वर्गमूल कैसे हल करें। वर्गमूलों को जल्दी से कैसे निकालें

साक्षरता का प्रतीक अनेक ज्ञानों में वर्णमाला का प्रथम स्थान है। अगला, वही "चिह्न" तत्व, जोड़-गुणा के कौशल हैं और, उनके निकट, लेकिन अर्थ में विपरीत, घटाव-विभाजन के अंकगणितीय संचालन। दूर के स्कूली बचपन में सीखे गए कौशल दिन-रात ईमानदारी से काम करते हैं: टीवी, अखबार, एसएमएस, और हर जगह हम पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, जोड़ते हैं, घटाते हैं, गुणा करते हैं। और, मुझे बताओ, क्या आपको देश को छोड़कर अक्सर जीवन में जड़ें जमानी पड़ी हैं? उदाहरण के लिए, ऐसी मनोरंजक समस्या, जैसे, संख्या 12345 का वर्गमूल ... क्या पाउडर फ्लास्क में अभी भी बारूद है? क्या हम इसे कर सकते हैं? हाँ, कुछ भी आसान नहीं है! मेरा कैलकुलेटर कहाँ है ... और इसके बिना, हाथ से हाथ, कमजोर?

सबसे पहले, आइए स्पष्ट करें कि यह क्या है - वर्गमूलसंख्याएं। सामान्यतया, "एक संख्या से एक जड़ निकालने के लिए" का अर्थ है एक शक्ति को बढ़ाने के विपरीत अंकगणितीय संचालन करना - यहां आपके पास जीवन के अनुप्रयोग में विरोधों की एकता है। मान लीजिए कि एक वर्ग अपने आप में एक संख्या का गुणन है, अर्थात, जैसा कि उन्होंने स्कूल में पढ़ाया था, X * X = A या किसी अन्य अंकन में X2 = A, और शब्दों में - "X वर्ग बराबर A"। फिर उलटा समस्या इस तरह लगती है: संख्या ए का वर्गमूल संख्या एक्स है, जो वर्ग होने पर ए के बराबर होता है।

वर्गमूल निकालना

अंकगणित के स्कूल पाठ्यक्रम से, "एक कॉलम में" गणना के तरीके ज्ञात हैं, जो पहले चार का उपयोग करके किसी भी गणना को करने में मदद करते हैं। अंकगणितीय आपरेशनस. काश ... वर्ग के लिए, और न केवल वर्ग के लिए, ऐसे एल्गोरिदम की जड़ें मौजूद नहीं होती हैं। और इस मामले में, कैलकुलेटर के बिना वर्गमूल कैसे निकालें? वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर, केवल एक निष्कर्ष है - संख्याओं की क्रमिक गणना द्वारा परिणाम के मूल्य का चयन करना आवश्यक है, जिसका वर्ग मूल अभिव्यक्ति के मूल्य तक पहुंचता है। केवल और सब कुछ! एक या दो घंटे बीतने से पहले, किसी भी वर्गमूल को "स्तंभ" में गुणा करने की प्रसिद्ध विधि का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है। यदि आपके पास कौशल है, तो इसके लिए कुछ मिनट पर्याप्त हैं। यहां तक ​​​​कि एक उन्नत कैलकुलेटर या पीसी उपयोगकर्ता भी इसे एक झटके में नहीं करता - प्रगति।

लेकिन गंभीरता से, वर्गमूल की गणना अक्सर "आर्टिलरी फोर्क" तकनीक का उपयोग करके की जाती है: सबसे पहले, वे एक संख्या लेते हैं जिसका वर्ग लगभग मूल अभिव्यक्ति से मेल खाता है। "हमारा वर्ग" इस अभिव्यक्ति से थोड़ा कम है तो बेहतर है। फिर वे अपने कौशल-समझ के अनुसार संख्या को सही करते हैं, उदाहरण के लिए, दो से गुणा करें, और ... इसे फिर से वर्ग करें। यदि परिणाम मूल संख्या से अधिक है, तो मूल संख्या को क्रमिक रूप से समायोजित करते हुए, धीरे-धीरे जड़ के नीचे अपने "सहयोगी" के पास पहुंचें। जैसा कि आप देख सकते हैं - कोई कैलकुलेटर नहीं, केवल "एक कॉलम में" गिनने की क्षमता। बेशक, वर्गमूल की गणना के लिए कई वैज्ञानिक रूप से तर्कपूर्ण और अनुकूलित एल्गोरिदम हैं, लेकिन "घरेलू उपयोग" के लिए उपरोक्त तकनीक परिणाम में 100% विश्वास देती है।

हां, मैं लगभग भूल गया था, हमारी बढ़ी हुई साक्षरता की पुष्टि करने के लिए, हम पहले बताई गई संख्या 12345 के वर्गमूल की गणना करते हैं। हम इसे चरण दर चरण करते हैं:

1. विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X=100 लें। आइए गणना करें: एक्स * एक्स = 10000। अंतर्ज्ञान शीर्ष पर है - परिणाम 12345 से कम है।

2. आइए कोशिश करें, विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X = 120। फिर: X * X = 14400। और फिर, अंतर्ज्ञान के साथ, क्रम - परिणाम 12345 से अधिक है।

3. ऊपर, 100 और 120 का एक "कांटा" प्राप्त होता है। आइए नई संख्याएँ चुनें - 110 और 115। हमें क्रमशः, 12100 और 13225 मिलते हैं - कांटा संकरा होता है।

4. हम "शायद" X = 111 पर प्रयास करते हैं। हमें X * X = 12321 मिलता है। यह संख्या पहले से ही 12345 के काफी करीब है। आवश्यक सटीकता के अनुसार, प्राप्त परिणाम पर "फिटिंग" को जारी रखा या रोका जा सकता है। बस इतना ही। जैसा कि वादा किया गया था - सब कुछ बहुत सरल और कैलकुलेटर के बिना है।

थोड़ा सा इतिहास...

उपयोग करने के बारे में सोच रहा है वर्गमूलअभी भी पाइथागोरस, स्कूल के छात्र और पाइथागोरस के अनुयायी, 800 साल ईसा पूर्व के लिए। और वहीं, संख्याओं के क्षेत्र में "नई खोजों" में भाग गया। और यह कहाँ से आया?

1. जड़ के निष्कर्षण से समस्या का समाधान नए वर्ग की संख्याओं के रूप में परिणाम देता है। उन्हें तर्कहीन कहा जाता था, दूसरे शब्दों में, "अनुचित", क्योंकि। उन्हें पूर्ण संख्या के रूप में नहीं लिखा जाता है। इस तरह का सबसे क्लासिक उदाहरण 2 का वर्गमूल है। यह मामला 1 के बराबर एक वर्ग के विकर्ण की गणना से मेल खाता है - यहाँ यह है, पाइथागोरस स्कूल का प्रभाव। यह पता चला कि पक्षों के एक बहुत विशिष्ट इकाई आकार वाले त्रिभुज में, कर्ण का एक आकार होता है जिसे एक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है जिसका "कोई अंत नहीं है।" तो गणित में दिखाई दिया

2. यह ज्ञात है कि यह पता चला है कि गणितीय कार्यइसमें एक और कैच शामिल है - रूट निकालने पर, हम नहीं जानते कि किस संख्या का वर्ग, धनात्मक या ऋणात्मक, मूल व्यंजक है। यह अनिश्चितता, एक ऑपरेशन से दोहरा परिणाम, नीचे लिखा गया है।

इस घटना से जुड़ी समस्याओं का अध्ययन गणित में एक दिशा बन गया है जिसे जटिल चर का सिद्धांत कहा जाता है, जिसका गणितीय भौतिकी में बहुत व्यावहारिक महत्व है।

यह उत्सुक है कि मूल पदनाम - कट्टरपंथी - का उपयोग उनके "सार्वभौमिक अंकगणित" में उसी सर्वव्यापी आई। न्यूटन द्वारा किया गया था, लेकिन वास्तव में आधुनिक रूपरूट रिकॉर्ड 1690 से फ्रेंचमैन रोल "गाइड टू अलजेब्रा" की किताब से जाना जाता है।

गणित का जन्म तब हुआ जब एक व्यक्ति अपने बारे में जागरूक हो गया और खुद को दुनिया की एक स्वायत्त इकाई के रूप में स्थापित करने लगा। आपके आस-पास की चीज़ों को मापने, तुलना करने, गणना करने की इच्छा हमारे दिनों के मूलभूत विज्ञानों में से एक है। सबसे पहले, ये प्राथमिक गणित के टुकड़े थे, जिससे संख्याओं को उनके भौतिक अभिव्यक्तियों के साथ जोड़ना संभव हो गया, बाद में निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक रूप से (उनके अमूर्तता के कारण) प्रस्तुत किए जाने लगे, लेकिन थोड़ी देर बाद, जैसा कि एक वैज्ञानिक ने कहा, " गणित जटिलता की सीमा तक पहुँच गया जब सभी संख्याएँ।" "वर्गमूल" की अवधारणा ऐसे समय में सामने आई जब इसे गणना के विमान से परे अनुभवजन्य डेटा द्वारा आसानी से समर्थित किया जा सकता था।

यह सब कब प्रारंभ हुआ

जड़ का पहला उल्लेख, जिस पर इस पलके रूप में निरूपित, बेबीलोन के गणितज्ञों के लेखन में दर्ज किया गया था, जिन्होंने आधुनिक अंकगणित की नींव रखी थी। बेशक, वे वर्तमान रूप की तरह थोड़े दिखते थे - उन वर्षों के वैज्ञानिकों ने पहले भारी गोलियों का इस्तेमाल किया था। लेकिन दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में। इ। वे एक अनुमानित गणना सूत्र के साथ आए, जिसमें दिखाया गया था कि वर्गमूल कैसे लिया जाता है। नीचे दी गई तस्वीर में एक पत्थर दिखाया गया है जिस पर बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने आउटपुट प्रक्रिया √2 को उकेरा है, और यह इतना सही निकला कि उत्तर में विसंगति केवल दसवें दशमलव स्थान पर पाई गई।

इसके अलावा, यदि त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना आवश्यक हो तो मूल का उपयोग किया जाता था, बशर्ते कि अन्य दो ज्ञात हों। खैर, द्विघात समीकरणों को हल करते समय, मूल निकालने से कोई बच नहीं सकता है।

बेबीलोनियन कार्यों के साथ, लेख की वस्तु का अध्ययन चीनी काम "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी किया गया था, और प्राचीन यूनानियों ने इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि कोई भी संख्या जिसमें से शेष के बिना रूट नहीं निकाला जाता है, एक तर्कहीन परिणाम देता है .

इस शब्द की उत्पत्ति संख्या के अरबी प्रतिनिधित्व से जुड़ी है: प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना ​​​​था कि एक मनमाना संख्या का वर्ग एक पौधे की तरह जड़ से बढ़ता है। लैटिन में, यह शब्द मूलांक की तरह लगता है (कोई एक पैटर्न का पता लगा सकता है - हर चीज जिसमें "रूट" सिमेंटिक लोड होता है, वह व्यंजन है, चाहे वह मूली हो या कटिस्नायुशूल)।

बाद की पीढ़ियों के वैज्ञानिकों ने इस विचार को आरएक्स के रूप में नामित किया। उदाहरण के लिए, 15वीं शताब्दी में, यह इंगित करने के लिए कि वर्गमूल एक मनमाना संख्या a से लिया गया है, उन्होंने R 2 a लिखा। अभ्यस्त आधुनिक रूप"टिक" केवल 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस के लिए धन्यवाद दिखाई दिया।

हमारे दिन

गणितीय रूप से, y का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग y है। दूसरे शब्दों में, z 2 =y y=z के बराबर है। हालाँकि, यह परिभाषा केवल अंकगणितीय मूल के लिए प्रासंगिक है, क्योंकि यह व्यंजक का एक गैर-ऋणात्मक मान दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, y=z, जहाँ z, 0 से बड़ा या उसके बराबर है।

सामान्य तौर पर, जो बीजीय मूल के निर्धारण के लिए मान्य है, व्यंजक का मान या तो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि z 2 =y और (-z) 2 =y, हमारे पास है: √y=±z या √y=|z|।

इस तथ्य के कारण कि विज्ञान के विकास के साथ ही गणित के प्रति प्रेम बढ़ा है, इसके लिए स्नेह की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं, शुष्क गणनाओं में व्यक्त नहीं की गई हैं। उदाहरण के लिए, पाई के दिन जैसी दिलचस्प घटनाओं के साथ, वर्गमूल की छुट्टियां भी मनाई जाती हैं। वे सौ वर्षों में नौ बार मनाए जाते हैं, और निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं: संख्याएं जो क्रम में दिन और महीने को दर्शाती हैं, उन्हें वर्ष का वर्गमूल होना चाहिए। हां अंदर अगली बारयह अवकाश 4 अप्रैल 2016 को मनाया जाएगा।

मैदान पर वर्गमूल के गुण R

लगभग सभी गणितीय व्यंजकों का एक ज्यामितीय आधार होता है, यह नियति समाप्त नहीं हुई और y, जिसे क्षेत्र y के साथ एक वर्ग की भुजा के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें?

कई गणना एल्गोरिदम हैं। सबसे सरल, लेकिन एक ही समय में काफी बोझिल, सामान्य अंकगणितीय गणना है, जो इस प्रकार है:

1) उस संख्या से जिसके मूल की हमें आवश्यकता है, विषम संख्याओं को बारी-बारी से घटाया जाता है - जब तक कि आउटपुट पर शेष घटाए गए एक या सम संख्या से कम न हो जाए शून्य. चालों की संख्या अंततः वांछित संख्या बन जाएगी। उदाहरण के लिए, 25 के वर्गमूल की गणना:

अगली विषम संख्या 11 है, शेषफल है: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ऐसे मामलों के लिए, टेलर श्रृंखला का विस्तार होता है:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , जहां n 0 से मान लेता है

+∞, और |y|≤1.

फ़ंक्शन z=√y . का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र में एक प्राथमिक फलन z=√y पर विचार करें, जहाँ y शून्य से बड़ा या उसके बराबर है। उसका चार्ट इस तरह दिखता है:

वक्र मूल बिंदु से बढ़ता है और अनिवार्य रूप से बिंदु (1; 1) को पार करता है।

वास्तविक संख्या R . के क्षेत्र में फलन z=√y के गुणधर्म

1. माना फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य शामिल है)।

2. माना फ़ंक्शन के मानों की सीमा शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य फिर से शामिल है)।

3. फलन केवल बिंदु (0; 0) पर न्यूनतम मान (0) लेता है। कोई अधिकतम मूल्य नहीं है।

4. फलन z=√y न तो सम है और न ही विषम।

5. फलन z=√y आवर्त नहीं है।

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु है: (0; 0)।

7. फलन z=√y के ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु भी इस फलन का शून्य होता है।

8. फलन z=√y लगातार बढ़ रहा है।

9. फलन z=√y केवल धनात्मक मान लेता है, इसलिए इसका ग्राफ पहले निर्देशांक कोण पर कब्जा करता है।

फ़ंक्शन z=√y . प्रदर्शित करने के विकल्प

गणित में, जटिल व्यंजकों की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, कभी-कभी वर्गमूल लिखने के घातीय रूप का उपयोग किया जाता है: y=y 1/2। यह विकल्प सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को घात तक बढ़ाने में: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 । यह विधि एकीकरण के साथ विभेदीकरण के लिए भी एक अच्छा प्रतिनिधित्व है, क्योंकि इसके लिए धन्यवाद वर्गमूल को एक साधारण शक्ति फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है।

और प्रोग्रामिंग में, प्रतीक √ का प्रतिस्थापन sqrt अक्षरों का संयोजन है।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस क्षेत्र में वर्गमूल बहुत मांग में है, क्योंकि यह गणना के लिए आवश्यक अधिकांश ज्यामितीय सूत्रों का हिस्सा है। गिनती एल्गोरिथ्म अपने आप में काफी जटिल है और यह रिकर्सन (एक फ़ंक्शन जो स्वयं को कॉल करता है) पर आधारित है।

जटिल क्षेत्र में वर्गमूल C

मोटे तौर पर, यह इस लेख का विषय था जिसने जटिल संख्या सी के क्षेत्र की खोज को प्रेरित किया, क्योंकि गणितज्ञ एक ऋणात्मक संख्या से एक समान डिग्री रूट प्राप्त करने के सवाल से प्रेतवाधित थे। इस प्रकार मैं काल्पनिक इकाई दिखाई दी, जो एक बहुत ही रोचक संपत्ति की विशेषता है: इसका वर्ग -1 है। इसके लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरण और एक नकारात्मक विवेचक के साथ एक समाधान मिला। सी में, वर्गमूल के लिए, वही गुण प्रासंगिक हैं जैसे आर में, केवल एक चीज यह है कि मूल अभिव्यक्ति पर प्रतिबंध हटा दिए जाते हैं।

एक वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 81 वर्गमीटर है। उसका पक्ष खोजें। मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई है एक्सडेसीमीटर तब भूखंड का क्षेत्रफल है एक्स² वर्ग डेसीमीटर। चूँकि, शर्त के अनुसार, यह क्षेत्रफल 81 dm² है, तो एक्स= 81. एक वर्ग की भुजा की लंबाई एक धनात्मक संख्या होती है। एक धनात्मक संख्या जिसका वर्ग 81 है, संख्या 9 है। समस्या को हल करते समय, संख्या x ज्ञात करना आवश्यक था, जिसका वर्ग 81 है, अर्थात समीकरण को हल करें एक्स= 81. इस समीकरण के दो मूल हैं: एक्स 1 = 9 और एक्स 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 और (- 9)² \u003d 81 के बाद से। दोनों संख्या 9 और - 9 को संख्या 81 का वर्गमूल कहा जाता है।

ध्यान दें कि वर्गमूलों में से एक एक्स= 9 एक धनात्मक संख्या है। इसे 81 का अंकगणितीय वर्गमूल कहा जाता है और इसे 81 से दर्शाया जाता है, इसलिए 81 = 9।

किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल एएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग के बराबर है ए.

उदाहरण के लिए, संख्या 6 और -6 36 की वर्गमूल हैं। संख्या 6 36 का अंकगणितीय वर्गमूल है, क्योंकि 6 एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और 6² = 36 है। संख्या -6 अंकगणितीय मूल नहीं है।

किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल एनिम्नानुसार दर्शाया गया है: ए।

चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है; एमूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। अभिव्यक्ति एपढ़ना इस तरह: किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल ए।उदाहरण के लिए, 36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7। ऐसे मामलों में जहां यह स्पष्ट है कि हम बात कर रहे हेअंकगणितीय मूल के बारे में, वे संक्षेप में कहते हैं: "का वर्गमूल ए«.

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने की क्रिया को वर्गमूल निकालना कहते हैं। यह क्रिया चुकता का उल्टा है।

किसी भी संख्या का वर्ग किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक संख्या वर्गमूल नहीं हो सकती। उदाहरण के लिए, संख्या - 4 का वर्गमूल निकालना असंभव है। यदि ऐसा मूल मौजूद है, तो इसे अक्षर से निरूपित करते हुए एक्स, हमें गलत समानता x² \u003d - 4 मिलेगी, क्योंकि बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है।

अभिव्यक्ति एकेवल तभी समझ में आता है जब एक 0. वर्गमूल की परिभाषा को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक 0, (√ए)² = ए. समानता ए)² = एके लिए मान्य एक 0. इस प्रकार, यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एबराबरी बी, यानी, कि ए =बी, आपको यह जांचना होगा कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं: बी 0, बी² = ए।

भिन्न का वर्गमूल

आइए गणना करें। ध्यान दें कि 25 = 5, √36 = 6, और जाँच करें कि क्या समानता है।

जैसा और , तो समानता सत्य है। इसलिए, .

प्रमेय:यदि एक ए 0 और बी> 0, यानी भिन्न का मूल जड़ के बराबरहर की जड़ से विभाजित अंश से। यह साबित करना आवश्यक है कि: और .

चूंकि ए 0 और बी> 0, फिर।

भिन्न को घात तक बढ़ाने और वर्गमूल निर्धारित करने के गुण से प्रमेय सिद्ध होता है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

सिद्ध प्रमेय के अनुसार गणना करें .

दूसरा उदाहरण: सिद्ध कीजिए कि , अगर ए ≤ 0, बी < 0. .

एक और उदाहरण: गणना करें।

.

वर्गमूल परिवर्तन

गुणक को जड़ के चिन्ह के नीचे से निकालना। एक अभिव्यक्ति दी जाए। यदि एक ए 0 और बी 0, तब गुणनफल के मूल पर प्रमेय द्वारा हम लिख सकते हैं:

इस तरह के परिवर्तन को मूल चिह्न का गुणनखंडन कहा जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें;

पर गणना करें एक्स= 2. प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन एक्स= 2 मूल अभिव्यक्ति में जटिल गणनाओं की ओर जाता है। इन गणनाओं को सरल बनाया जा सकता है यदि हम पहले मूल चिह्न के नीचे के कारकों को हटा दें: . अब x = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, जब मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालते हैं, तो मूलांक व्यंजक को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें एक या अधिक गुणनखंड गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग होते हैं। फिर मूल उत्पाद प्रमेय लागू किया जाता है और प्रत्येक कारक की जड़ ली जाती है। एक उदाहरण पर विचार करें: पहले दो पदों में मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालकर व्यंजक A = √8 + √18 - 4√2 को सरल कीजिए, हमें प्राप्त होता है: हम इस बात पर जोर देते हैं कि समानता तभी मान्य है जब ए 0 और बी 0. अगर ए < 0, то .

अक्सर, समस्याओं को हल करते समय, हमें बड़ी संख्या में सामना करना पड़ता है जिससे हमें निकालने की आवश्यकता होती है वर्गमूल. कई छात्र तय करते हैं कि यह एक गलती है और पूरे उदाहरण को हल करना शुरू करते हैं। किसी भी हालत में ऐसा नहीं करना चाहिए! इसके लिए दो कारण हैं:

1. से जड़ें बड़ी संख्यावास्तव में कार्यों में होता है। विशेष रूप से पाठ में;
2. एक एल्गोरिथ्म है जिसके द्वारा इन जड़ों को लगभग मौखिक रूप से माना जाता है।

हम आज इस एल्गोरिथम पर विचार करेंगे। शायद कुछ बातें आपको समझ से परे लगेंगी। लेकिन अगर आप इस पाठ पर ध्यान दें, तो आपको सबसे शक्तिशाली हथियार मिल जाएगा वर्गमूल.

तो एल्गोरिथ्म:

1. वांछित रूट को ऊपर और नीचे 10 के गुणकों तक सीमित करें। इस प्रकार, हम खोज श्रेणी को 10 संख्याओं तक कम कर देंगे;
2. इन 10 संख्याओं में से उन संख्याओं को हटा दें जो निश्चित रूप से मूल नहीं हो सकतीं। नतीजतन, 1-2 नंबर रहेंगे;
3. इन 1-2 नंबरों को स्क्वायर करें। उनमें से जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर है, वह मूल होगा।

इस एल्गोरिथम को लागू करने से पहले व्यवहार में काम करता है, आइए प्रत्येक व्यक्तिगत चरण को देखें।

जड़ें बाधा

सबसे पहले हमें यह पता लगाना होगा कि हमारा मूल किन संख्याओं के बीच स्थित है। यह अत्यधिक वांछनीय है कि संख्याएँ दस की गुणज हों:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

हमें संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ये नंबर हमें क्या देते हैं? यह आसान है: हमें सीमाएं मिलती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1296 लें। यह 900 और 1600 के बीच है। इसलिए, इसकी जड़ 30 से कम और 40 से अधिक नहीं हो सकती है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ऐसा ही किसी अन्य संख्या के साथ है जिससे आप वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 3364:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

इस प्रकार, एक समझ से बाहर की संख्या के बजाय, हमें एक बहुत विशिष्ट श्रेणी मिलती है जिसमें मूल मूल निहित होता है। खोज के दायरे को और कम करने के लिए, दूसरे चरण पर जाएँ।

स्पष्ट रूप से अनावश्यक संख्याओं का उन्मूलन

तो, हमारे पास 10 नंबर हैं - रूट के लिए उम्मीदवार। एक कॉलम में जटिल सोच और गुणा के बिना, हमने उन्हें बहुत जल्दी प्राप्त किया। आगे चलने का समय आ गया है।

मानो या न मानो, अब हम उम्मीदवारों की संख्या को घटाकर दो कर देंगे - और फिर बिना किसी जटिल गणना के! जानने के लिए पर्याप्त विशेष नियम. यह रहा:

वर्ग का अंतिम अंक केवल अंतिम अंक पर निर्भर करता है मूल संख्या.

दूसरे शब्दों में, वर्ग के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है - और हम तुरंत समझ जाएंगे कि मूल संख्या कहां समाप्त होती है।

केवल 10 अंक हैं जो खड़े हो सकते हैं अंतिम स्थान. आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि चुकता होने पर वे क्या बन जाते हैं। तालिका पर एक नज़र डालें:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

यह तालिका जड़ की गणना की दिशा में एक और कदम है। जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति की संख्याएँ पाँचों के सापेक्ष सममित निकलीं। उदाहरण के लिए:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों मामलों में अंतिम अंक समान है। और इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 3364 की जड़ अनिवार्य रूप से 2 या 8 में समाप्त होती है। दूसरी ओर, हम पिछले पैराग्राफ से प्रतिबंध को याद करते हैं। हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

लाल वर्ग दिखाते हैं कि हम अभी तक इस आंकड़े को नहीं जानते हैं। लेकिन आखिर मूल 50 और 60 के बीच होता है, जिस पर 2 और 8 में समाप्त होने वाली केवल दो संख्याएँ होती हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

बस इतना ही! सभी संभावित जड़ों में से, हमने केवल दो विकल्प छोड़े! और यह सबसे कठिन स्थिति में है, क्योंकि अंतिम अंक 5 या 0 हो सकता है। और फिर जड़ों के लिए एकमात्र उम्मीदवार रहेगा!

अंतिम गणना

तो, हमारे पास 2 उम्मीदवार संख्याएं शेष हैं। आप कैसे जानते हैं कि कौन सी जड़ है? उत्तर स्पष्ट है: दोनों संख्याओं का वर्ग करें। जो चुकता करेगा वह मूल संख्या देगा, और वह मूल होगा।

उदाहरण के लिए, संख्या 3364 के लिए, हमें दो उम्मीदवार संख्याएँ मिलीं: 52 और 58। आइए उनका वर्ग करें:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364।

बस इतना ही! यह पता चला कि जड़ 58 है! उसी समय, गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने योग और अंतर के वर्गों के सूत्र का उपयोग किया। इसके लिए धन्यवाद, आपको एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की भी आवश्यकता नहीं है! यह गणना के अनुकूलन का एक और स्तर है, लेकिन, निश्चित रूप से, यह पूरी तरह से वैकल्पिक है :)

रूट गणना उदाहरण

सिद्धांत अच्छा है, बिल्कुल। लेकिन आइए व्यवहार में इसका परीक्षण करें।

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

सबसे पहले, आइए जानें कि किन नंबरों के बीच 576 नंबर आता है:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

अब आखिरी नंबर पर नजर डालते हैं। यह 6 के बराबर है। यह कब होता है? केवल यदि मूल 4 या 6 में समाप्त होता है। हमें दो संख्याएँ प्राप्त होती हैं:

यह प्रत्येक संख्या का वर्ग करने और मूल के साथ तुलना करने के लिए बनी हुई है:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

बढ़िया! पहला वर्ग मूल संख्या के बराबर निकला। तो यह जड़ है।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

1369 → 9;
33; 37.

आइए इसे चौकोर करें:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369।

यहाँ उत्तर है: 37।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम संख्या सीमित करते हैं:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

2704 → 4;
52; 58.

आइए इसे चौकोर करें:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

हमें उत्तर मिला: 52. दूसरी संख्या को अब चुकता करने की आवश्यकता नहीं होगी।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम संख्या सीमित करते हैं:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

4225 → 5;
65.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे चरण के बाद, केवल एक विकल्प रहता है: 65. यह वांछित जड़ है। लेकिन आइए अभी भी इसे वर्गाकार करें और जांचें:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

सब कुछ सही है। हम उत्तर लिखते हैं।

निष्कर्ष

काश, बेहतर नहीं। आइए कारणों पर एक नजर डालते हैं। उनमें से दो:

• किसी भी सामान्य गणित परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग करना मना है, चाहे वह जीआईए हो या एकीकृत राज्य परीक्षा। और कक्षा में कैलकुलेटर ले जाने के लिए, उन्हें आसानी से परीक्षा से बाहर किया जा सकता है।
• बेवकूफ अमेरिकियों की तरह मत बनो। जो मूल की तरह नहीं हैं - वे दो अभाज्य संख्याएँ नहीं जोड़ सकते। और भिन्नों को देखते ही, वे आम तौर पर उन्मादी हो जाते हैं।

इस लेख में, हम परिचय देंगे एक संख्या की जड़ की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से कार्य करेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, इससे हम विवरण पर आगे बढ़ेंगे घनमूल, उसके बाद हम nवीं डिग्री के मूल को परिभाषित करके मूल की अवधारणा को सामान्य करते हैं। साथ ही, हम परिभाषाएं, संकेतन, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियां देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, किसी के पास . इस बिंदु पर, हम अक्सर एक संख्या की दूसरी शक्ति का सामना करेंगे - एक संख्या का वर्ग।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएं.

परिभाषा

a . का वर्गमूलवह संख्या है जिसका वर्ग a है।

लाने के लिए वर्गमूल के उदाहरण, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5 , -0.3 , 0.3 , 0 , और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25 , 0.09 , 0.09 और 0 संख्याएँ मिलती हैं (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (-0.3) 2 =(-0.3) (-0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 और 0 2 =0 0=0 )। फिर ऊपर की परिभाषा के अनुसार, 5 25 का वर्गमूल है, -0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल है, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए मौजूद नहीं है, जिसका वर्ग एक के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या के लिए कोई नहीं है वास्तविक संख्या b , जिसका वर्ग a के बराबर होगा। वास्तव में, समानता a=b 2 किसी भी ऋणात्मक a के लिए असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।

यह एक तार्किक प्रश्न की ओर ले जाता है: "क्या किसी गैर-ऋणात्मक के लिए a का वर्गमूल है"? इसका जवाब है हाँ। इस तथ्य के औचित्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक रचनात्मक विधि माना जा सकता है।

फिर निम्नलिखित तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दिए गए गैर-ऋणात्मक संख्या के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक"? इसका उत्तर यह है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि a कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a से वर्गमूलों की संख्या दो के बराबर है, और मूल हैं । आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

आइए मामले से शुरू करते हैं a=0 । आइए पहले हम यह दिखाएं कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 = 0·0 = 0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि 0 ही शून्य का एक मात्र वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। आइए मान लें कि कुछ गैर-शून्य संख्या बी है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त बी 2 = 0 को संतुष्ट होना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य बी के लिए अभिव्यक्ति बी 2 का मान सकारात्मक है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।

आइए उन मामलों की ओर बढ़ते हैं जहां a एक धनात्मक संख्या है। ऊपर हमने कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा होता है, मान लीजिए कि b, a का वर्गमूल है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएं b 2 =a और c 2 =a मान्य हैं, जिससे यह निम्नानुसार है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूंकि b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , फिर (b−c) (b+c)=0 । बल में परिणामी समानता वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 । इस प्रकार संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्कों के समान तर्क से यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। अतः, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो होती है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ होती हैं।

वर्गमूलों के साथ काम करने की सुविधा के लिए नकारात्मक जड़सकारात्मक से अलग करता है। इस उद्देश्य के लिए, यह परिचय देता है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

संख्या a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए अंकन स्वीकार किया जाता है। इस चिन्ह को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह कहा जाता है। इसे रेडिकल का संकेत भी कहा जाता है। इसलिए, आप आंशिक रूप से "रूट" और "रेडिकल" दोनों को सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के नीचे व्यंजक - कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, जबकि "रेडिकल नंबर" शब्द को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन में, संख्या 151 एक मूलांक है, और संकेतन में, व्यंजक एक मूलांक है।

पढ़ते समय, "अंकगणित" शब्द को अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस सौवें का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का उच्चारण तभी किया जाता है जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल की बात कर रहे हैं।

प्रस्तुत संकेतन के आलोक में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से इस प्रकार है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए a .

एक धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न और के रूप में प्रयोग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 के वर्गमूल हैं और . शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं के लिए a, हम तब तक प्रविष्टियों का अर्थ नहीं जोड़ेंगे जब तक हम अध्ययन नहीं करते जटिल आंकड़े. उदाहरण के लिए, भाव और अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका प्रयोग प्रायः व्यवहार में किया जाता है।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम देखते हैं कि किसी संख्या के वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप के हल होते हैं।

का घनमूल

घनमूल की परिभाषासंख्या का वर्गमूल की परिभाषा के समान तरीके से दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग पर नहीं।

परिभाषा

a . का घनमूलवह संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

चलो लाते हैं उदाहरण घनमूल . ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7 , 0 , −2/3 , और उन्हें घन करें: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0 0=0 , . फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और -2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि वर्गमूल के विपरीत संख्या a का घनमूल हमेशा मौजूद होता है, और न केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए, बल्कि किसी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूल का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, दी गई संख्या a का केवल एक घनमूल होता है। आइए हम अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन मामलों पर अलग-अलग विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि धनात्मक a के लिए, a का घनमूल ऋणात्मक या शून्य नहीं हो सकता। वास्तव में, मान लीजिए b a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सही नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः एक धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अतिरिक्त संख्या a से एक और घनमूल है, आइए इसे c से निरूपित करें। फिर सी 3 = ए। इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0 , लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी) (बी 2 +बी सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), कहाँ से (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 । परिणामी समानता तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b c+c 2 =0 । पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि इसका बायां भाग किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए एक धनात्मक संख्या है, जो तीन धनात्मक पदों b 2 , b c और c 2 के योग के रूप में है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता को सिद्ध करता है।

a=0 के लिए, a का एकमात्र घनमूल शून्य है। वास्तव में, यदि हम मानते हैं कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 को धारण करना चाहिए, जो तभी संभव है जब b=0 ।

नकारात्मक a के लिए, कोई सकारात्मक a के मामले के समान तर्क दे सकता है। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल या तो धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और यह दर्शाता है कि यह आवश्यक रूप से पहले वाले से मेल खाएगा।

इसलिए, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल होता है, और केवल एक।

चलो हम देते है अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . का अंकगणितीय घनमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या के अंकगणितीय घनमूल को इस रूप में निरूपित किया जाता है, संकेत को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को कहा जाता है मूल सूचक. मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के नीचे व्यंजक है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति.

यद्यपि अंकगणितीय घनमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, उन प्रविष्टियों का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिनमें ऋणात्मक संख्या अंकगणितीय घनमूल चिह्न के अंतर्गत हैं। हम उन्हें इस प्रकार समझेंगे: जहाँ a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

हम सामान्य आलेख में मूलों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

क्यूब रूट के मूल्य की गणना को क्यूब रूट निकालना कहा जाता है, इस क्रिया की चर्चा जड़ों को निकालने वाले लेख में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम कहते हैं कि a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक हल है।

n वां मूल, n . का अंकगणितीय मूल

हम एक संख्या से मूल की अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं - हम परिचय देते हैं nth रूट का निर्धारणएन के लिए

परिभाषा

a . का nवां मूलएक संख्या है जिसकी nth घात a के बराबर है।

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि संख्या ए से पहली डिग्री की जड़ संख्या ए ही है, क्योंकि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हमने 1 = ए लिया।

ऊपर, हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवीं डिग्री के मूल के विशेष मामलों पर विचार किया। यानी वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n = 4, 5, 6, ... के लिए nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (अर्थात, n = 4, 6 के लिए) , 8, ...), दूसरा समूह - मूल विषम अंश (अर्थात n=5, 7, 9, ... के लिए)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम अंशों की जड़ें वर्गमूल के समान होती हैं, और विषम अंशों की जड़ें घनमूल के समान होती हैं। आइए उनसे बारी-बारी से निपटें।

हम उन जड़ों से शुरू करते हैं जिनकी शक्तियां हैं सम संख्या 4, 6, 8, ... जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, वे a के वर्गमूल के अनुरूप होते हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी सम घात का मूल केवल अऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a=0, तो a का मूल अद्वितीय है और शून्य के बराबर है, और यदि a>0, तो संख्या a से सम अंश के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएं हैं।

आइए हम पिछले दावे को सही ठहराते हैं। मान लीजिए b सम घात का मूल है (हम इसे 2 m के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ m कुछ है प्राकृतिक संख्या) नंबर ए से। मान लीजिए कि एक संख्या c है - a का दूसरा 2 m मूल। तब b 2 m −c 2 m =a−a=0 । लेकिन हम b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) के रूप के बारे में जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), फिर (बी-सी) (बी+सी) (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2)=0. इस समानता से यह निम्नानुसार है कि b−c=0 , या b+c=0 , or b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहली दो समानता का मतलब है कि संख्या बी और सी बराबर हैं या बी और सी विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल के लिए मान्य है b=c=0 , क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-ऋणात्मक है।

विषम n के लिए nth डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए संख्या a से किसी भी विषम घात का मूल मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या के लिए यह अद्वितीय होता है।

संख्या a से विषम डिग्री 2·m+1 के मूल की विशिष्टता को a से घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध किया जाता है। समानता की जगह सिर्फ यहीं a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = . के रूप की समानता (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम). अंतिम कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: बी 2 एम +सी 2 एम +बी सी (बी 2 एम-2 +सी 2 एम-2 + बी सी (बी 2 एम−4 +सी 2 एम−4 +बी सी (…+(बी 2 +सी 2 +बी सी)))). उदाहरण के लिए, m=2 के लिए हमारे पास है b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (बी-सी) (बी 4 +सी 4 +बी सी (बी 2 +सी 2 +बी सी)). जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है, तो व्यंजक b 2 +c 2 +b·c , जो नेस्टिंग के उच्चतम स्तर के कोष्ठकों में होता है, धनात्मक के योग के रूप में धनात्मक होता है संख्याएं। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठकों में व्यंजकों की क्रमिक रूप से आगे बढ़ते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक हों। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0 , अर्थात, जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।

यह nth डिग्री की जड़ों के अंकन से निपटने का समय है। इसके लिए दिया जाता है nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल का निर्धारण.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है, जिसकी nवीं घात a के बराबर होती है।