और सुनहरा अनुपात। स्वर्ण अनुपात - गणित - पवित्र ज्यामिति - विज्ञान - लेखों की सूची - दुनिया का गुलाब

अंतरिक्ष में वस्तुओं की ज्यामिति का सामना करने वाला प्रत्येक व्यक्ति गोल्डन सेक्शन विधि से अच्छी तरह परिचित है। इसका उपयोग कला, आंतरिक डिजाइन और वास्तुकला में किया जाता है। पिछली शताब्दी में भी, सुनहरा अनुपात इतना लोकप्रिय हो गया था कि अब दुनिया की रहस्यमय दृष्टि के कई समर्थकों ने इसे एक और नाम दिया है - सार्वभौमिक हार्मोनिक नियम। इस पद्धति की विशेषताएं अधिक विस्तार से विचार करने योग्य हैं। इससे यह पता लगाने में मदद मिलेगी कि वह एक साथ गतिविधि के कई क्षेत्रों में क्यों रुचि रखता है - कला, वास्तुकला, डिजाइन।

सार्वभौमिक अनुपात का सार

गोल्डन सेक्शन का सिद्धांत सिर्फ संख्याओं की निर्भरता है। हालांकि, कई लोग इसके प्रति पक्षपाती हैं, इस घटना के लिए कुछ रहस्यमय शक्तियों को जिम्मेदार ठहराते हैं। कारण नियम के असामान्य गुणों में निहित है:

• कई जीवित वस्तुओं में धड़ और अंगों के अनुपात होते हैं जो सुनहरे खंड के संकेतों के करीब होते हैं।
• निर्भरताएँ 1.62 या 0.63 केवल जीवित प्राणियों के लिए आकार अनुपात निर्धारित करती हैं। निर्जीव प्रकृति से संबंधित वस्तुएं शायद ही कभी हार्मोनिक नियम के अर्थ से मेल खाती हैं।
• जीवों की शारीरिक संरचना का सुनहरा अनुपात कई जैविक प्रजातियों के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है।

सुनहरा अनुपात विभिन्न जानवरों के शरीर की संरचना, पेड़ की चड्डी और झाड़ी की जड़ों में पाया जा सकता है। इस सिद्धांत की सार्वभौमिकता के समर्थक यह साबित करने की कोशिश कर रहे हैं कि इसका अर्थ जीवित दुनिया के प्रतिनिधियों के लिए महत्वपूर्ण है।

आप मुर्गी के अंडे की छवि का उपयोग करके गोल्डन सेक्शन विधि की व्याख्या कर सकते हैं। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से समान रूप से दूर, खोल के बिंदुओं से खंडों का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर है। पक्षियों के जीवित रहने का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक अंडे का आकार है, न कि खोल की ताकत।

जरूरी! स्वर्ण अनुपात की गणना कई जीवित वस्तुओं के माप के आधार पर की जाती है।

स्वर्ण अनुपात की उत्पत्ति

प्राचीन यूनान के गणितज्ञ सार्वभौम नियम के बारे में जानते थे। इसका उपयोग पाइथागोरस और यूक्लिड द्वारा किया गया था। प्रसिद्ध स्थापत्य कृति में - चेप्स का पिरामिड, मुख्य भाग के आयामों का अनुपात और पक्षों की लंबाई, साथ ही आधार-राहत और सजावटी विवरण, हार्मोनिक नियम के अनुरूप हैं।

स्वर्ण खंड पद्धति न केवल वास्तुकारों द्वारा, बल्कि कलाकारों द्वारा भी अपनाई गई थी। हार्मोनिक अनुपात के रहस्य को सबसे महान रहस्यों में से एक माना जाता था।

सार्वभौमिक ज्यामितीय अनुपात का दस्तावेजीकरण करने वाले पहले फ्रांसिस्कन भिक्षु लुका पैसीओली थे। गणित में उनकी क्षमता उत्कृष्ट थी। गोल्डन सेक्शन पर ज़ीसिंग के परिणामों के प्रकाशन के बाद गोल्डन सेक्शन को व्यापक मान्यता मिली। उन्होंने मानव शरीर, प्राचीन मूर्तियों, पौधों के अनुपात का अध्ययन किया।

स्वर्ण अनुपात की गणना कैसे की गई?

यह समझने के लिए कि सुनहरा अनुपात क्या है, खंडों की लंबाई के आधार पर स्पष्टीकरण मदद करेगा। उदाहरण के लिए, एक बड़े के अंदर कई छोटे होते हैं। फिर छोटे खंडों की लंबाई बड़े खंड की कुल लंबाई से 0.62 के रूप में संबंधित होती है। इस तरह की परिभाषा यह पता लगाने में मदद करती है कि एक निश्चित रेखा को कितने भागों में विभाजित किया जा सकता है ताकि वह हार्मोनिक नियम का अनुपालन कर सके। इस पद्धति का उपयोग करने का एक अन्य लाभ यह है कि आप यह पता लगा सकते हैं कि सबसे बड़े खंड का पूरी वस्तु की लंबाई से क्या अनुपात होना चाहिए। यह अनुपात 1.62 है।

इस तरह के डेटा को मापी गई वस्तुओं के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है। सबसे पहले उन्हें तलाशा गया, अनुभवजन्य रूप से चयन किया गया। हालाँकि, अब सटीक अनुपात ज्ञात हैं, इसलिए उनके अनुसार किसी वस्तु का निर्माण करना मुश्किल नहीं होगा। सुनहरा अनुपात निम्नलिखित तरीकों से पाया जाता है:

• एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए। इसकी एक भुजा को विभाजित करें, और फिर छेदक चापों के साथ लंब खींचे। गणना करते समय, खंड के एक छोर से ½ लंबाई के बराबर लंबवत बनाना आवश्यक है। फिर एक समकोण त्रिभुज पूरा होता है। यदि आप कर्ण पर एक बिंदु चिह्नित करते हैं, जो लंबवत खंड की लंबाई दिखाएगा, तो शेष रेखा के बराबर त्रिज्या आधार को दो हिस्सों में काट देगी। परिणामी रेखाएँ सुनहरे अनुपात के अनुसार एक दूसरे से संबंधित होंगी।
• यूनिवर्सल ज्यामितीय मूल्य भी दूसरे तरीके से प्राप्त किए जाते हैं - ड्यूरर पेंटाग्राम का निर्माण करके। वह एक तारा है जिसे एक घेरे में रखा गया है। इसमें 4 खंड होते हैं, जिनकी लंबाई सुनहरे खंड के नियम के अनुरूप होती है।
• वास्तुकला में, हार्मोनिक अनुपात का उपयोग संशोधित रूप में किया जाता है। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज को कर्ण के साथ विभाजित किया जाना चाहिए।

जरूरी! स्वर्ण अनुपात पद्धति की शास्त्रीय अवधारणा की तुलना में, वास्तुकार के संस्करण का अनुपात 44:56 है।

यदि ग्राफिक्स के लिए हार्मोनिक नियम की पारंपरिक व्याख्या में, इसकी गणना 37:63 के रूप में की गई थी, तो 44:56 का उपयोग अक्सर वास्तुशिल्प संरचनाओं के लिए किया जाता था। यह ऊंची इमारतों के निर्माण की आवश्यकता के कारण है।

सुनहरे अनुपात का रहस्य

यदि जीवित वस्तुओं के मामले में सुनहरा अनुपात, जो लोगों और जानवरों के शरीर के अनुपात में प्रकट होता है, को पर्यावरण के अनुकूल होने की आवश्यकता से समझाया जा सकता है, तो 12 वीं शताब्दी में इष्टतम अनुपात के नियम का उपयोग किया जा सकता है। मकान बनाना नया था।

प्राचीन ग्रीस के समय से संरक्षित पार्थेनन को गोल्डन सेक्शन विधि का उपयोग करके बनाया गया था। मध्य युग के रईसों के कई महल हार्मोनिक नियम के अनुरूप मापदंडों के साथ बनाए गए थे।

वास्तुकला में सुनहरा अनुपात

पुरातनता की कई इमारतें जो आज तक बची हैं, इस बात की पुष्टि करती हैं कि मध्य युग के आर्किटेक्ट हार्मोनिक नियम से परिचित थे। चर्चों, महत्वपूर्ण सार्वजनिक भवनों, शाही व्यक्तियों के आवासों के निर्माण में एक सामंजस्यपूर्ण अनुपात का पालन करने की इच्छा बहुत स्पष्ट रूप से दिखाई देती है।

उदाहरण के लिए, नोट्रे डेम कैथेड्रल इस तरह से बनाया गया था कि इसके कई खंड गोल्डन सेक्शन नियम के अनुरूप हैं। आप 18वीं शताब्दी की वास्तुकला के ऐसे कई कार्य देख सकते हैं जो इस नियम के अनुसार बनाए गए थे। नियम कई रूसी वास्तुकारों द्वारा भी लागू किया गया था। उनमें से एम। कज़ाकोव थे, जिन्होंने सम्पदा और आवासीय भवनों के लिए परियोजनाएं बनाईं। उन्होंने सीनेट भवन और गोलित्सिन अस्पताल को डिजाइन किया।

स्वाभाविक रूप से, स्वर्ण खंड नियम की खोज से पहले ही भागों के इस अनुपात वाले घर बनाए गए थे। उदाहरण के लिए, ऐसी इमारतों में चर्च ऑफ द इंटरसेशन ऑन द नेरल शामिल है। इमारत की सुंदरता और भी रहस्यमय हो जाती है, यह देखते हुए कि 18 वीं शताब्दी में इंटरसेशन चर्च की इमारत बनाई गई थी। हालांकि, बहाली के बाद इमारत ने अपना आधुनिक रूप हासिल कर लिया।

स्वर्ण अनुपात के बारे में लेखों में उल्लेख किया गया है कि वास्तुकला में वस्तुओं की धारणा इस बात पर निर्भर करती है कि कौन देख रहा है। सुनहरे खंड का उपयोग करके बनाए गए अनुपात एक दूसरे के सापेक्ष संरचना के हिस्सों का सबसे अधिक आराम से अनुपात देते हैं।

सार्वभौमिक नियम का पालन करने वाली कई इमारतों का एक उल्लेखनीय प्रतिनिधि पार्थेनन है, जो पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में बनाया गया एक वास्तुशिल्प स्मारक है। इ। पार्थेनन को छोटे अग्रभाग पर आठ स्तंभों और बड़े पर सत्रह स्तंभों के साथ व्यवस्थित किया गया है। मंदिर महान संगमरमर से बनाया गया था। इस कारण रंगों का प्रयोग सीमित है। इमारत की ऊंचाई इसकी लंबाई 0.618 को दर्शाती है। यदि आप पार्थेनन को सुनहरे खंड के अनुपात के अनुसार विभाजित करते हैं, तो आपको मुखौटा के कुछ किनारे मिलेंगे।

इन सभी संरचनाओं में एक चीज समान है - रूपों के संयोजन का सामंजस्य और निर्माण की उत्कृष्ट गुणवत्ता। यह हार्मोनिक नियम के उपयोग के कारण है।

किसी व्यक्ति के लिए स्वर्णिम अनुपात का महत्व

प्राचीन इमारतों और मध्ययुगीन घरों की वास्तुकला आधुनिक डिजाइनरों के लिए काफी दिलचस्प है। यह ऐसे कारणों से है:

• घरों के मूल डिजाइन के लिए धन्यवाद, आप कष्टप्रद क्लिच को रोक सकते हैं। ऐसी प्रत्येक इमारत एक वास्तुशिल्प कृति है।
• मूर्तियों और मूर्तियों को सजाने के लिए नियम का व्यापक अनुप्रयोग।
• हार्मोनिक अनुपात के पालन के लिए धन्यवाद, आंख अधिक महत्वपूर्ण विवरणों के लिए तैयार है।

जरूरी! एक निर्माण परियोजना बनाते समय और एक बाहरी स्वरूप का निर्माण करते हुए, मध्य युग के वास्तुकारों ने मानवीय धारणा के नियमों के आधार पर सार्वभौमिक अनुपात का उपयोग किया।

आज, मनोवैज्ञानिक इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि सुनहरे अनुपात का सिद्धांत आकार और आकार के एक निश्चित अनुपात के लिए मानवीय प्रतिक्रिया से ज्यादा कुछ नहीं है। एक प्रयोग में, विषयों के एक समूह को कागज की एक शीट को इस तरह से मोड़ने के लिए कहा गया कि पक्ष इष्टतम अनुपात के साथ निकले। 100 में से 85 परिणामों में, लोगों ने शीट को लगभग हार्मोनिक नियम के अनुसार मोड़ा।

आधुनिक वैज्ञानिकों के अनुसार, भौतिक जगत के नियमों की विशेषता की तुलना में मनोविज्ञान के क्षेत्र में स्वर्ण खंड के संकेतक अधिक हैं। यह बताता है कि धोखेबाजों से उसमें इतनी दिलचस्पी क्यों है। हालांकि, इस नियम के अनुसार वस्तुओं का निर्माण करते समय, एक व्यक्ति उन्हें अधिक आराम से मानता है।

डिजाइन में सुनहरे अनुपात का उपयोग करना

निजी घरों के निर्माण में सार्वभौमिक अनुपात का उपयोग करने के सिद्धांतों का तेजी से उपयोग किया जा रहा है। संरचना के इष्टतम अनुपात के पालन पर विशेष ध्यान दिया जाता है। घर के अंदर ध्यान के सही वितरण पर बहुत ध्यान दिया जाता है।

स्वर्ण खंड की आधुनिक व्याख्या अब केवल ज्यामिति और रूप के नियमों को संदर्भित नहीं करती है। आज, हार्मोनिक अनुपात का सिद्धांत न केवल मुखौटा विवरण के आयामों, कमरों के क्षेत्र या गैबल्स की लंबाई का पालन करता है, बल्कि इंटीरियर बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले रंग पैलेट का भी पालन करता है।

मॉड्यूलर आधार पर एक सामंजस्यपूर्ण संरचना का निर्माण करना बहुत आसान है। इस मामले में कई विभागों और कमरों को अलग-अलग ब्लॉक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। वे हार्मोनिक नियम के अनुसार सख्त रूप से डिजाइन किए गए हैं। अलग-अलग मॉड्यूल के सेट के रूप में एक इमारत को खड़ा करना एक बॉक्स बनाने की तुलना में बहुत आसान है।

देश के घरों के निर्माण में शामिल कई फर्में, एक परियोजना बनाते समय, हार्मोनिक नियम का पालन करती हैं। यह ग्राहकों को यह धारणा देने की अनुमति देता है कि भवन की संरचना पर विस्तार से काम किया गया है। ऐसे घरों को आमतौर पर उपयोग करने के लिए सबसे सामंजस्यपूर्ण और आरामदायक के रूप में वर्णित किया जाता है। कमरे के क्षेत्रों के इष्टतम विकल्प के साथ, निवासी मनोवैज्ञानिक रूप से शांत महसूस करते हैं।

यदि घर हार्मोनिक अनुपात को ध्यान में रखे बिना बनाया गया था, तो आप एक लेआउट बना सकते हैं जो दीवार के आकार के अनुपात के संदर्भ में 1: 1.61 के करीब होगा। ऐसा करने के लिए, कमरों में अतिरिक्त विभाजन स्थापित किए जाते हैं, या फर्नीचर के टुकड़ों को फिर से व्यवस्थित किया जाता है।

इसी तरह, दरवाजे और खिड़कियों के आयामों को बदल दिया जाता है ताकि उद्घाटन की चौड़ाई ऊंचाई के मान से 1.61 गुना कम हो।

रंग चुनना मुश्किल है। इस मामले में, आप सुनहरे खंड - 2/3 के सरलीकृत मूल्य का निरीक्षण कर सकते हैं। मुख्य रंग पृष्ठभूमि को कमरे के 60% स्थान पर कब्जा करना चाहिए। 30% कमरे में छायांकन छाया है। शेष सतह क्षेत्र को एक दूसरे के करीब टोन के साथ चित्रित किया गया है, चयनित रंग की धारणा को बढ़ाता है।

कमरों की भीतरी दीवारों को एक क्षैतिज पट्टी से विभाजित किया गया है। यह मंजिल से 70 सेमी की दूरी पर स्थित है। फर्नीचर की ऊंचाई दीवारों की ऊंचाई के अनुरूप होनी चाहिए। यह नियम लंबाई के वितरण पर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, एक सोफे में ऐसे आयाम होने चाहिए जो दीवार की लंबाई के कम से कम 2/3 हों। कमरे का क्षेत्र, जिस पर फर्नीचर के टुकड़े हैं, का भी एक निश्चित मूल्य होना चाहिए। यह पूरे कमरे के कुल क्षेत्रफल को 1:1.61 बताता है।

केवल एक संख्या की उपस्थिति के कारण स्वर्णिम अनुपात को व्यवहार में लागू करना कठिन है। इसीलिए। मैं सामंजस्यपूर्ण इमारतों को डिजाइन करता हूं, फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला का उपयोग करता हूं। यह भवन विवरण के आकार और अनुपात के लिए कई प्रकार के विकल्प प्रदान करता है। फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला को सुनहरा भी कहा जाता है। सभी मान एक निश्चित गणितीय निर्भरता के अनुरूप हैं।

फाइबोनैचि श्रृंखला के अलावा, आधुनिक वास्तुकला में एक अन्य डिजाइन पद्धति का भी उपयोग किया जाता है - फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर द्वारा निर्धारित सिद्धांत। इस पद्धति को चुनते समय, माप की प्रारंभिक इकाई घर के मालिक की ऊंचाई होती है। इस सूचक के आधार पर, भवन के आयामों और आंतरिक भाग की गणना की जाती है। इस दृष्टिकोण के लिए धन्यवाद, घर न केवल सामंजस्यपूर्ण है, बल्कि व्यक्तित्व भी प्राप्त करता है।

यदि आप इसमें कॉर्निस का उपयोग करते हैं तो कोई भी इंटीरियर अधिक संपूर्ण रूप लेगा। सार्वभौमिक अनुपात का उपयोग करते समय, आप इसके आकार की गणना कर सकते हैं। इष्टतम संकेतक 22.5, 14 और 8.5 सेमी हैं। ईव्स को गोल्डन सेक्शन के नियमों के अनुसार स्थापित किया जाना चाहिए। सजावटी तत्व का छोटा पक्ष बड़े पक्ष से संबंधित होना चाहिए क्योंकि यह दोनों पक्षों के संयुक्त मूल्यों के लिए है। यदि बड़ी भुजा 14 सेमी के बराबर है, तो छोटी भुजा को 8.5 सेमी बनाना चाहिए।

आप जिप्सम मिरर की मदद से दीवार की सतहों को विभाजित करके कमरे को आराम दे सकते हैं। यदि दीवार को एक कर्ब से विभाजित किया गया है, तो कंगनी पट्टी की ऊंचाई दीवार के शेष बड़े हिस्से से घटा दी जानी चाहिए। इष्टतम लंबाई का दर्पण बनाने के लिए, समान दूरी को कर्ब और कंगनी से पीछे हटाना चाहिए।

निष्कर्ष

गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत के अनुसार बनाए गए घर वास्तव में बहुत आरामदायक होते हैं। हालांकि, ऐसी इमारतों के निर्माण की कीमत काफी अधिक है, क्योंकि निर्माण सामग्री की लागत असामान्य आकार के कारण 70% बढ़ जाती है। यह दृष्टिकोण बिल्कुल नया नहीं है, क्योंकि पिछली शताब्दी के अधिकांश घर मालिकों के मापदंडों के आधार पर बनाए गए थे।

निर्माण और डिजाइन में गोल्डन सेक्शन पद्धति के उपयोग के लिए धन्यवाद, भवन न केवल आरामदायक हैं, बल्कि टिकाऊ भी हैं। वे सामंजस्यपूर्ण और आकर्षक दिखते हैं। इंटीरियर को भी एक सार्वभौमिक अनुपात के अनुसार सजाया गया है। यह आपको अंतरिक्ष का बुद्धिमानी से उपयोग करने की अनुमति देता है।

ऐसे कमरों में व्यक्ति यथासंभव सहज महसूस करता है। आप स्वयं गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत का उपयोग करके घर बना सकते हैं। मुख्य बात संरचना के तत्वों पर भार की गणना करना और सही सामग्री चुनना है।

कमरे में कुछ आकारों के सजावटी तत्वों को रखकर इंटीरियर डिजाइन में गोल्डन सेक्शन विधि का उपयोग किया जाता है। यह आपको कमरे को आराम देने की अनुमति देता है। रंग समाधान भी सार्वभौमिक हार्मोनिक अनुपात के अनुसार चुने जाते हैं।

सुनहरा अनुपात

1. परिचय 2 . स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात
3 . दूसरा सुनहरा अनुपात
4. ज़ो कमल त्रिकोण (पेंटाग्राम)
5 . स्वर्ण खंड का इतिहास 6 . स्वर्ण अनुपात और समरूपता 7. फाइबोनैचि श्रृंखला 8 . सामान्यीकृत स्वर्ण अनुपात 9 . प्रकृति में गठन के सिद्धांत 1 0 . मानव शरीर और सुनहरा अनुपात 1 1 . मूर्तिकला में स्वर्ण अनुपात 1 2 . वास्तुकला में सुनहरा अनुपात 1 3 . संगीत में सुनहरा अनुपात 1 4 . कविता में स्वर्णिम अनुपात 1 5 . फोंट और घरेलू सामानों में सुनहरा अनुपात 1 6 . पर्यावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर 1 7 . पेंटिंग में सुनहरा अनुपात 1 8 . सुनहरा अनुपात और छवि धारणा 19. तस्वीरों में सुनहरा अनुपात 2 0 . स्वर्ण अनुपात और स्थान 2 1. निष्कर्ष 2 2 . ग्रन्थसूची
परिचय प्राचीन काल से, लोग इस सवाल को लेकर चिंतित रहे हैं कि क्या सुंदरता और सद्भाव जैसी मायावी चीजें किसी गणितीय गणना के अधीन हैं।. बेशक, सुंदरता के सभी नियमों को कुछ सूत्रों में समाहित नहीं किया जा सकता है, लेकिन गणित का अध्ययन करके, हम सौंदर्य की कुछ शर्तों की खोज कर सकते हैं।- सुनहरा अनुपात. हमारा काम यह पता लगाना है कि स्वर्णिम अनुपात क्या है और यह स्थापित करना है कि मानवता ने सोने का उपयोग कहाँ पाया है।वें खंड। आपने शायद ध्यान दिया होगा कि हम आस-पास की वास्तविकता की वस्तुओं और घटनाओं को अलग तरह से देखते हैं। विकार, निराकारता, विषमता को हम कुरूप मानते हैं और एक प्रतिकारक प्रभाव उत्पन्न करते हैं। और माप, समीचीनता और सामंजस्य की विशेषता वाली वस्तुओं और घटनाओं को सुंदर माना जाता है और हमें प्रशंसा, आनंद, उत्साह की भावना का कारण बनता है। अपनी गतिविधि में एक व्यक्ति लगातार उन वस्तुओं का सामना करता है जो उनके आधार के रूप में सुनहरे अनुपात का उपयोग करते हैं।ऐसी चीजें हैं जिन्हें समझाया नहीं जा सकता। तो आप एक खाली बेंच पर आकर उस पर बैठ जाएं। आप कहाँ बैठेंगे - बीच में? या शायद किनारे से? नहीं, सबसे अधिक संभावना है कि एक या दूसरे नहीं। आप इस तरह से बैठेंगे कि आपके शरीर के सापेक्ष बेंच के एक हिस्से का दूसरे हिस्से से अनुपात लगभग 1.62 होगा। एक साधारण सी बात, बिल्कुल सहज... एक बेंच पर बैठकर, आपने एक "सुनहरा अनुपात" तैयार किया। स्वर्ण अनुपात भारत और चीन में प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में जाना जाता था। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त स्कूल बनाया जहाँ "गोल्डन सेक्शन" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया था। यूक्लिड ने इसे लागू किया, अपनी ज्यामिति का निर्माण किया, और फिडियास - उनकी अमर मूर्तियां। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्मांड को "स्वर्ण खंड" के अनुसार व्यवस्थित किया गया है। और अरस्तू ने नैतिक कानून के "स्वर्ण खंड" के पत्राचार को पाया। "गोल्डन सेक्शन" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो द्वारा किया जाएगा, क्योंकि सुंदरता और "गोल्डन सेक्शन" एक ही हैं। और ईसाई रहस्यवादी शैतान से बचकर अपने मठों की दीवारों पर "सुनहरे खंड" के पेंटग्राम खींचेंगे। वहीं, वैज्ञानिक - पचो सेमैं और आइंस्टीन से पहले - वे खोज करेंगे, लेकिन इसका सही अर्थ कभी नहीं खोज पाएंगे। दशमलव बिंदु के बाद एक अंतहीन श्रृंखला - 1.6180339887... एक अजीब, रहस्यमय, अकथनीय बात: यह दिव्य अनुपात रहस्यमय रूप से सभी जीवित चीजों के साथ है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "स्वर्ण खंड" क्या है। लेकिन आप इस अनुपात को समुद्र के गोले के वक्रों में, और फूलों के रूप में, और बीटल के रूप में, और एक सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। सब कुछ जीवित और सब कुछ सुंदर - सब कुछ ईश्वरीय नियम का पालन करता है, जिसका नाम "सुनहरा खंड" है। तो "स्वर्ण खंड" क्या है?.. यह आदर्श, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यह सुंदरता का नियम है? या यह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटना या नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है। अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "सुनहरा खंड" वह दोनों है, और दूसरा, और तीसरा। केवल अलग से नहीं, बल्कि एक ही समय में... और यही उसका सच्चा रहस्य है, उसका महान रहस्य है। सुंदरता के एक वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन के लिए एक विश्वसनीय उपाय खोजना शायद मुश्किल है, और अकेले तर्क यहाँ काम नहीं करेगा। हालांकि, उन लोगों का अनुभव जिनके लिए सुंदरता की तलाश जीवन का अर्थ था, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया, यहां मदद मिलेगी। सबसे पहले, ये कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, आर्किटेक्ट, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये भी सटीक विज्ञान के लोग हैं, - सबसे पहले, गणितज्ञ। अन्य इन्द्रियों की अपेक्षा आँख पर अधिक विश्वास करते हुए व्यक्ति ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं में आकृति के आधार पर भेद करना सीखा। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के भाग एक दूसरे से और संपूर्ण के साथ एक निश्चित संबंध में होते हैं।स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है। स्वर्ण खंड - हार्मोनिक अनुपात गणित में, अनुपात दो अनुपातों की समानता है: a: b = c: d। रेखा खंड AB को निम्नलिखित तरीकों से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: -- दो बराबर भागों में - एबी: एसी = एबी: बीसी; -- किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते हैं); -- इस प्रकार, जब एबी: एसी = एसी: बीसी। आखिरी वाला गोल्डन डिवीजन है. सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए। सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है। बिंदु B से, आधे AB के बराबर एक लंब बहाल किया जाता है। परिणामी बिंदु C एक रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC प्लॉट किया जाता है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है। सुनहरे अनुपात के खंडों को अनंत अंश AE \u003d 0.618 ... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान हैं अक्सर इस्तमल होता है। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 है, और छोटा खंड 38 भाग है। स्वर्ण खंड के गुण समीकरण द्वारा वर्णित हैं: x2 - x - 1 = 0. इस समीकरण का हल:

सुनहरे अनुपात के गुणों ने इस संख्या के चारों ओर रहस्य की एक रोमांटिक आभा और लगभग एक रहस्यमय पीढ़ी का निर्माण किया। उदाहरण के लिए, एक नियमित पांच-बिंदु वाले तारे में, प्रत्येक खंड को एक खंड द्वारा विभाजित किया जाता है जो इसे सुनहरे अनुपात में प्रतिच्छेद करता है (अर्थात, नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरा से बैंगनी, का अनुपात 1.618 है))
दूसरा स्वर्ण खंड बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" ने स्वेतन त्सेकोव-करंदश द्वारा "दूसरे सुनहरे खंड पर" एक लेख प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44:56 का दूसरा अनुपात देता है। यह अनुपात वास्तु में पाया जाता है। विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंब CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा है। समकोण ACD समद्विभाजित है। बिंदु C से AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची जाती है। बिंदु E खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है। यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह गोल्डन सेक्शन लाइन और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है। स्वर्ण त्रिकोण आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों को खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं। एक पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की जरूरत है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्य बिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर उठाया गया, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। एक कम्पास का उपयोग करके, खंड CE = ED को व्यास पर चिह्नित करें। एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई DC है। हम वृत्त पर DC खंड अलग रखते हैं और एक नियमित पंचभुज खींचने के लिए पाँच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं। पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसके किनारे शीर्ष पर 36° का कोण बनाते हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है। सीधी रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम उस पर तीन बार मनमाने आकार का एक खंड O बिछाते हैं, परिणामी बिंदु P के माध्यम से हम रेखा AB पर लंबवत खींचते हैं, बिंदु P के दाईं और बाईं ओर हम खंडों O को हटाते हैं। परिणामी बिंदु d और d1 बिंदु A के साथ सीधी रेखाओं से जुड़े हुए हैं। हम खंड dd1 को रेखा Ad1 पर रखते हैं, बिंदु C प्राप्त करते हैं। उसने रेखा Ad1 को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया है। Ad1 और dd1 पंक्तियों का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है। स्वर्ण खंड का इतिहास
यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स, मंदिरों, घरेलू सामानों और सजावट के पिरामिड के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को दर्शाने वाली राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार खेसीरा, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण विभाजन का अनुपात तय होता है। यूनानी कुशल जियोमीटर थे। यहां तक ​​कि ज्यामितीय आकृतियों की मदद से उनके बच्चों को अंकगणित भी पढ़ाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग के विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे। प्लेटो भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। प्लेटो के इसी नाम के संवाद में पाइथागोरस तिमाईस कहते हैं: "दो चीजों के लिए एक तिहाई के बिना पूरी तरह से जुड़ा होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक चीज दिखाई देनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखेगी। यह सबसे अच्छा अनुपात द्वारा किया जा सकता है, क्योंकि अगर तीन संख्याओं में यह गुण होता है कि औसत जितना कम होता है, उतना ही मध्य के लिए बड़ा होता है, और इसके विपरीत, जितना बड़ा मतलब होता है उतना ही कम होता है, फिर अंतिम और पहला मध्य होगा, और बीच में पहिला और आखरी। क्योंकि वह वही होगा, वह पूरा बना देगा।” प्लेटो दो प्रकार के त्रिभुजों का उपयोग करके सांसारिक दुनिया का निर्माण करता है: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। वह सबसे सुंदर समकोण त्रिभुज को वह मानता है जिसमें कर्ण टाँगों से दुगना सबसे छोटा हो (ऐसा आयत आधा समबाहु है, बाबुलियों की मुख्य आकृति, इसका अनुपात 1:3 है) 1/2 , जो सुनहरे अनुपात से लगभग 1/25 भिन्न होता है, और थाइमरडिंग द्वारा "गोल्डन अनुपात का प्रतिद्वंद्वी" कहा जाता है)। त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, प्लेटो चार नियमित पॉलीहेड्रा बनाता है, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) के साथ जोड़ता है। और पांच मौजूदा नियमित पॉलीहेड्रा में से केवल अंतिम - डोडेकेहेड्रोन, जिसके सभी बारह चेहरे नियमित पेंटागन हैं, स्वर्गीय दुनिया की प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।

इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन डोडेकेहेड्रोन (या, जैसा कि यह माना जाता था, ब्रह्मांड ही, चार तत्वों की यह सर्वोत्कृष्टता, क्रमशः, टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और क्यूब द्वारा) की खोज का सम्मान हिप्पासस का है, जो बाद में एक जहाज़ की तबाही में मर गया। यह आंकड़ा वास्तव में सुनहरे खंड के कई रिश्तों को पकड़ता है, इसलिए बाद वाले को स्वर्गीय दुनिया में मुख्य भूमिका सौंपी गई थी, जिसे बाद में नाबालिग भाई लुका पैसीओली ने जोर दिया था। पार्थेनन के प्राचीन ग्रीक मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान कम्पास मिले थे, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कंपास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी सुनहरे विभाजन के अनुपात शामिल हैं। प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के "शुरुआत" में सबसे पहले स्वर्ण विभाजन का उल्लेख किया गया था। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है. यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य ने स्वर्ण विभाजन का अध्ययन किया। मध्यकालीन यूरोप में, वे यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के अरबी अनुवादों से स्वर्णिम विभाजन से परिचित हुए। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को सख्त गोपनीयता में रखा गया था, ईर्ष्या से पहरा दिया गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे। मध्य युग में, पेंटाग्राम को राक्षसी बना दिया गया था (जैसा कि, वास्तव में, बहुत कुछ जिसे प्राचीन बुतपरस्ती में दिव्य माना जाता था) और गुप्त विज्ञान में आश्रय पाया। हालांकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। तो, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाली एक योजना ने मानवतावाद के दावे की उस अवधि में व्यापक प्रचलन प्राप्त किया: लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, अनिवार्य रूप से एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन। इसकी व्याख्या: मानव शरीर में दिव्य पूर्णता है, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य खगोलीय आकृति के समान हैं। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन थोड़ा ज्ञान था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पासीओली की एक पुस्तक दिखाई दी, और लियोनार्डो ने अपने विचार को त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, इटली में फिबोनाची और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसीओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का का छात्र था, जिसने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक को पेंटिंग में ऑन पर्सपेक्टिव कहा जाता था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पसिओली की पुस्तक "ऑन डिवाइन प्रोपोर्शन" (डी डिविना प्रोपोर्शन, 1497, 1509 में वेनिस में प्रकाशित) को शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित किया गया था, यही कारण है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। पुस्तक स्वर्ण अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और विशिष्टता ईश्वर का सर्वोच्च गुण है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात एक सुलभ संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छुपा और गुप्त रहता है, और गणितज्ञों द्वारा स्वयं को तर्कहीन कहा जाता है (इसलिए भगवान को न तो परिभाषित किया जा सकता है और न ही शब्दों द्वारा समझाया जा सकता है)। ईश्वर कभी नहीं बदलता है और अपने प्रत्येक भाग में हर चीज में हर चीज का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए किसी भी निरंतर और निश्चित मात्रा (चाहे वह बड़ी हो या छोटी) के लिए सुनहरा अनुपात समान है, इसे बदला नहीं जा सकता है या अन्यथा मन द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है। भगवान ने स्वर्गीय गुण होने का आह्वान किया, अन्यथा पांचवां पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से चार अन्य सरल शरीर (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि), और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज होने के लिए बुलाया जाता है; इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, तिमाईस में प्लेटो के अनुसार, आकाश को ही औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे डोडेकाहेड्रोन नामक शरीर के रूप में जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिसे सुनहरे खंड के बिना नहीं बनाया जा सकता है। ये हैं पसिओली के तर्क।
लियोनार्डो दा विंची ने भी स्वर्ण विभाजन के अध्ययन पर बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के सेक्शन बनाए, और हर बार उन्होंने गोल्डन डिवीजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसलिए उन्होंने इस विभाग को स्वर्ण खंड का नाम दिया। तो यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है। उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि वह जो जानता है कि इसे दूसरों को कैसे पढ़ाया जाए, जिन्हें इसकी आवश्यकता है। यही वह है जो मैंने करने के लिए निर्धारित किया है।" ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पसिओली से मिले। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में स्वर्ण खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्यमा उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह से, आदि। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर। 16वीं शताब्दी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। उन्होंने वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं। केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्वयं जारी रहने का नाम दिया। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो दें अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है"। सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और घटती (अवरोही श्रृंखला) की दिशा दोनों में किया जा सकता है। यदि मनमानी लंबाई की एक सीधी रेखा पर, खंड m को अलग रखा जाए, तो हम खंड M को अलग रखते हैं। इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं। बाद की शताब्दियों में, स्वर्ण अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में अकादमिक दिनचर्या के साथ संघर्ष शुरू हुआ, संघर्ष की गर्मी में "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर फेंक दिया।" 19वीं शताब्दी के मध्य में स्वर्ण खंड को फिर से "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम "एस्थेटिक रिसर्च" प्रकाशित किया। Zeising के साथ, वास्तव में जो हुआ वह शोधकर्ता के साथ होना तय था जो अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना घटना को इस तरह मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को पूर्ण किया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया। ज़ीसिंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु से शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में कुछ हद तक सुनहरे अनुपात के करीब पहुंचता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य 8: 5 के अनुपात में व्यक्त किया जाता है। = 1.6. एक नवजात में, अनुपात 1: 1 है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर है। स्वर्ण खंड का अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रभाग और हाथ, हाथ और उंगलियां आदि। ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीजिंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फिबोनाची श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे अनिश्चित काल तक एक दिशा और दूसरी दिशा में जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में मूल रूपात्मक नियम के रूप में स्वर्ण विभाजन।" 1876 ​​​​में, एक छोटी किताब, लगभग एक पुस्तिका, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीसिंग के काम की रूपरेखा थी। लेखक ने आद्याक्षर यू.एफ.वी. इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है। XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में सुनहरे खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, स्वर्ण अनुपात के नियम का विस्तार कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक हो गया। स्वर्ण अनुपात और समरूपता समरूपता के संबंध के बिना, सुनहरे अनुपात को अलग से, अपने आप में नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने स्वर्ण अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना। स्वर्ण विभाजन विषमता का प्रकटीकरण नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थिर और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएं शामिल हैं। स्थिर समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता को गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थिर समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, आंदोलन, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थिर समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और यह बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त की जाती है। फिबोन पंक्ति ए एफ एच तथा
पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची के नाम से जाना जाता है, परोक्ष रूप से स्वर्ण खंड के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को अरबी अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य द बुक ऑफ द अबेकस (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया। 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि संख्याओं की एक श्रृंखला। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्ण विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। इस अनुपात को प्रतीक एफ द्वारा दर्शाया जाता है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाता है या इसे अनंत तक घटाता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा सब कुछ के लिए है। जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, उंगली के प्रत्येक पोर की लंबाई F-अनुपात में अगले पोर की लंबाई से संबंधित है। सभी उंगलियों और पैर की उंगलियों में समान संबंध देखा जाता है। यह संबंध किसी तरह असामान्य है, क्योंकि एक उंगली बिना किसी दृश्य पैटर्न के दूसरी से लंबी है, लेकिन यह आकस्मिक नहीं है - जैसे मानव शरीर में सब कुछ आकस्मिक नहीं है। उंगलियों पर दूरियां, ए से बी से सी से डी से ई तक चिह्नित हैं, सभी अनुपात एफ में एक दूसरे से संबंधित हैं, जैसे एफ से जी से एच तक उंगलियों के फालेंज हैं।
इस मेंढक के कंकाल पर एक नज़र डालें और देखें कि कैसे प्रत्येक हड्डी मानव शरीर की तरह एफ अनुपात मॉडल में फिट बैठती है।

सामान्यीकृत स्वर्ण अनुपात वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू। मतियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके 10 . हल करता है- यू हिल्बर्ट की समस्या। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे खंड का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है। इस क्षेत्र की उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्याओं और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपातों की खोज है। फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और उनके द्वारा खोजे गए वजन 1, 2, 4, 8 की "बाइनरी" श्रृंखला, पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक दूसरे से बहुत मिलते-जुलते हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग होता है, जिसमें 2 = 1 + 1 होता है; 4 \u003d 2 + 2 ..., दूसरे में - यह दो पिछली संख्याओं का योग है 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... क्या यह संभव है एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजने के लिए जिसमें से "द्विआधारी" श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या शायद यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट देगा? वास्तव में, आइए एक संख्यात्मक पैरामीटर S सेट करें, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... पिछले एक से S चरणों द्वारा अलग किया गया। यदि हम इस श्रृंखला के nवें सदस्य को किसके द्वारा निरूपित करते हैं?एस (एन), तो हमें सामान्य सूत्र मिलता है?एस (एन) =? एस (एन - 1) + ? एस (एन - एस -1)। जाहिर है, एस = 0 के साथ, इस सूत्र से हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, जिसमें एस = 1 - एक फाइबोनैचि श्रृंखला, एस = 2, 3, 4 के साथ। संख्याओं की नई श्रृंखला, जिसे एस-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है। सामान्य तौर पर, गोल्डन एस-अनुपात गोल्डन एस-सेक्शन समीकरण x . की सकारात्मक जड़ हैएस+1 - एक्स एस - 1 = 0। यह दिखाना आसान है कि S = 0 पर, खंड का आधा भाग प्राप्त होता है, और S = 1 पर, परिचित शास्त्रीय स्वर्ण खंड। पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्याओं के अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाते हैं! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि गोल्डन एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-नंबरों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में सोरोको। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण होते हैं (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट वजन एक दूसरे से संबंधित होते हैं। गोल्डन एस-अनुपातों में से एक द्वारा। इसने लेखक को एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति दी कि गोल्डन एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की जा रही है, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है - विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्वयं-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है। गोल्डन एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक वाले गोल्डन एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। संख्याओं को कूटने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे S-अनुपात हैं, S > 0 के लिए अपरिमेय संख्याएँ बन जाते हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, जैसा कि यह थीं, परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" करती हैं। तथ्य यह है कि पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिससे अन्य सभी प्राकृतिक संख्याएँ, साथ ही परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ थीं। कुछ नियमों के अनुसार निर्मित। नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार का विकल्प एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, मूल सिद्धांत के रूप में, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जिसे हम याद करते हैं, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं। ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृत संख्या हमेशा एक परिमित संख्या के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य होती है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - किसी भी सुनहरे एस-अनुपात की डिग्री का योग। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सादगी और लालित्य के साथ, शास्त्रीय बाइनरी और "फिबोनाची" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित करता है। प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत सब कुछ जो किसी न किसी रूप में बनता है, विकसित होता है, अंतरिक्ष में जगह लेने और खुद को संरक्षित करने का प्रयास करता है। यह अभीप्सा मुख्य रूप से दो रूपों में साकार होती है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में मुड़ना। खोल एक सर्पिल में मुड़ जाता है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। दस सेंटीमीटर के एक छोटे से खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। सर्पिल के बारे में न कहें तो स्वर्ण अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी। सर्पिल रूप से घुमावदार खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल के समीकरण को घटाया। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है। यहां तक ​​कि गोएथे ने भी प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी।


पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था में सर्पिल देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का कानून स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाले को एक सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा। Zo द गोल्डन स्पाइरल का साइकिल से गहरा संबंध है। अराजकता का आधुनिक विज्ञान सरल चक्रीय प्रतिक्रिया संचालन और उनके द्वारा उत्पन्न भग्न रूपों का अध्ययन करता है, जो पहले अज्ञात थे। चित्र 6 प्रसिद्ध मंडेलब्रॉट श्रृंखला को दिखाता है, जो जूलियन श्रृंखला नामक व्यक्तिगत पैटर्न के अनंत के शब्दकोश से एक पृष्ठ है। कुछ वैज्ञानिक मैंडलब्रॉट श्रृंखला को कोशिका नाभिक के आनुवंशिक कोड से जोड़ते हैं। वर्गों में लगातार वृद्धि से उनकी कलात्मक जटिलता में आश्चर्यजनक भग्न का पता चलता है। और यहाँ भी, लघुगणकीय सर्पिल हैं! यह और भी महत्वपूर्ण है क्योंकि मंडेलब्रॉट श्रृंखला और जूलियन श्रृंखला दोनों ही मानव मन के आविष्कार नहीं हैं। वे प्लेटो के प्रोटोटाइप के दायरे से उत्पन्न होते हैं। जैसा कि डॉक्टर आर. पेनरोज़ ने कहा, "वे माउंट एवरेस्ट की तरह हैं।" सर्पिल चक्र के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है। अराजकता का आधुनिक विज्ञान सरल चक्रीय प्रतिक्रिया संचालन और उनके द्वारा उत्पन्न भग्न का अध्ययन करता है।

सड़क के किनारे जड़ी-बूटियों के बीच, एक अचूक पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है।

चावल। . कासनी

प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत निष्कासन बनाती है, रुकती है, एक पत्ती को छोड़ती है, लेकिन पहले की तुलना में छोटी होती है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाती है, लेकिन कम बल के साथ, एक और भी छोटा पत्ता छोड़ती है और फिर से इजेक्शन करती है। यदि पहले आउटलेयर को 100 यूनिट के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 यूनिट है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, और इसी तरह। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए। कई तितलियों में, शरीर के वक्ष और उदर भागों के आकार का अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। अपने पंखों को मोड़कर, रात की तितली एक नियमित समबाहु त्रिभुज बनाती है। लेकिन यह पंख फैलाने लायक है, और आप शरीर को 2,3,5,8 में विभाजित करने का एक ही सिद्धांत देखेंगे। ड्रैगनफ़्लू भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार बनाया गया है: पूंछ और शरीर की लंबाई का अनुपात कुल लंबाई और पूंछ की लंबाई के अनुपात के बराबर है।

एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 तक होती है।

चावल। . विविपेरस छिपकली

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रूप-निर्माण की प्रवृत्ति लगातार टूटती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में सुनहरा अनुपात दिखाई देता है। प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में, संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है। पक्षी के अंडों के रूपों का अध्ययन बहुत रुचि का है। उनके विभिन्न रूपों में दो चरम प्रकारों के बीच उतार-चढ़ाव होता है: उनमें से एक को सुनहरे खंड के एक आयत में अंकित किया जा सकता है, दूसरा - एक आयत में 1.272 (सुनहरे अनुपात की जड़) के मॉड्यूल के साथ।

पक्षी के अंडों के ऐसे रूप आकस्मिक नहीं हैं, क्योंकि अब यह स्थापित हो गया है कि सुनहरे खंड के अनुपात द्वारा वर्णित अंडों का आकार अंडे के खोल की उच्च शक्ति विशेषताओं से मेल खाता है।

चावल। . पक्षी का अंडा

हाथियों के दांत और विलुप्त मैमथ, शेरों के पंजे और तोते की चोंच लॉगरिदमिक रूप हैं और एक धुरी के आकार से मिलते जुलते हैं जो एक सर्पिल में बदल जाते हैं। वन्यजीवों में, "पंचकोणीय" समरूपता (स्टारफिश, समुद्री अर्चिन, फूल) पर आधारित रूप व्यापक हैं। सभी क्रिस्टल की संरचना में सुनहरा अनुपात मौजूद होता है, लेकिन अधिकांश क्रिस्टल सूक्ष्म रूप से छोटे होते हैं, इसलिए हम उन्हें नग्न आंखों से नहीं देख सकते हैं।

हालांकि, बर्फ के टुकड़े, जो पानी के क्रिस्टल भी हैं, हमारी आंखों के लिए काफी सुलभ हैं।

उत्कृष्ट सुंदरता के सभी आंकड़े जो बर्फ के टुकड़े बनाते हैं, सभी कुल्हाड़ियों, वृत्त और बर्फ के टुकड़ों में ज्यामितीय आंकड़े भी हमेशा, बिना किसी अपवाद के, सुनहरे खंड के सही स्पष्ट सूत्र के अनुसार बनाए जाते हैं।

सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणक रूप सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, कई विषाणुओं में एक icosahedron का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इन विषाणुओं में सबसे प्रसिद्ध एडीनो विषाणु है। एडीनो वायरस का प्रोटीन कोट बना होता है प्रोटीन कोशिकाओं की 252 इकाइयाँ एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित होती हैं। इकोसाहेड्रोन के प्रत्येक कोने में एक पंचकोणीय प्रिज्म के रूप में प्रोटीन कोशिकाओं की 12 इकाइयाँ होती हैं, और स्पाइक जैसी संरचनाएँ इन कोनों से फैली होती हैं।

एडीनो वायरस

वायरस की संरचना में सुनहरा अनुपात पहली बार 1950 के दशक में खोजा गया था। लंदन के बिर्कबेक कॉलेज के वैज्ञानिक ए.क्लुग और डी.कास्पर। पहला लघुगणकीय रूप अपने आप में पोलियो वायरस द्वारा प्रकट किया गया था। इस वायरस का रूप राइनो वायरस जैसा ही प्रतीत होता है। सवाल उठता है कि वायरस ऐसे जटिल त्रि-आयामी रूप कैसे बनाते हैं, जिनकी संरचना में सुनहरा खंड होता है, जिसका निर्माण हमारे मानव मन से भी करना काफी मुश्किल है? वायरस के इन रूपों के खोजकर्ता, वायरोलॉजिस्ट ए. क्लुग निम्नलिखित टिप्पणी करते हैं: "डॉ कास्पर और मैंने दिखाया है कि एक वायरस के गोलाकार खोल के लिए, सबसे इष्टतम आकार आईकोसाहेड्रोन प्रकार समरूपता है। यह क्रम कनेक्टिंग तत्वों की संख्या को कम करता है ... बकमिन्स्टर फुलर के अधिकांश भूगर्भीय गोलार्ध घन एक समान ज्यामितीय पर बने होते हैं सिद्धांत। 14 ऐसे क्यूब्स की असेंबली के लिए बेहद सटीक और विस्तृत स्पष्टीकरण योजना की आवश्यकता होती है, जबकि बेहोश वायरस स्वयं लोचदार, लचीली प्रोटीन सेल इकाइयों के ऐसे जटिल खोल का निर्माण करते हैं।"
क्लुग की टिप्पणी एक बार फिर अत्यंत स्पष्ट सत्य की याद दिलाती है: यहां तक ​​​​कि एक सूक्ष्म जीव की संरचना में, जिसे वैज्ञानिक "जीवन का सबसे आदिम रूप" के रूप में वर्गीकृत करते हैं, इस मामले में, एक वायरस, एक स्पष्ट योजना है और एक उचित परियोजना है लागू किया गया 16. यह परियोजना लोगों द्वारा बनाए गए सबसे उन्नत वास्तुशिल्प डिजाइनों के साथ अपनी पूर्णता और सटीकता निष्पादन में अतुलनीय है। उदाहरण के लिए, शानदार वास्तुकार बकमिन्स्टर फुलर द्वारा बनाई गई परियोजनाएं। डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन के त्रि-आयामी मॉडल भी एककोशिकीय समुद्री सूक्ष्मजीवों रेडिओलेरियन (बीमर) के कंकाल की संरचना में मौजूद हैं, जिसका कंकाल सिलिका से बना है। रेडियोलेरियन अपने शरीर को एक बहुत ही उत्तम, असामान्य सुंदरता का बनाते हैं। उनका आकार एक नियमित डोडेकाहेड्रोन है। इसके अलावा, छद्म-विस्तार-अंग और अन्य असामान्य रूप-विकास इसके प्रत्येक कोने से बढ़ते हैं। महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने आकृति विज्ञान शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया था। पियरे क्यूरी ने हमारी सदी की शुरुआत में समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है। "गोल्डन" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक व्यक्ति और पूरे शरीर के अलग-अलग अंगों की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं। मानव शरीर और स्वर्ण खंड सभी मानव हड्डियाँ सुनहरे खंड के अनुपात में हैं।

हमारे शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में एक संख्या होती है जो सुनहरे अनुपात के बहुत करीब होती है। यदि ये अनुपात सुनहरे अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो व्यक्ति की उपस्थिति या शरीर को आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है।

यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लें, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लें, तो व्यक्ति की ऊंचाई संख्या 1.618 के बराबर होती है।

कंधे के स्तर से सिर के मुकुट और सिर के आकार की दूरी 1:1.618 . है

नाभि के बिंदु से सिर के मुकुट तक और कंधे के स्तर से सिर के मुकुट तक की दूरी 1:1.618 है

नाभि बिंदु से घुटनों और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 . है

ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका तक की दूरी 1:1.618 है

दरअसल, किसी व्यक्ति के चेहरे में सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति मानव आंख के लिए सुंदरता का आदर्श है।

ठोड़ी की नोक से भौंहों की शीर्ष रेखा तक और भौहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है
चेहरे की ऊंचाई / चेहरे की चौड़ाई
नाक के आधार / नाक की लंबाई के लिए होंठों के जंक्शन का केंद्र बिंदु।
चेहरे की ऊंचाई/ठोड़ी की नोक से होंठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक की दूरी
मुंह की चौड़ाई / नाक की चौड़ाई
नाक की चौड़ाई / नासिका छिद्रों के बीच की दूरी
पुतली की दूरी/भौं की दूरी अपनी हथेली को अभी अपने पास लाने के लिए और अपनी तर्जनी को ध्यान से देखने के लिए पर्याप्त है, और आपको तुरंत इसमें सुनहरा खंड सूत्र मिल जाएगा।

हमारे हाथ की प्रत्येक उंगली में तीन फलांग होते हैं। उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो फलांगों का योग सुनहरा अनुपात (अंगूठे को छोड़कर) देता है।

इसके अलावा, मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी हैसुनहरा अनुपात
एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियों में 3 फलांग होते हैं (अंगूठे के अपवाद के साथ)। प्रत्येक हाथ पर 5 अंगुलियां होती हैं, यानी कुल 10, लेकिन दो दो-फालेंजल अंगूठे के अपवाद के साथ, केवल 8 अंगुलियों को सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार बनाया जाता है। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं।
यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ज्यादातर लोगों में फैली हुई भुजाओं के सिरों के बीच की दूरी ऊंचाई के बराबर होती है। स्वर्णिम अनुपात का सत्य हमारे भीतर और हमारे में हैस्थान

किसी व्यक्ति के फेफड़ों को बनाने वाली ब्रोंची की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रांकाई दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, एक (बाएं) लंबी होती है और दूसरी (दाएं) छोटी होती है।

यह पाया गया कि यह विषमता ब्रोंची की शाखाओं में, सभी छोटे वायुमार्गों में बनी रहती है।

इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रांकाई की लंबाई का अनुपात भी सुनहरा अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।

मानव आंतरिक कान में एक अंग होता हैकोक्लीअ ("घोंघा"), जो ध्वनि कंपन संचारित करने का कार्य करता है। हड्डी जैसी यह संरचना द्रव से भरी होती है और घोंघे के रूप में भी बनी होती है, जिसमें एक स्थिर लघुगणकीय सर्पिल आकार होता है = 73? 43"। दिल की धड़कन के साथ रक्तचाप बदल जाता है। यह अपने संकुचन (सिस्टोल) के समय हृदय के बाएं वेंट्रिकल में अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुँच जाता है। हृदय के निलय के सिस्टोल के दौरान धमनियों में, एक युवा, स्वस्थ व्यक्ति में रक्तचाप अधिकतम 115-125 मिमी एचजी के बराबर पहुंच जाता है। हृदय की मांसपेशियों (डायस्टोल) को शिथिल करने के समय, दबाव घटकर 70-80 मिमी एचजी हो जाता है। अधिकतम (सिस्टोलिक) से न्यूनतम (डायस्टोलिक) दबाव का अनुपात औसतन 1.6 है, यानी सुनहरे अनुपात के करीब।

यदि हम महाधमनी में औसत रक्तचाप को एक इकाई के रूप में लेते हैं, तो महाधमनी में सिस्टोलिक रक्तचाप 0.382 है, और डायस्टोलिक रक्तचाप 0.618 है, अर्थात उनका अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि समय चक्र और रक्तचाप में परिवर्तन के संबंध में हृदय के कार्य को एक ही सिद्धांत के अनुसार अनुकूलित किया जाता है - स्वर्ण अनुपात का नियम।

डीएनए अणु में दो लंबवत आपस में जुड़े हेलिकॉप्टर होते हैं। इनमें से प्रत्येक सर्पिल 34 एंगस्ट्रॉम लंबा और 21 एंगस्ट्रॉम चौड़ा है। (1 एंगस्ट्रॉम एक सेंटीमीटर का सौ मिलियनवां हिस्सा है)। डीएनए अणु के हेलिक्स खंड की संरचना

तो 21 और 34 फाइबोनैचि संख्याओं के क्रम में एक के बाद एक संख्याएँ हैं, अर्थात्, डीएनए अणु के लघुगणक हेलिक्स की लंबाई और चौड़ाई के अनुपात में सुनहरे खंड का सूत्र 1: 1.618 है।

मूर्तिकला में स्वर्ण खंड महत्वपूर्ण घटनाओं को बनाए रखने के लिए, प्रसिद्ध लोगों के नाम, उनके कारनामों और कर्मों को वंशजों की स्मृति में संरक्षित करने के लिए मूर्तिकला संरचनाएं, स्मारक बनाए जाते हैं। यह ज्ञात है कि प्राचीन काल में भी मूर्तिकला का आधार अनुपात का सिद्धांत था। मानव शरीर के अंगों का संबंध स्वर्ण खंड के सूत्र से जुड़ा था। "गोल्डन सेक्शन" के अनुपात सुंदरता के सामंजस्य की छाप पैदा करते हैं, इसलिए मूर्तिकारों ने उन्हें अपने काम में इस्तेमाल किया। मूर्तिकारों का दावा है कि कमर "स्वर्ण खंड" के संबंध में संपूर्ण मानव शरीर को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, अपोलो बेल्वेडियर की प्रसिद्ध मूर्ति में सुनहरे अनुपात से विभाजित भाग होते हैं। महान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फिडियास ने अक्सर अपने कार्यों में "गोल्डन सेक्शन" का इस्तेमाल किया। उनमें से सबसे प्रसिद्ध ओलंपियन ज़ीउस (जिसे दुनिया के आश्चर्यों में से एक माना जाता था) और एथेना पार्थेनोस की मूर्ति थी। अपोलो बेल्वेडियर की मूर्ति का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई को स्वर्ण खंड में गर्भनाल रेखा से विभाजित किया गया है।

वास्तुकला में स्वर्ण खंड "गोल्डन सेक्शन" की किताबों में कोई भी टिप्पणी पा सकता है कि वास्तुकला में, पेंटिंग के रूप में, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और अगर एक तरफ एक इमारत में कुछ अनुपात "सुनहरा खंड" बनाते हैं, फिर अन्य बिंदुओं से दृष्टि अलग दिखाई देगी। "गोल्डन सेक्शन" निश्चित लंबाई के आकार का सबसे आराम से अनुपात देता है। प्राचीन यूनानी वास्तुकला की सबसे खूबसूरत कृतियों में से एक पार्थेनन (वी शताब्दी ईसा पूर्व) है। आंकड़े सुनहरे अनुपात से जुड़े कई पैटर्न दिखाते हैं। भवन के अनुपात को संख्या = 0.618 के विभिन्न अंशों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है ... पार्थेनन में छोटी भुजाओं पर 8 स्तंभ हैं और लंबी भुजाओं पर 17 स्तंभ हैं। किनारे पूरी तरह से पेंटाइल संगमरमर के वर्गों से बने हैं। जिस सामग्री से मंदिर का निर्माण किया गया था, उसके बड़प्पन ने रंग के उपयोग को सीमित करना संभव बना दिया, जो ग्रीक वास्तुकला में आम था, यह केवल विवरणों पर जोर देता है और मूर्तिकला के लिए एक रंगीन पृष्ठभूमि (नीला और लाल) बनाता है। इमारत की ऊंचाई और इसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मुखौटा के कुछ प्रोट्रूशियंस मिलेंगे। पार्थेनन के फर्श की योजना पर, आप "सुनहरे आयत" भी देख सकते हैं: हम नोट्रे डेम कैथेड्रल (नोट्रे डेम डी पेरिस) की इमारत और चेप्स के पिरामिड में सुनहरा अनुपात देख सकते हैं: न केवल मिस्र के पिरामिड स्वर्ण अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; मैक्सिकन पिरामिडों में भी यही घटना पाई जाती है। लंबे समय से यह माना जाता था कि प्राचीन रूस के वास्तुकारों ने बिना किसी विशेष गणितीय गणना के सब कुछ "आंख से" बनाया था। हालांकि, नवीनतम शोध से पता चला है कि रूसी आर्किटेक्ट गणितीय अनुपात को अच्छी तरह से जानते थे, जैसा कि प्राचीन मंदिरों की ज्यामिति के विश्लेषण से पता चलता है। प्रसिद्ध रूसी वास्तुकार एम। काजाकोव ने अपने काम में "गोल्डन सेक्शन" का व्यापक रूप से उपयोग किया। उनकी प्रतिभा बहुमुखी थी, लेकिन अधिक हद तक उन्होंने आवासीय भवनों और सम्पदाओं की कई पूर्ण परियोजनाओं में खुद को प्रकट किया। उदाहरण के लिए, क्रेमलिन में सीनेट भवन की वास्तुकला में "गोल्डन सेक्शन" पाया जा सकता है। एम। काजाकोव की परियोजना के अनुसार, गोलित्सिन अस्पताल मास्को में बनाया गया था, जिसे वर्तमान में एन.आई. के नाम पर पहला नैदानिक ​​​​अस्पताल कहा जाता है। पिरोगोव (लेनिन्स्की संभावना, डी। मास्को में पेट्रोवस्की पैलेस। एम.एफ. की परियोजना के अनुसार निर्मित। कज़ाकोव। मॉस्को की एक और स्थापत्य कृति - पशकोव हाउस - वी। बाझेनोव द्वारा वास्तुकला के सबसे उत्तम कार्यों में से एक है। वी। बाझेनोव की अद्भुत रचना ने आधुनिक मॉस्को के केंद्र के पहनावे में मजबूती से प्रवेश किया, इसे समृद्ध किया। घर की बाहरी उपस्थिति आज तक लगभग अपरिवर्तित बनी हुई है, इस तथ्य के बावजूद कि इसे 1812 में बुरी तरह से जला दिया गया था। बहाली के दौरान, इमारत ने और अधिक विशाल रूपों का अधिग्रहण किया। इमारत के आंतरिक लेआउट को भी संरक्षित नहीं किया गया है, जिसका केवल निचली मंजिल का चित्र ही एक विचार देता है। वास्तुकार के कई बयान आज ध्यान देने योग्य हैं। अपनी पसंदीदा कला के बारे में, वी। बाझेनोव ने कहा: "वास्तुकला में तीन मुख्य विषय हैं: सौंदर्य, शांति और इमारत की ताकत ... इसे प्राप्त करने के लिए, सामान्य रूप से अनुपात, परिप्रेक्ष्य, यांत्रिकी या भौतिकी का ज्ञान एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है, और उन सभी में एक कॉमन लीडर इज रीज़न है।"

संगीत में सुनहरा अनुपात
संगीत के किसी भी टुकड़े का एक अस्थायी विस्तार होता है और इसे कुछ "सौंदर्य मील के पत्थर" में अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जाता है जो ध्यान आकर्षित करते हैं और समग्र रूप से धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं। ये मील के पत्थर एक संगीत कार्य के गतिशील और अन्तर्राष्ट्रीय समापन बिंदु हो सकते हैं। संगीत के एक टुकड़े के अलग-अलग समय अंतराल, एक "जलवायु घटना" से जुड़े, एक नियम के रूप में, स्वर्ण अनुपात के अनुपात में हैं।

1925 में वापस, कला समीक्षक एलएल सबनीव ने 42 लेखकों द्वारा 1770 संगीत कार्यों का विश्लेषण किया, यह दिखाया कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से या तो थीम, या इंटोनेशन, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो प्रत्येक के संबंध में हैं अन्य सुनहरा अनुपात। इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली था, उसकी रचनाओं में उतने ही सुनहरे खंड पाए गए। सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक संगीत रचना के विशेष सामंजस्य की छाप देता है। इस परिणाम को सबनीव ने सभी 27 चोपिन एट्यूड्स पर सत्यापित किया था। उन्होंने उनमें 178 स्वर्ण खंड पाए। उसी समय, यह पता चला कि न केवल एट्यूड के बड़े हिस्से को सुनहरे खंड के संबंध में अवधि से विभाजित किया जाता है, बल्कि अंदर के एट्यूड के हिस्सों को अक्सर उसी अनुपात में विभाजित किया जाता है।

संगीतकार और वैज्ञानिक एम.ए. मारुतेव ने प्रसिद्ध सोनाटा "अप्पसियनटा" में उपायों की संख्या की गणना की और कई दिलचस्प संख्यात्मक अनुपात पाए। विशेष रूप से, विकास में - सोनाटा की केंद्रीय संरचनात्मक इकाई, जहां विषयों को गहन रूप से विकसित किया जाता है और चाबियाँ एक दूसरे की जगह लेती हैं - दो मुख्य खंड हैं। पहले में 43.25 बार हैं, दूसरे में 26.75 बार हैं। अनुपात 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 सुनहरा अनुपात देता है।

एरेंस्की (95%), बीथोवेन (97%), हेडन (97%), मोजार्ट (91%), चोपिन (92%), शुबर्ट (91%) में सबसे बड़ी संख्या में ऐसे कार्य हैं जिनमें गोल्डन सेक्शन मौजूद है।

यदि संगीत ध्वनियों का हार्मोनिक क्रम है, तो कविता भाषण का हार्मोनिक क्रम है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और बिना तनाव वाले सिलेबल्स का एक नियमित विकल्प, कविताओं का एक क्रमबद्ध आयाम, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीतमय कार्यों की बहन बनाती है। कविता में सुनहरा अनुपात मुख्य रूप से कविता की कुल संख्या के विभाजन बिंदु के कारण पंक्ति में कविता के एक निश्चित क्षण (चरमोत्कर्ष, शब्दार्थ मोड़, काम का मुख्य विचार) की उपस्थिति के रूप में प्रकट होता है। सुनहरे अनुपात में। इसलिए, यदि कविता में 100 पंक्तियाँ हैं, तो स्वर्ण खंड का पहला बिंदु 62 वीं पंक्ति (62%) पर पड़ता है, दूसरा - 38 वें (38%) पर, आदि। "यूजीन वनगिन" सहित अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन की कृतियाँ - सुनहरे अनुपात के लिए बेहतरीन पत्राचार! शोता रुस्तवेली और एम.यू. लेर्मोंटोव भी गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत पर बने हैं।

स्ट्राडिवेरियस ने लिखा है कि की मदद से

सुनहरा अनुपात, उन्होंने स्थानों को निर्धारित कियाएफ उनके प्रसिद्ध वायलिनों के शरीर पर -आकार के कटआउट। कविता में स्वर्ण खंड पुश्किन की कविता इन पदों से काव्य कृतियों का अध्ययन अभी प्रारम्भ है। और आपको ए.एस. पुश्किन की कविता से शुरुआत करने की आवश्यकता है। आखिरकार, उनकी रचनाएँ रूसी संस्कृति की सबसे उत्कृष्ट कृतियों का एक उदाहरण हैं, जो उच्चतम स्तर के सामंजस्य का उदाहरण हैं। ए.एस. पुश्किन की कविता के साथ, हम सुनहरे अनुपात की खोज शुरू करेंगे - सद्भाव और सुंदरता का पैमाना। काव्य रचनाओं की संरचना में बहुत कुछ इस कला रूप को संगीत से संबंधित बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और बिना तनाव वाले सिलेबल्स का एक नियमित विकल्प, कविताओं का एक क्रमबद्ध आयाम, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीतमय कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक छंद का अपना संगीत रूप होता है - अपनी लय और माधुर्य। यह उम्मीद की जा सकती है कि कविताओं की संरचना में संगीत कार्यों की कुछ विशेषताएं, संगीत सद्भाव के पैटर्न और, परिणामस्वरूप, सुनहरा अनुपात दिखाई देगा। आइए कविता के आकार से शुरू करते हैं, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या। ऐसा लगता है कि कविता का यह पैरामीटर मनमाने ढंग से बदल सकता है। हालांकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, कविताओं का विश्लेषण ए.एस. इस दृष्टिकोण से पुश्किन ने दिखाया कि छंदों के आकार बहुत असमान रूप से वितरित किए जाते हैं; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।
कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि कविताएँ संगीत के टुकड़ों की तरह होती हैं; उनके पास जलवायु बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. पुश्किन "शोमेकर": एक थानेदार ने एक बार एक तस्वीर की तलाश की
और उसने जूते में त्रुटि की ओर इशारा किया;
एक बार में ब्रश लेकर कलाकार ने खुद को सुधारा,
यहाँ, अकिम्बो, थानेदार ने जारी रखा:
"मुझे लगता है कि चेहरा थोड़ा टेढ़ा है...
क्या वह छाती भी नग्न नहीं है?
यहाँ एपेल्स ने अधीरता से बाधित किया:
"जज, मेरे दोस्त, बूट के ऊपर नहीं!"

मेरे मन में एक दोस्त है:
मुझे नहीं पता कि यह कौन सा विषय है।
वह एक पारखी थे, हालांकि गैर-मौखिक रूप से सख्त,
लेकिन शैतान उसे प्रकाश का न्याय करने के लिए सहन करता है:
जूते का न्याय करने की कोशिश करो!

आइए इस दृष्टांत का विश्लेषण करें। कविता में 13 पंक्तियाँ हैं। यह दो शब्दार्थ भागों पर प्रकाश डालता है: पहला 8 पंक्तियों में और दूसरा (दृष्टांत का नैतिक) 5 पंक्तियों में (13, 8, 5 - फाइबोनैचि संख्या)। पुश्किन की अंतिम कविताओं में से एक "मैं हाई-प्रोफाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता ..." में 21 पंक्तियाँ हैं और इसमें दो शब्दार्थ भाग प्रतिष्ठित हैं: 13 और 8 पंक्तियों में। मैं हाई-प्रोफाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता, जिससे किसी को चक्कर नहीं आता। मैं इस तथ्य के बारे में शिकायत नहीं करता कि देवताओं ने मना कर दिया मैं चुनौतीपूर्ण करों के मीठे लॉट में हूं या राजाओं को आपस में लड़ने से रोके; और मुझे थोड़ा दुख है, क्या प्रेस मुक्त है बेवकूफ बनाने वाले, या संवेदनशील सेंसरशिप पत्रिका की योजनाओं में जोकर शर्मनाक है। यह सब, आप देखते हैं, शब्द, शब्द, शब्द। अन्य, बेहतर, अधिकार मुझे प्रिय हैं: एक और, बेहतर, मुझे आजादी चाहिए: राजा पर निर्भर, प्रजा पर निर्भर - क्या हम सभी को परवाह नहीं है? भगवान उनके साथ हैं।कोई भी नहीं रिपोर्ट न दें, केवल अपने आप को सेवा करो और कृपया; सत्ता के लिए, पोशाक के लिए न तो विवेक, न विचार, न गर्दन झुकना; इधर-उधर भटकने की फुर्सत में, प्रकृति की दिव्य सुंदरता पर अचंभित, और कला और प्रेरणा के जीवों से पहले कोमलता के आनंद में खुशी से कांपते हुए, यहाँ खुशी है! सही बात है... विशेषता है कि इस श्लोक के प्रथम भाग (13 पंक्तियों) को शब्दार्थ की दृष्टि से 8 और 5 पंक्तियों में विभाजित किया गया है, अर्थात् पूरी कविता स्वर्णिम अनुपात के नियमों के अनुसार बनाई गई है। निस्संदेह रुचि एन। वासुटिंस्की द्वारा बनाए गए उपन्यास "यूजीन वनगिन" का विश्लेषण है। इस उपन्यास में 8 अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में औसतन लगभग 50 छंद हैं। सबसे उत्तम, सबसे परिष्कृत और भावनात्मक रूप से समृद्ध आठवां अध्याय है। इसमें 51 श्लोक हैं। तात्याना (60 पंक्तियों) को येवगेनी के पत्र के साथ, यह बिल्कुल फाइबोनैचि संख्या 55 से मेल खाता है! एन। वासुटिंस्की कहते हैं: "अध्याय की परिणति यूजीन के तात्याना के प्रति उनके प्रेम की व्याख्या है - पंक्ति "पीला और फीका ... वह आनंद है!" यह पंक्ति पूरे आठवें अध्याय को दो भागों में विभाजित करती है - पहली 477 पंक्तियों में, और दूसरी में - 295 पंक्तियाँ। उनका अनुपात 1.617 है "सुनहरे अनुपात के मूल्य के लिए सूक्ष्मतम पत्राचार! यह सद्भाव का एक महान चमत्कार है, जिसे पुश्किन की प्रतिभा द्वारा पूरा किया गया है!" कविता Lermontov ई रोसेनोव ने एम यू द्वारा कई काव्य कार्यों का विश्लेषण किया। लेर्मोंटोव, शिलर, ए.के. टॉल्स्टॉय और उनमें "गोल्डन सेक्शन" की भी खोज की।
लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" को दो भागों में विभाजित किया गया है: कथावाचक को संबोधित एक परिचय और केवल एक श्लोक पर कब्जा ("मुझे बताओ, चाचा, यह बिना कारण के नहीं है ..."), और मुख्य भाग, एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो दो समान भागों में विभाजित है। उनमें से पहले में, बढ़ते तनाव के साथ लड़ाई की उम्मीद का वर्णन किया गया है, दूसरे में - कविता के अंत की ओर तनाव में धीरे-धीरे कमी के साथ लड़ाई। इन भागों के बीच की सीमा काम का चरमोत्कर्ष है और इसे सुनहरे खंड से विभाजित करने के बिंदु पर पड़ता है। कविता के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ यानि 91 पंक्तियाँ हैं। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618 = 56.238) से विभाजित करते हुए, हम सुनिश्चित करते हैं कि विभाजन बिंदु 57वें पद की शुरुआत में है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!"। यह वाक्यांश है जो "उत्तेजित उम्मीद के अंतिम बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, जो कविता के पहले भाग (लड़ाई की उम्मीद) को पूरा करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का विवरण) को खोलता है। इस प्रकार, कविता के चरमोत्कर्ष को उजागर करते हुए, स्वर्णिम अनुपात कविता में बहुत सार्थक भूमिका निभाता है। शोता रुस्तवेली की कविता शोता रुस्तवेली की कविता "द नाइट इन द पैंथर्स स्किन" के कई शोधकर्ता उनकी कविता के असाधारण सामंजस्य और माधुर्य पर ध्यान देते हैं। कविता के ये गुण जॉर्जियाई वैज्ञानिक शिक्षाविद जी.वी. त्सेरेटेली इसका श्रेय कवि द्वारा कविता के रूप के निर्माण और उनकी कविताओं के निर्माण में सुनहरे अनुपात के सचेत उपयोग के लिए है। रुस्तवेली की कविता में 1587 श्लोक हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में 16 अक्षर होते हैं और प्रत्येक अर्ध रेखा में 8 अक्षरों के दो बराबर भागों में विभाजित होते हैं। सभी आधी पंक्तियों को दो प्रकार के दो खंडों में विभाजित किया गया है: ए - समान खंडों वाली आधी रेखा और समान संख्या में शब्दांश (4 + 4); बी - दो असमान भागों (5 + 3 या 3 + 5) में एक विषम विभाजन के साथ एक अर्ध-रेखा। इस प्रकार, आधी पंक्ति B में, अनुपात 3:5:8 है, जो सुनहरे अनुपात का एक सन्निकटन है।
यह स्थापित किया गया है कि रुस्तवेली की कविता में 1587 श्लोकों में से आधे से अधिक (863) स्वर्ण खंड के सिद्धांत के अनुसार बनाए गए हैं। हमारे समय में, एक नई तरह की कला का जन्म हुआ - सिनेमा, जिसने एक्शन, पेंटिंग, संगीत की नाटकीयता को अवशोषित किया। सिनेमैटोग्राफी के उत्कृष्ट कार्यों में सुनहरे खंड की अभिव्यक्तियों को देखना वैध है। ऐसा करने वाले पहले विश्व सिनेमा की उत्कृष्ट कृति "बैटलशिप पोटेमकिन", फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन के निर्माता थे। इस चित्र के निर्माण में, उन्होंने सद्भाव के मूल सिद्धांत - स्वर्ण अनुपात को मूर्त रूप देने में कामयाबी हासिल की। जैसा कि ईसेनस्टीन ने खुद नोट किया है, विद्रोही युद्धपोत (फिल्म का अपोजिट पॉइंट) के मस्तूल पर लाल झंडा फिल्म के अंत से गिने जाने वाले सुनहरे अनुपात के बिंदु पर उड़ता है। फ़ॉन्ट्स और घरेलू वस्तुओं में सुनहरा अनुपात प्राचीन ग्रीस की एक विशेष प्रकार की ललित कला को सभी प्रकार के जहाजों के निर्माण और पेंटिंग पर प्रकाश डाला जाना चाहिए। सुरुचिपूर्ण रूप में, सुनहरे खंड के अनुपात का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।


मंदिरों की पेंटिंग और मूर्तिकला में, घरेलू सामानों पर, प्राचीन मिस्रियों ने अक्सर देवताओं और फिरौन को चित्रित किया। खड़े व्यक्ति के चलने, बैठने आदि की छवि के कैनन स्थापित किए गए थे। कलाकारों को तालिकाओं और नमूनों से छवियों के अलग-अलग रूपों और योजनाओं को याद रखना आवश्यक था। प्राचीन यूनानी कलाकारों ने कैनन का उपयोग करने का तरीका जानने के लिए मिस्र की विशेष यात्राएं कीं। बाहरी पर्यावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर ध्वनि आवाज़।
यह ज्ञात है कि दर्द का कारण बनने वाली ध्वनि की अधिकतम मात्रा 130 डेसिबल है।
यदि हम इस अंतराल को 1.618 के सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 80 डेसिबल मिलते हैं, जो मानव चीख की जोर के लिए विशिष्ट हैं।
यदि हम अब 80 डेसिबल को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 50 डेसिबल मिलता है, जो मानव भाषण की जोर से मेल खाता है।
अंत में, यदि हम 50 डेसिबल को 2.618 के सुनहरे अनुपात के वर्ग से विभाजित करते हैं, तो हमें 20 डेसिबल मिलता है, जो एक मानव फुसफुसा से मेल खाता है।
इस प्रकार, ध्वनि की मात्रा के सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।

हवा मैं नमी। 18-20® के तापमान पर, 40-60% की आर्द्रता सीमा को इष्टतम माना जाता है।

इष्टतम आर्द्रता सीमा की सीमाएं प्राप्त की जा सकती हैं यदि 100% की पूर्ण आर्द्रता को दो बार सुनहरे अनुपात से विभाजित किया जाता है: 100 / 2.618 = 38.2% (निचली सीमा); 100/1.618 = 61.8% (ऊपरी सीमा)।

हवा का दबाव। 0.5 एमपीए के वायु दाब पर, एक व्यक्ति अप्रिय उत्तेजना का अनुभव करता है, उसकी शारीरिक और मनोवैज्ञानिक गतिविधि बिगड़ जाती है। 0.3 - 0.35 एमपीए के दबाव में, केवल अल्पकालिक संचालन की अनुमति है, और 0.2 एमपीए के दबाव में, इसे 8 मिनट से अधिक समय तक काम करने की अनुमति नहीं है।

ये सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात से जुड़े हुए हैं: 0.5 / 1.618 = 0.31 एमपीए; 0.5 / 2.618 = 0.19 एमपीए।

बाहरी हवा का तापमान। बाहरी हवा के तापमान के सीमा पैरामीटर, जिसके भीतर किसी व्यक्ति का सामान्य अस्तित्व (और, सबसे महत्वपूर्ण, मूल) संभव है, तापमान 0 से + (57-58) ® तक है। जाहिर है, पहली सीमा पर स्पष्टीकरण देने की जरूरत नहीं है।

हम सकारात्मक तापमान की संकेतित सीमा को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं। यह हमें दो सीमाएँ देता है:

दोनों सीमाएं मानव शरीर की तापमान विशेषता हैं: पहला तापमान से मेल खाता है दूसरी सीमा मानव शरीर के लिए अधिकतम संभव बाहरी तापमान से मेल खाती है।
पेंटिंग में सुनहरा खंड
पुनर्जागरण में वापस, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ बिंदु होते हैं जो अनजाने में हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या लंबवत। ऐसे केवल चार बिंदु हैं, और वे विमान के संगत किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं।


उस समय के कलाकारों के बीच इस खोज को चित्र का "सुनहरा खंड" कहा जाता था। पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान देना बंद नहीं किया जा सकता है। उनकी पहचान इतिहास के रहस्यों में से एक है। लियोनार्डो दा विंची ने खुद कहा था: "कोई भी व्यक्ति जो गणितज्ञ नहीं है, मेरी रचनाओं को पढ़ने की हिम्मत न करे।"
उन्होंने एक नायाब कलाकार, एक महान वैज्ञानिक, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के रूप में ख्याति प्राप्त की, जिन्होंने कई आविष्कारों का अनुमान लगाया था जो 20 वीं शताब्दी तक लागू नहीं हुए थे।
इसमें कोई संदेह नहीं है कि लियोनार्डो दा विंची एक महान कलाकार थे, यह पहले से ही उनके समकालीनों द्वारा पहचाना गया था, लेकिन उनका व्यक्तित्व और गतिविधियाँ रहस्य में डूबी रहेंगी, क्योंकि उन्होंने अपने विचारों की एक सुसंगत प्रस्तुति नहीं, बल्कि केवल कई हस्तलिखित रेखाचित्र छोड़े हैं। , नोट्स जो कहते हैं "दुनिया में सभी लोग।"
उन्होंने दाएं से बाएं ओर से अपठनीय लिखावट में और बाएं हाथ से लिखा। यह अस्तित्व में दर्पण लेखन का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।
मोना लिसा (ला जिओकोंडा) का चित्र कई वर्षों से शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित कर रहा है, जिन्होंने पाया कि ड्राइंग की रचना सुनहरे त्रिकोण पर आधारित है जो एक नियमित स्टार पेंटागन के हिस्से हैं। इस चित्र के इतिहास के बारे में कई संस्करण हैं। उनमें से एक यहां पर है।
एक बार लियोनार्डो दा विंची को बैंकर फ्रांसेस्को डी ले जिओकोंडो से एक युवा महिला, बैंकर की पत्नी, मोना लिसा के चित्र को चित्रित करने का आदेश मिला। महिला सुंदर नहीं थी, लेकिन वह अपनी उपस्थिति की सादगी और स्वाभाविकता से आकर्षित थी। लियोनार्डो एक चित्र बनाने के लिए सहमत हुए। उसका मॉडल उदास और उदास था, लेकिन लियोनार्डो ने उसे एक परी कथा सुनाई, जिसे सुनकर वह जीवित और दिलचस्प हो गई।
परियों की कहानी
एक बार एक गरीब आदमी था, उसके चार बेटे थे: तीन स्मार्ट, और उनमें से एक इस तरह और वह। और फिर पिता के लिए मौत आ गई। अपने जीवन के साथ भाग लेने से पहले, उसने अपने बच्चों को अपने पास बुलाया और कहा: "मेरे बेटे, मैं जल्द ही मर जाऊंगा। जैसे ही तुम मुझे दफनाओगे, झोपड़ी को बंद कर दो और दुनिया के छोर पर जाकर अपनी खुशी के लिए जाओ। आप में से प्रत्येक को कुछ न कुछ सीखने दें, ताकि अपना भरण-पोषण कर सकें।" पिता की मृत्यु हो गई, और बेटे दुनिया भर में तितर-बितर हो गए, तीन साल बाद अपने मूल ग्रोव के ग्लेड में लौटने के लिए सहमत हुए। पहला भाई आया, जिसने बढ़ईगीरी सीखी, एक पेड़ को काटा और उसे काटा, उसमें से एक महिला बनाई, थोड़ा चला और इंतजार किया। दूसरा भाई लौटा, एक लकड़ी की महिला को देखा और, चूंकि वह एक दर्जी था, एक मिनट में उसे कपड़े पहनाए: एक कुशल कारीगर की तरह, उसने उसके लिए सुंदर रेशमी कपड़े सिल दिए। तीसरे बेटे ने महिला को सोने और कीमती पत्थरों से सजाया - आखिरकार, वह एक जौहरी था। अंत में चौथा भाई आ ही गया। वह बढ़ईगीरी और सिलाई करना नहीं जानता था, वह केवल यह जानता था कि पृथ्वी, पेड़, जड़ी-बूटियाँ, जानवर और पक्षी क्या कह रहे हैं, वह स्वर्गीय शरीरों के पाठ्यक्रम को जानता था और यह भी जानता था कि अद्भुत गीत कैसे गाए जाते हैं। उन्होंने ऐसा गाना गाया जिससे झाड़ियों के पीछे छिपे भाई रो पड़े। इस गीत के साथ, उन्होंने महिला को पुनर्जीवित किया, वह मुस्कुराई और आह भरी। भाई उसके पास दौड़े और एक ही चिल्लाया: "तुम मेरी पत्नी हो।" लेकिन महिला ने उत्तर दिया: "तुमने मुझे बनाया - मेरे पिता बनो। तुमने मुझे कपड़े पहनाए, और तुमने मुझे सजाया - मेरे भाई बनो।
और तुम, जिसने मेरी आत्मा को मुझमें झोंक दिया और मुझे जीवन का आनंद लेना सिखाया, मुझे जीवन के लिए अकेले तुम्हारी जरूरत है".
कहानी समाप्त करने के बाद, लियोनार्डो ने मोना लिसा को देखा, उसका चेहरा रोशनी से चमक उठा, उसकी आँखें चमक उठीं। फिर, जैसे कि एक सपने से जागते हुए, उसने आह भरी, अपने चेहरे पर अपना हाथ रखा, और बिना एक शब्द के अपने स्थान पर चली गई, अपने हाथों को जोड़ दिया और अपनी सामान्य मुद्रा ग्रहण की। लेकिन कर्म किया गया - कलाकार ने उदासीन मूर्ति को जगाया; आनंद की मुस्कान, धीरे-धीरे उसके चेहरे से गायब हो गई, उसके मुंह के कोनों में रह गई और कांप गई, उसके चेहरे को एक अद्भुत, रहस्यमय और थोड़ी धूर्त अभिव्यक्ति दी, जैसे कि एक व्यक्ति ने एक रहस्य सीखा है और इसे ध्यान से रखते हुए, नहीं कर सकता उसकी जीत को रोकें। लियोनार्डो ने चुपचाप काम किया, इस पल को याद करने से डरते हुए, धूप की यह किरण जिसने उनके उबाऊ मॉडल को रोशन किया ...
यह नोट करना मुश्किल है कि कला की इस उत्कृष्ट कृति में क्या देखा गया था, लेकिन सभी ने लियोनार्डो के मानव शरीर की संरचना के गहन ज्ञान के बारे में बात की, जिसकी बदौलत वह इसे पकड़ने में कामयाब रहे, जैसे कि यह रहस्यमय मुस्कान थी। उन्होंने चित्र के अलग-अलग हिस्सों की अभिव्यक्ति और परिदृश्य के बारे में, चित्र के एक अभूतपूर्व साथी के बारे में बात की। उन्होंने अभिव्यक्ति की स्वाभाविकता, मुद्रा की सादगी, हाथों की सुंदरता के बारे में बात की। कलाकार ने कुछ अभूतपूर्व किया है: चित्र में हवा को दर्शाया गया है, यह एक पारदर्शी धुंध के साथ आकृति को ढँक देता है। सफलता के बावजूद, लियोनार्डो उदास था, फ्लोरेंस की स्थिति कलाकार को दर्दनाक लग रही थी, वह जाने के लिए तैयार हो गया। बाढ़ के आदेशों के अनुस्मारक ने उनकी मदद नहीं की।

I. I. Shishkin "पाइन ग्रोव" की पेंटिंग में सुनहरा खंड आई. आई. शिश्किन की इस प्रसिद्ध पेंटिंग में स्वर्ण खंड के रूपांकन स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। चमकदार रोशनी वाला देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। देवदार के पेड़ के दाईं ओर सूर्य द्वारा प्रकाशित एक पहाड़ी है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है। मुख्य पाइन के बाईं ओर कई चीड़ हैं - यदि आप चाहें, तो आप चित्र को सुनहरे खंड और आगे के अनुसार सफलतापूर्वक विभाजित करना जारी रख सकते हैं।
उज्ज्वल ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज के चित्र में उपस्थिति, इसे सुनहरे खंड के संबंध में विभाजित करते हुए, इसे कलाकार के इरादे के अनुसार संतुलन और शांति का चरित्र देता है। जब कलाकार का इरादा अलग होता है, अगर, कहते हैं, वह तेजी से विकसित होने वाली क्रिया के साथ एक चित्र बनाता है, तो रचना की ऐसी ज्यामितीय योजना (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की प्रबलता के साथ) अस्वीकार्य हो जाती है।
वी. आई. सुरिकोव। बोयार मोरोज़ोवा। उसकी भूमिका चित्र के मध्य भाग को सौंपी गई है। यह उच्चतम वृद्धि के बिंदु और चित्र के कथानक के निम्नतम पतन के बिंदु से बंधा हुआ है। 1) यह मोरोज़ोवा के हाथ का उठना है जिसमें उच्चतम बिंदु के रूप में दो अंगुलियों के साथ क्रॉस का चिन्ह है। 2) यह उसी रईस के लिए लाचारी से बढ़ा हुआ हाथ है, लेकिन इस बार यह एक बूढ़ी औरत का हाथ है - एक गरीब पथिक, एक हाथ जिसके नीचे से मोक्ष की आखिरी उम्मीद के साथ, स्लेज का अंत निकल जाता है . और "उच्चतम बिंदु" के बारे में क्या? पहली नज़र में, हमारे पास एक प्रतीत होता है विरोधाभास: आखिरकार, खंड A1B1, जो कि 0.618 है ... चित्र के दाहिने किनारे से, हाथ से नहीं गुजरता, यहां तक ​​​​कि रईस के सिर या आंख से भी नहीं, लेकिन रईस के मुँह के सामने कहीं निकला! सुनहरा अनुपात वास्तव में यहां सबसे महत्वपूर्ण चीज में कटौती करता है। उसमें, और ठीक उसी में, मोरोज़ोवा की सबसे बड़ी ताकत है। लियोनार्डो दा विंची "ला ​​जियोकोंडा" की पेंटिंग में सुनहरा अनुपात
	मोना लिसा का चित्र इस तथ्य से आकर्षित करता है कि ड्राइंग की रचना "सुनहरे त्रिकोण" (अधिक सटीक रूप से, त्रिकोण पर जो एक नियमित स्टार के आकार के पेंटागन के टुकड़े हैं) पर बनाई गई है।
सैंड्रो बॉटलिकली की पेंटिंग से अधिक काव्यात्मक कोई पेंटिंग नहीं है, और महान सैंड्रो के पास अपने "वीनस" से अधिक प्रसिद्ध कोई पेंटिंग नहीं है। बॉटलिकली के लिए, उनका शुक्र प्रकृति में प्रचलित "गोल्डन सेक्शन" के सार्वभौमिक सामंजस्य के विचार का प्रतीक है। शुक्र का आनुपातिक विश्लेषण हमें इस बात का विश्वास दिलाता है। रफएल "एथेंस का स्कूल" राफेल गणितज्ञ नहीं थे, लेकिन, उस युग के कई कलाकारों की तरह, उन्हें ज्यामिति का काफी ज्ञान था। प्रसिद्ध भित्तिचित्र "द स्कूल ऑफ एथेंस" में, जहां प्राचीन काल के महान दार्शनिकों का समाज विज्ञान के मंदिर में आयोजित किया जाता है, हमारा ध्यान यूक्लिड के समूह द्वारा आकर्षित किया जाता है, जो सबसे बड़ा प्राचीन यूनानी गणितज्ञ है, जो एक जटिल चित्र का विश्लेषण करता है। दो त्रिभुजों का सरल संयोजन भी सुनहरे अनुपात के अनुसार बनाया गया है: इसे एक आयत में 5/8 के पहलू अनुपात के साथ अंकित किया जा सकता है। वास्तुकला के ऊपरी भाग में सम्मिलित करने के लिए यह चित्र आश्चर्यजनक रूप से आसान है। त्रिभुज का ऊपरी कोना दर्शक के निकटतम क्षेत्र में आर्च के कीस्टोन के खिलाफ टिकी हुई है, निचला एक - दृष्टिकोण के लुप्त बिंदु पर, और साइड सेक्शन मेहराब के दो हिस्सों के बीच स्थानिक अंतर के अनुपात को इंगित करता है। . राफेल के "निर्दोषों के नरसंहार" में स्वर्ण सर्पिल
सुनहरे खंड के विपरीत, गतिशीलता, उत्तेजना की भावना शायद एक और सरल ज्यामितीय आकृति - सर्पिल में सबसे अधिक स्पष्ट है। राफेल द्वारा 1509 - 1510 में बनाई गई बहु-आकृति रचना, जब प्रसिद्ध चित्रकार ने वेटिकन में अपने भित्तिचित्रों का निर्माण किया, बस कथानक की गतिशीलता और नाटक से अलग है। राफेल ने अपने विचार को कभी पूरा नहीं किया, हालांकि, उनके स्केच को एक अज्ञात इतालवी ग्राफिक कलाकार मार्केंटिनियो रायमोंडी ने उकेरा था, जिन्होंने इस स्केच के आधार पर, नरसंहार के मासूमों के उत्कीर्णन का निर्माण किया था। यदि, राफेल की तैयारी के स्केच पर, कोई मानसिक रूप से रचना के शब्दार्थ केंद्र से चलने वाली रेखाएँ खींचता है - वह बिंदु जहाँ योद्धा की उंगलियां बच्चे के टखने के चारों ओर बंद हो जाती हैं - एक बच्चे के आंकड़ों के साथ, एक महिला उसे अपने आप से जकड़ लेती है, एक योद्धा के साथ उठी हुई तलवार, और फिर उसी समूह के आंकड़ों के साथ स्केच के दाहिने हिस्सों पर (आकृति में, ये रेखाएँ लाल रंग में खींची गई हैं), और फिर वक्र के इन टुकड़ों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ दें, फिर एक सुनहरा सर्पिल है बहुत उच्च सटीकता के साथ प्राप्त किया। इसे वक्र की शुरुआत से गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर सर्पिल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के अनुपात को मापकर जांचा जा सकता है।
सुनहरा अनुपात और छवि धारणा गोल्डन सेक्शन एल्गोरिथम के अनुसार निर्मित वस्तुओं को सुंदर, आकर्षक और सामंजस्यपूर्ण के रूप में अलग करने के लिए मानव दृश्य विश्लेषक की क्षमता लंबे समय से जानी जाती है। सुनहरा अनुपात सबसे परिपूर्ण एकीकृत संपूर्ण की भावना देता है। कई पुस्तकों का प्रारूप स्वर्णिम अनुपात का अनुसरण करता है। इसे खिड़कियों, चित्रों और लिफाफों, टिकटों, व्यवसाय कार्डों के लिए चुना जाता है। एक व्यक्ति को संख्या के बारे में कुछ भी पता नहीं हो सकता है, लेकिन वस्तुओं की संरचना में, साथ ही घटनाओं के क्रम में, वह अवचेतन रूप से सुनहरे अनुपात के तत्वों को ढूंढता है। अध्ययन किए गए हैं जिनमें विषयों को विभिन्न अनुपातों के आयतों का चयन और प्रतिलिपि बनाने के लिए कहा गया था। चुनने के लिए तीन आयतें थीं: एक वर्ग (40:40 मिमी), एक "सुनहरा खंड" आयत जिसका पहलू अनुपात 1:1.62 (31:50 मिमी) और एक आयत 1:2.31 (26: 60 मिमी)। सामान्य अवस्था में आयतों का चयन करते समय, 1/2 मामलों में वर्ग को वरीयता दी जाती है। दायां गोलार्द्ध सुनहरे अनुपात को पसंद करता है और लम्बी आयत को अस्वीकार करता है। इसके विपरीत, बायां गोलार्द्ध लम्बी अनुपात की ओर बढ़ता है और सुनहरे अनुपात को अस्वीकार करता है। इन आयतों की नकल करते समय, निम्नलिखित देखा गया। जब दायां गोलार्द्ध सक्रिय था, तो प्रतियों में अनुपात सबसे सटीक रूप से बनाए रखा गया था। जब बायां गोलार्द्ध सक्रिय था, सभी आयतों के अनुपात विकृत हो गए थे, आयतों को फैला दिया गया था (एक वर्ग को आयत के रूप में 1:1.2 के पहलू अनुपात के साथ खींचा गया था; फैला हुआ आयत का अनुपात तेजी से बढ़ा और 1:2.8 तक पहुंच गया। ) "सुनहरा" आयत का सबसे जोरदार विकृत अनुपात; प्रतियों में इसका अनुपात आयत 1:2.08 का अनुपात बन गया। अपने स्वयं के चित्र बनाते समय, सुनहरे अनुपात के करीब अनुपात और लम्बी प्रबल होती है। औसतन, अनुपात 1:2 हैं, जबकि दायां गोलार्द्ध सुनहरे खंड के अनुपात को पसंद करता है, बायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात से दूर चला जाता है और पैटर्न को फैलाता है। अब कुछ आयतें खींचिए, उनकी भुजाएँ मापिए और पक्षानुपात ज्ञात कीजिए। आपके पास कौन सा गोलार्द्ध है?

फोटोग्राफी में सुनहरा अनुपात
फोटोग्राफी में सुनहरे अनुपात के उपयोग का एक उदाहरण फ्रेम के प्रमुख घटकों का स्थान उन बिंदुओं पर है जो फ्रेम के किनारों से 3/8 और 5/8 स्थित हैं। इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट किया जा सकता है।

यहाँ एक बिल्ली की एक तस्वीर है, जो फ्रेम में एक मनमाना स्थान पर स्थित है।

अब चलो सशर्त रूप से फ्रेम को खंडों में विभाजित करते हैं, फ्रेम के प्रत्येक तरफ से कुल लंबाई के 1.62 के अनुपात में। खंडों के चौराहे पर, मुख्य "दृश्य केंद्र" होंगे जिसमें छवि के आवश्यक प्रमुख तत्वों को रखने के लायक है। आइए हमारी बिल्ली को "दृश्य केंद्रों" के बिंदुओं पर स्थानांतरित करें। स्वर्ण अनुपात और स्थान खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रंखला का प्रयोग करते हुए सौरमंडल के ग्रहों के बीच की दूरियों में नियमितता और व्यवस्था पाई।
हालांकि, एक मामला जो कानून के विपरीत लग रहा था: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस हिस्से के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह 19वीं शताब्दी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ। फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसकी मदद से, वे जीवित प्राणियों के वास्तुशिल्प, और मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। ये तथ्य इसकी अभिव्यक्ति की शर्तों से संख्या श्रृंखला की स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।



आकाशगंगा के दो गोल्डन स्पाइरल डेविड के स्टार के साथ संगत हैं। सफेद सर्पिल में आकाशगंगा से निकलने वाले तारों पर ध्यान दें। एक सर्पिल से ठीक 180® एक और खुला सर्पिल आता है। ... लंबे समय तक, खगोलविदों का मानना ​​​​था कि जो कुछ भी है वह वही है जो हम देखते हैं; अगर कुछ दिखाई दे रहा है, तो वह मौजूद है। उन्होंने या तो वास्तविकता के अदृश्य हिस्से को बिल्कुल भी नोटिस नहीं किया, या उन्होंने इसे महत्वपूर्ण नहीं माना। लेकिन हमारी वास्तविकता का अदृश्य पक्ष वास्तव में दृश्य पक्ष से बहुत बड़ा है और शायद अधिक महत्वपूर्ण है। ... दूसरे शब्दों में, वास्तविकता का दृश्य भाग संपूर्ण के एक प्रतिशत से बहुत कम है - लगभग कुछ भी नहीं। वास्तव में, हमारा सच्चा घर अदृश्य ब्रह्मांड है... ब्रह्मांड में, मानव जाति को ज्ञात सभी आकाशगंगाएँ और उनमें मौजूद सभी पिंड स्वर्ण खंड के सूत्र के अनुरूप एक सर्पिल के रूप में मौजूद हैं। हमारी आकाशगंगा के सर्पिल में सुनहरा अनुपात है


निष्कर्ष प्रकृति, जिसे पूरी दुनिया के रूप में उसके रूपों की विविधता में समझा जाता है, में दो भाग होते हैं: जीवित और निर्जीव प्रकृति। निर्जीव प्रकृति की रचनाएँ उच्च स्थिरता, कम परिवर्तनशीलता, मानव जीवन के पैमाने को देखते हुए विशेषता हैं। एक व्यक्ति पैदा होता है, जीवित रहता है, बूढ़ा होता है, मर जाता है, लेकिन ग्रेनाइट के पहाड़ वही रहते हैं और ग्रह सूर्य के चारों ओर उसी तरह घूमते हैं जैसे पाइथागोरस के समय में। वन्य जीवन की दुनिया हमें पूरी तरह से अलग तरह से दिखाई देती है - मोबाइल, परिवर्तनशील और आश्चर्यजनक रूप से विविध। जीवन हमें विविधता और रचनात्मक संयोजनों की मौलिकता का एक शानदार कार्निवल दिखाता है! निर्जीव प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, समरूपता की दुनिया है, जो उनकी रचनाओं को स्थिरता और सुंदरता देती है। प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, सद्भाव की दुनिया है, जिसमें "स्वर्ण खंड का कानून" संचालित होता है। आधुनिक दुनिया में प्रकृति पर मनुष्य के बढ़ते प्रभाव के कारण विज्ञान का विशेष महत्व है। वर्तमान चरण में महत्वपूर्ण कार्य मनुष्य और प्रकृति के सह-अस्तित्व के नए तरीकों की खोज, दार्शनिक, सामाजिक, आर्थिक, शैक्षिक और समाज के सामने आने वाली अन्य समस्याओं का अध्ययन है। इस पत्र में, मानव जाति और पूरे ग्रह के इतिहास के विकास के ऐतिहासिक पाठ्यक्रम पर जीवित और निर्जीव प्रकृति पर "स्वर्ण खंड" के गुणों के प्रभाव पर विचार किया गया था। उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हुए, कोई एक बार फिर दुनिया की अनुभूति की प्रक्रिया की भव्यता, इसके नए पैटर्न की खोज और निष्कर्ष निकाल सकता है: स्वर्ण खंड का सिद्धांत संरचनात्मक और की उच्चतम अभिव्यक्ति है।कार्यात्मक कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की पूर्णता। यह उम्मीद की जा सकती है कि प्रकृति की विभिन्न प्रणालियों के विकास के नियम, विकास के नियम, बहुत विविध नहीं हैं और सबसे विविध संरचनाओं में इसका पता लगाया जा सकता है। यह प्रकृति की एकता की अभिव्यक्ति है। विषम प्राकृतिक घटनाओं में समान प्रतिमानों की अभिव्यक्ति के आधार पर इस तरह की एकता के विचार ने पाइथागोरस से लेकर आज तक अपनी प्रासंगिकता बरकरार रखी है।वां। 51

ब्रह्मांड में अभी भी कई अनसुलझे रहस्य हैं, जिनमें से कुछ वैज्ञानिक पहले ही पहचान और वर्णन कर पाए हैं। फाइबोनैचि संख्याएं और सुनहरा अनुपात हमारे आस-पास की दुनिया को जानने, किसी व्यक्ति द्वारा उसके आकार और इष्टतम दृश्य धारणा का निर्माण करने का आधार बनाते हैं, जिसकी मदद से वह सुंदरता और सद्भाव महसूस कर सकता है।

सुनहरा अनुपात

स्वर्ण खंड के आकार को निर्धारित करने का सिद्धांत इसकी संरचना और कार्यों में पूरी दुनिया और उसके हिस्सों की पूर्णता का आधार है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्ण अनुपात का सिद्धांत प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा संख्याओं की प्रकृति पर शोध के परिणामस्वरूप स्थापित किया गया था।

यह खंड विभाजनों के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस ने बनाया था। उन्होंने साबित किया कि एक खंड को दो भागों में विभाजित करते समय: एक्स (छोटा) और वाई (बड़ा), बड़े से छोटे का अनुपात उनके योग (संपूर्ण खंड के) के अनुपात के बराबर होगा:

परिणाम एक समीकरण है: एक्स 2 - एक्स - 1 = 0,जिसे के रूप में हल किया गया है एक्स = (1 ± √5) / 2।

अगर हम अनुपात 1/x पर विचार करें, तो यह बराबर है 1,618…

प्राचीन विचारकों द्वारा स्वर्ण अनुपात के उपयोग का प्रमाण तीसरी शताब्दी में लिखी गई यूक्लिड की "बिगिनिंग्स" की पुस्तक में दिया गया है। ईसा पूर्व, जिन्होंने इस नियम का उपयोग नियमित 5-गॉन बनाने के लिए किया था। पाइथागोरस के बीच, यह आंकड़ा पवित्र माना जाता है, क्योंकि यह सममित और विषम दोनों है। पेंटाग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।

फाइबोनैचि संख्या

पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबासी, जिसे बाद में फिबोनाची के नाम से जाना गया, 1202 में प्रकाशित हुई थी। इसमें वैज्ञानिक ने पहली बार संख्याओं का एक पैटर्न दिया है, जिसकी एक श्रृंखला में प्रत्येक संख्या योग है। 2 पिछले अंकों में से। फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।

वैज्ञानिक ने कई पैटर्न का भी हवाला दिया:

• श्रृंखला में से कोई भी संख्या, अगले से विभाजित, उस मान के बराबर होगी जो 0.618 तक जाता है। इसके अलावा, पहली फाइबोनैचि संख्याएं ऐसी संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसे-जैसे आप अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ते हैं, यह अनुपात अधिक से अधिक सटीक होता जाएगा।
• यदि आप श्रृंखला से संख्या को पिछले एक से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 हो जाएगा।
• एक संख्या को अगली संख्या से विभाजित करने पर 0.382 का मान दिखाई देगा।

गोल्डन सेक्शन के कनेक्शन और पैटर्न के अनुप्रयोग, फाइबोनैचि संख्या (0.618) को न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति में, इतिहास में, वास्तुकला और निर्माण में और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।

आर्किमिडीज का सर्पिल और स्वर्ण आयत

सर्पिल, प्रकृति में बहुत आम हैं, आर्किमिडीज द्वारा खोजे गए थे, जिन्होंने उसका समीकरण भी निकाला था। सर्पिल का आकार सुनहरे अनुपात के नियमों पर आधारित है। जब इसे घुमाया जाता है, तो एक लंबाई प्राप्त की जाती है जिसमें अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं को लागू किया जा सकता है, चरण वृद्धि समान रूप से होती है।

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच समानांतर को एक "सुनहरी आयत" बनाकर भी देखा जा सकता है, जिसकी भुजाएँ 1.618: 1 के समानुपाती होती हैं। इसे एक बड़े आयत से छोटे आयत में ले जाकर बनाया गया है ताकि भुजाओं की लंबाई पंक्ति से संख्याओं के बराबर हो जाए। इसका निर्माण वर्ग "1" से शुरू होकर, उल्टे क्रम में किया जा सकता है। इस आयत के कोनों को उनके चौराहे के केंद्र में रेखाओं से जोड़ने पर, एक फाइबोनैचि या लॉगरिदमिक सर्पिल प्राप्त होता है।

सुनहरे अनुपात के उपयोग का इतिहास

मिस्र के कई प्राचीन स्थापत्य स्मारक सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाए गए थे: चेप्स और अन्य के प्रसिद्ध पिरामिड। प्राचीन ग्रीस के वास्तुकारों ने उन्हें मंदिरों, एम्फीथिएटर, स्टेडियम जैसे वास्तुशिल्प वस्तुओं के निर्माण में व्यापक रूप से उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, इस तरह के अनुपात का उपयोग प्राचीन पार्थेनन मंदिर (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में किया गया था जो गणितीय पैटर्न के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते हुए प्राचीन वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियाँ बन गए थे।

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात में रुचि कम हो गई, और पैटर्न को भुला दिया गया, लेकिन पुनर्जागरण में फिर से शुरू हुआ, साथ ही फ्रांसिस्कन भिक्षु एल। पैसिओली डि बोर्गो "दिव्य अनुपात" (150 9) की पुस्तक के साथ। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र शामिल थे, जिन्होंने नया नाम "गोल्डन सेक्शन" तय किया था। इसके अलावा, सुनहरे अनुपात के 12 गुण वैज्ञानिक रूप से सिद्ध हुए थे, और लेखक ने इस बारे में बात की कि यह प्रकृति में, कला में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा जाता है।

विट्रुवियन मैन लियोनार्डो

1492 में लियोनार्डो दा विंची ने विट्रुवियस की पुस्तक को जिस चित्र द्वारा चित्रित किया था, उसमें 2 पदों पर एक व्यक्ति की भुजाओं को भुजाओं तक विस्तारित किया गया था। आकृति एक वृत्त और एक वर्ग में अंकित है। इस चित्र को मानव शरीर (पुरुष) का विहित अनुपात माना जाता है, जिसका वर्णन लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के ग्रंथों में उनके अध्ययन के आधार पर किया था।

हाथों और पैरों के अंत से एक समान दूरी के रूप में शरीर का केंद्र नाभि है, भुजाओं की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर है, कंधों की अधिकतम चौड़ाई = ऊंचाई का 1/8, छाती के ऊपर से बालों की दूरी = 1/7, छाती के ऊपर से सिर के ऊपर तक = 1/6 आदि।

तब से, चित्र का उपयोग मानव शरीर की आंतरिक समरूपता को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में किया जाता रहा है।

लियोनार्डो द्वारा "गोल्डन रेशियो" शब्द का इस्तेमाल मानव आकृति में आनुपातिक संबंधों को दर्शाने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों तक की दूरी नाभि से सिर के शीर्ष तक की दूरी से उसी तरह संबंधित होती है जैसे ऊंचाई से पहली लंबाई (कमर से नीचे तक)। यह गणना सुनहरे अनुपात की गणना करते समय खंडों के अनुपात के समान की जाती है और 1.618 तक जाती है।

ये सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपात अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली कार्यों को बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

16वीं-19वीं शताब्दी में स्वर्ण अनुपात का अध्ययन

स्वर्ण अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करते हुए, अनुपात के मुद्दे पर शोध कार्य एक सदी से भी अधिक समय से चल रहा है। लियोनार्डो दा विंची के समानांतर, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर भी मानव शरीर के सही अनुपात के सिद्धांत को विकसित कर रहे थे। इसके लिए उन्होंने एक खास कंपास भी बनाया।

16वीं शताब्दी में फाइबोनैचि संख्या और स्वर्ण खंड के बीच संबंध का प्रश्न खगोलशास्त्री आई. केप्लर के काम के लिए समर्पित था, जिन्होंने सबसे पहले इन नियमों को वनस्पति विज्ञान में लागू किया था।

19वीं सदी में एक नई "खोज" सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा कर रही थी। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफेसर ज़ीसिग द्वारा "सौंदर्य अनुसंधान" के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को निरपेक्ष तक बढ़ाया और घोषणा की कि वे सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए सार्वभौमिक हैं। उन्होंने बड़ी संख्या में लोगों, या उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार) का अध्ययन किया, जिसके परिणामस्वरूप शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय रूप से पुष्टि किए गए पैटर्न के बारे में निष्कर्ष निकाले गए: कंधों की लंबाई, अग्रभाग , हाथ, उंगलियां, आदि।

कला वस्तुओं (फूलदान, स्थापत्य संरचनाएं), संगीत स्वर, आकार जब कविताएं भी अध्ययन किए गए थे - ज़ीसिग ने यह सब खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से प्रदर्शित किया, उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त हुई है।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरा अनुपात

पौधे और पशु जगत में समरूपता के रूप में बनने की प्रवृत्ति होती है, जो वृद्धि और गति की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन जिसमें सुनहरे अनुपात देखे जाते हैं, कई पौधों और जानवरों में निहित एक पैटर्न है।

उदाहरण के लिए, हमारे आस-पास की प्रकृति को फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

• किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं की व्यवस्था, साथ ही दूरियां, दी गई संख्या 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 आदि की श्रृंखला से संबंधित हैं;
• सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानास कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में मुड़ सर्पिल में दो पंक्तियों में व्यवस्थित;
• छिपकली की पूंछ और पूरे शरीर की लंबाई का अनुपात;
• अंडे का आकार, यदि आप इसके विस्तृत भाग के माध्यम से सशर्त रूप से एक रेखा खींचते हैं;
• मानव हाथ पर उंगलियों के आकार का अनुपात।

और, ज़ाहिर है, सबसे दिलचस्प रूप हैं सर्पिलिंग घोंघे के गोले, वेब पर पैटर्न, एक तूफान के अंदर हवा की गति, डीएनए में डबल हेलिक्स, और आकाशगंगाओं की संरचना - जिनमें से सभी में फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम शामिल है .

कला में सुनहरे अनुपात का उपयोग

कला में स्वर्ण खंड के उपयोग के उदाहरणों की तलाश करने वाले शोधकर्ता विभिन्न वास्तुशिल्प वस्तुओं और चित्रों की विस्तार से जांच करते हैं। प्रसिद्ध मूर्तिकला कार्य ज्ञात हैं, जिनके रचनाकारों ने सुनहरे अनुपात का पालन किया - ओलंपियन ज़ीउस, अपोलो बेल्वेडियर और की मूर्तियाँ

लियोनार्डो दा विंची की रचनाओं में से एक - "मोना लिसा का पोर्ट्रेट" - कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय रहा है। उन्होंने पाया कि काम की संरचना में पूरी तरह से "सुनहरे त्रिकोण" होते हैं, जो एक नियमित पेंटागन-स्टार में एकजुट होते हैं। दा विंची की सभी रचनाएँ इस बात का प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात के बारे में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह मोना लिसा की अविश्वसनीय रूप से रहस्यमयी मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।

वास्तुकला में सुनहरा अनुपात

एक उदाहरण के रूप में, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार बनाई गई स्थापत्य कृतियों का अध्ययन किया: मिस्र के पिरामिड, पैन्थियन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डे पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।

प्राचीन ग्रीस (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) में सबसे खूबसूरत इमारतों में से एक पार्थेनन में 8 स्तंभ और 17 अलग-अलग तरफ हैं, इसकी ऊंचाई और पक्षों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके पहलुओं पर प्रोट्रूशियंस "गोल्डन सेक्शन" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाए गए हैं।

उन वैज्ञानिकों में से एक जिन्होंने वास्तुशिल्प वस्तुओं (तथाकथित "मॉड्यूलर") के अनुपात के मॉड्यूलर सिस्टम के सुधार का आविष्कार किया और सफलतापूर्वक लागू किया, वह फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर थे। मॉड्यूलर मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सशर्त विभाजन से जुड़ी एक माप प्रणाली पर आधारित है।

रूसी वास्तुकार एम. काज़ाकोव, जिन्होंने मॉस्को में कई आवासीय भवनों का निर्माण किया, साथ ही क्रेमलिन और गोलित्सिन अस्पताल (अब एनआई पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिक) में सीनेट की इमारतों का निर्माण किया, उन वास्तुकारों में से एक थे जिन्होंने कानूनों का इस्तेमाल किया था सुनहरे अनुपात के बारे में डिजाइन और निर्माण।

डिजाइन में अनुपात लागू करना

फैशन डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि स्वभाव से सभी लोगों के आदर्श अनुपात नहीं होते हैं।

लैंडस्केप डिज़ाइन की योजना बनाते समय और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारों और छोटी वास्तुशिल्प वस्तुओं की मदद से विशाल पार्क रचनाएँ बनाते समय, "दिव्य अनुपात" के पैटर्न भी लागू किए जा सकते हैं। आखिरकार, पार्क की संरचना को आगंतुक पर एक छाप बनाने पर ध्यान केंद्रित किया जाना चाहिए, जो इसमें स्वतंत्र रूप से नेविगेट करने और रचना केंद्र खोजने में सक्षम होगा।

पार्क के सभी तत्व इस तरह के अनुपात में हैं कि, ज्यामितीय संरचना, आपसी व्यवस्था, प्रकाश व्यवस्था और प्रकाश की मदद से, वे एक व्यक्ति पर सद्भाव और पूर्णता की छाप देते हैं।

साइबरनेटिक्स और प्रौद्योगिकी में सुनहरे खंड का अनुप्रयोग

डीएनए जीन संरचना में, अंतरिक्ष प्रणालियों में, रासायनिक यौगिकों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि संख्याओं के पैटर्न भी ऊर्जा संक्रमण में प्रकट होते हैं।

मानव शरीर में इसी तरह की प्रक्रियाएं होती हैं, जो उसके जीवन के बायोरिदम में प्रकट होती हैं, अंगों की क्रिया में, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।

आधुनिक साइबरनेटिक्स और सूचना विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। शुरुआती प्रोग्रामर को हल करने के लिए दिए गए सरल कार्यों में से एक है एक फॉर्मूला लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना।

स्वर्ण अनुपात के सिद्धांत पर आधुनिक शोध

20 वीं शताब्दी के मध्य से, मानव जीवन पर सुनहरे अनुपात के कानूनों की समस्याओं और प्रभाव में रुचि नाटकीय रूप से बढ़ी है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों से: गणितज्ञ, नृवंश शोधकर्ता, जीवविज्ञानी, दार्शनिक, चिकित्सा कार्यकर्ता, अर्थशास्त्री, संगीतकार, आदि

1970 के दशक से, द फिबोनाची क्वार्टरली को संयुक्त राज्य में प्रकाशित किया गया है, जहाँ इस विषय पर काम प्रकाशित होते हैं। प्रेस में काम दिखाई देते हैं जिसमें ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोडिंग जानकारी के लिए, रासायनिक अनुसंधान, जैविक, आदि।

यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्षों की पुष्टि करता है कि स्वर्णिम अनुपात विज्ञान के मूलभूत मुद्दों से बहुपक्षीय रूप से जुड़ा हुआ है और हमारे आसपास की दुनिया की कई रचनाओं और घटनाओं की समरूपता में प्रकट होता है।

प्राचीन मिस्र में भी यह जाना जाता था सुनहरा अनुपातलियोनार्डो दा विंची और यूक्लिड ने इसके गुणों का अध्ययन किया।किसी व्यक्ति की दृश्य धारणा को इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि वह अपने चारों ओर की सभी वस्तुओं के रूप में अंतर करता है। किसी वस्तु या उसके रूप में उसकी रुचि कभी-कभी आवश्यकता से निर्धारित होती है, या यह रुचि वस्तु की सुंदरता के कारण हो सकती है। यदि फॉर्म के निर्माण के आधार पर संयोजन का उपयोग किया जाता है सुनहरा अनुभागऔर समरूपता के नियम, तो यह उस व्यक्ति द्वारा दृश्य धारणा के लिए सबसे अच्छा संयोजन है जो सद्भाव और सुंदरता महसूस करता है। पूरे में बड़े और छोटे हिस्से होते हैं, और इन विभिन्न आकारों के हिस्सों का एक दूसरे से और पूरे के साथ एक निश्चित संबंध होता है। और प्रकृति, विज्ञान, कला, वास्तुकला और प्रौद्योगिकी में कार्यात्मक और संरचनात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति सिद्धांत है सुनहरा अनुभाग. इसकी अवधारणा सुनहरा अनुपातप्राचीन यूनानी गणितज्ञ और दार्शनिक (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस को वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया। लेकिन का बहुत ज्ञान सुनहरा अनुपातउसने प्राचीन मिस्रियों से उधार लिया था। सभी मंदिर भवनों के अनुपात, चेप्स के पिरामिड, आधार-राहतें, घरेलू सामान और कब्रों से सजावट यह दर्शाती है कि अनुपात सुनहरा अनुभागपाइथागोरस से बहुत पहले प्राचीन आचार्यों द्वारा सक्रिय रूप से उपयोग किया गया था। एक उदाहरण के रूप में: एबाइडोस में सेटी I के मंदिर से बेस-रिलीफ और रामसेस की बेस-रिलीफ सिद्धांत का उपयोग करते हैं सुनहरा अनुभागआंकड़ों के अनुपात में। आर्किटेक्ट ले कॉर्बूसियर ने इसका पता लगाया। वास्तुकार खेसीर के मकबरे से बरामद लकड़ी के बोर्ड पर, एक राहत चित्र दर्शाया गया है, जिस पर वास्तुकार स्वयं दिखाई दे रहा है, अपने हाथों में मापने के उपकरण पकड़े हुए हैं, जो सिद्धांतों को ठीक करने की स्थिति में दर्शाए गए हैं। सुनहरा अनुभाग. सिद्धांतों को जानते थे सुनहरा अनुभागऔर प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व)। तिमाईस संवाद इसका प्रमाण है, क्योंकि यह प्रश्नों के लिए समर्पित है गोल्डन डिवीजन, पाइथागोरस के स्कूल के सौंदर्य और गणितीय विचार। सिद्धांतों सुनहरा अनुभागपार्थेनन मंदिर के अग्रभाग में प्राचीन यूनानी वास्तुकारों द्वारा उपयोग किया जाता है। पार्थेनन मंदिर की खुदाई के दौरान प्राचीन दुनिया के प्राचीन वास्तुकारों और मूर्तिकारों ने अपने काम में जिन कम्पास का इस्तेमाल किया था, उनकी खोज की गई थी।

पार्थेनन, एक्रोपोलिस, एथेंस पोम्पेई (नेपल्स में संग्रहालय) के अनुपात में गोल्डन डिवीजनभी उपलब्ध हैं।प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, सिद्धांत सुनहरा अनुभागयूक्लिड के तत्वों में सबसे पहले उल्लेख किया गया है। पुस्तक "बिगिनिंग्स" में दूसरे भाग में एक ज्यामितीय सिद्धांत दिया गया है सुनहरा अनुभाग. यूक्लिड के अनुयायी पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी), हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व) और अन्य थे। सिद्धांत के साथ मध्ययुगीन यूरोप के लिए सुनहरा अनुभागहम यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के अरबी से अनुवादों के माध्यम से मिले। सिद्धांतों सुनहरा अनुभागकेवल दीक्षाओं के एक संकीर्ण दायरे के लिए जाने जाते थे, उन्हें ईर्ष्या से पहरा दिया जाता था, सख्त गोपनीयता में रखा जाता था। एक पुनर्जागरण आया है और सिद्धांतों में रुचि है सुनहरा अनुभागवैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच बढ़ता है, क्योंकि यह सिद्धांत विज्ञान, वास्तुकला और कला में लागू होता है। और लियोनार्डो दा विंची ने अपने कार्यों में इन सिद्धांतों का उपयोग करना शुरू कर दिया, इससे भी अधिक, उन्होंने ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी, जो उनसे आगे निकल गई और पुस्तक प्रकाशित की " दिव्य अनुपात" जिसके बाद लियोनार्डो ने अपना काम छोड़ दिया, समाप्त नहीं हुआ है। विज्ञान और समकालीनों के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक चमकदार, एक शानदार इतालवी गणितज्ञ थे जो गैलीलियो और फिबोनाची के बीच रहते थे। चित्रकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का के छात्र के रूप में, लुका पैसिओली ने दो किताबें लिखीं, पेंटिंग में परिप्रेक्ष्य पर, उनमें से एक का शीर्षक। उन्हें कई लोग वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता मानते हैं। लुका पसिओली, ड्यूक ऑफ मोरो के निमंत्रण पर, 1496 में मिलान पहुंचे और वहां गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची इस समय मोरो कोर्ट में काम करते थे। 1509 में वेनिस में प्रकाशित लुका पसिओली का डिवाइन अनुपात एक उत्साही भजन बन गया सुनहरा अनुपात, खूबसूरती से निष्पादित दृष्टांतों के साथ, यह मानने का हर कारण है कि चित्र स्वयं लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। भिक्षु लुका पसिओली, गुणों में से एक के रूप में सुनहरा अनुपातइसके "दिव्य सार" पर जोर दिया। स्वर्ण अनुपात के वैज्ञानिक और कलात्मक मूल्य को समझते हुए, लियोनार्डो दा विंची ने इसका अध्ययन करने के लिए बहुत समय दिया। पेंटागन से युक्त एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के एक हिस्से का प्रदर्शन करते हुए, उन्होंने आयतों को पहलू अनुपात के अनुसार प्राप्त किया सुनहरा अनुपात. और उसने इसे एक नाम दिया सुनहरा अनुपात". जो अब भी कायम है। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर, भी पढ़ रहे हैं सुनहरा अनुभागयूरोप में, भिक्षु लुका पसिओली से मिलता है। उस समय के महानतम खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने सबसे पहले इस महत्व की ओर ध्यान आकर्षित किया था सुनहरा अनुभागवनस्पति विज्ञान के लिए इसे ज्यामिति का खजाना कहते हैं। उन्होंने स्वर्ण अनुपात को स्व-निरंतर कहा। उन्होंने कहा, "यह इतना व्यवस्थित है," उन्होंने कहा, "अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पदों का योग तीसरा पद देता है, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो अगला पद दें , और वही अनुपात अनिश्चित काल तक बना रहता है।"

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स्वर्ण त्रिकोण

अवरोही और आरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों को खोजने के लिए, हम पेंटाग्राम का उपयोग करेंगे।

चावल। 5. एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण

पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा विकसित निर्माण पद्धति के अनुसार एक नियमित पेंटागन बनाने की आवश्यकता है। यदि O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्य बिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर उठाया गया, बिंदु D पर वृत्त को काटता है। एक कम्पास का उपयोग करके, व्यास CE = ED पर एक खंड को चिह्नित करें। तब एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई DC के बराबर होती है। हम वृत्त पर DC खंड अलग रखते हैं और एक नियमित पंचभुज खींचने के लिए पाँच अंक प्राप्त करते हैं। फिर, एक कोने के माध्यम से, हम पेंटागन के कोनों को विकर्णों से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसके किनारे शीर्ष पर 36° का कोण बनाते हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है। सीधी रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम उस पर तीन बार मनमाने आकार का एक खंड O बिछाते हैं, परिणामी बिंदु P के माध्यम से हम रेखा AB पर लंबवत खींचते हैं, बिंदु P के दाईं और बाईं ओर हम खंडों O को हटाते हैं। परिणामी बिंदु d और d1 बिंदु A के साथ सीधी रेखाओं से जुड़े हुए हैं। हम खंड dd1 को रेखा Ad1 पर रखते हैं, बिंदु C प्राप्त करते हैं। उसने रेखा Ad1 को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया है। Ad1 और dd1 पंक्तियों का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।

चावल। 6. एक सुनहरा निर्माण

त्रिकोण

स्वर्ण अनुपात और स्वर्ण अनुपात

गणित और कला में, दो मात्राएँ सुनहरे अनुपात में होती हैं यदि इन राशियों के योग और बड़ी का अनुपात बड़ी और छोटी के बीच के अनुपात के समान हो। बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया गया: सुनहरे अनुपात को अक्सर ग्रीक अक्षर फी (? या?) द्वारा दर्शाया जाता है।सुनहरा अनुपात का आंकड़ा ज्यामितीय संबंधों को दर्शाता है जो इस स्थिरांक को परिभाषित करते हैं। सुनहरा अनुपात एक अपरिमेय गणितीय स्थिरांक है, लगभग 1.6180339887।

सुनहरा आयत

सुनहरा आयत एक आयत है जिसकी भुजाओं की लंबाई सुनहरे अनुपात में है, 1:? (वन-टू-फाई), यानी 1: या लगभग 1:1.618। सुनहरा आयत केवल एक शासक के साथ बनाया जा सकता है और एक सर्कल: 1. एक साधारण वर्ग की रचना कीजिए 2. वर्ग की एक भुजा के मध्य से विपरीत कोने तक एक रेखा खींचिए 3. इस रेखा का उपयोग त्रिज्या के रूप में एक चाप बनाने के लिए करें जो आयत की ऊंचाई को परिभाषित करता है 4. सुनहरा आयत पूरा करें

सुनहरा सर्पिल

ज्यामिति में, स्वर्ण सर्पिल एक लघुगणकीय सर्पिल है जिसका वृद्धि कारक b किससे संबंधित है?? , सुनहरा अनुपात। विशेष रूप से, सुनहरा सर्पिल एक कारक द्वारा व्यापक (जहां से शुरू हुआ था उससे दूर) हो जाता है ? हर तिमाही मोड़ के लिए यह बनाता है।

स्वर्ण आयत को वर्गों में विभाजित करने के क्रमागत बिंदु स्थित हैं लघुगणकीय सर्पिल, जिसे कभी-कभी स्वर्ण सर्पिल के रूप में जाना जाता है।

वास्तुकला और कला में स्वर्ण खंड।

कई वास्तुकारों और कलाकारों ने स्वर्ण खंड के अनुपात के अनुसार अपना काम किया, विशेष रूप से एक स्वर्ण आयत के रूप में, जिसमें बड़े पक्ष का छोटे वाले के अनुपात में स्वर्ण खंड का अनुपात होता है, यह मानते हुए कि यह अनुपात सौंदर्यपूर्ण होगा। [स्रोत: विकिपीडिया.org ]

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

पार्थेनन, एक्रोपोलिस, एथेंस . यह प्राचीन मंदिर लगभग स्वर्ण आयत में फिट बैठता है।

लियोनार्डो दा विंची द्वारा विट्रुवियन मैन आप इस आकृति में आयतों की कई रेखाएँ खींच सकते हैं। फिर, सुनहरे आयतों के तीन अलग-अलग सेट हैं: प्रत्येक सेट सिर, धड़ और पैरों के क्षेत्र के लिए है। लियोनार्डो दा विंची की ड्राइंग विट्रुवियन मैन कभी-कभी "गोल्डन रेक्टेंगल" के सिद्धांतों के साथ भ्रमित होती है, हालांकि, ऐसा नहीं है। विट्रुवियन मैन का निर्माण वर्ग के विकर्ण के बराबर व्यास के साथ एक वृत्त खींचने पर आधारित है, इसे ऊपर ले जाकर वर्ग के आधार को छूता है और वर्ग के आधार और बीच के मध्य बिंदु के बीच अंतिम सर्कल को चित्रित करता है। वर्ग के केंद्र और वृत्त के केंद्र का क्षेत्रफल: ज्यामितीय निर्माण के बारे में विस्तृत विवरण >>

प्रकृति में स्वर्ण अनुपात।

एडॉल्फ ज़ीसिंग, जिनकी मुख्य रुचि गणित और दर्शन थे, ने पौधे के तने और पत्तियों में नसों के साथ शाखाओं की व्यवस्था में सुनहरा अनुपात पाया। उन्होंने पौधों से जानवरों तक अपने अध्ययन का विस्तार किया, जानवरों के कंकालों और उनकी नसों और नसों की शाखाओं का अध्ययन किया, साथ ही साथ रासायनिक यौगिकों के अनुपात और क्रिस्टल की ज्यामिति, ललित कला में सुनहरे अनुपात के उपयोग तक। इन घटनाओं में, उन्होंने देखा कि स्वर्ण अनुपात हर जगह एक सार्वभौमिक कानून के रूप में इस्तेमाल किया जा रहा था, ज़ीसिंग ने 1854 में लिखा था: सुनहरा अनुपात एक सार्वभौमिक कानून है, जिसमें मूल सिद्धांत शामिल है जो प्रकृति और कला जैसे क्षेत्रों में सुंदरता और पूर्णता की इच्छा बनाता है, जो एक सर्वोपरि आध्यात्मिक आदर्श के रूप में, सभी संरचनाओं, आकारों और अनुपातों में व्याप्त है, चाहे वह एक ब्रह्मांडीय हो या भौतिक व्यक्ति, कार्बनिक या अकार्बनिक, ध्वनिक या ऑप्टिकल, लेकिन स्वर्ण खंड का सिद्धांत मानव रूप में इसकी सबसे पूर्ण प्राप्ति पाता है।

उदाहरण:

नॉटिलस खोल का एक कट सर्पिल निर्माण के सुनहरे सिद्धांत को प्रकट करता है।

मोजार्ट ने अपने सोनाटा को दो भागों में विभाजित किया, जिनकी लंबाई दर्शाती है सुनहरा अनुपात, हालांकि इस बात पर बहुत बहस है कि क्या उसने जानबूझकर ऐसा किया था। अधिक आधुनिक समय में, हंगेरियन संगीतकार बेला बार्टोक और फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने अपने काम में सुनहरे अनुपात को उद्देश्यपूर्ण ढंग से शामिल किया। आज भी सुनहरा अनुपातकृत्रिम वस्तुओं में हमें हर जगह घेर लेता है। लगभग किसी भी ईसाई क्रॉस को देखें, ऊर्ध्वाधर से क्षैतिज का अनुपात सुनहरा अनुपात है। सुनहरा आयत खोजने के लिए, अपने बटुए में देखें और आपको वहां क्रेडिट कार्ड मिलेंगे।सदियों से बनाई गई कला के कार्यों में दिए गए इतने सबूतों के बावजूद, वर्तमान में मनोवैज्ञानिकों के बीच इस बात पर बहस चल रही है कि क्या लोग वास्तव में सुनहरे अनुपात, विशेष रूप से सुनहरे आयत को अन्य आकृतियों की तुलना में अधिक सुंदर मानते हैं। 1995 के एक जर्नल लेख में, टोरंटो में यॉर्क विश्वविद्यालय के प्रोफेसर क्रिस्टोफर ग्रीन ने वर्षों में कई प्रयोगों पर चर्चा की, जो सुनहरे आयत के आकार के लिए कोई वरीयता नहीं दिखाते थे, लेकिन नोट करते हैं कि कई अन्य लोगों ने इस बात का सबूत दिया है कि इस तरह की वरीयता मौजूद नहीं है.. लेकिन विज्ञान की परवाह किए बिना, सुनहरा अनुपात अपने रहस्य को बरकरार रखता है, क्योंकि यह प्रकृति में कई अप्रत्याशित स्थानों में इतनी अच्छी तरह से काम करता है। कुंडली नॉटिलस क्लैम के गोले आश्चर्यजनक रूप से करीब हैं सुनहरा अनुपात, और अधिकांश मधुमक्खियों में छाती और पेट की लंबाई का अनुपात लगभग . है सुनहरा अनुपात. यहां तक ​​​​कि मानव डीएनए के सबसे सामान्य रूपों के क्रॉस-सेक्शन पूरी तरह से सुनहरे दशक में फिट होते हैं। सुनहरा अनुपातऔर उसके रिश्तेदार भी गणित में कई अप्रत्याशित संदर्भों में प्रकट होते हैं, और वे गणितीय समुदायों की रुचि जगाना जारी रखते हैं। एक पूर्व प्लास्टिक सर्जन डॉ. स्टीवन मार्क्वार्ड ने इस रहस्यमय अनुपात का इस्तेमाल किया सुनहरा अनुपात, अपने काम में, जो लंबे समय से सुंदरता और सद्भाव के लिए जिम्मेदार हैं, एक मुखौटा बनाने के लिए, जिसे उन्होंने मानव चेहरे का सबसे सुंदर रूप माना।

मुखौटा संपूर्ण मानव चेहरा

मिस्र की रानी नेफ़र्टिटी (1400 ईसा पूर्व)

यीशु का चेहरा ट्यूरिन के कफन की एक प्रति है और डॉ. स्टीफन मार्क्वार्ड के मुखौटे के अनुसार ठीक किया गया है।

एक "औसत" (संश्लेषित) सेलिब्रिटी चेहरा। स्वर्ण खंड के अनुपात के साथ।

साइट सामग्री का उपयोग किया गया: http://blog.world-mysteries.com/

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, बेस-रिलीफ, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय गोल्डन डिवीजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को दर्शाने वाली राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार खेसीरा, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण विभाजन का अनुपात तय होता है।

यूनानी कुशल जियोमीटर थे। यहां तक ​​कि ज्यामितीय आकृतियों की मदद से उनके बच्चों को अंकगणित भी पढ़ाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग के विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "तिमाईस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों के लिए समर्पित है, विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के प्रश्नों के लिए।

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के "शुरुआत" में सबसे पहले स्वर्ण विभाजन का उल्लेख किया गया था। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण विभाजन के अध्ययन में लगे हुए थे।नवार्रे (तीसरी शताब्दी)। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को ईर्ष्या से पहरा दिया गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था, वे केवल दीक्षाओं के लिए जाने जाते थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला, विशेष रूप से वास्तुकला दोनों में इसके उपयोग के कारण वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण विभाजन में रुचि बढ़ी। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन थोड़ा ज्ञान था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पासीओली की एक पुस्तक दिखाई दी, और लियोनार्डो ने अपने विचार को त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, इटली में फिबोनाची और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसीओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का का छात्र था, जिसने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक को पेंटिंग में ऑन पर्सपेक्टिव कहा जाता था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1509 में, लुका पसिओली का डिवाइन प्रोपोर्शन वेनिस में प्रकाशित हुआ था, जिसमें शानदार ढंग से निष्पादित चित्र थे, यही वजह है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक स्वर्ण अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई लाभों में, भिक्षु लुका पैसीओली ने अपने "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने में विफल नहीं किया (यह समझा गया था कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का देवता)।

लियोनार्डो दा विंची ने भी स्वर्ण विभाजन के अध्ययन पर बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के सेक्शन बनाए, और हर बार उन्होंने गोल्डन डिवीजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसलिए उन्होंने इस विभाग को स्वर्ण खंड का नाम दिया। और इसलिए यह आज भी जारी है।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।" अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। उन्होंने अनुपात की अपनी प्रणाली में स्वर्ण वर्ग को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

16वीं शताब्दी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। उन्होंने वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं। केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को जारी रखना कहा, "यह इस तरह से व्यवस्थित है," उन्होंने लिखा, "कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो अगला दें अवधि, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और घटती (अवरोही श्रृंखला) की दिशा दोनों में किया जा सकता है।

बाद की शताब्दियों में, स्वर्ण अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, संघर्ष की गर्मी में, अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, "उन्होंने बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया। " 19वीं शताब्दी के मध्य में स्वर्ण अनुपात फिर से "खोजा" गया। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। Zeising अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना सुनहरे अनुपात को मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को पूर्ण किया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।

ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीजिंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फिबोनाची श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे अनिश्चित काल तक एक दिशा और दूसरी दिशा में जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक को "प्रकृति और कला में मूल रूपात्मक नियम के रूप में स्वर्ण विभाजन" कहा गया। 1876 ​​​​में, रूस में एक छोटी सी किताब प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीसिंग के इस काम को रेखांकित किया गया था।

XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, स्वर्ण अनुपात के नियम का विस्तार कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक हो गया।

विज्ञान ने कला को आत्मसात नहीं किया, लेकिन उन ऐतिहासिक कालखंडों में जब गणित और कला का अभिसरण हुआ, इसने दोनों के विकास को गति दी।

स्वर्ण अनुपात की अवधारणा

आइए जानें कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों, लियोनार्डो दा विंची की पेंटिंग "मोना लिसा", एक सूरजमुखी, एक घोंघा, एक बर्फ के टुकड़े, एक आकाशगंगा और मानव उंगलियों के बीच क्या आम है?

गणित में, अनुपात (लैटिन अनुपात) दो अनुपातों की समानता है: ए: बी = सी: डी।

स्वर्ण खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे कि बड़ा हिस्सा खुद छोटे से संबंधित होता है।

रेखा खंड AB को बिंदु C द्वारा निम्नलिखित तरीकों से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

• दो बराबर भागों में - एबी: एसी = एबी: बीसी;
• किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते हैं);
• चरम और औसत अनुपात में इस तरह से कि AB: AC \u003d AC: BC।

आखिरी वाला गोल्डन डिवीजन है।

सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है। ईसा पूर्व = 1/2 एबी; सीडी = बीसी

बिंदु B से, आधे AB के बराबर एक लंब बहाल किया जाता है। परिणामी बिंदु C एक रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC प्लॉट किया जाता है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।

सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, तो AE \u003d 0.618 ..., BE \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 के अनुमानित मान और 0.38 अक्सर उपयोग किए जाते हैं। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 है, और छोटा खंड 38 भाग है।

दूसरे स्वर्ण खंड का निर्माण। विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंब CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा है। समकोण ACD समद्विभाजित है। बिंदु C से AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची जाती है। बिंदु E खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है।

आयत के दूसरे स्वर्ण खंड की रेखा स्वर्ण खंड की रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में होती है।

पेंटाग्राम

आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों को खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।

एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण।

एक पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की जरूरत है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्य बिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर उठाया गया, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। एक कम्पास का उपयोग करके, खंड CE = ED को व्यास पर चिह्नित करें। एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई DC है। हम वृत्त पर DC खंड अलग रखते हैं और एक नियमित पंचभुज खींचने के लिए पाँच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात में खंडों में विभाजित करते हैं। पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएँ शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं, और पार्श्व पार्श्व पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है।

फाइबोनैचि श्रृंखला

पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची (बोनैकी का पुत्र) के नाम से जाना जाता है, परोक्ष रूप से स्वर्ण खंड के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। कार्यों में से एक पढ़ा "एक जोड़ी से एक वर्ष में खरगोशों के कितने जोड़े पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखलाएँ बनाईं: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, आदि।

इस श्रृंखला को फिबोनाची श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्ण विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। इसके अलावा, क्रम में 13वें नंबर के बाद, यह विभाजन परिणाम श्रृंखला के अनंत तक स्थिर हो जाता है। मध्य युग में विभाजन की यह निरंतर संख्या थी जिसे दैवीय अनुपात कहा जाता था, और अब आज इसे स्वर्ण खंड, स्वर्ण माध्य या स्वर्ण अनुपात के रूप में जाना जाता है। बीजगणित में, इस संख्या को ग्रीक अक्षर (phi) द्वारा दर्शाया जाता है।

तो सुनहरा अनुपात 1:1.618 . है

तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। यह अनुपात प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है।

फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना रह सकती थी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं थी कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण विभाजन कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आए थे। . वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

सुनहरा आयत और सुनहरा सर्पिल

ज्यामिति में, पक्षों के सुनहरे अनुपात वाले एक आयत को सुनहरा कहा जाने लगा। इसकी लंबी भुजाएँ छोटी भुजाओं से संबंधित हैं - 1.168: 1 के अनुपात में।

स्वर्ण आयत में भी कई अद्भुत गुण हैं। सुनहरे आयत में से एक वर्ग को काटने पर जिसकी भुजा आयत की छोटी भुजा के बराबर होती है, हमें फिर से एक छोटा सुनहरा आयत मिलता है। इस प्रक्रिया को अनंत काल तक जारी रखा जा सकता है। जैसे-जैसे हम वर्गों को काटते रहेंगे, हमें छोटे और छोटे सुनहरे आयत मिलेंगे। इसके अलावा, वे एक लघुगणकीय सर्पिल में स्थित होंगे, जो प्राकृतिक वस्तुओं के गणितीय मॉडल में महत्वपूर्ण है। सर्पिल का ध्रुव प्रारंभिक आयत के विकर्णों के चौराहे पर स्थित होता है और पहला कटा हुआ लंबवत होता है। इसके अलावा, बाद के सभी घटते स्वर्ण आयतों के विकर्ण इन विकर्णों पर स्थित हैं। बेशक, एक सुनहरा त्रिकोण भी है।