Кои числа са естествени. Изучаване на точния предмет: естествените числа са какви числа, примери и свойства

Естествените числа са едно от най-старите математически понятия.

В далечното минало хората не са знаели числата и когато е трябвало да преброят предмети (животни, риби и т.н.), са го правели по различен начин от нас сега.

Броят на предметите беше сравнен с части от тялото, например с пръстите на ръката, и те казаха: „Имам толкова ядки, колкото има пръсти на ръката“.

С течение на времето хората разбраха, че пет ядки, пет кози и пет зайца имат общо свойство - броят им е пет.

Помня!

Цели числаса числа, започващи с 1, получени при броене на обекти.

1, 2, 3, 4, 5…

най-малкото естествено число — 1 .

най-голямо естествено числоне съществува.

При броене числото нула не се използва. Следователно нулата не се счита за естествено число.

Хората се научиха да пишат числа много по-късно, отколкото да броят. Първо, те започнаха да представят единицата с една пръчка, след това с две пръчки - числото 2, с три - числото 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Тогава се появиха специални знаци за обозначаване на числата - предшествениците на съвременните числа. Числата, които използваме за запис на числа, произхождат от Индия преди около 1500 години. Арабите ги пренесли в Европа, така се наричат арабски цифри.

Има общо десет цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Тези цифри могат да се използват за запис на всяко естествено число.

Помня!

естествена серияе последователността на всички естествени числа:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В естествения ред всяко число е по-голямо от предишното с 1.

Естественият ред е безкраен, в него няма най-голямо естествено число.

Системата за броене, която използваме, се нарича десетична позиция.

Десетично, защото 10 единици от всяка цифра образуват 1 единица от най-значимата цифра. Позиционен, защото стойността на една цифра зависи от мястото й в записа на число, тоест от цифрата, в която е записана.

Важно!

Класовете след милиарда са наречени според латинските имена на числата. Всяка следваща единица съдържа хиляда предишни.

• 1 000 милиарда = 1 000 000 000 000 = 1 трилион („три“ е латински за „три“)
• 1 000 трилиона = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрилион („quadra“ е латински за „четири“)
• 1 000 квадрилиона = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтилион („quinta“ е латински за „пет“)

Физиците обаче са открили число, което надминава броя на всички атоми (най-малките частици на материята) в цялата Вселена.

Този номер има специално име - googol. Гугол е число, което има 100 нули.

Цели числа- естествените числа са числа, които се използват за броене на обекти. Множеството от всички естествени числа понякога се нарича естествен ред: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и т.н. .

За записване на естествени числа се използват десет цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С тяхна помощ можете да напишете всяко естествено число. Тази нотация се нарича десетична.

Естественият ред от числа може да бъде продължен за неопределено време. Няма число, което да е последно, защото към последното винаги може да се добави едно и ще се получи число, което вече е по-голямо от желаното. В този случай казваме, че няма най-голямо число в естествения ред.

Цифри от естествени числа

При писане на произволно число с помощта на числа мястото, на което стои числото в числото, е от решаващо значение. Например числото 3 означава: 3 единици, ако е последно в числото; 3 десетки, ако ще бъде в числото на предпоследно място; 4 стотици, ако тя ще бъде в числото на трето място от края.

Последната цифра означава цифрата на единиците, предпоследната - цифрата на десетките, 3 от края - цифрата на стотиците.

Едноцифрени и многоцифрени

Ако в която и да е цифра на числото има 0, това означава, че в тази цифра няма единици.

Числото 0 означава нула. Нулата е "никоя".

Нулата не е естествено число. Въпреки че някои математици смятат друго.

Ако числото се състои от една цифра, то се нарича едноцифрено, двуцифрено, трицифрено и т.н.

Числата, които не са едноцифрени, също се наричат ​​многоцифрени.

Цифрови класове за четене на големи естествени числа

За да четете големи естествени числа, числото се разделя на групи от по три цифри, започвайки от десния край. Тези групи се наричат ​​класове.

Първите три цифри от десния ръб съставляват класа единици, следващите три класа хиляди, следващите три класа милиони.

Милион е хиляда хиляди, за протокола използват съкращението милион 1 милион = 1 000 000.

Милиард = хиляда милиона. За запис се използва съкращението милиард 1 милиард = 1 000 000 000.

Напишете и прочетете пример

Това число има 15 единици в клас милиарди, 389 единици в клас милиони, нула единици в клас хиляди и 286 единици в клас единици.

Това число се чете така: 15 милиарда 389 милиона 286.

Прочетете числата отляво надясно. На свой ред се извиква броят на единиците от всеки клас и след това се добавя името на класа.

Естествените числа са познати на човека и интуитивни, защото ни заобикалят от детството. В статията по-долу ще дадем основна представа за значението на естествените числа, ще опишем основните умения за писането и четенето им. Цялата теоретична част ще бъде придружена от примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обща представа за естествените числа

На определен етап от развитието на човечеството възникна задачата да се преброят определени обекти и да се обозначи тяхното количество, което от своя страна изискваше намиране на инструмент за решаване на този проблем. Естествените числа станаха такъв инструмент. Основната цел на естествените числа също е ясна - да дадат представа за броя на обектите или серийния номер на конкретен обект, ако говорим за набор.

Логично е, че за да използва човек естествени числа, е необходимо да има начин да ги възприема и възпроизвежда. И така, естествено число може да бъде озвучено или изобразено, което е естествен начин за предаване на информация.

Помислете за основните умения за изразяване (четене) и изображения (писване) на естествени числа.

Десетична нотация на естествено число

Припомнете си как се показват следните знаци (посочваме ги, разделени със запетаи): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Тези знаци се наричат ​​числа.

Сега да приемем като правило, че при изобразяване (записване) на всяко естествено число се използват само посочените цифри без участието на други символи. Нека цифрите при запис на естествено число имат еднаква височина, записват се една след друга на ред и винаги има цифра вляво, която е различна от нула.

Нека посочим примери за правилно записване на естествени числа: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Отстъпите между цифрите не винаги са еднакви, това ще бъде разгледано по-подробно по-долу при изучаване на класовете числа. Приведените примери показват, че при записване на естествено число не е необходимо да има всички цифри от горния ред. Някои или всички от тях могат да се повторят.

Определение 1

Записите от вида: 065 , 0 , 003 , 0791 не са записи на естествени числа, т.к. вляво е числото 0.

Правилното записване на естествено число, направено, като се вземат предвид всички описани изисквания, се нарича десетичен запис на естествено число.

Количествено значение на естествените числа

Както вече споменахме, естествените числа първоначално носят, наред с други неща, и количествено значение. Естествените числа, като средство за номериране, се обсъждат в темата за сравняване на естествени числа.

Нека започнем с естествени числа, чиито записи съвпадат с вписванията на цифри, т.е. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Представете си определен обект, например това: Ψ . Можем да запишем това, което виждаме 1 нещо. Естественото число 1 се чете като "едно" или "едно". Терминът "единица" има и друго значение: нещо, което може да се разглежда като цяло. Ако има множество, тогава всеки елемент от него може да бъде обозначен с единица. Например, от много мишки всяка мишка е една; всяко цвете от набор от цветя е единица.

Сега си представете: Ψ Ψ . Виждаме един обект и друг обект, т.е. в протокола ще бъде - 2 бр. Естественото число 2 се чете като "две".

Освен това, по аналогия: Ψ Ψ Ψ - 3 елемента ("три"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("четири"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("пет"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 („шест“), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 („седем“), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 („осем“), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (" Ψ девет").

От посочената позиция функцията на естественото число е да показва количестваартикули.

Определение 1

Ако въвеждането на число съвпада с въвеждането на цифрата 0, тогава такова число се извиква "нула".Нулата не е естествено число, но се разглежда заедно с други естествени числа. Нула означава не, т.е. нула елементи означава никакви.

Едноцифрени естествени числа

Очевиден факт е, че при записване на всяко от естествените числа, разгледани по-горе (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), използваме един знак – една цифра.

Определение 2

Едноцифрено естествено число- естествено число, което се записва с един знак - една цифра.

Има девет едноцифрени естествени числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двуцифрени и трицифрени естествени числа

Определение 3

Двуцифрени естествени числа- естествени числа, които се записват с два знака - две цифри. В този случай използваните числа могат да бъдат еднакви или различни.

Например естествените числа 71, 64, 11 са двуцифрени.

Помислете за значението на двуцифрените числа. Ще разчитаме на количественото значение на вече известните ни еднозначни естествени числа.

Нека въведем такова понятие като "десет".

Представете си набор от обекти, който се състои от девет и още един. В този случай можем да говорим за 1 дузина („една дузина“) артикула. Ако си представите една дузина и още една, тогава ще говорим за 2 десетки („две десетки“). Като добавим още една десетка към две десетки, получаваме три десетки. И така нататък: продължавайки да добавяме една дузина, получаваме четири десетки, пет десетки, шест десетки, седем десетки, осем десетки и накрая девет десетки.

Нека разгледаме двуцифрено число като съвкупност от едноцифрени числа, едното от които е изписано отдясно, а другото отляво. Числото вляво ще показва броя на десетките в естественото число, а числото вдясно ще показва броя на единиците. В случай, че числото 0 е разположено вдясно, тогава говорим за липса на единици. Горното е количественото значение на естествените двуцифрени числа. Общо са 90 от тях.

Определение 4

Трицифрени естествени числа- естествени числа, които се записват с три знака - три цифри. Числата могат да бъдат различни или да се повтарят във всяка комбинация.

Например 413, 222, 818, 750 са трицифрени естествени числа.

За да разберем количественото значение на тризначните естествени числа, въвеждаме понятието "сто".

Определение 5

Сто (1сто)е набор от десет десетки. Сто плюс сто е равно на двеста. Добавете още сто и ще получите 3 стотици. Добавяйки постепенно сто, получаваме: четиристотин, петстотин, шестстотин, седемстотин, осемстотин, деветстотин.

Помислете за самия запис на трицифрено число: включените в него едноцифрени естествени числа се записват едно след друго отляво надясно. Най-дясната единична цифра показва броя на единиците; следващото едноцифрено число вляво - с броя на десетките; най-лявата единична цифра е броят на стотиците. Ако числото 0 е включено в записа, това показва липсата на единици и / или десетки.

И така, трицифреното естествено число 402 означава: 2 единици, 0 десетки (няма десетки, които да не са комбинирани в стотици) и 4 стотици.

По аналогия се дава определението за четирицифрени, петцифрени и така нататък естествени числа.

Многозначни естествени числа

От всичко казано по-горе вече е възможно да се премине към дефиницията на многозначни естествени числа.

Определение 6

Многозначни естествени числа- естествени числа, които се записват с два или повече знака. Многоцифрените естествени числа са двуцифрени, трицифрени и т.н. числа.

Хиляда е комплект, който включва десетстотин; един милион се състои от хиляда хиляди; един милиард - хиляда милиона; един трилион е хиляда милиарда. Дори по-големите комплекти също имат имена, но използването им е рядко.

Подобно на горния принцип, можем да разглеждаме всяко многоцифрено естествено число като набор от едноцифрени естествени числа, всяко от които, намирайки се на определено място, показва наличието и броя на единиците, десетки, стотици, хиляди, десетки от хиляди, стотици хиляди, милиони, десетки милиони, стотици милиони, милиарди и така нататък (съответно от дясно на ляво).

Например, многоцифреното число 4 912 305 съдържа: 5 единици, 0 десетки, тристотинки, 2 хиляди, 1 десетки хиляди, 9 стотици хиляди и 4 милиона.

Обобщавайки, разгледахме умението за групиране на единици в различни множества (десетки, стотици и т.н.) и видяхме, че числата в записа на многоцифрено естествено число са обозначение на броя на единиците във всеки един от тези набори.

Четене на естествени числа, класове

В теорията по-горе обозначихме имената на естествените числа. В таблица 1 посочваме как правилно да използваме имената на едноцифрени естествени числа в реч и в азбучна нотация:

номер	мъжки	женствена	Среден пол
1 2 3 4 5 6 7 8 9	едно две Три Четири пет шест седем Осем девет	едно две Три Четири пет шест седем Осем девет	едно две Три Четири пет шест седем Осем девет

номер	именителен падеж	Генитив	Дателен падеж	Обвинителен падеж	Инструментален калъф	Предложна
1 2 3 4 5 6 7 8 9	едно две Три Четири пет шест седем Осем девет	едно две Три четири пет шест полу осем девет	до един две Трем четири пет шест полу осем девет	едно две Три Четири пет шест седем Осем девет	едно две Три четири пет шест семейство осем девет	Около един Около две Около три Около четири Отново Около шест Около седем Около осем Около девет

За компетентно четене и писане на двуцифрени числа, трябва да научите данните в таблица 2:

номер	Мъжки, женски и среден род
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	десет Единадесет дванадесет тринадесет четиринадесет петнадесет шестнадесет седемнадесет осемнадесет Деветнадесет двадесет тридесет четиридесет петдесет шейсет седемдесет осемдесет деветдесет

номер	именителен падеж	Генитив	Дателен падеж	Обвинителен падеж	Инструментален калъф	Предложна
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	десет Единадесет дванадесет тринадесет четиринадесет петнадесет шестнадесет седемнадесет осемнадесет Деветнадесет двадесет тридесет четиридесет петдесет шейсет седемдесет осемдесет деветдесет	десет Единадесет дванадесет тринадесет четиринадесет петнадесет шестнадесет седемнадесет осемнадесет деветнадесет двадесет тридесет сврака петдесет шестдесет седемдесет осемдесет деветдесет	десет Единадесет дванадесет тринадесет четиринадесет петнадесет шестнадесет седемнадесет осемнадесет деветнадесет двадесет тридесет сврака петдесет шестдесет седемдесет осемдесет деветдесет	десет Единадесет дванадесет тринадесет четиринадесет петнадесет шестнадесет седемнадесет осемнадесет Деветнадесет двадесет тридесет четиридесет петдесет шейсет седемдесет осемдесет деветдесет	десет Единадесет дванадесет тринадесет четиринадесет петнадесет шестнадесет седемнадесет осемнадесет деветнадесет двадесет тридесет сврака петдесет шестдесет седемдесет осемдесет деветдесет	Около десет Около единадесет Около дванадесет Около тринадесет Около четиринадесет Около петнадесет Около шестнадесет Около седемнадесет Около осемнадесет Около деветнадесет Около двадесет Около тридесет О, сврака Около петдесет Около шестдесет Около седемдесет Около осемдесет Около деветдесет

За да четем други естествени двуцифрени числа, ще използваме данните от двете таблици, разгледайте това с пример. Да кажем, че трябва да прочетем естествено двуцифрено число 21. Това число съдържа 1 единица и 2 десетки, т.е. 20 и 1. Обръщайки се към таблиците, четем посоченото число като „двадесет и едно“, докато съюзът „и“ между думите не е необходимо да се произнася. Да предположим, че трябва да използваме определеното число 21 в някакво изречение, указващо броя на обектите в родения падеж: „няма 21 ябълки“. В този случай произношението ще звучи така: „няма двадесет и една ябълки“.

Нека дадем още един пример за яснота: числото 76, което се чете като "седемдесет и шест" и, например, "седемдесет и шест тона".

номер	Номинативен	Генитив	Дателен падеж	Обвинителен падеж	Инструментален калъф	Предложна
100 200 300 400 500 600 700 800 900	сто Двеста Триста Четиристотин Петстотин Шестстотин Седемстотин Осемстотин Девет стотици	Sta двеста триста четиристотин петстотин шестстотин Седемстотин осемстотин деветстотин	Sta двеста Тремстам четиристотин петстотин Шестстотин седемстотин осемстотин Деветстотин	сто Двеста Триста Четиристотин Петстотин Шестстотин Седемстотин Осемстотин Девет стотици	Sta двеста Триста четиристотин петстотин шестстотин седемстотин осемстотин Деветстотин	Около стотина Около двеста Около триста Около четиристотин Около петстотин Около шестстотин Около седемстотин Около осемстотин Около деветстотин

За да прочетем напълно трицифрено число, използваме и данните от всички посочени таблици. Например, дадено естествено число 305 . Това число съответства на 5 единици, 0 десетки и 3 стотици: 300 и 5. Вземайки таблицата за основа, четем: "триста и пет" или в склонение по случаи, например, така: "триста и пет метра".

Да прочетем още едно число: 543. Според правилата на таблиците посоченото число ще звучи така: „петстотин четиридесет и три“ или в случай на склонение, например, така: „без петстотин четиридесет и три рубли“.

Нека преминем към общия принцип на четене на многоцифрени естествени числа: за да прочетете многоцифрено число, трябва да го разделите отдясно наляво на групи от по три цифри, а най-лявата група може да има 1, 2 или 3 цифри . Такива групи се наричат ​​класове.

Крайно десният клас е класът на единиците; след това следващият клас, вляво - класът на хилядите; по-нататък - класът на милиони; след това идва класът на милиардите, следван от класа на трилионите. Следните класове също имат име, но естествените числа, състоящи се от голям брой знаци (16, 17 и повече), рядко се използват при четене, доста е трудно да се възприемат на ухо.

За удобство на възприемане на записа, класовете са разделени един от друг с малък отстъп. Например 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

клас трилион	клас милиард	клас милиона	Хиляда клас	Клас единица
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

За да прочетем многоцифрено число, извикваме на свой ред числата, които го съставят (отляво надясно, по клас, добавяйки името на класа). Името на класа единици не се произнася, а тези класове, които съставляват трите цифри 0, също не се произнасят. Ако една или две цифри 0 присъстват вляво в един клас, тогава те не се използват по никакъв начин при четене. Например 054 се чете като "петдесет и четири" или 001 като "едно".

Пример 1

Нека разгледаме подробно четенето на числото 2 533 467 001 222:

Разчитаме числото 2, като компонент от класа трилиони – „две”;

Добавяйки името на класа, получаваме: "два трилиона";

Четем следното число, добавяйки името на съответния клас: „петстотин тридесет и три милиарда“;

Продължаваме по аналогия, четейки следващия клас вдясно: „четиристотин шестдесет и седем милиона“;

В следващия клас виждаме две цифри 0, разположени вляво. Съгласно горните правила за четене, цифрите 0 се изхвърлят и не участват в четенето на записа. Тогава получаваме: "хиляда";

Четем последния клас единици, без да добавяме името му - "двеста двадесет и две".

Така числото 2 533 467 001 222 ще звучи така: два трилиона петстотин тридесет и три милиарда четиристотин шестдесет и седем милиона хиляда двеста двадесет и два. Използвайки този принцип, можем да четем и другите дадени числа:

31 013 736 - тридесет и един милион тринадесет хиляди седемстотин тридесет и шест;

134 678 - сто тридесет и четири хиляди шестстотин седемдесет и осем;

23 476 009 434 - двадесет и три милиарда четиристотин седемдесет и шест милиона девет хиляди четиристотин тридесет и четири.

По този начин основата за правилното четене на многоцифрени числа е способността за разбиване на многоцифрено число на класове, познаване на съответните имена и разбиране на принципа на четене на двуцифрени и трицифрени числа.

Както вече става ясно от всичко по-горе, неговата стойност зависи от позицията, на която стои цифрата в записа на числото. Тоест, например, числото 3 в естественото число 314 означава броя на стотиците, а именно 3 стотици. Числото 2 е броят на десетките (1 десет), а числото 4 е броят на единиците (4 единици). В този случай ще кажем, че числото 4 е на мястото на единиците и е стойността на единиците, поставени в даденото число. Числото 1 е на мястото на десетките и служи като стойност на мястото на десетките. Числото 3 се намира на мястото на стотиците и е стойността на мястото на стотиците.

Определение 7

Изписванее позицията на цифра в записа на естествено число, както и стойността на тази цифра, която се определя от нейната позиция в дадено число.

Изхвърлянията имат свои собствени имена, вече ги използвахме по-горе. От дясно наляво следват цифрите: единици, десетки, стотици, хиляди, десетки хиляди и т.н.

За удобство на запаметяването можете да използвате следната таблица (посочваме 15 цифри):

Нека изясним тази подробност: броят на цифрите в дадено многоцифрено число е същият като броя на знаците във въведеното число. Например, тази таблица съдържа имената на всички цифри за число с 15 знака. Следващите изхвърляния също имат имена, но се използват изключително рядко и са много неудобни за слушане.

С помощта на такава таблица е възможно да се развие умението за определяне на ранга, като се записва дадено естествено число в таблицата, така че най-дясната цифра да бъде записана в цифрата на единиците и след това във всяка цифра по цифра. Например, нека напишем многоцифрено естествено число 56 402 513 674 така:

Обърнете внимание на числото 0, разположено в разряда на десетки милиони - това означава липса на единици от тази категория.

Ние също така въвеждаме понятията за най-ниската и най-високата цифра на многоцифрено число.

Определение 8

Най-нисък (младши) рангвсяко многозначно естествено число е цифрата на единиците.

Най-висока (старша) категорияна всяко многоцифрено естествено число - цифрата, съответстваща на най-лявата цифра в нотацията на даденото число.

Така например в числото 41 781: най-ниският ранг е рангът на единиците; най-високият ранг е цифрата на десетките хиляди.

Логично следва, че е възможно да се говори за старшинство на цифрите една спрямо друга. Всяка следваща цифра при движение отляво надясно е по-ниска (по-млада) от предишната. И обратно: при движение от дясно на ляво всяка следваща цифра е по-висока (по-стара) от предишната. Например цифрата на хилядите е по-стара от цифрата на стотиците, но по-млада от цифрата на милиони.

Нека поясним, че при решаване на някои практически примери се използва не самото естествено число, а сборът от битовите членове на дадено число.

Накратко за десетичната бройна система

Определение 9

Нотация- метод за писане на числа с помощта на знаци.

Позиционни бройни системи- тези, при които стойността на цифра в числото зависи от позицията й в записа на числото.

Според това определение можем да кажем, че при изучаване на естествените числа и начина, по който са написани по-горе, ние използвахме позиционната бройна система. Номер 10 играе специално място тук. Продължаваме да броим в десетки: десет единици правят десет, десет десетки се обединяват в сто и т.н. Числото 10 служи като основа на тази бройна система, а самата система се нарича още десетична.

В допълнение към него има и други бройни системи. Например компютърните науки използват двоичната система. Когато следим времето, използваме шестдесетичната бройна система.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Математиката се появява от общата философия около шести век пр.н.е. д., и от този момент започва нейният победоносен поход около света. Всеки етап на развитие въвеждаше нещо ново – елементарното броене се развива, трансформира се в диференциално и интегрално смятане, вековете се променят, формулите стават все по-объркващи и идва моментът, когато „започна най-сложната математика – всички числа изчезнаха от нея“. Но каква беше основата?

Началото на времето

Естествените числа се появяват заедно с първите математически операции. Веднъж гръбначен стълб, два гръбнака, три гръбнака ... Те се появиха благодарение на индийски учени, които изведоха първата позиционна

Думата "позиционност" означава, че местоположението на всяка цифра в числото е строго определено и съответства на неговата категория. Например числата 784 и 487 са едни и същи числа, но числата не са еквивалентни, тъй като първото включва 7 стотици, докато второто само 4. Иновацията на индийците е подхвана от арабите, които довеждат числата до форма, която познаваме сега.

В древни времена на числата е придавано мистично значение, Питагор вярвал, че числото е в основата на създаването на света заедно с основните елементи - огън, вода, земя, въздух. Ако разгледаме всичко само от математическа страна, тогава какво е естествено число? Полето от естествени числа се обозначава като N и представлява безкрайна поредица от числа, които са цели и положителни: 1, 2, 3, … + ∞. Нула е изключена. Използва се главно за броене на артикули и индикация на реда.

Какво има в математиката? Аксиомите на Пеано

Полето N е основното поле, на което разчита елементарната математика. С течение на времето полетата на цели числа, рационални,

Работата на италианския математик Джузепе Пеано направи възможно по-нататъшното структуриране на аритметиката, постигна нейната формалност и проправи пътя за по-нататъшни заключения, които надхвърлят полето N.

Какво е естествено число беше изяснено по-рано на прост език, по-долу ще разгледаме математическа дефиниция, базирана на аксиомите на Пеано.

• Едно се счита за естествено число.
• Числото, което следва естествено число, е естествено число.
• Няма естествено число преди едно.
• Ако числото b следва както числото c, така и числото d, тогава c=d.
• Аксиомата на индукцията, която от своя страна показва какво е естествено число: ако някакво твърдение, което зависи от параметър, е вярно за числото 1, тогава приемаме, че то работи и за числото n от полето на естествените числа N. Тогава твърдението е вярно и за n =1 от полето на естествените числа N.

Основни операции за областта на естествените числа

Тъй като полето N стана първото за математически изчисления, както областите на дефиниция, така и диапазоните от стойности на редица операции по-долу се отнасят за него. Затворени са и не. Основната разлика е, че затворените операции гарантират, че оставят резултат в набора N, без значение какви числа са включени. Достатъчно е да са естествени. Резултатът от останалите числени взаимодействия вече не е толкова недвусмислен и пряко зависи от това какви числа са включени в израза, тъй като може да противоречи на основната дефиниция. И така, затворени операции:

• събиране - x + y = z, където x, y, z са включени в полето N;
• умножение - x * y = z, където x, y, z са включени в N полето;
• степенуване - x y , където x, y са включени в N полето.

Останалите операции, чийто резултат може да не съществува в контекста на определението "какво е естествено число", са следните:

Свойства на числата, принадлежащи на полето N

Всички по-нататъшни математически разсъждения ще се основават на следните свойства, най-тривиалните, но не по-малко важни.

• Комутативното свойство на събирането е x + y = y + x, където числата x, y са включени в полето N. Или добре познатото „сумата не се променя от промяна на местата на членовете“.
• Комутативното свойство на умножението е x * y = y * x, където числата x, y са включени в полето N.
• Асоциативното свойство на събиране е (x + y) + z = x + (y + z), където x, y, z са включени в полето N.
• Асоциативното свойство на умножението е (x * y) * z = x * (y * z), където числата x, y, z са включени в полето N.
• свойство на разпределение - x (y + z) = x * y + x * z, където числата x, y, z са включени в полето N.

Питагорова таблица

Една от първите стъпки в познаването на цялата структура на елементарната математика от учениците, след като сами са разбрали кои числа се наричат ​​естествени, е таблицата на Питагор. Може да се разглежда не само от гледна точка на науката, но и като ценен научен паметник.

Тази таблица за умножение е претърпяла редица промени с течение на времето: нулата е премахната от нея, а числата от 1 до 10 се обозначават, без да се вземат предвид поръчките (стотици, хиляди ...). Това е таблица, в която заглавията на редовете и колоните са числа, а съдържанието на клетките на тяхното пресичане е равно на тяхното произведение.

В практиката на преподаването през последните десетилетия се появи необходимостта от запомняне на Питагоровата таблица "по ред", тоест запомнянето вървеше първо. Умножението по 1 беше изключено, тъй като резултатът беше 1 или повече. Междувременно в таблицата с просто око можете да видите модел: произведението на числата нараства с една стъпка, което е равно на заглавието на реда. По този начин вторият фактор ни показва колко пъти трябва да вземем първия, за да получим желания продукт. Тази система е много по-удобна от тази, практикувана през Средновековието: дори разбирайки какво е естествено число и колко е тривиално, хората успяват да усложнят ежедневното си броене, използвайки система, базирана на степени на две.

Подмножество като люлка на математиката

В момента полето на естествените числа N се разглежда само като едно от подмножествата на комплексните числа, но това не ги прави по-малко ценни в науката. Естественото число е първото нещо, което детето научава, изучавайки себе си и света около себе си. Един пръст, два пръста... Благодарение на него човек развива логическото мислене, както и способността да определя причината и да извежда следствието, проправяйки пътя към големи открития.

Определение

Естествени числа се наричат ​​числа, предназначени за броене на предмети. За записване на естествени числа се използват 10 арабски цифри (0–9), които формират основата на десетичната бройна система, общоприета за математически изчисления.

Поредица от естествени числа

Естествените числа образуват серия, започваща от 1 и обхващаща множеството от всички положителни числа. Такава последователност се състои от числа 1,2,3, ... . Това означава, че в естествената серия:

1. Има най-малък брой и няма най-голям.
2. Всяко следващо число е по-голямо от предишното с 1 (изключението е самата единица).
3. Докато числата отиват до безкрайност, те растат безкрайно.

Понякога в поредица от естествени числа се въвежда и 0. Това е допустимо и тогава се говори удълженестествена серия.

Класове естествени числа

Всяка цифра от естествено число изразява определена цифра. Последният винаги е броят на единиците в числото, този преди него е числото на десетките, третият от края е броят на стотиците, четвъртият е броят на хилядите и т.н.

• в числото 276: 2 стотици, 7 десетки, 6 единици
• в числото 1098: 1 хиляда, 9 десетки, 8 единици; мястото на стотиците тук липсва, тъй като е изразено като нула.

За големи и много големи числа можете да видите постоянна тенденция (ако разгледате числото от дясно на ляво, тоест от последната цифра до първата):

• последните три цифри в числото са единици, десетки и стотици;
• предишните три са единици, десетки и стотици хиляди;
• трите пред тях (т.е. 7-та, 8-ма и 9-та цифра на числото, броейки от края) са единици, десетки и стотици милиони и т.н.

Тоест всеки път, когато имаме работа с три цифри, означаващи единици, десетки и стотици по-голямо име. Такива групи образуват класове. И ако трябва да се справяте с първите три класа в ежедневието повече или по-рядко, тогава трябва да се изброят други, защото не всеки помни имената им наизуст.

• 4-ти клас, следващ класа на милиони и представляващ числа от 10-12 цифри, се нарича милиард (или милиард);
• 5 клас - трилион;
• 6 клас - квадрилион;
• 7 клас - квинтилион;
• 8 клас - секстилион;
• 9 клас - септилион.

Събиране на естествени числа

Добавянето на естествени числа е аритметична операция, която ви позволява да получите число, което съдържа толкова единици, колкото има в числата, събрани заедно.

Знакът за събиране е знакът "+". Добавените числа се наричат ​​членове, резултатът се нарича сбор.

Малки числа се добавят (сумират) устно, писмено такива действия се записват на ред.

Многоцифрените числа, които трудно се събират наум, обикновено се добавят в колона. За целта числата се записват едно под друго, подравнени с последната цифра, тоест записват цифрата на единиците под цифрата на единиците, цифрата на стотиците под цифрата на стотиците и т.н. След това трябва да добавите цифрите по двойки. Ако добавянето на цифри се случи с преход през десет, тогава тази десетка се фиксира като единица над цифрата отляво (тоест след нея) и се добавя заедно с цифрите на тази цифра.

Ако към колоната се добавят не 2, а повече числа, тогава при сумиране на цифрите на категорията може да са излишни не 1 дузина, а няколко. В този случай броят на такива десетки се прехвърля на следващата цифра.

Изваждане на естествени числа

Изваждането е аритметична операция, обратната на събирането, която се свежда до факта, че предвид количеството и един от термините, трябва да намерите друг - неизвестен член. Числото, от което се изважда се нарича minuend; числото, което се изважда, е изваждането. Резултатът от изваждането се нарича разлика. Знакът, който обозначава операцията на изваждане е "-".

При прехода към събиране изваждането и разликата се превръщат в членове, а намаленото в сбор. Събирането обикновено проверява правилността на извършеното изваждане и обратно.

Тук 74 е минусът, 18 е изваждането, 56 е разликата.

Предпоставка за изваждане на естествени числа е следното: минусът задължително трябва да е по-голям от изваждането. Само в този случай получената разлика също ще бъде естествено число. Ако действието на изваждане се извършва за разширен естествен ред, тогава е разрешено минусът да е равен на изваждането. И резултатът от изваждане в този случай ще бъде 0.

Забележка: ако изваждането е равно на нула, тогава операцията на изваждане не променя стойността на minuend.

Изваждането на многоцифрени числа обикновено се извършва в колона. Запишете числата по същия начин, както при събиране. Изваждане се извършва за съответните цифри. Ако се окаже, че минусът е по-малък от изваждането, тогава от предишната (разположена вляво) цифра се взема единица, която след прехвърлянето естествено се превръща в 10. Тази десетка се сумира с цифрата на намаленото дадена цифра и след това се изважда. Освен това при изваждане на следващата цифра е необходимо да се вземе предвид, че намаленото е станало с 1 по-малко.

Произведение на естествени числа

Продуктът (или умножението) на естествени числа е аритметична операция, която е намиране на сумата от произволен брой идентични членове. За да запишете операцията на умножение, използвайте знака "·" (понякога "×" или "*"). Например: 3 5=15.

Действието на умножение е необходимо, когато е необходимо да се добави голям брой термини. Например, ако трябва да добавите числото 4 7 пъти, тогава умножаването на 4 по 7 е по-лесно, отколкото да направите това събиране: 4+4+4+4+4+4+4.

Числата, които се умножават, се наричат ​​фактори, резултатът от умножението е произведението. Съответно, терминът "работа" може, в зависимост от контекста, да изразява както процеса на умножаване, така и неговия резултат.

Многоцифрените числа се умножават в колона. За това число се записва по същия начин, както при събиране и изваждане. Препоръчително е първо (отгоре) да напишете кое от 2-те числа, кое е по-дълго. В този случай процесът на умножение ще бъде по-опростен и следователно по-рационален.

При умножение в колона, цифрите на всяка от цифрите на второто число се умножават последователно по цифрите на 1-во число, като се започне от неговия край. След като намериха първата такава работа, те записват броя на единиците и имат предвид броя на десетките. При умножаване на цифрата от 2-ро число по следващата цифра на 1-во число, числото, което се има предвид, се добавя към произведението. И отново записват броя на единиците на получения резултат и запомнят броя на десетките. При умножение по последната цифра на 1-во число, така полученото число се записва изцяло.

Резултатите от умножаването на цифрите на 2-ра цифра на второто число се записват във втория ред, като се измества с 1 клетка надясно. И т.н. В резултат на това ще се получи "стълба". Всички получени редове с числа трябва да се добавят (съгласно правилото за събиране в колона). Празните клетки трябва да се считат за пълни с нули. Получената сума е крайният продукт.

Забележка

1. Произведението на всяко естествено число по 1 (или 1 по число) е равно на самото число. Например: 376 1=376; 1 86 = 86.
2. Когато един от факторите или двата фактора са равни на 0, тогава произведението е равно на 0. Например: 32·0=0; 0 845 = 845; 0 0=0.

Деление на естествени числа

Деление се нарича аритметична операция, с помощта на която според известно произведение и един от факторите може да се намери друг - неизвестен - фактор. Делението е обратно на умножението и се използва за проверка дали умножението е извършено правилно (и обратно).

Числото, което се разделя, се нарича делимо; числото, на което се дели, е делителят; резултатът от деленето се нарича частно. Знакът за разделяне е ":" (понякога, по-рядко - "÷").

Тук 48 е дивидентът, 6 е делителят, а 8 е частното.

Не всички естествени числа могат да бъдат разделени помежду си. В този случай деленето се извършва с остатък. Състои се във факта, че за делителя се избира такъв коефициент, така че неговото произведение от делителя да бъде число, което е възможно най-близо по стойност до дивидента, но по-малко от него. Делителят се умножава по този коефициент и се изважда от дивидента. Разликата ще бъде остатъкът от разделението. Произведението на делител на фактор се нарича непълно частно. Внимание: остатъкът трябва да бъде по-малък от избрания множител! Ако остатъкът е по-голям, това означава, че множителят е избран неправилно и трябва да се увеличи.

Избираме фактор за 7. В този случай това число е 5. Намираме непълно коефициент: 7 5 = 35. Изчислете остатъка: 38-35=3. От 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Многоцифрените числа са разделени на колона. За да направите това, делителят и делителят се изписват един до друг, като делителят се разделя с вертикална и хоризонтална линия. При дивидента се избира първата цифра или първите няколко цифри (вдясно), което трябва да е число, което е минимално достатъчно за деление на делител (тоест това число трябва да е по-голямо от делителя). За това число се избира непълно частно, както е описано в правилото за деление с остатък. Под делителя се записва числото на множителя, използван за намиране на частното частно. Непълното частно се записва под числото, което е разделено, подравнено вдясно. Намерете разликата им. Следващата цифра на дивидента се разрушава, като се записва до тази разлика. За полученото число отново се намира непълно частно, като се записва цифрата на избрания множител, до предишната под делителя. И т.н. Такива действия се извършват до изчерпване на числата на дивидента. След това разделянето се счита за завършено. Ако дивидентът и делителят са разделени изцяло (без остатък), тогава последната разлика ще даде нула. В противен случай оставащият номер ще бъде върнат.

Експоненция

Възлагането в степен е математическа операция, която се състои в умножаване на произволен брой еднакви числа. Например: 2 2 2 2.

Такива изрази се записват като: а х,

където ае число, умножено само по себе си хе броят на тези фактори.

Прости и съставни естествени числа

Всяко естествено число, с изключение на 1, може да бъде разделено на поне 2 числа - едно и самото себе си. Въз основа на този критерий естествените числа се делят на прости и съставни.

Простите числа са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Числата, които се делят на повече от тези 2 числа, се наричат ​​съставни числа. Единица, деляща се само на себе си, не е нито проста, нито съставна.

Числата са прости: 2,3,5,7,11,13,17,19 и т.н. Примери за съставни числа: 4 (дели се на 1,2,4), 6 (дели се на 1,2,3,6), 20 (дели се на 1,2,4,5,10,20).

Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители. В този случай под прости фактори се разбират неговите делители, които са прости числа.

Пример за разлагане на прости фактори:

Делители на естествени числа

Делителят е число, на което дадено число може да бъде разделено без остатък.

В съответствие с това определение простите естествени числа имат 2 делителя, съставните имат повече от 2 делителя.

Много числа имат общи делители. Общият делител е числото, на което дадените числа се делят без остатък.

• Числата 12 и 15 имат общ делител 3
• Числата 20 и 30 имат общи делители 2,5,10

От особено значение е най-големият общ делител (НОД). Това число, по-специално, е полезно, за да може да се намери за намаляване на дроби. За да се намери, е необходимо да се разложат дадените числа на прости множители и да се представят като произведение на общите им прости множители, взети в най-малките им степени.

Необходимо е да се намери GCD на числата 36 и 48.

Делимост на естествени числа

Далеч не винаги е възможно да се определи „на око“ дали едно число се дели на друго без остатък. В такива случаи е полезен съответният тест за делимост, тоест правилото, чрез което за секунди можете да определите дали е възможно да се разделят числата без остатък. Знакът "" се използва за обозначаване на делимост.

Най-малко общо кратно

Тази стойност (означена LCM) е най-малкото число, което се дели на всяко от дадените. LCM може да се намери за произволен набор от естествени числа.

LCM, подобно на GCD, има значително приложно значение. И така, LCM трябва да бъде намерен чрез намаляване на обикновените дроби до общ знаменател.

LCM се определя чрез разлагане на дадените числа в прости фактори. За образуването му се взема продукт, състоящ се от всеки от срещащите се (поне за 1 число) прости фактори, представени в максимална степен.

Необходимо е да се намери LCM на числата 14 и 24.

Средно аритметично

Средноаритметичната стойност на произволен (но краен) брой естествени числа е сумата от всички тези числа, разделена на броя на термините:

Средноаритметичната е някаква средна стойност за набор от числа.

Дадени са числата 2,84,53,176,17,28. Необходимо е да се намери тяхното средноаритметично.