Как да решим корен квадратен. Как бързо да извлечете квадратни корени

Сред многото знания, които са признак за грамотност, азбуката е на първо място. Следващият, същият "знаков" елемент, са уменията за събиране-умножение и прилежащи към тях, но обратни по смисъл аритметични операции на изваждане-деление. Уменията, научени в далечното училищно детство, служат вярно ден и нощ: телевизия, вестник, SMS, И навсякъде, където четем, пишем, броим, събираме, изваждаме, умножаваме. И, кажете ми, често ли ви се е налагало да пускате корени в живота, освен на село? Например, такъв забавен проблем, като корен квадратен от числото 12345 ... Има ли все още барут в колбите за барут? можем ли да го направим? Да, няма нищо по-лесно! Къде ми е калкулаторът... И без него, ръкопашен, слаб?

Първо, нека изясним какво е - Корен квадратенчисла. Най-общо казано, "да се извлече корен от число" означава да се извърши аритметичната операция, противоположна на издигането на степен - тук имате единството на противоположностите в житейското приложение. да кажем, че квадратът е умножение на число само по себе си, т.е. както учеха в училище, X * X = A или в друга нотация X2 = A, и с думи - „X на квадрат е равно на A“. Тогава обратната задача звучи така: корен квадратен от числото A е числото X, което, когато се постави на квадрат, е равно на A.

Извличане на квадратен корен

От училищния курс по аритметика са известни методи за изчисления "в колона", които помагат да се извършват всякакви изчисления с помощта на първите четири аритметични операции. Уви... За квадратни, и не само квадратни, корени на такива алгоритми не съществуват. И в този случай как да извлечем квадратния корен без калкулатор? Въз основа на дефиницията на квадратния корен има само едно заключение - необходимо е да се избере стойността на резултата чрез последователно изброяване на числа, чийто квадрат се доближава до стойността на коренния израз. Само и всичко! Преди да минат час-два, може да се изчисли с помощта на добре познатия метод за умножаване в „колона“, произволен квадратен корен. Ако имате умения, няколко минути са достатъчни за това. Дори не съвсем напреднал потребител на калкулатор или компютър го прави с един замах - напредък.

Но сериозно, изчисляването на квадратния корен често се извършва с помощта на техниката „артилерийска вилица“: първо, те вземат число, чийто квадрат приблизително съответства на коренния израз. По-добре е, ако "нашият квадрат" е малко по-малко от този израз. След това коригират числото според собственото си умение-разбиране, например, умножават по две и ... го квадратират отново. Ако резултатът е по-голям от числото под корена, последователно коригира първоначалното число, като постепенно се доближава до своя "колега" под корена. Както виждате - няма калкулатор, само възможност за броене "в колона". Разбира се, има много научно обосновани и оптимизирани алгоритми за изчисляване на квадратния корен, но за "домашна употреба" горната техника дава 100% увереност в резултата.

Да, почти забравих, за да потвърдим нашата повишена грамотност, изчисляваме квадратния корен от по-рано посоченото число 12345. Правим го стъпка по стъпка:

1. Вземете чисто интуитивно X=100. Да изчислим: X * X = 10000. Интуицията е на върха - резултатът е по-малък от 12345.

2. Нека опитаме, също чисто интуитивно, X = 120. След това: X * X = 14400. И отново, с интуиция, реда - резултатът е повече от 12345.

3. По-горе се получава „вилица“ от 100 и 120. Нека изберем нови числа - 110 и 115. Получаваме съответно 12100 и 13225 - вилицата се стеснява.

4. Опитваме "може би" X = 111. Получаваме X * X = 12321. Това число вече е доста близко до 12345. В съответствие с необходимата точност „монтирането“ може да бъде продължено или спряно при получения резултат. Това е всичко. Както обещах - всичко е много просто и без калкулатор.

Доста история...

Мислете за използване квадратни коренивсе още питагорейците, ученици на школата и последователи на Питагор, за 800 години пр.н.е. и точно там се „натъкна“ на нови открития в областта на числата. И откъде дойде?

1. Решението на задачата с извличането на корена, дава резултата под формата на числа от нов клас. Те бяха наречени ирационални, с други думи, „неразумни“, т.к. те не се записват като пълно число. Най-класическият пример от този вид е корен квадратен от 2. Този случай съответства на изчисляването на диагонала на квадрат със страна равна на 1 - ето го, влиянието на питагорейската школа. Оказа се, че в триъгълник с много специфичен единичен размер на страните хипотенузата има размер, който се изразява с число, което „няма край“. Така се появи в математиката

2. Известно е, че се оказа, че това математическа операциясъдържа още една уловка - извличайки корена, не знаем какъв квадрат от число, положителен или отрицателен, е коренният израз. Тази несигурност, двойният резултат от една операция, се записва.

Изучаването на проблемите, свързани с това явление, се превърна в направление в математиката, наречено теория на комплексната променлива, което е от голямо практическо значение в математическата физика.

Любопитно е, че коренното обозначение - радикален - е използвано в неговата "Универсална аритметика" от същия вездесъщ И. Нютон, но точно модерен външен видОсновният запис е известен от 1690 г. от книгата на французина Рол "Ръководство по алгебра".

Математиката се ражда, когато човек осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля, е в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха части от елементарна математика, които направиха възможно свързването на числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, " математиката достигна тавана на сложност, когато всички числа." Концепцията за "квадратен корен" се появи във време, когато можеше лесно да бъде подкрепена с емпирични данни, излизащи отвъд равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корена, който на този моментобозначава се като √, е записано в писанията на вавилонските математици, които положиха основата на съвременната аритметика. Разбира се, те приличаха малко на сегашната форма - учените от онези години първо използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показа как се взема квадратен корен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонските учени са издълбали изходния процес √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора е открито само на десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато решавате квадратни уравнения, няма изход от извличането на корена.

Наред с вавилонските трудове, обектът на статията е изследван и в китайското произведение „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не се извлича без остатък, дава ирационален резултат .

Произходът на този термин се свързва с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, като растение. На латински тази дума звучи като radix (може да се проследи модел - всичко, което има "корен" семантично натоварване, е съгласно, било то репички или ишиас).

Учените от следващите поколения подхванаха тази идея, обозначавайки я като Rx. Например, през 15 век, за да се посочи, че квадратният корен е взет от произволно число a, те написаха R 2 a. Обичайно модерен външен вид"кърлеж" √ се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически корен квадратен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 =y е еквивалентно на √y=z. Това определение обаче е от значение само за аритметичния корен, тъй като предполага неотрицателна стойност на израза. С други думи, √y=z, където z е по-голямо или равно на 0.

Като цяло, което е валидно за определяне на алгебричния корен, стойността на израза може да бъде положителна или отрицателна. По този начин, поради факта, че z 2 =y и (-z) 2 =y, имаме: √y=±z или √y=|z|.

Поради факта, че любовта към математиката само се е увеличила с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, неизразени в сухи изчисления. Например, наред с такива интересни събития като деня на Пи, се празнуват и празниците на квадратния корен. Празнуват се девет пъти на сто години и се определят по следния принцип: числата, които обозначават деня и месеца по ред, трябва да са корен квадратен от годината. Да, в следващият пътТози празник ще се чества на 4 април 2016 г.

Свойства на квадратния корен на полето R

Почти всички математически изрази имат геометрична основа, тази съдба не мина и √y, което се определя като страната на квадрат с площ y.

Как да намеря корена на число?

Има няколко алгоритма за изчисление. Най-простото, но в същото време доста тромаво е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) от числото, чийто корен се нуждаем, нечетните числа се изваждат на свой ред - докато остатъкът на изхода е по-малък от изваденото или четно нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане желаното число. Например, изчисляване на квадратен корен от 25:

Следващото нечетно число е 11, остатъкът е: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение от серия Тейлър:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , където n приема стойности от 0 до

+∞ и |y|≤1.

Графично представяне на функцията z=√y

Да разгледаме елементарна функция z=√y върху полето на реалните числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Нейната диаграма изглежда така:

Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z=√y върху полето на реалните числа R

1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (включва се нулата).

2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата отново е включена).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z=√y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z=√y не е периодична.

6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z=√y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z=√y също е нулата на тази функция.

8. Функцията z=√y непрекъснато расте.

9. Функцията z=√y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Опции за показване на функцията z=√y

В математиката, за да се улесни изчисляването на сложни изрази, понякога се използва степенната форма на запис на квадратен корен: √y=y 1/2. Тази опция е удобна, например, при издигане на функция до степен: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него коренът квадратен се представя от обикновена степенна функция.

А в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Струва си да се отбележи, че в тази област квадратният корен е в голямо търсене, тъй като е част от повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се извиква).

Квадратният корен в комплексното поле C

Като цяло именно предметът на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на корен от четна степен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: квадратът й е -1. Благодарение на това квадратните уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C за корен квадратен са подходящи същите свойства като в R, единственото нещо е, че ограниченията върху коренния израз са премахнати.

Площта на квадратен парцел е 81 дм². Намерете неговата страна. Да предположим, че дължината на страната на квадрата е хдециметри. Тогава площта на парцела е х² квадратни дециметра. Тъй като според условието тази площ е 81 dm², то х² = 81. Дължината на страната на квадрат е положително число. Положително число, чийто квадрат е 81, е числото 9. При решаването на задачата се изискваше да се намери числото x, чийто квадрат е 81, т.е. да се реши уравнението х² = 81. Това уравнение има два корена: х 1 = 9 и х 2 = - 9, тъй като 9² = 81 и (- 9)² = 81. И двете числа 9 и - 9 се наричат ​​квадратни корени от числото 81.

Имайте предвид, че един от квадратните корени х= 9 е положително число. Нарича се аритметичен квадратен корен от 81 и се обозначава √81, така че √81 = 9.

Аритметичен корен квадратен от число ное неотрицателно число, чийто квадрат е равен на но.

Например числата 6 и -6 са квадратни корени от 36. Числото 6 е аритметичен квадратен корен от 36, тъй като 6 е неотрицателно число и 6² = 36. Числото -6 не е аритметичен корен.

Аритметичен корен квадратен от число ноозначени както следва: √ но.

Знакът се нарича аритметичен знак квадратен корен; носе нарича коренен израз. Израз √ ноПрочети така: аритметичният квадратен корен от число но.Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В случаите, когато е ясно, че говорим сиза аритметичния корен те накратко казват: „корен квадратен от но«.

Актът за намиране на квадратен корен от число се нарича вземане на квадратен корен. Това действие е обратното на квадратурата.

Всяко число може да бъде на квадрат, но не всяко число може да бъде квадратен корен. Например, не е възможно да се извлече корен квадратен от числото - 4. Ако такъв корен е съществувал, тогава, обозначавайки го с буквата х, ще получим грешно равенство x² = - 4, тъй като отляво има неотрицателно число и отрицателно число отдясно.

Израз √ ноима смисъл само когато а ≥ 0. Определението на квадратния корен може да се запише накратко като: √ а ≥ 0, (√но)² = но. Равенство (√ но)² = новалидно за а ≥ 0. По този начин, за да се уверите, че корен квадратен от неотрицателно число норавно на б, т.е. че √ но =б, трябва да проверите дали са изпълнени следните две условия: b ≥ 0, б² = но.

Корен квадратен от дроб

Да изчислим. Обърнете внимание, че √25 = 5, √36 = 6 и проверете дали равенството е валидно.

Защото и , тогава равенството е вярно. Така, .

теорема:Ако но≥ 0 и б> 0, тоест коренът на дроба равно на коренаот числителя, разделен на корена на знаменателя. Необходимо е да се докаже, че: и .

Тъй като √ но≥0 и √ б> 0, тогава .

Чрез свойството да се повдига дроб на степен и да се определя квадратен корен теоремата е доказана. Нека разгледаме няколко примера.

Изчислете според доказаната теорема .

Втори пример: Докажете това , ако но ≤ 0, б < 0. .

Друг пример: Изчислете .

.

Преобразуване на квадратен корен

Изваждане на множителя изпод знака на корена. Нека бъде даден израз. Ако но≥ 0 и б≥ 0, тогава по теоремата за корена на произведението можем да запишем:

Такава трансформация се нарича разлагане на основния знак. Помислете за пример;

Изчислете при х= 2. Директно заместване х= 2 в радикалния израз води до сложни изчисления. Тези изчисления могат да бъдат опростени, ако първо премахнем факторите под основния знак: . Сега замествайки x = 2, получаваме:.

И така, когато се изважда факторът под коренния знак, радикалният израз се представя като произведение, в което един или повече фактори са квадратите на неотрицателни числа. След това се прилага теоремата за коренното произведение и се взема коренът на всеки фактор. Помислете за пример: Опростете израза A = √8 + √18 - 4√2, като извадим факторите под знака за корен в първите два члена, получаваме:. Подчертаваме, че равенството валидно само когато но≥ 0 и б≥ 0. ако но < 0, то .

Доста често, когато решаваме проблеми, се сблъскваме с големи числа, от които трябва да извлечем Корен квадратен. Много ученици решават, че това е грешка и започват да разрешават целия пример. Това в никакъв случай не трябва да се прави! Има две причини за това:

1. Корени от големи числавсъщност се срещат в задачите. Особено в текста;
2. Има алгоритъм, чрез който тези корени се разглеждат почти устно.

Днес ще разгледаме този алгоритъм. Може би някои неща ще ви се сторят неразбираеми. Но ако обърнете внимание на този урок, ще получите най-мощното оръжие срещу квадратни корени.

И така, алгоритъмът:

1. Ограничете желания корен отгоре и отдолу до кратни на 10. Така ще намалим диапазона на търсене до 10 числа;
2. От тези 10 числа изхвърлете тези, които определено не могат да бъдат корени. В резултат на това ще останат 1-2 числа;
3. Квадратирайте тези 1-2 числа. Този от тях, чийто квадрат е равен на първоначалното число, ще бъде корен.

Преди да приложим този алгоритъм да работи на практика, нека разгледаме всяка отделна стъпка.

Ограничение на корените

Преди всичко трябва да разберем между кои числа се намира нашият корен. Много е желателно числата да са кратни на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получаваме серия от числа:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Какво ни дават тези числа? Просто е: получаваме граници. Вземете например числото 1296. То се намира между 900 и 1600. Следователно коренът му не може да бъде по-малък от 30 и по-голям от 40:

[Надпис на фигура]

Същото е и с всяко друго число, от което можете да намерите корен квадратен. Например 3364:

[Надпис на фигура]

Така вместо неразбираемо число получаваме много специфичен диапазон, в който се намира оригиналният корен. За да стесните допълнително обхвата на търсенето, преминете към втората стъпка.

Елиминиране на очевидно излишни числа

И така, имаме 10 числа - кандидати за корен. Получихме ги много бързо, без сложно мислене и умножение в колона. Време е да продължиш напред.

Вярвате или не, сега ще намалим броя на кандидатските числа до две - и отново без сложни изчисления! достатъчно да знам специално правило. Ето го:

Последната цифра на квадрата зависи само от последната цифра оригинален номер.

С други думи, достатъчно е да погледнем последната цифра на квадрата - и веднага ще разберем къде свършва оригиналното число.

Има само 10 цифри, които могат да стоят последно място. Нека се опитаме да разберем в какво се превръщат, когато са на квадрат. Разгледайте таблицата:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Тази таблица е още една стъпка към изчисляването на корена. Както можете да видите, числата във втория ред се оказаха симетрични по отношение на петте. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Както можете да видите, последната цифра е една и съща и в двата случая. А това означава, че например коренът на 3364 задължително завършва на 2 или 8. От друга страна, помним ограничението от предишния параграф. Получаваме:

[Надпис на фигура]

Червените квадратчета показват, че все още не знаем тази цифра. Но в края на краищата коренът е между 50 и 60, върху които има само две числа, завършващи на 2 и 8:

[Надпис на фигура]

Това е всичко! От всички възможни корени оставихме само две опции! И това е в най-трудния случай, защото последната цифра може да бъде 5 или 0. И тогава единственият кандидат за корените ще остане!

Окончателни изчисления

И така, имаме останали 2 кандидатски номера. Как да разберете кой е коренът? Отговорът е очевиден: квадратура на двете числа. Този, който е на квадрат, ще даде оригиналното число и ще бъде коренът.

Например за числото 3364 намерихме две кандидат числа: 52 и 58. Нека ги поставим на квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Това е всичко! Оказа се, че коренът е 58! В същото време, за да опростя изчисленията, използвах формулата на квадратите на сбора и разликата. Благодарение на това дори не е трябвало да умножавате числата в колона! Това е друго ниво на оптимизация на изчисленията, но, разбира се, е напълно по избор :)

Примери за изчисление на корен

Теорията е добра, разбира се. Но нека го тестваме на практика.

[Надпис на фигура]

Първо, нека разберем между кои числа лежи числото 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега нека разгледаме последното число. То е равно на 6. Кога се случва това? Само ако коренът завършва на 4 или 6. Получаваме две числа:

Остава да квадратирате всяко число и да сравните с оригинала:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Глоба! Първият квадрат се оказа равен на първоначалното число. Така че това е коренът.

Задача. Изчислете квадратния корен:

[Надпис на фигура]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Нека погледнем последното число:

1369 → 9;
33; 37.

Нека го направим на квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Ето отговора: 37.

Задача. Изчислете квадратния корен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Нека погледнем последното число:

2704 → 4;
52; 58.

Нека го направим на квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Получихме отговора: 52. Второто число вече няма да е необходимо да се квадратира.

Задача. Изчислете квадратния корен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Нека погледнем последното число:

4225 → 5;
65.

Както виждате, след втората стъпка остава само една опция: 65. Това е желаният корен. Но нека все пак го направим на квадрат и да проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Всичко е правилно. Записваме отговора.

Заключение

Уви, не по-добре. Нека да разгледаме причините. Има две от тях:

• Забранено е използването на калкулатори на всеки нормален изпит по математика, било то GIA или Единния държавен изпит. А за носене на калкулатор в класната стая, те лесно могат да бъдат изгонени от изпита.
• Не бъдете като глупави американци. Които не са като корени - не могат да добавят две прости числа. А при вида на дроби обикновено изпадат в истерия.

В тази статия ще ви представим концепцията за корен от число. Ще действаме последователно: ще започнем с квадратния корен, от него ще преминем към описанието корен куб, след това обобщаваме понятието корен, като дефинираме корена от n-та степен. В същото време ще въведем дефиниции, обозначения, ще дадем примери за корени и ще дадем необходимите обяснения и коментари.

Квадратен корен, аритметичен квадратен корен

За да разберете дефиницията на корена на число и по-специално на квадратния корен, трябва да имате . В този момент често ще се сблъскаме с втората степен на число – квадратът на число.

Да започнем с дефиниции на квадратен корен.

Определение

Квадратният корен от aе числото, чийто квадрат е a .

За да донесе примери за квадратни корени, вземете няколко числа, например 5 , −0,3 , 0,3 , 0 и ги квадратирайте, получаваме числата 25 , 0,09 , 0,09 и 0 съответно (5 2 = 5 5 = 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 и 0 2 =0 0=0). Тогава според дефиницията по-горе, 5 е квадратен корен от 25, −0,3 и 0,3 са квадратни корени от 0,09, а 0 е квадратен корен от нула.

Трябва да се отбележи, че не съществува за никое число a, чийто квадрат е равен на a. А именно, за всяко отрицателно число a няма реално число b , чийто квадрат би бил равен на a . Наистина, равенството a=b 2 е невъзможно за всяко отрицателно a , тъй като b 2 е неотрицателно число за всяко b . По този начин, на множеството от реални числа няма квадратен корен от отрицателно число. С други думи, на множеството от реални числа коренът квадратен от отрицателно число не е дефиниран и няма значение.

Това води до логичен въпрос: „Има ли корен квадратен от a за всяко неотрицателно a”? Отговорът е да. Обосновката за този факт може да се счита за конструктивен метод, използван за намиране на стойността на квадратния корен.

Тогава възниква следният логичен въпрос: "Какъв е броят на всички квадратни корени от дадено неотрицателно число a - едно, две, три или дори повече"? Ето отговора на него: ако а е нула, тогава единственият квадратен корен от нула е нула; ако a е някакво положително число, тогава броят на квадратните корени от числото a е равен на две, а корените са . Нека обосноваваме това.

Да започнем със случая a=0. Нека първо покажем, че нулата наистина е корен квадратен от нула. Това следва от очевидното равенство 0 2 =0·0=0 и дефиницията на квадратния корен.

Сега нека докажем, че 0 е единственият квадратен корен от нула. Нека използваме обратния метод. Да приемем, че има някакво ненулево число b, което е корен квадратен от нула. Тогава трябва да бъде изпълнено условието b 2 =0, което е невъзможно, тъй като за всяко ненулево b стойността на израза b 2 е положителна. Стигнахме до противоречие. Това доказва, че 0 е единственият квадратен корен от нула.

Нека да преминем към случаите, когато а е положително число. По-горе казахме, че винаги има квадратен корен от всяко неотрицателно число, нека b е корен квадратен от a. Да кажем, че има число c , което също е корен квадратен от a . Тогава по дефиницията на квадратния корен са валидни равенствата b 2 =a и c 2 =a, от което следва, че b 2 −c 2 =a−a=0, но тъй като b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , тогава (b−c) (b+c)=0 . Полученото равенство е в сила свойства на действия с реални числавъзможно само когато b−c=0 или b+c=0 . Така числата b и c са равни или противоположни.

Ако приемем, че има число d, което е друг квадратен корен от числото a, то чрез разсъждения, подобни на вече дадените, се доказва, че d е равно на числото b или на числото c. И така, броят на квадратните корени на положително число е два, а квадратните корени са противоположни числа.

За удобство при работа с квадратни корени отрицателен коренотделя от положителното. За тази цел въвежда дефиниция на аритметичен квадратен корен.

Определение

Аритметичен квадратен корен от неотрицателно число aе неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a .

За аритметичния квадратен корен от числото a се приема нотацията. Знакът се нарича аритметичен знак квадратен корен. Нарича се още знак на радикала. Следователно отчасти можете да чуете и "корен" и "радикал", което означава един и същ обект.

Извиква се числото под аритметичния знак квадратен корен коренно число, а изразът под знака за корен - радикален израз, докато терминът "радикално число" често се заменя с "радикален израз". Например, в нотацията числото 151 е радикално число, а в нотацията изразът a е радикален израз.

Когато четете, думата „аритметика“ често се пропуска, например записът се чете като „корен квадратен от седем точки двадесет и девет стотни“. Думата "аритметика" се произнася само когато искат да подчертаят, че говорим за положителния квадратен корен от число.

В светлината на въведеното обозначение от дефиницията на аритметичния квадратен корен следва, че за всяко неотрицателно число a .

Квадратните корени на положително число a се записват с помощта на аритметичния знак квадратен корен като и . Например, квадратните корени от 13 са и . Аритметичният квадратен корен от нула е нула, тоест. За отрицателни числа a няма да придаваме значение на записите, докато не проучим комплексни числа. Например изразите и са безсмислени.

Въз основа на дефиницията за квадратен корен се доказват свойствата на квадратните корени, които често се използват в практиката.

За да завършим този подраздел, отбелязваме, че квадратните корени на число са решения от вида x 2 =a по отношение на променливата x .

корен кубичен от

Определение на кубичен коренна числото a се дава по подобен начин на дефиницията на квадратния корен. Само че се основава на концепцията за куб от число, а не за квадрат.

Определение

Кубичният корен на aсе нарича число, чийто куб е равен на a.

Да донесем примери кубични корени . За да направите това, вземете няколко числа, например 7 , 0 , −2/3 , и ги нарежете на куб: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . След това, въз основа на дефиницията за кубичен корен, можем да кажем, че числото 7 е кубичен корен от 343, 0 е кубичен корен от нула, а −2/3 е кубичен корен от −8/27.

Може да се покаже, че кубичният корен на числото a, за разлика от квадратния корен, винаги съществува, и то не само за неотрицателно a, но и за всяко реално число a. За да направите това, можете да използвате същия метод, който споменахме, когато изучавате квадратния корен.

Освен това има само един кубичен корен от дадено число a. Нека докажем последното твърдение. За да направите това, разгледайте три случая поотделно: a е положително число, a=0 и a е отрицателно число.

Лесно е да се покаже, че за положително a кубичният корен на a не може да бъде нито отрицателен, нито нула. Наистина, нека b е кубичен корен на a , тогава по дефиниция можем да запишем равенството b 3 =a . Ясно е, че това равенство не може да бъде вярно за минус b и за b=0, тъй като в тези случаи b 3 =b·b·b ще бъде съответно отрицателно число или нула. Значи кубичният корен на положително число a е положително число.

Сега да предположим, че в допълнение към числото b има още един кубичен корен от числото a, нека го означим c. Тогава c 3 =a. Следователно, b 3 −c 3 =a−a=0 , но b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(това е съкратената формула за умножение разлика в кубчетата), откъдето (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Полученото равенство е възможно само когато b−c=0 или b 2 +b c+c 2 =0 . От първото равенство имаме b=c , а второто равенство няма решения, тъй като лявата му страна е положително число за всякакви положителни числа b и c като сбор от три положителни члена b 2 , b c и c 2 . Това доказва уникалността на кубичния корен на положително число a.

За a=0 единственият кубичен корен от a е нула. Наистина, ако приемем, че има число b , което е различен от нула кубичен корен от нула, тогава равенството b 3 =0 трябва да е в сила, което е възможно само когато b=0 .

За отрицателно a може да се спори подобно на случая за положително a . Първо, ние показваме, че кубичният корен на отрицателно число не може да бъде равен нито на положително число, нито на нула. Второ, приемаме, че има втори кубичен корен от отрицателно число и показваме, че той непременно ще съвпада с първото.

И така, винаги има кубичен корен от всяко дадено реално число a и само един.

Да дадем дефиниция на аритметичен корен от куб.

Определение

Аритметичен кубичен корен от неотрицателно число aсе нарича неотрицателно число, чийто куб е равен на a.

Аритметичният кубичен корен на неотрицателно число a се обозначава като , знакът се нарича знак на аритметичния кубичен корен, числото 3 в тази нотация се нарича коренен индикатор. Числото под основния знак е коренно число, изразът под знака корен е радикален израз.

Въпреки че коренът от аритметичен куб е дефиниран само за неотрицателни числа a, също така е удобно да се използват записи, в които отрицателните числа са под знака за корен от аритметичен куб. Ще ги разберем по следния начин: , където a е положително число. Например, .

Ще говорим за свойствата на кубичните корени в общата статия свойства на корените.

Изчисляването на стойността на кубичен корен се нарича извличане на кубичен корен, това действие се обсъжда в статията за извличане на корени: методи, примери, решения.

В заключение на този подраздел казваме, че кубичният корен на a е решение от вида x 3 =a.

N-ти корен, аритметичен корен от n

Обобщаваме понятието корен от число - въвеждаме определяне на n-тия коренза n.

Определение

n-ти корен от aе число, чиято n-та степен е равна на a.

От това определение става ясно, че коренът на първата степен от числото a е самото число a, тъй като при изучаване на степента с естествен показател ние взехме a 1 = a.

По-горе разгледахме специални случаи на корен от n-та степен за n=2 и n=3 - корен квадратен и корен кубичен. Тоест корен квадратен е корен от втора степен, а коренът куб е корен от трета степен. За да проучите корените от n-та степен за n=4, 5, 6, ..., е удобно да ги разделите на две групи: първата група - корените от четни степени (т.е. за n=4, 6 , 8, ...), втората група - корените нечетни степени (тоест за n=5, 7, 9, ... ). Това се дължи на факта, че корените от четни степени са подобни на квадратния корен, а корените от нечетни степени са подобни на кубичния корен. Нека се справим с тях на свой ред.

Започваме с корени, чиито сили са четни числа 4, 6, 8, ... Както вече казахме, те са аналогични на корен квадратен от a. Тоест коренът на всяка четна степен от числото a съществува само за неотрицателно a. Освен това, ако a=0, тогава коренът на a е уникален и равен на нула, а ако a>0, тогава има два корена с четна степен от числото a и те са противоположни числа.

Нека да обосновем последното твърдение. Нека b е корен от четна степен (означаваме го като 2 m, където m е някакво естествено число) от номер а. Да предположим, че има число c - още 2 m корен от a . Тогава b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Но ние знаем за формата b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), след това (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. От това равенство следва, че b−c=0 , или b+c=0 , или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Първите две равенства означават, че числата b и c са равни или b и c са противоположни. И последното равенство е валидно само за b=c=0 , тъй като лявата му страна съдържа израз, който е неотрицателен за всякакви b и c като сума от неотрицателни числа.

Що се отнася до корените от n-та степен за нечетно n, те са подобни на кубичния корен. Тоест коренът на всяка нечетна степен от числото a съществува за всяко реално число a и за дадено число a е уникален.

Единствеността на корена от нечетна степен 2·m+1 от числото a се доказва по аналогия с доказателството за единствеността на корена на куба от a . Само тук вместо равенство a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)равенство от вида b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Изразът в последната скоба може да се пренапише като b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Например, за m=2 имаме b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Когато a и b са положителни или и двете отрицателни, тяхното произведение е положително число, тогава изразът b 2 +c 2 +b·c , който е в скобите на най-високата степен на вложеност, е положителен като сума от положителни числа. Сега, преминавайки последователно към изразите в скоби на предишните степени на вложеност, се уверяваме, че те също са положителни като сбор от положителни числа. В резултат получаваме, че равенството b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0възможно само когато b−c=0, тоест, когато числото b е равно на числото c.

Време е да се заемем с обозначаването на корените от n-та степен. За това е дадено определяне на аритметичния корен от n-та степен.

Определение

Аритметичният корен от n-та степен на неотрицателно число aнарича се неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на a.