परिमेय और अपरिमेय घातांक वाली डिग्री उदाहरण हैं। संख्या की डिग्री: परिभाषाएं, पदनाम, उदाहरण

इस लेख में, हम समझेंगे कि क्या है की डिग्री. यहां हम एक संख्या की डिग्री की परिभाषा देंगे, जबकि विस्तार से सभी संभावित घातांकों पर विचार करते हुए, एक प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर एक अपरिमेय पर समाप्त होता है। सामग्री में आपको उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करने वाली डिग्री के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे।

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प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री, एक संख्या का वर्ग, एक संख्या का घन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं । आगे देखते हुए, मान लीजिए कि प्राकृतिक घातांक n के साथ a की डिग्री की परिभाषा a के लिए दी गई है, जिसे हम कहेंगे डिग्री का आधार, और n , जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक. हम यह भी नोट करते हैं कि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए, आपको संख्याओं के गुणन के बारे में एक विचार होना चाहिए।

परिभाषा।

प्राकृतिक घातांक n के साथ संख्या a की शक्ति n रूप का एक व्यंजक है, जिसका मान n कारकों के गुणनफल के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है, अर्थात्।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात संख्या स्वयं ही होती है, अर्थात 1 =a।

तुरंत डिग्री पढ़ने के नियमों का उल्लेख करना उचित है। यूनिवर्सल तरीकाप्रविष्टि को पढ़ना n है: "a की घात के लिए n"। कुछ मामलों में, ऐसे विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "ए से nth पावर" और "नंबर ए की nth पावर"। उदाहरण के लिए, आइए डिग्री 8 12 लें, यह "बारह की शक्ति से आठ", या "आठ से बारहवीं शक्ति", या "आठ की बारहवीं शक्ति" है।

किसी संख्या की दूसरी घात के साथ-साथ किसी संख्या की तीसरी घात के अपने-अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है एक संख्या का वर्ग, उदाहरण के लिए, 7 2 को "सात वर्ग" या "सात की संख्या का वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घन संख्या, उदाहरण के लिए, 5 3 को "पांच घन" या "संख्या 5 का घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

यह लाने का समय है भौतिक संकेतकों के साथ डिग्री के उदाहरण. आइए 5 7 की शक्ति से शुरू करें, जहां 5 घात का आधार है और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले उदाहरण में, डिग्री 4.32 का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न डिग्री के सभी आधारों को कोष्ठक में लेंगे। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक संकेतकों के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृत संख्या नहीं हैं, इसलिए वे कोष्ठकों में लिखे गए हैं। खैर, इस बिंदु पर पूर्ण स्पष्टता के लिए, हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 के रिकॉर्ड में निहित अंतर दिखाएंगे। व्यंजक (−2) 3 प्राकृतिक घातांक 3 के साथ −2 की घात है, और व्यंजक −2 3 (इसे −(2 3) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाती है, घात 2 3 का मान।

ध्यान दें कि a^n फॉर्म के एक्सपोनेंट n के साथ a की डिग्री के लिए एक नोटेशन है। इसके अतिरिक्त, यदि n एक बहुमान प्राकृत संख्या है, तो घातांक को कोष्ठकों में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4^9, 4 9 की घात के लिए एक और संकेतन है। और यहां "^" प्रतीक का उपयोग करके डिग्री लिखने के और उदाहरण दिए गए हैं: 14^(21) , (−2,1)^(155) । निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म की डिग्री के अंकन का उपयोग करेंगे a n ।

एक प्राकृतिक घातांक के साथ घातांक के विपरीत समस्याओं में से एक डिग्री का आधार खोजने की समस्या है ज्ञात मूल्यडिग्री और ज्ञात प्रतिपादक। इस कार्य की ओर ले जाता है।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्यासकारात्मक या नकारात्मक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है सामान्य अंश. हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए तर्कसंगत संकेतक, आपको एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की डिग्री का अर्थ देना होगा, जहां m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृतिक संख्या है। हो जाए।

फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति के लिए वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने कैसे परिभाषित किया है, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए एम, एन और ए के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आता है।

यह सत्यापित करना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिए गए m, n और a के लिए व्यंजक समझ में आता है, तो एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की घात को nवीं डिग्री का मूल a से घात m तक कहा जाता है।

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल वर्णन करने के लिए रहता है जिसके लिए m, n और a व्यंजक समझ में आता है। m , n और a पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

a को विवश करने का सबसे आसान तरीका है a≥0 को धनात्मक m के लिए और a>0 को ऋणात्मक m के लिए मान लेना (क्योंकि m≤0 में 0 m की कोई शक्ति नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक घातांक m/n . के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात, जहाँ m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है, संख्या a के nवें से m के घात का मूल कहलाता है, अर्थात् ।

शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक m/n . के साथ शून्य की घात, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक बारीकियां है: कुछ नकारात्मक a और कुछ m और n के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने a≥0 शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया। उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण मूल के सम और विषम घातांक पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण की आवश्यकता है अतिरिक्त शर्त: संख्या a की डिग्री, जिसका घातांक है, को संख्या a की डिग्री माना जाता है, जिसका घातांक संगत इरेड्यूसेबल भिन्न होता है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। अर्थात्, यदि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, तो किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए घात को पहले .

सम n और धनात्मक m के लिए, व्यंजक किसी भी गैर-ऋणात्मक a (ऋणात्मक संख्या से सम अंश की जड़ का कोई अर्थ नहीं है) के लिए समझ में आता है, ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य से भिन्न होनी चाहिए (अन्यथा वहाँ शून्य से विभाजन होगा)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या a कुछ भी हो सकती है (किसी विषम घात का मूल किसी के लिए परिभाषित किया गया है वास्तविक संख्या), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a शून्य से भिन्न होनी चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

मान लें कि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ की शक्ति के लिए है



आइए हम बताते हैं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक के साथ एक डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हम केवल डिग्री को इस रूप में परिभाषित करते हैं, और अंश m / n की अप्रासंगिकता के बारे में आरक्षण नहीं करते हैं, तो हम निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करेंगे: 6/10 = 3/5 के बाद से, समानता , लेकिन , ए ।

वीडियो पाठ "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" में एक दृश्य शामिल है शैक्षिक सामग्रीइस विषय पर पढ़ाने के लिए। वीडियो पाठ में तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा के बारे में जानकारी, गुण, ऐसी डिग्री, साथ ही व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरण शामिल हैं। इस वीडियो पाठ का कार्य शैक्षिक सामग्री को स्पष्ट रूप से और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना है, छात्रों द्वारा इसके विकास और याद रखने की सुविधा के लिए, सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाना है।

वीडियो पाठ के मुख्य लाभ दृश्य परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता है। आवाज की संगत सही गणितीय भाषण विकसित करने में मदद करती है, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को बदलना भी संभव बनाती है, उसे व्यक्तिगत कार्य के लिए मुक्त करती है।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। लिंकिंग अध्ययन नया विषयपहले अध्ययन की गई सामग्री के साथ, यह याद करने का सुझाव दिया जाता है कि n a को प्राकृतिक n और धनात्मक a के लिए 1/n द्वारा अन्यथा दर्शाया जाता है। एन-रूट का यह प्रतिनिधित्व स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। इसके अलावा, यह विचार करने का प्रस्ताव है कि अभिव्यक्ति a m / n का क्या अर्थ है, जिसमें a एक सकारात्मक संख्या है, और m / n कुछ अंश है। बॉक्स में हाइलाइट की गई डिग्री की परिभाषा एक परिमेय घातांक के साथ m/n = n a m के रूप में दी गई है। यह ध्यान दिया जाता है कि n एक प्राकृतिक संख्या हो सकती है, और m - एक पूर्णांक।

एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री का निर्धारण करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3 । एक उदाहरण भी दिखाया गया है जिसमें एक दशमलव द्वारा दर्शाई गई शक्ति को एक सामान्य अंश में परिवर्तित किया जाता है जिसे मूल के रूप में दर्शाया जाता है: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 और से एक उदाहरण ऋणात्मक मानडिग्री: 3 -1/8 \u003d 8 3 -1।

डिग्री का आधार शून्य होने पर अलग से, किसी विशेष मामले की एक विशेषता का संकेत दिया जाता है। यह ध्यान दिया जाता है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आता है। इस मामले में, इसका मान शून्य के बराबर है: 0 m/n = 0।

परिमेय घातांक के साथ डिग्री की एक और विशेषता नोट की जाती है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्री के गलत अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

आगे वीडियो पाठ में, एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर विचार किया जाता है। यह नोट किया जाता है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुण एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:

1. जब घातों को से गुणा करते हैं एक ही आधारउनके संकेतक जोड़ते हैं: a p a q =a p+q ।
2. समान आधारों के साथ अंशों का विभाजन किसी दिए गए आधार और घातांक में अंतर के साथ एक डिग्री तक कम हो जाता है: a p:a q =a p-q ।
3. यदि हम घात को एक निश्चित घात तक बढ़ाते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें दिए गए आधार और घातांक के गुणनफल के साथ घात प्राप्त होती है: (a p) q =a pq ।

ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और धनात्मक आधार a>0 वाली घातों के लिए मान्य हैं। इसके अलावा, कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन सही रहता है:

1. (एबी) पी = ए पी बी पी - एक तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ दो संख्याओं के उत्पाद को एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाना संख्याओं के उत्पाद तक कम हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक को किसी दिए गए शक्ति तक बढ़ाया जाता है।
2. (a/b) p =a p /b p - किसी भिन्न के परिमेय घातांक के साथ घातांक को उस भिन्न में घटाया जाता है जिसका अंश और हर दी गई घात तक बढ़ा दिया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों के समाधान पर चर्चा करता है जो एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के माने गए गुणों का उपयोग करते हैं। पहले उदाहरण में, एक व्यंजक का मान ज्ञात करना प्रस्तावित है जिसमें चर x से लेकर भिन्नात्मक घात: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) शामिल हैं। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, डिग्री के गुणों का उपयोग करके इसे काफी सरलता से हल किया जाता है। कार्य का समाधान अभिव्यक्ति के सरलीकरण के साथ शुरू होता है, जो एक शक्ति को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति को बढ़ाने के नियम का उपयोग करता है, साथ ही एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करता है। दिए गए मान x=8 को सरलीकृत व्यंजक x 1/3 +48 में प्रतिस्थापित करने के बाद, मान - 50 प्राप्त करना आसान है।

दूसरे उदाहरण में, एक ऐसे अंश को कम करना आवश्यक है जिसके अंश और हर में परिमेय घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतर से कारक x 1/3 का चयन करते हैं, जिसे बाद में अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके अंश को कारकों में विघटित किया जाता है, जो कि अधिक कटौती देता है अंश और हर में समान कारक। इस तरह के परिवर्तनों का परिणाम एक छोटा अंश x 1/4 +3 है।

पाठ के नए विषय को समझाने वाले शिक्षक के बजाय वीडियो पाठ "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" का उपयोग किया जा सकता है। साथ ही, इस मैनुअल में के लिए पर्याप्त जानकारी है स्वयं अध्ययनछात्र। सामग्री दूरस्थ शिक्षा में उपयोगी हो सकती है।

एमबीओयू "सिदोर्सकाया"

समावेशी स्कूल»

एक योजना-रूपरेखा का विकास खुला सबक

इस विषय पर कक्षा 11 में बीजगणित में:

तैयार और संचालित

गणित शिक्षक

इशाकोवा ई.एफ.

कक्षा 11 में बीजगणित में एक खुले पाठ की रूपरेखा।

विषय : "एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री"।

पाठ प्रकार : नई सामग्री सीखना

पाठ मकसद:

पहले से अध्ययन की गई सामग्री (एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री) के आधार पर एक तर्कसंगत संकेतक और उसके मुख्य गुणों के साथ एक डिग्री की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करने के लिए।

कम्प्यूटेशनल कौशल और तर्कसंगत घातांक के साथ संख्याओं को बदलने और तुलना करने की क्षमता विकसित करना।

छात्रों में गणितीय साक्षरता और गणितीय रुचि पैदा करना।

उपकरण : टास्क कार्ड, एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री पर एक छात्र की प्रस्तुति, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ एक डिग्री पर एक शिक्षक की प्रस्तुति, एक लैपटॉप, एक मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, एक स्क्रीन।

कक्षाओं के दौरान:

आयोजन का समय।

अलग-अलग टास्क कार्ड द्वारा कवर किए गए विषय को आत्मसात करने की जाँच करना।

टास्क नंबर 1.

=2;

बी) = एक्स + 5;

सिस्टम को हल करें अपरिमेय समीकरण: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

टास्क नंबर 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें: = - 3;

बी) = एक्स - 2;

अपरिमेय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।

हमारे आज के पाठ का विषय तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री».

पहले अध्ययन किए गए उदाहरण पर नई सामग्री की व्याख्या।

आप पूर्णांक घातांक के साथ घात की अवधारणा से पहले ही परिचित हैं। उन्हें याद रखने में मेरी मदद कौन कर सकता है?

प्रस्तुति के साथ दोहराव पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री».

किसी भी संख्या के लिए a , b और कोई भी पूर्णांक m और n समानताएँ सत्य हैं:

ए एम * ए एन = ए एम + एन;

ए एम: ए एन = ए एम-एन (ए 0);

(एम) एन = एक एमएन;

(ए बी) एन = ए एन * बी एन;

(ए / बी) एन = ए एन / बी एन (बी ≠ 0);

ए 1 = ए; ए 0 = 1 (ए 0)

आज हम किसी संख्या की घात की अवधारणा का सामान्यीकरण करेंगे और उन व्यंजकों को अर्थ देंगे जिनमें भिन्नात्मक घातांक होता है। आइए परिचय परिभाषाएक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री (प्रस्तुति "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री"):

ए . की डिग्री > 0 एक परिमेय घातांक के साथ आर = , कहाँ पे एम एक पूर्णांक है, और एन - प्राकृतिक ( एन > 1), नंबर कहा जाता है एम .

तो, परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं कि = एम .

आइए कार्य करते समय इस परिभाषा को लागू करने का प्रयास करें।

उदाहरण 1

मैं एक संख्या के मूल के रूप में व्यंजक व्यक्त करता हूं:

लेकिन) बी) पर) .

आइए अब इस परिभाषा को उल्टा लागू करने का प्रयास करते हैं

II अभिव्यक्ति को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

लेकिन) 2 बी) पर) 5 .

0 की शक्ति को केवल सकारात्मक घातांक के लिए परिभाषित किया गया है।

0 आर= 0 किसी के लिए आर> 0.

इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, मकानोंआप #428 और #429 पूरा करेंगे।

आइए अब हम दिखाते हैं कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की उपरोक्त परिभाषा डिग्री के मूल गुणों को बरकरार रखती है जो किसी भी घातांक के लिए सही हैं।

किसी भी परिमेय संख्या r और s और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए, समानताएँ सत्य हैं:

1 0 . ए आर ए एस =ए आर+एस ;

उदाहरण: *

20. ए आर: ए एस = ए आर-एस;

उदाहरण: :

3 0 . (एक आर) एस = एक रुपये;

उदाहरण: ( -2/3

4 0 . ( अब) आर = ए आर बी आर ; 5 0 . ( = .

उदाहरण: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

एक साथ कई संपत्तियों के उपयोग पर उदाहरण: * : .

फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।

हम डेस्क पर पेन लगाते हैं, पीठ सीधी करते हैं, और अब हम आगे बढ़ रहे हैं, हम बोर्ड को छूना चाहते हैं। और अब हम उठे और दाहिनी ओर झुके, बाएँ, आगे, पीछे। उन्होंने मुझे पेन दिखाए, और अब मुझे दिखाओ कि तुम्हारी उंगलियां कैसे नाच सकती हैं।

सामग्री पर काम करें

हम परिमेय घातांक वाली घातों के दो और गुण नोट करते हैं:

60. रहने दो r एक परिमेय संख्या है और 0< a < b . Тогда

ए आर < b आरपर आर> 0,

ए आर < b आरपर आर< 0.

7 0 . किसी भी परिमेय संख्या के लिएआरऔर एसअसमानता से आर> एसउसका अनुसरण करता है

ए आर> एक आरएक > 1 के लिए

ए आर < а आर 0 . पर< а < 1.

उदाहरण: संख्याओं की तुलना करें:

और ; 2 300 और 3 200 .

पाठ सारांश:

आज पाठ में हमने एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों को याद किया, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा और बुनियादी गुणों को सीखा, इस के आवेदन पर विचार किया सैद्धांतिक सामग्रीअभ्यास के दौरान अभ्यास में। मैं इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं कि "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय अनिवार्य है कार्य का उपयोग करें. होमवर्क तैयार करते समयनंबर 428 और नंबर 429

संख्या की डिग्री निर्धारित होने के बाद, बात करना तर्कसंगत है डिग्री गुण. इस लेख में, हम सभी संभावित घातांकों को स्पर्श करते हुए, किसी संख्या की घात के मूल गुण देंगे। यहां हम डिग्री के सभी गुणों का प्रमाण देंगे, और यह भी दिखाएंगे कि उदाहरणों को हल करते समय इन गुणों को कैसे लागू किया जाता है।

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प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के गुण

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति की परिभाषा के अनुसार, n की शक्ति n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक एक के बराबर है। इस परिभाषा के आधार पर, और प्रयोग वास्तविक संख्या गुणन गुण, हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं और उसका औचित्य सिद्ध कर सकते हैं प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

1. डिग्री की मुख्य संपत्ति a m ·a n =a m+n , इसका सामान्यीकरण ;
2. समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों का गुण a m:a n =a m−n ;
3. उत्पाद डिग्री संपत्ति (ए बी) एन =ए एन बी एन, इसका विस्तार;
4. प्रकार में भागफल संपत्ति (a:b) n =a n:b n;
5. घातांक (ए एम) एन =ए एम एन, इसका सामान्यीकरण (((एक एन 1) एन 2) ...) एन के =ए एन 1 एन 2 ... एन के;
6. शून्य के साथ डिग्री की तुलना:
   • अगर a>0 , तो a n >0 किसी भी प्राकृतिक n के लिए;
   • अगर a=0 , तो a n =0 ;
   • यदि एक<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 अगर ए<0 и показатель степени есть विषम संख्या 2 m−1 , फिर a 2 m−1<0 ;
7. यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और a
8. अगर एम और एन हैं पूर्णांकों, वह m>n , फिर 0 . के लिए 0 असमानता a m >a n सत्य है।

हम तुरंत ध्यान दें कि सभी लिखित समानताएं हैं सदृशनिर्दिष्ट शर्तों के तहत, और उनके दाएं और बाएं हिस्सों को आपस में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न का मुख्य गुण a m a n = a m + n with भावों का सरलीकरणअक्सर a m+n = a m a n के रूप में उपयोग किया जाता है।

आइए अब उनमें से प्रत्येक को विस्तार से देखें।

आइए एक ही आधार वाले दो घातों के गुणनफल के गुण से शुरू करते हैं, जिसे कहा जाता है डिग्री की मुख्य संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n सत्य है।

आइए हम डिग्री की मुख्य संपत्ति को साबित करें। एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, एक एम · ए एन के रूप के समान आधार वाले शक्तियों के उत्पाद को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। गुणन के गुणों के कारण, परिणामी व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और यह उत्पाद प्राकृतिक घातांक m+n के साथ a की शक्ति है, अर्थात a m+n । यह सबूत पूरा करता है।

आइए हम डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करने वाला एक उदाहरण दें। आइए समान आधारों 2 और प्राकृतिक शक्तियों 2 और 3 के साथ डिग्री लें, डिग्री की मुख्य संपत्ति के अनुसार, हम समानता 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 लिख सकते हैं। आइए इसकी वैधता की जांच करें, जिसके लिए हम 2 2 ·2 3 और 2 5 के भावों के मूल्यों की गणना करते हैं। प्रदर्शन घातांक, हमारे पास है 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32और 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, चूंकि समान मूल्य प्राप्त होते हैं, तो समानता 2 2 2 3 \u003d 2 5 सही है, और यह डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करता है।

गुणन के गुणों के आधार पर डिग्री की मुख्य संपत्ति को समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ तीन या अधिक शक्तियों के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। तो किसी भी संख्या k के लिए प्राकृत संख्या n 1 , n 2 ,…, n k समता a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

उदाहरण के लिए, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

आप एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री के अगले गुण पर जा सकते हैं - समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों की संपत्ति: किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या a और मनमानी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए शर्त m>n को संतुष्ट करने के लिए, समानता a m:a n =a m−n सत्य है।

इस संपत्ति का प्रमाण देने से पहले, आइए हम बयान में अतिरिक्त शर्तों के अर्थ पर चर्चा करें। 0 n = 0 के बाद से शून्य से विभाजन से बचने के लिए शर्त a≠0 आवश्यक है, और जब हम विभाजन से परिचित हुए, तो हम सहमत हुए कि शून्य से विभाजित करना असंभव है। शर्त m>n की शुरुआत की गई है ताकि हम प्राकृतिक घातांक से आगे न जाएं। वास्तव में, m>n के लिए घातांक a m−n एक प्राकृत संख्या है, अन्यथा यह या तो शून्य होगी (जो m−n के लिए होती है) या ऋणात्मक संख्या (जो m के लिए होती है)

प्रमाण। भिन्न का मुख्य गुण हमें समानता लिखने की अनुमति देता है a m−n a n =a (m−n)+n =a m. प्राप्त समानता से a m−n ·a n =a m और इससे यह पता चलता है कि a m−n, m और a n की घातों का एक भागफल है। यह समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों के गुण को सिद्ध करता है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए समान आधार π और प्राकृतिक घातांक 5 और 2 के साथ दो डिग्री लें, डिग्री की मानी गई संपत्ति समानता π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 से मेल खाती है।

अब विचार करें उत्पाद डिग्री संपत्ति: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के गुणनफल की प्राकृतिक घात n, a n और b n के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात (a b) n =a n b n।

वास्तव में, एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है . गुणन के गुणों के आधार पर अंतिम उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है , जो a n b n के बराबर है।

यहाँ एक उदाहरण है: .

यह संपत्ति तीन या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री तक फैली हुई है। अर्थात्, k कारकों के गुणनफल का प्राकृतिक शक्ति गुण n इस प्रकार लिखा जाता है (ए 1 ए 2 ... ए के) एन =ए 1 एन ए 2 एन ... ए के एन.

स्पष्टता के लिए, हम इस संपत्ति को एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं। तीन कारकों के गुणनफल से 7 की घात के लिए, हमारे पास .

अगली संपत्ति है प्राकृतिक संपत्ति: वास्तविक संख्या a और b का भागफल, b≠0 से प्राकृतिक घात n, घातों a n और b n के भागफल के बराबर है, अर्थात (a:b) n =a n:b n।

पिछली संपत्ति का उपयोग करके सबूत किया जा सकता है। इसलिए (ए: बी) एन बी एन = ((ए: बी) बी) एन = ए एन, और समानता (a:b) n b n =a n का अर्थ है कि (a:b) n, a n का भागफल b n से विभाजित है।

आइए विशिष्ट संख्याओं के उदाहरण का उपयोग करके इस गुण को लिखें: .

अब आवाज करते हैं घातांक संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृत संख्या m और n के लिए, m की घात n की घात के लिए घातांक m·n के साथ a की घात के बराबर है, अर्थात (a m) n =a m·n ।

उदाहरण के लिए, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6।

एक डिग्री में शक्ति संपत्ति का प्रमाण समानता की निम्नलिखित श्रृंखला है: .

मानी गई संपत्ति को डिग्री के भीतर डिग्री के भीतर डिग्री तक बढ़ाया जा सकता है, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या p, q, r, और s के लिए, समानता . अधिक स्पष्टता के लिए, यहाँ विशिष्ट संख्याओं के साथ एक उदाहरण दिया गया है: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने के गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है।

हम एक प्राकृतिक घातांक के साथ शून्य और शक्ति की तुलना संपत्ति को साबित करके शुरू करते हैं।

सबसे पहले, किसी a>0 के लिए a n >0 को उचित ठहराते हैं।

गुणन की परिभाषा के अनुसार दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। यह तथ्य और गुणन के गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक संख्या को गुणा करने का परिणाम भी एक सकारात्मक संख्या होगी। और प्राकृतिक घातांक n के साथ की शक्ति, परिभाषा के अनुसार, n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक के बराबर है। ये तर्क हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक आधार के लिए n की डिग्री एक सकारात्मक संख्या है। सिद्ध संपत्ति के आधार पर 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 और .

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए a=0 साथ n की डिग्री शून्य है। दरअसल, 0 n =0·0·…·0=0 । उदाहरण के लिए, 0 3 =0 और 0 762 =0 ।

आइए नकारात्मक आधारों पर चलते हैं।

आइए उस स्थिति से शुरू करें जब घातांक एक सम संख्या हो, इसे 2 m के रूप में निरूपित करें, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। फिर . प्रपत्र के प्रत्येक उत्पाद के लिए a·a संख्याओं के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर है और a, इसलिए, एक धनात्मक संख्या है। इसलिए उत्पाद भी सकारात्मक होगा। और डिग्री 2 मी. यहां उदाहरण दिए गए हैं: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 और ।

अंत में, जब a का आधार एक ऋणात्मक संख्या है और घातांक एक विषम संख्या 2 m−1 है, तो . सभी उत्पाद a·a धनात्मक संख्याएँ हैं, इन धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी धनात्मक होता है, और शेष ऋणात्मक संख्या से इसके गुणन से ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इस गुण के कारण (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

हम एक ही प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने की संपत्ति की ओर मुड़ते हैं, जिसमें निम्नलिखित सूत्र होते हैं: एक ही प्राकृतिक घातांक के साथ दो डिग्री का, n उस से कम होता है जिसका आधार कम होता है, और जिसका आधार बड़ा होता है उससे अधिक होता है। आइए इसे साबित करें।

असमानता असमानताओं के गुणअसमानता को n . के रूप में सिद्ध किया जा रहा है (2,2) 7 और .

यह प्राकृतिक प्रतिपादकों के साथ शक्तियों के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। आइए इसे तैयार करें। प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से कम समान सकारात्मक आधारों में से, डिग्री अधिक है, जिसका संकेतक कम है; और प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से अधिक समान आधार, जिस डिग्री का संकेतक अधिक होता है वह अधिक होता है। हम इस संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं।

आइए हम साबित करें कि m>n और 0 . के लिए 0 प्रारंभिक स्थिति के कारण m>n , जहां से यह इस प्रकार है कि 0 . पर

यह संपत्ति का दूसरा हिस्सा साबित करना बाकी है। आइए हम सिद्ध करें कि m>n और a>1 के लिए, a m >a n सत्य है। कोष्ठक में से n निकालने के बाद a m −a n का अंतर a n ·(a m−n −1) का रूप ले लेता है। यह उत्पाद धनात्मक है, क्योंकि a>1 के लिए n की डिग्री एक धनात्मक संख्या है, और अंतर a m−n −1 एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि m−n>0 प्रारंभिक स्थिति के कारण, और a>1 के लिए, m−n की घात एक से अधिक होती है। इसलिए, a m - a n >0 और a m >a n , जिसे सिद्ध किया जाना था। यह गुण असमानता 3 7 >3 2 द्वारा दर्शाया गया है।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण

चूँकि धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ हैं, तो धनात्मक पूर्णांक घातांक वाली घातों के सभी गुण पिछले अनुच्छेद में सूचीबद्ध और सिद्ध किए गए प्राकृतिक घातांक वाले घातों के गुणों से बिल्कुल मेल खाते हैं।

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री, साथ ही एक शून्य घातांक के साथ डिग्री, हमने इस तरह से परिभाषित किया है कि समानता द्वारा व्यक्त प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण वैध रहते हैं। इसलिए, ये सभी गुण शून्य घातांक और ऋणात्मक घातांक दोनों के लिए मान्य हैं, जबकि, निश्चित रूप से, डिग्री के आधार गैर-शून्य हैं।

तो, किसी भी वास्तविक और गैर-शून्य संख्या ए और बी के साथ-साथ किसी भी पूर्णांक एम और एन के लिए, निम्नलिखित सत्य हैं पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

1. ए एम ए एन \u003d ए एम + एन;
2. ए एम: ए एन = ए एम−एन;
3. (ए बी) एन = ए एन बी एन;
4. (ए: बी) एन = ए एन: बी एन;
5. (ए एम) एन = एक एम एन;
6. यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, और a बी-एन;
7. यदि m और n पूर्णांक हैं, और m>n , तो 0 . पर 1 असमानता a m >a n पूरी होती है।

a=0 के लिए, घात a m और a n तभी समझ में आता है जब m और n दोनों धनात्मक पूर्णांक हों, अर्थात प्राकृत संख्याएँ। इस प्रकार, अभी लिखे गए गुण उन मामलों के लिए भी मान्य हैं जब a=0 और संख्या m और n धनात्मक पूर्णांक हैं।

इन गुणों में से प्रत्येक को साबित करना मुश्किल नहीं है, इसके लिए प्राकृतिक और पूर्णांक घातांक के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों की डिग्री की परिभाषाओं का उपयोग करना पर्याप्त है। एक उदाहरण के रूप में, आइए साबित करें कि सकारात्मक पूर्णांक और गैर-धनात्मक पूर्णांक दोनों के लिए शक्ति गुण धारण करता है। ऐसा करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि यदि p शून्य या एक प्राकृत संख्या है और q शून्य या एक प्राकृत संख्या है, तो समानताएँ (a p) q =a p q , (a - p) q =a (−p) q, (a p ) −q =a p (−q) और (a−p)−q =a (−p) (−q). हो जाए।

सकारात्मक p और q के लिए, समानता (a p) q =a p·q पिछले उपखंड में सिद्ध हुई थी। अगर p=0 , तो हमारे पास (a 0) q =1 q =1 और a 0 q =a 0 =1 है, जहां से (a 0) q =a 0 q है। इसी तरह, यदि q=0 , तो (a p) 0 =1 और a p 0 =a 0 =1 , जहां से (a p) 0 =a p 0 । यदि दोनों p=0 और q=0 , तो (a 0) 0 =1 0 =1 और a 0 0 =a 0 =1 , जहां से (a 0) 0 =a 0 0 है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि (a −p) q =a (−p) q । एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात की परिभाषा के अनुसार, तब . अंश में भागफल के गुणधर्म से, हमारे पास है . चूँकि 1 p =1·1·…·1=1 और , तब । अंतिम व्यंजक, परिभाषा के अनुसार, a -(p q) के रूप की एक घात है, जिसे गुणन नियमों के आधार पर a (−p) q के रूप में लिखा जा सकता है।

उसी प्रकार .

और .

उसी सिद्धांत से, एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के अन्य सभी गुणों को समानता के रूप में लिखा जा सकता है।

नीचे लिखे गए गुणों के अंत में, यह असमानता के प्रमाण पर रहने लायक है a −n >b −n , जो किसी भी नकारात्मक पूर्णांक −n और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए सही है जिसके लिए शर्त a . चूंकि शर्त के अनुसार a 0. गुणनफल a n ·b n धनात्मक संख्याओं a n और b n के गुणनफल के रूप में भी धनात्मक है। तब परिणामी भिन्न धनात्मक संख्याओं b n - a n और a n b n के भागफल के रूप में धनात्मक होता है। इसलिए, जहां से a −n >b −n , जिसे सिद्ध किया जाना था।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की अंतिम संपत्ति उसी तरह साबित होती है जैसे प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की अनुरूप संपत्ति।

परिमेय घातांक वाली शक्तियों के गुण

हमने डिग्री को एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का विस्तार करके एक भिन्नात्मक घातांक के साथ परिभाषित किया है। दूसरे शब्दों में, भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री में पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के समान गुण होते हैं। अर्थात्:

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का प्रमाण भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा पर और पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर आधारित होता है। आइए प्रमाण देते हैं।

एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार और, तब . अंकगणितीय मूल के गुण हमें निम्नलिखित समानताएँ लिखने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, जहां से, एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से, हमारे पास है , और प्राप्त डिग्री के प्रतिपादक को निम्नानुसार परिवर्तित किया जा सकता है:। यह सबूत पूरा करता है।

भिन्नात्मक घातांक वाली घातों का दूसरा गुण ठीक उसी तरह सिद्ध होता है:

शेष समानताएं समान सिद्धांतों द्वारा सिद्ध होती हैं:

हम अगली संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि किसी धनात्मक a और b के लिए, a बी पी। हम परिमेय संख्या p को m/n के रूप में लिखते हैं, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। शर्तें पी<0 и p>0 इस मामले में शर्तों के बराबर होगा एम<0 и m>0 क्रमशः। एम> 0 और ए . के लिए

इसी तरह, एम . के लिए<0 имеем a m >b m , कहाँ से , वह है, और a p >b p ।

यह सूचीबद्ध संपत्तियों में से अंतिम साबित करने के लिए बनी हुई है। आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं p और q के लिए, p>q 0 . के लिए 0 - असमानता a p >a q । हम हमेशा परिमेय संख्या p और q को एक सामान्य हर में कम कर सकते हैं, आइए हम साधारण भिन्न प्राप्त करें और, जहाँ m 1 और m 2 पूर्णांक हैं, और n एक प्राकृत संख्या है। इस स्थिति में, स्थिति p>q, m 1 >m 2 की स्थिति के अनुरूप होगी, जो कि से अनुसरण करती है। फिर, 0 . पर समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ शक्तियों की तुलना करने के गुण से 1 - असमानता एक एम 1>ए एम 2। जड़ों के गुणों के संदर्भ में इन असमानताओं को क्रमशः इस प्रकार लिखा जा सकता है: और . और एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा हमें असमानताओं को पारित करने की अनुमति देती है और, क्रमशः। इससे हम अंतिम निष्कर्ष निकालते हैं: p>q और 0 . के लिए 0 - असमानता a p >a q ।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री को कैसे परिभाषित किया जाता है, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि इसमें तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण हैं। तो किसी के लिए a>0 , b>0 and तर्कहीन संख्यापी और क्यू अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण:

1. ए पी ए क्यू = ए पी + क्यू;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (ए बी) पी = ए पी बी पी;
4. (ए: बी) पी = ए पी: बी पी;
5. (ए पी) क्यू = ए पी क्यू;
6. किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए a और b , a 0 असमानता एक पी बी पी;
7. अपरिमेय संख्याओं के लिए p और q , p>q 0 . पर 0 - असमानता a p >a q ।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a>0 के लिए किसी भी वास्तविक घातांक p और q वाली घातों के गुण समान होते हैं।

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. 5 कोशिकाओं के लिए गणित Zh पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
• मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 7 कोशिकाओं के लिए एक पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
• मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 8 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
• मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 9 कोशिकाओं के लिए एक पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

खस्यानोवा टी.जी.,

गणित शिक्षक

प्रस्तुत सामग्री "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय का अध्ययन करते समय गणित के शिक्षकों के लिए उपयोगी होगी।

प्रस्तुत सामग्री का उद्देश्य: "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय पर एक पाठ आयोजित करने में मेरे अनुभव का प्रकटीकरण कार्यक्रमअनुशासन "गणित"।

पाठ की कार्यप्रणाली इसके प्रकार से मेल खाती है - नए ज्ञान के अध्ययन और प्राथमिक समेकन में एक पाठ। पहले प्राप्त अनुभव के आधार पर बुनियादी ज्ञान और कौशल को अद्यतन किया गया था; प्राथमिक संस्मरण, समेकन और नई जानकारी का अनुप्रयोग। नई सामग्री का समेकन और अनुप्रयोग अलग-अलग जटिलता की समस्याओं को हल करने के रूप में हुआ, जिसका मैंने परीक्षण किया, दे रहा है सकारात्मक परिणामविषय में महारत हासिल करना।

पाठ की शुरुआत में, मैंने छात्रों के लिए निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित किए: शैक्षिक, विकासशील, शैक्षिक। कक्षा में, मैंने इस्तेमाल किया विभिन्न तरीकेगतिविधियाँ: ललाट, व्यक्तिगत, स्टीम रूम, स्वतंत्र, परीक्षण। कार्यों को विभेदित किया गया और पाठ के प्रत्येक चरण में, ज्ञान के आत्मसात करने की डिग्री की पहचान करना संभव बना दिया। कार्यों की मात्रा और जटिलता से मेल खाती है उम्र की विशेषताएंछात्र। मेरे अनुभव से - घर का पाठ, में हल की गई समस्याओं के समान कक्षाआपको अर्जित ज्ञान और कौशल को सुरक्षित रूप से समेकित करने की अनुमति देता है। पाठ के अंत में, प्रतिबिंब किया गया था और व्यक्तिगत छात्रों के काम का मूल्यांकन किया गया था।

लक्ष्यों को हासिल कर लिया गया है। छात्रों ने एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा और गुणों का अध्ययन किया, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में इन गुणों का उपयोग करना सीखा। पीछे स्वतंत्र कामअगले पाठ में ग्रेड की घोषणा की जाती है।

मेरा मानना ​​है कि गणित में कक्षाएं संचालित करने के लिए मेरे द्वारा उपयोग की जाने वाली पद्धति गणित के शिक्षकों द्वारा लागू की जा सकती है।

पाठ विषय: एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री

पाठ का उद्देश्य:

ज्ञान और कौशल के एक परिसर के छात्रों द्वारा महारत के स्तर की पहचान और इसके आधार पर, शैक्षिक प्रक्रिया में सुधार के लिए कुछ समाधानों का उपयोग।

पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए बुनियादी अवधारणाओं, नियमों, कानूनों के छात्रों के बीच नया ज्ञान बनाने के लिए, मानक परिस्थितियों में स्वतंत्र रूप से ज्ञान को लागू करने की क्षमता, बदली हुई और गैर-मानक स्थितियों में;

विकसित होना:तार्किक रूप से सोचें और लागू करें रचनात्मक कौशल;

शिक्षक:गणित में रुचि पैदा करने के लिए, शब्दावली को नए शब्दों के साथ फिर से भरने के लिए, प्राप्त करें अतिरिक्त जानकारीआसपास की दुनिया के बारे में। धैर्य, दृढ़ता, कठिनाइयों को दूर करने की क्षमता पैदा करें।

आयोजन का समय

बुनियादी ज्ञान का अद्यतन

समान आधार से घातों को गुणा करने पर, घातांक जोड़े जाते हैं, और आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

2. शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करते समय, घातांक घटाए जाते हैं, और आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

3. जब किसी घात को डिग्री बढ़ाते हैं, तो घातांक गुणा हो जाते हैं, और आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

4. उत्पाद की डिग्री कारकों की शक्तियों के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण के लिए,

5. भागफल की घात भाज्य और भाजक की घातों के भागफल के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए,

समाधान अभ्यास

एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

फेसला:

इस मामले में, प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुणों में से कोई भी स्पष्ट रूप से लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सभी डिग्री में है अलग आधार. आइए कुछ अंशों को भिन्न रूप में लिखें:

(उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है);

(जब एक ही आधार से घातों को गुणा किया जाता है, तो घातांक जोड़े जाते हैं, और आधार वही रहता है, जब एक घात को एक डिग्री तक बढ़ाते हुए, घातांक को गुणा किया जाता है, लेकिन आधार वही रहता है)।

तब हमें मिलता है:

पर यह उदाहरणएक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के पहले चार गुणों का उपयोग किया गया था।

अंकगणित वर्गमूल
एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग हैए,
. पर
- अभिव्यक्ति
परिभाषित नहीं, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर होए.

गणितीय श्रुतलेख(8-10 मि.)

विकल्प

द्वितीय. विकल्प

1. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

ए)

बी)

1. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

ए)

बी)

2. गणना करें

ए)

बी)

पर)

2. गणना करें

ए)

बी)

में)

आत्म परीक्षण(अंचल बोर्ड पर):

प्रतिक्रिया मैट्रिक्स:

№ विकल्प/कार्य

कार्य 1

टास्क 2

विकल्प 1

ए) 2

बी) 2

ए) 0.5

बी)

में)

विकल्प 2

ए) 1.5

बी)

ए)

बी)

4 पर

II.नए ज्ञान का निर्माण

अभिव्यक्ति के अर्थ पर विचार करें, जहां - सकारात्मक संख्या- भिन्नात्मक संख्या और m-पूर्णांक, n-प्राकृतिक (n>1)

परिभाषा: संख्या की डिग्री a›0 परिमेय घातांक के साथआर = , एम-पूरा का पूरा, एन- प्राकृतिक ( एन›1) एक संख्या कहलाती है.

इसलिए:

उदाहरण के लिए:

टिप्पणियाँ:

1. किसी धनात्मक a और किसी परिमेय r के लिए, संख्या सकारात्मक रूप से।

2. कब
एक संख्या की तर्कसंगत शक्तिएपरिभाषित नहीं।

भाव जैसे
कोई मतलब नहीं।

3. अगर भिन्नात्मक सकारात्मक संख्या
.

यदि एक आंशिक ऋणात्मक संख्या, तब -कोई मतलब नहीं है।

उदाहरण के लिए: - कोई मतलब नहीं है।

एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों पर विचार करें।

चलो एक>0, в>0; आर, एस - कोई भी परिमेय संख्या. तब किसी भी परिमेय घातांक वाली डिग्री में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1.
2.
3.
4.
5.

III. समेकन। नए कौशल और क्षमताओं का गठन।

टेस्ट के रूप में टास्क कार्ड छोटे समूहों में काम करते हैं।

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