Графика на функцията корен кубичен от x 1. Функция y \u003d трети корен от x, нейните свойства и графика

Тема „Коренът на степента П„Препоръчително е да го разделите на два урока. В първия урок разгледайте кубичния корен, сравнете неговите свойства с аритметичния квадратен корен и разгледайте графиката на тази функция на кубичен корен. След това във втория урок учениците ще разберат по-добре концепция за короната П-та степен. Сравнението на два вида корени ще помогне да се избегнат "типични" грешки за наличието на стойности от отрицателни изрази, които са под знака на корена.

Преглед на съдържанието на документа
"кубичен корен"

Тема на урока: корен куб

Жихарев Сергей Алексеевич, учител по математика, MKOU "Пожилинская школа № 13"

Цели на урока:

• въвеждат понятието кубичен корен;
• развиват умения за изчисляване на кубични корени;
• повторете и обобщете знанията за аритметичния квадратен корен;
• продължете да се подготвяте за GIA.

Проверка на д.з.

Едно от числата по-долу е маркирано на координатната линия с точка НО. Въведете този номер.

Каква е концепцията на последните три задачи?

Какъв е корен квадратен от число а ?

Какъв е аритметичният квадратен корен от число а ?

Какви ценности могат Корен квадратен?

Може ли коренният израз да бъде отрицателно число?

Назовете куб сред тези геометрични тела

Какви са свойствата на куба?

Как да намерим обема на куб?

Намерете обема на куб, ако страните му са равни:

Нека решим проблема

Обемът на куба е 125 см³. Намерете страната на куба.

Нека ръбът на куба е х cm, тогава обемът на куба е х³ см³. По условие х³ = 125.

следователно, х= 5 см.

номер х= 5 е коренът на уравнението х³ = 125. Това число се нарича корен кубили трети коренот 125.

Определение.

Трети корен от число атози номер се нарича б, чиято трета степен е равна на а .

Обозначаване.

Друг подход за въвеждане на концепцията за кубичен корен

Като се има предвид стойността на кубичната функция а, можете да намерите стойността на аргумента на кубичната функция в тази точка. Ще бъде равно, тъй като извличането на корен е обратното на издигането на степен.

квадратни корени.

Определение. Квадратният корен от a назовете числото, на което квадратът е равен а .

Определение. Аритметичен квадратен корен от a е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на а .

Използва се нотацията:

В а

кубични корени.

Определение. корен куб от назовете числото, чийто куб е равен а .

Използва се нотацията:

„кубичен корен от а", или

„3-ти корен на а »

Изразът има смисъл за всеки а .

Стартирайте програмата MyTestStudent.

Отворете теста „Урок за 9 клас“.

Минута почивка

Какви уроци или

срещнахте в живота си

с концепцията за корен?

"уравнението"

Когато решиш уравнението, приятелю,

Трябва да го намериш гръбначния стълб.

Значението на буквата е лесно да се провери,

Поставете го внимателно в уравнението.

Ако получите правилното равенство,

Че корен незабавно извикайте стойността.

Как разбирате поговорката на Козма Прутков „Погледни в корена“.

Кога се използва този израз?

В литературата и философията съществува понятието "Коренът на злото".

Как разбирате този израз?

В какъв смисъл се използва този израз?

Помислете дали кубичният корен винаги се извлича лесно и точно?

Какво може да се използва за намиране на приблизителни стойности на кубичния корен?

Използване на функционалната графика в = х³, можете грубо да изчислите кубичните корени на някои числа.

Използване на функционалната графика

в = х³ устно намерете приблизителната стойност на корените.

Функциите принадлежат ли на графиката

точки: A(8;2); В (216;–6)?

Може ли субрадикалният израз на кубичен корен да бъде отрицателен?

Каква е разликата между корен кубичен и корен квадратен?

Може ли кубичният корен да бъде отрицателен?

Определете трети корен.

Дадени са основните свойства функция за захранване, включително формули и свойства на корените. Представени са производната, интеграла, степенния ред и представянето чрез комплексни числа на степенната функция.

Определение

Определение
Силова функция с експонента pе функцията f (x) = xp, чиято стойност в точката x е равна на стойността на експоненциалната функция с основа x в точката p .
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0 .

За естествените стойности на експонента степенната функция е продукт на n числа, равни на x:
.
Дефиниран е за всички реални .

За положителни рационални стойности на експонента степенната функция е произведението на n корена от степен m от числото x:
.
За нечетно m той е дефиниран за всички реални x. За четно m степенната функция е дефинирана за неотрицателна .

За отрицателна функция мощността се дефинира по формулата:
.
Следователно той не е дефиниран в точката.

За ирационални стойности на експонента p, експоненциалната функция се определя по формулата:
,
където a е произволно положително число, не равно на едно: .
За , то е дефинирано за .
За , функцията на мощността е дефинирана за .

Приемственост. Силовата функция е непрекъсната в своята област на дефиниране.

Свойства и формули на степенната функция за x ≥ 0

Тук разглеждаме свойствата на степенната функция за не отрицателни стойностиаргумент x . Както бе споменато по-горе, за някои стойности на експонента p, експоненциалната функция е дефинирана и за отрицателни стойности на x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени от свойствата при , като се използва четно или нечетно четно число. Тези случаи са обсъдени и илюстрирани подробно на страницата "".

Степенна функция, y = x p , с експонент p има следните свойства:
(1.1) дефинирани и непрекъснати на снимачната площадка
в ,
в ;
(1.2) има много значения
в ,
в ;
(1.3) стриктно се увеличава при ,
стриктно намалява при ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказателството за свойствата е дадено на страницата Power Function (Доказателство за непрекъснатост и свойства).

Корени - определение, формули, свойства

Определение
Корен от x на степен на nе числото, чието повишаване на степен n дава x:
.
Тук n = 2, 3, 4, ... - естествено число, по-голямо от едно.

Можете също така да кажете, че коренът на числото x от степен n е коренът (тоест решението) на уравнението
.
Имайте предвид, че функцията е обратна на функцията.

Корен квадратен от xе корен от степен 2: .

Кубичен корен от xе корен от степен 3: .

Равномерна степен

За четни степени n = 2 м, коренът е дефиниран за x ≥ 0 . Често използвана формула е валидна както за положително, така и за отрицателно x:
.
За корен квадратен:
.

Тук е важен редът, в който се извършват операциите - тоест първо се извършва квадратурата, което води до неотрицателно число и след това от него се извлича корен (от неотрицателно число можете да извлечете корен квадратен ). Ако променим реда: , тогава за отрицателно x коренът ще бъде недефиниран, а с него и целият израз ще бъде недефиниран.

нечетна степен

За нечетни степени коренът е дефиниран за всички x:
;
.

Свойства и формули на корените

Коренът на x е степенна функция:
.
За x ≥ 0 следните формули са валидни:
;
;
, ;
.

Тези формули могат да се прилагат и за отрицателни стойности на променливите. Необходимо е само да се гарантира, че радикалното изразяване на четните правомощия не е отрицателно.

Частни ценности

Коренът от 0 е 0: .
Коренът от 1 е 1: .
Корен квадратен от 0 е 0: .
Корен квадратен от 1 е 1: .

Пример. Корен от корени

Помислете за примера за корен квадратен от корени:
.
Преобразувайте вътрешния квадратен корен, като използвате горните формули:
.
Сега нека трансформираме оригиналния корен:
.
Така,
.

y = x p за различни стойности на експонента p.

Ето графиките на функцията за неотрицателни стойности на аргумента x. Графиките на степенната функция, дефинирана за отрицателни стойности на x, са дадени на страницата "Мощна функция, нейните свойства и графики"

Обратна функция

Обратната на степенна функция с степен p е степенна функция с степен 1/p .

Ако , тогава .

Производна на мощностната функция

Производна от n-ти ред:
;

Извеждане на формули >>>

Интеграл на мощностна функция

P≠- 1 ;
.

Разширяване на силовата серия

В - 1 < x < 1 се извършва следното разлагане:

Изрази по отношение на комплексни числа

Помислете за функция на комплексна променлива z :
е (z) = z t.
Изразяваме комплексната променлива z чрез модула r и аргумента φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Представяме комплексното число t като реални и въображаеми части:
t = p + i q .
Ние имаме:

Освен това, ние вземаме предвид, че аргументът φ не е еднозначно дефиниран:
,

Да разгледаме случая, когато q = 0 , тоест експонентът е реално число, t = p. Тогава
.

Ако p е цяло число, тогава kp също е цяло число. Тогава, поради периодичността на тригонометричните функции:
.
т.е експоненциална функцияс целочислен показател за даден z има само една стойност и следователно е еднозначен.

Ако p е ирационално, тогава произведенията на kp не дават цяло число за всяко k. Тъй като k преминава през безкрайна поредица от стойности k = 0, 1, 2, 3, ..., то функцията z p има безкрайно много стойности. Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2 пи(едно завъртане), преминаваме към нов клон на функцията.

Ако p е рационално, то може да бъде представено като:
, където m,nса цели числа без общи делители. Тогава
.
Първите n стойности, за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, дайте n различни значения kp :
.
Следващите стойности обаче дават стойности, които се различават от предишните с цяло число. Например, за k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометрични функции, чиито аргументи се различават по кратни на 2 пи, имат равни стойности. Следователно, с по-нататъшно увеличаване на k, получаваме същите стойности на z p като за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

По този начин експоненциалната функция с рационален индикаторстепента е многозначна и има n стойности (клонове). Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2 пи(едно завъртане), преминаваме към нов клон на функцията. След n такива завои се връщаме към първия клон, от който е започнало обратното броене.

По-специално, корен от степен n има n стойности. Като пример разгледайте n-тия корен от реално положително число z = x. В този случай φ 0 = 0 , z = r = |z| = х, .
.
И така, за корен квадратен, n = 2 ,
.
За четно k, (- 1 ) k = 1. За нечетно k, (- 1 ) k = - 1.
Тоест квадратният корен има две значения: + и -.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.

Вместо въведение

Използването на съвременни технологии (CSE) и учебни пособия (мултимедийна дъска) в уроците помага на учителя да планира и провежда ефективни уроци, създава условия за разбиране, запаметяване и упражняване на умения на учениците.

Урокът се оказва динамичен и интересен, ако комбинирате различни форми на обучение по време на урока.

В съвременната дидактика има четири общи организационни формиизучаване на:

• индивидуално медиирано;
• парна баня;
• група;

колективни (по двойки от взаимозаменяем състав). (Dyachenko V.K. Съвременна дидактика. - М .: Национално образование, 2005).

В традиционен урок по правило се използват само първите три изброени по-горе организационни форми на обучение. колективна формапреподаването (работа по двойки на смени) практически не се използва от учителя. Тази организационна форма на обучение обаче дава възможност на екипа да обучи всеки и всеки да участва активно в обучението на другите. Колективната форма на обучение е водеща в КСО технологията.

Един от най-разпространените методи на технологията на колективния начин на обучение е методът "Взаимно обучение".

Тази „магическа“ техника е добра във всеки предмет и във всеки урок. Целта е обучение.

Обучението е наследник на самоконтрола, помага на ученика да установи контакта си с предмета на обучение, като улеснява намирането на правилните стъпки-действия. Чрез обучение в усвояване, консолидиране, прегрупиране, преразглеждане, прилагане на знания се осъществява развитието на човешките познавателни способности. (Яновицкая Е.В. Как да преподаваш и учиш в класната стая, така че да искаш да учиш. Справочник. - Санкт Петербург: Образователни проекти, М.: Издател А.М. Кушнир, 2009.-с.14;131)

Това ще ви помогне бързо да повторите всяко правило, да запомните отговорите на проучените въпроси, да консолидирате необходимото умение. Оптималното време за работа по метода е 5-10 минути. По правило работата по учебни карти се извършва по време на устно броене, тоест в началото на урока, но по преценка на учителя може да се извърши на всеки етап от урока, в зависимост от неговите цели и структура. В картата за обучение може да има от 5 до 10 прости примера (въпроси, задачи). Всеки ученик в класа получава карта. Картите са различни за всеки или различни за всеки в „консолидирания отряд“ (деца, седнали на един и същи ред). Консолидирана чета (група) е временно сътрудничество от ученици, образувано за изпълнение на конкретна учебна задача. (Яловец T.V. Технологията на колективния метод на преподаване в професионалното развитие на учителя: Учебно-методическо ръководство. - Новокузнецк: Издателство на IPK, 2005. - С. 122)

Проект за урок по темата „Функция y=, нейните свойства и графика“

В проекта на урока, чиято тема е: „ Функция y=, нейните свойства и графика”е представено използването на техниката на взаимното обучение в комбинация с използването на традиционни и мултимедийни учебни помагала.

Тема на урока: „ Функция y=, неговите свойства и графика”

цели:

• подготовка за контролна работа;
• проверка на познаването на всички свойства на функцията и способността да се начертават функционални графики и да се четат техните свойства.

задачи: ниво предмет:

ниво на свръхпредмет:

• научете се да анализирате графична информация;
• развиват способността за водене на диалог;
• развиват умението и уменията за работа с интерактивна дъска, използвайки примера за работа с графики.

Структура на урока	Време
1. Информационен вход на учителя (ITI)	5 минути.
2. Актуализация на основните знания: работа по двойки на смени по методика “Взаимно обучение”	8 мин.
3. Запознаване с темата “Функция y=, нейните свойства и графика”: презентация на учителя	8 мин.
4. Консолидиране на новоизучения и вече преминат материал по темата „Функция”: с помощта на интерактивна дъска	15 минути.
5. Самоконтрол : под формата на тест	7 мин.
6. Обобщаване, записване на домашни.	2 минути.

Нека разгледаме по-подробно съдържанието на всеки етап.

1. Въвеждането на информация за учителя (ITI) включва Организиране на времето; изразяване на темата, целта и плана на урока; показване на извадка от работа по двойки по метода на взаимното обучение.

Демонстрирането на извадка от работа по двойки от учениците на този етап от урока е препоръчително да се повтори алгоритъма на работата на техниката, от която се нуждаем, т.к. на следващия етап от урока върху него се планира работата на целия класен екип. В същото време можете да назовете грешките в работата според алгоритъма (ако има такива), както и да оцените работата на тези ученици.

2. Актуализацията на референтните знания се извършва по двойки сменен състав по метода на взаимното обучение.

Алгоритъмът на методиката включва индивидуални, двойни (статични двойки) и колективни (двойки сменен състав) организационни форми на обучение.

Индивидуално: всеки, който получи картата, се запознава със съдържанието й (чете въпросите и отговорите на гърба на картата).

• първо(в ролята на „обучаем“) чете задачата и отговаря на въпросите от картата на партньора;
• второ(в ролята на "треньор") - проверява правилността на отговорите на гърба на картата;
• по подобен начин работете върху друга карта, като сменяте ролите;
• направете отметка в индивидуален лист и сменете карти;
• преминете към нов чифт.

Колективно:

• в новата двойка работят както в първата; преминаване към нов чифт и т.н.

Броят на преходите зависи от времето, отделено от учителя този етапурок, от старанието и бързината на разбиране на всеки ученик и от партньорите в сътрудничество.

След работа по двойки учениците правят бележки върху листовете за запис, учителят извършва количествен и качествен анализ на работата.

Списъкът може да изглежда така:

Иванов Петя 7 "б" клас

датата	Номер на карта	Брой грешки	с кого си работил
20.12.09	№7	0	Сидоров К.
	№3	2	Петрова М.
	№2	1	Самойлова З.

3. Запознаването с темата „Функцията y =, нейните свойства и графика” се осъществява от учителя под формата на презентация с помощта на мултимедийни средства за обучение (Приложение 4). От една страна, това е опция за визуализация, която е разбираема за съвременните ученици, от друга страна, спестява време за обяснение на нов материал.

4. Затвърждаване на новоизучения и вече пропуснат материал по темата „Функция ” организирани в два варианта, като се използват традиционни учебни помагала (табла, учебник) и иновативни (интерактивна дъска).

Първо се предлагат няколко задачи от учебника за затвърждаване на новоизучения материал. Използва се учебникът, използван за преподаване. Работата се извършва едновременно с целия клас. В този случай един ученик изпълнява задачата “а” - на традиционна дъска; другата е задача “b” на интерактивната дъска, останалите ученици записват решенията на същите задачи в тетрадка и сравняват решението си с решението, представено на дъските. След това учителят оценява работата на учениците на черната дъска.

След това, за по-бързо консолидиране на изучавания материал по темата „Функция“, се предлага фронтална работа с интерактивна дъска, която може да бъде организирана по следния начин:

• задачата и графикът се появяват на интерактивната дъска;
• ученик, който иска да отговори, отива на дъската, изпълнява необходимите конструкции и озвучава отговора;
• на дъската се появява нова задача и нов график;
• Друг ученик излиза да отговори.

Така за кратък период от време е възможно да се решат доста задачи, да се оценят отговорите на учениците. Някои интересни задачи (подобни на задачи от предстоящите контролна работа), могат да бъдат записани в тетрадка.

5. На етапа на самоконтрол на студентите се предлага тест, последван от самоизпит (Приложение 3).

литература

1. Дяченко, В.К. Съвременна дидактика [Текст] / В.К. Дяченко - М.: Народно образование, 2005.
2. Яловец, Т.В. Технологията на колективния метод на обучение в професионалното развитие на учителя: Учебно-методическо ръководство [Текст] / Т.В. Яловец. - Новокузнецк: Издателство IPC, 2005.
3. Яновицкая, Е.В. Как да преподавате и учите в класната стая, така че да искате да учите. Справочник [Текст] / Е. В. Яновицкая. - Санкт Петербург: Образователни проекти, М.: Издател A.M. Кушнир, 2009 г.

Основни цели:

1) да се формира представа за целесъобразността на обобщено изследване на зависимостите на реалните величини на примера на количествата, свързана връзка y=

2) за формиране на способност за начертаване на y= и неговите свойства;

3) повторете и консолидирайте методите на устни и писмени изчисления, квадратура, извличане на квадратен корен.

Оборудване, демонстрационен материал: раздаване.

1. Алгоритъм:

2. Образец за изпълнение на задачата в групи:

3.Образец за самостоятелна проверка на самостоятелна работа:

4. Карта за етапа на размисъл:

1) Разбрах как да изобразя функцията y=.

2) Мога да изброя имотите му според графика.

3) Не съм допускал грешки в самостоятелната си работа.

4) Направих грешки в самостоятелната работа (избройте тези грешки и посочете причината за тях).

По време на занятията

1. Самоопределяне към учебни дейности

Предназначение на сцената:

1) включва учениците в учебни дейности;

2) определете съдържанието на урока: продължаваме да работим с реални числа.

организация учебен процесна стъпка 1:

Какво учихме в последния урок? (Изучавали сме много реални числа, действия с тях, изградиха алгоритъм за описание на свойствата на функция, повториха функциите, изучавани в 7 клас).

– Днес ще продължим да работим с множество реални числа, функция.

2. Актуализиране на знанията и отстраняване на трудности в дейностите

Предназначение на сцената:

1) актуализиране на образователното съдържание, необходимо и достатъчно за възприемане на нов материал: функция, независима променлива, зависима променлива, графики

y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = x 2,

2) да актуализира умствените операции, необходими и достатъчни за възприемане на нов материал: сравнение, анализ, обобщение;

3) фиксирайте всички повтарящи се концепции и алгоритми под формата на схеми и символи;

4) за фиксиране на индивидуална трудност в дейността, демонстрираща недостатъчността на съществуващите знания на лично значимо ниво.

Организация на образователния процес на етап 2:

1. Нека си припомним как можете да зададете зависимостите между количествата? (Чрез текст, формула, таблица, графика)

2. Какво се нарича функция? (Връзката между две величини, където всяка стойност на една променлива съответства на една стойност на другата променлива y = f(x)).

Как се нарича х? (Независима променлива - аргумент)

как се казваш? (Зависима променлива).

3. Научихме ли функциите в 7 клас? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2, ).

Индивидуална задача:

Каква е графиката на функциите y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Идентифициране на причините за затруднения и поставяне на целта на дейността

Предназначение на сцената:

1) организира комуникативно взаимодействие, по време на което отличителна чертазадачи, предизвикали затруднения в учебните дейности;

2) се споразумеят за целта и темата на урока.

Организация на образователния процес на етап 3:

Какво е специалното в тази задача? (Зависимостта се дава по формулата y =, която все още не сме срещали).

- Каква е целта на урока? (Запознайте се с функцията y \u003d, нейните свойства и графика. Функцията в таблицата определя вида на зависимостта, изграждайте формула и графика.)

- Можете ли да познаете темата на урока? (Функция y=, нейните свойства и графика).

- Запишете темата в тетрадката си.

4. Изграждане на проект за излизане от затруднение

Предназначение на сцената:

1) организира комуникативното взаимодействие за изграждане на нов начин на действие, който елиминира причината за идентифицираната трудност;

2) поправи нов начиндействия в знакова, словесна форма и с помощта на еталон.

Организация на образователния процес на етап 4:

Работата на етапа може да бъде организирана в групи, като поканите групите да начертаят y = , след което да анализират резултатите. Също така могат да бъдат предложени групи за описване на свойствата на тази функция според алгоритъма.

5. Първична консолидация във външната реч

Целта на етапа: закрепване на изучаваното учебно съдържание във външната реч.

Организация на образователния процес на етап 5:

Изградете графика y= - и опишете нейните свойства.

Свойства y= - .

1.Обхват на дефинирането на функцията.

2.Обхват на стойностите на функциите.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0, ако x=0.

г<0, если х(0;+)

4.Увеличаване, намаляване на функцията.

Функцията намалява при x.

Нека начертаем y=.

Нека изберем неговата част от сегмента. Нека отбележим това при Наим. = 1 за x = 1 и y макс. \u003d 3 за x \u003d 9.

Отговор: наим. = 1, при макс. =3

6. Самостоятелна работа със самотест по стандарта

Целта на етапа: да тествате способността ви да прилагате ново образователно съдържание в стандартни условия въз основа на сравняване на вашето решение със стандарт за самотестване.

Организация на образователния процес на етап 6:

Учениците изпълняват задачата самостоятелно, провеждат самотест по стандарта, анализират, коригират грешките.

Нека начертаем y=.

Използвайки графиката, намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията в сегмента.

7. Включване в системата на знанието и повторение

Целта на етапа: да се тренират уменията за използване на ново съдържание във връзка с предварително изучавано: 2) повторете образователното съдържание, което ще се изисква в следващите уроци.

Организация на образователния процес на етап 7:

Решете графично уравнението: \u003d x - 6.

Един ученик на дъската, останалите в тетрадките.

8. Отражение на дейността

Предназначение на сцената:

1) фиксирайте новото съдържание, научено в урока;

2) оценяват собствените си дейности в урока;

3) благодарете на съучениците, които помогнаха за получаване на резултата от урока;

4) фиксирайте неразрешените трудности като насоки за бъдещи учебни дейности;

5) Обсъдете и запишете домашното.

Организация на образователния процес на етап 8:

- Момчета, каква беше целта ни днес? (Проучете функцията y =, нейните свойства и графика).

- Какви знания ни помогнаха да постигнем целта? (Способността за търсене на модели, способността за четене на графики.)

- Прегледайте дейностите си в клас. (Карти за размисъл)

Домашна работа

т. 13 (до пример 2) № 13.3, 13.4

Решете графично уравнението:

Начертайте графика на функцията и опишете нейните свойства.

Урок и презентация на тема: "Силови функции. Кубичен корен. Свойства на кубичен корен"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 9 клас
Образователен комплекс 1C: "Алгебрични задачи с параметри, 9-11 клас" Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.0"

Определение на степенна функция - корен кубичен

Момчета, ние продължаваме да изучаваме силовите функции. Днес ще говорим за функцията Cube Root от x.
Какво е кубичен корен?
Число y се нарича кубичен корен от x (корен от трета степен), ако $y^3=x$ е вярно.
Те се обозначават като $\sqrt(x)$, където x е коренното число, 3 е степента.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Както виждаме, кубичният корен може да бъде извлечен и от отрицателни числа. Оказва се, че нашият корен съществува за всички числа.
Третият корен от отрицателно число е равен на отрицателно число. При издигане на нечетна степен знакът се запазва, третата степен е нечетна.

Нека проверим равенството: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Нека $\sqrt((-x))=a$ и $\sqrt(x)=b$. Нека повдигнем и двата израза на трета степен. $–x=a^3$ и $x=b^3$. Тогава $a^3=-b^3$ или $a=-b$. При нотацията на корените получаваме желаната идентичност.

Свойства на кубичните корени

а) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
б) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Нека докажем второто свойство. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Открихме, че числото $\sqrt(\frac(a)(b))$ в куба е равно на $\frac(a)(b)$ и след това е равно на $\sqrt(\frac(a) (b))$, което и трябваше да бъде доказано.

Момчета, нека начертаем нашата функционална графика.
1) Областта на дефиниция е множеството от реални числа.
2) Функцията е странна, защото $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. След това разгледайте нашата функция за $x≥0$, след което отразете графиката спрямо началото.
3) Функцията се увеличава за $х≥0$. За нашата функция по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията, което означава увеличаване.
4) Функцията не е ограничена отгоре. Всъщност от произволно голямо число можете да изчислите корена от трета степен и можем да се придвижим до безкрайност, намирайки все по-големи стойности на аргумента.
5) За $x≥0$ най-малката стойност е 0. Това свойство е очевидно.
Нека построим графика на функцията по точки за x≥0.

Нека изградим нашата графика на функцията върху целия домейн на дефиниция. Не забравяйте, че нашата функция е странна.

Свойства на функцията:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Нечетна функция.
3) Увеличава се с (-∞;+∞).
4) Неограничен.
5) Няма минимална или максимална стойност.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Изпъкнал надолу с (-∞;0), изпъкнал нагоре с (0;+∞).

Примери за решаване на степенни функции

Примери
1. Решете уравнението $\sqrt(x)=x$.
Решение. Нека построим две графики на една и съща координатна равнина $y=\sqrt(x)$ и $y=x$.

Както можете да видите, нашите графики се пресичат в три точки.
Отговор: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Изграждане на графика на функцията. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Решение. Нашата графика се получава от графиката на функцията $y=\sqrt(x)$, чрез паралелно изместване на две единици надясно и три надолу.

3. Изградете функционална графика и я прочетете. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Решение. Нека построим две графики на функции в една и съща координатна равнина, като вземем предвид нашите условия. За $х≥-1$ изграждаме графика на кубичен корен, за $х≤-1$ графика на линейна функция.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Функцията не е нито четна, нито нечетна.
3) Намалява с (-∞;-1), увеличава се с (-1;+∞).
4) Неограничен отгоре, ограничен отдолу.
5) Няма максимална стойност. Най-малката стойност е минус едно.
6) Функцията е непрекъсната на цялата реална линия.
7) E(y)= (-1;+∞).

Задачи за самостоятелно решаване

1. Решете уравнението $\sqrt(x)=2-x$.
2. Начертайте функцията $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Изградете графика на функцията и я прочетете. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.