, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … उदाहरण के लिए,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … उदाहरण के लिए," शीर्षक = "(!LANG: अवरोही अनुक्रम एक अनुक्रम को घटते हुए कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कम है: y 1> y 2> y 3> y 4 > y 5 > ... > yn > … उदाहरण के लिए,"> title="घटते क्रम को घटाना कहा जाता है यदि प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कम है: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... उदाहरण के लिए,"> !} 23

सत्यापन कार्य विकल्प 1विकल्प 2 1. संख्यात्मक अनुक्रम सूत्र द्वारा दिया गया है a) इस अनुक्रम के पहले चार पदों की गणना करें b) क्या संख्या अनुक्रम का सदस्य है? b) क्या संख्या 12.25 अनुक्रम का सदस्य है? 2. अनुक्रम 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,… का वां पद निरूपित करें।

1. परिभाषा . परवर्ती ( Y n} वृद्धि कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से बड़ा है:

आप 1 < आप 2 < आप 3 < … < Y n < Y n+1 < ….

2. परिभाषा। अनुक्रम ( Y n} घटती हुई कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से कम है:

आप 1 > आप 2 > आप 3 > … > Y n> Y n+1 > … .

3. बढ़ते और घटते अनुक्रम एक सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रमों द्वारा एकजुट होते हैं।

उदाहरण के लिए: आप 1 = 1; Y n= एन 2... एक बढ़ता हुआ क्रम है। आप 1 = 1; अवरोही क्रम है। आप 1 = 1; - यह क्रम बढ़ता नहीं घटता नहीं है।

4. परिभाषा। एक अनुक्रम को आवर्त कहा जाता है यदि कोई प्राकृतिक संख्या T मौजूद हो, जैसे कि, कुछ n से शुरू होकर, समानता yn = yn + T धारण करती है। संख्या T को आवर्त लंबाई कहा जाता है।

5. किसी अनुक्रम को नीचे से परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके सभी सदस्य कम से कम कुछ संख्याएँ हों।

6. किसी अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके सभी सदस्य किसी न किसी संख्या में अधिक से अधिक हों।

7. एक अनुक्रम को बाउंडेड कहा जाता है यदि यह ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हो, अर्थात। एक धनात्मक संख्या इस प्रकार है कि दिए गए अनुक्रम के सभी पद निरपेक्ष मान में इस संख्या से अधिक नहीं हैं। (लेकिन दोनों तरफ सीमित होने का मतलब यह नहीं है कि यह सीमित है।)

8. अनुक्रम में केवल एक सीमा हो सकती है।

9. ऊपर से बंधे किसी भी गैर-घटते अनुक्रम की एक सीमा (सीमा) होती है।

10. नीचे बंधे किसी भी गैर-बढ़ते अनुक्रम की एक सीमा होती है।

अनुक्रम की सीमा एक बिंदु (संख्या) है जिसके आसपास अनुक्रम के अधिकांश सदस्य स्थित हैं, वे इस सीमा के करीब पहुंचते हैं, लेकिन उस तक नहीं पहुंचते हैं।

ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति अनुक्रमों के विशेष मामले हैं।

अनुक्रमण के तरीके:

अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से तीन विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक और आवर्तक।

1. अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया गया है यदि इसके nवें सदस्य का सूत्र दिया गया है:

उदाहरण। yn \u003d 2n - 1 - विषम संख्याओं का क्रम: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. संख्यात्मक अनुक्रम सेट करने का एक वर्णनात्मक तरीका यह है कि यह बताता है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1. "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 के बराबर हैं।" इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

3. एक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक आवर्तक तरीका यह है कि एक नियम इंगित किया जाता है जो किसी को अनुक्रम के nवें सदस्य की गणना करने की अनुमति देता है यदि इसके पिछले सदस्यों को जाना जाता है। नाम आवर्तक विधि लैटिन शब्द रिकर्रेरे से आया है - वापसी के लिए। अक्सर, ऐसे मामलों में, एक सूत्र इंगित किया जाता है जो अनुक्रम के nवें सदस्य को पिछले वाले के संदर्भ में व्यक्त करने की अनुमति देता है, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्य निर्दिष्ट होते हैं।

उदाहरण 1. y1 = 3; वाईएन = वाईएन -1 + 4 अगर एन = 2, 3, 4,…।

यहाँ y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

यह देखा जा सकता है कि इस उदाहरण में प्राप्त अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: yn = 4n - 1।

उदाहरण 2 आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n = Y n–2 + Y n-1 अगर एन = 3, 4,….

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

फाइबोनैचि इतिहास:

फाइबोनैचि (पीसा के लियोनार्डो), सी। 1175-1250

इतालवी गणितज्ञ। पीसा में जन्मे, मध्य युग के अंत में यूरोप के पहले महान गणितज्ञ बने। व्यावसायिक संपर्क स्थापित करने की यह व्यावहारिक आवश्यकता थी जिसने उन्हें गणित की ओर अग्रसर किया। उन्होंने अंकगणित, बीजगणित और अन्य गणितीय विषयों पर अपनी पुस्तकें प्रकाशित कीं। मुस्लिम गणितज्ञों से, उन्होंने भारत में आविष्कृत संख्याओं की प्रणाली के बारे में सीखा और पहले से ही अरब दुनिया में अपनाया, और इसकी श्रेष्ठता के बारे में आश्वस्त थे (ये संख्याएं आधुनिक अरबी अंकों के अग्रदूत थे)।

पीसा के लियोनार्डो, जिन्हें फिबोनाची के नाम से जाना जाता है, मध्य युग के उत्तरार्ध के महान यूरोपीय गणितज्ञों में से पहले थे। पीसा में एक धनी व्यापारी परिवार में जन्मे, उन्होंने व्यावसायिक संपर्क स्थापित करने की विशुद्ध रूप से व्यावहारिक आवश्यकता के माध्यम से गणित में प्रवेश किया। अपनी युवावस्था में, लियोनार्डो ने अपने पिता के साथ व्यापारिक यात्राओं पर बहुत यात्रा की। उदाहरण के लिए, हम बीजान्टियम और सिसिली में उनके लंबे प्रवास के बारे में जानते हैं। इस तरह की यात्राओं के दौरान उन्होंने स्थानीय वैज्ञानिकों से काफी बातचीत की।

संख्या क्रम जो आज उनके नाम को धारण करता है, खरगोशों के साथ समस्या से विकसित हुआ है जिसे फिबोनाची ने अपनी पुस्तक लिबर अबाची में 1202 में लिखा था:

एक आदमी ने एक दीवार से चारों तरफ से घिरे हुए एक पेन में खरगोशों का एक जोड़ा रखा। यह जोड़ा एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोशों को जन्म दे सकता है, यदि यह ज्ञात हो कि हर महीने, दूसरे से शुरू होकर, खरगोशों की प्रत्येक जोड़ी एक जोड़ी पैदा करती है?

आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि अगले बारह महीनों में से प्रत्येक में जोड़ों की संख्या क्रमशः 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

दूसरे शब्दों में, खरगोशों के जोड़े की संख्या एक श्रृंखला बनाती है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले दो का योग होता है। इसे फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है और संख्याएं स्वयं फाइबोनैचि संख्याएं हैं। यह पता चला है कि इस क्रम में गणितीय रूप से कई दिलचस्प गुण हैं। यहां एक उदाहरण दिया गया है: आप एक रेखा को दो खंडों में विभाजित कर सकते हैं ताकि बड़े और छोटे खंड के बीच का अनुपात पूरी रेखा और बड़े खंड के अनुपात के समानुपाती हो। यह आनुपातिकता कारक, लगभग 1.618 के बराबर, स्वर्ण अनुपात के रूप में जाना जाता है। पुनर्जागरण में, यह माना जाता था कि स्थापत्य संरचनाओं में देखा गया यह अनुपात आंख को सबसे अधिक भाता है। यदि आप लगातार फाइबोनैचि जोड़े लेते हैं और प्रत्येक जोड़ी की बड़ी संख्या को छोटे से विभाजित करते हैं, तो आपका परिणाम धीरे-धीरे सुनहरे अनुपात तक पहुंच जाएगा।

जब से फाइबोनैचि ने अपने अनुक्रम की खोज की, यहां तक कि प्राकृतिक घटनाएं भी मिली हैं जिनमें यह क्रम एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता प्रतीत होता है। उनमें से एक है फाइलोटैक्सिस (पत्ती व्यवस्था) - वह नियम जिसके अनुसार, उदाहरण के लिए, बीज सूरजमुखी के पुष्पक्रम में स्थित होते हैं। सूरजमुखी के बीज दो सर्पिलों में व्यवस्थित होते हैं। प्रत्येक सर्पिल में बीजों की संख्या को दर्शाने वाली संख्याएँ एक अद्भुत गणितीय अनुक्रम के सदस्य हैं। बीज सर्पिल की दो पंक्तियों में व्यवस्थित होते हैं, जिनमें से एक दक्षिणावर्त जाता है, दूसरा विपरीत। और प्रत्येक दशा में बीजों की संख्या कितनी है? 34 और 55.

कार्य 1:

अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए।

1. ए एन \u003d 2 एन + 1/2 एन

और n \u003d 2 n + 1/2 n

कार्य संख्या 2:

उन प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम के उभयनिष्ठ पद का सूत्र लिखिए जो 3 के गुणज हों।

उत्तर: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, और n = 3n

कार्य संख्या 3:

प्राकृत संख्याओं के उस अनुक्रम के उभयनिष्ठ पद का सूत्र लिखिए जिसे 4 से भाग देने पर 1 शेष रहता है।

उत्तर: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 और n = 4n+1

नंबर 19. समारोह।

फंक्शन (डिस्प्ले, ऑपरेटर, ट्रांसफॉर्मेशन) एक गणितीय अवधारणा है जो सेट के तत्वों के बीच संबंध को दर्शाती है। हम कह सकते हैं कि एक फ़ंक्शन एक "कानून" है जिसके अनुसार एक सेट के प्रत्येक तत्व (जिसे परिभाषा का डोमेन कहा जाता है) को दूसरे सेट का कुछ तत्व सौंपा जाता है (जिसे मूल्यों का डोमेन कहा जाता है)।

एक फ़ंक्शन एक चर की दूसरे पर निर्भरता है। दूसरे शब्दों में, मात्राओं के बीच संबंध।

एक फ़ंक्शन की गणितीय अवधारणा एक सहज ज्ञान युक्त विचार व्यक्त करती है कि कैसे एक मात्रा पूरी तरह से दूसरी मात्रा के मूल्य को निर्धारित करती है। तो चर x का मान विशिष्ट रूप से अभिव्यक्ति के मूल्य को निर्धारित करता है, और महीने का मूल्य विशिष्ट रूप से इसके बाद के महीने का मूल्य निर्धारित करता है, और किसी भी व्यक्ति की तुलना किसी अन्य व्यक्ति - उसके पिता से की जा सकती है। इसी तरह, कुछ पूर्वकल्पित एल्गोरिथम, अलग-अलग इनपुट डेटा को देखते हुए, कुछ आउटपुट डेटा का उत्पादन करते हैं।

अक्सर "फ़ंक्शन" शब्द एक संख्यात्मक फ़ंक्शन को संदर्भित करता है; अर्थात्, एक फ़ंक्शन जो कुछ संख्याओं को दूसरों के साथ पत्राचार में रखता है। इन कार्यों को रेखांकन के रूप में आंकड़ों में आसानी से दर्शाया जाता है।

एक और परिभाषा दी जा सकती है। एक फ़ंक्शन एक विशिष्ट है कार्यएक चर के ऊपर।

इसका मतलब है कि हम मूल्य लेते हैं, इसके साथ कुछ क्रिया करते हैं (उदाहरण के लिए, हम इसे वर्ग करते हैं या इसके लघुगणक की गणना करते हैं) - और हमें मूल्य मिलता है।

आइए फ़ंक्शन की एक और परिभाषा दें - वह जो अक्सर पाठ्यपुस्तकों में पाई जाती है।

एक फ़ंक्शन दो सेटों के बीच एक पत्राचार होता है, जिसमें पहले सेट का प्रत्येक तत्व एक के अनुरूप होता है और दूसरे सेट का केवल एक तत्व होता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन प्रत्येक वास्तविक संख्या को दो बार बड़ी संख्या निर्दिष्ट करता है।

कुछ F के तत्वों के सेट को x के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है, इसे इसकी परिभाषा का डोमेन कहा जाता है, और कुछ F के तत्वों के सेट को इसके मानों की श्रेणी कहा जाता है।

अवधि इतिहास:

शब्द "फ़ंक्शन" (कुछ हद तक संकुचित अर्थ में) का प्रयोग पहली बार लाइबनिज़ (1692) द्वारा किया गया था। बदले में, जोहान बर्नौली ने उसी लाइबनिज़ को लिखे एक पत्र में, इस शब्द का इस्तेमाल आधुनिक अर्थ के करीब किया। प्रारंभ में, एक फ़ंक्शन की अवधारणा एक विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व की अवधारणा से अप्रभेद्य थी। इसके बाद, यूलर (1751) द्वारा दी गई फ़ंक्शन की परिभाषा दिखाई दी, फिर - लैक्रोइक्स (1806) द्वारा - लगभग अपने आधुनिक रूप में। अंत में, लोबचेवस्की (1834) और डिरिचलेट (1837) द्वारा एक फ़ंक्शन की एक सामान्य परिभाषा (अपने आधुनिक रूप में, लेकिन संख्यात्मक कार्यों के लिए) दी गई थी। 19वीं शताब्दी के अंत तक, फ़ंक्शन की अवधारणा ने संख्यात्मक प्रणालियों के दायरे को पार कर लिया था। ऐसा करने वाले पहले वेक्टर फ़ंक्शन थे, फ्रीज ने जल्द ही तार्किक कार्यों (1879) की शुरुआत की, और सेट सिद्धांत के आगमन के बाद, डेडेकिंड (1887) और पीनो (1911) ने आधुनिक सार्वभौमिक परिभाषा तैयार की।

नंबर 20. फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के 4 तरीके हैं:

1. सारणीबद्धकाफी आम है, व्यक्ति की एक तालिका सेट करना

तर्क मान और उनके संगत फ़ंक्शन मान। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब फ़ंक्शन का डोमेन एक असतत परिमित सेट होता है।

यह सुविधाजनक है जब f एक परिमित समुच्चय है, लेकिन जब f अनंत है, केवल चयनित जोड़े (x, y) इंगित किए जाते हैं।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की सारणीबद्ध विधि के साथ, उस फ़ंक्शन के मानों की गणना करना संभव है जो तालिका में शामिल नहीं हैं, तर्क के मध्यवर्ती मूल्यों के अनुरूप। ऐसा करने के लिए, प्रक्षेप की विधि का उपयोग करें।

लाभ: सटीकता, गति, मूल्यों की तालिका से फ़ंक्शन के वांछित मूल्य को खोजना आसान है। किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के सारणीबद्ध तरीके के लाभ यह हैं कि यह अतिरिक्त माप या गणना के बिना, एक ही बार में कुछ विशिष्ट मानों को निर्धारित करना संभव बनाता है।

नुकसान: अधूरापन, दृश्यता की कमी। कुछ मामलों में, तालिका फ़ंक्शन को पूरी तरह से परिभाषित नहीं करती है, लेकिन केवल तर्क के कुछ मूल्यों के लिए और तर्क में परिवर्तन के आधार पर फ़ंक्शन में परिवर्तन की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान नहीं करती है।

2. विश्लेषणात्मक(सूत्र)। अक्सर, के बीच संबंध स्थापित करने वाला कानून

तर्क और कार्य, सूत्रों के माध्यम से निर्दिष्ट किया जाता है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के इस तरीके को विश्लेषणात्मक कहा जाता है। यह एमए (गणित। विश्लेषण) के लिए सबसे महत्वपूर्ण है, क्योंकि एमए (डिफरेंशियल, इंटीग्रल कैलकुलस) के तरीके सेटिंग के इस तरीके का सुझाव देते हैं। एक ही कार्य विभिन्न सूत्रों द्वारा दिया जा सकता है: आप= पाप ( एक्स)∣आप=√1−cos2( एक्स) कभी-कभी, उनके डोमेन के विभिन्न हिस्सों में, परिभाषित किए जा रहे फ़ंक्शन को विभिन्न सूत्रों द्वारा दिया जा सकता है एफ(एक्स)={एफ 1(एक्स),एक्स∈डी 1 एफएन(एक्स),एक्स∈डीएन ∪एनके=1डीके=डी(एफ) . अक्सर, किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की इस पद्धति के साथ, परिभाषा के डोमेन को इंगित नहीं किया जाता है, फिर परिभाषा के डोमेन को परिभाषा के प्राकृतिक डोमेन के रूप में समझा जाता है, अर्थात। सभी x मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन वास्तविक मान लेता है।

यह विधि तर्क x के प्रत्येक संख्यात्मक मान के लिए फ़ंक्शन y के संगत संख्यात्मक मान को बिल्कुल या कुछ सटीकता के साथ खोजना संभव बनाती है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के विश्लेषणात्मक तरीके का एक विशेष मामला F(x,y)=0 फॉर्म के समीकरण द्वारा एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर रहा है (1) यदि इस समीकरण में संपत्ति है कि ∀ एक्स D केवल सुमेलित है आप, ऐसा है कि एफ(एक्स,आप)=0, तब हम कहते हैं कि समीकरण (1) D पर एक फ़ंक्शन को परोक्ष रूप से परिभाषित करता है। फ़ंक्शन को परिभाषित करने का एक अन्य विशेष मामला पैरामीट्रिक है, प्रत्येक जोड़ी के साथ ( एक्स,आप)∈एफकार्यों की एक जोड़ी का उपयोग करके सेट करें एक्स=ϕ( टी),आप=ψ( टी) कहाँ पे टी∈एम.

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