Това, което се нарича корен квадратен. Как да намерите ръчно квадратния корен от число

Математиката се ражда, когато човек осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля, е в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха частици от елементарна математика, които направиха възможно свързването на числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, " математиката достигна тавана на сложност, когато всички числа." Концепцията за "квадратен корен" се появи във време, когато можеше лесно да бъде подкрепена с емпирични данни, излизащи отвъд равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корена, който на този моментобозначава се като √, е записано в писанията на вавилонските математици, които положиха основата на съвременната аритметика. Разбира се, те приличаха малко на сегашната форма - учените от онези години първо използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показа как се взема квадратен корен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонските учени са издълбали изходния процес √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора е открито само на десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато решавате квадратни уравнения, няма изход от извличането на корена.

Наред с вавилонските трудове, обектът на статията е изследван и в китайското произведение „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не се извлича без остатък, дава ирационален резултат .

Произходът на този термин се свързва с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, като растение. На латински тази дума звучи като radix (може да се проследи модел - всичко, което има "корен" семантично натоварване, е съгласно, било то репички или ишиас).

Учените от следващите поколения подхванаха тази идея, обозначавайки я като Rx. Например, през 15 век, за да се посочи, че квадратният корен е взет от произволно число a, те написаха R 2 a. Обичайно модерен външен вид"кърлеж" √ се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически корен квадратен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 =y е еквивалентно на √y=z. Това определение обаче е от значение само за аритметичния корен, тъй като предполага неотрицателна стойност на израза. С други думи, √y=z, където z е по-голямо или равно на 0.

Като цяло, което е валидно за определяне на алгебричния корен, стойността на израза може да бъде положителна или отрицателна. По този начин, поради факта, че z 2 =y и (-z) 2 =y, имаме: √y=±z или √y=|z|.

Поради факта, че любовта към математиката само се е увеличила с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, неизразени в сухи изчисления. Например, наред с такива интересни събития като деня на Пи, се празнуват и празниците на квадратния корен. Празнуват се девет пъти на сто години и се определят по следния принцип: числата, които обозначават деня и месеца по ред, трябва да са корен квадратен от годината. Да, в следващият пътТози празник ще се чества на 4 април 2016 г.

Свойства на квадратния корен на полето R

Почти всички математически изрази имат геометрична основа, тази съдба не мина и √y, което се определя като страната на квадрат с площ y.

Как да намеря корена на число?

Има няколко алгоритма за изчисление. Най-простото, но в същото време доста тромаво е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) от числото, чийто корен ни трябва, нечетните числа се изваждат на свой ред - докато остатъкът от изхода е по-малък от изваденото или четно нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане желаното число. Например изчислението корен квадратенот 25:

Следващото нечетно число е 11, остатъкът е: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение от серия Тейлър:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , където n приема стойности от 0 до

+∞ и |y|≤1.

Графично представяне на функцията z=√y

Да разгледаме елементарна функция z=√y върху полето на реалните числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Нейната диаграма изглежда така:

Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z=√y върху полето на реалните числа R

1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (включва се нулата).

2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата отново е включена).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z=√y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z=√y не е периодична.

6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z=√y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z=√y също е нулата на тази функция.

8. Функцията z=√y непрекъснато расте.

9. Функцията z=√y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Опции за показване на функцията z=√y

В математиката, за да се улесни изчисляването на сложни изрази, понякога се използва степенната форма на запис на квадратен корен: √y=y 1/2. Тази опция е удобна, например, при издигане на функция до степен: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него коренът квадратен се представя от обикновена степенна функция.

А в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Струва си да се отбележи, че в тази област квадратният корен е в голямо търсене, тъй като е част от повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се извиква).

Квадратният корен в комплексното поле C

Като цяло именно предметът на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на корен от четна степен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: квадратът й е -1. Благодарение на това квадратните уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C за корен квадратен са подходящи същите свойства като в R, единственото нещо е, че ограниченията върху коренния израз са премахнати.

Площта на квадратен парцел е 81 дм². Намерете неговата страна. Да предположим, че дължината на страната на квадрата е хдециметри. Тогава площта на парцела е х² квадратни дециметра. Тъй като според условието тази площ е 81 dm², то х² = 81. Дължината на страната на квадрат е положително число. Положително число, чийто квадрат е 81, е числото 9. При решаването на задачата се изискваше да се намери числото x, чийто квадрат е 81, т.е. да се реши уравнението х² = 81. Това уравнение има два корена: х 1 = 9 и х 2 = - 9, тъй като 9² = 81 и (- 9)² = 81. И двете числа 9 и - 9 се наричат ​​квадратни корени от числото 81.

Имайте предвид, че един от квадратните корени х= 9 е положително число. Нарича се аритметичен квадратен корен от 81 и се обозначава √81, така че √81 = 9.

Аритметичен корен квадратен от число ное неотрицателно число, чийто квадрат е равен на но.

Например числата 6 и - 6 са квадратни корени от числото 36. В този случай числото 6 е аритметичният квадратен корен от 36, тъй като 6 е неотрицателно число и 6² \u003d 36. Числото - 6 не е аритметичен корен.

Аритметичен корен квадратен от число ноозначени както следва: √ но.

Знакът се нарича аритметичен знак квадратен корен; носе нарича коренен израз. Израз √ ноПрочети така: аритметичният квадратен корен от число но.Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В случаите, когато е ясно, че говорим за аритметичен корен, те накратко казват: „корен квадратен от но«.

Актът за намиране на квадратен корен от число се нарича вземане на квадратен корен. Това действие е обратното на квадратурата.

Всяко число може да бъде на квадрат, но не всяко число може да бъде квадратен корен. Например, не е възможно да се извлече корен квадратен от числото - 4. Ако такъв корен е съществувал, тогава, обозначавайки го с буквата х, ще получим грешно равенство x² = - 4, тъй като отляво има неотрицателно число, а отдясно - отрицателно.

Израз √ ноима смисъл само когато а ≥ 0. Определението на квадратния корен може да се запише накратко като: √ а ≥ 0, (√но)² = но. Равенство (√ но)² = новалидно за а ≥ 0. По този начин, за да се уверите, че корен квадратен от неотрицателно число норавно на б, т.е. че √ но =б, трябва да проверите дали са изпълнени следните две условия: b ≥ 0, б² = но.

Корен квадратен от дроб

Да изчислим. Обърнете внимание, че √25 = 5, √36 = 6 и проверете дали равенството е валидно.

Защото и , тогава равенството е вярно. Така, .

теорема:Ако но≥ 0 и б> 0, тоест коренът на дроба равно на коренаот числителя, разделен на корена на знаменателя. Необходимо е да се докаже, че: и .

Тъй като √ но≥0 и √ б> 0, тогава .

Чрез свойството да се повдига дроб на степен и да се определя квадратен корен теоремата е доказана. Нека разгледаме няколко примера.

Изчислете според доказаната теорема .

Втори пример: Докажете това , ако но ≤ 0, б < 0. .

Друг пример: Изчислете .

.

Преобразуване на квадратен корен

Изваждане на множителя изпод знака на корена. Нека бъде даден израз. Ако но≥ 0 и б≥ 0, тогава по теоремата за корена на произведението можем да запишем:

Такава трансформация се нарича разлагане на основния знак. Помислете за пример;

Изчислете при х= 2. Директно заместване х= 2 в радикалния израз води до сложни изчисления. Тези изчисления могат да бъдат опростени, ако първо премахнем факторите под основния знак: . Сега замествайки x = 2, получаваме:.

И така, когато се изважда факторът под коренния знак, радикалният израз се представя като произведение, в което един или повече фактори са квадратите на неотрицателни числа. След това се прилага теоремата за коренното произведение и се взема коренът на всеки фактор. Помислете за пример: Опростете израза A = √8 + √18 - 4√2, като извадим факторите под знака за корен в първите два члена, получаваме:. Подчертаваме, че равенството валидно само когато но≥ 0 и б≥ 0. ако но < 0, то .

Възлагането в степен предполага, че дадено число трябва да бъде умножено само по себе си определен брой пъти. Например, повишаването на числото 2 на пета степен би изглеждало така:

Числото, което трябва да се умножи само по себе си, се нарича основа на степента, а броят на умноженията е неговият показател. Повишаването на степен съответства на две противоположни действия: намиране на степента и намиране на основата.

извличане на корен

Намирането на основата на експонента се нарича извличане на корен. Това означава, че трябва да намерите числото, което трябва да се повдигне на степен на n, за да получите даденото.

Например, необходимо е да се извлече 4-тия корен от числото 16, т.е. за да определите, трябва да умножите само по себе си 4 пъти, за да получите в крайна сметка 16. Това число е 2.

Такава аритметична операциясе изписва с помощта на специален знак - радикалът: √, над който е посочен степента вляво.

аритметичен корен

Ако степента е четен брой, то коренът може да бъде две числа с един и същ модул, но с - положително и отрицателно. Така че в дадения пример това могат да бъдат числа 2 и -2.

Изразът трябва да е недвусмислен, т.е. има един резултат. За това е въведено понятието аритметичен корен, който може да бъде само положително число. Аритметичният корен не може да бъде по-малък от нула.

Така в примера, разгледан по-горе, само числото 2 ще бъде аритметичен корен, а вторият отговор - -2 - е изключен по дефиниция.

Корен квадратен

За някои степени, които се използват по-често от други, има специални имена, които първоначално са свързани с геометрията. Това е заза издигане на втора и трета степен.

На втора степен, дължината на страната на квадрата, когато трябва да изчислите неговата площ. Ако трябва да намерите обема на куб, дължината на ръба му се повишава на трета степен. Следователно то се нарича квадрат на числото, а третото се нарича куб.

Съответно коренът от втора степен се нарича квадрат, а коренът от трета степен се нарича кубичен. Квадратният корен е единственият от корените, който няма степен над радикала, когато е написан:

И така, аритметичният квадратен корен от дадено число е положително число, което трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи даденото число.

Време е за разглобяване методи за извличане на корени. Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е вярно за всяко неотрицателно число b.

По-долу ще разгледаме на свой ред основните методи за извличане на корени.

Нека започнем с най-простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица с квадрати, таблица с кубчета и т.н.

Ако таблиците от квадрати, кубчета и др. не е под ръка, логично е да се използва методът за извличане на корена, който включва разлагане на коренното число на прости фактори.

Отделно си струва да се спрем на това, което е възможно за корени с нечетни експоненти.

И накрая, помислете за метод, който ви позволява да намирате последователно цифрите на стойността на корена.

Да започваме.

Използване на таблица с квадрати, таблица с кубчета и т.н.

В най-много прости случаитаблици от квадрати, кубчета и др. позволяват извличане на корени. Какви са тези маси?

Таблицата на квадратите с цели числа от 0 до 99 включително (показана по-долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, тя използва селекцията определен низи конкретна колона ви позволява да направите число от 0 до 99. Например, нека изберем ред от 8 десетки и колона от 3 единици, като с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от таблицата. Всяка негова клетка се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрата на съответното число от 0 до 99 . В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетки и колона 3 от единица има клетка с числото 6889, което е квадратът на числото 83.

Таблиците на кубчетата, таблиците на четвъртите степени на числата от 0 до 99 и така нататък са подобни на таблицата на квадратите, само че съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. във втората зона. съответни числа.

Таблици на квадрати, кубове, четвърти степени и др. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубични корени, четвърти корени и др. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното приложение при извличане на корени.

Да кажем, че трябва да извлечем корена на n-та степен от числото a, докато числото a се съдържа в таблицата на n-та степен. Според тази таблица намираме числото b такова, че a=b n . Тогава , следователно, числото b ще бъде желаният корен от n-та степен.

Като пример, нека покажем как кубичният корен от 19683 се извлича с помощта на таблицата с кубчета. Намираме числото 19 683 в таблицата на кубовете, от него откриваме, че това число е куб от числото 27, следователно, .

Ясно е, че таблиците от n-та степен са много удобни при извличане на корени. Те обаче често не са под ръка и тяхното компилиране изисква известно време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да се прибегне до други методи за извличане на корените.

Разлагане на коренното число на прости множители

Достатъчно удобен начин, което позволява извличането на корена от естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разлагането на коренното число на прости фактори. Неговите същността е следната: след като е доста лесно да го представите като степен с желания индикатор, което ви позволява да получите стойността на корена. Нека обясним тази точка.

Нека коренът от n-та степен е извлечен от естествено число a и неговата стойност е равна на b. В този случай равенството a=b n е вярно. Номер b като всеки естествено числоможе да се представи като произведение на всичките му прости множители p 1 , p 2 , …, pm във формата p 1 p 2 pm , а радикалното число a в този случай се представя като (p 1 p 2 pm) n. Тъй като разлагането на числото в прости множители е уникално, разлагането на коренното число a в прости множители ще изглежда така (p 1 ·p 2 ·…·pm) n , което дава възможност да се изчисли стойността на корена като .

Забележете, че ако факторизацията на коренното число a не може да бъде представена във формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , тогава коренът от n-та степен от такова число a не се извлича напълно.

Нека се справим с това, когато решаваме примери.

Пример.

Вземете корен квадратен от 144.

Решение.

Ако се обърнем към таблицата с квадратите, дадена в предишния параграф, ясно се вижда, че 144=12 2 , от което става ясно, че коренът квадратен от 144 е 12 .

Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме от това как коренът се извлича чрез разлагане на коренно число 144 на прости фактори. Нека да разгледаме това решение.

Да разложим 144 към прости множители:

Тоест 144=2 2 2 2 3 3 . Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. следователно, .

Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да бъде формулирано малко по-различно: .

Отговор:

За да консолидирате материала, разгледайте решенията на още два примера.

Пример.

Изчислете стойността на корена.

Решение.

Основното разлагане на коренно число 243 е 243=3 5 . По този начин, .

Отговор:

Пример.

Цяло число ли е стойността на корена?

Решение.

За да отговорим на този въпрос, нека да разложим коренното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.

Имаме 285 768=2 3 3 6 7 2 . Полученото разлагане не е представено като куб от цяло число, тъй като степента на простия фактор 7 не е кратна на три. Следователно кубичният корен от 285 768 не се взема напълно.

Отговор:

Не.

Извличане на корени от дробни числа

Време е да разберем как се извлича коренът дробно число. Нека дробното коренно число се запише като p/q. Според свойството на корена на частното е вярно следното равенство. От това равенство следва правило за корен от дроб: Коренът на дроб е равен на частното от деленето на корена на числителя на корена на знаменателя.

Нека разгледаме пример за извличане на корен от дроб.

Пример.

Колко е корен квадратен от обикновена дроб 25/169 .

Решение.

Според таблицата с квадратите откриваме, че квадратният корен от числителя на оригиналната дроб е 5, а коренът квадратен от знаменателя е 13. Тогава . Това завършва извличането на корена от обикновена фракция 25/169.

Отговор:

Коренът на десетична дроб или смесено число се извлича след замяна на коренните числа с обикновени дроби.

Пример.

Вземете кубичния корен от десетичната запетая 474,552.

Решение.

Нека представим оригиналния десетичен знак като обикновена дроб: 474,552=474552/1000 . Тогава . Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената дроб. Защото 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , тогава И . Остава само да завършим изчисленията .

Отговор:

.

Извличане на корена на отрицателно число

Отделно си струва да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. Когато изучавахме корени, казахме, че когато степента на корена е нечетно число, тогава отрицателно число може да бъде под знака на корена. Придадохме на такива обозначения следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корен 2 n−1, имаме . Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да извлечете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете стойността на корена.

Решение.

Нека трансформираме оригиналния израз, така че под коренния знак да се появи положително число: . Сега заместваме смесеното число с обикновена дроб: . Прилагаме правилото за извличане на корена от обикновена фракция: . Остава да изчислим корените в числителя и знаменателя на получената дроб: .

Ето обобщение на решението: .

Отговор:

.

Побитово намиране на коренната стойност

В общия случай под корена има число, което, като се използват описаните по-горе техники, не може да бъде представено като n-та степен на което и да е число. Но в същото време е необходимо да се знае стойността на даден корен, поне до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява да получавате последователно достатъчен брой стойности ​​от цифрите на желаното число.

На първата стъпка този алгоритъмтрябва да разберете кой е най-значимата част от стойността на корена. За да направите това, числата 0, 10, 100, ... се издигат последователно на степен n, докато се получи число, превишаващо основното число. Тогава числото, което повишихме на степен n в предишната стъпка, ще посочи съответния висок ред.

Например, разгледайте тази стъпка от алгоритъма, когато извличате корен квадратен от пет. Взимаме числата 0, 10, 100, ... и ги правим на квадрат, докато не получим число, по-голямо от 5. Имаме 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, което означава, че най-значимата цифра ще бъде цифрата на единиците. Стойността на този бит, както и на по-ниските, ще бъде намерена в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.

Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно прецизиране на стойността на корена поради факта, че се намират стойностите на следващите цифри на желаната стойност на корена, започвайки от най-високата и преминавайки към най-ниската . Например стойността на корена в първата стъпка е 2 , във втората - 2,2 , в третата - 2,23 и така нататък 2,236067977 ... . Нека опишем как се намират стойностите на битовете.

Намирането на цифрите се извършва чрез изброяването им възможни стойности 0, 1, 2, ..., 9 . В този случай n-те степени на съответните числа се изчисляват паралелно и се сравняват с коренното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се извършва преходът към следващата стъпка от алгоритъма за извличане на корен, ако това не се случи, тогава стойността на тази цифра е 9 .

Нека обясним всички тези точки, използвайки същия пример за извличане на квадратен корен от пет.

Първо, намерете стойността на цифрата на единиците. Ще преглеждаме стойностите 0, 1, 2, …, 9, като изчисляваме съответно 0 2 , 1 2 , …, 9 2, докато получим стойност, по-голяма от радикалното число 5. Всички тези изчисления са удобно представени под формата на таблица:

Значи стойността на цифрата на единиците е 2 (защото 2 2<5 , а 2 3 >пет). Нека да преминем към намирането на стойността на десетото място. В този случай ще квадратираме числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с корен номер 5:

От 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, то стойността на десетото място е 2. Можете да продължите към намирането на стойността на стотните:

Така намерено следващата стойносткорен от пет, той е равен на 2,23. И така можете да продължите да намирате стойности по-нататък: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност до стотни, използвайки разглеждания алгоритъм.

Първо, дефинираме старшата цифра. За да направите това, ние събираме в куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато не получим число, по-голямо от 2,151.186. Имаме 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , така че най-значимата цифра е цифрата на десетките.

Нека да определим стойността му.

От 103 г<2 151,186 , а 20 3 >2,151,186, тогава стойността на цифрата на десетките е 1. Да преминем към единиците.

По този начин стойността на мястото на единиците е 2 . Да преминем към десет.

Тъй като дори 12,9 3 е по-малко от радикалното число 2 151,186, стойността на десетото място е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност.

На този етап стойността на корена се намира до стотни: .

В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които проучихме по-горе, са достатъчни.

Библиография.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).