свойства на квадратни корени. Коренни формули

Тази статия е колекция от подробна информация, която се занимава с темата за свойствата на корените. Разглеждайки темата, ще започнем със свойствата, ще проучим всички формулировки и ще дадем доказателства. За да затвърдим темата, ще разгледаме свойствата на n-та степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Свойства на корена

Ще говорим за имоти.

Имот умножени числа аи б, което се представя като равенството a · b = a · b . Може да се представи като множители, положителни или равни на нула a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
от частно a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, може да се запише и в този вид a b = a b ;
Свойство от степента на число ас четен показател a 2 m = a m за произволно число а, например, свойство от квадрата на число a 2 = a .

Във всяко от представените уравнения можете да размените частите преди и след знака тире, например равенството a · b = a · b се трансформира като a · b = a · b . Свойствата на равенството често се използват за опростяване на сложни уравнения.

Доказателството на първите свойства се основава на определението корен квадратени свойства на степени с естествен показател. За да се обоснове третото свойство, е необходимо да се обърнем към определението на модула на число.

На първо място е необходимо да се докажат свойствата на квадратния корен a · b = a · b . Според дефиницията е необходимо да се има предвид, че a b е число, положително или равно на нула, което ще бъде равно на а бпо време на строителството в квадрат. Стойността на израза a · b е положителна или равна на нула като произведение на неотрицателни числа. Свойството на степента на умножените числа ни позволява да представим равенството във вида (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По дефиницията на квадратния корен a 2 \u003d a и b 2 \u003d b, след това a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

По подобен начин може да се докаже това от продукта кмножители a 1 , a 2 , … , a kще бъде равно на произведението на квадратните корени на тези фактори. Наистина, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

От това равенство следва, че a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Нека разгледаме няколко примера, за да подсилим темата.

Пример 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 и 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Необходимо е да се докаже свойството на аритметичния квадратен корен от частното: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Свойството ви позволява да запишете равенството a: b 2 = a 2: b 2 и a 2: b 2 = a: b , докато a: b е положително число или равно на нула. Този израз ще бъде доказателството.

Например 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 и 30, 121 = 30, 121.

Помислете за свойството на квадратния корен от квадрата на число. Може да се запише като равенство като a 2 = a За да се докаже това свойство, е необходимо да разгледаме подробно няколко равенства за а ≥ 0и при а< 0 .

Очевидно е, че за a ≥ 0, равенството a 2 = a е вярно. В а< 0 равенството a 2 = - a ще бъде вярно. Всъщност в този случай − a > 0и (− a) 2 = a 2 . Можем да заключим, че a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Доказаното свойство ще помогне да се обоснове a 2 m = a m , където а- истински и м –естествено число. Всъщност свойството на степенуване ни позволява да заменим степента а 2 мизразяване (ам) 2, тогава a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Свойства на n-тия корен

Първо трябва да разгледате основните свойства на корените от n-та степен:

Свойство от произведението на числата аи б, които са положителни или равни на нула, могат да се изразят като равенството a b n = a n b n , това свойство е валидно за произведението кчисла a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
от дробно числоима свойството a b n = a n b n , където а- всякакви реално число, което е положително или равно на нула, и бе положително реално число;
За всякакви аи четни числа n = 2 m a 2 m 2 m = a е вярно, а за нечетно n = 2 m − 1е изпълнено равенството a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
Свойство за извличане от a m n = a n m , където а- произволно число, положително или равно на нула, ни мса естествени числа, това свойство може да бъде представено и като . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
За всяко неотрицателно a и произволно ни м, които са естествени, може да се дефинира и справедливото равенство a m n · m = a n ;
степен имот нот силата на число а, което е положително или равно на нула, в натура м, дефиниран от равенството a m n = a n m ;
Свойство за сравнение, които имат еднакви експоненти: за всякакви положителни числа аи бтакъв, че а< b , неравенството a n< b n ;
Свойството за сравнение, което притежава същите числакорен: ако ми н-естествени числа, които m > n, след това при 0 < a < 1 неравенството a m > a n е валидно и за а > 1а м< a n .

Горните уравнения са валидни, ако частите преди и след знака за равенство са обърнати. Те могат да се използват и в тази форма. Това често се използва по време на опростяване или трансформиране на изрази.

Доказателството за горните свойства на корена се основава на определението, свойствата на степента и определението на модула на число. Тези свойства трябва да бъдат доказани. Но всичко е наред.

Преди всичко ще докажем свойствата на корена от n-та степен от произведението a · b n = a n · b n . За аи б, коетоса положителен или нула , стойността a n · b n също е положителна или равна на нула, тъй като е следствие от умножение на неотрицателни числа. Свойството на естествено степенно произведение ни позволява да запишем равенството a n · b n n = a n n · b n n . По дефиниция на root нстепен a n n = a и b n n = b , следователно a n · b n n = a · b . Полученото равенство е точно това, което се изискваше да се докаже.

Това свойство се доказва по подобен начин за продукта кфактори: за неотрицателни числа a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Ето примери за използване на свойството root нта степен от продукта: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 и 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Нека докажем свойството на корена на частното a b n = a n b n . В а ≥ 0и b > 0условието a n b n ≥ 0 е изпълнено и a n b n n = a n n b n n = a b .

Нека покажем примери:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

За следващата стъпка е необходимо да се докажат свойствата на n-та степен от числото до степента н. Представяме това като равенство a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a за всяко реално аи естествено м. В а ≥ 0получаваме a = a и a 2 m = a 2 m , което доказва равенството a 2 m 2 m = a , а равенството a 2 m - 1 2 m - 1 = a е очевидно. В а< 0 получаваме съответно a = - a и a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Последната трансформация на числото е валидна според свойството на степента. Това доказва равенството a 2 m 2 m \u003d a и a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a ще бъде вярно, тъй като - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m се счита за нечетно степен - 1 за произволно число ° С ,положителен или равен на нула.

За да консолидирате получената информация, разгледайте няколко примера за използване на свойството:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 и (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Нека докажем следното равенство a m n = a n · m . За да направите това, трябва да промените числата преди знака за равенство и след него на места a n · m = a m n . Това ще посочи правилния запис. За а ,което е положително или равно на нула , от формата a m n е положително число или равно на нула. Нека се обърнем към свойството да се издига степен до степен и определението. С тяхна помощ можете да трансформирате равенства във формата a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Това доказва разглежданото свойство на корен от корен.

Други свойства се доказват по подобен начин. Наистина ли, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Например 7 3 5 = 7 5 3 и 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Нека докажем следното свойство a m n · m = a n . За да направите това, е необходимо да се покаже, че n е число, което е положително или равно на нула. Когато се повдигне на степен n m е а м. Ако номер атогава е положително или нула нта степен измежду ае положително число или равно на нула Освен това a n · m n = a n n m , което трябваше да се докаже.

За да затвърдите придобитите знания, разгледайте няколко примера.

Нека докажем следното свойство – свойството на корена на степента на вида a m n = a n m . Очевидно е, че при а ≥ 0степента a n m е неотрицателно число. Освен това тя н-та степен е равна на а м, наистина, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Това доказва разглежданото свойство на степента.

Например, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Трябва да докажем това за всякакви положителни числа аи б а< b . Да разгледаме неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Следователно, a n< b n при а< b .

Например даваме 12 4< 15 2 3 4 .

Помислете за коренното свойство н-та степен. Първо, разгледайте първата част от неравенството. В m > nи 0 < a < 1 вярно a m > a n . Да предположим, че a m ≤ a n. Свойствата ще опростят израза до a n m · n ≤ a m m · n . Тогава, според свойствата на степен с естествен експонент, неравенството a n m n m n ≤ a m m n m n е изпълнено, т.е. a n ≤ a m. Получената стойност при m > nи 0 < a < 1 не съответства на свойствата по-горе.

По същия начин може да се докаже това m > nи а > 1състояние a m< a n .

За да коригирате горните свойства, разгледайте няколко конкретни примери. Помислете за неравенствата, като използвате конкретни числа.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Урок и презентация по темата:
"Свойства на квадратен корен. Формули. Примери за решения, задачи с отговори"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 8 клас
Интерактивно учебно помагало "Геометрия за 10 минути" за 8 клас
Образователен комплекс "1C: Училище. Геометрия, 8 клас"

Свойства квадратен корен

Продължаваме да изучаваме квадратни корени. Днес ще разгледаме основните свойства на корените. Всички основни свойства са интуитивни и в съответствие с всички операции, които сме правили преди.

Свойство 1. Коренът квадратен от произведението на две неотрицателни числа е равен на произведението на квадратните корени на тези числа: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Прието е да се доказват всякакви свойства, нека го направим.
Нека $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Тогава трябва да докажем, че $x=y*z$.
Нека квадратурираме всеки израз.
Ако $\sqrt(a*b)=x$, тогава $a*b=x^2$.
Ако $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, след това възлагайки двата израза на квадрат, получаваме: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, т.е. $x^2=(y*z)^2$. Ако квадратите на две неотрицателни числа са равни, тогава самите числа са равни, което трябваше да се докаже.

От нашето свойство следва, че например $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Забележка 1. Свойството е валидно и за случая, когато под корена има повече от два неотрицателни фактора.
Свойство 2. Ако $a≥0$ и $b>0$, тогава е валидно следното равенство: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Тоест коренът на частното е равен на частното от корените.
Доказателство.
Нека използваме таблицата и накратко докажем нашето свойство.

Примери за използване на свойства на квадратен корен

Пример 1
Изчислете: $\sqrt(81*25*121)$.

Решение.
Разбира се, можем да вземем калкулатор, да умножим всички числа под корен и да извършим операцията по извличане на квадратен корен. И ако няма калкулатор под ръка, какво тогава?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Отговор: 495.

Пример 2. Изчислете: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Решение.
Представяме радикалното число като неправилна дроб: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Нека използваме свойство 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 $.
Отговор: 3.4.

Пример 3
Изчислете: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Решение.
Можем да оценим нашия израз директно, но почти винаги може да бъде опростен. Нека се опитаме да направим това.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Така че $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Отговор: 32.

Момчета, имайте предвид, че няма формули за операциите събиране и изваждане на радикални изрази и изразите по-долу не са правилни.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Пример 4
Изчислете: а) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Решение.
Представените по-горе свойства работят както отляво надясно, така и отвътре обратен ред, това е:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Нека използваме това, за да разрешим нашия пример.
а) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

Б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Отговор: а) 16; б) 2.

Свойство 3. Ако $a≥0$ и n е естествено число, тогава е валидно следното равенство: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Например. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ и така нататък.

Пример 5
Изчислете: $\sqrt(129600)$.

Решение.
Представеното ни число е доста голямо, нека го разложим на прости множители.
Получаваме: $129600=5^2*2^6*3^4$ или $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Отговор: 360.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Изчислете: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Изчислете: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Изчислете: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Изчислете:
а) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
б) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Математиката се ражда, когато човек осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля, е в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха частици от елементарна математика, които направиха възможно свързването на числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, " математиката достигна тавана на сложност, когато всички числа." Концепцията за "квадратен корен" се появи във време, когато можеше лесно да бъде подкрепена с емпирични данни, излизащи отвъд равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корена, който на този моментобозначава се като √, е записано в писанията на вавилонските математици, които положиха основата на съвременната аритметика. Разбира се, те приличаха малко на сегашната форма - учените от онези години първо използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показа как се взема квадратен корен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонските учени са издълбали изходния процес √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора е открито само на десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато решавате квадратни уравнения, няма изход от извличането на корена.

Наред с вавилонските трудове, обектът на статията е изследван и в китайското произведение „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не се извлича без остатък, дава ирационален резултат .

Произходът на този термин се свързва с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, като растение. На латински тази дума звучи като radix (може да се проследи модел - всичко, което има "корен" семантично натоварване, е съгласно, било то репички или ишиас).

Учените от следващите поколения подхванаха тази идея, обозначавайки я като Rx. Например, през 15 век, за да се посочи, че квадратният корен е взет от произволно число a, те написаха R 2 a. Обичайно модерен външен вид"кърлеж" √ се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически корен квадратен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 =y е еквивалентно на √y=z. Това определение обаче е от значение само за аритметичен корен, тъй като това предполага неотрицателна стойност на израза. С други думи, √y=z, където z е по-голямо или равно на 0.

Като цяло, което е валидно за определяне на алгебричен корен, стойността на израза може да бъде положителна или отрицателна. По този начин, поради факта, че z 2 =y и (-z) 2 =y, имаме: √y=±z или √y=|z|.

Поради факта, че любовта към математиката само се е увеличила с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, неизразени в сухи изчисления. Например, наред с такива интересни събития като деня на Пи, се празнуват и празниците на квадратния корен. Те се празнуват девет пъти на сто години и се определят по следния принцип: числата, които обозначават деня и месеца по ред, трябва да са корен квадратен от годината. Да, в следващият пътТози празник ще се чества на 4 април 2016 г.

Свойства на квадратния корен на полето R

Почти всички математически изрази имат геометрична основа, тази съдба не мина и √y, което се определя като страната на квадрат с площ y.

Как да намеря корена на число?

Има няколко алгоритма за изчисление. Най-простото, но в същото време доста тромаво е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) от числото, чийто корен се нуждаем, нечетните числа се изваждат на свой ред - докато остатъкът на изхода е по-малък от изваденото или четно нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане желаното число. Например, изчисляване на квадратен корен от 25:

Следване нечетно числое 11, имаме следния остатък: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение от серия Тейлър:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , където n приема стойности от 0 до

+∞ и |y|≤1.

Графично представяне на функцията z=√y

Да разгледаме елементарна функция z=√y върху полето на реалните числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Нейната диаграма изглежда така:

Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z=√y върху полето на реалните числа R

1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (включва се нулата).

2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата отново е включена).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z=√y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z=√y не е периодична.

6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z=√y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z=√y също е нулата на тази функция.

8. Функцията z=√y непрекъснато расте.

9. Функцията z=√y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Опции за показване на функцията z=√y

В математиката, за да се улесни изчисляването на сложни изрази, понякога се използва степенната форма на запис на квадратен корен: √y=y 1/2. Тази опция е удобна, например, при издигане на функция до степен: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него коренът квадратен се представя от обикновена степенна функция.

А в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Струва си да се отбележи, че в тази област квадратният корен е в голямо търсене, тъй като е част от повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се извиква).

Квадратният корен в комплексното поле C

Като цяло именно предметът на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на корен от четна степен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: квадратът й е -1. Благодарение на това квадратните уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C за корен квадратен са подходящи същите свойства като в R, единственото нещо е, че ограниченията върху коренния израз са премахнати.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Факт 1.
$\bullet$ Вземете някакво неотрицателно число $a$ (т.е. $a\geqslant 0$ ). След това (аритметика) корен квадратенот числото $a$ се извиква такова неотрицателно число $b$, при квадратурата му получаваме числото $a$: \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От определението следва, че $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Тези ограничения са важно условие за съществуването на квадратен корен и трябва да се помни!
Припомнете си, че всяко число в квадрат дава неотрицателен резултат. Тоест $100^2=10000\geqslant 0$ и $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Какво е $\sqrt(25)$? Знаем, че $5^2=25$ и $(-5)^2=25$ . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, $-5$ не е подходящ, следователно $\sqrt(25)=5$ (тъй като $25=5^2$ ).
Намирането на стойността $\sqrt a$ се нарича вземане на корен квадратен от числото $a$ , а числото $a$ се нарича коренен израз.
$\bullet$ Въз основа на дефиницията, изразите $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ и т.н. няма смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите с естествени числа от $1$ до $20$: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Факт 3.
Какво може да се направи с квадратни корени?
$\ куршум$ Сборът или разликата от квадратни корени НЕ Е РАВНА на квадратния корен от сбора или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , тогава първоначално трябва да намерите стойностите $\sqrt(25)$ и $\sqrt (49)\ ) и след това ги съберете. следователно, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a$ или $\sqrt b$ не могат да бъдат намерени при добавяне на $\sqrt a+\sqrt b$, тогава такъв израз не се преобразува допълнително и остава такъв, какъвто е. Например, в сбора $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ можем да намерим $\sqrt(49)$ - това е $7$ , но $\sqrt 2$ не може да бъде преобразувани по какъвто и да е начин, ето защо $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Освен това този израз, за съжаление, не може да бъде опростен по никакъв начин.$\bullet$ Продуктът/коефициентът от квадратни корени е равен на квадратния корен от продукта/коефициента, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие че и двете части на равенствата имат смисъл)
пример: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Използвайки тези свойства, е удобно да намерите квадратните корени на големи числа, като ги разложите на множители.
Помислете за пример. Намерете $\sqrt(44100)$ . Тъй като $44100:100=441$ , то $44100=100\cdot 441$ . Според критерия за делимост числото $441$ се дели на $9$ (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно $441:9=49$ , тоест $441=9\ cdot 49$ .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Нека покажем как се въвеждат числа под знака квадратен корен, като използваме примера на израза $5\sqrt2$ (съкратено от израза $5\cdot \sqrt2$ ). Тъй като $5=\sqrt(25)$ , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбрахте, не можем по някакъв начин да преобразуваме числото $\sqrt2$ . Представете си, че $\sqrt2$ е някакво число $a$ . Съответно, изразът $\sqrt2+3\sqrt2$ не е нищо друго освен $a+3a$ (едно число $a$ плюс още три от същите числа $a$ ). И знаем, че това е равно на четири такива числа $a$ , тоест $4\sqrt2$ .

Факт 4.
$\bullet$ Често се казва „не може да се извлече коренът“, когато не е възможно да се отърве от знака $\sqrt () \ $ на корена (радикал) при намиране на стойността на някакво число. Например, можете да корените числото $16$, защото $16=4^2$ , така че $\sqrt(16)=4$ . Но да се извлече коренът от числото $3$ , тоест да се намери $\sqrt3$ , е невъзможно, защото няма такова число, което на квадрат ще даде $3$ .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$и т.н. са ирационални.
Също така ирационални са числата $\pi$ (числото „pi“, приблизително равно на $3,14$ ), $e$ (това число се нарича число на Ойлер, приблизително равно на $2) ,7$ ) и др.
$\bullet$ Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде или рационално, или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални (реални) числа.Това множество се обозначава с буквата $\mathbb(R)$ .
Това означава, че всички числа, които в момента знаем, се наричат реални числа.

Факт 5.
$\bullet$ Модулът на реално число $a$ е неотрицателно число $|a|$, равно на разстоянието от точка $a$ до $0$ на реалното линия. Например, $|3|$ и $|-3|$ са равни на 3, тъй като разстоянията от точките $3$ и $-3$ до $0$ са същото и равно на $3 $ .
$\bullet$ Ако $a$ е неотрицателно число, тогава $|a|=a$ .
Пример: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Ако $a$ е отрицателно число, тогава $|a|=-a$ .
Пример: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Казват, че за отрицателни числа модулът „изяжда“ минуса, а положителните числа, както и числото $0$ , модулът оставя непроменен.
НОтова правило важи само за числата. Ако имате неизвестно $x$ (или някаква друга неизвестна) под знака на модула, например $|x|$ , за което не знаем дали е положително, равно на нула или отрицателно, тогава да се отървем от модула не можем. В този случай този израз остава такъв: $|x|$ . $\bullet$ Следните формули са валидни: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(предоставен ) a\geqslant 0\]Често се прави следната грешка: казват, че $\sqrt(a^2)$ и $(\sqrt a)^2$ са едно и също нещо. Това е вярно само когато $a$ е положително число или нула. Но ако $a$ е отрицателно число, това не е вярно. Достатъчно е да разгледаме такъв пример. Нека вземем числото $-1$ вместо $a$. Тогава $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , но изразът $(\sqrt (-1))^2$ изобщо не съществува (защото е невъзможно под основния знак поставете отрицателни числа!).
Затова обръщаме внимание на факта, че $\sqrt(a^2)$ не е равно на $(\sqrt a)^2$ !Пример: 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, защото $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Тъй като $\sqrt(a^2)=|a|$ , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът $2n$ означава четно число)
Тоест при извличане на корена от число, което е в някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
пример:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (обърнете внимание, че ако модулът не е зададен, тогава се оказва, че коренът на числото е равен на $-25 $ ; но помним , което по дефиниция на корена това не може да бъде: когато извличаме корена, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
$\bullet$ Вярно за квадратни корени: ако $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aпример:
1) сравнете \(\sqrt(50)$ и $6\sqrt2$ . Първо трансформираме втория израз в $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. По този начин, тъй като $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Между кои цели числа е $\sqrt(50)$ ?
Тъй като $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ и $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Сравнете $\sqrt 2-1$ и $0,5$ . Да предположим $\sqrt2-1>0.5$ : \[\begin(подравнен) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((добавете едно към двете страни)\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадрат и двете части))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнен)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше погрешно и $\sqrt 2-1<0,5$ .
Имайте предвид, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножаването/делянето на двете страни на неравенство на положително число също не променя знака му, но умножаването/делянето на отрицателно число обръща знака на неравенството!
И двете страни на уравнение/неравенство могат да бъдат на квадрат САМО АКО и двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример, можете да квадратирате двете страни, в неравенството $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Имайте предвид това \[\начало(подравнено) &\sqrt 2\приблизително 1,4\\ &\sqrt 3\приблизително 1,7 \end(подравнено)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне при сравняване на числа! $\bullet$ За да извлечете корена (ако е извлечен) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ е, след това между кои „десетки“, и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи с пример.
Вземете $\sqrt(28224)$ . Знаем, че $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ и т.н. Обърнете внимание, че $28224$ е между $10\,000$ и $40\,000$ . Следователно $\sqrt(28224)$ е между $100$ и $200$ .
Сега нека определим между кои „десетки“ е нашето число (тоест, например, между $120$ и $130$ ). От таблицата с квадратите знаем също, че $11^2=121$ , $12^2=144$ и т.н., след това $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ) . И така, виждаме, че \(28224$ е между $160^2$ и $170^2$ . Следователно числото $\sqrt(28224)$ е между $160$ и $170$ .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа при квадратуване дават в края \ (4 \) ? Това са $2^2$ и $8^2$ . Следователно $\sqrt(28224)$ ще завършва с 2 или 8. Нека проверим това. Намерете $162^2$ и $168^2$:
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Следователно $\sqrt(28224)=168$ . Вуаля!

За да се реши адекватно изпита по математика, на първо място е необходимо да се изучи теоретичния материал, който въвежда множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това, намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена лесно и разбираемо за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги са под ръка. А намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика, не само за тези, които се явяват на изпита?

Защото разширява кръгозора ви. Изучаването на теоретичния материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг въпроси, свързани с познанието за света. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
Защото развива интелекта. Изучавайки справочните материали за изпита по математика, както и решаването на различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логически, да формулира мислите правилно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебните материали.