कौन सी संख्याएँ प्राकृतिक हैं। सटीक विषय का अध्ययन: प्राकृतिक संख्याएं क्या संख्याएं, उदाहरण और गुण हैं

प्राकृतिक संख्याएँ सबसे पुरानी गणितीय अवधारणाओं में से एक हैं।

सुदूर अतीत में, लोग संख्याओं को नहीं जानते थे, और जब उन्हें वस्तुओं (जानवरों, मछलियों, आदि) को गिनने की आवश्यकता होती थी, तो उन्होंने इसे अब की तुलना में अलग तरीके से किया।

वस्तुओं की संख्या की तुलना शरीर के अंगों से की गई, उदाहरण के लिए, हाथ की उंगलियों से, और उन्होंने कहा: "मेरे पास उतने ही नट हैं जितने हाथ पर उंगलियां हैं।"

समय के साथ, लोगों ने महसूस किया कि पाँच नट, पाँच बकरियाँ और पाँच खरगोश एक सामान्य संपत्ति हैं - उनकी संख्या पाँच है।

याद है!

पूर्णांकोंसंख्याएं हैं, जो 1 से शुरू होती हैं, वस्तुओं की गिनती करते समय प्राप्त की जाती हैं।

1, 2, 3, 4, 5…

सबसे छोटी प्राकृत संख्या — 1 .

सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्यामौजूद नहीं होना।

गिनती करते समय, शून्य संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है। अतः शून्य को प्राकृत संख्या नहीं माना जाता है।

लोगों ने संख्याओं को गिनने के बजाय बहुत बाद में लिखना सीखा। सबसे पहले, उन्होंने एक छड़ी के साथ इकाई का प्रतिनिधित्व करना शुरू किया, फिर दो छड़ियों के साथ - संख्या 2, तीन के साथ - संख्या 3।

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

फिर संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए विशेष संकेत दिखाई दिए - आधुनिक संख्याओं के अग्रदूत। संख्याएँ लिखने के लिए हम जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, वे लगभग 1,500 साल पहले भारत में उत्पन्न हुई थीं। अरब उन्हें यूरोप लाए, इसलिए उन्हें कहा जाता है अरबी अंक.

कुल दस अंक होते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। इन अंकों का प्रयोग किसी भी प्राकृत संख्या को लिखने के लिए किया जा सकता है।

याद है!

प्राकृतिक श्रृंखलासभी प्राकृतिक संख्याओं का क्रम है:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

प्राकृतिक श्रृंखला में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से 1 अधिक होती है।

प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है, इसमें कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली गणना प्रणाली कहलाती है दशमलव स्थितीय.

दशमलव क्योंकि प्रत्येक अंक की 10 इकाइयाँ सबसे महत्वपूर्ण अंक की 1 इकाई बनाती हैं। स्थितीय क्योंकि किसी अंक का मान किसी संख्या के अंकन में उसके स्थान पर निर्भर करता है, अर्थात उस अंक पर जिसमें वह लिखा जाता है।

जरूरी!

अरबों का अनुसरण करने वाले वर्गों को संख्याओं के लैटिन नामों के अनुसार नामित किया गया है। प्रत्येक अगली इकाई में एक हजार पिछले होते हैं।

• 1,000 बिलियन = 1,000,000,000,000 = 1 ट्रिलियन ("तीन" लैटिन "तीन" के लिए है)
• 1,000 ट्रिलियन = 1,000,000,000,000 = 1 क्वाड्रिलियन ("क्वाड्रा" लैटिन में "चार" के लिए है)
• 1,000 क्वाड्रिलियन = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 क्विंटल ("क्विंटा" लैटिन "पांच" के लिए है)

हालांकि, भौतिकविदों ने एक संख्या पाई है जो पूरे ब्रह्मांड में सभी परमाणुओं (पदार्थ के सबसे छोटे कण) की संख्या से अधिक है।

इस अंक का एक विशेष नाम है - गूगोल. गूगोल एक संख्या है जिसमें 100 शून्य होते हैं।

पूर्णांकों- प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने के लिए किया जाता है। सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को कभी-कभी प्राकृत श्रेणी कहते हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, आदि। .

प्राकृत संख्याएँ लिखने के लिए दस अंकों का प्रयोग किया जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. इनकी सहायता से आप कोई भी प्राकृत संख्या लिख ​​सकते हैं। इस अंकन को दशमलव कहते हैं।

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। ऐसी कोई संख्या नहीं है जो अंतिम होगी, क्योंकि एक को हमेशा अंतिम संख्या में जोड़ा जा सकता है और एक को वह संख्या प्राप्त होगी जो पहले से ही वांछित संख्या से बड़ी है। इस मामले में, हम कहते हैं कि प्राकृतिक श्रृंखला में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है।

प्राकृत संख्याओं के अंक

संख्याओं का प्रयोग करते हुए किसी भी संख्या को लिखने में वह स्थान महत्वपूर्ण होता है जिस पर संख्या का स्थान होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 3 का अर्थ है: 3 इकाइयाँ यदि यह संख्या में सबसे अंत में आती है; 3 दहाई यदि यह अंतिम स्थान पर संख्या में होगा; 4 शतक, अगर वह अंत से तीसरे नंबर पर होगी।

अंतिम अंक का अर्थ है इकाइयों का अंक, अंतिम एक - दहाई का अंक, अंत से 3 - सैकड़ों अंक।

एकल और एकाधिक अंक

यदि किसी संख्या के किसी अंक में 0 है, तो इसका अर्थ है कि इस अंक में कोई इकाई नहीं है।

संख्या 0 का अर्थ शून्य है। शून्य "कोई नहीं" है।

शून्य कोई प्राकृत संख्या नहीं है। हालांकि कुछ गणितज्ञ अन्यथा सोचते हैं।

यदि किसी संख्या में एक अंक होता है, तो उसे एक अंक, दो - दो अंक, तीन - तीन अंक आदि कहा जाता है।

वे संख्याएँ जो एकल अंक नहीं होतीं, बहु अंक कहलाती हैं।

बड़ी प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के लिए अंकों की कक्षाएं

बड़ी प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के लिए, संख्या को दाहिने किनारे से शुरू करते हुए, तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है। इन समूहों को वर्ग कहा जाता है।

दाहिने किनारे से पहले तीन अंक इकाई वर्ग बनाते हैं, अगले तीन हजार वर्ग, अगले तीन लाख वर्ग बनाते हैं।

एक मिलियन एक हजार हजार है, रिकॉर्ड के लिए वे संक्षिप्त नाम मिलियन 1 मिलियन = 1,000,000 का उपयोग करते हैं।

एक अरब = एक हजार करोड़। रिकॉर्डिंग के लिए, संक्षिप्त नाम बिलियन 1 बिलियन = 1,000,000,000 का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण लिखें और पढ़ें

इस संख्या की अरबों वर्ग में 15 इकाइयाँ, लाखों वर्ग में 389 इकाइयाँ, हज़ार वर्ग में शून्य इकाइयाँ और इकाई वर्ग में 286 इकाइयाँ हैं।

यह संख्या इस प्रकार पढ़ती है: 15 अरब 389 मिलियन 286।

बाएं से दाएं नंबर पढ़ें। बदले में, प्रत्येक वर्ग की इकाइयों की संख्या को बुलाया जाता है और फिर वर्ग का नाम जोड़ा जाता है।

प्राकृतिक संख्याएँ मनुष्य से परिचित और सहज हैं, क्योंकि वे हमें बचपन से ही घेरे रहती हैं। नीचे दिए गए लेख में, हम प्राकृतिक संख्याओं के अर्थ का एक मूल विचार देंगे, उन्हें लिखने और पढ़ने के बुनियादी कौशल का वर्णन करेंगे। संपूर्ण सैद्धांतिक भाग उदाहरणों के साथ होगा।

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प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य विचार

मानव जाति के विकास के एक निश्चित चरण में, कुछ वस्तुओं को गिनने और उनकी मात्रा निर्धारित करने का कार्य उत्पन्न हुआ, जिसके लिए इस समस्या को हल करने के लिए एक उपकरण खोजने की आवश्यकता थी। प्राकृतिक संख्याएँ एक ऐसा उपकरण बन गईं। प्राकृतिक संख्याओं का मुख्य उद्देश्य भी स्पष्ट है - यदि हम किसी समुच्चय के बारे में बात कर रहे हैं तो वस्तुओं की संख्या या किसी विशेष वस्तु की क्रम संख्या का अंदाजा लगाना।

यह तर्कसंगत है कि किसी व्यक्ति के लिए प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने के लिए, उन्हें देखने और पुन: पेश करने का एक तरीका होना आवश्यक है। तो, एक प्राकृतिक संख्या को आवाज दी जा सकती है या चित्रित किया जा सकता है, जो सूचना देने के प्राकृतिक तरीके हैं।

प्राकृतिक संख्याओं की आवाज (पढ़ने) और छवियों (लेखन) के बुनियादी कौशल पर विचार करें।

एक प्राकृतिक संख्या का दशमलव अंकन

याद करें कि निम्नलिखित वर्ण कैसे प्रदर्शित होते हैं (हम उन्हें अल्पविराम से अलग करते हैं): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . इन वर्णों को अंक कहते हैं।

अब हम एक नियम के रूप में लेते हैं कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को चित्रित (लिखते) करते समय, केवल संकेतित अंकों का उपयोग किसी अन्य प्रतीकों की भागीदारी के बिना किया जाता है। मान लीजिए कि प्राकृत संख्या लिखते समय अंकों की ऊँचाई समान होती है, एक के बाद एक पंक्ति में लिखे जाते हैं, और बाईं ओर हमेशा एक अंक होता है जो शून्य से भिन्न होता है।

आइए हम प्राकृतिक संख्याओं के सही संकेतन के उदाहरण दें: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001। अंकों के बीच के इंडेंट हमेशा समान नहीं होते हैं, संख्याओं के वर्गों का अध्ययन करते समय इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की जाएगी। दिए गए उदाहरणों से पता चलता है कि एक प्राकृत संख्या लिखते समय उपरोक्त श्रृंखला के सभी अंकों का होना आवश्यक नहीं है। उनमें से कुछ या सभी को दोहराया जा सकता है।

परिभाषा 1

फॉर्म के रिकॉर्ड: 065, 0, 003, 0791 प्राकृतिक संख्याओं के रिकॉर्ड नहीं हैं, क्योंकि बाईं ओर संख्या 0 है।

सभी वर्णित आवश्यकताओं को ध्यान में रखकर बनाई गई प्राकृतिक संख्या का सही अंकन कहलाता है एक प्राकृतिक संख्या का दशमलव संकेतन.

प्राकृतिक संख्याओं का मात्रात्मक अर्थ

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्राकृतिक संख्याएँ शुरू में, अन्य बातों के अलावा, एक मात्रात्मक अर्थ रखती हैं। प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने के विषय में अंकन उपकरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं की चर्चा की जाती है।

आइए प्राकृतिक संख्याओं से शुरू करें, जिनमें से प्रविष्टियां अंकों की प्रविष्टियों के साथ मेल खाती हैं, अर्थात: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

एक निश्चित वस्तु की कल्पना करें, उदाहरण के लिए, यह: । हम जो देखते हैं उसे लिख सकते हैं 1 चीज़। प्राकृतिक संख्या 1 को "एक" या "एक" के रूप में पढ़ा जाता है। "इकाई" शब्द का एक और अर्थ भी है: ऐसा कुछ जिसे संपूर्ण माना जा सकता है। यदि कोई समुच्चय है, तो उसके किसी भी अवयव को एक से निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कई चूहों में से कोई भी माउस एक होता है; फूलों के समूह से कोई भी फूल एक इकाई है।

अब कल्पना कीजिए: । हम एक वस्तु और दूसरी वस्तु देखते हैं, अर्थात्। रिकॉर्ड में यह होगा - 2 आइटम। प्राकृतिक संख्या 2 को "दो" के रूप में पढ़ा जाता है।

इसके अलावा, सादृश्य द्वारा: - 3 आइटम ("तीन"), - 4 ("चार"), - 5 ("पांच"), - 6 ("छः"), - 7 ("सात"), - 8 ("आठ"), - 9 (" नौ")।

संकेतित स्थिति से, एक प्राकृतिक संख्या का कार्य इंगित करना है मात्रासामान।

परिभाषा 1

यदि किसी संख्या की प्रविष्टि अंक 0 की प्रविष्टि से मेल खाती है, तो ऐसी संख्या कहलाती है "शून्य"।शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, लेकिन इसे अन्य प्राकृतिक संख्याओं के साथ मिलकर माना जाता है। शून्य का अर्थ है नहीं, अर्थात। शून्य वस्तुओं का मतलब कोई नहीं है।

एकल अंक प्राकृतिक संख्याएं

यह एक स्पष्ट तथ्य है कि ऊपर चर्चा की गई प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) को लिखते समय, हम एक चिह्न - एक अंक का उपयोग करते हैं।

परिभाषा 2

एकल अंक प्राकृतिक संख्या- एक प्राकृत संख्या, जिसे एक चिह्न - एक अंक का प्रयोग करके लिखा जाता है।

नौ एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9।

दो अंकों और तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएं

परिभाषा 3

दो अंकों की प्राकृत संख्या- प्राकृत संख्याएं, जो दो चिह्नों - दो अंकों का प्रयोग करके लिखी जाती हैं। इस मामले में, उपयोग की जाने वाली संख्या या तो समान या भिन्न हो सकती है।

उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याएँ 71, 64, 11 दो अंकों वाली हैं।

दो अंकों की संख्याओं के अर्थ पर विचार करें। हम पहले से ज्ञात एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ पर भरोसा करेंगे।

आइए ऐसी अवधारणा को "दस" के रूप में पेश करें।

वस्तुओं के एक समूह की कल्पना करें, जिसमें नौ और एक और शामिल हैं। इस मामले में, हम लगभग 1 दर्जन ("एक दर्जन") आइटम के बारे में बात कर सकते हैं। यदि आप एक दर्जन और एक और की कल्पना करते हैं, तो हम 2 दहाई ("दो दहाई") के बारे में बात करेंगे। दो दहाई में एक और दहाई जोड़ने पर हमें तीन दहाई प्राप्त होते हैं। और इसी तरह: एक दर्जन को जोड़ना जारी रखते हुए, हमें चार दहाई, पांच दहाई, छह दहाई, सात दहाई, आठ दहाई और अंत में नौ दहाई मिलते हैं।

आइए दो अंकों की संख्या को एकल-अंकीय संख्याओं के समूह के रूप में देखें, जिनमें से एक दाईं ओर लिखी गई है, दूसरी बाईं ओर। बाईं ओर की संख्या प्राकृतिक संख्या में दहाई की संख्या को इंगित करेगी, और दाईं ओर की संख्या लोगों की संख्या को इंगित करेगी। मामले में जब संख्या 0 दाईं ओर स्थित है, तो हम इकाइयों की अनुपस्थिति के बारे में बात कर रहे हैं। उपरोक्त प्राकृतिक दो अंकों की संख्याओं का मात्रात्मक अर्थ है। उनमें से कुल 90 हैं।

परिभाषा 4

तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या- प्राकृत संख्याएँ, जो तीन वर्णों - तीन अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं। संख्याएँ भिन्न हो सकती हैं या किसी भी संयोजन में दोहराई जा सकती हैं।

उदाहरण के लिए, 413, 222, 818, 750 तीन अंकों की प्राकृत संख्याएँ हैं।

तीन-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ को समझने के लिए, हम अवधारणा का परिचय देते हैं "सौ"।

परिभाषा 5

एक सौ (1 सौ)दस दहाई का समुच्चय है। एक सौ जमा एक सौ दो सौ के बराबर होता है। एक और सौ जोड़ें और 3 शतक प्राप्त करें। धीरे-धीरे एक सौ जोड़ने पर, हमें मिलता है: चार सौ, पांच सौ, छह सौ, सात सौ, आठ सौ, नौ सौ।

तीन अंकों की संख्या के रिकॉर्ड पर ही विचार करें: इसमें शामिल एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएं एक के बाद एक बाएं से दाएं लिखी जाती हैं। सबसे दाहिना एकल अंक इकाइयों की संख्या को इंगित करता है; बाईं ओर एक अंक की अगली संख्या - दसियों की संख्या से; सबसे बाईं ओर का एकल अंक सैकड़ों की संख्या है। यदि प्रविष्टि में संख्या 0 शामिल है, तो यह इकाइयों और / या दहाई की अनुपस्थिति को इंगित करता है।

तो, तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या 402 का अर्थ है: 2 इकाइयाँ, 0 दहाई (ऐसे दहाई नहीं हैं जो सैकड़ों में संयुक्त नहीं हैं) और 4 सैकड़ों।

सादृश्य द्वारा, चार अंकों, पांच अंकों और इसी तरह की प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा दी गई है।

बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याएं

उपरोक्त सभी से, अब बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याओं की परिभाषा की ओर बढ़ना संभव है।

परिभाषा 6

बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याएं- प्राकृत संख्याएँ, जो दो या दो से अधिक वर्णों का प्रयोग करके लिखी जाती हैं। बहु-अंकीय प्राकृत संख्याएँ दो-अंकीय, तीन-अंकीय, आदि संख्याएँ होती हैं।

एक हजार एक सेट है जिसमें दस सौ शामिल हैं; एक लाख हजार हजार से बनता है; एक अरब - एक हजार मिलियन; एक ट्रिलियन एक हजार बिलियन है। बड़े सेटों के भी नाम होते हैं, लेकिन उनका उपयोग दुर्लभ होता है।

इसी प्रकार उपरोक्त सिद्धांत के समान, हम किसी भी बहु-अंकीय प्राकृत संख्या को एकल-अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के रूप में मान सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक, एक निश्चित स्थान पर होने के कारण, उपस्थिति और इकाइयों की संख्या, दहाई, सैकड़ों, हजारों, दहाई को इंगित करता है। हजारों, सैकड़ों हजारों, लाखों, दसियों लाख, सैकड़ों लाखों, अरबों, और इसी तरह (क्रमशः दाएं से बाएं)।

उदाहरण के लिए, बहु-अंकीय संख्या 4 912 305 में शामिल हैं: 5 इकाइयाँ, 0 दहाई, तीन सौ, 2 हज़ार, 1 दहाई हज़ार, 9 सैकड़ों हज़ार और 4 लाख।

संक्षेप में, हमने इकाइयों को विभिन्न सेटों (दहाई, सैकड़ों, आदि) में समूहित करने के कौशल की जांच की और देखा कि एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड में संख्याएं ऐसे प्रत्येक सेट में इकाइयों की संख्या का एक पदनाम हैं।

प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ना, कक्षाएं

उपरोक्त सिद्धांत में, हमने प्राकृत संख्याओं के नामों को निरूपित किया। तालिका 1 में, हम इंगित करते हैं कि भाषण और वर्णानुक्रम में एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं के नामों का सही उपयोग कैसे करें:

संख्या	मर्दाना	स्त्री	नपुंसक लिंग
1 2 3 4 5 6 7 8 9	एक दो तीन चार पांच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पांच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पांच छह सात आठ नौ

संख्या	कर्ताकारक मामले	संबंधकारक	संप्रदान कारक	कर्म कारक	इंस्ट्रुमेंटल केस	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
1 2 3 4 5 6 7 8 9	एक दो तीन चार पांच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पांच छह अर्द्ध आठ नौ	एक को दो ट्रेम चार पांच छह अर्द्ध आठ नौ	एक दो तीन चार पांच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पांच छह परिवार आठ नौ	लगभग एक लगभग दो तीन के बारे में लगभग चार दोबारा लगभग छह लगभग सात लगभग आठ लगभग नौ

दो अंकों की संख्याओं को पढ़ने और लिखने के लिए, आपको तालिका 2 में दिए गए डेटा को सीखना होगा:

संख्या	मर्दाना, स्त्री और नपुंसक
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे

संख्या	कर्ताकारक मामले	संबंधकारक	संप्रदान कारक	कर्म कारक	इंस्ट्रुमेंटल केस	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	करीब दस लगभग ग्यारह लगभग बारह लगभग तेरह लगभग चौदह लगभग पंद्रह लगभग सोलह लगभग सत्रह लगभग अठारह उन्नीस के बारे में लगभग बीस लगभग तीस ओह मैगपाई पचास के करीब लगभग साठ लगभग सत्तर लगभग अस्सी लगभग नब्बे

अन्य प्राकृतिक दो अंकों की संख्याओं को पढ़ने के लिए, हम दोनों तालिकाओं के डेटा का उपयोग करेंगे, इस पर एक उदाहरण के साथ विचार करें। मान लीजिए कि हमें दो अंकों की एक प्राकृतिक संख्या 21 को पढ़ना है। इस संख्या में 1 इकाई और 2 दहाई हैं, अर्थात्। 20 और 1. तालिकाओं की ओर मुड़ते हुए, हम संकेतित संख्या को "इक्कीस" के रूप में पढ़ते हैं, जबकि शब्दों के बीच "और" का उच्चारण करने की आवश्यकता नहीं है। मान लीजिए कि हमें किसी वाक्य में संकेतित संख्या 21 का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो कि जनन मामले में वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है: "21 सेब नहीं हैं।" इस मामले में, उच्चारण इस तरह लगेगा: "इक्कीस सेब नहीं हैं।"

आइए स्पष्टता के लिए एक और उदाहरण दें: संख्या 76, जिसे "छहत्तर" के रूप में पढ़ा जाता है और, उदाहरण के लिए, "छहत्तर टन।"

संख्या	नियुक्त	संबंधकारक	संप्रदान कारक	कर्म कारक	इंस्ट्रुमेंटल केस	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
100 200 300 400 500 600 700 800 900	सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	स्टेडियम दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	स्टेडियम दो सौ ट्रेमस्टाम चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	स्टेडियम दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छे सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	लगभग सौ लगभग दो सौ लगभग तीन सौ लगभग चार सौ लगभग पाँच सौ लगभग छह सौ लगभग सात सौ लगभग आठ सौ लगभग नौ सौ

तीन अंकों की संख्या को पूरी तरह से पढ़ने के लिए, हम सभी निर्दिष्ट तालिकाओं के डेटा का भी उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृत संख्या 305 दी गई है। यह संख्या 5 इकाइयों, 0 दहाई और 3 सौ: 300 और 5 से मेल खाती है। तालिका को आधार के रूप में लेते हुए, हम पढ़ते हैं: "तीन सौ पांच" या मामलों में गिरावट में, उदाहरण के लिए, इस तरह: "तीन सौ पांच मीटर।"

आइए एक और संख्या पढ़ें: 543। तालिकाओं के नियमों के अनुसार, संकेतित संख्या इस तरह सुनाई देगी: "पांच सौ तैंतालीस" या मामले में गिरावट, उदाहरण के लिए, इस तरह: "कोई पांच सौ तैंतालीस रूबल।"

आइए बहु-अंकीय प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के सामान्य सिद्धांत पर चलते हैं: एक बहु-अंकीय संख्या को पढ़ने के लिए, आपको इसे दाएं से बाएं तीन अंकों के समूहों में तोड़ना होगा, और सबसे बाएं समूह में 1, 2 या 3 अंक हो सकते हैं। . ऐसे समूहों को वर्ग कहा जाता है।

चरम दाहिना वर्ग इकाइयों का वर्ग है; फिर अगली कक्षा, बाईं ओर - हजारों की कक्षा; आगे - लाखों का वर्ग; उसके बाद अरबों का वर्ग आता है, उसके बाद खरबों का वर्ग आता है। निम्नलिखित वर्गों का भी एक नाम है, लेकिन बड़ी संख्या में वर्णों (16, 17 और अधिक) से युक्त प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग शायद ही कभी पढ़ने में किया जाता है, उन्हें कान से समझना काफी मुश्किल है।

रिकॉर्ड की धारणा की सुविधा के लिए, वर्गों को एक छोटे से इंडेंट द्वारा एक दूसरे से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 ।

कक्षा खरब	कक्षा एक अरब	कक्षा दस लाख	हजार वर्ग	इकाई वर्ग
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

एक बहु-अंकीय संख्या को पढ़ने के लिए, हम उन संख्याओं को बारी-बारी से कॉल करते हैं जो इसे बनाते हैं (बाएं से दाएं, कक्षा के अनुसार, वर्ग का नाम जोड़ते हुए)। इकाइयों के वर्ग के नाम का उच्चारण नहीं किया जाता है, और वे वर्ग जो तीन अंक 0 बनाते हैं, उनका भी उच्चारण नहीं किया जाता है। यदि एक कक्षा में बाईं ओर एक या दो अंक 0 मौजूद हों, तो पढ़ते समय उनका किसी भी तरह से उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 054 को "फिवन-फोर" या 001 को "एक" के रूप में पढ़ा जाता है।

उदाहरण 1

आइए हम संख्या 2 533 467 001 222 के पठन की विस्तार से जाँच करें:

हम संख्या 2 को खरबों के वर्ग के एक घटक के रूप में पढ़ते हैं - "दो";

वर्ग का नाम जोड़ने पर, हमें मिलता है: "दो ट्रिलियन";

हम निम्नलिखित संख्या पढ़ते हैं, संबंधित वर्ग का नाम जोड़ते हैं: "पांच सौ तैंतीस अरब";

हम सादृश्य द्वारा जारी रखते हैं, अगली कक्षा को दाईं ओर पढ़ते हुए: "चार सौ साठ-सत्तर मिलियन";

अगली कक्षा में, हम बाईं ओर स्थित दो अंक 0 देखते हैं। उपरोक्त पढ़े गए नियमों के अनुसार, अंक 0 हटा दिए जाते हैं और रिकॉर्ड पढ़ने में भाग नहीं लेते हैं। तब हमें मिलता है: "एक हजार";

हम इकाइयों के अंतिम वर्ग को उसका नाम जोड़े बिना पढ़ते हैं - "दो सौ बाईस"।

इस प्रकार, संख्या 2 533 467 001 222 इस तरह सुनाई देगी: दो ट्रिलियन पांच सौ तैंतीस अरब चार सौ साठ-सत्तर लाख एक हजार दो सौ बाईस। इस सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हम अन्य दी गई संख्याओं को भी पढ़ सकते हैं:

31 013 736 - इकतीस लाख तेरह हजार सात सौ छत्तीस;

134 678 - एक सौ चौंतीस हजार छह सौ अहहत्तर;

23 476 009 434 - तेईस अरब चार सौ छिहत्तर मिलियन नौ हजार चार सौ चौंतीस।

इस प्रकार, बहु-अंकीय संख्याओं के सही पढ़ने का आधार एक बहु-अंकीय संख्या को वर्गों में विभाजित करने की क्षमता, संबंधित नामों का ज्ञान और दो- और तीन-अंकीय संख्याओं को पढ़ने के सिद्धांत की समझ है।

जैसा कि उपरोक्त सभी से पहले ही स्पष्ट हो गया है, इसका मूल्य उस स्थिति पर निर्भर करता है जिस पर अंक संख्या के रिकॉर्ड में है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या 314 में संख्या 3 सैकड़ों की संख्या को दर्शाती है, अर्थात् 3 सौ। संख्या 2 दहाई (1 दस) की संख्या है, और संख्या 4 इकाइयों की संख्या (4 इकाइयों) है। इस स्थिति में, हम कहेंगे कि संख्या 4 इकाई के स्थान पर है और दी गई संख्या में इकाई के स्थान का मान है। संख्या 1 दहाई के स्थान पर है और दहाई स्थान के मान के रूप में कार्य करती है। अंक 3 सौ के स्थान पर स्थित होता है और सौ स्थान का मान होता है।

परिभाषा 7

स्राव होनाएक प्राकृतिक संख्या के अंकन में एक अंक की स्थिति है, साथ ही इस अंक का मान है, जो किसी दिए गए नंबर में इसकी स्थिति से निर्धारित होता है।

डिस्चार्ज के अपने नाम हैं, हम पहले ही उनका इस्तेमाल ऊपर कर चुके हैं। दाएं से बाएं, अंक अनुसरण करते हैं: इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों, हज़ार, दसियों हज़ार, आदि।

याद रखने की सुविधा के लिए, आप निम्न तालिका का उपयोग कर सकते हैं (हम 15 अंक दर्शाते हैं):

आइए इस विवरण को स्पष्ट करें: किसी दिए गए बहु-अंकीय संख्या में अंकों की संख्या संख्या प्रविष्टि में वर्णों की संख्या के समान होती है। उदाहरण के लिए, इस तालिका में 15 वर्णों वाली संख्या के सभी अंकों के नाम हैं। बाद के डिस्चार्ज के भी नाम होते हैं, लेकिन इनका उपयोग बहुत कम होता है और सुनने में बहुत असुविधाजनक होता है।

ऐसी तालिका की सहायता से किसी दी गई प्राकृत संख्या को तालिका में लिख कर रैंक निर्धारित करने का कौशल विकसित करना संभव होता है जिससे कि इकाई अंक में सबसे दाहिना अंक और फिर प्रत्येक अंक में अंक द्वारा लिखा जाए। उदाहरण के लिए, आइए एक बहु-अंकीय प्राकृत संख्या 56 402 513 674 इस प्रकार लिखें:

संख्या 0 पर ध्यान दें, जो दसियों लाख के निर्वहन में स्थित है - इसका अर्थ है इस श्रेणी की इकाइयों की अनुपस्थिति।

हम बहु-अंकीय संख्या के निम्नतम और उच्चतम अंकों की अवधारणाओं का भी परिचय देते हैं।

परिभाषा 8

निम्नतम (जूनियर) रैंककोई भी बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्या इकाई अंक होती है।

उच्चतम (वरिष्ठ) श्रेणीकिसी भी बहु-अंकीय प्राकृत संख्या का - दी गई संख्या के अंकन में सबसे बाईं ओर के अंक के संगत अंक।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 41,781 में: निम्नतम रैंक इकाइयों की रैंक है; उच्चतम रैंक दसियों हज़ार अंकों का है।

यह तार्किक रूप से इस प्रकार है कि एक दूसरे के सापेक्ष अंकों की वरिष्ठता के बारे में बात करना संभव है। बाएं से दाएं जाने पर प्रत्येक बाद का अंक पिछले वाले की तुलना में कम (छोटा) होता है। और इसके विपरीत: दाएं से बाएं जाने पर, प्रत्येक अगला अंक पिछले वाले की तुलना में अधिक (पुराना) होता है। उदाहरण के लिए, हजारों का अंक सैकड़ों अंकों से पुराना है, लेकिन लाखों अंकों से छोटा है।

आइए हम स्पष्ट करें कि कुछ व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि किसी दी गई संख्या के बिट शब्दों का योग होता है।

संक्षेप में दशमलव संख्या प्रणाली के बारे में

परिभाषा 9

नोटेशन- संकेतों का उपयोग करके संख्या लिखने की एक विधि।

स्थितीय संख्या प्रणाली- वे जिनमें किसी अंक का मान संख्या के अंकन में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है।

इस परिभाषा के अनुसार, हम कह सकते हैं कि प्राकृत संख्याओं का अध्ययन करते समय और जिस तरह से उन्हें ऊपर लिखा गया है, हमने स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग किया है। नंबर 10 यहां एक विशेष स्थान निभाता है। हम दसियों में गिनते रहते हैं: दस इकाइयाँ दस, दस दहाई को सौ में मिलाती हैं, और इसी तरह। संख्या 10 इस संख्या प्रणाली के आधार के रूप में कार्य करती है, और प्रणाली को ही दशमलव भी कहा जाता है।

इसके अलावा, अन्य संख्या प्रणाली भी हैं। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान बाइनरी सिस्टम का उपयोग करता है। जब हम समय का ध्यान रखते हैं, तो हम सेक्जैसिमल संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं।

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छठी शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास सामान्य दर्शन से गणित का उदय हुआ। ई।, और उसी क्षण से दुनिया भर में उसका विजयी मार्च शुरू हुआ। विकास के प्रत्येक चरण ने कुछ नया पेश किया - प्रारंभिक गणना विकसित हुई, अंतर और अभिन्न कलन में बदल गई, सदियां बदल गईं, सूत्र अधिक से अधिक भ्रमित हो गए, और वह क्षण आया जब "सबसे जटिल गणित शुरू हुआ - सभी संख्याएं इससे गायब हो गईं।" लेकिन आधार क्या था?

समय की शुरुआत

पहले गणितीय संक्रियाओं के साथ प्राकृतिक संख्याएँ भी दिखाई दीं। एक बार एक रीढ़, दो रीढ़, तीन रीढ़ ... वे भारतीय वैज्ञानिकों के लिए धन्यवाद प्रकट हुए जिन्होंने पहली स्थिति का अनुमान लगाया

शब्द "स्थिति" का अर्थ है कि किसी संख्या में प्रत्येक अंक का स्थान सख्ती से परिभाषित होता है और इसकी श्रेणी से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 784 और 487 समान संख्याएँ हैं, लेकिन संख्याएँ समान नहीं हैं, क्योंकि पहले में 7 शतक शामिल हैं, जबकि दूसरे में केवल 4। भारतीयों के नवाचार को अरबों द्वारा उठाया गया था, जो संख्याएँ लाए थे। रूप जिसे हम अभी जानते हैं।

प्राचीन काल में, संख्याओं को एक रहस्यमय अर्थ दिया जाता था, पाइथागोरस का मानना ​​​​था कि संख्या मुख्य तत्वों - अग्नि, जल, पृथ्वी, वायु के साथ-साथ दुनिया के निर्माण का आधार है। यदि हम सब कुछ केवल गणितीय पक्ष से देखें, तो प्राकृत संख्या क्या है? प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र को N के रूप में दर्शाया गया है और यह पूर्णांक और धनात्मक संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला है: 1, 2, 3, … + । शून्य को बाहर रखा गया है। यह मुख्य रूप से वस्तुओं की गिनती और आदेश को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

गणित में क्या है? पीनो के अभिगृहीत

क्षेत्र N वह आधार क्षेत्र है जिस पर प्राथमिक गणित निर्भर करता है। समय के साथ, पूर्णांकों के क्षेत्र, परिमेय,

इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो के काम ने अंकगणित की आगे की संरचना को संभव बनाया, इसकी औपचारिकता हासिल की और आगे के निष्कर्ष के लिए मार्ग प्रशस्त किया जो कि क्षेत्र एन से परे था।

प्राकृत संख्या क्या है, इसे पहले सरल भाषा में स्पष्ट किया गया था, नीचे हम पीनो के अभिगृहीतों पर आधारित गणितीय परिभाषा पर विचार करेंगे।

• एक को प्राकृतिक संख्या माना जाता है।
• एक प्राकृत संख्या के बाद आने वाली संख्या एक प्राकृत संख्या होती है।
• एक से पहले कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है।
• यदि संख्या b, संख्या c और संख्या d दोनों का अनुसरण करती है, तो c=d.
• प्रेरण का स्वयंसिद्ध, जो बदले में दर्शाता है कि एक प्राकृतिक संख्या क्या है: यदि कोई कथन जो एक पैरामीटर पर निर्भर करता है, संख्या 1 के लिए सही है, तो हम मानते हैं कि यह प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र से संख्या n के लिए भी काम करता है। फिर यह कथन प्राकृत संख्याओं N के क्षेत्र से n = 1 के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र के लिए बुनियादी संचालन

चूंकि क्षेत्र एन गणितीय गणना के लिए पहला बन गया है, परिभाषा के डोमेन और नीचे दिए गए कई कार्यों के मूल्यों की श्रेणी दोनों इसे संदर्भित करते हैं। वे बंद हैं और नहीं। मुख्य अंतर यह है कि बंद संचालन को सेट एन के भीतर परिणाम छोड़ने की गारंटी दी जाती है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सी संख्याएं शामिल हैं। यह पर्याप्त है कि वे प्राकृतिक हैं। शेष संख्यात्मक अंतःक्रियाओं का परिणाम अब इतना स्पष्ट नहीं है और यह सीधे इस बात पर निर्भर करता है कि अभिव्यक्ति में किस प्रकार की संख्याएँ शामिल हैं, क्योंकि यह मुख्य परिभाषा का खंडन कर सकती है। तो, बंद संचालन:

• जोड़ - x + y = z, जहाँ x, y, z फ़ील्ड N में शामिल हैं;
• गुणन - x * y = z, जहाँ x, y, z को N फ़ील्ड में शामिल किया गया है;
• घातांक - x y , जहाँ x, y को N फ़ील्ड में शामिल किया गया है।

शेष संचालन, जिसका परिणाम "एक प्राकृतिक संख्या क्या है" परिभाषा के संदर्भ में मौजूद नहीं हो सकता है, निम्नलिखित हैं:

फ़ील्ड N . से संबंधित संख्याओं के गुण

आगे के सभी गणितीय तर्क निम्नलिखित गुणों पर आधारित होंगे, सबसे तुच्छ, लेकिन कम महत्वपूर्ण नहीं।

• जोड़ का कम्यूटेटिव गुण x + y = y + x है, जहां संख्या x, y को फ़ील्ड N में शामिल किया जाता है। या प्रसिद्ध "योग शब्दों के स्थानों में परिवर्तन से नहीं बदलता है।"
• गुणन का क्रमविनिमेय गुण x * y = y * x है, जहाँ संख्याएँ x, y क्षेत्र N में शामिल हैं।
• जोड़ का साहचर्य गुण (x + y) + z = x + (y + z) है, जहाँ x, y, z फ़ील्ड N में शामिल हैं।
• गुणन का साहचर्य गुण (x * y) * z = x * (y * z) है, जहाँ संख्याएँ x, y, z क्षेत्र N में शामिल हैं।
• वितरण गुण - x (y + z) = x * y + x * z, जहाँ संख्याएँ x, y, z फ़ील्ड N में शामिल हैं।

पाइथागोरस तालिका

स्कूली बच्चों द्वारा प्राथमिक गणित की संपूर्ण संरचना के ज्ञान में पहला कदम, यह समझने के बाद कि किन संख्याओं को प्राकृतिक कहा जाता है, पाइथागोरस तालिका है। इसे न केवल विज्ञान की दृष्टि से, बल्कि एक मूल्यवान वैज्ञानिक स्मारक के रूप में भी माना जा सकता है।

इस गुणन तालिका में समय के साथ कई बदलाव हुए हैं: इसमें से शून्य को हटा दिया गया है, और 1 से 10 तक की संख्याएं बिना आदेश (सैकड़ों, हजारों ...) को ध्यान में रखे बिना खुद को दर्शाती हैं। यह एक तालिका है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों के शीर्षक संख्याएँ होते हैं, और उनके प्रतिच्छेदन की कोशिकाओं की सामग्री उनके उत्पाद के बराबर होती है।

हाल के दशकों में शिक्षण के अभ्यास में, पाइथागोरस तालिका को "क्रम में" याद रखने की आवश्यकता हुई है, अर्थात याद रखना पहले चला गया। 1 से गुणा को बाहर रखा गया था क्योंकि परिणाम 1 या अधिक था। इस बीच, नग्न आंखों वाली तालिका में, आप एक पैटर्न देख सकते हैं: संख्याओं का गुणनफल एक कदम बढ़ता है, जो रेखा के शीर्षक के बराबर होता है। इस प्रकार, दूसरा कारक हमें दिखाता है कि वांछित उत्पाद प्राप्त करने के लिए हमें पहले वाले को कितनी बार लेने की आवश्यकता है। यह प्रणाली मध्य युग में प्रचलित एक की तुलना में बहुत अधिक सुविधाजनक है: यहां तक ​​​​कि यह समझते हुए कि एक प्राकृतिक संख्या क्या है और यह कितनी तुच्छ है, लोग दो की शक्तियों के आधार पर एक प्रणाली का उपयोग करके अपनी दैनिक गणना को जटिल बनाने में कामयाब रहे।

गणित के पालने के रूप में सबसेट

फिलहाल, प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र को केवल जटिल संख्याओं के सबसेट में से एक माना जाता है, लेकिन यह उन्हें विज्ञान में कम मूल्यवान नहीं बनाता है। एक प्राकृतिक संख्या वह पहली चीज है जो एक बच्चा अपने और अपने आसपास की दुनिया का अध्ययन करके सीखता है। एक उंगली, दो उंगलियां ... उसके लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति तार्किक सोच विकसित करता है, साथ ही कारण निर्धारित करने और प्रभाव को कम करने की क्षमता, महान खोजों का मार्ग प्रशस्त करता है।

परिभाषा

प्राकृतिक संख्याएँ वस्तुओं को गिनने के लिए अभिप्रेत संख्याएँ कहलाती हैं। प्राकृतिक संख्याओं को रिकॉर्ड करने के लिए, 10 अरबी अंकों (0–9) का उपयोग किया जाता है, जो आमतौर पर गणितीय गणना के लिए स्वीकृत दशमलव संख्या प्रणाली का आधार बनते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का क्रम

प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होकर सभी धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को कवर करती हुई एक श्रृंखला बनाती हैं। इस तरह के अनुक्रम में संख्या 1,2,3, ... होती है। इसका मतलब है कि प्राकृतिक श्रृंखला में:

1. सबसे छोटी संख्या होती है और सबसे बड़ी कोई नहीं।
2. प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से 1 से अधिक है (अपवाद स्वयं इकाई है)।
3. जैसे-जैसे संख्याएं अनंत तक जाती हैं, वे अनिश्चित काल तक बढ़ती जाती हैं।

कभी-कभी 0 को प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में भी पेश किया जाता है। यह अनुमेय है, और फिर वे इसके बारे में बात करते हैं विस्तारितप्राकृतिक श्रृंखला।

प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग

एक प्राकृत संख्या का प्रत्येक अंक एक निश्चित अंक को व्यक्त करता है। अंतिम हमेशा संख्या में इकाइयों की संख्या होती है, इससे पहले एक दसियों की संख्या होती है, तीसरा अंत से सैकड़ों की संख्या होती है, चौथा हजारों की संख्या होती है, और इसी तरह।

• संख्या 276 में: 2 शतक, 7 दहाई, 6 इकाइयाँ
• 1098 की संख्या में: 1 हजार, 9 दहाई, 8 वाले; यहां सैकड़ा का स्थान अनुपस्थित है, क्योंकि इसे शून्य के रूप में व्यक्त किया जाता है।

बड़ी और बहुत बड़ी संख्याओं के लिए, आप एक स्थिर प्रवृत्ति देख सकते हैं (यदि आप दाईं से बाईं ओर की संख्या की जांच करते हैं, यानी अंतिम अंक से पहले तक):

• संख्या में अंतिम तीन अंक इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों हैं;
• पिछले तीन इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों हज़ार हैं;
• उनके सामने तीन (अर्थात संख्या के 7वें, 8वें और 9वें अंक, अंत से गिनते हुए) इकाई, दहाई और करोड़ों आदि हैं।

यही है, हर बार हम तीन अंकों के साथ काम कर रहे हैं, जिसका अर्थ है इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों बड़े नाम। ऐसे समूह वर्ग बनाते हैं। और अगर आपको रोज़मर्रा की ज़िंदगी में पहले तीन वर्गों को कम या ज्यादा बार करना है, तो दूसरों को सूचीबद्ध किया जाना चाहिए, क्योंकि हर कोई उनके नाम को दिल से याद नहीं करता है।

• चौथी कक्षा, जो लाखों के वर्ग का अनुसरण करती है और 10-12 अंकों की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करती है, एक अरब (या एक अरब) कहलाती है;
• 5 वीं कक्षा - ट्रिलियन;
• छठी कक्षा - क्वाड्रिलियन;
• 7 वीं कक्षा - क्विंटलियन;
• 8 वीं कक्षा - सेक्स्टिलियन;
• 9वीं कक्षा - सेप्टिलियन।

प्राकृत संख्याओं का योग

प्राकृत संख्याओं का योग एक अंकगणितीय ऑपरेशन है जो आपको एक संख्या प्राप्त करने की अनुमति देता है जिसमें उतनी ही इकाइयाँ होती हैं जितनी एक साथ जोड़ी गई संख्याओं में होती हैं।

जोड़ का चिन्ह "+" चिन्ह है। जोड़े गए नंबरों को पद कहा जाता है, परिणाम को योग कहा जाता है।

मौखिक रूप से छोटी संख्याएँ जोड़ी जाती हैं (सारांशित), लिखित में ऐसी क्रियाओं को एक पंक्ति में लिखा जाता है।

बहु-अंकीय संख्याएँ, जिन्हें दिमाग में जोड़ना मुश्किल होता है, आमतौर पर एक कॉलम में जोड़ दी जाती हैं। इसके लिए संख्याओं को एक के नीचे एक, अंतिम अंक के साथ संरेखित करते हुए लिखा जाता है, अर्थात वे इकाई अंक को इकाई अंक के नीचे, सैकड़ों अंक को सैकड़ों अंकों के नीचे, और इसी तरह लिखते हैं। इसके बाद, आपको अंकों को जोड़े में जोड़ना होगा। यदि अंकों का योग दस के माध्यम से संक्रमण के साथ होता है, तो यह दस बाईं ओर के अंक के ऊपर एक इकाई के रूप में तय किया जाता है (अर्थात इसका अनुसरण करता है) और इस अंक के अंकों के साथ जोड़ा जाता है।

यदि कॉलम में 2 नहीं, बल्कि अधिक संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, तो श्रेणी के अंकों का योग करते समय, 1 दर्जन नहीं, बल्कि कई, बेमानी हो सकते हैं। इस स्थिति में, ऐसे दहाई की संख्या को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं का घटाव

घटाव एक अंकगणितीय ऑपरेशन है, जोड़ का उल्टा, जो इस तथ्य पर उबलता है कि, राशि और शर्तों में से एक को देखते हुए, आपको एक और - एक अज्ञात शब्द खोजने की आवश्यकता है। जिस संख्या से घटाया जा रहा है उसे मिन्यूएंड कहा जाता है; जो संख्या घटाई जा रही है वह सबट्रेंड है। घटाव के परिणाम को अंतर कहा जाता है। घटाव की क्रिया को दर्शाने वाला चिन्ह "-" है।

जोड़ के संक्रमण में, सबट्रेंड और अंतर शब्दों में बदल जाते हैं, और योग में कम हो जाते हैं। जोड़ आमतौर पर प्रदर्शन किए गए घटाव की शुद्धता की जांच करता है, और इसके विपरीत।

यहां 74 मिन्यूएंड है, 18 सबट्रेंड है, 56 अंतर है।

प्राकृतिक संख्याओं को घटाने के लिए एक पूर्वापेक्षा निम्नलिखित है: माइन्यूएंड अनिवार्य रूप से सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में परिणामी अंतर भी एक प्राकृतिक संख्या होगी। यदि घटाव क्रिया एक विस्तारित प्राकृतिक श्रृंखला के लिए की जाती है, तो यह अनुमति दी जाती है कि मिन्यूएंड सबट्रेंड के बराबर है। और इस मामले में घटाव का परिणाम 0 होगा।

नोट: यदि सबट्रेंड शून्य के बराबर है, तो घटाव ऑपरेशन मिन्यूएंड के मान को नहीं बदलता है।

बहु-अंकीय संख्याओं का घटाव आमतौर पर एक कॉलम में किया जाता है। संख्याओं को उसी तरह लिखिए जैसे जोड़ के लिए। घटाव संबंधित अंकों के लिए किया जाता है। यदि यह पता चलता है कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से कम है, तो एक को पिछले (बाईं ओर स्थित) अंक से लिया जाता है, जो स्थानांतरण के बाद स्वाभाविक रूप से 10 में बदल जाता है। इस दस को कम किए गए आंकड़े के साथ अभिव्यक्त किया जाता है अंक दिया और फिर घटाया। इसके अलावा, अगला अंक घटाते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि घटा हुआ 1 कम हो गया है।

प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल

प्राकृत संख्याओं का गुणनफल (या गुणन) एक अंकगणितीय संक्रिया है, जो समान पदों की एक मनमाना संख्या का योग ज्ञात कर रहा है। गुणन के संचालन को रिकॉर्ड करने के लिए, "·" (कभी-कभी "×" या "*") चिह्न का उपयोग करें। उदाहरण के लिए: 3 5=15।

जब बड़ी संख्या में पदों को जोड़ना आवश्यक हो तो गुणन की क्रिया अपरिहार्य है। उदाहरण के लिए, यदि आपको संख्या 4 7 बार जोड़ने की आवश्यकता है, तो 4 को 7 से गुणा करना इस जोड़ को करने से आसान है: 4+4+4+4+4+4+4।

जिन संख्याओं को गुणा किया जाता है, उन्हें गुणनखंड कहते हैं, गुणन का परिणाम गुणनफल होता है। तदनुसार, "कार्य" शब्द, संदर्भ के आधार पर, गुणन की प्रक्रिया और उसके परिणाम दोनों को व्यक्त कर सकता है।

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम में गुणा किया जाता है। इसके लिए संख्या उसी तरह लिखी जाती है जैसे जोड़ और घटाव के लिए। पहले (ऊपर) लिखने की सिफारिश की जाती है कि 2 में से कौन सी संख्या लंबी है। इस मामले में, गुणन प्रक्रिया सरल होगी, और इसलिए अधिक तर्कसंगत होगी।

जब एक कॉलम में गुणा किया जाता है, तो दूसरी संख्या के प्रत्येक अंक के अंकों को उसके अंत से शुरू करते हुए, पहली संख्या के अंकों से क्रमिक रूप से गुणा किया जाता है। इस तरह का पहला काम मिलने के बाद, वे इकाइयों की संख्या लिखते हैं, और दसियों की संख्या को ध्यान में रखते हैं। दूसरी संख्या के अंक को पहली संख्या के अगले अंक से गुणा करने पर जो अंक ध्यान में रखा जाता है वह गुणनफल में जुड़ जाता है। और फिर से वे प्राप्त परिणाम की इकाइयों की संख्या लिखते हैं, और दसियों की संख्या याद करते हैं। पहली संख्या के अंतिम अंक से गुणा करने पर इस प्रकार प्राप्त संख्या पूर्ण रूप से लिख दी जाती है।

दूसरी संख्या के दूसरे अंक के अंकों को गुणा करने का परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा जाता है, इसे 1 सेल को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है। आदि। नतीजतन, एक "सीढ़ी" प्राप्त की जाएगी। संख्याओं की सभी परिणामी पंक्तियों को जोड़ा जाना चाहिए (एक कॉलम में जोड़ के नियम के अनुसार)। खाली कोशिकाओं को शून्य से भरा माना जाना चाहिए। परिणामी योग अंतिम उत्पाद है।

टिप्पणी

1. किसी भी प्राकृत संख्या का 1 (या 1 बटा संख्या) का गुणनफल स्वयं संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 376 1=376; 1 86=86.
2. जब कारकों में से एक या दोनों कारक 0 के बराबर होते हैं, तो उत्पाद 0 के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 32·0=0; 0 845=845; 0 0 = 0।

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

विभाजन को एक अंकगणितीय ऑपरेशन कहा जाता है, जिसकी सहायता से, एक ज्ञात उत्पाद और कारकों में से एक के अनुसार, यह एक और - अज्ञात - कारक पाया जा सकता है। भाग गुणन का विलोम है और इसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या गुणन सही ढंग से किया गया है (और इसके विपरीत)।

जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे विभाज्य कहा जाता है; जिस संख्या से इसे विभाजित किया जाता है वह भाजक है; भाग के परिणाम को भागफल कहते हैं। विभाजन चिह्न ":" है (कभी-कभी, कम बार - "÷")।

यहां 48 भाज्य है, 6 भाजक है और 8 भागफल है।

सभी प्राकृत संख्याओं को आपस में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, विभाजन शेष के साथ किया जाता है। यह इस तथ्य में समाहित है कि भाजक के लिए इस तरह के कारक का चयन किया जाता है ताकि भाजक द्वारा इसका उत्पाद एक संख्या हो जो लाभांश के मूल्य के जितना करीब हो, लेकिन उससे कम हो। भाजक को इस कारक से गुणा किया जाता है और लाभांश से घटाया जाता है। अंतर विभाजन का शेष होगा। गुणनखंड द्वारा भाजक का गुणनफल अपूर्ण भागफल कहलाता है। ध्यान दें: शेष चयनित गुणक से कम होना चाहिए! यदि शेष बड़ा है, तो इसका मतलब है कि गुणक गलत तरीके से चुना गया है, और इसे बढ़ाया जाना चाहिए।

हम 7 के लिए एक गुणनखंड का चयन करते हैं। इस स्थिति में, यह संख्या 5 है। हम एक अपूर्ण भागफल पाते हैं: 7 5 \u003d 35। शेष की गणना करें: 38-35=3। 3 . से<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, भाजक और भाजक को साथ-साथ लिखा जाता है, भाजक को एक ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखा से अलग किया जाता है। लाभांश में, पहले अंक या पहले कुछ अंक (दाईं ओर) चुने जाते हैं, जो एक ऐसी संख्या होनी चाहिए जो एक भाजक द्वारा विभाजित करने के लिए न्यूनतम रूप से पर्याप्त हो (अर्थात यह संख्या भाजक से बड़ी होनी चाहिए)। इस संख्या के लिए, एक अपूर्ण भागफल का चयन किया जाता है, जैसा कि शेष के साथ विभाजन के नियम में वर्णित है। आंशिक भागफल ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त गुणक की संख्या भाजक के नीचे लिखी जाती है। अधूरा भागफल उस संख्या के नीचे लिखा जाता है जिसे विभाजित किया गया था, सही-संरेखित। उनका अंतर ज्ञात कीजिए। लाभांश के अगले अंक को इस अंतर के आगे लिखकर नष्ट कर दिया जाता है। परिणामी संख्या के लिए, विभाजक के नीचे पिछले एक के बगल में, चयनित कारक का आंकड़ा लिखकर एक अधूरा भागफल फिर से पाया जाता है। आदि। इस तरह की कार्रवाइयां तब तक की जाती हैं जब तक कि लाभांश की संख्या समाप्त नहीं हो जाती। उसके बाद, विभाजन को पूर्ण माना जाता है। यदि लाभांश और भाजक को पूरी तरह से विभाजित किया जाता है (शेष के बिना), तो अंतिम अंतर शून्य देगा। अन्यथा, शेष संख्या वापस कर दी जाएगी।

घातांक

घातांक एक गणितीय ऑपरेशन है जिसमें समान संख्याओं की एक मनमानी संख्या को गुणा करना शामिल है। उदाहरण के लिए: 2 2 2 2।

इस तरह के भाव इस प्रकार लिखे गए हैं: एक एक्स,

कहाँ पे एएक संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है एक्सऐसे कारकों की संख्या है।

अभाज्य और मिश्रित प्राकृत संख्याएं

1 को छोड़कर किसी भी प्राकृत संख्या को कम से कम 2 संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है - एक और स्वयं। इस मानदंड के आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य और संयुक्त में विभाजित किया जाता है।

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। वे संख्याएँ जो इन 2 से अधिक संख्याओं से विभाज्य होती हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। केवल अपने आप से विभाज्य इकाई न तो अभाज्य है और न ही यौगिक।

संख्याएँ अभाज्य हैं: 2,3,5,7,11,13,17,19, आदि। भाज्य संख्याओं के उदाहरण: 4 (1,2,4 से विभाज्य), 6 (1,2,3,6 से विभाज्य), 20 (1,2,4,5,10,20 से विभाज्य)।

किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है। इस मामले में, अभाज्य गुणनखंड इसके भाजक माने जाते हैं, जो अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रमुख कारकों में गुणनखंडन का एक उदाहरण:

प्राकृत संख्याओं के भाजक

भाजक वह संख्या है जिससे किसी दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है।

इस परिभाषा के अनुसार, साधारण प्राकृत संख्याओं में 2 भाजक होते हैं, भाज्य संख्याओं में 2 से अधिक भाजक होते हैं।

कई संख्याओं में सामान्य भाजक होते हैं। उभयनिष्ठ भाजक वह संख्या है जिससे दी गई संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं।

• संख्या 12 और 15 में एक सामान्य भाजक है 3
• संख्या 20 और 30 में सामान्य भाजक हैं 2,5,10

विशेष महत्व का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) है। यह संख्या, विशेष रूप से, भिन्नों को कम करने के लिए खोजने में सक्षम होने के लिए उपयोगी है। इसे खोजने के लिए, दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना आवश्यक है और इसे उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना है, जो उनकी सबसे छोटी घातों में लिया गया है।

संख्या 36 और 48 की GCD ज्ञात करना आवश्यक है।

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता

"आंख से" निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरे से विभाज्य है। ऐसे मामलों में, संगत विभाज्यता परीक्षण उपयोगी होता है, अर्थात वह नियम जिसके द्वारा कुछ ही सेकंड में आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करना संभव है। विभाज्यता को इंगित करने के लिए "" चिन्ह का उपयोग किया जाता है।

आम एकाधिक

यह मान (जिसे LCM दर्शाया गया है) सबसे छोटी संख्या है जो दिए गए प्रत्येक से विभाज्य है। एलसीएम प्राकृतिक संख्याओं के एक मनमाना सेट के लिए पाया जा सकता है।

एलसीएम, जीसीडी की तरह, एक महत्वपूर्ण लागू अर्थ है। तो, यह एलसीएम है जिसे सामान्य अंशों को एक सामान्य हर में कम करके खोजने की आवश्यकता है।

एलसीएम दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। इसके गठन के लिए, एक उत्पाद लिया जाता है, जिसमें प्रत्येक होने वाली (कम से कम 1 संख्या के लिए) अभाज्य गुणक होते हैं जो अधिकतम डिग्री का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संख्या 14 और 24 का एलसीएम ज्ञात करना आवश्यक है।

औसत

प्राकृतिक संख्याओं की एक मनमाना (लेकिन परिमित) संख्या का अंकगणितीय माध्य इन सभी संख्याओं का योग है जो पदों की संख्या से विभाजित होता है:

अंकगणित माध्य एक संख्या सेट के लिए कुछ औसत मान है।

संख्या 2,84,53,176,17,28 दी गई है। उनका समांतर माध्य ज्ञात करना आवश्यक है।