Добавяне на отрицателни корени. Какво представляват квадратните корени и как се събират?

Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които са силни „не много. »
И за тези, които „много равномерни. "")

В предишния урок разбрахме какво е корен квадратен. Време е да разберем какви са формули за корени, какво са коренови свойстваи какво може да се направи за всичко това.

Основни формули, коренни свойства и правила за действия с коренипо същество са едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което, разбира се, радва! По-скоро можете да напишете много всякакви формули, но само три са достатъчни за практична и уверена работа с корени. Всичко останало произтича от тези три. Въпреки че много се отклоняват в трите формули на корените, да.

Нека започнем с най-простото. Ето я:

Напомням ви (от предишния урок): a и b са неотрицателни числа! В противен случай формулата няма смисъл.

Това е свойство на корените , както виждате, просто, кратко и безобидно. Но с тази коренова формула можете да направите много полезни неща! Нека да разгледаме примеривсички тези полезни неща.

Полезно нещопърво. Тази формула ни позволява умножете корените.

Как да умножаваме корените?

Да, много просто. Направо към формулата. Например:

Изглежда, че са се умножили, и какво от това? Има ли много радост? Съгласен съм, малко. Но как ви харесва това пример?

Корените не се извличат точно от фактори. И резултатът е страхотен! Вече по-добре, нали? За всеки случай ще ви информирам, че може да има толкова множители, колкото искате. Формулата за умножение на корена все още работи. Например:

Така че с умножението всичко е ясно защо е необходимо свойство на корените- също е разбираемо.

Полезно нещо второ. Въвеждане на число под знака на корена.

Как да въведете число под корена?

Да кажем, че имаме този израз:

Възможно ли е да се скрие двойката вътре в корена? Лесно! Ако направите корен от две, формулата за умножаване на корените ще работи. И как да си направим корен от двойка? Да, и това не е въпрос! Двойното е корен квадратен от четири!

Между другото, коренът може да бъде направен от всяко неотрицателно число! Това ще бъде корен квадратен от квадрата на това число. 3 е корен от 9. 8 е корен от 64. 11 е корен от 121. Е, и така нататък.

Разбира се, няма нужда да рисувате толкова подробно. Освен за начало. Достатъчно е да разберем, че всяко неотрицателно число, умножено по корен, може да бъде поставено под корена. Но не забравяйте! - под корена това число ще стане квадратсебе си. Това действие - въвеждане на число под корен - може да се нарече и умножение на числото по корен. Най-общо може да се напише:

Процесът е прост, както можете да видите. Защо е нужна тя?

Като всяка трансформация, тази процедура разширява нашите възможности. Възможности за превръщане на жесток и неудобен израз в мек и пухкав такъв). Ето един прост за вас пример:

Както виждаш корен собственост,което прави възможно въвеждането на фактор под знака на корена, е доста подходящ за опростяване.

Освен това добавянето на множител под корена прави лесно и лесно сравняването на стойностите на различни корени. Без никакво изчисление и калкулатор! Третото полезно нещо.

Как да сравним корените?

Това умение е много важно в солидни мисии, при отключване на модули и други готини неща.

Сравнете тези изрази. Кое е повече? Без калкулатор! Всеки с калкулатор. ъъъъъ Накратко, всеки може да го направи!)

Не го казваш веднага. А ако въвеждате числа под знака на корена?

Запомнете (внезапно, не знаех?): ако числото под знака на корена е по-голямо, тогава самият корен е по-голям! Оттук и веднага правилният отговор, без никакви сложни изчисления и изчисления:

Страхотно е, нали? Но това не е всичко! Припомнете си, че всички формули работят както отляво надясно, така и от дясно на ляво. Досега използвахме формулата за умножаване на корените отляво надясно. Нека стартираме това root свойство назад, отдясно наляво. Като този:

И каква е разликата? Дава ли ти нещо!? Разбира се! Сега ще се убедите сами.

Да предположим, че трябва да извлечем (без калкулатор!) корен квадратен от числото 6561. Някои хора на този етап ще паднат в неравностойна борба със задачата. Но ние сме упорити, не се предаваме! Полезно нещо четвърто.

Как да извлечем корени от големи числа?

Припомняме формулата за извличане на корени от продукт. Този, който публикувах по-горе. Но къде е нашата работа? Имаме огромно число 6561 и това е всичко. Да, няма изкуство. Но ако имаме нужда, ние Нека да направим! Да разложим това число на множители. Ние имаме право.

Първо, нека разберем на какво точно се дели това число? Какво, не знаеш!? Забравихте признаците на делимост!? Напразно. Отидете на Специален раздел 555, темата е „Дроби“, ето ги. Това число се дели на 3 и 9. Тъй като сборът от цифрите (6+5+6+1=18) се дели на тези числа. Това е един от признаците на делимост. Не е нужно да делим на три (сега ще разберете защо), но ще разделим на 9. Поне в ъгъла. Получаваме 729. Така че открихме два фактора! Първият е деветка (сами си го избрахме), а вторият е 729 (получи се така). Вече можете да пишете:

Добивам представа? Нека направим същото с числото 729. Също така се дели на 3 и 9. Отново, ние не делим на 3, ние делим на 9. Получаваме 81. И знаем това число! Записваме:

Всичко се оказа лесно и елегантно! Коренът трябваше да се отстранява парче по парче, добре, добре. Това може да се направи с всеки големи числа. Умножете ги и тръгвайте!

Между другото, защо не трябваше да разделите на 3, познахте ли? Да, защото коренът от три не е точно извлечен! Има смисъл да се разложи на такива фактори, че поне един корен да може да бъде добре извлечен. Това е 4, 9, 16 добре и така нататък. Разделете огромното си число на тези числа на свой ред, виждате и имате късмет!

Но не е задължително. Може би няма късмет. Да кажем, че числото 432, когато се разложи на множители и използва формулата за корен за продукта, ще даде следния резултат:

Ми добре. Все пак опростихме израза. В математиката е прието да се оставя най-много малък бройот възможното. В процеса на решаване всичко зависи от примера (може би всичко се намалява без опростяване), но в отговора е необходимо да се даде резултат, който не може да бъде допълнително опростен.

Между другото, знаете ли какво направихме с корена на 432 сега?

ние извадени фактори изпод знака на корена ! Така се нарича тази операция. И тогава задачата ще падне - " извадете фактора изпод знака на корена„Но мъжете дори не знаят.) Ето още една употреба за вас коренови свойства.Полезно нещо пето.

Как да извадя множителя изпод корена?

Лесно. Разложете на множители кореновия израз и извлечете корените, които са извлечени. Ние гледаме:

Нищо свръхестествено. Важно е да изберете правилните множители. Тук сме разложили 72 като 36 2. И всичко се оказа добре. Или биха могли да го разложат по различен начин: 72 = 6 12. И какво тогава!? Нито от 6, нито от 12 коренът се извлича. Какво да правя?!

Всичко е наред. Или потърсете други опции за разлагане или продължете да излагате всичко до край! Като този:

Както виждате, всичко се получи. Между другото, това не е най-бързото, но най-много надежден начин. Разложете числото на най-малките фактори и след това съберете същите на купчини. Методът се прилага успешно и при умножаване на неудобни корени. Например, трябва да изчислите:

Умножете всичко - получавате лудо число! И тогава как да извлечем корена от него ?! Да се умножи отново? Не, нямаме нужда от допълнителна работа. Веднага разлагаме на фактори и събираме същите на купчини:

Това е всичко. Разбира се, не е необходимо да се изложи до спиране. Всичко се определя от личните ви възможности. Доведе примера до състояние, в което всичко ти е яснотака че вече можеш да броиш. Основното нещо е да не правите грешки. Не човек за математика, а математика за мъж!)

Да приложим знанията в практиката? Нека започнем с едно просто:

Правило за добавяне на квадратни корени

Свойства на квадратни корени

Досега сме извършили пет аритметични операции върху числата: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване и различни свойства на тези операции се използват активно в изчисленията, например a + b = b + a и n -b n = (ab) n и т.н.

Тази глава въвежда нова операция - вземане на корен квадратен от неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация:
Трябва да докажем, че за неотрицателни числа x, y, z равенството x = yz е вярно.

Така че x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Тогава x 2 \u003d y 2 z 2, т.е. x 2 = (yz) 2.

Ако квадратчетадве неотрицателни числа са равни, тогава самите числа са равни, което означава, че от равенството x 2 \u003d (yz) 2 следва, че x = yz и това трябваше да бъде доказано.

Даваме кратък запис на доказателството на теоремата:

Забележка 1. Теоремата остава валидна за случая, когато радикалният израз е продукт на повече от два неотрицателни фактора.

Забележка 2. Теорема 1 може да бъде написано с помощта на „if. , тогава” (както е обичайно за теоремите в математиката). Даваме съответната формулировка: ако a и b са неотрицателни числа, тогава равенството .

Ето как формулираме следната теорема.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на фракцията равно на дробот корените или коренът на частното е равен на частното от корените.)

Този път ще дадем само кратък запис на доказателството, а вие можете да опитате да направите подходящи коментари, подобни на тези, които съставляват същността на доказателството на теорема 1.

Пример 1. Изчислете .
Решение. Използване на първото свойство квадратни корени(Теорема 1), получаваме

Забележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате калкулатор под ръка: умножете числата 36, 64, 9 и след това вземете корен квадратен от получения продукт. Въпреки това ще се съгласите, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Забележка 4. При първия метод направихме челни изчисления. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) и използва свойството квадратни корени.

Забележка 5. Някои "горещи глави" понякога предлагат следното "решение" на Пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в нашия пример 3. Факт е, че няма свойство като не и имоти Има само свойства, отнасящи се до умножение и деление на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимателни, не си мислете за пожелания.

Пример 4. Изчислете: а)
Решение. Всяка формула в алгебрата се използва не само "отдясно наляво", но и "отляво надясно". И така, първото свойство на квадратните корени означава, че ако е необходимо, то може да бъде представено като , и обратно, което може да бъде заменено с израза. Същото важи и за второто свойство на квадратните корени. Имайки това предвид, нека решим предложения пример.

Завършвайки раздела, отбелязваме още един доста прост и в същото време важен имот:
ако a > 0 и n - естествено число , тогава

Пример 5Изчисли , без да използвате таблица с квадрати с числа и калкулатор.

Решение. Нека разложим коренното число на прости множители:

Забележка 6. Този пример може да бъде решен по същия начин като подобен пример в § 15. Лесно е да се досетим, че отговорът ще бъде „80 с опашка“, тъй като 80 2 2 . Нека намерим "опашката", т.е. последната цифра на желаното число. Досега знаем, че ако коренът е извлечен, тогава отговорът може да бъде 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Трябва да се проверят само две числа: 84 и 86, тъй като само те, когато се наведе на квадрат, ще даде резултат четирицифреночисло, завършващо на 6, т.е. същата цифра, която завършва с числото 7056. Имаме 84 2 \u003d 7056 - това е, от което се нуждаем. означава,

Мордкович А. Г., алгебра. 8 клас: Проб. за общо образование институции.- 3-то изд., финализиран. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Изтегляне на книги, учебници по математика, резюмета в помощ на учителя и учениците, да учат онлайн

Ако имате корекции или предложения за този урок, пишете ни.

Ако искате да видите други корекции и предложения за уроци, вижте тук - Образователен форум.

Как да добавя квадратен корен

Корен квадратен от число хнаречен номер А, който в процеса на умножаване сам по себе си ( А*А) може да даде число х.
Тези. A * A = A 2 = X, и √X = A.

Над квадратни корени ( √x), както при други числа, можете да извършвате аритметични операции като изваждане и събиране. За да извадите и добавите корени, те трябва да бъдат свързани с помощта на знаци, съответстващи на тези действия (напр √x - √y ).
И след това им донесете корените най-простата форма- ако между тях има подобни е необходимо да се направи отливка. Състои се във факта, че коефициентите на подобни термини се вземат със знаците на съответните членове, след което те се ограждат в скоби и общият корен се показва извън множителните скоби. Коефициентът, който получихме, е опростен според обичайните правила.

Стъпка 1. Извличане на квадратни корени

Първо, за да добавите квадратни корени, първо трябва да извлечете тези корени. Това може да стане, ако числата под коренния знак са идеални квадрати. Вземете например дадения израз √4 + √9 . Първо число 4 е квадратът на числото 2 . Второ число 9 е квадратът на числото 3 . По този начин може да се получи следното равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Всичко, примерът е решен. Но не винаги става така.

Стъпка 2. Изваждане на множителя на число изпод корена

Ако няма пълни квадрати под знака корен, можете да опитате да извадите множителя на числото под знака корен. Например, вземете израза √24 + √54 .

Нека разложим числата на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В списъка 24 имаме множител 4 , може да се извади изпод знака за корен квадратен. В списъка 54 имаме множител 9 .

Получаваме равенството:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Разглеждайки този пример, получаваме премахването на фактора под знака корен, като по този начин опростяваме дадения израз.

Стъпка 3. Намаляване на знаменателя

Помислете за следната ситуация: сумата от два квадратни корена е знаменател на дроб, например, A / (√a + √b).
Сега сме изправени пред задачата „да се отървем от ирационалността в знаменателя“.
Нека използваме следния метод: умножете числителя и знаменателя на дроба по израза √a - √b.

Сега получаваме съкратената формула за умножение в знаменателя:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

По същия начин, ако знаменателят съдържа разликата на корените: √a - √b, числителят и знаменателят на дроба се умножават по израза √a + √b.

Нека вземем дроб като пример:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример за редукция на комплексен знаменател

Сега нека разгледаме достатъчно сложен примерда се отървем от ирационалността в знаменателя.

Нека вземем дроб като пример: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Трябва да вземете неговия числител и знаменател и да го умножите по израза √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Стъпка 4. Изчислете приблизителната стойност на калкулатора

Ако имате нужда само от приблизителна стойност, това може да се направи на калкулатор, като се изчисли стойността на квадратните корени. Отделно за всяко число стойността се изчислява и записва с необходимата точност, която се определя от броя на десетичните знаци. Освен това се извършват всички необходими операции, както при обикновените числа.

Примерно изчисление

Необходимо е да се изчисли приблизителната стойност на този израз √7 + √5 .

В резултат на това получаваме:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не трябва да се добавят квадратни корени като прости числа, това е напълно неприемливо. Тоест, ако съберете корен квадратен от пет и три, не можем да получим корен квадратен от осем.

Полезен съвет: ако решите да разложите число на множители, за да извлечете квадрат под знака корен, трябва да направите обратна проверка, тоест да умножите всички фактори, получени от изчисленията, и крайния резултат от това математическото изчисление трябва да бъде числото, което първоначално получихме.

Действие с корени: събиране и изваждане

Извличането на квадратен корен от число не е единствената операция, която може да се извърши с това математическо явление. Точно като обикновените числа квадратни коренидобавяне и изваждане.

Правила за събиране и изваждане на квадратни корени

Действия като добавяне и изваждане на квадратен корен са възможни само ако коренният израз е същият.

Можете да добавяте или изваждате изрази 2 3 и 6 3, но не 5 6 и 9 4 . Ако е възможно да се опрости изразът и да се доведе до корени със същия корен, след това опростете и след това добавете или извадете.

Основни действия: Основите

6 50 — 2 8 + 5 12

Опростете коренния израз. За да направите това, е необходимо да разложите коренния израз на 2 фактора, единият от които е квадратно число (числото, от което се извлича целия квадратен корен, например 25 или 9).
След това трябва да извадите корена от квадратно число и запишете получената стойност преди основния знак. Моля, имайте предвид, че вторият фактор се въвежда под знака корен.
След процеса на опростяване е необходимо да подчертаете корените със същите коренни изрази - само те могат да се добавят и изваждат.
За корени със същите радикални изрази е необходимо да се добавят или изваждат факторите, които предхождат коренния знак. Коренният израз остава непроменен. Не събирайте и не изваждайте коренни числа!

Ако имате пример с голямо количествоидентични радикални изрази, след това подчертайте тези изрази с единични, двойни и тройни линии, за да улесните процеса на изчисление.

Нека опитаме този пример:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Първо трябва да разложите 50 на 2 множителя 25 и 2, след това да вземете корена от 25, което е 5, и да извадите 5 изпод корена. След това трябва да умножите 5 по 6 (множителя в корена) и да получите 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Първо, трябва да разложите 8 на 2 фактора: 4 и 2. След това от 4 извлечете корена, който е равен на 2, и извадете 2 изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 2 (коефициентът в корена) и да получите 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Първо, трябва да разложите 12 на 2 фактора: 4 и 3. След това извлечете корена от 4, което е 2, и го извадете изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 5 (коефициентът в корена) и да получите 10 3 .

Резултат от опростяването: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В резултат на това видяхме колко еднакви радикални изрази се съдържат този пример. Сега нека практикуваме с други примери.

Опростете (45) . Разлагаме на множители 45: (45) = (9 × 5) ;
Изваждаме 3 изпод корена (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Събираме факторите в корените: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Опростяване 6 40 . Разлагаме на множители 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Изваждаме 2 изпод корена (4 \u003d 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
Умножаваме множителите, които са пред корена: 12 10;
Записваме израза в опростен вид: 12 10 - 3 10 + 5;
Тъй като първите два члена имат еднакви коренни числа, можем да ги извадим: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Както виждаме, не е възможно да се опростят радикалните числа, затова търсим членове със същите радикални числа в примера, извършваме математически операции (събиране, изваждане и т.н.) и записваме резултата:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

съвет:

Преди добавяне или изваждане е наложително да се опростят (ако е възможно) радикалните изрази.
Добавянето и изваждането на корени с различни коренни изрази е строго забранено.
Не събирайте и не изваждайте цяло число или корен квадратен: 3 + (2 x) 1/2.
Когато извършвате действия с дроби, трябва да намерите число, което се дели напълно на всеки знаменател, след това да доведете дробите до общ знаменател, след това да добавите числителите и да оставите знаменателите непроменени.

Свойства на аритметичния квадратен корен. Сила на аритметичния квадратен корен

Преобразуване на аритметични квадратни корени. Преобразуване на аритметични квадратни корени

Да извлека корен квадратен от полином, е необходимо да се изчисли полиномът и да се извлече корена от полученото число.

Внимание!Невъзможно е да се извлече коренът от всеки член (намален и изваден) поотделно.

Шчоб да спечели корен квадратен от полинома, изискването е да се изчисли богатият член и от изваденото число да се вземе корен.

Уважение!Невъзможно е да се извлече корена от добавката за кожата (променена и видима) OKremo.

За да извлечете квадратния корен на продукта (коефициент), можете да изчислите квадратния корен на всеки фактор (делител и делител) и да вземете получените стойности от продукта (частно).

За да спечелите корен квадратен от добутката (части), можете да изчислите квадратния корен от множителя на кожата (разделен и dilnik) и да премахнете стойността, като вземете допълнителен (често).

Да вземем корен квадратен от дроб, трябва да извлечете квадратния корен от числителя и знаменателя поотделно и да оставите получените стойности като дроб или да изчислите като частно (ако е възможно по условие).

За да спечелите корен квадратен от дроба, трябва да вземете квадратния корен от числовата книга и банера на okremo и да лишите стойността на дроба с дроб или да го преброите като част (както е възможно за ума).

Фактор може да бъде изваден под коренния знак и може да се въведе фактор под коренния знак. При изваждане на фактор от него се извлича коренът, а при въвеждане се издига на съответната степен.

3-тият коренен знак може да се умножи и коренният знак може да се умножи. По вина на умножителя корените се извиват, а с въвеждането корените се изграждат при по-високите крака.

Примери. Приложи

За да преобразувате сумата (разликата) от квадратни корени, трябва да доведете коренните изрази до една основа на степента, ако е възможно, извлечете корените от степените и ги запишете преди знаците на корените, а останалите квадратни корени с могат да се добавят същите коренни изрази, за които коефициентите се добавят преди корена на знака и се добавя същия квадратен корен.

За да се преработи сумата (цената) на квадратните корени, е необходимо коренните корени да се доведат до една от основите на стъпката, както е възможно, да се вземе коренът на стъпките и да се запишат преди знаците на корените и решението на квадратните корени с думи от същия корен, които мога да събера за това, което мога да добавя и да добавя същия квадратен корен.

Привеждаме всички радикални изрази към база 2.

От четна степен коренът се извлича напълно, от нечетен степен коренът на основата в степен 1 се оставя под знака на корена.

Даваме подобни цели числа и събираме коефициентите със същите корени. Записваме бинома като произведение на число и бинома на сбора.

Донесете всички подкорени на virazi в база 2.

От сдвоения етап корените се изтеглят в ред, от несдвоения етап корените на основата в етап 1 се запълват под знака на корена.

Предполага се подобни числа и коефициенти да се добавят към едни и същи корени. Записваме бинома като допълнение към числото i на бинома sumi.

Довеждаме радикалните изрази до най-малката основа или произведението на степени с най-малки бази. Извличаме корена от четни степени на радикални изрази, оставяме остатъците под формата на основа от степен с индикатор 1 или произведението на такива основи под знака на корена. Даваме подобни термини (добавете коефициентите на едни и същи корени).

Водим корена на virazi до най-малката основа или добавянето на стъпки с най-малките основи. От парните стъпала под корените на вираза се вземат корените, под знака на корена се запълва излишъкът в основата на стъпалото с индикатор 1 или добавянето на такива основи. Предлагаме подобни термини (събираме коефициентите на едни и същи корени).

Нека заменим разделянето на дроби с умножение (със замяна на втората дроб с реципрочната). Умножете числителите и знаменателите поотделно. Под всеки знак на корена подчертаваме градусите. Нека отменим същите множители в числителя и знаменателя. Извличаме корени от четни сили.

Заменяме разделянето на дроби с умножение (със замяна на друга дроб с връщане). Умножете okremo числа и банери на дроби. Под кожния знак на корена се виждат стъпки. Ще ускорим същите множители в числовата книга и банера. Обвинете корена на двойните стъпки.

За сравнение на два квадратни корена, техните радикални изрази трябва да бъдат намалени до градуси със същата основа, тогава колкото повече показвате степените на радикалния израз, толкова по-голяма е стойността на квадратния корен.

В този пример радикалните изрази не могат да бъдат сведени до една основа, тъй като основата е 3 в първата и 3 и 7 във втората.

Вторият начин за сравнение е да въведете коефициента на корена в радикалния израз и да сравните числовите стойности на радикалните изрази. За квадратен корен, колкото по-голям е коренният израз, толкова по-голяма е стойността на корена.

За съпоставяне на два квадратни корена, техните подкорени трябва да бъдат приведени на ниво със същата основа, докато колкото по-голям е индикаторът за степента на подкорен на вируса, толкова по-голяма е стойността на квадратния корен.

В този случай не е възможно да се доведат до една основа коренните корени на virazi, тъй като в първата основата е 3, а в другата - 3 и 7.

Друг начин за изравняване е да добавите коренния коефициент към основната вираза и да изравните числовите стойности на основната вираза. Квадратният корен има повече подкорен вираз, толкова по-голяма е стойността на корена.

Използвайки разпределителния закон за умножение и правилото за умножение на корени със същите степени (в нашия случай квадратни корени), получихме сумата от два квадратни корена с произведението под знака за корен. Разлагаме 91 на прости множители и изваждаме корена от скоби с общи радикални множители (13 * 5).

Получихме произведението на корен и бином, в който един от монолите е цяло число (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny закон за умножение и правилото за умножение на корени със същите показатели (в нашия случай - квадратни корени), взеха сбора от два квадратни корена с допълнителен корен под знака на корена. Можем да изложим 91 множители с прости думи и да вземем корена за арките от коренните множители (13 * 5).

Взехме събирането на корен и двоичен файл, който има един от монономите в цялото число (1).

Пример 9:

В радикалните изрази избираме чрез множители числата, от които можем да извлечем целия квадратен корен. Извличаме квадратните корени от степените и поставяме числата по коефициентите на квадратните корени.

Членовете на този полином имат общ фактор √3, който може да бъде изваден от скобите. Нека представим подобни термини.

В подкоренните вирази се разглежда като множители на числото, от които може да се вземе квадратен корен. Обвиняваме квадратните корени на стъпалата и поставяме числата по коефициентите на квадратните корени.

Членовете на този полином имат общ множител √3, който може да бъде обвинен за рамена. Предлагаме подобни допълнения.

Произведението на сбора и разликата от две същите основи(3 и √5) с помощта на съкратената формула за умножение може да се запише като разлика на квадратите на основите.

Квадратният корен на квадрат винаги е равен на радикалния израз, така че ще се отървем от радикала (корен знак) в израза.

Сумата на Dobutok и разликата на две еднакви основи (3 і √5) от формулата за бързо умножение може да се запише като разлика на квадратните основи.

Квадратният корен от квадратния zavzhd е равен на подкоренната вираза, така че ще наречем радикала (корен знак) на виразата.

Отново на училище. Добавяне на корени

В наше време, съвременните електронни компютри, изчисляването на корена на числото не е представено предизвикателна задача. Например, √2704=52, всеки калкулатор ще изчисли това вместо вас. За щастие калкулаторът е не само в Windows, но и в обикновен, дори най-прост телефон. Вярно е, че ако изведнъж (с малка степен на вероятност, чието изчисление, между другото, включва добавяне на корени), се окажете без налични средства, тогава, уви, ще трябва да разчитате само на мозъка си.

Обучението на ума никога не се проваля. Особено за тези, които не работят толкова често с числа и още повече с корени. Добавянето и изваждането на корени е добра тренировка за отегчен ум. И ще ви покажа добавянето на корени стъпка по стъпка. Примери за изрази могат да бъдат следните.

Уравнението, което трябва да бъде опростено, е:

Това е ирационален израз. За да го опростите, трябва да намалите всички радикални изрази до общ изглед. Правим го на етапи:

Първото число вече не може да бъде опростено. Да преминем към втория мандат.

3√48 разлагаме на множители 48: 48=2×24 или 48=3×16. Корен квадратен от 24 не е цяло число, т.е. има дробен остатък. Тъй като имаме нужда точна стойност, тогава приблизителните корени не ни подхождат. Корен квадратен от 16 е 4, извадете го изпод знака за корен. Получаваме: 3×4×√3=12×√3

Следващият ни израз е отрицателен, т.е. написано със знак минус -4×√(27.) Разлагане на множители 27. Получаваме 27=3×9. Не използваме дробни фактори, тъй като е по-трудно да изчислим квадратния корен от дроби. Изваждаме 9 изпод знака, т.е. изчислете квадратния корен. Получаваме следния израз: -4×3×√3 = -12×√3

Следващият член √128 изчислява частта, която може да бъде извадена изпод корена. 128=64×2, където √64=8. Ако това ви улеснява, можете да представите този израз по следния начин: √128=√(8^2×2)

Пренаписваме израза с опростени термини:

Сега събираме числата със същия радикален израз. Не можете да добавяте или изваждате изрази с различни радикални изрази. Добавянето на корени изисква спазване на това правило.

Получаваме следния отговор:

√2=1×√2 - Надявам се, че в алгебрата е прието да се пропускат такива елементи няма да е новина за вас.

Изразите могат да бъдат представени не само с квадратни корени, но и с кубичен или n-ти корен.

Събирането и изваждането на корени с различни експоненти, но с еквивалентен коренен израз, става по следния начин:

Ако имаме израз като √a+∛b+∜b, тогава можем да опростим този израз по следния начин:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Сведохме два подобни термина до общия степен на корена. Тук е използвано свойството на корените, което гласи: ако числото на степента на радикалния израз и числото на коренната степен се умножат по едно и също число, тогава изчислението му ще остане непроменено.

Забележка: експонентите се добавят само когато се умножат.

Помислете за пример, при който фракции присъстват в израз.

Нека го решим стъпка по стъпка:

5√8=5*2√2 - изваждаме извлечената част изпод корена.

Ако тялото на корена е представено с дроб, тогава често тази дроб няма да се промени, ако се вземе корен квадратен от делимото и делителя. В резултат на това получихме описаното по-горе равенство.

Ето отговора.

Основното нещо, което трябва да запомните, е, че корен с четен показател не се извлича от отрицателни числа. Ако изразът на четната степен на радикала е отрицателен, тогава изразът е неразрешим.

Добавянето на корените е възможно само ако радикалните изрази съвпадат, тъй като те са сходни термини. Същото се отнася и за разликата.

Добавянето на корени с различни числови показатели се извършва чрез редуциране на двата члена до обща степен на корен. Този закон действа по същия начин като редукция до общ знаменател при събиране или изваждане на дроби.

Ако радикалният израз съдържа число, повдигнато на степен, тогава този израз може да бъде опростен, при условие че има общ знаменател между корена и степента.

Корен квадратен от продукт и дроб

Корен квадратен от a е число, чийто квадрат е a. Например числата -5 и 5 са квадратните корени на числото 25. Тоест корените на уравнението x^2=25 са квадратните корени на числото 25. Сега трябва да научите как да работите с операция квадратен корен: проучете основните му свойства.

Корен квадратен от продукта

√(a*b)=√a*√b

Квадратният корен от произведението на две неотрицателни числа е равен на произведението на квадратните корени на тези числа. Например √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Важно е да се разбере, че това свойство важи и за случая, когато радикалният израз е продукт на три, четири и т.н. неотрицателни множители.

Понякога има и друга формулировка на това свойство. Ако a и b са неотрицателни числа, тогава важи следното равенство: √(a*b) =√a*√b. Няма абсолютно никаква разлика между тях, можете да използвате едната или другата формулировка (коя е по-удобна за запомняне).

Корен квадратен от дроб

Ако a>=0 и b>0, тогава е вярно следното равенство:

√(a/b)=√a/√b.

Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Това свойство също има различна формулировка, според мен, по-удобна за запомняне.
Квадратният корен от частното е равен на частното от корените.

Струва си да се отбележи, че тези формули работят както отляво надясно, така и от дясно на ляво. Тоест, ако е необходимо, можем да представим произведението на корените като корен на произведението. Същото важи и за втория имот.

Както можете да видите, тези свойства са много удобни и бих искал да имам същите свойства за събиране и изваждане:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Но за съжаление такива имоти са квадратни нямат корени, и така не може да се направи в изчисленията..

13. Шофиране през кръстовища 2018 с коментари онлайн 13.1. При завиване надясно или наляво водачът трябва да отстъпи път на пешеходците и велосипедистите, които пресичат пътното платнопътя, в който се превръща. Тази инструкция се отнася за всички […]
Родителска среща "Права, задължения и отговорности на родителите" Презентация към урока Изтеглете презентация (536.6 kB) Внимание! Предварителният преглед на слайда е само за информационни цели и може да не представлява всички […]
Регионален майчински капитал в Орелска област Регионалният майчински капитал (МК) в Орел и Орелска област е създаден през 2011 г. Сега това е допълнителна мярка Социална помощ големи семействапод формата на еднократна парична [...]
Размерът на еднократната помощ при регистрация в ранни датипрез 2018 г. Страницата, която поискахте, не беше намерена. Може да сте въвели грешен адрес или страницата е била премахната. Използвайте […]
Адвокат по икономически дела икономическа сферае доста широко понятие. Тези дейности включват измами, нелегален бизнес, легализация Париполучени незаконно, незаконно банково […]
Пресслужба на Централната банка Руска федерация(Банка на Русия) Пресслужба 107016, Москва, ул. Neglinnaya, 12www.cbr.ru При назначаването на временна администрация отделът за външни и обществени връзки на Банката на Русия информира, че в съответствие с параграф 2 […]
основни характеристикии кратък прегледводни пътища Класификация на водните басейни Класификацията на водните басейни за плаване на развлекателни (малки) плавателни съдове, контролирана от GIMS на Русия, се извършва в зависимост от […]
Кучерена = адвокатът на Виктор Цой И това е ексклузива: днешното писмо от Анатолий Кучерена. В продължение на темата. Все още никой не е публикувал това писмо. И трябва, мисля. Част 1 за сега. Скоро ще публикувам и втората част, подписана от известния адвокат. Защо е важно? […]

Здравейте котенца! Последния път анализирахме подробно какви са корените (ако не си спомняте, препоръчвам да прочетете). Основният извод от този урок: има само една универсална дефиниция за корени, която трябва да знаете. Останалото са глупости и загуба на време.

Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои проблеми, свързани с умножението (ако тези проблеми не се решат, тогава те могат да станат фатални на изпита) и ще практикуваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно - и ще започнем. :)

Все още не си пушил, нали?

Урокът се оказа доста голям, затова го разделих на две части:

Първо, ще разгледаме правилата за умножение. Капачката сякаш загатва: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножи“ - и ние искаме да направим нещо с него.
След това ще анализираме обратната ситуация: има един голям корен и нямахме търпение да го представим като продукт на два корена по по-опростен начин. С каква уплаха е необходимо е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.

За тези, които нямат търпение да скочат направо в част 2, не сте добре дошли. Да започнем с останалите по ред.

Основно правило за умножение

Нека започнем с най-простото - класически квадратни корени. Тези, които са обозначени с $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. За тях всичко е общо взето ясно:

правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто трябва да умножите техните радикални изрази и да напишете резултата под общия радикал:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват корените на множителя, тогава съществува и произведението.

Примери. Помислете за четири примера с числа наведнъж:

\[\begin(подравняване) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(подравняване)\]

Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационалните изрази. И ако в първия пример щяхме да извлечем корените от 25 и 4 без нови правила, тогава калай започва: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се броят сами по себе си, а тяхното произведение се оказва точен квадрат, така че коренът му е равен на рационално число.

Отделно бих искал да отбележа последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в подходящо число.

Разбира се, не всичко винаги ще бъде толкова красиво. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да се прави с него и как да се трансформира след умножение. Малко по-късно, когато започнете да учите ирационални уравненияи неравенства, като цяло ще има всякакви променливи и функции. И много често съставителите на проблемите просто разчитат на факта, че ще намерите някои договорни условия или фактори, след което задачата ще бъде значително опростена.

Освен това не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три наведнъж, четири - да, дори десет! Това няма да промени правилото. Погледни:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(подравняване)\]

И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия множител има десетична дроб под корена - в процеса на изчисления я заменяме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. Така че: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всякакви ирационални изрази (тоест, съдържащи поне една радикална икона). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.

Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме един по-общ случай - когато коренната степен съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.

Случаят на произволен индикатор

И така, изчислихме квадратните корени. И какво да правя с кубчетата? Или изобщо с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:

За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните радикални изрази, след което резултатът се записва под един радикал.

Като цяло, нищо сложно. Освен ако обемът на изчисленията може да бъде повече. Нека разгледаме няколко примера:

Примери. Изчислете продуктите:

\[\begin(подравняване) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(подравняване)\]

И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубичните корени, освобождаваме се от десетичната дроб и в резултат получаваме произведението на числата 625 и 25 в знаменателя. голям брой- Лично аз не се замислям веднага на какво е равно.

Следователно, ние просто избрахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако желаете, дефиницията) на корена на $n$-та степен:

\[\begin(подравняване) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| а\вдясно|. \\ \end(подравняване)\]

Подобни "измами" могат да ви спестят много време на изпита или контролна работатака че запомни:

Не бързайте да умножавате числата в радикалния израз. Първо, проверете: ами ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?

При цялата очевидност на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти направо не виждат точните степени. Вместо това те умножават всичко напред и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)

Всичко това обаче е детска игра в сравнение с това, което ще изучаваме сега.

Умножение на корени с различни степени

Е, сега можем да умножим корени със същите степени. Ами ако оценките са различни? Кажете, как да умножите обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?

Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:

Правило за умножение на корените. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, просто направете следната трансформация:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна забележка, към която ще се върнем малко по-късно.

За сега нека разгледаме няколко примера:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(подравняване)\]

Както виждате, нищо сложно. Сега нека да разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим. :)

Лесно е да се размножават корените.

Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?

Разбира се, можете да бъдете като училищни учителии умело цитирам учебника:

Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четна и нечетна степен (съответно техните области на дефиниране също са различни).

Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах за себе си нещо подобно: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, аз тогава не разбирах нищо. :)

Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.

Първо, нека разберем откъде идва формулата за умножение по-горе. За да направите това, нека ви напомня за едно важно свойство на корена:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

С други думи, можем безопасно да повдигнем коренния израз до всяка естествена степен $k$ - в този случай коренният индекс ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да сведем всякакви корени до общ индикатор, след което умножаваме. Ето откъде идва формулата за умножение:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Но има един проблем, който силно ограничава приложението на всички тези формули. Помислете за това число:

Според току-що дадена формула можем да добавим всяка степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Премахнахме минуса именно защото квадратът изгаря минуса (както всяка друга четна степен). И сега нека извършим обратното преобразуване: "намали" двете в степен и степен. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:

\[\begin(подравняване) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Надясно \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Надясно \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(подравняване)\]

Но тогава се случва нещо лудо:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Това не може да бъде, защото $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две опции:

Да се бориш срещу стената, за да твърдиш, че математиката е глупава наука, където „има някакви правила, но това е неточно“;
Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.

В първия вариант ще трябва непрекъснато да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, дълго и като цяло фу. Затова математиците предпочетоха втория вариант. :)

Но не се притеснявайте! На практика това ограничение не се отразява по никакъв начин на изчисленията, тъй като всички описани проблеми засягат само корените от нечетна степен и от тях могат да бъдат извадени минуси.

Ето защо формулираме друго правило, което се прилага като цяло за всички действия с корени:

Преди да умножите корените, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.

Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да извадите минуса под знака корен - тогава всичко ще бъде наред:

\[\begin(подравняване) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Стрелка надясно \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(подравняване)\]

Почувствай разликата? Ако оставите минус под корена, тогава когато радикалният израз се постави на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупостите. И ако първо извадите минус, тогава можете дори да вдигнете / премахнете квадрат, докато не станете сини в лицето - числото ще остане отрицателно. :)

По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е както следва:

Премахнете всички минуси от под радикалите. Минусите са само в корените на нечетно множество - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуса).
Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако индексите на корените са еднакви, просто умножете коренните изрази. И ако са различни, ние използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. Радваме се на резултата и добрите оценки. :)

Добре? Ще практикуваме ли?

Пример 1. Опростете израза:

\[\begin(подравняване) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \вдясно)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(подравняване)\]

Това е най-простият вариант: индикаторите на корените са еднакви и нечетни, проблемът е само в минуса на втория множител. Издържаме този минус нафиг, след което всичко се обмисля лесно.

Пример 2. Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]

Тук мнозина биха били объркани от това, което се оказа изходът ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.

Пример 3. Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \вдясно))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

На това бих искал да ви обърна внимание. Тук има две точки:

Под корена не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често ще трябва да имате работа с променливи.
В крайна сметка успяхме да „намалим“ основния показател и степента в радикалния израз. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опрости изчисленията, ако не използвате основната формула.

Например, можете да направите това:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \вдясно))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(подравняване)\]

Всъщност всички трансформации бяха извършени само с втория радикал. И ако не рисувате подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията значително ще намалее.

Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решавахме примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-лесно:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(подравняване)\]

Е, разбрахме умножението на корените. Сега помислете за обратната операция: какво да правите, когато има работа под корена?

В математиката корените могат да бъдат квадратни, кубични или да имат друга степен (степен), която е написана вляво над знака за корен. Изразът под знака корен се нарича коренен израз. Добавянето на корен е подобно на добавянето на термин. алгебричен израз, тоест изисква дефиницията на подобни корени.

Стъпки

Част 1 от 2: Намиране на корени

Обозначение на корена.Израз под знака корен () означава, че е необходимо да се извлече корен с определена степен от този израз.

Коренът се обозначава със знак.
Индексът (степента) на корена е изписан вляво над знака за корен. Например, коренът от 27 се записва като: (27)
Ако степента (степента) на корена отсъства, тогава експонентът се счита за равен на 2, тоест това е квадратен корен (или корен от втора степен).
Числото, записано преди основния знак, се нарича множител (тоест това число се умножава по корена), например 5 (2)
Ако няма множител пред корена, тогава той е равен на 1 (припомнете си, че всяко число, умножено по 1, е равно на себе си).
Ако работите с корени за първи път, направете подходящи бележки за множителя и степента на корена, за да не се объркате и да разберете по-добре предназначението им.

Помнете кои корени могат да бъдат сгънати и кои не.Точно както не можете да добавяте различни термини на израз, като 2a + 2b 4ab, не можете да добавяте различни корени.

Не можете да добавяте корени с различни коренни изрази, например (2) + (3) (5). Но можете да добавяте числа под един и същ корен, например (2 + 3) = (5) (корен квадратен от 2 е приблизително 1,414, квадратен корен от 3 е приблизително 1,732, а корен квадратен от 5 е приблизително 2,236 ).

Не можете да добавяте корени с едни и същи коренни изрази, но различни експоненти, например (64) + (64) (тази сума не е равна на (64), тъй като корен квадратен от 64 е 8, коренът от 64 е 4, 8 + 4 = 12, което е много по-голямо от петия корен от 64, което е приблизително 2,297).

Част 2 от 2: Опростяване и добавяне на корени

Идентифицирайте и групирайте сходни корени.Подобни корени са корени, които имат еднакви експоненти и едни и същи коренни изрази. Например, помислете за израза:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Първо, пренапишете израза, така че корените с една и съща степен да са в серия.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
След това пренапишете израза, така че корените с една и съща степен и същия коренен израз да са в серия.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Опростете корените си.За да направите това, разложете (където е възможно) радикалните изрази на два фактора, единият от които се изважда изпод корена. В този случай изобразеното число и основният фактор се умножават.

В примера по-горе разложете 50 на 2*25 и числото 32 в 2*16. От 25 и 16 можете да извлечете квадратните корени (съответно 5 и 4) и да извадите 5 и 4 изпод корена, като ги умножите съответно по фактори 2 и 1. Така получавате опростен израз: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Числото 81 може да бъде разложено на 3 * 27, а коренът от 3 може да бъде взет от числото 27. Това число 3 може да бъде извадено изпод корена. Така получавате още по-опростен израз: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Добавете факторите с подобни корени.В нашия пример има подобни квадратни корени от 2 (те могат да се добавят) и подобни квадратни корени от 3 (те също могат да се добавят). В корен кубот 3 няма такива корени.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Краен опростен израз: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Няма общоприети правила за реда, в който корените се записват в израз. Следователно можете да пишете корени във възходящ ред на техните експоненти и във възходящ ред на радикалните изрази.

Внимание, само ДНЕС!

Всичко интересно

Числото, което е под основния знак, често пречи на решението на уравнението, неудобно е да се работи с него. Дори ако е повишено на степен, дробно или не може да бъде представено като цяло число до определена степен, човек може да се опита да го извлече от...

Корен от число x е число, което, когато се повдигне на степен на корена, ще бъде равно на x. Множителят е числото, което се умножава. Тоест в израз като x*ª-&radic-y трябва да добавите x под корена. Инструкция 1 Определете степента...

Ако коренният израз съдържа набор от математически операции с променливи, тогава понякога, в резултат на неговото опростяване, е възможно да се получи сравнително проста стойност, част от която може да бъде извадена изпод корена. Това опростяване е полезно...

Аритметичните операции с корени от различни степени могат значително да опростят изчисленията във физиката и технологиите и да ги направят по-точни. При умножение и деление е по-удобно да не извличате корена от всеки множител или дивидент и делител, а първо ...

Корен квадратен от числото x е числото a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, x = a. Както при всяко число, можете да извършвате аритметичните операции на събиране и изваждане върху квадратен корен. Инструкция...

Коренът в математиката може да има две значения: това е аритметична операция и всяко от решенията на уравнение, алгебрично, параметрично, диференциално или всяко друго. Инструкция 1 Коренът на n-та степен на числото a е такова число, че ...

При изпълнение на различни аритметични операциис корени, често е необходимо да можете да трансформирате радикални изрази. За да се опростят изчисленията, може да се наложи да извадите фактора от знака на радикала или да го поставите под него. Това действие може...

Коренът е иконата, която представлява математическа операциянамирането на такова число, чиято конструкция на степента, посочена преди знака на корена, трябва да даде числото, посочено под самия този знак. Често за решаване на проблеми, в които има...

Знакът на корена в математическите науки се нарича символза корени. Числото под основния знак се нарича радикален израз. При липса на степен, коренът е квадрат, в противен случай фигурата показва ...

Аритметика коренът на n-тияградуса от реално число a е такова неотрицателно число x, n-та степенкоето е равно на числото а. Тези. (n) a = x, x^n = a. Съществуват различни начинидопълнения аритметичен корени рационално число...

n-тият корен на реално число a е число b, за което е вярно равенството b^n = a. Нечетните корени съществуват за отрицателни и положителни числа, а четните корени съществуват само за положителни числа.…

Корен квадратен от число x е числото a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, √x = a. Както при всяко число, можете да извършвате аритметичните операции на събиране и изваждане върху квадратен корен.

Инструкция

Първо, когато добавяте квадратни корени, опитайте се да извлечете тези корени. Това ще бъде възможно, ако числата под основния знак са идеални квадрати. Например, нека бъде даден изразът √4 + √9. Първото число 4 е квадратът на числото 2. Второто число 9 е квадратът на числото 3. Така се оказва, че: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Ако под коренния знак няма пълни квадрати, опитайте се да извадите множителя на числото от под коренния знак. Например, да кажем, че е дадено √24 + √54. Разложете числата на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Числото 24 има коефициент 4, който може да бъде премахнат от знака за корен квадратен. Числото 54 има коефициент 9. Така се оказва, че: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . В този пример, в резултат на изваждането на множителя от основния знак, се оказа, че опростява дадения израз.
Нека сумата от два квадратни корена е знаменател на дроб, например A / (√a + √b). И нека вашата задача да бъде „да се отървете от ирационалността в знаменателя“. След това можете да използвате следния метод. Умножете числителя и знаменателя на дроба по израза √a - √b. Така в знаменателя ще се получи формулата за съкратено умножение: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. По аналогия, ако разликата на корените е дадена в знаменателя: √a - √b, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да се умножат по израза √a + √b. Например, дадена дроб 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Помислете за по-сложен пример за премахване на ирационалността в знаменателя. Нека е дадена дроб 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо е да умножите числителя и знаменателя на дроба по израза √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
И накрая, ако имате нужда само от приблизителна стойност, тогава можете да изчислите квадратните корени на калкулатора. Изчислете стойностите поотделно за всяко число и запишете с необходимата точност (например два знака след десетичната запетая). И след това извършете необходимите аритметични операции, както при обикновените числа. Например, да приемем, че искате да знаете приблизителната стойност на израза √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкривате личната си информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Ние също препоръчваме

Зареждане...

У дома > Тестове