В практическите дейности човек трябва да измерва различни количества, да взема предвид материалите и продуктите на труда, продукцията различни изчисления. Резултатите от различни измервания, преброяване и изчисления са числа. Числата, получени в резултат на измерването, само приблизително, с определена степен на точност, характеризират желаните стойности. Точните измервания не са възможни поради неточности измервателни уреди, несъвършенствата на нашите зрителни органи и самите измервани обекти понякога не ни позволяват да определим тяхната величина с никаква точност.

Така например е известно, че дължината на Суецкия канал е 160 км, разстоянието по него железопътна линияот Москва до Ленинград 651 км. Тук имаме резултатите от измерванията, направени с точност до километър. Ако например дължината правоъгълна площ 29 m, ширина 12 m, тогава вероятно измерванията са направени с точност до метър и части от метър са пренебрегнати,

Преди да направите каквото и да е измерване, е необходимо да решите с каква точност трябва да се извърши, т.е. кои части от мерната единица трябва да се вземат предвид и кои да се пренебрегват.

Ако има някаква стойност но,истинската стойност на която е неизвестна, а приблизителната стойност (приблизителната стойност) на тази стойност е равна на Х,те пишат а х.

С различни измервания на едно и също количество ще получим различни приближения. Всяко от тези приближения ще се различава от истинската стойност на измерената стойност, равна напр. но,с някаква сума, която ще извикаме грешка.Определение. Ако числото x е приблизителна стойност (приближение) на някакво количество, чиято истинска стойност е равна на числото но,тогава модулът на разликата в числата, ноИ хНаречен абсолютна грешкададено приближение и обозначено а х: или просто а. Така, по дефиниция,

а x = a-x (1)

От това определение следва, че

а = х а х (2)

Ако се знае за какво количество говорим, то в нотацията а хиндекс ное пропуснато и равенството (2) се записва, както следва:

a = x x (3)

Тъй като истинската стойност на желаната стойност най-често е неизвестна, е невъзможно да се намери абсолютната грешка в приближението на тази стойност. Можете да посочите във всеки конкретен случай само положително число, по-голямо от което това абсолютна грешкане може да бъде. Това число се нарича граница на абсолютната грешка на апроксимацията на количеството аи означени з а. По този начин, ако хе произволна апроксимация на стойността a за дадена процедура за получаване на приближения, тогава

а x = a-x h а (4)

От изложеното по-горе следва, че ако з ае границата на абсолютната грешка на апроксимацията на количеството но, тогава произволно число, по-голямо от з а, също ще бъде границата на абсолютната грешка на апроксимацията на количеството но.

На практика е обичайно да се избира най-малкото число, което отговаря на неравенството (4), като граница на абсолютната грешка.

Решаване на неравенството а-х ч аполучаваме това носъдържащи се в границите

х-ч а a x + h а (5)

По-строга концепция за границата на абсолютната грешка може да се даде, както следва.

Нека бъде х- много възможни приближения хколичества ноза дадена процедура за получаване на приближение. След това произволно число з, удовлетворяващи условието а-х ч аза всякакви xX, се нарича граница на абсолютната грешка на апроксимациите от множеството х. Означете с з анай-малкото известно число з. Този номер з аи се избира на практика като граница на абсолютната грешка.

Абсолютната грешка на апроксимацията не характеризира качеството на измерванията. Всъщност, ако измерваме каквато и да е дължина с точност от 1 см, тогава в случай, когато говорим сиотносно определянето на дължината на молив, ще бъде лоша точност. Ако с точност от 1 см определите дължината или ширината на волейболното игрище, тогава това ще бъде висока точност.

За характеризиране на точността на измерване се въвежда понятието относителна грешка.

Определение. Ако а х: има абсолютна грешка в апроксимацията хнякакво количество, чиято истинска стойност е равна на числото но, след това съотношението а хкъм модула на число хсе нарича относителна грешка на апроксимацията и се обозначава а хили х.

Така, по дефиниция,

Относителната грешка обикновено се изразява като процент.

За разлика от абсолютната грешка, която най-често е размерна величина, относителната грешка е безразмерна величина.

На практика не се разглежда относителната грешка, а така наречената граница на относителната грешка: такова число Е а, което не може да бъде по-голямо от относителната грешка на апроксимацията на желаната стойност.

По този начин, а х Е а .

Ако з а-- граница на абсолютната грешка на апроксимациите на количеството но, тогава а х з аи следователно

Очевидно произволно число Е, удовлетворяващ условието, ще бъде границата на относителната грешка. На практика обикновено се знае някакво приближение хколичества нои границата на абсолютната грешка. След това числото

1. Числата са точни и приблизителни. Числата, които срещаме на практика, са два вида. Някои дават истинската стойност на количеството, други само приблизителни. Първият се нарича точен, вторият - приблизителен. Най-често е удобно да се използва приблизителен брой вместо точен, особено след като в много случаи точен номеркато цяло е невъзможно да се намери.

Резултатите от операциите с числа дават: с приблизителни числа приблизителни числа. Например. По време на епидемията 60% от жителите на Санкт Петербург се разболяват от грип. Това са приблизително 3 милиона души. с точни числа точни числа Напр. В публиката на лекция по математика има 65 души. приблизителни числа Напр. Средна телесна температура на пациента през деня 37.3: сутрин: 37.2; ден: 36.8 ; вечер 38.

Теорията на приблизителните изчисления позволява: 1) като се знае степента на точност на данните, да се оцени степента на точност на резултатите; 2) взема данни с подходяща степен на точност, достатъчна за осигуряване на необходимата точност на резултата; 3) рационализира процеса на изчисление, като го освободи от онези изчисления, които няма да повлияят на точността на резултата.

1) ако първата (лявата) от изхвърлените цифри е по-малка от 5, тогава последната оставаща цифра не се променя (закръгля надолу); 2) ако първата изхвърлена цифра е по-голяма от 5 или равна на 5, тогава последната оставаща цифра се увеличава с една (закръгляване). Закръгляване: а) до десети 12,34 12,3; б) до стотни 3,2465 3,25; 1038,79. в) до хилядни 3,4335 3,434. г) до хиляди; Това взема предвид следното:

Най-често измерваните в медицината количества: маса m, дължина l, скорост на процеса v, време t, температура t, обем V и др. Да се ​​измери физическа величина означава да се сравни с хомогенна величина, взета като единица. 9 Мерни единици за физически величини: Основна дължина - 1 m - (метър) Време - 1 s - (секунда) Маса - 1 kg - (килограм) Продукти Обем - 1 m³ - (кубичен метър) Скорост - 1 m/s - (метър в секунда)

Префикси към имената на единиците: Множество представки - увеличаване с 10, 100, 1000 и т.н. пъти g - хекто (×100) k - килограм (× 1000) M - мега (×) 1 km (километър) 1 kg (килограм) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g намаление с 10 , 100, 1000 и т.н. пъти d - деци (×0,1) s - санти (× 0,01) m - мили (× 0,001) 1 dm (дециметър) 1dm = 0,1 m 1 cm (сантиметър) 1 cm = 0,01 m 1 mm (милиметър) 1 mm = 0,001 m

За диагностика, лечение, профилактика на заболявания в медицината се използва различно измервателно медицинско оборудване.

Термометър. Първо, трябва да вземете предвид горната и долната граница на измерване. Долната граница е минималната, а горната граница е максималната измерима стойност. Ако очакваната стойност на измерената стойност е неизвестна, по-добре е да вземете устройството с "марж". Например измерване на температурата топла водане извършвайте с уличен или стаен термометър. По-добре е да намерите устройство с горна граница от 100 ° C. Второ, трябва да разберете колко точно трябва да бъде измерено количеството. Тъй като грешката в измерването зависи от стойността на деленето, за повече точни измерванияе избран инструментът с най-малък интервал на скалата.

Грешки при измерване. За измерване на различни диагностични параметри се нуждаете от собствено устройство. Например дължината се измерва с линийка, а температурата с термометър. Но линийките, термометрите, тонометрите и други устройства са различни, така че за да измерите всяка физическа величина, трябва да изберете устройство, което е подходящо за това измерване.

Цената на разделяне на устройството. Температурата на човешкото тяло трябва да се определя точно, лекарствата трябва да се прилагат в строго определено количество, следователно цената на деленията на скалата на измервателното устройство е важна характеристика на всяко устройство. Правилото за изчисляване на цената на деление на уреда За да изчислите цената на деленията на скалата, трябва: а) да изберете двата най-близки дигитализирани щрихи на скалата; б) пребройте броя на деленията между тях; в) Разделете разликата в стойностите около избраните щрихи на броя на деленията.

Цената на разделяне на устройството. Стойност на деление (50-30)/4=5 (ml) Стойност на деление: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 темп., (4-2)/10=0,2 s

Определете цената на разделяне на устройства: 16

Абсолютна грешка при измерване. Грешки неизбежно се появяват при всяко измерване. Тези грешки се дължат на различни фактори. Всички фактори могат да бъдат разделени на три части: грешки, причинени от несъвършенството на инструментите; грешки, причинени от несъвършенството на методите за измерване; грешки, дължащи се на влиянието на случайни фактори, които не могат да бъдат елиминирани. Когато измервате каквато и да е стойност, човек иска да знае не само нейната стойност, но и доколко на тази стойност може да се вярва, колко е точна. За да направите това, е необходимо да знаете колко истинската стойност на дадена величина може да се различава от измерената. За тези цели се въвежда понятието абсолютни и относителни грешки.

Абсолютни и относителни грешки. Абсолютната грешка показва колко е реалната стойност физическо количестворазлична от измерената. Зависи от самото устройство (инструментална грешка) и от процеса на измерване (грешка при отчитане на скалата). Инструменталната грешка трябва да бъде посочена в паспорта на инструмента (като правило тя е равна на делението на скалата на инструмента). Грешката при четене обикновено се приема равна на половината от стойността на деленето. Абсолютната грешка на приблизителната стойност е разликата Δ x \u003d | x - x 0 |, където x 0 е приблизителна стойност, а x е точната стойност на измерената стойност или понякога вместо x те използват A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Абсолютни и относителни грешки. Пример. Известно е, че -0,333 е приблизителна стойност за -1/3. Тогава по дефиниция на абсолютна грешка Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. В много практически важни случаи е невъзможно да се намери абсолютната грешка на апроксимацията поради факта, че точната стойност на количеството е неизвестна. Можете обаче да посочите положително число, повече от което тази абсолютна грешка не може да бъде. Това е произволно число h, което удовлетворява неравенството | ∆x | h Нарича се граница на абсолютната грешка.

В този случай те казват, че стойността на x е приблизително до h, равна на x 0. x \u003d x 0 ± h или x 0 - h x x 0 + h

Абсолютни инструментални грешки на измервателните уреди

Оценка на инструментални грешки на измерените стойности. За повечето измервателни уреди грешката на инструмента е равна на неговото деление на скалата. Изключение правят цифровите инструменти и циферблатите. За цифровите устройства грешката е посочена в техния паспорт и обикновено е няколко пъти по-висока от делението на скалата на устройството. За стрелочните измервателни уреди грешката се определя от техния клас на точност, който е посочен на скалата на инструмента, и границата на измерване. Класът на точност е посочен в скалата на устройството като число, което не е заобиколено от никакви рамки. Например, на показаната фигура класът на точност на манометъра е 1,5. Класът на точност показва колко процента е грешката на устройството от границата на неговите измервания. За манометър със стрелка границата на измерване е 3 атм, съответно грешката при измерване на налягането е 1,5% от 3 атм, тоест 0,045 атм. Трябва да се отбележи, че за повечето указателни устройства тяхната грешка се оказва равна на стойността на деленето на устройството. Както в нашия пример, където цената на деление на барометъра е 0,05 атм.

Абсолютни и относителни грешки. Абсолютната грешка е необходима за определяне на диапазона, в който може да попадне истинската стойност, но за оценка на точността на резултата като цяло, тя не е много показателна. В крайна сметка измерването на дължина от 10 m с грешка от 1 mm със сигурност е много точно, в същото време измерването на дължина от 2 mm с грешка от 1 mm е очевидно изключително неточно. Абсолютната грешка при измерване обикновено се закръглява до една значима цифра ΔA 0,17 0,2. Числовата стойност на резултата от измерването се закръглява, така че последната й цифра да е в същата цифра като цифрата на грешката A=10,332 10,3

Абсолютни и относителни грешки. Наред с абсолютната грешка е обичайно да се разглежда и относителната грешка, която е равна на съотношението на абсолютната грешка към стойността на самата величина. Относителната грешка на приблизително число е съотношението на абсолютната грешка на приблизително число към самото това число: E = Δx. 100% x 0 Относителната грешка показва колко процента от самата стойност може да възникне грешка и е показателна при оценка на качеството на експерименталните резултати.

Пример. При измерване на дължината и диаметъра на капиляра са получени l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Кое от тези измервания е по-точно? При измерване на дължината на капиляра се допуска абсолютна грешка от 10 mm на 100 mm, поради което абсолютната грешка е 10/100=0,1=10%. При измерване на диаметъра на капиляра допустимата абсолютна грешка е 0,1/2,5=0,04=4% Следователно измерването на диаметъра на капиляра е по-точно.

В много случаи не може да се открие абсолютна грешка. Оттук и относителната грешка. Но можете да намерите границата на относителната грешка. Всяко число δ, отговарящо на неравенството | ∆x | / | х о | δ е границата на относителната грешка. По-специално, ако h е границата на абсолютната грешка, тогава числото δ= h/| x o |, е границата на относителната грешка на апроксимацията x o. Оттук. Познаване на границата rel.p-i. δ, може да се намери границата на абсолютната грешка h. h=δ | х о |

Пример. Известно е, че 2=1,41... Намерете относителната точност на приблизителното равенство или границата на относителната грешка на приблизителното равенство 2 1,41. Тук x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x = 2-1,41. Очевидно 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, границата на абсолютната грешка е 0,01, границата на относителната грешка е 1/141

Пример. При четене на показанията от скалата е важно погледът ви да пада перпендикулярно на скалата на инструмента, като същевременно грешката ще бъде по-малка. За да определите показанията на термометъра: 1. определете броя на деленията, 2. ги умножете по цената на делението 3. вземете предвид грешката 4. запишете крайния резултат. t = 20 °C ± 1,5 °C Това означава, че температурата е между 18,5° и 21,5°. Тоест може да бъде например 19, 20 и 21 градуса по Целзий. За да се увеличи точността на измерванията, е обичайно да се повтарят най-малко три пъти и да се изчисли средната стойност на измерената стойност

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Резултати от измерването C 1 = 34,5 C 2 = 33,8 C 3 = 33,9 C 4 = 33 ,5 C 5 с четири стойности c 5 \u002d 0 (средна стойност на c 2 + 4 0) 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 б) Намерете отклонението на стойността от средната стойност Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Намерете абсолютната грешка Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc = (0,6 + 0,4): 4 = 0,275 0,3 g) Намерете относителната грешка δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Запишете крайния отговор c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

ДОМАШНА Подгответе се за практически уроквъз основа на лекцията. Изпълнете задачата. Намерете средната стойност и грешката: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Създаване на презентации по темите: "Закръгляване на стойностите в медицината", "Грешки при измерване", "Медицинско измервателно оборудване"

Въведение

Абсолютна грешка- е оценка на абсолютната грешка на измерването. Изчислено различни начини. Методът на изчисление се определя от разпределението на случайната променлива. Съответно, големината на абсолютната грешка, в зависимост от разпределението на случайната променлива, може да бъде различна. Ако е измерената стойност и е истинската стойност, тогава неравенството трябва да се изпълнява с някаква вероятност, близка до 1. Ако произволна стойностразпределено според нормалния закон, тогава обикновено неговото стандартно отклонение се приема за абсолютна грешка. Абсолютната грешка се измерва в същите единици като самата стойност.

Има няколко начина за записване на количество заедно с неговата абсолютна грешка.

· Обикновено се използва обозначението със знака ±. Например рекордът на 100 метра, поставен през 1983 г 9,930±0,005 s.

· За записване на стойности, измерени с много висока точност, се използва друга нотация: числата, съответстващи на грешката на последните цифри на мантисата, се добавят в скоби. Например, измерената стойност на константата на Болцман е 1,380 6488 (13)?10?23 J/K, което също може да се пише много по-дълго като 1,380 6488?10?23 ±0,000 0013?10?23 J/K.

Относителна грешка- грешка при измерване, изразена като отношение на абсолютната грешка на измерване към действителната или средната стойност на измерената величина (RMG 29-99):.

Относителната грешка е безразмерна величина или се измерва като процент.

Приближаване

Твърде много и твърде малко? В процеса на изчисления човек често трябва да се справя с приблизителни числа. Нека бъде НО- точната стойност на определено количество, наричано по-нататък точното число а.Под приблизителната стойност на количеството НО,или приблизителни числанаречен номер но, което замества точната стойност на количеството НО.Ако но< НО,тогава носе нарича приблизителна стойност на числото И поради липса.Ако но> НО,- тогава в изобилие.Например, 3.14 е приблизително число Рпри недостиг и 3,15 при излишък. За да се характеризира степента на точност на това приближение, се използва концепцията грешкиили грешки.

Грешка D ноприблизителен брой носе нарича разлика на формата

д а = А-но,

където НОе съответното точно число.

Фигурата показва, че дължината на отсечката AB е между 6 cm и 7 cm.

Това означава, че 6 е приблизителната стойност на дължината на сегмента AB (в сантиметри)\u003e с дефицит, а 7 е с излишък.

Означавайки дължината на отсечката с буквата y, получаваме: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина сегмент AB (виж фиг. 149) е по-близо до 6 см, отколкото до 7 см. Приблизително е равно на 6 см. Казват, че числото 6 е получено чрез закръгляне на дължината на отсечката до цели числа.

Абсолютна стойност разликимежду приблизителната и точната (истинската) стойност на дадена величина се нарича абсолютна грешкаприблизителна стойност. Напримерако точният брой 1,214 закръглено до десети, получаваме приблизително число 1,2 . В този случай абсолютната грешка на приблизителния брой ще бъде 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Но в повечето случаи точната стойност на разглежданото количество е неизвестна, а само приблизителна. Тогава абсолютната грешка също е неизвестна. В тези случаи посочете границакоето не надвишава. Този номер се нарича гранична абсолютна грешка.Казват, че точната стойност на едно число е равна на неговата приблизителна стойност с грешка, по-малка от граничната грешка. Например, номер 23,71 е приблизителната стойност на числото 23,7125 до 0,01 , тъй като абсолютната грешка на апроксимацията е равна на 0,0025 и по-малко 0,01 . Тук граничната абсолютна грешка е равна на 0,01 .*

(* Абсолютногрешката е както положителна, така и отрицателна. Например, 1,68 ≈ 1,7 . Абсолютната грешка е 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . границагрешката винаги е положителна).

Граничната абсолютна грешка на приблизителното число " но » се обозначава със символа Δ но . Записване

х ≈ но ( Δ но)

трябва да се разбира по следния начин: точната стойност на количеството х е между тях но +Δ но И но –Δ но, които са наименувани съответно дъноИ Горна граница х и обозначават Хг х И INг х .

Например, ако х≈ 2,3 ( 0,1), тогава 2,2 < х < 2,4 .

Напротив, ако 7,3 < х < 7,4, тогава х≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютна или гранична абсолютна грешка нехарактеризират качеството на измерването. Една и съща абсолютна грешка може да се счита за значителна и незначителна, в зависимост от числото, което изразява измерената стойност.

Например, ако измерваме разстоянието между два града с точност до един километър, тогава такава точност е напълно достатъчна за това измерване, докато в същото време, когато измерваме разстоянието между две къщи на една и съща улица, такава точност ще бъде неприемлива .

Следователно, точността на приблизителната стойност на дадена величина зависи не само от големината на абсолютната грешка, но и от стойността на измерената величина. Ето защо мярката за точност е относителната грешка.

Относителна грешкае съотношението на абсолютната грешка към стойността на приблизителното число. Извиква се съотношението на граничната абсолютна грешка към приблизителното число гранична относителна грешка; обозначете го така: Δ а/а. Обикновено се изразяват относителни и гранични относителни грешки в проценти.

Напримерако измерванията показват, че разстоянието между две точки е по-голямо от 12,3 км, но по-малко 12,7 км, след това за приблизителнозначението му се приема средно аритметичнотези две числа, т.е. тях половин сума, тогава границаабсолютната грешка е полуразликатези числа. В такъв случай х≈ 12,5 ( 0,2). Тук е границата абсолютенгрешката е 0,2 км, и границата

За съвременни задачинеобходимо е използването на сложен математически апарат и разработени методи за тяхното решаване. В този случай често се срещат проблеми, за които аналитичното решение, т.е. решение под формата на аналитичен израз, свързващ изходните данни с необходимите резултати, е или изобщо невъзможно, или е изразено в толкова тромави формули, че е непрактично да се използват за практически цели.

В този случай се използват числени методи за решаване, които позволяват съвсем просто да се получи числено решение на задачата. Числените методи се реализират с помощта на изчислителни алгоритми.

Цялото разнообразие от числени методи е разделено на две групи:

Точни - те приемат, че ако изчисленията се извършват точно, тогава с помощта на краен брой аритметични и логически операции могат да се получат точните стойности на желаните количества.

Приблизителни - които, дори при предположението, че изчисленията се извършват без закръгляване, ви позволяват да получите решение на проблема само с определена точност.

1. стойност и число. Количеството е нещо, което може да бъде изразено като число в определени единици.

Когато говорят за стойността на дадена величина, те имат предвид определено число, наречено числова стойност на количеството, и нейната мерна единица.

По този начин, количеството е характеристика на свойство на обект или явление, което е общо за много обекти, но има индивидуални стойности за всеки от тях.

Стойностите могат да бъдат постоянни или променливи. Ако при определени условия стойността приема само една стойност и не може да я промени, тогава тя се нарича постоянна, ако може да приеме различни значения, тогава е променлива. Да, ускорение свободно паданетяло в това мястоземната повърхност е постоянна стойност, приемаща единична числова стойност g = 9,81 ... m / s2, докато пътят s, изминат материална точкапо време на движението си е променлива.

2. приблизителни стойности на числата. Стойността на количеството, в чиято истинност не се съмняваме, се нарича точна. Често обаче, когато се търси стойността на дадена величина, се получава само нейната приблизителна стойност. В практиката на изчисленията често се налага да се справяте с приблизителни стойности на числата. И така, p е точно число, но поради своята ирационалност може да се използва само неговата приблизителна стойност.

В много задачи, поради сложността, а често и невъзможността за получаване на точни решения, се използват приблизителни методи за решаване, те включват: приблизително решение на уравнения, интерполация на функции, приблизително изчисляване на интеграли и др.

Основното изискване за приблизителни изчисления е съответствието с определената точност на междинните изчисления и крайния резултат. В същото време както увеличаването на грешките (грешките) чрез неоправдано загрубяване на изчисленията, така и запазването на излишни цифри, които не съответстват на действителната точност, са еднакво неприемливи.

Има два класа грешки в резултат на изчисления и закръгляване на числата - абсолютни и относителни.

1. Абсолютна грешка (грешка).

Нека въведем обозначението:

Нека A е точната стойност на някакво количество, Запис а » АЩе четем "a е приблизително равно на A". Понякога ще пишем A = a, като имаме предвид, че говорим за приблизително равенство.

Ако е известно, че а< А, то а называют приблизителна стойност на А с недостатък.Ако a > A, тогава a се извиква приблизителната стойност на A в излишък.

Разликата между точните и приблизителните стойности на дадена величина се нарича грешка при сближаванеи се обозначава с D, т.е.

D \u003d A - a (1)

Грешката D на апроксимацията може да бъде както положителна, така и отрицателна.

За да се характеризира разликата между приблизителната стойност на дадена величина и точната стойност, често е достатъчно да се посочи абсолютната стойност на разликата между точните и приблизителните стойности.

Абсолютната стойност на разликата между приблизителната нои точен НОчисловите стойности се извиква абсолютна грешка (грешка) на апроксимациятаи се обозначава с D но:

д но = ½ но – НО½ (2)

Пример 1При измерване на линия лизползва линейка, чиято стойност на деление на мащаба е 0,5 см. Получихме приблизителна стойност за дължината на сегмента но= 204 см.

Ясно е, че по време на измерването те могат да бъдат сбъркани с не повече от 0,5 см, т.е. абсолютната грешка при измерване не надвишава 0,5 cm.

Обикновено абсолютната грешка е неизвестна, тъй като не е известна точната стойност на числото A. Следователно, някои оценкаабсолютна грешка:

д но <= Dно преди. (3)

къде преди. – пределна грешка (брой, Повече ▼нула), който се задава, като се вземе предвид сигурността, с която е известно числото a.

Ограничаващата абсолютна грешка също се нарича граница на грешка. И така, в дадения пример,
д преди. = 0,5 см.

От (3) получаваме: D но = ½ но – НО½<= Dно преди. . и тогава

но-Д но преди. ≤ НО≤ но+ D но преди. . (4)

означава, a-D но преди. ще бъде приблизително НОс недостатък и а + D но преди – приблизителна стойност НОв изобилие. Те също използват стенография: НО= но±D но преди (5)

От определението на пределната абсолютна грешка следва, че числата D но преди, удовлетворявайки неравенството (3), ще има безкрайно множество. На практика се опитваме да избираме вероятно по-малкоот номера Д преди, удовлетворяващо неравенството D но <= Dно преди.

Пример 2Нека определим граничната абсолютна грешка на числото а=3,14, взето като приблизителна стойност на числото π.

Известно е, че 3,14<π<3,15. Оттук следва, че

|но – π |< 0,01.

Числото D може да се приеме като ограничаваща абсолютна грешка но = 0,01.

Въпреки това, ако вземем предвид това 3,14<π<3,142 , тогава получаваме по-добра оценка :D но= 0,002, тогава π ≈3,14 ±0,002.

Относителна грешка (грешка).Познаването само на абсолютната грешка не е достатъчно, за да се характеризира качеството на измерването.

Нека например при претегляне на две тела се получават следните резултати:

P 1 = 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Въпреки че абсолютните грешки на измерването и на двата резултата са еднакви, качеството на измерване в първия случай ще бъде по-добро, отколкото във втория. Характеризира се с относителна грешка.

Относителна грешка (грешка)приближение на числото НОсе нарича коефициент на абсолютна грешка D априближение до абсолютната стойност на числото A:

Тъй като точната стойност на дадена величина обикновено е неизвестна, тя се заменя с приблизителна стойност и след това:

Ограничаваща относителна грешкаили граница на относителната грешка на апроксимацията,наречен номер d и преди.>0, така че:

д но<= д и преди.

За ограничаващата относителна грешка може очевидно да се вземе отношението на граничната абсолютна грешка към абсолютната стойност на приблизителната стойност:

От (9) лесно се получава следното важно отношение:

∆и преди. = |а| д и преди.

Ограничаващата относителна грешка обикновено се изразява като процент:

Пример.Основата на естествените логаритми за изчислението се приема равна на д=2,72. Взехме като точна стойност д m = 2,7183. Намерете абсолютните и относителните грешки на приблизително число.

д д = ½ д – д t ½=0,0017;

.

Стойността на относителната грешка остава непроменена с пропорционална промяна в най-приблизителното число и неговата абсолютна грешка. И така, за числото 634,7, изчислено с абсолютна грешка D = 1,3, и за числото 6347 с грешка D = 13, относителните грешки са еднакви: д= 0,2.